2019学年高中一轮复习理数：六十二 参数方程含解析

考点68 参数方程1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x ty t m=⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C，则m 的值为________________.2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩，（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4πρθ=+.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,3)P -为直线l 上一点，求11||||PA PB +. 3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3). （1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB 的值.4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3πθ=与曲线2C 交于点2,3D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知极坐标系中两点()10,A ρθ，20,+2B πρθ⎛⎫⎪⎝⎭，若A 、B 都在曲线1C 上，求221211+ρρ的值.5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设P(1，2)，求22PA PB +的取值范围．6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线2cos :22sin x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l πθαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=求MOB ∆的面积．7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos 5sin x t y t αα⎧=⎨=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是2cos 4πρθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αααα-+的值.8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）射线11,63ππθθθ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,,x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若线段AB的长度为5，求实数a 的值. 10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）已知射线:,0,2m πθαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若m 与圆C 交于点A （异于点O ），m 与直线l 交于点B ，求||||OA OB 的最大值.11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB+的值．12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,3,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段AB 的长.13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0r >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为121,1z i z i =-=+.（1）求曲线C 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 和1C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，若PA ，AB ，PB 成等比数列，求r 的值. 14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线l 的直角坐标方程．16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x xy y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为33sinπρθ=（-）.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为221x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C 上的点的最短距离为52-，试求点P 的坐标. 18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程； （2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13,23x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23ρθ=.P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，则P 的直角坐标为__________________.22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 与圆C 交于,M N 两点，则MN =__________. 23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l ：11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则|AB =__（用数字填写）24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B 两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.考点68 参数方程1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x ty t m =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C ，则m 的值为________________. 【答案】12m =-或136m =-. 【解析】 由参数方程可得：3344x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，圆C 的极坐标方程即222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式可得：=解得：12d =，结合点到直线距离公式可得：403152m -+=,解得：12m =-或136m =-. 2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨=+⎩，（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4πρθ=+.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,3)P -为直线l 上一点，求11||||PA PB +. 【答案】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8f x y -++=（2）7【解析】解：（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22(2)(2)8x y -++=.（2）将直线l的参数方程化为2232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程22(2)(2)8x y -++=，得270t --=，所以12t t +=127t t =-，所以121212||11||7t t PA PB t t -+===3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3). （1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB 的值.【答案】（1）直线：21y x =+，曲线C ：216y x =；（2）【解析】（1）直线的普通方程21y x =+ ，曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为13x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，代入216y x =，24705t --=，12t t +，12354t t =-，AB ==4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3πθ=与曲线2C 交于点2,3D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知极坐标系中两点()10,A ρθ，20,+2B πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 、B 都在曲线1C 上，求221211+ρρ的值.【答案】（1）221:14x C y +=，()222:24C x y -+=；（2）54. 【解析】（1）1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，1C ∴的普通方程为2214x y +=，由题意，设曲线2C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（a 为半径）， 将2,3D π⎛⎫⎪⎝⎭代入，得1222a =⨯，2a ∴=， 圆2C 的圆心的直角坐标为()2,0，半径为2， 因此，2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=； （2）曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，即22244sin cos ρθθ=+21220044sin cos ρθθ∴=+，2222220044sin 4cos 4sin cos 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2222000022124sin cos 4cos sin 115=+444θθθθρρ++∴+=. 5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设P(1，2)，求22PA PB +的取值范围．【答案】（1）直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 曲线C 的直角坐标方程为2268210x y x y +--+=（2）(8,24]【解析】 解：（1）因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 整理得关于t 的方程： 24(sin cos )40t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ， 则 12t t +=4(sin cos )αα+，124t t =.并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到0απ≤< ，解得02πα<<.因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有22||PA PB +=2212t t +=21212()2t t t t +-=216(sin cos )8αα+-16sin 28α=+，因为02πα<<，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈.因此22||||PA PB +的取值范围是(8,24].6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线2cos :22sin x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2l πθαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=求MOB ∆的面积．【答案】（1）直线1l ： cos 2ρθ=；曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；（2【解析】 解：（1）∵cos {sin x y ρθρθ==，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=. 所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2cos A OA ρα==，4sin B OB ρα==.∴8tan OA OB α⋅==tan α=. ∵02πα<<，∴3πα=.∴OB =，3OM =，6MOB π∠=.所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=∠11322=⨯⨯=即AOB ∆的面积为2． 7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是cos 5sin x t y t αα⎧=⎨=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是2cos 4πρθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αααα-+的值.【答案】（Ⅰ）22240x y x y +--=；（Ⅱ）3.【解析】（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos ρθθθθθ=-=+⎭， 24sin 2cos ρρθρθ=+，∴2242x y y x +=+，∴圆2C 的直角坐标方程是22240x y x y +--=.（Ⅱ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆心为（1，2）=，解得tan 2α，所以sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα--==++.8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭．（1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线11,63ππθθθ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的直角坐标方程为103x y +-=.（2）[1,3] 【解析】（1）圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式：222(cos 1)sin 1ρθρθ-+=，化简得：2cos ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 直线l的极坐标方程为sin cos 13ρθθ⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人上式，得：103x y +-=， ∴直线l的直角坐标方程为10x y +-=. （2）设()11,M ρθ，因为点M 在圆:2cos C ρθ=上，则有112cos ρθ=，设()21,N ρθ，因为点N在直线:cos 13l ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，则有2113ρ=， 所以12||||OM ON ρρ⋅===， ∵1,63ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1tan 33θ-，∴123tan 1233θ+，∴1133tan 1θ+，即1||||3OM ON ⋅，故||||OM ON ⋅的范围为[1,3].9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2,2x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若线段AB 的长度为5，求实数a 的值. 【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）2a =± 【解析】 （Ⅰ）由2853cos 2ρθ=-，得()2256cos 38ρθ-+=，化简得22243cos 4.因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以方程可化为222434x y x ，整理得2244x y +=，即2214x y +=.（Ⅱ）由直线l的参数方程,22x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得其普通方程为0x y a --=.联立2244,x y x y a ⎧+=⎨--=⎩可得2258440x ax a -+-=.因为直线l 与曲线C 有两个交点，所以()22644544a a ∆=-⨯⨯-280160a =->，得a <<设()12,A x x ，()22,B x y ，则1285a x x +=，212445a x x -=.12||AB x =-===2a =±. 10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求圆C 的极坐标方程； （2）已知射线:,0,2m πθαα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若m 与圆C 交于点A （异于点O ），m 与直线l 交于点B ，求||||OA OB 的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=；（2）3 【解析】（1）由圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩消去参数θ，得到圆的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-=，所以其极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=；（2）由题意，将θα=代入圆C 的极坐标方程得4cos A OA ρα==；将θα=代入线l 的极坐标方程，得1cos 3B OB ρπα==⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||14cos cos 4cos cos ||32OA OB πααααα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22cos cos 2cos212sin(2)16παααααα=+=++=++，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以72,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因此，当262ππα+=，即6πα=时，||||OA OB 取得最大值3. 11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11PA PB+的值． 【答案】（Ⅰ）:10l x -=，()22:24C x y -+=；（Ⅱ. 【解析】解：（Ⅰ）由1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数t，可得10x -=． ∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即2240x y x +-=．∴曲线的直角坐标方程为()2224x y -+=；（Ⅱ）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2240x y x +-=，得230t +-=． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >，∴1212121111t t PA PB t t t t ++=+===．12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,3,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=.若直线l 与曲线C 交于,AB 两点，求线段AB 的长.【答案】AB =【解析】由曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=，得22sin 2cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程是22y x =. 所以直线l 的普通方程为40x y --=.由2402x y y x--=⎧⎨=⎩得2280y y --=，所以AB ==13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0r >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为121,1z i z i =-=+.（1）求曲线C 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 和1C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，若PA ，AB ，PB 成等比数列，求r 的值.【答案】（1）曲线C 的普通方程是：222x y r +=，曲线1C 的直角坐标方程为：210x y +-=； （2）35r =【解析】（1）由题意得：曲线C 的普通方程是：222x y r +=曲线1C 的直角坐标方程为：210x y +-=（2）易知()1,0P 在1C 上 ∴可设直线1C的参数方程为：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）将直线1C 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得：2221r ⎛⎫⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎭，整理可得：2210t r +-= 设,A B 对应的参数分别是12,t t ，则1PA t =，2PB t =，12AB t t =-12t t ∴+=2121t t r =- 又PA ，AB ，PB 成等比数列 则()2212121212124t t t t t t t t t t -=+-==即：()22164115r r --=-，解得：35r =．14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.【答案】(1) 10x y a --+=;24y x =.(2) 136a =或94. 【解析】（1）曲线1C参数方程为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t为参数)，消去参数t ，得10x y a --+=，∴曲线1C 的普通方程10x y a --+=，又由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=，∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-=，根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入得()22240x x x y +-+=，整理得24y x =，即曲线2C 的直角坐标方程24y x =. （2）设,A B 两点所对应参数分别为1t ，2t ，将212x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入24y x =，得2820t a --+=， 要使1C 与2C有两个不同的交点，则24(28)320a a ∆=--=>，即0a >，由韦达定理有11282t t t t a ⎧+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩，根据参数的几何意义可知1||PA t =，2||PB t =，又由||2||PA PB =，可得12||2||t t =，即212t t =或122t t =-，∴当212t t =时，有12221223282t t t t t t a ⎧+==⎪⇒⎨⋅==-+⎪⎩1036a =>，符合题意. 当122t t =-时，有1222122282t t t t t t a ⎧+=-=⎪⇒⎨⋅=-=-+⎪⎩904a =>，符合题意. 综上所述，实数a 的值为136a =或94. 15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）直线l 的参数方程为x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|取最小值时，求直线l 的直角坐标方程． 【答案】（1）x 2=4y ；（2）y=1 【解析】（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos 2θ=8sinθ，得ρ2cos 2θ=4ρsinθ， ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x 2=4y ，即曲线C 的普通方程为x 2=4y ．（2）由题意可知，直线l 与y 轴交于点F （0，1）即为抛物线C 的焦点， 令|FA|=|t 1|，|FB|=|t 2|，将直线l 的参数方程x tcos αy 1tsin α=⎧⎨=+⎩代入C 的普通方程x 2=4y 中，整理得t 2cos 2α-4tsinα-4=0，由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t 1+t 2=24sin αcos α，t 1t 2=24cos α-， ∴|FA||FB|=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=24cos α≥4，（当且仅当cos 2α=1时，等号成立）， ∴当|FA|•|FB|取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为y=1．16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换12x xy y⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为3sinπρθ=（-）（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求11||||PA PB -的值. 【答案】（1）2214x y +=0y -+=（2）11||||PA PB -=【解析】（1）将12x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩代入221x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，由3sinπρθ=（-），得 33sin coscos sinππρθρθ-=把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式得直线l0y -+=.（2）因为直线l 的倾斜角为3π，所以其垂线l 0的倾斜角为56π，则直线l 0的参数方程为51cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），即112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C的方程整理得27120t --=，设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，由题意知10t >，20t <，则12127127t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，且247120∆=+⨯⨯>（，所以1212121111||||t t PA PB t t t t +-=-==-. 17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C，试求点P 的坐标.【答案】（1）l 的普通方程为10x y -+=．C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-= （2）（-1，0）或（2，3）【解析】解：（1）由1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，得1y x =+．即直线l 的普通方程为10x y -+=．因为2),(cos sin )2(cos sin )4πρθρθθρθθ=-∴=+=+又cos x ρθ=，sin y ρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=（2）由22(1)(1)2x y -+-=知，曲线C 是以Q （1,1）为圆心，2为半径的圆设点P 的坐标为(),1x x +，则点P 到C 上的点的最短距离为|PQ|-2即()225,15PQ x x =∴-+=，整理得220x x --=，解得121,2x x =-=所以点P 的坐标为（-1，0）或（2，3）．18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长【答案】（1）；（2）【解析】（1）的方程可化为，将，，代入其中得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）直线过定点，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，，所以.19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．【答案】（1），直线的直角坐标方程为．（2）【解析】解：（1）由题意可知，直线的直角坐标方程为．（2）将直线方程代入的方程并整理得，设对应的参数分别为，，则，，∴设，所以点到直线的距离，所以当时，的最大值，即三角形面积最大值为．20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）过点倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.【答案】（1）;（2）8.【解析】（1）依题意，曲线的普通方程为， 即，故，故，故所求极坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数），将此参数方程代入中，化简可得，显然.设所对应的参数分别为，，则.∴.21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13,232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为23ρθ=.P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，则P 的直角坐标为__________________. 【答案】()3,0 【解析】极坐标方程即：223sin ρρθ=，故2223x y +=，22(3)3x y +=, 消去参数可得直线l 3330x y --=,过圆心与直线l垂直的方程为y x =，联立直线方程：0y y x --=⎨=⎪⎩可得交点坐标为：()3,0.即P 的直角坐标为()3,0.22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 12sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 与圆C 交于,M N 两点，则MN =__________. 【答案】4 【解析】圆:C 3212x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩，化为()()22314x y -++=，所以，圆心()3,1C -，半径为2r ，直线cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 22ρθρθ+=20x y +-=， C 直线l 上，24MN r ∴==，故答案为4.23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l：112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则|AB =__（用数字填写） 【答案】1 【解析】解：由曲线C 1：x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），化为x 2+y 2＝1，直线l：1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数化为y =x ﹣1）y --=0．∴圆心C 1（0，0）到直线l 的距离d 2==． ∴|AB |＝==1． 故答案为：1．24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.【答案】15± 【解析】由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=， 设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得15k =±.故答案为.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t y ＝32t (t 为参数)。

以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ。

(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标。

2．已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝－4＋2sin θ(θ为参数)。

(1)以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值。

解析：(1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θy ＝－4＋2sin θ(θ为参数)。

所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4。

∴圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0。

(2)点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋9。

所以△ABM 面积的最大值为9＋22。

3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α≠k π，k ∈Z )经过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)的左焦点F 。

(1)求m 的值；(2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA |×|FB |的最小值。

解析：(1)∵椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ的普通方程为x 24＋y 23＝1，∴F (－1,0)。

直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋t cos αy ＝t sin α的普通方程为y ＝tan α(x －m )，∵α≠k π，k ∈Z ，tan α≠0。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．了解参数方程，了解参数的意义。

2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。

3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程。

一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ft ，y ＝g t就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．几种常见的参数方程 (1)圆的参数方程若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(3)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22；(2)|PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.三、极坐标与参数方程的综合应用规律1．化归思想的应用，即对于含有极坐标方程和参数的题目，全部转化为直角坐标方程后再求解． 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．高频考点一 参数方程与普通方程的互化【例1】 已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数). (1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.【方法规律】 (1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响，一定要保持同解变形.【变式探究】 在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.高频考点二 参数方程及应用【例2】已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|， 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.【方法规律】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题.(2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.【变式探究】 平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.(1)求圆C 和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)由曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.得参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数).(2)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ， 由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，m ＝1＋2或m ＝1－ 2. 高频考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.【方法规律】(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【变式探究】 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数).以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.解(1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cos θ.1. （2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．【答案】 (1）．（2）的方程为．【解析】（1）由，得的直角坐标方程为．（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．综上，所求的方程为．2. （2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．（1）求的取值范围；（2）求中点的轨迹的参数方程．【答案】（1）（2）为参数，【解析】（1）的直角坐标方程为．当时，与交于两点．当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．综上，的取值范围是．4. （2018年江苏卷） [选修4—4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．【答案】直线l被曲线C截得的弦长为【解析】因为曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为，则直线l 过A （4，0），倾斜角为， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =， 所以．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为．1.【2017江苏，21】在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】52. 【2017课标II ，理22】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=。

第二节参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t ).参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性. (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎝⎛⎭⎫α≠π2，点斜式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数) 椭圆 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数) [熟记常用结论]经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量.( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、选填题1.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上.2.若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)相切，则实数m 的值为( )A.－4或6B.－6或4C.－1或9D.－9或1解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝1－4t (t 为参数)，得直线l ：2x ＋y －1＝0，由⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝m ＋5sin θ(θ为参数)，得曲线C ：x 2＋(y －m )2＝5，因为直线l 与曲线C 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|m －1|22＋12＝5，解得m ＝－4或m ＝6.故选A.3.在平面直角坐标系中，若曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，则其普通方程为____________.解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝04.已知两曲线的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R )，则它们的交点坐标为________.解析：消去参数θ得普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分.消去参数t 得普通方程为y 2＝45x ，表示抛物线，联立两方程，可知两曲线有一个交点，解得交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.答案：⎝⎛⎭⎫1，255 5.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)，则曲线C 的普通方程为____________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ＋1(θ为参数)消去参数θ，得y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1).答案：y ＝2－2x 2(－1≤x ≤1)考点一 参数方程与普通方程的互化 [基础自学过关][题组练透]1.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围. 解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.即实数a 的取值范围为[－25，2 5 ].2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)，设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45，当s ＝2时，d min ＝455. 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上的点P 到直线l 的距离取到最小值455.[名师微点]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.[提醒] 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.考点二 参数方程的应用 [师生共研过关][典例精析](2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点.(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. [解] (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2＜1， 解得k ＜－1或k ＞1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4＜α＜3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4＜α＜3π4.[解题技法]一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.[过关训练]已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值.解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用 [师生共研过关][典例精析](2019·柳州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)求曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值.[解] (1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2 θ4＝1，即ρ2＝364＋5sin 2θ.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2＝364＋5sin 2θ，曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)由点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，得⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2,2).因为直线l 过点A (2,2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[解题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.[过关训练](2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2，故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α， t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.[课时跟踪检测]1.设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数). (1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围. 解：(1)由已知得直线l 经过的定点是P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)， 所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)，得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2.由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)(斜率存在)， 即kx －y ＋4－3k ＝0.当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径， 即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120.即直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎭⎫2120，＋∞. 2.(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率.解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α；当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.3.(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0).(1)求曲线C 的直角坐标方程，直线l 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点P (－2,0)，若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值.解：(1)由ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)两边同乘以ρ得， 曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2ax (a ＞0).由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)将⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝22t代入y 2＝2ax ，得t 2－22at ＋8a ＝0，由Δ＞0得a ＞4，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝22a ，t 1t 2＝8a ， ∵|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，∴|t 1－t 2|2＝|t 1t 2|，∴(22a )2－4×8a ＝8a ，∴a ＝5.4.(2019·青岛调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数).以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|P Q |的最小值及此时P 的直角坐标. 解：(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|P Q |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z)时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫32，12. 5.(2018·辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数).在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：y ＝kx (x ≥0)分别交C 1，C 2于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，当k ∈(1，3]时，求|OA |·|OB |的取值范围.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，可得(x －1)2＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.方程ρcos 2θ＝sin θ可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ (*)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(*)式，可得x 2＝y ， 所以C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)因为A ，B 异于原点，所以联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，y ＝kx ，可得A ⎝⎛⎭⎫2k 2＋1，2k k 2＋1；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2，可得B (k ，k 2). 故|OA |·|OB |＝1＋k 2·2k 2＋1·1＋k 2·|k |＝2|k |.又k ∈(1，3]，所以|OA |·|OB |∈(2,23].6.(2019·惠州调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＝tan θ.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2交于A ，B 两点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，求1|PA |＋1|PB |的值. 解：(1)由曲线C 1的参数方程消去参数t 可得，曲线C 1的普通方程为4x ＋3y －2＝0. 由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝x 2.(2)由点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，－π4，可得点P 的直角坐标为(2，－2)，∴点P 在曲线C 1上.将曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2－35t ，y ＝－2＋45t (t 为参数)代入y ＝x 2，得9t 2－80t ＋150＝0，设t 1，t 2是点A ，B 对应的参数， 则t 1＋t 2＝809，t 1t 2＝503＞0.∴1|PA |＋1|PB |＝|PA |＋|PB ||PA |·|PB |＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝815. 7.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且l 过点A ，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值；(2)过点B (－1,1)且与直线l 平行的直线l 1与曲线C 1交于M ，N 两点，求|BM |·|BN |的值. 解：(1)由直线l 过点A ，得2cos ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝a ，故a ＝2，则易得直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.由点到直线的距离公式，得曲线C 1上的点到直线l 的距离d ＝|2cos α＋3sin α－2|2＝|7sin (α＋φ)－2|2，⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝233，∴d max ＝7＋22＝14＋222.即曲线C 1上的点到直线l 的距离的最大值为14＋222. (2)由(1)知直线l 的倾斜角为3π4， 则直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4(t 为参数).易知曲线C 1的普通方程为x 24＋y 23＝1.把直线l 1的参数方程代入曲线C 1的普通方程， 得72t 2＋72t －5＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－107， 根据参数t 的几何意义可知|BM |·|BN |＝|t 1t 2|＝107. 8.(2019·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝m ＋12t (t为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，直线l 与圆C 交于A ，B 两点. (1)若OA ⊥OB ，求直线l 的普通方程；(2)设P (3，1)是直线l 上的点，若|AB |＝λ|PC |，求λ的值.解：(1)消去参数t ，得直线l 的普通方程为x ＋3y ＝3＋3m ，将圆C 的极坐标方程ρ＝8cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6的两边同时乘ρ， 得ρ2＝43ρcos θ＋4ρsin θ，则圆C 的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝16，所以圆C 的圆心C (23，2)，半径为4，且经过原点O ，数形结合得，若OA ⊥OB ，则直线l 经过圆心C ，即23＋3×2＝3＋3m ，解得m ＝3， 即直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0. (2)由P (3，1)是直线l 上的点，得m ＝1，此时直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)，代入到圆C 的方程(x －23)2＋(y －2)2＝16中，得t 2＋2t －12＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－12，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4＋48＝213， 又|PC |＝2，|AB |＝λ|PC |，所以λ＝13.。

高三数学参数方程试题答案及解析1.在平面直角坐标系中，曲线（为参数）的普通方程为___________.【答案】【解析】联立消可得,故填.【考点】参数方程2.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确.【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式.3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和，则曲线C1与C2的交点坐标为_______。

【答案】【解析】由参数方程知: 曲线C1与C2的普通方程分别为,,所以解方程组可得交点坐标为.【考点】本题考查直线与圆的参数方程与普通方程的互化,以及它们交点坐标的求解.4.在平面直角坐标系中，直线经过点P（0，1），曲线的方程为，若直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】1【解析】利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题. 设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得．所以．【解】设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角）设，两点对应的参数值分别为，．将代入，整理可得． 5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）所以． 10分【考点】直线的参数方程5.如图,以过原点的直线的倾斜角为参数,则圆的参数方程为 .【答案】(为参数)【解析】x2+y2-x=0圆的半径为，圆心为C（，0）.连接CP，则∠PCx=2所以P点的坐标为:(为参数)6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为________．【答案】1【解析】圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最小值为.【考点】直角坐标与极坐标、距离公式.7.已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C的坐标直接代入中，得到曲线的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P、A点坐标，利用中点坐标公式，得出，由于点A在曲线上，所以将得到的代入到曲线中，得到的关系，即为中点的轨迹方程.试题解析：（1）将代入，得的参数方程为∴曲线的普通方程为． 5分（2）设，，又，且中点为所以有：又点在曲线上，∴代入的普通方程得∴动点的轨迹方程为． 10分【考点】参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.8.若直线的参数方程为，(t为参数)，求直线的斜率．【答案】－【解析】k＝.∴直线的斜率为－.9.将参数方程化为普通方程，并说明它表示的图形．【答案】y＝1－2x2，抛物线的一部分．【解析】由可得即＋x2＝1，化简得y＝1－2x2.又－1≤x2＝sin2θ≤1，则－1≤x≤1，则普通方程为y＝1－2x2，在时此函数图象为抛物线的一部分．10.已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）－＋1≤2x＋y≤＋1.（2）a≥－1【解析】(1)设圆的参数方程为2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1，∴－＋1≤2x＋y≤＋1.(2)x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，∴a≥－(cosθ＋sinθ)－1＝－sin－1，∴a≥－1.11.在椭圆＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离最小．【答案】(2，－3)【解析】设椭圆的参数方程为，d＝，当cos＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)12.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1： (s为参数)和直线l2： (t为参数)平行，则常数a的值为________．【答案】a＝4【解析】由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a.∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4.13.已知点P是曲线为参数，上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点的直角坐标为．【答案】【解析】不妨设点(),则由两点斜率的计算公式得,由题知(),则,故填【考点】参数方程倾斜角14.在平面直角坐标系xOy中，动点P到直线l：x＝2的距离是到点F(1,0)的距离的倍．(1)求动点P的轨迹方程；(2)设直线FP与(1)中曲线交于点Q，与l交于点A，分别过点P和Q作l的垂线，垂足为M，N，问：是否存在点P使得△APM的面积是△AQN面积的9倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）x2＋2y2＝2（2）存在点P为(0，±1)【解析】(1)设点P的坐标为(x，y)．由题意知＝|2－x|，化简，得x2＋2y2＝2，所以动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝2.(2)设直线FP的方程为x＝ty＋1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，因为△AQN∽△APM，所以有PM＝3QN，由已知得PF＝3QF，所以有y1＝－3y2，①由得(t2＋2)y2＋2ty－1＝0，Δ＝4t2＋4(t2＋2)＝8>0y 1＋y2＝－②，y1·y2＝－③，由①②③得t＝－1，y1＝1，y2＝－或t＝1，y1＝－1，y2＝，所以存在点P为(0，±1)．15.过点M（3，4），倾斜角为的直线与圆C：（为参数）相交于A、B两点，试确定的值.【答案】15【解析】将过点M（3，4），倾斜角为的直线写成参数方程.再将圆的参数方程写成一般方程，联立后求得含t的一元二次方程.将的值转化为韦达定理的根的乘积关系.即可得结论.本小题主要就是考查直线的参数方程中t的几何意义.试题解析：直线l的参数方程为.代入C：.方程得到：.设为方程两根，则.【考点】1.直线的参数方程.2.圆的参数方程.16.将参数方程（为参数,）化成普通方程为 ______ ．【答案】【解析】由已知得，将两式平方相加有，，所以普通方程为.【考点】参数方程与普通方程的互化.17.已知直线l过点P(2,0)，斜率为直线l和抛物线y2=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M,求：(1)|PM|； (2)|AB|.【答案】（1）；（2）【解析】（1）写出过点P（2,0）的直线方程的参数方程，联立抛物线的方程得到一个含参数t 二次方程.通过韦达定理即定点到中点的距离可得故填.（2）弦长公式|AB|＝|t2－t1|再根据韦达定理可得故填.本题主要知识点是定点到弦所在线段中点的距离.弦长公式.这两个知识点都是参数方程中的长测知识点.特别是到中点的距离的计算要理解清楚.试题解析：(1)∵直线l过点P(2，0)，斜率为设直线的倾斜角为α,tanα=sinα=cosα=∴直线l的参数方程为 (t为参数)(*) 1分∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y2=2x中，整理得8t2－15t－50＝0,且Δ=152+4×8×50>0,设这个一元二次方程的两个根为t1、t2,由根与系数的关系，得t1＋t2＝t1t2＝ 3分由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得 4分(2)|AB|＝|t2－t1|＝ 7分【考点】1.直线的参数方程的表示.2.定点到中的距离公式.3.弦长公式.18.在直角坐标系xOy中，过椭圆（为参数）的右焦点，斜率为的直线方程为【答案】【解析】由，即，所以右焦点坐标为（4,0）.又斜率为，故易得所求直线方程为.即.【考点】参数方程、直线的点斜式方程19.已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．在极坐标系（与直角坐标取相同的长度单位，且以原点为极点，轴的非负半轴为极轴）中，曲线的方程为．（Ⅰ）求曲线直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线、交于A、B两点，定点，求的值．【答案】（Ⅰ）曲线直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由已知，两边都乘以，得，结合即可求得曲线的直角坐标方程（普通方程）；（Ⅱ）由已知条件，把的参数方程为参数）代入，得由韦达定理可得：，进一步可计算出的值．试题解析：（Ⅰ）由已知，得，．3分（Ⅱ）把的参数方程代入，得．5分．7分【考点】直线的参数方程与极坐标方程．20.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是 .【答案】.【解析】化圆的方程为直角坐标方程为，化为标准方程为，圆心坐标为，直线的直角坐标方程为，它的一般方程为，故圆的圆心到直线的距离是.【考点】1.极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.点到直线的距离21.（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为，则圆的圆心的极坐标是.【答案】【解析】圆的圆心为，半径为的圆的极坐标方程为.因为，所以此圆的圆心坐标为.【考点】圆的极坐标方程22.在平面直角坐标系中，过椭圆的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线截椭圆所得弦长为．【答案】【解析】椭圆的普通方程为，则右焦点为（1,0）；直线的普通方程为，过（1,0）与直线平行的直线为，由得，所以所求的弦长为.【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.两点间的距离公式和弦长公式.23.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．24.以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：，点N的极坐标为．（Ⅰ）若M是曲线C1上的动点，求M到定点N的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2有有两个不同交点，求正数的取值范围．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）．【解析】分别将极坐标方程与参数方程转化为普通方程，根据点与圆的几何意义求的最小值；根据曲线C1与曲线C2有有两个不同交点的几何意义，求正数的取值范围．试题解析：解：（Ⅰ）在直角坐标系xOy中，可得点，曲线为圆，圆心为，半径为1，∴=3，∴的最小值为．（5分）（Ⅱ）由已知，曲线为圆，曲线为圆，圆心为，半径为t，∵曲线与曲线有两个不同交点，，解得，∴正数t的取值范围是．（10分）【考点】极坐标与普通方程的互化，参数方程与普通方程的互化．25.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线： (为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程【答案】（Ⅰ）、；（Ⅱ）或【解析】(Ⅰ) 利用参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程来求；(Ⅱ)利用点到直线的距离来求试题解析：（Ⅰ）曲线的普通方程为：； 2分由得，∴曲线的直角坐标方程为： 4分(或：曲线的直角坐标方程为： )（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，又直线的参数方程为：，∴，得，即直线的参数方程为：得直线的普通方程为：， 6分设与直线平行且与曲线相切的直线方程为： 7分∵曲线是圆心为，半径为的圆，得，解得或 9分故所求切线方程为：或 10分【考点】参数方程化普通方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，考查学生分析问题、解决问题的能力26.已知圆的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．(1)将圆的参数方程化为普通方程，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)圆,是否相交？若相交，请求出公共弦长，若不相交，请说明理由．【答案】（1），；（2）相交，两圆的相交弦长为.【解析】本题考查坐标系与参数方程、极坐标与直角坐标方程的互化，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用互化公式将参数方程化为普通方程，将极坐标方程化为直角坐标方程；第二问，通过数形结合，利用几何性质求相交弦长.试题解析：（1）由（为参数），得，由，得，即，整理得，. 5分（2）由于圆表示圆心为原点，半径为2的圆，圆表示圆心为，半径为2的圆，又圆的圆心在圆上，由几何性质易知，两圆的相交弦长为. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标方程与直角坐标方程的互化；3.相交弦问题.27.在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.【答案】或【解析】曲线的标准方程为，令，得到极坐标方程为，也可转化为.【考点】圆的参数方程和极坐标方程.28.已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，那么，直线与圆的位置关系是 ( )A．直线平分圆B．相离C．相切D．相交【答案】D【解析】先把参数方程化为，再把圆的极坐标方程化成，再利用圆心到直线的距离.【考点】1.参数方程；2.极坐标.29.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.【答案】.【解析】因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入得到直线的普通方程为.同理得曲线的普通方程为.联立方程组，解得公共点的坐标为，.【考点】本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.30.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（t为参数）。

高考复习之参数方程 一、考纲要求1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.二、知识结构 1.直线的参数方程(1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y at x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α=ab的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2+b 2=1,②即为标准式，此时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2≠1，则动点P 到定点P 0的距离是22b a +｜t ｜.直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜;(3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t=221t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜221t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.2.圆锥曲线的参数方程(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r 的圆的参数方程是⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin cos r b y r a x (φ是参数)φ是动半径所在的直线与x 轴正向的夹角，φ∈［0,2π］(见图)(2)椭圆 椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (φ为参数)椭圆 12222=+by a y (a ＞b ＞0)的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin cos a y b x (φ为参数) 3.极坐标极坐标系 在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫 做极轴.①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.点的极坐标 设M 点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM 的长度，θ表示射线Ox 到OM 的角度 ，那么ρ叫做M 点的极径，θ叫做M 点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M 点的极坐标.(见图)极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式⎩⎨⎧=='sin cos θρθρy x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(222x x ytg y x θρ 三、知识点、能力点提示(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化例1 在圆x 2+y 2-4x-2y-20=0上求两点A 和B ，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.解： 将圆的方程化为参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin 51cos 52y x （θ为参数） 则圆上点P 坐标为(2+5cos θ，1+5sin θ)，它到所给直线之距离d=223430sin 15cos 120+++θθ故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d 最长，这时，点A 坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d 最短，这时，点B 坐标为(-2，2).(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出现.例2 极坐标方程ρ=θθcos sin 321++所确定的图形是（ ） A.直线B.椭圆C.双曲D.抛物线解： ρ=)6sin(1211)]cos 2123(1[21πθθ++⋅=++(三)综合例题赏析 例3 椭圆的两个焦点坐标是是参数)(sin 51cos 3Φ⎩⎨⎧Φ+-=Φ+=y x （ ）A.(-3，5)，(-3，-3)B.(3，3)，(3，-5)C.(1，1)，(-7，1)D.(7，-1)，(-1，-1)解：化为普通方程得125)1(9)3(22=++-y x ∴a 2=25,b 2=9,得c 2＝１６,c=4.∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)∴在xOy 坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5). 应选B.例4 参数方程表示)20()sin 1(212sin 2cos πθθθθ<<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y xA.双曲线的一支，这支过点(1，21) B.抛物线的一部分，这部分过(1，21) C.双曲线的一支，这支过(-1，21)D.抛物线的一部分，这部分过(-1，21)解：由参数式得x 2=1+sin θ=2y(x ＞0) 即y=21x 2(x ＞0). ∴应选B. 例5 在方程⎩⎨⎧==θθcos sin y x (θ为参数)所表示的曲线一个点的坐标是( )A.(2,-7)B.（31，32）C.(21，21) D.(1，0)解：y=cos2θ=1-2sin2θ=1-2x 2 将x=21代入，得y=21 ∴应选C.例6 下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是( )A.⎩⎨⎧==t y t xB.⎩⎨⎧==ty t x 2cos cos C.⎪⎩⎪⎨⎧-+==t t y tgtx 2cos 12cos 1D.⎪⎩⎪⎨⎧+-==t t y tgtx 2cos 12cos 1解：普通方程x 2-y 中的x ∈R ，y ≥0，A.中x=｜t ｜≥0，B.中x=cost ∈〔-1,1〕，故排除A.和B.C.中y=t t 22sin 2cos 2=ctg 2t=2211xt tg ==，即x 2y=1，故排除C. ∴应选D.例7 曲线的极坐标方程ρ=４sin θ化 成直角坐标方程为( ) A.x 2+(y+2)2=4 B.x 2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y 2=4 D.(x+2)2+y 2=4解：将ρ=22y x +，sin θ=22y x y +代入ρ=4sin θ，得x 2+y 2=4y ，即x 2+(y-2)2=4.∴应选B.例8 极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆解：原极坐标方程化为ρ=21(cos θ+sin θ)⇒22ρ=ρcos θ+ρsin θ，∴普通方程为2(x 2+y 2)=x+y ，表示圆.应选D.例9 在极坐标系中，与圆ρ=4sin θ相切的条直线的方程是( ) A.ρsin θ=2 B.ρcos θ=2C.ρcos θ=-2D.ρcos θ=-4例9图解：如图.⊙C 的极坐标方程为ρ=4sin θ，CO ⊥OX,OA 为直径，｜OA ｜=4,l 和圆相切， l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l 上任意一点，则有 cos θ=ρ2=OPOB ，得ρcos θ=2，∴应选B.例10 4ρsin 22θ=5 表示的曲线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线解：4ρsin 22θ=5⇔4ρ·.5cos 2221cos -=⇔-θρρθ 把ρ=22y x + ρcos θ=x ，代入上式，得222y x +=2x-5.平方整理得y 2=-5x+.425.它表示抛物线. ∴应选D.例11 极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是( )A.两条射线B.两条相交直线C.圆D.抛物线解：由4sin 2θ=3,得4·222yx y +＝3,即y 2=3 x 2，y=±x 3,它表示两相交直线. ∴应选B.四、能力训练 (一)选择题 1.极坐标方程ρcos θ=34表示( ) A.一条平行于x 轴的直线B.一条垂直于x 轴的直线C.一个圆D.一条抛物线2.直线：3x-4y-9=0与圆：)(,sin 2cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x 的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心3.若(x ，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M 的直角坐标和极坐标，t 表示参数，则下列各组曲 线：①θ=6π和sin θ=21；②θ=6π和tg θ=33，③ρ2-9=0和ρ= 3；④ ⎩⎨⎧+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x ty t x 322213222和其中表示相同曲线的组数为( )A.1B.2C.3D.44.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M ，N 两点位置关系是( )A.重合B.关于极点对称C.关于直线θ=2πD.关于极轴对称 5.极坐标方程ρ=sin θ+2cos θ所表示的曲线是( )A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线 6.经过点M(1，5)且倾斜角为3π的直线，以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 235211 B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 235211C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 235211D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t x t y 2152317.将参数方⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++⋅=+++⋅=2222222222m m m b y m m mm a x (m 是参数，ab ≠0)化为普通方程是( )A.)(12222a xb y a x ≠=+B.)(12222a x b y a x -≠=+ C.)(12222a x b y a x ≠=-D.)(12222a x by a x -≠=-8.已知圆的极坐标方程ρ=2sin(θ+6π)，则圆心的极坐标和半径分别为( ) A.(1,3π),r=2 B.(1,6π),r=1 C.(1, 3π),r=1 D.(1, -3π),r=29.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=21y t t x (t 为参数)所表示的曲线是( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线10.双曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsec 212y tg x (θ为参数)的渐近线方 程为( )A.y-1=)2(21+±x B.y=x 21±C.y-1=)2(2+±xD.y+1=)2(2-±x11.若直线⎩⎨⎧=+=bty at x 4( (t 为参数)与圆x 2+y 2-4x+1=0相切，则直线的倾斜角为( )A.3π B.32πC.3π或32π D. 3π或35π12.已知曲线⎩⎨⎧==pty pt x 222(t 为参数)上的点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，且t 1+t 2=0，那么M ，N 间的距离为( )A.2p(t 1+t 2)B.2p(t 21+t 22) C.│2p(t 1-t 2)│ D.2p(t 1-t 2)213.若点P(x ，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy ，y 2-x 2)也在单位圆上运动，其运动规律是( )A.角速度ω，顺时针方向B.角速度ω，逆时针方向C.角速度2ω,顺时针方向D.角速度2ω，逆时针方向14.抛物线y=x 2-10xcos θ+25+3sin θ-25sin 2θ与x 轴两个交点距离的最大值是( )A.5B.10C.23D.315.直线ρ=θθsin cos 23+与直线l 关于直线θ=4π(ρ∈R)对称，则l 的方程是( )A ．θθρsin cos 23-=B ．θθρcos cos 23-=C ．θθρsin 2cos 3-=D ．θθρsin 2cos 3+=(二)填空题16.若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=t y t x 532543(t 为参数)，则过点(4，-1)且与l 平行的直线在y 轴上的截距为.17.参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x （θ为参数）化成普通方程为 .18.极坐标方程ρ=tg θsec θ表示的曲线是 . 19.直线⎩⎨⎧-=+-=ty tx 3231(t 为参数)的倾斜角为 ；直线上一点P(x ，y)与点M(-1，2)的距离为 .(三)解答题20.设椭圆⎩⎨⎧==θθsin 32cos 4y x (θ为参数) 上一点P ，若点P 在第一象限，且∠xOP=3π，求点P 的坐标.21.曲线C 的方程为⎩⎨⎧==pty pt x 222(p ＞0，t 为参数)，当t ∈［-1，2］时 ，曲线C 的端点为A ，B ，设F 是曲线C 的焦点，且S △AFB =14，求P 的值.22.已知椭圆222y x +=1及点B(0，-2)，过点B 作直线BD ，与椭圆的左 半部分交于C 、D 两点，又过椭圆的右焦点F 2作平行于BD 的直线，交椭圆于G ，H 两点.(1)试判断满足│BC │·│BD │=3│GF 2│·│F 2H │成立的直线BD 是否存在?并说明理由 . (2)若点M 为弦CD 的中点，S △BMF2=2，试求直线BD 的方程.23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 3sec 48(θ为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为49，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A ，B 为椭圆2222by a x +=1，(a ＞b ＞0) 上的两点，且OA ⊥OB ，求△AOB 的面积的最大值和最小值.25.已知椭圆162422y x +=1，直线l ∶812y x +=1，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且 满足│OQ │·│OP │=│OR │2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.并说明轨迹是什么曲线.参考答案(一)1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.A 8.C 9.B 10.C 11.C 12.C 13.C 14.C 15.D(二)16.-4；17.y ２=-2(x-21),(x ≤21);18.抛 物线；19.135°,|32t|(三)20.(5154,558)；21.;33222.(1)不存在，(2)x+y+2=0；23.51(27-341)；24.Smax=2ab，s max=2222b a b a +;25.25)1(25)1(22-+-y x =1(x,y)不同时为零)。

第68讲参数方程考试说明 1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.【课前双基巩固】知识聚焦1.参数方程参数【课堂考点探究】例1[思路点拨] (1)依据直线的参数方程和圆的参数方程的概念可直接写出它们的参数方程;(2)将圆C 的参数方程化为普通方程,再将直线l的参数方程代入,利用Δ≥0即可求出a的取值范围.解:(1)依题意,直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数).圆C的参数方程为(θ为参数).(2)将圆C的参数方程化为普通方程得(x-2a)2+(y-2a)2=2,将直线l的参数方程代入,得+=2,整理得t2-at+a2-2=0,因为直线l和圆C有公共点,所以Δ=(-a)2-4(a2-2)≥0,解得-2≤a≤2.变式题解:直线l的普通方程为x+y=2,曲线C的普通方程为y=(x-2)2(y≥0),联立两方程得x2-3x+2=0,求得两交点的坐标分别为(1,1),(2,0),所以|AB|=.例2[思路点拨] (1)由题意知y=3-2sin αcos α-2cos2α=3sin2α-2sin αcos α+cos2α=(sin α-cos α)2,将x整体代入即可得y=x2,根据x=sin α-cos α=2sin,可知-2≤x≤2.将ρsin=m展开可得ρsin θ-ρcos θ=m,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,可得y-x=m.(2)联立C1,C2的直角坐标方程,可得m=x2-x,-2≤x≤2,求x2-x的范围可得实数m的取值范围.解:(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数),可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,∴m=x2-x=-,∵-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,∴-≤m≤6.变式题解:(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,由得l与C1的交点为A(1,0),B,则|AB|=.(2)C2的参数方程为(θ为参数),设点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d==,故当sin(θ-φ)=1时,d取得最大值,最大值为+.例3[思路点拨] (1)由消去参数α,求得曲线C的普通方程.由ρsin=,得ρsinθ-ρcos θ=2,把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得y=x+2,从而求得直线l的倾斜角.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,利用韦达定理结合参数的几何意义求得|PA|+|PB|的值.解:(1)由消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1.由ρsin=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可得直线l的参数方程为(t为参数),即(t 为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 则t1+t2=-<0,t1·t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.变式题解:(1)∵直线l过点P且倾斜角为α,∴直线l的参数方程为(t为参数).(2)把代入x2+y2=1,得t2+(cos α+3sin α)t+2=0,∵直线l与曲线C:x2+y2=1相交于不同的两点M,N,∴Δ=(cos α+3sin α)2-8>0,即sin2>,又α∈[0,π),∴<sin≤1,又t1+t2=-(cos α+3sin α),t1t2=2,∴+=-=-==sin,∵<sin≤1,∴<sin≤,∴+的取值范围是(,].例4[思路点拨] (1)曲线C的极坐标方程为ρ=6sin θ,两边同乘ρ,利用ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,可得结果;(2)将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程并化简,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用韦达定理、直线参数的几何意义及三角函数的有界性,求+的最小值.解:(1)由ρ=6sin θ,得ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.(2)将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程并化简,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,则Δ=4(cos α-sin α)2+4×7>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则又直线l过点P(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==≥=2.故+==≥,所以所求的最小值为.变式题解:(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为(x+4)2+(y-3)2=1,∴Ｃ1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.∵曲线C2的参数方程为(θ为参数),∴其普通方程为+=1,∴Ｃ2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.(2)由t=,得P(-4,4),设Q(8cos θ,3sin θ),故M-2+4cos θ,2+sin θ,ρ(cos θ-2sin θ)=7可化为x-2y=7,故M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|=|5cos(θ+φ)-13|其中tan φ=,从而当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值,为.【备选理由】例1考查了圆的参数方程与普通方程的转化,直线与圆相交求弦长;例2考查了直线的参数方程与普通方程,圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线参数方程的应用;例3考查了曲线的极坐标方程与参数方程的转化,以及曲线参数方程的应用;例4考查了曲线参数方程与极坐标方程之间的转化,以及曲线极坐标方程的应用.以上几题覆盖了曲线参数方程与极坐标方程的几种常见组合,是对例题的补充.1 [配例2使用] [2017·珠海调研]已知在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=2.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长.解:(1)曲线C的普通方程为(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0,将代入,化简得ρ=4cos θ,∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.(2)∵直线l的直角坐标方程为x+y-4=0,联立得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2),(4,0),∴所求弦长为=2.2 [配例3使用]已知直线l的参数方程为(t为参数),以直角坐标系xOy的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin.(1)求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程;(2)设圆C与直线l交于A,B两点,若P点的直角坐标为(2,1),求||PA|-|PB||的值.解:(1)易得直线l的普通方程为y=x-1.因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sin=4sin θ+4cos θ,即ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0(或写成(x-2)2+(y-2)2=8).(2)点P(2,1)在直线l上,且在圆C内,把代入x2+y2-4x-4y=0,得t2-t-7=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-7<0,即t1,t2异号,所以||PA|-|PB||=||t1|-|t2||=|t1+t2|=.3 [配例4使用]在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:ρ2=,直线l:2ρsin=.(1)判断曲线C与直线l的位置关系,写出直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A,B,求|AB|的值.解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y=,与y轴的交点为P(0,),将P(0,)代入椭圆方程左边得0+<1,故点P(0,)在椭圆的内部,所以直线l与曲线C相交.直线l的参数方程为(t为参数).(2)由(1)知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的直角坐标方程为+=1,将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,得3+=15,即t2+2t-8=0,设点A,B对应的参数分别为t1,t2,则t2+t1=-2,t2t1=-8,所以|AB|===6.4 [配例4使用] [2018·岳阳一中月考]直角坐标系xOy中,直线l:(t为参数),曲线C1:(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ.(1)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|.解:(1)曲线C1:(φ为参数),化为普通方程是x2+(y-1)2=1,展开可得x2+y2-2y=0,可得其极坐标方程为ρ2-2ρsin θ=0,即ρ=2sin θ.曲线C2的极坐标方程为ρ=-2cos θ+2sin θ,即ρ2=ρ(-2cos θ+2sin θ),化为直角坐标方程是x2+y2=-2x+2y.(2)直线l:(t为参数),化为普通方程是y=-x,可得其极坐标方程是θ=(ρ∈R), ∴|OA|=2sin=,|OB|=-2cos+2sin=-2×+2×=4,∴|AB|=|OB|-|OA|=4-.。

课时规范练63坐标系与参数方程基础巩固组1.已知曲线C:=1,直线l:-(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.2.(2017辽宁大连一模,理22)已知在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l的参数方程为-(t为参数).(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)若曲线C2的参数方程为(α为参数),曲线C1上点P的极角为,Q为曲线C2上的动点,求PQ的中点M到直线l距离的最大值.〚导学号21500601〛3.(2017安徽马鞍山一模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数,α∈R),在以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρsin-.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.4.在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=求l的斜率.5.在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0) 其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.〚导学号21500602〛综合提升组6.(2017山西临汾三模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为---(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin-m.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.〚导学号21500603〛7.(2017山西太原二模)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ(tan αcos θ-sin θ)=1α为常数,0<α<π,且α≠,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.(1)求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.8.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.创新应用组9.(2017辽宁沈阳三模)已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C'的极坐标方程;(2)若过点A(,π )(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求的值.〚导学号21500604〛10.(2017河北邯郸二模)在极坐标系中,已知三点O(0,0),A,B.(1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;(2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为-(θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.-〚导学号21500605〛参考答案课时规范练63坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|,则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.2.解 (1)曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos θ,即ρ2=4ρcos θ,可得直角坐标方程:C1:x2+y2-4x=0.直线l的参数方程为-(t为参数),消去参数t可得普通方程:x+2y-3=0.(2)P,直角坐标为(2,2),Q(2cos α,sin α),M,∴M到l的距离d==,从而最大值为.3.解 (1)由-x2+(y-1)2=1,由ρsin-ρsin θ-ρcos θ=y-x=2,即C2:x-y+2=0.(2)∵直线x-y+2=0与圆x2+(y-1)2=1相交于A,B两点,又x2+(y-1)2=1的圆心(0,1),半径为1,故圆心到直线的距离d=-),∴|AB|=2-.4.解 (1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=)--.由|AB|=得cos2α=,tan α=±.所以l的斜率为或-.5.解 (1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立--解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0) 其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2α|=4-.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.6.解 (1)曲线C1的参数方程为消去参数,可得y=x2(-2≤x≤2)由ρsin-m,得ρsin θ-ρcos θ=m,所以曲线C2的直角坐标方程为x-y+m=0.可得x2-x-m=0,(2)由-∵曲线C1与曲线C2有公共点,∴m=x2-x=-.∵-2≤x≤2 ∴-≤m≤6.7.解 (1)曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),普通方程为+y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1,直角坐标方程为x tan α-y-1=0.(2)C2的参数方程为-(t为参数),代入+y2=1,得t2-2t sin α=0,∴t1+t2=,∴|AB|=,∵0<α<π,且α≠,∴sin α∈(0,1),∴|AB|max=,此时B的坐标为.8.解 (1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)=-.当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.9.解(1)C:=1,代入C的普通方程可得x'2+y'2=1,因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':ρ=1.(2)点A的直角坐标是A,将l的参数方程-代入x2+y2=1,可得4t2-6t+5=0,∴t1+t2=,t1·t2=,.10.解(1)将O,A,B三点化成直角坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).∴圆C1的圆心为(1,1),半径为,∴圆C1的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,将代入普通方程得ρ2-2ρcos θ-2ρsin θ=0,∴ρ=2sin.(2)∵圆C2的参数方程为--(θ是参数),∴圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆C2的圆心为(-1,-1),半径为|a|.∵圆C1与圆C2外切,∴2+|a|,解得a=±.。

Unit 4 Body languageⅠ.单项填空1．(2018·潍坊第一中学高三联考)At the class meeting, some top students introduced several ________ to the study of English.A．approaches B．meansC．methods D．ways解析：approach(es) to……的方法。

means 和 method 表达此意时常和 of 连用；way 可和 of 连用也可接 to do。

答案：A2．—She ________ her back to her friends when they turned to her for help.—That's the reason why she is lonely now.A．won B．turnedC．spy D．consult解析：句意：“当她的朋友们向她求助时，她背信弃义。

”“这就是她现在那么孤独的原因。

”turn one's back to 背对，背弃。

win...back 赢回……，重新获得……；spy 窥视，秘密监视；consult 咨询，请教，商量。

答案： B3．(2018·湖北孝感市统考)Don't blame them any more—this is ________ because they are still young and lack experience.A．exactly B．simplyC．eventually D．generally解析：simply 仅仅。

句意：不要再责备他们了——这只是因为他们年轻，缺乏经验。

exactly 的确；eventually 最终；generally 一般说来。

答案：B4．—Look, John's fallen asleep at work!—Oh, he must have ________ late last night.A．waken up B．put upC．taken up D．stayed up解析：考查动词短语辨析。

考点集训(六十二) 第62讲 曲线的参数方程及应用1．若直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为A .23B ．－23C .32D ．－322．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数) 被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长等于A .125B .1255C .925 D .91053．直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2t y ＝2t ＋42(其中t 为参数)，圆C 的极坐标方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 A . 2 B ．2 C . 3 D ．2 64．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ(0≤θ<π) 和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t 2y ＝t (t∈R )，它们的交点坐标为________________．5．已知圆C的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________________． 6．在极坐标系中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋ty ＝1＋2t (t 为参数)被曲线C ：ρ＝2cos θ所截得的线段长为____________________．7．直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝1＋sin θ，(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，则圆心C 的极坐标是________________．8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 经过点P ()2，2，倾斜角α＝π3.(1)写出圆的标准方程和直线l 的参数方程；(2)设l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||PA ||PB 的值．9．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22ty ＝a ＋22t(t 是参数)．(1)写出曲线C 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||AB ＝14，求a 的值．10．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2，y ＝2＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x ，y )，求x ＋23y 的最小值．第62讲 曲线的参数方程及应用【考点集训】 1．D 2.B 3.D4.⎝⎛⎭⎪⎫1，635.()x ＋12＋y 2＝2 6.4557.⎝⎛⎭⎪⎫2，π68．【解析】(1)圆的标准方程为x 2＋y 2＝16.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3y ＝2＋t sin π3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)把直线的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12ty ＝2＋32t代入x 2＋y 2＝16，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2＋32t 2＝16，即t 2＋2(3＋1)t －8＝0，所以t 1t 2＝－8，所以||PA ·||PB ＝||t 1t 2＝8.9．【解析】(1)由ρ＝4cos θ得：ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)(2)将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22ty ＝a ＋22t代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4化简得t 2＋2(a －1)t ＋a 2－3＝0，由根与系数的关系t 1＋t 2＝2(1－a )，t 1·t 2＝a 2－3.由直线参数方程的几何意义知||AB ＝||t 1－t 2＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝14， 代入得－2a 2－4a ＋14＝14 ，解得a ＝0或者a ＝－2.10．【解析】(1)l ：3x －y ＋2－3＝0，C ：x 2＋y 2＝1.(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2y ＝y ′，代入C 得，C ′：x 24＋y 2＝1. 设椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝sin θ(θ为参数),则x ＋23y ＝2cos θ＋23sin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则x ＋23y 的最小值为－4.。

高考数学一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程学案文含解析新人教A 版选修440729156第二节 参数方程2019考纲考题考情1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )。

①并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．直线的参数方程过定点P 0(x 0，y 0)且倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，则参数t 的几何意义是有向线段P 0P →的数量。

3．圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r ，以圆心为顶点且与x 轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角α为参数的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α(α为参数)α∈[0,2π)。

4．椭圆的参数方程以椭圆的离心角θ为参数，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)θ∈[0,2π)。

1．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围。

2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离。

一、走进教材1．(选修4－4P 26T 4改编)在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________。

高中数学《参数方程》精华知识点汇总1.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.（注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.）(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角∠XOM叫做点M的极角,记为.有序数对()叫做点M的极坐标,记作M().(注：一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标()表示;同时,极坐标()表示的点也是唯一确定的.)2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标()(),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(x,y) 极坐标()互化公式）在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限判断.例：把极坐标（6，转换为直角坐标。

例：将直角坐标（﹣，3）转换为极坐标。

点M 普通坐标(x,y) 极坐标()互化公式 =4.参数方程转化为普通坐标①相等代换：曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.例：②模型代换：例:。

高三数学参数方程试题答案及解析1.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数且），在以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线的极坐标方程为，则曲线与交点的直角坐标为__________．【答案】（2，2）【解析】由曲线的参数方程为（为参数且），消去参数得到曲线的普通方程为：；曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程得；由方程组：解得，（舍去），故曲线与交点的直角坐标为（2，2）．【考点】1．参数方程与普通方程的互化；2．极坐方程与直角坐标方程的互化；３．曲线的交点．2.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位,已知直线的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程。

（Ⅱ）设直线与曲线C相交于A，B两点，当a变化时，求的最小值【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4【解析】（Ⅰ）将两边乘以得，，将代入上式得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）将将直线的参数方程代入曲线C的普通方程中，整理关于t的二次方程，设M，N两点对应的参数分别为，利用一元二次方程根与系数将，用表示出来，利用直线参数方程中参数t的几何意义得，|AB|=，再转化为关于与的函数，利用前面，关于的表示式，将上述函数化为关于的函数，利用求最值的方法即可求出|AB|的最小值．试题解析：（Ⅰ）由,得所以曲线C的直角坐标方程为（4分）（Ⅱ）将直线l的参数方程代入,得设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则t 1+t2=,t1t2=,∴|AB|=|t1-t2|==,当时,|AB|的最小值为4 （10分）【考点】极坐标方程与直角坐标互化，直线与抛物线的位置关系，直线的参数方程中参数t的几何意义，设而不求思想3.直线与直线为参数）的交点到原点O的距离是（）A．1B．C．2D．2【答案】C【解析】将直线化普通方程为.解得两直线交点为，此交点到原点的距离为.故C正确.【考点】1参数方程和普通方程间的互化；2两点间的距离公式.4.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).【答案】(1)(2)(, ),(2, )【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程 , 即C1:.将代入得.所以C1的极坐标方程为.(2)C2的普通方程为 .由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为(, ),(2, )5.已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．设直线与轴的交点是,是曲线上一动点,求的最大值.【答案】【解析】首先将曲线的极坐标方程、直线的参数方程转化为直角坐标方程，可知，曲线是以为圆心，1为半径的圆，由直线的直角坐标方程得，令，可求出点的坐标，则点与圆心的距离可以求，从而可得曲线上的动点与定点的最大值为.试题解析：曲线的直角坐标方程为，故圆的圆心坐标为(0,1)，半径直线l的直角坐标方程, 令,得,即点的坐标为(2,0).从而,所以.即的最大值为。