等比数列课件-2

解:设y = kx + b 和17k+4b = 0 列方程组解得k=4 b=-17 所以函数为y=4x-17
2k+b,5k+b,4k+b 等比数列 有 (5k+b)^2 = (2k+b)(4k+b)化简得17k^2 + 4kb = 0
解得k=0 或者 17k+4b = 0，k=0经过简单检验不成立 f(8)=15 ，所以8k+b = 15
9．设{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，Cn＝ an＋bn，证明数列{Cn}不是等比数列．
证明 设{an}、{bn}的公比分别为 p、q，p≠0，q≠0， p≠q，Cn＝an＋bn. 要证{Cn}不是等比数列，只需证 C22≠C1·C3. 事实上，C22＝(a1p＋b1q)2＝a12p2＋b21q2＋2a1b1pq， C1C3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2) ＝a21p2＋b21q2＋a1b1(p2＋q2)， 由于 C1C3－C22＝a1b1(p－q)2≠0. 因此 C22≠C1·C3，故{Cn}不是等比数列．
7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的
5－1
正弦值是___2_____．
解析 设三边为 a，aq，aq2 (q>1)，
则(aq2)2＝(aq)2＋a2，∴q2＝
5＋1 2.
较小锐角记为 θ，则 sin θ＝q12＝
5－1 2.
三、解答题
8．等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝42，求 a5，
(2)证明 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝13(an－1)－13(an－1－1)，
得aan－n 1＝－12，又aa12＝－12，
所以{an}是首项为－12，公比为－12的等比数列． 总结 利用等比数列的定义aan＋n 1＝q (q≠0)是判定一个 数列是否是等比数列的基本方法．
变式训练 3 (2009·浙江)设 Sn 为数列{an}前 n 项和， Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中 k 是常数． (1)求 a1 及 an； (2)若对于任意的 m∈N*，am，a2m，a4m 成等比数列， 求 k 的值． 解 (1)由 Sn＝kn2＋n，得 a1＝S1＝k＋1， an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)． a1＝k＋1 也满足上式，所以 an＝2kn－k＋1，n∈N *. (2)由 am，a2m，a4m 成等比数列,得(4mk－k＋1)2＝(2km －k＋1)(8km－k＋1)， 将上式化简，得 2km(k－1)＝0，因为 m∈N*，
Sn=f(1)+f(2)+f(3)+……f(n) =4*(1+....+n)-17n =2n(n+1)-17n =2n^2-15n
自主探究 首项为 a1，公比为 q 的等比数列在各条件下的单调性 如下表：
a1
a1>0
a1<0
q范围 0<q<1 q＝1 q>1 0<q<1 q＝1 q>1
{an} 的单
变式训练 2 设{an}是由正数组成的等比数列，公比 q ＝2，且 a1·a2·a3·…·a30＝215，求 a2·a5·a8·…·a29 的值．
解 a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15 ＝215， ∴a1a30＝2. a2·a5·a8·…·a29 ＝ (a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17) ＝ (a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.
log3a45＝log33 34＝43.
4．一个数分别加上 20,50,100 后得到的三数成等比数
列，其公比为
5
4
A.3
B.3
(A)
3
1
C.2
D.2
解析 设这个数为 x， 则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得 x＝25， ∴这三个数为 45,75,125，公比 q 为7455＝53.
a7 的等比中项．
解 由题意可列关系式：
a1＋a1q＋a1q2＝168
①
a1q(1－q)(1＋q＋q2)＝42 ②
②÷①得：q(1－q)＝14628＝14，∴q＝12，
∴a1＝1＋1126＋8122＝1687×4＝96.
又∵a6＝a1q5＝96×215＝3，
∴a5，a7 的等比中项为 3.
分析 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman ＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．
解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9. ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95. ∴log3a1 ＋ log3a2 ＋ … ＋ log3a10 ＝ log3(a1a2…a9a10) ＝ log395＝5log39＝10.
∴q＝3(q＝－3 舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
3．在由正数组成的等比数列{an}中，若 a4a5a6＝3，
log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9 的值为
4 A.3
3 B.4
C．2
( A)
D．3
4 3
解析 ∵a4a6＝a25，∴a4a5a6＝a35＝3，得 a5＝313 . ∵a1a9＝a2a8＝a25， ∴log3a1 ＋ log3a2 ＋ log3a8 ＋ log3a9 ＝ log3(a1a2a8a9) ＝
，使
a2 n0 1
≠ an0
·an0 2 ，也可以用反证法．
3．等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1 共涉及 an，a1，
q，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个．
课时作业
一、选择题
1．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( B )
A．b＝3，ac＝9
B．b＝－3，ac＝9
解 由等比数列的定义知 a2＝a1q，a3＝a1q2 代入已知 得，
a1＋a1q＋a1q2＝7， a1·a1q·a1q2＝8，
⇒aa131(q13＋ ＝q8＋ ，q2)＝7，
⇒aa11(q1＝＋2q，＋q2)＝7，
① ②
将 a1＝2q代入①得 2q2－5q＋2＝0，
解得 q＝2 或 q＝12.
5．若正项等比数列{an}的公比 q≠1，且 a3，a5，a6 成
等差数列，则aa34＋ ＋aa56等于
( A)
5－1 A. 2
5＋1 B. 2
1 C.2
D．不确定
解析 a3＋a6＝2a5，∴a1q2＋a1q5＝2a1q4，∴q3－2q2 ＋1＝0，∴(q－1)(q2－q－1)＝0 (q≠1)，
∴q2－q－1＝0，∴q＝
三、等比数列的判断与证明 例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝13(an－1)
(n∈N*)． (1)求 a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
(1)解 由 S1＝13(a1－1)，得 a1＝13(a1－1)， ∴a1＝－12.又 S2＝13(a2－1)， 即 a1＋a2＝13(a2－1)，得 a2＝14.
由②得aq1＝＝21；，
a1＝4， 或q＝12.
当 a1＝1，q＝2 时，an＝2n－1；
当 a1＝4，q＝12时，an＝23－n.
二、等比数列性质的应用
例 2 已知{an}为等比数列． (1)若 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (2)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值．
当 q＝3 时，a1＝29，∴an＝29×3n－1＝2×3n－3. 综上，当 q＝13时，an＝2×33－n； 当 q＝3 时，an＝2×3n－3.
总结 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 中有四个量 a1， q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三 求一”．
变式训练 1 已知等比数列{an}，若 a1＋a2＋a3＝7， a1a2a3＝8，求 an.
4．对于正整数 m，n，p，q，若 m＋n＝p＋q，则等 比数列中 am，an，ap，aq 的关系是 am·an＝ap·a.q
5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即 aan＋n1＝q, (n∈N*) (用数学式子表示)．
题1：已知y=f(x)为一次函数，且f(2)，f(5)，f(4)成等比数列，其中f(8)=15，求 Sn=f(1)+f(2)+f(3)+……f(n)的表达式
5＋1 2
(q＝1－2
5 <0
舍去)，
∴aa34＋ 3 的等比数列的第 n 项是 48，第 2n－3 项
是 192，则 n＝____5____.
解析 设公比为 q，则33qqn2－ n－14＝＝41892 ⇒qqn2－ n－14＝＝1664 ⇒q2＝4，得 q＝±2.由(±2)n－1＝16，得 n＝5.
减
调性
常数列 递增 递增 常数列 递减
对点讲练
一、等比数列通项公式的应用 例 1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝230，求{an}
的通项公式．
分析 可根据条件先求出基本量 a1 及公比 q，再写出 通项公式．
解 设等比数列{an}的公比为 q，则 q≠0. a2＝aq3＝2q，a4＝a3q＝2q，∴2q＋2q＝230. 解得 q1＝13，q2＝3. 当 q＝13时，a1＝18，∴an＝18×13n－1＝2×33－n.
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
解析 ∵b2＝(－1)×(－9)＝9 且 b 与首项－1 同号， ∴b＝－3，且 a，c 必同号．