江苏省泰州中学高三数学提优讲义(教师版)函数(1)

★★专题三★★ 不等式【基础知识强化】1．已知集合A ＝{}0，1，B ＝{}a 2，2a ，其中a ∈R .定义A ×B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若集合A ×B中的最大元素为2a ＋1，则a 的取值范围是________． 【答案】(0,2)2．设123log 2,ln2,5a b c -===则c b a ,,三者的大小关系 ．【答案】c a b <<3．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0”．给出如下一种解法：【解析】由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c ＞0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1＜0的解集为________． 【答案】(－3，－1)∪(1,2)4．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于 ． 【答案】45．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤；≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥； ⑤112a b+≥【答案】 ①，③，⑤6．对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【答案】a ≥157．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________．【答案】2338．已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______．（答案用区间表示）【答案】（3，8）9．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y ＋n ＝0上，则4m ＋2n的最小值为________． 【答案】2 210．已知点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 中点M (x 0，y 0)满足y 0＞x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫－12，－15 11．若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k =______.【答案】7312．若不等式(－1)n -1(2a －1)＜n )23(对一切正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎭⎫－58，54 13．已知x ∈(0，π)，则函数f (x )＝1＋cos x ＋8sin 2x2sin x 的最小值为________．【答案】414．已知实数x ，t ，满足8x ＋9t ＝s ，且x ＞－s ，则x 2＋(s ＋t )x ＋st ＋1x ＋t 的最小值为________．【答案】6【典型例题精讲】〖例1〗为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热屋建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系式：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．【解析】(1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用C 1(x )＝6x . 故f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)由f (x )＝2)55353400(-+++x x ≥2(2400－5)＝70，当且仅当4003x ＋5＝3x ＋5，即x ＝5时等号成立，得f (x )min ＝70.当隔热层修建为5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．〖例2〗设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3.由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 恒成立，得m <0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0.故0<x 1<x 2.对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，所以f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0. 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0. 于是当m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0. 〖例3〗已知函数f (x )＝sin x ＋cos x 和g (x )＝2sin x ·cos x . (1)若a 为实数，试求函数F (x )＝f (x )＋ag (x )，x ∈[0，π2]的最小值h (a )；(2)若对任意x ∈[0，π2]，使|af (x )－g (x )－3|≥12恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】(1)F (x )＝f (x )＋ag (x )＝sin x ＋cos x ＋2a sin x cos x .设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x cos x ＝t 2－1，所以φ(t )＝t ＋a (t 2－1)＝at 2＋t －a ， 由x ∈[0，π2]，得t ∈[1，2]．若a ＝0，则h (a )＝φ(1)＝1；若a ＞0，则φ(t )＝a ⎝⎛⎭⎫t ＋12a 2－a －14a ，因为t ＝－12a ＜0， 所以φ(t )在[1，2]上单调递增，所以h (a )＝φ(1)＝1；若a ＜0，则当－12a ≤1＋22，即a ≤1－2时，h (a )＝φ(2)＝a ＋2；当－12a ＞1＋22，即1－2＜a ＜0时，h (a )＝φ(1)＝1.综上所述，h (a )＝⎩⎨⎧1， a ＞1－2，a ＋2，a ≤1－2，(2)由|af (x )－g (x )－3|≥12，得|a (sin x ＋cos x )－2sin x cos x －3|≥12.设t ＝sin x ＋cos x ，则2sin x cos x ＝t 2－1，且由x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得t ∈[1，2]． 所以|at －t 2－2|≥12恒成立，即t 2－at ＋2≤－12或t 2－at ＋2≥12恒成立．由t 2－at ＋2≤－12，得a ≥t ＋52t ，因为t ∈[1，2]，且t ＋52t 在[1，2]上递减，所以t ＋52t ≤72，所以a ≥72.由t 2－at ＋2≥12，得a ≤t ＋32t .因为t ∈[1，2]，所以t ＋32t≥2t ·32t ＝6，当且仅当t ＝32t ，即t ＝62时等号成立，所以a ≤ 6. 综上所述a ≤6或a ≥72.〖例4〗某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1)该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值． (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的 距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若 电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α—β最大？【解析】(1)由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋htan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.(2)由题设知d ＝AB ，得tan α＝H d .由AB ＝AD －BD ＝H tan β－htan β，得tan β＝H －h d ，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝h d ＋H (H －h )d≤h 2H (H －h ).当且仅当d ＝H (H －h )d ，即d ＝H (H －h )＝125×(125－4)＝555时，上式取等号，所以当d ＝555时tan(α－β)最大．因为0＜β＜α＜π2，则0＜α－β＜π2，所以当d ＝555时，α－β最大．故所求的d 是55 5 m. 【创新试题集锦】1．若实数x 、y 、m 满足x m y m --＞，则称x 比y 远离m .若21x -比1远离0，则x 的取值范围是 .【答案】),2(2,+∞-∞- ）（2. 若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝by 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝4x ＋91－2x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎭⎫0，12的最小值为________．【答案】353．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＜0，则关于x 的不等式f (mx 2)－2f (x )＞f (m 2x )－2f (m )(0＜m ＜2)的解集为________． 【答案】⎭⎬⎫⎩⎨⎧><m x m x x 2或 4．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，则c 的最大值为________．【答案】2－log 235. 设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤b n +1＋1.解：(1)(ⅰ)若b ＝1，则a 1＝1，a n ＝na n －1a n －1＋(n －1)(n ≥2)，则n a n＝a n －1＋(n －1)a n －1＝1＋n －1a n －1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是首项为1，公差为1的等差数列，∴na n ＝n ，∴a n ＝1.(ⅱ)若b ≠1，则a n n ＝ba n －1a n －1＋(n －1)，∴n a n ＝1b ＋1b ·n －1a n －1，∴n a n －1b －1＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1a n －1－1b －1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n a n －1b －1是首项为－1b (b －1)，公比为1b 的等比数列，∴n a n －1b －1＝－1b (b －1)·⎝⎛⎭⎫1b n －1，∵n a n ＝1b －1－1b (b －1)·⎝⎛⎭⎫1b n －1，∴a n ＝n (b －1)b nb n －1.(2)证明：当b ＝1时，2a n ＝2≤2成立.当b ≠1时，a n ＝n (b －1)b n b n －1＝nb 1－⎝⎛⎭⎫1b n 1－1b ＝nb1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1， 要证2a n≤b n ＋1＋1，只要证a n ≤b n ＋1＋12，只要证nb 1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n－1≤b n ＋1＋12即证2nb ≤(bn ＋1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1.∵(bn ＋1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1＝b n ＋1＋b n ＋…＋b 2＋1＋1b ＋1b 2＋1b n －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1＋1b n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1b n －2＋…＋(b 2＋1)≥＝2nb .∴2nb ≤(b n +1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋1b ＋1b 2＋…＋1b n －1，从而2a n ≤b n +1＋1成立． 6. 已知函数2()log f x x =.（1）当)(]33,3(N m m m x ∈+∈时，定义)3()(m x f x g -=. 设)(n g n a n ⋅=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求1a 、2a 、3a 、4a 和n S 3；（2）对于任意a 、b 、[,)∈+∞c M ，且a b c ≥≥. 当a 、b 、c 能作为一个三角形的三边长时，()f a 、()f b 、()f c 也总能作为某个三角形的三边长，试探究M 的最小值.【解析】(1) 若1(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴(1)(1)0f ϕ==，∴1100a =⨯= 若2(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴(2)(2)1f ϕ==，∴2212a =⨯= 若3(3,33]m m ∈+，∴0m =，∴2(3)(3)log 3f ϕ==，∴323log 3a = 若4(3,33]m m ∈+，∴1m =，∴(4)(1)0f ϕ==，∴4400a =⨯= 当31()n m m N =+∈时，()(3)(1)0n f n m f ϕ=-==，∴00n a n =⨯= 当32()n m m N =+∈时，()(3)(2)1n f n m f ϕ=-==，∴1n a n n =⨯= 当33()n m m N =+∈时，2()(3)(3)log 3n f n m f ϕ=-==，∴2log 3n a n =3log 23321323log )3963(1)13852(3log 315043log 312012222343213⨯⨯++⨯-+=+++++⨯-++++=++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++=n nn n n n n a a a a a S nn []3log )33(1322+++=n n n(2) 由题意知，c b a +> 若(),(),()f a f b f c 能作为某个三角形的三边长222log log log c b a bc a ⇔+>⇔>又：(1)(1)1bc b c b c ≥+⇔--≥当2,2b c ≥≥时，有(1)(1)1b c --≥成立，则一定有bc a >成立.,1,0log 2>∴>c c 即10≤<M 不合题意.又当21<<M 时，取2,,b M c M a M ===，有2M M M +>,即b c a +>，此时,,a b c 可作为一个三角形的三边长，但22222log log 2log log M M M M +==，即()()()f b f c f a +=，所以()f a 、()f b 、()f c 不能作为三角形的三边长.综上所述，M 的最小值为2.解法2：a b c ≥≥，由题意知，b c a +>若(),(),()f a f b f c 能作为某个三角形的三边长222log log log b c a ⇔+>bc a ⇔> 设1a c p =+ , 2b c p =+ 120p p ≥≥若1200p p =⇒=，则1a b c ==>，(),(),()f a f b f c 显然能作为某个三角形三边长 若10p ≠，由（1）知12c p p >-.由(2)知bc a >⇒12c p a c b c p +>=+1221p p c p -=++ 而21c p p +>，则1212210p p p p c p p --≤≤⇒+121222111122p p p p pc p p p --≤<+=-≤+故：2c ≥。

第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

抽象函数与分段函数一、填空题1．设是已知平面上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记的象为。

若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则称为平面上的线性变换。

现有下列命题：①设是平面上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+②若是平面上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则是平面上的线性变换； ③对,()a V f a a ∈=-设，则是平面上的线性变换；④设是平面上的线性变换，a V ∈，则对任意实数均有()()f ka kf a =。

其中的真命题是 （写出所有真命题的编号） 【答案】①③④【解析】①：令1==μλ，则)()()(b f a f b a f +=+故①是真命题 同理，④：令0,==μλk ，则)()(a kf ka f =故④是真命题 ③：∵a a f -=)(，则有b b f -=)()()()()()()(b f a f b a b a b a f μλμλμλμλ+=-⋅+-⋅=+-=+是线性变换，故③是真命题②：由e a a f +=)(，则有e b b f +=)(e bf a f e e b e a e b a b a f -+=-+⋅++⋅=++=+)()()()()()(μλμλμλμλ ∵是单位向量，≠0，故②是假命题2．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]()(0f x m m =＞）-8，8]上有四个不同的根1,234,,,x x x x 则1234x x x x +++= （-8）3．已知函数x x x f tan sin )(+=项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d 若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________时，0)(=k a f （14）4．设{}表示离最近的整数，即若x m <-21≤21+m m ∈Z ，则{} = m ．给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题：①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2kx =∈Z 对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1； ④函数)(x f y =是连续函数，但不可导． 其中真命题是 __________ ． 答案：①②③④5．对于函数f 定义域中任意的1，2（1≠2），有如下结论：①f 1＋2=f 1·f 2；② f 1·2=f 1f 2； ③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<当f =g 时，上述结论中正确结论的序号是答案：②、③6．某纺织厂的一个车间有n （n >7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a ，说明：___ ． 答案：1；编号为3的工人操作了2台织布机． 7．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a b b a R b a **,,=∈；②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈，则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 答案：5；38．已知函数()f x 满足：()()()f p q f p f q +=⋅，(1)3f =，则2(1)(2)(1)f f f +＋2(2)(4)(3)f f f +＋2(3)(6)(5)f f f +＋2(4)(8)(7)f f f +＝答案：249．已知函数()()2,2224x f x f x x +⎧⎪=+⎨⎪-⎩1,111.x x x ≤--<<≥，则()2008f f -=⎡⎤⎣⎦ 。

第二章函数基础知识梳理一、函数：1.函数的近代定义：如果A、B都是非空．．数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A 到B的函数，记作y=f (x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f (x)的定义域，象集合C（C B）叫做函数y=f (x)的值域.函数的三要素是：、、 .⒊函数的表示法：解析法、列表法、图象法.⒋关于区间的概念：⑴满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为；⑵满足不等式a＜x＜b的实数x的集合叫做开区间，表示为；⑶满足不等式a≤x＜b或a＜x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为或 .以上的实数a与b都叫做相应区间的端点.⒌函数解析式的求法：⑴换元法；⑵待定系数法.⒍求函数定义域的主要依据：⑴分式中的分母不为0；⑵偶次根式的被开方数不小于零；⑶对数的真数大于零；⑷零指数幂的底数不等于零；⑸指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；⑹对于应用问题，要注意自变量所受实际意义的限制.⒎求函数值域的方法有：⑴配方法；⑵换元法；⑶判别式法；⑷单调性法；⑸基本不等式法；⑹数形结合法；三、函数的单调性：⒈函数单调性的定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f (x1)＜f (x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是增函数. 这个区间叫增区间.如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时, 都有f (x1)＞f (x2),那么就说f (x)在这个区间上．．．．．．是减函数. 这个区间叫减区间.注意：函数的单调区间(增区间或减区间)是其定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间.⒉函数单调性的判别方法：图象法.若函数f (x)的图象在区间D 上从左至右是上升(下降)的,则f (x)在区间D上是增(减)函数；⑴定义法.其一般步骤是：① 值.在所给区间上任取x 1＜x 2；②作差f (x 1)−f (x 2)；③变形.分解因式或配方等；④定号.看 f (x 1)−f (x 2)的符号；⑤下结论.⑷利用函数单调性的判定定理：用定义可直接证出. ①函数f (x)与f (x)+c(c 为常数)具有相同的单调性；②当c ＞0时,函数f (x)与c f (x)具有相同的单调性；当c ＜0时,函数f (x)与c f (x)具有相反的单调性；③若f (x)≠0,则函数f (x)与)(1x f 具有相反的单调性； ④若f (x)≥0,则函数f (x)与)(x f 具有相同的单调性；⑤若函数f (x), g (x)都是增函数,则f (x)+g (x)也是增函数； (增+增=增) ⑥若函数f (x), g (x)都是减函数,则f (x)+g (x)也是减函数； (减+减=减) ⑦若函数f (x)是增函数, g (x)是减函数,则f (x)−g (x)也是增函数；(增−减=增) ⑧若函数f (x)是减函数, g (x)是增函数,则f (x)−g (x)也是减函数；(减−增=减) 另外还有以下几个重要结论：（用定义可直接证出） ⒊一些特殊函数的单调性：⑴一次函数y=kx+b,当k ＞0时,在R 上是 ；当k ＜0时,在R 上是 . ⑵二次函数y=ax 2+bx+c, 当a ＞0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[a b2-,+∞)上为 ； 当a ＜0时,在(−∞,a b 2-]上为 ,在[ab2-,+∞)上为 . ⑶反比例函数y=xk,当k ＞0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 ； 当k ＜0时,在(−∞,0),(0,+∞)上都是 .⑷指数函数y=a x,当a ＞1时,在R 上是 , 当0＜a ＜1时,在R 上是 . ⑸对数函数y=l og a x,当a ＞1时,在(0,+∞)是 , 当0＜a ＜1时,在(0,+∞)是 .⑹*记住重要函数y=x+)0(>a xa的单调性,并会证明：当x ＞0时，函数在(0,a )上单调递减,在[a ,+∞]上单调递增； 当x ＜0时，函数在 上单调递减,在 上单调递增.四、函数的奇偶性： ⒈函数奇偶性的定义：如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=f (x),那么函数f (x)叫做偶函数.如果对于函数f (x)的定义域内任意一个．．．．x ．,都有f (−x)=−f (x),那么函数f (x)叫做奇函数.注意：⑴由定义可知,函数具有奇偶性的必要条件是定义域关于 对称. ⑵函数的奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数(此时我们说该函数具有奇偶性)、既不是奇函数又不是偶函数(此时我们说该函数不具有奇偶性).注意：设函数f (x)的定义域关于原点对称,那么函数f (x) 既是奇函数又是偶函数的充要条件是f (x)恒等于0.例：f (x)=0,x ∈(−1,1)；f (x)=0,x ∈[−2,2]；f (x)=1122-+-x x 等等. ⒉具有奇偶性函数的图象特征：⑴奇函数⇔图象关于 对称； ⑵偶函数⇔图象关于 对称. ⒊判断函数奇偶性的方法： ⑴图象法；⑵定义法.其一般步骤是：①求函数的定义域,并判断定义域是否关于原点对称,若不对称,则此函数不具有奇偶性；若对称,再进行第二步；②判断f (−x)与f (x)的关系,并下结论.若f (−x)=−f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为奇函数； 若f (−x)=f (x)且f (x)不恒等于0,则此函数为偶函数；若f (−x)=−f (x)且f (−x)=f (x),则此函数为既是奇函数又是偶函数； 若f (−x)≠−f (x)且f (−x)≠f (x),则此函数为既不是奇函数又不是偶函数. ⑸奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；⑺若f (x)是奇函数，且f (0)有意义，则必有f (0)= .f (0)=0是f (x)是奇函数的 条件.六、函数图象的变换： ⒈平移变换：⑴y=f (x)的图象沿x 轴向右平移a (a ＞0)个单位得到y=f (x −a)的图象； ⑵y=f (x)的图象沿x 轴向左平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x+a)的图象； ⑶y=f (x)的图象沿y 轴向上平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)+a 的图象； ⑷y=f (x)的图象沿y 轴向下平移a (a ＞0)个单位得到y= f (x)−a 的图象. ⒊对称变换：(一)两个函数图象的对称关系：⑴y=f (x)与y=−f (x)的图象关于x 轴对称； ⑵y=f (x)与y=f (−x)的图象关于y 轴对称； ⑶y=f (x)与y= −f (−x)的图象关于原点轴对称； ⑷y=f (x)与y= f −1(x)的图象关于直线y=x 轴对称；⑸y=f (|x|)的图象是保留y=f (x)的图象中y 轴右边部分,并作其关于y 轴对称的图象, 再擦掉y=f (x) 的图象中y 轴左边部分而得到；⑹y=|f (x)|的图象是保留y=f (x)的图象中x 轴上方的图象及x 轴上的点,并将x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方去；⑺*函数y=f (a+mx)与函数y=f (b −mx)(a 、b ：m ∈R,m ≠0)的图象关于直线x=mab 2 对称.七、指数与指数函数： ⒈根式的定义：⑴方根：如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且n ∈N*),那么这个数叫做a 的n 次方根.即：若x n=a,则x 叫做a 的n 次方根.⑵根式：式子n a 叫做根式,其中n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 当n 是偶数时,n a 表示正数a 的正的n 次方根. ⒉根式的性质：⑴(n a )n= a ； ⑵当n 为奇数时a =当n 是偶数时；⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n .⒊分数指数幂：当a ＞0,m 、n ∈N*且n ＞1时,规定：n mnma a =； nm nma a1=-； 00=nm； nm -无意义.⒋有理指数幂的性质：⑴a r·a s=a r+s(a ＞0, r 、s ∈Q)； ⑵(a r )s=a r s(a ＞0, r 、s ∈Q)； ⑶(ab)r=a r b r(a ＞0, b ＞0,r ∈Q). ⒌指数函数：⑴指数函数的定义：把形如y=a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做指数函数. ⑵指数函数的图象和性质：八、对数与对数函数： ⒈对数的概念：⑴对数的定义：如果a(a ＞0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b=N,那么,数b 叫做以a 为底 N 的对数.其中,a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数. ⑵常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数,并记l og 10N 为l gN. ⑶自然对数：把以e 为底的对数叫做自然对数,并记l og e N 为l nN. 其中e=2.71828……,是一个无理数. ⑷对数恒等式：)010(log >≠>=N a a N a N a ，且.⒉对数的运算法则：如果a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0,那么 ⑴l og a (MN)= l og a M+l og a N ；⑵N M NM a a a log log log -=；⑶l og a M n=n l og a M. ⒊对数的三个性质：⑴1的对数为0(即l og a 1=0)；⑵底的对数为1(即l og a a=1)；⑶零和负数没有对数. ⒋对数函数：⑴对数函数的定义：把形如y=l og a x(a ＞0,且a ≠1)的函数叫做对数函数. ⑵对数函数的图象和性质：。

1.1.1任意角一、【学习目标】1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．二、【自学要点】要点一：角的相关概念1. 角的概念？ _____________________________________2. 按照角的旋转方向，可分为哪几类？____________________________________要点二：象限角、轴线角_____________________________________要点三：终边相同的角如何表示？____________________________________三、【尝试完成】判断下列各题的正误：1．终边与始边重合的角是零角．( )2．小于90°的角是锐角．( )3．钝角是第二象限角．( )4．第二象限角是钝角．( )四、【合作探究】1．(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确命题的序号为________；(把正确命题的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________．2．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.3．在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角．4.写出终边在直线y＝－3x上的角的集合．5.如图所示． (1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．五、【当堂巩固】1．写出下列说法所表示的角．(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角．2．下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°.3．写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．4．写出终边在直线y＝33x上的角的集合．5 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．六、【课堂小结】：七、【教学反思】：。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(16)必修1_02 函数 函数的表示方法（2）班级 姓名目标要求1．进一步理解函数的三种表示法；2．掌握求函数解析式的常用方法；3．能对函数的不同表示法进行相互转化，提高辨证的思维能力．重点难点重点：函数解析式的求法；难点：解析法，图象法的换位思考．课堂互动一、复习引入：（1）函数的三种表示方法 （2）分段函数二、 新课讲授：例1 （1）已知函数)(x f 是二次函数，若1)()1(,0)0(++=+=x x f x f f ，求)(x f 的表达式．变题：若()12][+=x x f f ，求一次函数)(x f 的表达式．例2 已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的解析式．变题：已知0≠x ，函数)(x f 满足221)1(x x x x f +=-，求()f x 的表达式．例3 若)1()2(,32)(-=++=x f x g x x f ，求)(x g ；例4 已知)(x f 满足关系式x x f x f 3)1(2)(=+，求)(x f ．变题1：已知x x x f x f -=-+22)()(3，求)(x f ．变题2：已知x x x f x f -=-+22)1()(3，求)(x f ．例5 已知函数()y f x =的定义域为[1 , 2 ] ,值域也为 [1 ,2 ] ,试写出3个满足此条件的函数．例6 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P =()t f ；（Ⅱ）写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =()t g ．课堂练习1、已知(2)23f x x =+，则()f x = ___________________2、已知一次函数的图象过点（1，0）及（0，1），则此一次函数的解析式为___________3、若2(21)2f x x x +=-，则f =___________．4、函数y x x =+ 的值域是_____________________．5、已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 的表达式． 学习反思1、求函数解析式的常用方法有_________________________________________;2、求函数的解析式应注意函数的定义域的刻划；3、函数的解析式便于进行演绎推理，而函数图象的优点是形象直观，研究函数要善于“数形”互补．江苏省泰兴中学高一数学作业(16)班级 姓名 得分1、已知函数⎩⎨⎧>+-≤+=)1(3)1(1)(x x x x x f ，则5[()]2f f =．2、若11)(+-=x x x f ，则1()()f x f x +=．3、若)0(1)]([,21)(22≠-=-=x x x x g f x x g ，则1()2f =．4、若2)1(x x f =-，则()f x =．5、若)()1(,43)(x f x g x x f =--=，()g x =．6、已知43)(,2)(2+=+=x x g m x x f ，若1)]([2++=x x x f g ，则m =．7、()f x 是一次函数，图象过两点()()0,3,1,1A B --，则()___________f x =8、函数()213m m y m x mx +=-++是关于x 的二次函数，则______________m =9、已知x x x f 2)12(2-=+，则=)3(f _________．10、（1）若)(x f 满足x x f x f 2)(2)(3=--，求函数)(x f 的解析式．11、 已知α、β是方程)(01)1(22R m m x m x ∈=-+--的两个实根，且)(22m f =+βα，求)(m f 的解析式及定义域．12、矩形ABCD 的长8AB =，宽5AD =，动点E 、F 分别在BC 、CD 上，且CE CF x ==，（1）将AEF ∆的面积S 表示为x 的函数()f x ，求函数()S f x =的解析式及定义域；（2）求S 的最大值．。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(13)必修1_02 函数 函数的概念和图像（3）班级 姓名目标要求掌握求函数值域的常用方法重点难点重点：函数的值域的求法．．难点：函数的值域的求法．课堂互动例1 求下列函数的值域：(1) 21,1,2,3,4,5y x x =+∈{}； (2)1y =+；(3) 1xy x =+(4) 2211x x y -=+(5)223(52)x y x x =--+-≤≤-；(6)y =(7)y x =+例2 求函数1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩ 的定义域和值域．例3 已知()2,([1,9])f x x x =+∈，求)()]([22x f x f y +=的值域。

课堂练习1、下列函数中, 值域是(0,)+∞的是 ____________________．①y = ② 21(0)y x x =+>③21x y x =++ ④21x y =2、求下列函数的值域： (1) 2,1,2,3x y x x =+∈{} ； (2) 2(1)()1x f x -=-；(3) ()1,(1,2f x x x =+∈]； （4）21)(--=x x x f学习反思函数的值域, 即为集合()B y y f x ={|=}．求值域的主要方法有： ．江苏省泰兴中学高一数学作业(13)班级 姓名 得分1、函数2,1,0,1,2,3y x x =-∈{-}的值域是 _______________________．2、函数),0(,11)(+∞∈+=x x x f 的值域是 _______________________．3、函数1(1)y x x =>的值域是 _______________________．4、函数()f x x =1-的值域是 _______________________．5、函数()()()21303f x x x =--≤≤的最大值是 ．6、函数x x x f -=2)(，（[]1,1-∈x ）的值域为____________________．7、函数2122x y x =-+的值域是__________ ．8、求下列函数的值域： (1) 21x y x =- （2）245,(03)x y x x =-++≤≤（3）2y x =-2y =（5）2211x y x -=+9、（1）函数344)(23++-=ax ax x x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围．（2）函数y=R,求实数m的取值范围．。

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江苏省泰兴中学高三数学自主复习讲义（24）
数列（１）——数列的基础知识
编写：孙娟 审核：曹军
班级 姓名
一、考纲要求：
今天复习必修5第28页到第32页及高一相应部分笔记
二、知识梳理：
1．数列的定义
2．数列的分类
（1）按项数分类可分为: ； （2）按增减性分类可有: .
3．数列的表示方法
（1）列举法： （2）图像法（3）解析法（公式法）.
4．数列的通项公式
5．数列的递推公式
6．数列的前n 项和公式
数列{}n a 的前n 项和公式与数列的通项公式之间的关系为： ,在这个关系中值得注意的是: .
三、自主作业：
1、数列7,77,777,7777,⋅⋅⋅的一个通项公式为 ；
2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1(31)2
n n a S -=(*n N ∈)，且454a =，则a 1的值是 .
3、（1）已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =-+，则通项公式n a = ；
（2）已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则通项公式n a = 。

4、已知数列{}n a 满足121a a ==，21n n n a a a ++=+(*n N ∈)，则10a = 。

5、已知数列{}n x 满足12,x a x b ==，21n n n x x x ++=-(*n N ∈)，那么100100______,______x S ==。

导数综合复习（1）【教学目标】1.理解导数的定义及其几何意义；2.掌握几种常见函数的求导公式及其函数的和、差、积、商的求导法则；3.能利用导数法解决函数的单调性问题、极值、最值问题[基础训练]1．函数31y x =+在区间[1,1]x +∆上的平均变化率是 2．与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程是3．函数x x x f ln )(-=的单调增区间为4．已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =取得极值10，则(2)______f =5.已知y x ,1y 3x ,0y ,0x 2则=+≥≥的最大值为_________.[典例剖析]例1、函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：（1）0x 的值； （2）,,a b c 的值.例2、求函数()ln (0)f x x ax a =->在[1,2]x ∈上的最小值.例3．函数32()f x ax bx cx =++(0)a >的图象关于原点对称，(,())A f αα、(,())B f ββ 分别为函数()f x 的极大值点和极小值点，且||2AB =，()()f f αββα-=-，（1）求b 的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）若6[2,1], ()x f x m m ∈->-恒成立，求实数m 的取值范围.例4．已知22()()2x a f x x R x -=∈+在区间[1,1]-上是增函数 （1）求实数a 的取值范围A ； （2）设关于 x 的方程1()f x x =的两个非零实数根为12,x x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++≥-对于任意a A ∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，说明理由.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（36）班级: 姓名: 学号： 1、 设曲线ax x x f +=3)(与c bx x g +=2)(的交点为)0,1(-，且在此点处有公切线， 则a = ，b= ，c=2、过原点O 作曲线:x C y e =的切线，则切点P 的坐标是3、已知函数32()f x x x x a =--+的图象与x 轴仅有一个交点，则a 的取值范围是4、已知曲线32()f x ax bx cx =++在0x =处的切线是y x =，()f x 在1x =处取得极小值0，则()f x 的极大值为5、a ax x x f +-=2)(3在（0,1）内有极小值,则实数a 的范围为______________.6、求下列函数的极值： （1）231x x y x +=-； （2）2x y x e -=.7、如图，设曲线x y e -=(0)x ≥在点(,)t M t e -处的切线与x 轴y 轴所围成的三角形面积为()S t ，（1）求切线l 的方程；（2）求()S t 的最大值.8、已知a 为实数，)a x )(4x ()x (f 2--=，（1）若0)1(f =-'，求f （x ）在[-2，2]上的最大值与最小值；（2）若f （x ）在（-∞，-2]和[2，+∞）上均为单调增函数，求a 的范围.9、设函数321a x x bx c 32f -++（x ）=，其中a ＞0，曲线x y f =（）在点P （0，0f （））处的切线方程为y=1，（1）设曲线x y f =（）在点（11x x f ，（））及（22x x f ，（））处的切线都过点（0,2），证明：当12x x ≠时，12'()'()f x f x ≠；（2）若过点（0,2）可作曲线x y f =（）的三条不同切线，求a 的取值范围。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(51)必修4_01 三角函数复习班级 姓名目标要求1．熟练掌握三角函数概念，深化对同角三角函数的关系、诱导公式和三角函数的图象性质的认识和理解2．灵活运用三角函数的公式、性质，解决三角函数有关问题3．自觉运用单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，以形助数，数形结合4．熟练掌握三角函数的图像与性质课前预习1、知识要点（1）x y sin =、x y cos =、x y tan =的图象与性质（2）、 sin()y A x ωϕ=+、cos()y A x ωϕ=+的图象与应用2、课前练习：1、函数y 的定义域为 ．2、函数x x y sin cos 2-=的值域是 ．3、定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值是 ． 4、函数sin(3)6y x π=+的图象，只需把函数sin 3y x =的图象向 平移 个单位．5、若函数)(x f 是偶函数，且当x ＜0时，有)(x f =cos3χ+sin2χ，则当χ＞0时，)(x f 的表达式为 ．6、化简3sin()cos(3)tan()2cos()cos()2παπαπαπααπ+-++--=___________．7、关于函数))(32sin(4)(R x x x f ∈+=π的下列命题正确的是________________． （1）由0)()(21==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍（2）)(x f y =的表达式可写成)62cos(4π-=x y （3）)(x f y =的图象关于点)0,6(π-对称（4）)(x f y =的图象关于直线6π-=x 对称 典例剖析例1 已知函数()2sin(2)3f x x π=+（1）求()f x 的最小正周期； （2）求 ()f x 的最小最及取得最小值时相应的x 的值；（3）若7[,]1212x ππ∈，求满足()1f x =的x 的值;（4）求()f x 在[0,]x π∈上的单调增区间.（5）在闭区间7[,]1212ππ上是否存在()f x 的对称轴？若存在，求出对称轴，若不存在，说明理由.例2 已知函数()sin(2)16f x x πω=-+ 的最小正周期为π，且图像关于直线6x π=对称， （1）求()f x 的解析式（2）若函数1()y f x =-的图像与直线y a =在[0,]2π上只有一个交点，求实数a 的取值范围例3 已知方程k x =+)4sin(2π，在π≤≤x 0上有两解，求k 的取值范围江苏省泰兴中学高一数学作业(51)班级 姓名 得分1、若角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1P ，则2sin cos θθ+的值为________________.2、=+++54cos 53cos 52cos 5cos ππππ . 3、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是_____________.4、已知3tan =α，则αααα22cos 4cos sin 3sin +-的值是___________ .5、若sin cos αα+=1tan tan αα+的值为______________. 6、若sin cos 1(,)2k k Z πθ=-≠∈，则θ在第_________象限. 7、化简sin()cos(2)sin()tan()2παπαπααπ+-+--=___________.8、已知)2(x f y =的图象，作)21(x f y -=的图象应将)2(x f y =的图象先向 平移 个单位，再作关于 的对称图形.9、 已知()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(2)4f -=，那么(2)f π+= ___________.10、求下列函数的的值域：（1）x x y sin 1sin 2+=，（2）2()cos sin 2f x x x =-++ 2(,]43x ππ∈-11、函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 在)32,0(π∈x 内只取到一个最大值和一个最小值，且当12π=x 时，函数的最大值为3，当127π=x 时，函数的最小值为－3，试求此函数的解析式，并说明它是由sin y x =的图象依次经过哪些变换而得到的？12、已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最高点为(,2)6M π. (1)求()f x 的解析式；（2）说明它是由函数sin y x =的图像经过哪些变换而得到的；（3）当[,]122x ππ∈，求()f x 的值域.。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(17) 必修1_02 函数的单调性（1）班级 姓名目标要求1．理解函数的单调性以及相关概念；2．熟练运用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性； 3．学会根据函数单调性的定义和图象求一些简单函数的单调区间． 重点难点重点：函数的单调性的证明和判断； 难点：函数单调性的概念及单调性的应用． 课前预习1．画出2y x =的图象，观察（1）x ∈[)+∞,0;（2）x ∈(]0,∞-;（3）x ∈（-∞，+∞） 当x 的值增大时，y 值的变化情况。

2．观察实例：课本P34的实例，怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的推移气温逐渐升高”这一特征？3．增函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时都有 ，称函数)(x f y =在 是单调增函数，I 为 图象示例：4．减函数：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若对于区间I 内的 ，当 时，都有 ，则称函数)(x f y =在 是单调减函数，I 为 图象示例：5．单调性：函数)(x f y =在 上是 ，则称)(x f y =在 具有单调性6. 单调区间： ． 课堂互动例1 画出下列函数的图象，并写出单调区间： （1）221y x x =-++ （2）21-=x y （3）|21|y x =-变题1：作出函数223y x x =--的图象，并写出函数的单调区间．例2 证明：函数xx x f 1)(+=在（０，１）上是单调减函数．例3 变题函数5)2(22+-+=x a x y 在),4(+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.变题：函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，在]2,(--∞上是减函数，求函数)(x f 的解析表达式．例4 已知)(x f y =在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-a f a f 求实数 a 的取值范围．例5 求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间．课堂练习1、如图,已知函数)(x f y =,)(x g y =的图像,根据图像说出函数)(x f y =,)(x g y =的单2、填表：3、二次函数c bx ax y ++=2（0a ≠），的单调性是：当a > 0 时，在区间________上递增，在区间__________上递减；当a < 0 时，在区间__________上递增，在区间_______上递减． 学习反思1、利用定义证明或判断函数的单调性的一般步骤：2、求函数单调区间的常用方法：3、求复合函数单调区间的步骤：江苏省泰兴中学高一数学作业(17)班级 姓名 得分1、在区间),0(+∞上是减函数的是________________. (1) 2x y = (2)32-=x y (3) xy 1=(4) x y =2、若函数)(x f 是实数集R 上的增函数，a 是实数，则下面不等式中正确的是______. (1))1()(2->a f a f (2))3()(a f a f < (3))()(22a f a a f >+ (4))()1(22a f a f <-3、已知函数f (x )= x 2－2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4、函数2212)(a ax x x f +-+-=在区间]2,(-∞上是增函数，在区间),2[+∞上是减函数，则=)2(f ______．5、已知函数f （x ）＝x 2－2ax ＋a 2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，则a 的取值范围是 ． 6、已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. ． 7、132+--=x x y 在区间),(a -∞上是增函数，则实数a 的取值范围是__ __ . 8、函数()y f x =的递增区间是()2,3-，则(5)y f x =+的递增区间是 ． 9、画出下列函数的图像，并根据图像说出)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数：（1）2|56|y x x =-+； （2）211x y x -=-（3）21,01,0x x y x x ⎧+≥=⎨--<⎩10、求证： 函数1)(3+--=x x x f 在),(+∞-∞是减函数.11、函数4)25()(22-+--=a x a ax x f 在),2[+∞上是增函数，求实数a 的取值范围.12、已知函数1()2ax f x x +=+在区间()+∞-,2上是增函数，试求a 的取值范围．。

1.3.3 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与性质一、【学习目标】1.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.3.了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的物理意义，能指出简谐运动中的振幅、周期、相位、初相．二、【自学要点】1. “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象梳理 用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的步骤第一步：列表. 第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连结这些点，形成图象．2. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，A >0，ω>0的性质3.梳理 设物体做简谐运动时，位移s 与时间t 的关系为s ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)．其中A 是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的__；往复振动一次所需的时间T ＝2πω称为这个振动的__；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π称为振动的__；ωt ＋φ称为__，t ＝0时的相位φ称为__.三、【尝试完成】判断下列各题的正误：1．函数y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π5的振幅是－2.( ) 2．函数y ＝32sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的初相是π4.( )3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象的对称轴方程是x ＝π4＋k π，k ∈Z .( ) 四、【合作探究】1．利用五点法作出函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3在一个周期内的草图．2．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象，求A ，ω，φ的值，并确定其函数解析式．3. 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与P 点最近的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)指出函数的单调增区间；(3)求使y ≤0的x 的取值范围．五、【当堂巩固】1．已知f (x )＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，画出f (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则函数的解析式为________．3．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x＝π8. (1)求φ的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间及最值六、【课堂小结】：七、【教学反思】：。

抽象函数与分段函数一、填空题1．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。

若映射:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平面M 上的线性变换。

现有下列命题：①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+ ②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换； ③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。

其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）【答案】①③④【解析】①：令1==μλ，则)()()(b f a f b a f +=+故①是真命题同理，④：令0,==μλk ，则)()(a kf ka f =故④是真命题③：∵a a f -=)(，则有b b f -=)()()()()()()(b f a f b a b a b a f μλμλμλμλ+=-⋅+-⋅=+-=+是线性变换，故③是真命题②：由e a a f +=)(，则有e b b f +=)(e bf a f e e b e a e b a b a f -+=-+⋅++⋅=++=+)()()()()()(μλμλμλμλ ∵e 是单位向量，e ≠0，故②是假命题2．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数.若方程()(0f x m m =＞）在区间[-8，8]上有四个不同的根1,234,,,x x x x 则1234x x x x +++= .（-8）3．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________时，0)(=k a f .（14）4．设{x }表示离x 最近的整数，即若x m <-21≤21+m (m ∈Z )，则{x } = m ．给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题： ①函数)(x f y =的定义域是R ，值域是[0，21]； ②函数)(x f y =的图像关于直线2k x =(k ∈Z )对称； ③函数)(x f y =是周期函数，最小正周期是1；④函数)(x f y =是连续函数，但不可导．其中真命题是 __________ ．答案：①②③④.5．对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论：①f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)；② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)； ③1212()()f x f x x x -->0；④1212()()()22x x f x f x f ++<. 当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 .答案：②、③6．某纺织厂的一个车间有n （n >7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n ．现定义记号ij a 如下：如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定ij a =1，否则ij a =0．若第7号织布机有且仅有一人操作，则=+++++747372717n a a a a a ；若2334333231=+++++n a a a a a ，说明：___ ．答案：1；编号为3的工人操作了2台织布机．7．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质：①对任意a b b a R b a **,,=∈； ②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈， 则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 . 答案：5；38．已知函数()f x 满足：()()()f p q f p f q +=⋅，(1)3f =，则2(1)(2)(1)f f f +＋2(2)(4)(3)f f f +＋2(3)(6)(5)f f f +＋2(4)(8)(7)f f f +＝ . 答案：249．已知函数()()2,2224x f x f x x +⎧⎪=+⎨⎪-⎩1,111.x x x ≤--<<≥，则()2008f f -=⎡⎤⎣⎦ 。