计算物理(0)

第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t 춶=ﶶïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。

计算物理学练习题及参考解答(总12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--计算物理学练习题及参考解答1．计算物理学的英文表示：computatioal physics 或者computer physics2．什么是计算物理学它与理论物理、实验物理有什么区别和联系答：计算物理是指以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。

计算物理方法是除理论方法和实验方法之外的第三种研究手段，计算物理现已成为物理学研究的三大支柱之一，它与实验物理和理论物理的关系如下图：3．计算物理学是物理学、数学、计算机科学三者结合的产物，它也是物理学的一个分支，与理论物理、实验物理有着密切的联系。

4．计算机在物理学中有哪些应用？答：计算机数值分析、计算机符号处理、计算机模拟、计算机实时控制5．计算机技术有各种各样的算法，可以概括为最基本的两类：串行计算和并行计算。

6．理论物理在实际计算中遇到许多困难：非线性问题求解和非对称问题的求解；自变量较多问题求解；非规则界面问题求解等。

7．计算物理的优点有：省时省钱；具有更大的自由度和灵活性；能够模拟极端条件下的实验。

8．第一原理方法是基于量子力学基本原理建立起来的；分子动力学方法是基于经典力学基本原理建立起来的；蒙特卡罗方法是基于统计力学基本原理建立来的。

9．计算机模拟一般有哪两种类型？答：随机模拟和确定性模拟，比如蒙特卡罗模拟和分子动力学模拟。

10．什么是蒙特卡罗模拟？它的应用一般有哪三种形式？答：通过不断产生随机数序列来模拟过程。

直接蒙特卡罗模拟、蒙特卡罗积分、Metropolis 蒙特卡罗模拟。

11．蒙特卡洛方法的理论依据答：（1）大数法则：人们发现，在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。

第1章：绪论【1.2】设准确值为* 3.78694x =，*10y =，取它们的近似值分【1.1】按有效数字的定义，从两个方面说出1.0,1.00,1.000的不同含义【解】1.0,1.00,1.000的有效数字分别是两位，三位和四位；绝对误差限分别是0.05，0.005和0.0005别为123.7869, 3.780x x ==及129.9999, 10.1y y ==，试分析1212,,,x x y y 分别具有几位有效数字。

【解】*10.000040.00005x x -=<，1x 有5位有效数字；*20.006940.005x x -=>，2x 有2位有效数字；*10.000010.0005y y -=<，1y 有4位有效数字*2||0.10.5y y -=<，2y 有2位有效数字【1.3】（1）设p 的近似数有4位有效数字，求其相对误差限。

（2）用22/7和355/113作为 3.14159265p =L 的近似值，问它们各有几位有效数字？【解】（1）其绝对误差限是0.0005，则相对误差限为0.0005/3.1420.01591%r E ==（2）22/7 3.142857...=，有3位有效数字；355/113 3.14159292...=，有7位有效数字。

【1.4】试给出一种算法计算多项式32216180x a x a x a ++的函数值，使得运算次数尽可能少。

【解】24816328163281632012012,,,,x x x x x a x a x a x a x a x a x Þ++=++，总共8次乘法，两次加法【1.5】测量一木条长为542cm ，若其绝对误差不超过0.5cm ，问测量的相对误差是多少？【解】相对误差为0.5/5420.09%Î==【1.6】已知 2.71828e =L ，试问其近似值1232.7, 2.71, 2.718x x x ===各有几位有效数字？并给出他们的相对误差限。

* 计算物理1.1* @π值计算(通过行列式计算)* @姓名:雷闽松20092200111*/public class Evaluatepi {/*** 已知:πκ=π∞+c1/κ+c2/κ^2+c3/κ^3+...* π8 = 3.313708,π16 = 3.182598,π32 =3.151725,π64 = 3.144118** 近似:πκ≈π∞+c1/κ+c2/κ^2+c3/κ^3** 因此，通过求4个未知量的线性方程组:* c1/8+c2/64+c3/512+π∞ = 3.313708* c1/16+c2/256+c3/4096+π∞ = 3.182598* c1/32+c2/1024+c3/32768+π∞ = 3.151725* c1/64+c2/4096+c3/262144+π∞ = 3.144118* 的系数行列式即可求得c1,c2,c3和π** 系数行列式:* {* {1.0/8, 1.0/64, 1.0/512, 1},* {1.0/16, 1.0/256, 1.0/4096, 1},* {1.0/32, 1.0/1024, 1.0/32768, 1},* {1.0/64, 1.0/4096, 1.0/262144,1}* }*/public static void main(String[] args){double D = envaluate(new data().xxxx);double[][] temp = new double[4][4];double[] result = new double[4];for(int i=0;i<4;i++){System.arraycopy(new data().xxxx, 0, temp, 0, 4);temp[0][i] = 3.061467;temp[1][i] = 3.121445;temp[2][i] = 3.136548;temp[3][i] = 3.140331;double Di = envaluate(temp);result[i] = Di/D;}System.out.println("当π8=3.061467,π16=3.121445,π32=3.136548,π64=3.140331时:");System.out.println(" c1的值:"+result[0]);System.out.println(" c2的值:"+result[1]);System.out.println(" c3的值:"+result[2]);System.out.println(" π的值:"+result[3]);for(int i=0;i<4;i++){System.arraycopy(new data().xxxx, 0, temp, 0, 4);temp[0][i] = 3.313708;temp[1][i] = 3.182598;temp[2][i] = 3.151725;temp[3][i] = 3.144118;double Di = envaluate(temp);result[i] = Di/D;}System.out.println("\n然而当π8=3.313708,π16=3.182598,π32=3.151725,π64=3.144118时:");System.out.println(" c1的值:"+result[0]);System.out.println(" c2的值:"+result[1]);System.out.println(" c3的值:"+result[2]);System.out.println(" π的值:"+result[3]);System.out.println("\n由此可见第一组数据更合理。

第一章绪论1.1 计算物理的性质是什么？试举例说明计算物理在哪些学科中有重要应用？计算物理是指以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法解决复杂物理问题的一门应用科学。

（1）计算物理是用计算机作为实现手段的实验物理或“计算机实验”。

（2）计算物理是一门新型的边缘学科，物理学、数学、计算机科学三者结合的产物。

计算物理在物理学中有很多应用，概括起来主要有四个方面：（1）计算机数值分析：通常在物理研究中，我们从已知的物理规律出发得到描写物理过程的抽象数学公式后，最后或许要作数值求解以便与实验结果对照或作为实验的参考数据。

例如：中子输运问题（2）计算机符号处理：利用计算机的符号处理系统进行解析计算、公式的推导和高精度的数值计算。

例如：多重不定和定积分；（4）计算机实时控制：使物理实验可以在没有人在场的情况下自己监测设备的正常运行，自动采集和分析实验数据。

（4）计算机模拟，利用计算机进行的物理实验或“计算机模拟实验”，例如：第一性原理、分子动力学模拟、蒙特卡罗模拟。

1.2 试阐述计算机模拟方法与理论、实验方法相比有什么特殊的优点和局限性。

：优点：1.省时省钱 2. 具有更大的自由度和灵活性 3. 能够模拟极端条件下的试验。

缺点：1.不能获得物理定律和理论公式 2. 计算结果缺乏严格的论证，其结果仍需要试验验证。

1.3 试阐述计算物理学和实验物理及理论物理的关系？计算物理方法是除理论方法和实验方法之外的第三种研究手段，计算物理现已成为物理学研究的三大支柱之一，它与实验物理和理论物理的关系如下图：1.5并行计算有什么优点？１.并行计算可以大大加快运行速度，即在短的时间内完成相同的计算量，或解决原来不能计算的非常复杂的问题，２. 提高传统的计算机的速度一方面受到物理上光速极限和量子效应的限制，另一方面计算机器件的产品和材料的生产受到加工工艺的限制，其尺寸不可能做得无限小，因此我们只能转向并行算法。

３. 并行计算对设备的投入比较低，既可以节省开支又能完成任务。

5.1 计算物理学第５章：微分方程课后习题答案初值问题【5.1.1】采用euler 方法求初值问题'2/, 01(0)1y y x y x y =-££ìí=î【解】取0.1h =，1(,)(2/)n n n n n n n n y y hf x y y h y x y +=+=+-x0.00.10.20.3y 1.000 1.1000 1.1918 1.2774【5.1.2】用euler 预测-校正公式求初值问题22', (0)1y x y y ì=-í=î【解】取0.1h =，1(,)n n n n y y hf x y +=+111(,)n n n n y y hf x y +++=+1000(,)0.9y y hf x y =+=221011(,)10.1(0.10.9)0.92y y hf x y =+=+´-=【5.1.3】用euler 公式和梯形公式建立的预测-校正公式求初值问题'23, 0(0)1y x y x y =+£ìí=î取0.1h =，(1)求(0.1)y ;(2)编程计算0:0.01:2x =【解】1111(,)1[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y y y h f x y f x y ++++=+=++10001000110.1(23) 1.30.05[(23)(23)]1.355y y x y y y x y x y =++==++++=【5.1.4】用显式Euler 方法，梯形方法和预估-校正Euler 方法给出求初值问题1,01(0)1d y y x x dx y ì=-++<<ïíï=î的迭代公式（取步长0.1h =）【解】取0.1h =，,0,1,k x kh k ==L ，（1）显式Euler 方法12(,)(1)(1)k k k k k k k y y hf x y y h y kh y h kh h+=+=+-++=-++1911010010k k k y y +=++（2）梯形方法为1121()2(2)(21)2219112110510k k k k k k k h y y f f h y k h h y hy k +++=++-+++=+=++（3）预估-校正Euler 方法为1111(,)[(,)(,)],20,1,,1x k k k k k k k k k k k y y h f x y h y y f x y f x y k n ++++=+ìïï=++íï=-ïîL 221(1/2)(/2)0.9050.00950.1k k k y y h h kh h h hy k +=-++-+=++【5.1.5】考虑下面初值问题2'''(0)1;'(0)2y y y t y y ì=-++í==î使用中点RK2，取步长0.1h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.1t h =='y u y æö=ç÷èø，012u æö=ç÷èø，2''(,)'y u f t u y y t æö==ç÷-++èø，1002(,)1k f t u æö==ç÷èø，2001212 1.111(,)(0.05,0.05)(0.05,)21 2.0522 2.05 2.050.891.1 2.050.05k f t h u hk f f æöæöæö=++=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèøæöæö==ç÷ç÷-++èøèø102 1.2052.089u u hk æö=+=ç÷èø，1(0.1) 1.205y y ==【5.1.6】考虑下面初值问题2'''2''(0)1;'(0)0,''(0)2y y y t y y y ì=++í===-î使用中点RK2，取步长0.2h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.2t h ==取表示符号'''y u y y æöç÷=ç÷ç÷èø，2''(,)''2''y u f t u y y y t æöç÷==ç÷ç÷++èø，0102u æöç÷=ç÷ç÷-èø，010002000'()0(,)''()262()''()y t k f t u y t y t y t t æöæöç÷ç÷===-ç÷ç÷ç÷ç÷++èøèø200121011(,)(0.1,00.12)2226 10.20.2(0.1,0.2) 1.4 1.41.4 3.9721( 1.4)0.1k f t h u hk f f æöæöç÷ç÷=++=+-ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøæö--æöæöç÷ç÷ç÷=-=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-´+-èøèøèø1020.960.281.206u u hk æöç÷=+=-ç÷ç÷-èø，(0.2)0.96y =【5.1.7】采用Rk4编程求下列微分方程的初值问题：（1）23'1, (0)0y y x y =++=（2）2'2(1), (1)2y y x y =+--=（3）'', ()0,'()3y y y y p p =-==【5.1.8】求下面微分方程组的数值解2323'2'4(0)1,(0)0x x y t t t y x y t tx y ì=-+--ï=+-+íï==î补充题【5.1.1】对微分方程'(,)y f x y =用Sinpson 求积公式推出数值微分公式【解】{}111111111'(,)4(,)(,)3n n x n n n n n n n n x y dx y y h f x y f x y f x y +-+---++=-=++ò【5.1.2】用标准的4阶龙格库塔方法求初值问题',(0)1y x y y =+ìí=î，取0.1h =，计算出(0.2)y 【解】()1123422/6i i y y h k k k k +=++++1213243(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)i i i i i i i i k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ==++=++=++'(,)y f x y x y ==+，00(,)(0,1)x y =100200130024003(,)1(/2,/2) 1.1(/2,/2) 1.105(,) 1.2105k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()10123422/6 1.1103y y h k k k k =++++=，11(,)(0.1,1.1103)x y =111211*********(,) 1.2103(/2,/2) 1.3208(/2,/2) 1.3263(,) 1.4429k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()2112342(0.2)22/6 1.2428y y y h k k k k y ==++++==然后由22(,)(0.2,1.2428)x y =计算3(0.3)y y =，。

绪论计算物理的起源与发展¾1981年3月, 哈佛大学W. H. Press教授等向美国NSF等提交了发展计算物理学的计划书, 标志着计算物理学进入成熟发展阶段；计算物理的应用数值分析与数值模拟；符号计算( Mathematica, Matlab, Maple等)；利用计算机的符号处理系统进行解析计算、公式推导和高精度的数值计算；物理实验的计算机模拟；利用计算机模拟物理实验, 已成为继理论和实验方法外物理学研究的第三种手段；计算机实时控制控制系统运行仪器状态监视第一性原理方法上世纪20 年代，在Schrodinger 给出非相对性波动方程后，原则上应该可以计算出原子和分子的电子态。

但是，可以解析求解的系统仅限于氢原子，而由两个氢原子的氢分子和两个电子加两个质子组成的氦原子就已经无法求解了。

在统计物理的平均场近似的思路下，Hartree 和Fock 提出了广泛应用于物理化学的Hartree-Fock 方法。

它利用自洽理论，在大量迭代中得到收敛的结果，是处理分子中的多电子体系的实用而成功的数值方法。

但随着电子数的增加，该方法的计算难度也大大增加。

Hohenberg 和Sham 在1964 年提出了一个重要的计算思想，证明了电子能量由电子密度决定。

因而可以通过电子密度得到所有电子结构的信息而无需处理复杂的多体电子波函数，只用三个空间变量就可描述电子结构，该方法称为电子密度泛函理论。

按照该理论，粒子的Hamilton 量由局域的电子密度决定，由此导出局域密度近似方法。

多年来，该方法是计算固体结构和电子性质的主要方法，将基于该方法的自洽计算称为第一性原理方法。

三位计算机设计大师的贡献H. Aiken (1900-1973)哈佛大学的博士研究生毕业。

因做博士论文涉及到空间电荷传导问题的计算，1937年提出方案，1939年得到IBM资助，1944年建成投入使用。

这是继电式计算机－Mark IJ. W. Manchly (1907-1980)宾夕法尼亚物理博士，因从事天气预报需要想设计计算机，1942年提出计算机方案，1945年底竣工。

初中物理计算公式整理
初中物理是一门基础科学课程，其中包含了许多与物质和能量有关的知识。

为了方便学习和记忆，我们可以将一些常见的物理计算公式整理起来。

下面将介绍初中物理中的力学、热学、光学、电学和声学等方面的常见计算公式。

一、力学部分：
1.速度公式：
速度=距离/时间或速度=变位/变时间
2.加速度公式：
加速度=（末速度-初速度）/时间
3.位移公式：
位移=速度×时间或位移=0.5×加速度×时间²
4.力的公式：
力=质量×加速度
5.牛顿第二定律：
力=质量×加速度
6.动能公式：
动能=0.5×质量×速度²
7.动能定理：
动能变化=力×位移
8.合力公式：
合力=质量×加速度
二、热学部分：
1.热量公式：
热量=质量×比热容×温度变化
2.热量传递公式：
热量传递=热传导率×横截面积×温度差/厚度
三、光学部分：
1.距离公式：
距离=速度×时间
2.光速公式：
光速=距离/时间
3.光程公式：
光程=光速×时间
四、电学部分：
1.电压公式：
电压=电流×电阻
2.电流公式：
电流=电量/时间3.电量公式：
电量=电流×时间4.电阻公式：
电阻=电压/电流
五、声学部分：
1.声速公式：
声速=频率×波长2.频率公式：
频率=声速/波长。

4.1数值第４章数值微分与积分微分【4.1.1】已知x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y12.182513.463714.879716.444618.1741（1）用前差、后差和中心差求 2.7x =的一阶导数值（2）用中心差求 2.7x =的二阶导数值【4.1.2】用泰勒展开()()()()()()()2312!3!i i i i i f x f x f x f x f x x x x +¢¢¢¢¢¢=+D +D +D +K\*MERGEFORMAT (1.1)()()()()()()()2312!3!i i i i i f x f x f x f x f x x x x -¢¢¢¢¢¢=-D +D -D +K\*MERGEFORMAT (1.2)（1）推导微分公式()()()()1i i i f x f x f x O x x+-¢=+D D ()()()()1i i i f x f x f x O x x--¢=+D D ()()()()2112i i i f x f x f x O x x+--¢=+D D ()()()()()()1122i i i i f x f x f x f x O x x +--+¢¢@+D D 另外：()()()()()()()()()()111112''2i i i i i i i i i i f x f x f x f x f x f x h h f x h h f x f x f x h +-++-----¢¢»=-+=【4.1.3】采用泰勒展开方法确定下列数值微分公式0000(,)()()(2)x h af x bf x h cf x h f =++++提示：取00(,)'()x h f x f =，00(,)''()x h f x f =【解】2300001()()'()''()()2f x h f x hf x h f x O h +=+++230000(2)()2'()2''()()f x h f x hf x h f x O h +=+++00023000()()(2)1()()(2)'()(2)''()max(,,)()2af x bf x h cf x h a b c f x b c hf x b c h f x a b c O h ++++=+++++++如果：（1）取00(,)'()x h f x f =，则有关系：210; (2)1; (2)02a b c b c h b c h ++=+=+=得到：123,,c b a =-==-（2）取00(,)''()x h f x f =，则有关系：210; (2)0; (2)12a b c b c h b c h ++=+=+=得到：222121,,c b a ==-=【4.1.4】（1）二阶微分写为：11/2211/21/22()2()()''()(/2)()2()()''()(/2)j j j j j j j j f x f x f x f x h f x f x f x f x h +++++-+=-+=\*MERGEFORMAT (1.3)有什么区别（2）1/2111/2211/2()()'(()()/)'()/2''(2)()2()()/2j j j j j j j j j j f x f x f x f x h f f x f x x h hf x f x f x h h ++++++---==-=-+\*MERGEFORMAT (1.4)结果对否，为什么？【解】对于（1.3）式23111()()'()''()'''()26j j j j j f x f x hf x h f x h f x +=++++L \*MERGEFORMAT (1.5)231/2111()()'()(/2)''()(/2)'''()226j j j j j f x f x hf x h f x h f x +=++++L \*MERGEFORMAT (1.6)将2(1.6)(1.5)´-,得，（非对称，一阶精度），对称，二阶精度）对于（1.4）式应该是1/2111/221()()()()'()'()/2''()()2()()/4j j j j j j j j j j f x f x f x f x h f f x f x x hhx f hf f x x h +++++--=--==-+\*MERGEFORMAT (1.7)11'()()()j j j f x f x f x h++=-,即差分定义要围绕j x 点，而（1.4）式中1'()j f x +的下一步定义111/2()('())/2j j j f x f x f x h +++-=与j x 点无关，结果是错的。

物理学中的功和功率的计算在物理学中，功和功率是两个重要的概念，用来描述物体在运动过程中的能量转换和能量变化速率。

下面将介绍功和功率的计算方法及其应用。

一、功的计算功（Work）是描述物体在力的作用下沿着位移方向移动所做的功或者说是物体受到的力产生的能量转化。

功的计算公式为：功 = 力 ×位移× cosθ其中，力的大小单位为牛顿（N），位移的长度单位为米（m），角度θ为力和位移之间的夹角。

如果力的方向与位移方向相同，夹角为0度，则功为正；如果力的方向与位移方向相反，夹角为180度，则功为负。

例如，一个物体受到10N的力沿着水平方向移动了5米，且力的方向与位移方向相同，则该物体所做的功为：功 = 10N × 5m × cos0° = 50J（焦耳）二、功率的计算功率（Power）是指单位时间内所做的功或能量的转化速率。

功率的计算公式为：功率 = 功 ÷时间其中，功的单位为焦耳（J），时间的单位为秒（s），功率的单位为瓦特（W）。

例如，一个电灯泡在10秒内消耗了100焦耳的电能，则该电灯泡的功率为：功率 = 100J ÷ 10s = 10W三、功和功率的应用1. 功和功率在机械工作中的应用功和功率常常用于描述机械力学中的工作和运动。

例如，一个起重机在10分钟内将一个重物从地面提升至20米高的高度，假设重物的质量为100千克，则可以通过计算功和功率来评估这个起重机的性能和效率。

根据定义，起重机所做的功等于重力乘以垂直位移：功 = 重力 ×位移 = m × g × h其中，m为重物的质量，g为重力加速度，h为位移的高度。

假设重力加速度为9.8米/秒²，将质量和高度带入公式计算出功。

功率则可以根据功和时间的关系计算出来：功率 = 功 ÷时间通过这样的计算，我们可以了解起重机所做的功和功率，从而评估其工作效率以及是否适合特定的工作任务。