高考专题安徽省宿松县九姑中学高考数学百大经典例题：逻辑联结词

高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.已知命题，则的否定形式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】命题为特称命题，它的否定形式为，故选B.【考点】全称命题与特称命题.2.已知命题：复数，复数，是虚数；命题：关于的方程的两根之差的绝对值小于；若为真命题，求实数的取值范围.【答案】的取值范围为.【解析】对于，为虚数的条件是且，然后将的范围求出来；对于，利用二次方程根与系数的关系并结合不等式求解出的取值范围；由为真命题可知，都为真命题，故求出为真时的的取值范围的集合的交集即可.试题解析：由题意知，2分若命题为真，是虚数，则有且所以的取值范围为且且 4分若命题为真，则有 7分而所以有或 10分由题意知，都是真命题，实数的取值范围为 12分.【考点】1.复数的概念；2.二次方程根与系数的关系；3.逻辑联结词.3.已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】命题是假命题，命题是真命题，故是真命题，选B.【考点】逻辑连接词.4.(本小题满分10分)已知命题p:函数在R上是减函数；命题q：在平面直角坐标系中，点在直线的左下方。

若为假，为真，求实数的取值范围【答案】(－3，4)【解析】解：f′(x)＝3ax2＋6x－1，∵函数f(x)在R上是减函数，∴f′(x)≤0即3ax2＋6x－1≤0(x∈R)．(1)当a＝0时，f′(x)≤0，对x∈R不恒成立，故a≠0.(2)当a≠0时，要使3ax2＋6x－1≤0对x∈R恒成立，应满足，即，∴p：a≤－3. …………5分由在平面直角坐标系中，点在直线的左下方，得∴q：，…………7分：a≤－3；：综上所述，a的取值范围是(－3，4)．…………10分【考点】本试题考查了命题的真值，函数性质。

点评：解决该试题的关键是利用函数单调性和二元一次不等式的表示的区域可知a的范围。

细节是理解且为真，或为假，得到必有一真一假，得到参数的范围，属于中档题。

安徽省宿松县九姑中学2015届高考数学百大经典例题 算术平均数与几何平均数（含解析）例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++ 证明：∵ ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+， 三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握．典型例题二例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ 证明：∵0222>>+a bc c b ，， ∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，． 三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．典型例题三例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将ab b a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．典型例题四例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 ． 解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．典型例题五例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值． （3）若0,0>>y x ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 1163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3 当且仅当13122+=+x x 时，即22=x 2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥ ∴ y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴ xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x ∴222≥+y x 即22y x +的最小值为2． 当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件．典型例题六例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x ，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵ 6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y 解：当0>x 时，03,02>>x x ，又632=⋅xx ， 当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数x x 32+有最小值.62 ∴ .621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(x x +-最小值.62 ∴ .621min +=y典型例题七例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x 时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴t t x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数tt y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．典型例题八例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t tt y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一： 设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设． 由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <． ∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ． 解法二： 设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ． 说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y ．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a ≠时，ab ba >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形ab b a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．典型例题九例9 ,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a ，得.2162)(222ab ab b a b a -=-+=+又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是225．说明：本题易出现如下错解：8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a 和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．典型例题十例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c baca bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a cab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+ ).(22c b a c ab b ac a bc ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++∴.c b a cab b ac a bc ++≥++∴说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．典型例题十一例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e d c b a ，1622222=++++e d c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a +之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a +≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e.51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-， 448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(．两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ． 错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a +≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+．典型例题十二例12 已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222 yx y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy.6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．典型例题十三例13 已知00>>y x ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值． 分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ， 故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x xxy ． xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ． 可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18．解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222， 代入302=++xy y x 中得：3022≤+⋅xy xy 解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷．典型例题十四例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-c b a ．分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abca cb a a a 2111≥+=-=-． 证明：acb a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ， a bc a c b 2≥+∴，即a bca a 21≥-． 同理b ca b 211≥-，cab c 211≥-， 8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a 的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．典型例题十五例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a +与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到：b a b a b a b a ab b a +≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明．证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a +≥++≥+∴≥+， ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+ 同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+． 三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．典型例题十六例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈R b a 、∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =” ，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”．ba abab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab ∴b a ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．典型例题十七例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴>同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正． 122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++= 222122212b b b b ⋅++≥ ||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．典型例题十八例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S = ,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即 上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大． 说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．典型例题十九例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x 12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了．解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得： 5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y 5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+= 当xx 16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．典型例题二十例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系．解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy y x应用算术平均数与几何平均数定理，得 ,201202012020904023200S S xyxy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xS y =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 典型例题二十一例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs ，全程运输成本为 )(2bv va s v s bv v s a y +=⋅+⋅=． 故所求函数为)(bv ba s y +=，定义域为)0(c v ，∈． （2）由于vb a s 、、、都为正数， 故有bv ba s bv v as ⋅⋅≥+2)(， 即ab s bv vas 2)(≥+． 当且仅当bv v a =，即ba v =时上式中等号成立． 若cb a ≤时，则ba v =时，全程运输成本y 最小； 当c b a ≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc ca s y +=． 综上可知，为使全程运输成本y 最小， 在cb a ≤时，行驶速度应为ba v =； 在c b a ≤时，行驶速度应为c v =．。

高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.命题:“方程表示双曲线”()；命题:定义域为.若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】或【解析】先求出命题和命题的各自对应的范围，再对已知条件中的“命题为真命题，为假命题”进行判断，得出命题一个为真,一个为假，在进行分类讨论，得出结论.试题解析：: 由得： 2分: 令，由对恒成立. 3分（1）当时, ,符合题意. 4分（2）当时，，由得，解得：. 6分综上得：:. 7分因为为真命题，为假命题，所以命题一个为真,一个为假. 8分∴或 10分∴或 12分.【考点】命题的真假性.2.下列命题：①动点到两定点的距离之比为常数，则动点的轨迹是圆；②椭圆的离心率是；③双曲线的焦点到渐近线的距离是b；④已知抛物线上两点，且OA⊥OB (O是坐标原点)，则．所有正确命题的序号是_______________.【答案】①②③【解析】对于①动点到两定点的距离之比为常数，则动点的轨迹是圆；当比值等于1时，是圆，正确。

对于②椭圆的离心率是成立。

；对于③双曲线的焦点到渐近线的距离是b；根据点到奥直线的距离公式可知成立，对于④已知抛物线上两点，且OA⊥OB (O是坐标原点)，则，错误。

故填写①②③【考点】圆锥曲线的性质点评：主要是考查了圆锥曲线的性质的运用，以及直线与抛物线的位置关系运用，属于基础题。

3.已知命题p：，则为（）。

A．,B．,C．,D．：，【答案】C【解析】由“≤”的否定为>得为,。

故选C【考点】本题考查了全称命题的否定点评：全称命题的否定是特称命题4.(本小题满分14分)命题：函数在上是增函数；命题：，使得 .（1）若命题“且”为真，求实数的取值范围；（2）若命题“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）或【解析】（1）命题为真：；命题为真：，命题“且”为真，则（2）命题“或”为真，“且”为假，则命题，命题一真一假，命题为真，命题为假时；命题为假，命题为真时或【考点】复合命题真假的判定点评：命题“且”为真，则,需同时为真，命题“或”为真，则至少一个为真5.已知命题“或”为真，“非”为假，则必有（）A．真假B．真假C．真真D．真，可真可假【答案】D【解析】命题“或”为真，说明与中至少有一个是真命题，“非”为假说明为真命题，所以可真可假.【考点】本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.6.(本小题满分13分)设命题:关于x的函数为增函数;命题:不等式对一切正实数均成立.(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；(2)命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.【答案】(1)实数的取值范围是； (2)实数的取值范围是.【解析】(1)q真,由x>0得,所以,所以.(2) 由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假,然后按照两种情况求解,再求并集即可.解：(1)当命题为真命时，由得，∴，不等式对一切正实数均成立，∴∴实数的取值范围是；………6分(2)由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假………8分①当真假时，则，无解；………10分②当假真时，则，得，………12分∴实数的取值范围是.………13分7.若则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为所以.8.已知是定义在上的函数，，那么“对任意的，恒成立”的充要条件是（）A．对任意的，或恒成立B．对任意的，恒成立或对任意的，恒成立C．对任意的，或恒成立D．对任意的，恒成立且对任意的，恒成立【答案】A【解析】解：因为是定义在上的函数，，那么“对任意的，恒成立”的充要条件是对任意的，或恒成立，选A9.下列命题错误的是( )A．对于命题p：B．命题“若”是正确的C．若p是假命题，则均为假命题D．“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】命题“若”是错误命题.若才是真命题.10.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】原命题的否定为“”是真命题，所以.11.设命题：函数在上单调递减，命题：不等式的解集为，若为真，为假，求实数的取值范围．【答案】由函数在R上单调递减知0＜c＜1，所以命题p为真命题时c的取值范围是0＜c＜1，令y=x+|x-2c|，则.＞1即可，而函数y在R上的最小值为2c，不等式x+|x-2a|＞1的解集为R，只要ymin所以2c＞1，即．⑴真假则⑵假真则综上.【解析】先通过指数函数的单调性求出p为真命题的c的范围，再通过构造函数求绝对值函数的最值进一步求出命题q为真命题的c的范围，分p真q假与p假q真两类求出c的范围即可．12.已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．【答案】若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2,即p：m＞2;若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.∴解得：m≥3或1＜m≤2.【解析】略13.下列命题中，是真命题的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】若函数式偶函数，则恒成立.即恒成立.所以恒成立.于是若函数式奇函数，则恒成立.即恒成立.即恒成立.矛盾.故选A14.下列有关命题的说法正确的是（）命题P：“若，则”，命题q是 p的否命题.A．是真命题B．q是假命题C．p是真命题D．是真命题【答案】D【解析】命题P：若，则是假命题命题q : 若，则是真命题∴是真命题15.命题：，则命题p的否定为【答案】存在x R，使得 cosx >1【解析】不是所有的x都有cosx1，即存在x R，使得 cosx >116.（本小题满分8分）已知命题函数在区间上是单调递增函数；命题不等式对任意实数恒成立.若是真命题，求实数的取值范围.【答案】解：若P是假，可得或若Q是真，可得或得：，所以Q若是假，得或得由是真命题可得【解析】略17.设有两个命题，p：关于x的不等式（a>0，且a≠1）的解集是{x|x<0}；q：函数的定义域为R。

p或q联结起来，就得到一个新命题，记作=∈B x x{|(加以否定，得到一个新的命题，记作在全集U中的补集：答案 B解析 因为M N ，所以a ∈M ⇒a ∈N ，反之，则不成立，故“a ∈N ”是“a ∈M ”的必要而不充分条件．故选B.6．若命题p ：对于任意x ∈[－1,1]，有f (x )≥0，则对命题p 的否定是________．答案 存在x 0∈[－1,1]，使f (x 0)<07．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“⌝q 且p ”为真，则x 的取值范围是____________________． 答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)解析 因为“綈q 且p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，得2<x <3，所以q 假时有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，解得x <－3或1<x ≤2或x ≥3， 所以x 的取值范围是x <－3或1<x ≤2或x ≥3.8．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(⌝q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确．所以正确结论的序号为①③.9．已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x 在R 上单调递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数c 的取值范围．解 ∵函数y ＝c x 在R 上单调递减，∴0<c <1.即p ：0<c <1，∵c >0且c ≠1，∴綈p ：c >1.又∵f (x )＝x 2－2cx ＋1在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上为增函数，∴c ≤12. 即q ：0<c ≤12，∵c >0且c ≠1，∴綈q ：c >12且c ≠1. 又∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 真q 假或p 假q 真．①当p 真，q 假时，{c |0<c <1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |c >12且c ≠1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. ②当p 假，q 真时，{c |c >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12＝∅. 综上所述，实数c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |12<c <1. 能力提升训练。

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2022年高考数学总复习：简单的逻辑联结词、全称量词与存
在量词
1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词． (2)命题p 且q 、p 或q 、非p 的真假判断
p q p 且q p 或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称命题
对M 中任意一个x ，有p (x )成立
∀x ∈M ，p (x )
∃x 0∈M ，非p (x 0)
特称命题 存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立
∃x 0∈M ，p (x 0) ∀x ∈M ，非p (x )
1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真． (2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假． (3)非p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则非q ”，否命题是“若非p ，则非q ”．。

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题1 集合与常用逻辑用语 4 逻辑联接词、量词 理2．(2015·慈溪市、余姚市高三期中联考)在一次射击训练中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p 是“甲射中目标”，q 是“乙射中目标”，则命题“至少有一位运动员没有射中目标”可表示为________．3．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．其中存在性命题为________(填序号)．4．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是________．①a <0；②a >0；③a <－1；④a >1. 5．(2015·安徽合肥八中段考)四个命题：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题；③若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0；④“x >2”是“x 2－3x ＋2>0成立”的充分不必要条件．其中真命题是________． 6．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中的真命题是________．7．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是__________．8．(2015·湖北改编)命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是________________________．9．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是________．10．给出以下命题：①∀x ∈R ，|x |>x ；②∃α∈R ，sin 3α＝3sin α；③∀x ∈R ，x >sin x ；④∃x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x，其中正确命题的序号有________．11．(2015·河北石家庄市二模)已知条件p ：x 2－3x －4≤0，条件q ：x 2－6x ＋9－m 2≤0，若綈q 是綈p 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________________． 12．在下列四个命题中，真命题的个数是________． ①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.13．(2015·广东湛江第一中学月考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0；命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是 ．14．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|＋2x (x ∈R )，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意的x ∈R 恒成立；命题q ：指数函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则实数m 的取值范围是____________________________．答案解析1．必要不充分解析 若p ∨q 为真命题，则p ，q 中只要有一个命题为真命题即可，∴綈p 不一定为假，∴“p ∨q 为真”不能推出“綈p 为假”；若綈p 为假命题，则p 为真命题，能推出p ∨q 为真命题．∴“p ∨q 为真”是“綈p 为假”的必要不充分条件． 2．(綈p )∨(綈q )解析 命题綈p ：甲没射中目标，綈q ：乙没射中目标，∴“至少有一位运动员没有射中目标”就是“甲没射中目标，或乙没射中目标”．所以可表示为(綈p )∨(綈q )． 3．②③ 4．③解析 一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝16－4·a ·3>0，3a <0，解得a <0，故a <－1是它的一个充分不必要条件．5．①③④解析 对于①，显然是正确的；对于②，根据复合命题的真值表，可能有p 真q 假、p 假q 真、p 真q 真三种情况，故②是错误的；对于③，由全称命题的否定形式知③是正确的；对于④，x 2－3x ＋2>0的解集是{x |x >2或x <1}，故④是正确的． 6．p 2，p 4 7．3≤m <8解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3. 又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8， 故实数m 的取值范围是3≤m <8. 8．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1解析 存在性命题的否定是全称命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”． 9．a ≤－2或a ＝1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2对任意x ∈[1,2]恒成立，等价于a ≤x 2(其中x ∈[1,2])的最小值，当1≤x ≤2时，1≤x 2≤4，所以a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，则Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a 2＋a －2≥0，解得a ≤－2或a ≥1.若命题p 且q 是真命题，则实数a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2或a ≥1，解得a ≤－2或a ＝1. 10．②解析 x ≥0时，|x |＝x ，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x ＝－π2时，x <sin x ，③错；根据指数函数的图象可以判断，当x ∈(0，＋∞)时，(12)x >(13)x ，④错．故正确命题的序号只有②. 11．{m |m ≤－4或m ≥4}解析 ∵綈q 是綈p 的充分不必要条件，∴p 是q 的充分不必要条件， ∴{x |x 2－3x －4≤0}{x |x 2－6x ＋9－m 2≤0}， ∴{x |－1≤x ≤4}{x |(x ＋m －3)(x －m －3)≤0}． 当－m ＋3＝m ＋3，即m ＝0时，不合题意． 当－m ＋3>m ＋3，即m <0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |m ＋3≤x ≤－m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≤－1，－m ＋3≥4，解得m ≤－4.当－m ＋3<m ＋3，即m >0时，有{x |－1≤x ≤4}{x |－m ＋3≤x ≤m ＋3}，此时⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋3≤－1，m ＋3≥4，解得m ≥4.综上，实数m 的取值范围是{m |m ≤－4或m ≥4}． 12．4解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114>0，故①是真命题．②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题．④中x 0＝4，y 0＝1时，3x 0－2y 0＝10成立，故④是真命题． 13．(－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由题意可知命题p ：m ≤－1，命题q ：－2<m <2.若p ∧q 为假则有三种情况：(1)当p 假q 真时，－1<m <2；(2)当p 真q 假时，m ≤－2；(3)当p 假q 也为假时，m ≥2.综上所述，m 的取值范围是m ≤－2或m >－1.14．(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞) 解析 由f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|＋2x得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x <－2，x ＋3，－2≤x ≤12，5x ＋1，x >12.作出函数的图象如图所示，可知f (x )min ＝f (－2)＝1，命题p 中，关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意的x ∈R 恒成立⇔f (x )min ≥m 2＋2m －2⇔1≥m 2＋2m －2⇔－3≤m ≤1.命题q 中，函数y ＝(m 2－1)x 是增函数⇔m 2－1>1⇔m <－2或m > 2. 若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则有以下两种情形：(1)p 真q 假，则等价于⎩⎨⎧ －3≤m ≤1，－2≤m ≤2，解得－2≤m ≤1；(2)p 假q 真，则等价于⎩⎨⎧m <－3或m >1，m <－2或m >2，解得m <－3或m > 2.所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪[－2，1]∪(2，＋∞)．。

高三数学简单的逻辑联结词试题1.若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是【答案】【解析】原命题的否命题为“”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于恒成立，只需，解得：，故答案为：．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．2.已知命题函数的值域为，命题方程在上有解，若命题“或”是假命题，求实数的取值范围.【答案】的范围为.【解析】先就命题为真和命题为真时求出相应的参数的值，然后就复合命题“或”为假命题对命题和命题的真假性进行分类讨论，从而得出参数的取值范围.试题解析：当为真时，或者 4分为真时，不符合条件当时有或者或即或或或即或 8分“或”假，即假且假且的范围为 12分【考点】1.一元二次方程；2.二次函数；3.复合命题3.已知命题使得命题，下列命题为真的是A．p q B．（C．D．）【答案】A【解析】对于命题：当如，则，所以命题是真命题，则是假命题，对于，，所以不等式解集为,所以命题是真命题，命题是假命题，所以为真命题，选A.【考点】复合命题的真假点评：本题借助不等式知识考查命题真假性，关键是判断已知不等式是否成立，属基础题.4.（本小题满分10分）命题：关于的不等式，对一切恒成立，命题：函数是增函数，若为真，为假，求实数的取值范围.【答案】。

【解析】根据一元二次不等式恒成立时，判别式大于0，得为真命题时，；由指数函数的单调性得为真命题时，；命题有且有一个是真命题，画数轴得的取值范围5.命题P：函数内单调递减；命题Q：曲线轴交于不同的两点.如果“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，求a的取值范围.【答案】a取值范围是【解析】本试题主要是考查了命题的真值问题的运用。

（1）因为由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假，知P、Q有且只有一个正确，那么可知命题P为真时命题Q为真时，得到结论。

6.若命题是假命题，则实数的取值范围是【答案】 ,【解析】因为命题是假命题，则分离参数法可知实数的取值范围是 , 。

安徽九姑中学高考数学逻辑联结词经典例题（含解析）命题逻辑中，为了符号化复合命题，定义了五个表示联结词的符号，称为逻辑联结词，以下是逻辑联结词经典例题，请考生认真练习。

例1 下列语句中不是命题的是A.台湾是中国的B.两军相遇勇者胜C.上海是中国最大的都市D.连接A、B两点分析D是描述性语句.答 D.例2 命题方程x2-4=0的解是x=2中，使用的逻辑联结词的情形是A.没有使用联结词B.使用了逻辑联结词或C.使用了逻辑联结词且D.使用了逻辑联结词非分析注意到x=2是x=2或x=-2.答选B.例3 命题①梯形不是平行四边形;②等腰三角形的底角相等;③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形;④60是5或2的公倍数，其中复合命题有A.①③④B.③④C.③D分析②是简单命题，其余的均为复合命题.解选A.作是p或q形式，p为________，q为________.分析不超过用表示，其否定是，能够看作为或=的复合形式.说明：对命题的否定要全面，比如的否定不是.例5 分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：(1)4既是8的约数，也是12的约数;(2)张明是数学课代表或英语课代数;(3)江苏省不是中国面积最大的省.分析先查找逻辑联结词，再确定被联结的简单命题.解(1)p且q，p：4是8的约数，q：4是12的约数;(2)p或q，p：张明是数学课代表，q：张明是英语课代表;(3)非p、p：江苏省是中国面积最大的省.例6 以下判定正确的是A.若p是真命题，则p且q一定是真命题B.命题p且q是真命题，则命题p一定是真命题C.命题p且q是假命题时，命题p一定是假命题D.命题p是假命题时，命题p且q不一定是假命题解依照真值表.选B.说明：在经历真值表的时候，要体会它的合理性.例7 假如命题p或q与命题非p差不多上真命题，那么A.命题p不一定是假命题B.命题q一定是真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真值相同分析p为假，从而q为真.解选B.例8 若p、q是两个简单命题，且p或q的否定是真命题，则必有A. p真q真Bp假q假C.p真q假Dp假q真分析利用逆否命题与原命题的等价性，结合真值表确定结论.解∵p或q的否定是非p且非q，这是一个真命题，因此由真值表.非p、非q差不多上真命题，那么p假q假.选B.点击思维例9 有下列五个命题(1)40能被3或5整除;(2)不存在实数x，使x2+x+1(3)对任意实数x，均有x+1(4)方程x2-2x+3=0有两个不等的实根;其中假命题为________.(只填序号)分析使用不同的方法分别验证.答填写(4).例10 p：菱形的对角线互相垂直.q：菱形的对角线互相平分.求下列复合命题：(1)p或q (2)p且q (3)非p分析一样的问题差不多上拆复合命题，这儿是造复合命题，关键在于合.解(1)菱形的对角线互相垂直或平分;(2)菱形的对角线互相垂直且平分;(3)菱形的对角线互相不垂直.例11 以1表示真，以0表示假，填写下面的真值表.分析将q的可能取值与p对应，然后依真值表逐格填写.解说明：有时需要我们综合应用真值表.例12 分别指出下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假.(2) p：46.q：4+610.分析利用真值表.解(1)p或q：真;p且q：真;非p：假.(2)p或q：假;p且q：假;非p：真.说明：本题是要求先造命题，然后判定其真假.例13 假如命题p或q是真命题，非p是假命题，那么A.命题p一定是假命题B.命题q一定是假命题C.命题q一定是真命题D.命题q是真命题或者假命题分析利用真值表回推.答选D.说明：解题过程中注意发挥逆向思维的作用.例14 命题非空集合AB中的元素既是A中的元素也是B中元素是___ _____形式.命题非空集合AB中的元素是A的元素或是B的元素是_______ _形式.分析xB则xA且xB，填p且q.xB则xA或xB.填p或q.答填p且q;p或q.说明：本题是集合问题与命题概念的结合.例15 分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假.(1)8或6是30的约数;(2)矩形的对角线垂直平分;(3)方程x2-2x+3=0没有实数根.分析分清形式结构，判定简单命题真假，利用真值表再判定原复合命题真假.解(1)p或q，p：8是30的约数(假)，q：6是30的约数(真).q或q为真.(2)p且q，p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真).p且q为假.唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义差不多相去甚远。

高二数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.已知命题：，命题：若为假命题，则实数的取值范围为（）A．B．或C．D．【答案】D【解析】：，：，若，则，均为假命题，∴.【考点】简单的逻辑联结词.2.已知命题p：任意x∈R，x2＋1≥a都成立，命题q：方程表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】解：（1）根据题意，由于命题p：任意x∈R，x2＋1≥a都成立，则可知a小于等于x2＋1的最小值即可，而命题q：方程表示双曲线a+2>0,a>-2，故可知命题p为真命题，则 4分（2）命题q为真命题，则所以“p且q”为真命题，则说明同时成立，利用交集的运算可知，。

8分【考点】命题的真假点评：主要是考查了命题的真假的运用，属于基础题。

3.（本小题满分10分）给定两个命题，p：对任意实数x都有＋ax＋1>0恒成立；q：函数y＝（a>0且a≠1）为增函数，若p假q真，求实数a的取值范围．【答案】【解析】解：对任意实数都有恒成立，则；即. 3分函数，（）为则增函数，所以. 6分因为p假q真，所以 8分. 0分【考点】命题的真值点评：解决的关键是对于函数的单调性和不等式的恒成立问题的等价转化，属于基础题。

4.命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是 ()A．若ab≠0，则a≠0或b≠0B．若a≠0或b≠0，则ab≠0C．若ab≠0，则a≠0且b≠0D．若a≠0且b≠0，则ab≠0【答案】D【解析】因为命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的逆否命题是，那么ab＝0的否定是ab≠0，而a＝0或b＝0的否定是a≠0且b≠0，因此可知其逆否命题是若a≠0且b≠0，则ab≠0，故选D.【考点】本试题考查了逆否命题的求解。

点评：解决该试题的关键是对于逆否命题的准确表示，将原命题的条件和结论否定，分别充当新命题的结论和条件即可，属于基础题。

第五节逻辑联结词与四种命题一、基础知识（一）逻辑联结词1．命题：可以判断真假的语句叫做命题2．逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。

或：两个简单命题至少一个成立且：两个简单命题都成立，非：对一个命题的否定3．简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。

4．表示形式：用小写的拉丁字母p、q、r、s…来表示简单的命题，复合命题的构成形式有三类：“p或q”、“p且q”、“非p”5（二）四种命题1．一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。

于是四种命题的形式为：原命题：若p则q（qp⇒）逆命题：若q则p)(pq⇒否命题：若┐p则┐q)(qp⌝⇒⌝逆否命题：若┐q则┐p)(pq⌝⇒⌝2．四种命题的关系：3．一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下四条关系：（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真。

（2）原命题为真，它的否命题不一定为真。

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。

（4）逆命题为真，否命题一定为真。

（三）几点说明1．逻辑联结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义：以“P或q”为例：一是p成立但q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q成立，2．对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定题设又否定结论3．真值表P或q：“一真为真”，P且q：“一假为假”4．互为逆否命题的两个命题等价，为命题真假判定提供一个策略。

二、举例选讲例1．已知复合命题形式，指出构成它的简单命题，互逆互为为互否逆逆否互否互否互逆（1）等腰三角形顶角的角平分线垂直平分底边，（2）垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧， （3）34≥（4）平行四边形不是梯形 解：（1）P 且q 形式，其中p ：等腰三角形顶角的角平分线垂直底边， q ：等腰三角形顶角的角平分线平分底边； （2）P 且q 形式，其中p ：垂直于弦的直径平分这条弦， q ：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 （3）P 或q 形式，其中p ：4＞３，q ：４＝３ （4）非p 形式：其中p ：平行四边形是梯形。

高三数学简单的逻辑联结词试题答案及解析1.已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m≤0，那么() A．“p”是假命题B．“q”是真命题C．“p∧q”为真命题D．“p∨q”为真命题【答案】D【解析】对于命题p，x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，即对任意的x∈R，都有x2＋1≥2x，因此命题p是假命题．对于命题q，若mx2－mx－1<0恒成立，则当m＝0时， mx2－mx－1<0恒成立；当m≠0时，由mx2－mx－1<0恒成立得，即－4<m<0.因此若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m≤0，故命题q是真命题．因此，“p”是真命题，“q”是假命题，“p∧q”是假命题，“p∨q”是真命题，选D.2.已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2x·m＋1＝0”．若命题p为真命题，则实数m的取值范围是A．(－∞，－2]B．[2,+∞)C．(－∞，－2)D．(2,+∞)【答案】A【解析】因为p为真命题，即方程4x＋2x·m＋1＝0有实数解，所以－m＝2x＋≥2，所以m≤－2，故m的取值范围是(－∞，－2]．3.已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q4【答案】C【解析】∵2x在R上增函数,2-x在R上减函数,∴y＝2x－2-x在R上为增函数,即p1为真命题, ¬p1为假命题又∵y′=ln2(2x-2-x),当x>0时y′>0,即y＝2x+2-x为增函数;当x<0时y′<0, 即y＝2x+2-x为减函数,即p2为假命题, ¬p2为真命题所以q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．故选C4.已知命题P：函数的图像关于直线对称，q：函数的图像关于点对称，则下列命题中的真命题为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的图像如图所示：由图形可知图像关于直线对称，所以命题P正确；，所以函数的图像关于点对称，所以命题q正确，所以正确.【考点】1.函数图象；2.命题的真假判断.5.把命题“”的否定写在横线上【答案】【解析】命题“”的否定为“”．【考点】命题的否定．6.命题：；命题：，，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以命题是真命题；，所以，所以命题是假命题。

高三数学简单的逻辑联结词试题1.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”；命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为()A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1【答案】A【解析】由已知可知p和q均为真命题.若x∈[1,2],则x2∈[1,4],由x2－a≥0a≤x2∴命题p为真得a≤1，又命题q为真得,所以△=4a2-4(2-a)≥0,即a≤－2或a≥1，综合得a≤－2或a＝1.2.设命题p:函数的定义域为R;命题q:不等式,对∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“”为真命题,命题“”为假命题,求实数的取值范围.【答案】【解析】此类问题一般解法，通过讨论命题为真命题时，实数的取值范围，根据真值表，确定使为真命题、为假命题的的范围.此类问题主要难点在于对命题的讨论.由函数的定义域为R，可得，所以;利用“分离参数法”得到，转化成确定的最大值.试题解析：若真则且,故; 4分若真则,对上恒成立,在上是增函数，此时,故 8分“”为真命题,命题“”为假命题,等价于,一真一假.故 12分【考点】简单逻辑联结词3.若p是真命题,q是假命题,则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．p是真命题D．q是真命题【答案】D【解析】∵p真q假,∴据复合命题真值表可知,q是真命题.故选D.4.已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数图象可知: 命题为假命题，命题真命题，所以为真命题.【考点】1.函数图像；2.命题真假的判断；3.逻辑连结词.5.已知命题；命题若，则．下列命题是真命题的是()A．B．C．D．【答案】A【解析】为真命题，为假命题，所以是真命题，从而为真命题.【考点】逻辑与命题.6.设命题p：函数的定义域为R；命题q：对一切的实数恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.【答案】【解析】本题以命题真值表为背景考查了函数知识，命题转化为函数开口向上，判别式；命题转化为，进而求二次函数的最值；同时命题“”为假命题需分三种情况来讨论：真假、假真、假假，体现了数学的分类讨论思想.试题解析： 4分8分“且”为假命题，至少有一假:（1）若真假，则且（2）若假真，则且（3）若假假，则且. 12分【考点】1.命题真值表；2.函数的定义域问题；3.恒成立问题；4.函数的最值；5.化归与转化思想.7.设命题；命题，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】．【解析】首先分别设不等式和不等式的解集为．由已知是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即，利用数轴列不等式组求解．试题解析：【解法一】设A={x|}，B={x|}， 2分易知A={x|}，B={x|}． 6分由已知是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即， 8分∴ 10分故所求实数a的取值范围是． 12分【解法二】， 2分记， 4分化简得， 6分由已知是的必要不充分条件，从而是的充分不必要条件，即， 8分10分． 12分【考点】集合与常用逻辑用语．8.已知命题，则为A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知，命题，，将存在改为任意，结论变为否定，则可知其命题的否定为：，故选D.【考点】本试题主要是考查了特称命题的否定。