定值--向量

向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。

一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。

2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。

3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

圆锥曲线中的“三定问题”（定点、定值、定直线）1．定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.2．定点问题解决步骤：①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；②根与系数关系列出两根和及两根积；③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；④整理③所得表达式探求其恒成立的条件．3．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．4．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数．5．求定线问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线．1．在平面直角坐标系xOy 中，已知动点P 到 0,1F 的距离比它到直线2y 的距离小1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线与曲线C 交于A ，B 两点， 2,1Q ，记直线QA ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：1211k k为定值．2．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求抛物线的方程；（2）过点P（1，1）作两条动直线l1，l2分别交抛物线于点A，B，C，D．设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆的公共弦所在直线为m，试判断直线m是否经过定点，并说明理由．3．已知椭圆22221(0)x y a b a b 的一个焦点到双曲线2212x y 渐近线的距离为3，且点2M 在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC 、BD 过原点O ，直线AC 和BD 的斜率之积－22b a，证明：四边形ABCD 的面积为定值．4．已知点(1,2)P 在抛物线2:2C y px 上，过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A 、B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO ，QN QO uuu r uuu r ，试判断11+ 是否为定值，若是，求11+ 值；若不是，求11+的取值范围．5．已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为4,6，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为l，l与直线y ，且双曲线经过点x 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．1（1）求双曲线的标准方程；（2）以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．6．已知双曲线C ：22221x y a b 0,0a b 的两条渐近线互相垂直，且过点D．（1）求双曲线C 的方程；（2）设P 为双曲线的左顶点，直线l 过坐标原点且斜率不为0，l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线m 过x 轴上一点Q （异于点P ），且与直线l 的倾斜角互补，m 与直线PA ，PB 分别交于,M N （,M N 不在坐标轴上）两点，若直线OM ，ON 的斜率之积为定值，求点Q 的坐标．7．已知椭圆2222:1x y C a b，离心率为12，过椭圆左焦点1F 作不与x 轴重合的直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，直线m 的方程为2x a ，过点M 作ME 垂直于直线m 交直线m 于点E ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）①求证线段EN 必过定点P ，并求定点P 的坐标；②点O 为坐标原点，求OEN 面积的最大值．22a b 122一点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设(,)R s t 是椭圆C 上的一动点，由原点O 向22()()4x s y t 引两条切线，分别交椭圆C 于点,P Q ，若直线,OP OQ 的斜率均存在，并分别记为12,k k ，求证：12k k 为定值．22a b 12221:()1F x c y 与圆222:()9F x c y 相交，两圆交点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线l 不经过 0,1P 点且与椭圆E 相交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之和为2 ，证明：直线l 过定点．10．已知抛物线2:4C y x 的焦点为F ，斜率为k 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于 ,0P a （1）当1k ，3a 时．求AF BF 的值；（2）当点P 、F 重合时，过点A 的圆 2220x y r r 与抛物线C 交于另外一点D ．试问直线BD 是否过x轴上的定点Q ？若是，请求出点Q 坐标；若不是，请说明理由．11．已知抛物线22(0)y px p 上一点 4,t 到其焦点的距离为5． （1）求p 与t 的值；（2）过点 21M ,作斜率存在的直线l 与拋物线交于,A B 两点（异于原点O ），N 为M 在x 轴上的投影，连接AN 与BN 分别交抛物线于,P Q ，问：直线PQ 是否过定点，若存在，求出该定点，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线 21:20C y px p 的焦点是椭圆 22222:10x y C a b a b的右焦点，且两条曲线的一个交点为 000,2p E x y x，若E 到1C 的准线的距离为53，到2C 的两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右顶点的两条直线1l ，2l 分别与抛物线1C 相交于点A ，C ，点B ，D ，且12l l ，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点，证明：直线MN 恒过定点．13．已知抛物线C ： 220y px p 的焦点到准线的距离是12．（1）求抛物线方程；（2）设点 ,1P m 是该抛物线上一定点，过点P 作圆O ： 2222x y r （其中01r ）的两条切线分别交抛物线C 于点A ，B ，连接AB ．探究：直线AB 是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由．14．已知抛物线 2:20C y px p 的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OMF 是以OF 为底边的等腰三角形，且OMF 的面积为 （1）求抛物线C 的方程．（2）过点F 作抛物线C 的两条互相垂直的弦AB ，DE ，设弦AB ，DE 的中点分别为P ，Q ，试判断直线PQ 是否过定点．若是，求出所过定点的坐标；若否，请说明理由．15．如图，已知抛物线 2:20C y px p 与圆 22:412M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点．（1）若8OA OD ，求抛物线C 的方程；（2）试探究直线AC 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．16．已知抛物线 2:20C y px p 上一点01,4y到焦点的距离为54．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点A ，B 为抛物线位于x 轴上方不同的两点，直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1212444k k k k ，求证：直线AB 过定点．17．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p 与圆22:(4)12M x y 相交于A ，B ，C ，D 四点． （1）若以线段AD 为直径的圆经过点M ，求抛物线C 的方程；（2）设四边形ABCD 两条对角线的交点为E ，点E 是否为定点？若是，求出点E 的坐标；若不是，请说明理由．18．设双曲线22221x y a b ，其虚轴长为（1）求双曲线C 的方程；（2）过点 3,1P 的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点A 、B ，在线段AB 上取点M 使得AM APMB PB，证明：点M 落在某一定直线上．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b 的左右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，离心率为e ，且点(e ，3)，b )都在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若A ，B 是双曲线C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1//BF 2．证明：1211AF BF 为定值．20．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b2，1F ，2F为其左右焦点，Q 为其上任一点，且满足120QF QF，122QF QF ．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知M ，N 是双曲线C 上关于x 轴对称的两点，点P 是C 上异于M ，N 的任意一点，直线PM 、PN 分别交x 轴于点T 、S ，试问：||||OS OT 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值（其中O 是坐标原点）．21．已知双曲线 2222:10,0x y C a b a b ，四点13M ， 2M ，32,3M ，43M中恰有三点在C 上． （1）求C 的方程；（2）过点 3,0的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线1x 的垂线，垂足为A ．证明：直线AQ 过定点．22．已知动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线:4l x 的距离之比为12，记P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点(4,0)M 的直线与曲线C 交于,A B 两点，,R Q 分别为曲线C 与x 轴的两个交点，直线,AR BQ 交于点N ，求证：点N 在定直线上．23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22210xy a a的左右顶点为A ，B ，上顶点K 满足3AK KB ．（1）求C 的标准方程：（2）过点 1,0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点．设直线MA 和直线NB 相交于点P ，直线NA 和直线MB 相交于点Q ，直线PQ 与x 轴交于S ．①求直线PQ 的方程； ②证明：SP SQ 是定值．24．已知椭圆C ： 222210x y a b a b ，左、右顶点分别为1A ，2A ，上、下顶点分别为1B ，2B ，四边形1122A B A B 的面积为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点 0,1D 且斜率存在的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程．25．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左，右顶点分别为A 、B ，点F 是椭圆的右焦点，3AF FB uu u r uu r ，3AF FB． （1）求椭圆C 的方程；（2）不过点A 的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点，记直线l 、AM 、AN 的斜率分别为k 、1k 、2k ．若 121k k k ，证明直线l 过定点，并求出定点的坐标．26．已知O 为坐标原点，椭圆2222Γ:1(0)x y a b a b 的右顶点为A ，动直线1:(1)l y x m 与相交于,B C 两点，点B 关于x 轴的对称点为B ，点B 到 的两焦点的距离之和为4．（1）求 的标准方程；（2）若直线B C 与x 轴交于点M ，,OAC AMC 的面积分别为12,S S ，问12S S 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．。

圆锥曲线专题：定值问题的7种常见考法一、定值问题处理方法1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。

2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：b kx y +=或n my x +=、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。

二、常见定值问题的处理方法1、处理较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向；2、在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；3、巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算。

三、常见条件转化1、对边平行：斜率相等，或向量平行；2、两边垂直：斜率乘积为-1，或向量数量积为0；3、两角相等：斜率成相反数或相等或利用角平分线性质；4、直角三角形中线性质：两点的距离公式5、点与圆的位置关系：（·1）圆外：点到直径端点向量数量积为正数；（2）圆上：点到直径端点向量数量积为零；（3）圆内：点到直径端点向量数量积为负数。

四、常用的弦长公式：（1）若直线AB 的方程设为b kx y +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()a k x x x x k x x k AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411（2）若直线AB 的方程设为n my x +=，()11y x A ，，()22y x B ，，则()am y y y y m y y m AB ∆⋅+=-+⋅+=-⋅+=22122122121411【注】上式中a 代表的是将直线方程带入圆锥曲线方程后，化简得出的关于x 或y 的一元二次方程的二次项系数。

高二数学选择性必修一重点知识点1.高二数学选择性必修一重点知识点篇一1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(2)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(3)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.3.向量的运算律(1)交换律：α+β=β+α(2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)(3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα(4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ2.高二数学选择性必修一重点知识点篇二反比例函数形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。

圆锥曲线定点定值二级结论圆锥曲线是高等数学中的一个重要概念，它是平面上所有点到两个定点的距离之比等于常数的点的集合。

圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线的特例。

在研究圆锥曲线时，我们经常需要考虑定点和定值的问题，而圆锥曲线定点定值二级结论就是一个非常有用的定理。

圆锥曲线定点定值二级结论是指，对于一个圆锥曲线上的点P，以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点，并且该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离为定值。

这个定值就是该点到圆锥曲线的直线的距离，也就是该点到该圆锥曲线的切线的距离。

这个定理对于研究圆锥曲线的性质和应用非常重要，下面我们将详细介绍。

首先，我们来证明圆锥曲线定点定值二级结论的第一个部分，即以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点。

我们可以采用反证法，假设存在一个以该点为焦点的圆锥曲线，它不经过该点。

那么，该圆锥曲线上必然存在一个点Q，它到该点的距离不等于该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离。

这与圆锥曲线的定义矛盾，因此假设不成立，即以该点为焦点的任意圆锥曲线都经过该点。

接下来，我们来证明圆锥曲线定点定值二级结论的第二个部分，即该点到该圆锥曲线的另一个焦点的距离为定值。

我们可以采用向量法，设圆锥曲线的方程为F(x,y)=0，其中F(x,y)是一个二次函数。

设该点为P(x0,y0)，该圆锥曲线的另一个焦点为F(xf,yf)，则有：F(x0,y0) = c * PF^2其中PF表示点P到焦点F的距离，c为常数。

我们可以将F(x,y)在点P处进行泰勒展开，得到：F(x,y) = F(x0,y0) + Fx(x0,y0) * (x - x0) + Fy(x0,y0) * (y - y0) + ...其中Fx和Fy分别表示F(x,y)对x和y的偏导数。

由于点P在圆锥曲线上，所以F(x0,y0) = 0，且Fx(x0,y0) * (x - x0) + Fy(x0,y0) * (y - y0) = 0。

这意味着点P到圆锥曲线的切线垂直于向量(Fx(x0,y0),Fy(x0,y0))，即该向量是圆锥曲线在点P处的法向量。

双曲线中的向量问题1.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F (2,0)，一条渐近线方程为x -3y =0．(1)求双曲线C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 、B ，过F 的直线l 交C 的右支于M ,N 两点，连结MB 交直线x =32于点Q ，求证：A 、Q 、N 三点共线．【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)依题意可得a 2+b 2=4，b a =13，解得a 2=3，b 2=1故C 的方程为x 23-y 2=1.(2)易得A (-3,0)，B (3,0)显然，直线l 的斜率不为0，设其方程为x =my +2，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 联立方程x =my +2x 2-3y 2=3，消去x 整理得m 2-3 y 2+4my +1=0，所以y 1+y 2=-4m m 2-3，y 1y 2=1m 2-3．直线MB :y =y 1x 1-3(x -3)，令x =32得y =y 1(3-23)2x 1-3，故Q 32,y 1(3-23)2x 1-3AN =x 2+3,y 2 ，AQ =32+3,y 1(3-23)2x 1-3，32+3 y 2-y 1(3-23)x 2+3 2x 1-3=(3+23)y 2x 1-3 -y 1(3-23)x 2+32x 1-3，(*)又(3+23)y 2x 1-3 -y 1(3-23)x 2+3 =(3+23)y 2my 1+2-3 -y 1(3-23)my 2+2+3=[(3+23)m -(3-23)m ]y 1y 2+(3+23)(2-3)y 2+(23-3)(2+3)y 1=43my 1y 2+3y 1+y 2 =43m m 2-3+-43mm 2-3=0，即(*)的值为0．所以AN ⎳AQ,故A 、Q 、N 三点共线．﹒2.已知双曲线C ：x 24-y 25=1的左、右顶点分别为A ,B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若PF =3FQ ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ,BQ 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k1k 2为定值．【答案】(1)22x -y -62=0；(2)证明见解析.【解析】(1)设点P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，由PF =3FQ ，F 3,0 可得：3-x 1,-y 1 =3x 2-3,y 2 ，即x 1=12-3x 2y 1=-3y 2 ，将P 12-3x 2,-3y 2 ，Q x 2,y 2 代入双曲线C 方程得12-3x 2 24--3y 2 25=1x 224-y 225=1，消去y 2，解得：x 2=229，又点P 在x 轴上方，∴点Q 在x 轴下方，∴y 2=-1029，∴Q 229,-1029，∴k FQ =22，∴直线l 的方程为22x -y -62=0.(2)∵过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ,Q 两点，F 3,0 ，∴可设直线l 的方程为x =my +3，P my 1+3,y 1 ，Q my 2+3,y 2 ，联立方程x =my +3x 24-y 25=1，消去x 整理得：5m 2-4 y 2+30my +25=0，则5m 2-4≠0Δ=900m 2-4×25×5m 2-4 >0 ，解得：m ≠±255，∴y 1+y 2=-30m 5m 2-4，y 1y 2=255m 2-4，又A -2,0 ，B 2,0 ，∴k AP =k 1=y 1my 1+5，k BQ =k 2=y 2my 2+1，∴k1k 2=y 1my 2+1 y 2my 1+5=my 1y 2+y 1my 1y 2+5y 2，又my 1y 2=25m 5m 2-4=-56y 1+y 2 ，∴k 1k 2=-56y 1+y 2 +y 1-56y 1+y 2 +5y 2=-15，即k 1k 2为定值-15.3.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 1F 2 =8，P 4,6 是C 上一点．(1)求C 的方程；(2)过点M 1,1 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线l :y =3x -12交于点N ．设NA =λAM ，NB =μBM ，求证：λ+μ为定值．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设C 的焦距为2c ，则F 1F 2 =2c =8，即c =4，F 1-4,0 ，F 24,0 ；由双曲线的定义，得2a =PF 1 -PF 2 =4+42+62-4-42+62=4，即a =2，所以b =c 2-a 2=16-4=23，故C 的方程为x 24-y 212=1．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N m ,n ，显然直线AB 的斜率存在，可设直线AB 的方程为y -1=k x -1 ，代入3x 2-y 2=12，得3-k 2 x 2-2k 1-k x +2k -13-k 2=0．由过点M 1,1 的直线与C 交于两点A ，B ，得3-k 2≠0，由韦达定理，得x 1+x 2=2k 1-k 3-k 2，x 1x 2=2k -13-k 23-k 2； ①由N m ,n 在直线l :y =3x -12上，得n =3m -12，即12-3m +n =0； ②由N m ,n 在直线AB 上，得n -1=k m -1 ． ③由NA =λAM ，得x 1-m ,y 1-n =λ1-x 1,1-y 1 ，即x 1-m =λ1-x 1 解得λ=x 1-m1-x 1．同理，由NB =μBM ，得μ=x 2-m 1-x 2，结合①②③，得λ+μ=x 1-m 1-x 1+x 2-m 1-x 2=m +1 x 1+x 2 -2x 1x 2-2m1-x 1 1-x 2=m +1 ⋅2k 1-k 3-k 2-2×2k -13-k 23-k 2-2m 1-x 1 1-x 2 =2k m -1 -6m +261-x 1 1-x 2=2n -1 -6m +261-x 1 1-x 2 =2n -3m +12 1-x 1 1-x 2=0．故λ+μ是定值．4.已知双曲线的焦点在x 轴上，中心在原点，离心率为233，且过点6,1 .(1)求双曲线的标准方程；(2)双曲线的左右顶点为A ，B ，且动点C m ,n ，D m ,-n 在双曲线上，直线BC 与直线AD 交于点P ，M -2,0 ，N 2,0 ，求PM ⋅PN的取值范围.【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)-1,1 .【解析】(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，联立6a 2-1b 2=1,c 2=a 2+b 2,c a =233, 得a 2=3，b 2=1，所以双曲线的标准方程为x 23-y 2=1.(2)解：已知C m ,n ，D m ,-n ，A -3,0 ，B 3,0 .当m =±3时，动点P 与点A ，B 重合，当m ≠±3时，直线AD :y =n-3-mx +3 ，直线BC :y =nm -3x -3 ，联立两直线方程得y 2=n 23-m2x 2-3 .又因为m 23-n 2=1，即-3n 2=3-m 2，所以y 2=-13x 2-3 ，即x 23+y 2=1.又PM ⋅PN =PO +OM PO -OM =PO 2-OM 2=PO 2-2，且PO ∈1,3 ，所以PM ⋅PN∈-1,1 .5.双曲线C 2：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的顶点与椭圆C 1：x 23+y 2=1长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为y =33x ．(1)求双曲线C 2的方程；(2)过双曲线C 2右焦点F 作直线l 1与C 2分别交于左右两支上的点P ，Q ，又过原点O 作直线l 2，使l 2⎳l 1，且与双曲线C 2分别交于左右两支上的点M ，N ．是否存在定值λ，使得MN ⋅MN =λPQ？若存在，请求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 23-y 2=1；(2)存在；λ=2 3.【解析】(1)由椭圆C 1：x 23+y 2=1得到：a =3，双曲线的渐近线方程为y =33x ，得到：b a =33，解得：b =1.则双曲线C 2的方程x 23-y 2=1．(2)若存在定值λ，使得MN ⋅MN =λPQ ，∵MN 与PQ 同向，∴λ=MN2PQ，∵F 2,0 ，设l 1：x =ty +2，由x =ty +2x 2-3y 2=3消去x 整理得：t 2-3 y 2+4ty +1=0，∴y 1+y 2=-4t t 2-3y 1y 2=1t 2-3，由l 1交C 2左右两支于P 、Q 两点，有t 2-3≠016t 2-4t 2-3 >0x 1x 2<0，即t 2-3≠0ty 1+2 ty 2+2 <0，则t 2-3>0，PQ =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 2 2-4y 1y 2=1+t 2-4t t 2-3 2-4t 2-3=23t 2+1 t 2-3，由于l 2⎳l 1，可设l 2：x =ty ，由x =tyx 2-3y 2=3消去x 整理得：t 2-3 y 2=3，∴y 2=3t 2-3，由此MN 2=1+t 2y --y 2=1+t 2 ⋅4y 2=121+t 2 t 2-3，∴λ=MN2PQ=23，故存在定值λ=23，使得MN ⋅MN =λPQ ．6.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的离心率为52，点P 4,3 在C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设过点1,0 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM ⋅QN为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24-y 2=1；(2)存在；QM ⋅QN =27364；定点Q 238,0 ．【解析】(1)由题意，16a 2-3b 2=1c a =52,a 2+b 2=c 2，解得a 2=4，b 2=1．∴双曲线方程为x 24-y 2=1；(2)设直线l 的方程为x =my +1，设定点Q t ,0 ，联立x 24-y 2=1x =my +1,，得m 2-4 y 2+2my -3=0．∴m 2-4≠0，且△=4m 2+12m 2-4 >0，解得m 2>3且m 2≠4．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，∴y 1+y 2=-2m m 2-4，y 1y 2=-3m 2-4，∴x 1+x 2=m y 1+y 2 +2=-2m 2m 2-4+2=-8m 2-4，x 1x 2=my 1+1 my 2+1 =m 2y 1y 2+m y 1+y 2 +1=-3m 2m 2-4-2m 2m 2-4+1=-4m 2+4m 2-4=-4-20m 2-4．∴QM ⋅QN=x 1-t ,y 1 ⋅x 2-t ,y 2 =x 1-t x 2-t +y 1y 2=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=-4-20m 2-4+t 8m 2-4-3m 2-4+t 2=-4+t 2+8t -23m 2-4为常数，与m 无关，∴8t -23=0，即t =238，此时QM ⋅QN =27364．∴在x 轴上存在定点Q 238,0 ，使得QM ⋅QN 为常数．7.已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率为2，点P 2,3 在E上，F 为E 的右焦点.(1)求双曲线E 的方程；(2)设Q 为E 的左顶点，过点F 作直线l 交E 于A ,B (A ,B 不与Q 重合)两点，点M 是AB 的中点，求证：AB =2MQ .【答案】(1)x 2-y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由已知可得e =c a =2，∴e 2=c 2a 2=1+b 2a2=4，解得：b 2=3a 2⋯①，又点P 2,3 在E 上，∴4a 2-9b2=1⋯②，由①②可得：a 2=1，b 2=3，∴双曲线E 的方程为x 2-y 23=1；(2)当l 的斜率为0时，此时A ,B 中有一点与Q 重合，不符合题意.当l 斜率不为0时，设l :x =ty +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立x =ty +23x 2-y 2=3得：3t 2-1 y 2+12ty +9=0，则Δ=36t 2+36>03t 2-1≠0 ，解得：t 2≠13.∴y 1+y 2=-12t 3t 2-1，y 1y 2=93t 2-1∴QA ⋅QB=x 1+1,y 1 ⋅x 2+1,y 2 =x 1+1 x 2+1 +y 1y 2=ty 1+3 ty 2+3 +y 1y 2=t 2+1 y 1y 2+3t y 1+y 2 +9=9t 2+13t 2-1+3t -12t3t 2-1+9=0，∴QA ⊥QB ，则△QAB 是直角三角形，AB 是斜边，∵点M 是斜边AB 的中点，∴MQ =12AB ，即AB =2MQ .8.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．9.已知F 1(-c ,0),F 2(c ,0)为双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0)的左、右焦点，过点F 2作垂直于x 轴的直线，并在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且∠MF 1F 2=30°．(1)求双曲线C 的方程；(2)过圆O :x 2+y 2=b 2上任意一点Q x 0,y 0 作圆O 的切线l ，交双曲线C 于A ,B 两个不同的点，AB 的中点为N ，证明：|AB |=2|ON |．【答案】(1)x 2-y 22=1；(2)证明见解析．【解析】(1)由题意，设F 2，M 的坐标分别为(1+b 2，0)，(1+b 2，y 0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1+b 2-y 02b2=1，即y 0=±b 2，所以|MF 2|=b 2，在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2=30°，|MF 2|=b 2，所以|MF 1|=2b 2，由双曲线的定义可知：|MF 1|-|MF 2|=b 2=2，故双曲线C 的方程为：x 2-y 22=1．(2)证明：由题意，即证：OA ⊥OB ．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线l 的方程为：x 0x +y 0y =2，①当y 0≠0时，切线l 的方程代入双曲线C 中，化简得：(2y 20-x 20)x 2+4x 0x -(2y 20+4)=0，所以：x 1+x 2=-4x 02y 02-x 02，x 1x 2=-2y 02+42y 02-x 02，又y 1y 2=8-2x 022y 02-x 02，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=-2y 02+42y 02-x 02+8-2x 022y 02-x 02=0；②当y 0=0时，易知OA =2,2 ,OB =2,-2 ，所以OA ⋅OB=x 1x 2+y 1y 2=0也成立；综上，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0，即OA ⊥OB ，所以AB =2ON ．10.已知双曲线C :x 2-y 22=1，点P 的坐标为0,3 ，过P 的直线l 交双曲线C 于点A ,B .(1)若直线l 又过C 的左焦点F ，求AF ⋅BF 的值；(2)若点M 的坐标为0,-34，求证：MA ⋅MB 为定值.【答案】(1)8；(2)证明见解析.【解析】(1)由双曲线C :x 2-y 22=1可得a =1，b =2，所以c =a 2+b 2=1+2=3，所以F -3,0 ，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，k PF =3-00--3 =1，所以直线l 的方程为y =x +3，由y =x +32x 2-y 2=2 联立得：x 2-23x -5=0，所以x 1+x 2=23, x 1x 2=-5，AF ⋅BF =x 1+3 2+y 12x 2+3 2+y 22=2x 1+3 x 2+3=2x 1x 2+3x 1+x 2 +3 =2×-5+3×23+3 =8.(2)由题意知直线l 的斜率存在，不妨设直线l :y =kx +3，由y =kx +32x 2-y 2=2可得：k 2-2 x 2+23kx +5=0，所以x 1+x 2=23k 2-k 2，x 1x 2=5k 2-2，MA =x 1,y 1+34 ，MB =x 2,y 2+34 ，MA ⋅MB =x 1x 2+y 1+34 y 2+34 =x 1x 2+kx 1+534 kx 2+534=1+k 2 x 1x 2+534k x 1+x 2 +7516=1+k 2 5k 2-2+53k 4⋅23k 2-k2+7516=3516.所以MA ⋅MB =3516为定值.11.已知双曲线Γ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 过点P 3,6 ，且Γ的渐近线方程为y =±3x .(1)求Γ的方程；(2)如图，过原点O 作互相垂直的直线l 1，l 2分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从①②两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.①求四边形ACBD 面积的取值范围；②设直线AD 与两渐近线分别交于M ，N 两点，是否存在直线AD 使M ，N 为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 2-y 23=1;(2)若选①，S ≥6；若选②，直线AD 不存在.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为y =±3x ，故b a =3，又3a 2-6b2=1，解得a =1,b =3，故双曲线的方程为：x 2-y 23=1.(2)若选①，由题设可知直线l 1，l 2的斜率均存在且均不为零，设l 1:y =kx ，l 2:y =-1kx ，设l 1:y =kx ，则{y =kx 3x 2-y 2=3可得x 2A =33-k 2，其中-3<k < 3.同理x 2C=3k 23k 2-1，其中-3<-1k <3，故-3<k <-33或33<k <3，故AB 2=121+k 2 x 2A =121+k 23-k 2，同理CD 2=121+1k2 3-1k2=121+k 23k 2-1，故四边形ACBD 的面积S 满足：S 2=14×121+k 2 3-k 2×121+k 2 3k 2-1=36×1+k 2 23-k 2 3k 2-1=36×k +1k 216-3k +1k2=36×116k +1k2-3，令y =k +1k ，则y=k 2-1k 2，当-3<k <-1或1<k <3时，y >0；当-1<k <-33或33<k <1时，y <0；故y =k +1k在-3,-1 ，1,3 上为增函数，在-1,-33 ，33,1 上为减函数，故当-3<k <-33或33<k <3时，2≤k +1k <433或-433<k +1k≤-2，所以4≤k +1k2<163，故S 2≥36即S ≥6.若选②，先考虑A ,D 在x 轴上方，且A 在第一象限，D 在第二象限，设M m ,3m ,N n ,-3n ，其中m >0,n <0，若M ，N 为线段AD 的三等分点，则DN =NM可得n -x D ,-3n -y D =m -n ,3m +3n ，故x D =2n -m ,y D =-23n -3m ，同理x A =2m -n ,y A =23m +3n ，所以2n -m 2--23n -3m 23=12m -n2-23m +3n 23=1 ，整理得mn =-18，而OA ⊥OD ，故x A x D +y A y D =0，故(2n -m )×(2m -n )-(23m +3n )×(23n +3m )=0，整理得到m 2+n 2=-54×mn ⇒(m +n )2=34×mn =-332，故无解，故满足条件的直线AD 不存在，由双曲线的对称性可得直线AD 不存在.12.已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且当l 垂直于x 轴时，PQ =6；(1)求双曲线的方程；(2)过点F 且垂直于l 的直线l '与双曲线交于M ，N 两点，求MP ⋅NQ +MQ ⋅NP的取值范围．【答案】(1)x 2-y 23=1;(2)-∞,-12【解析】(1)依题意，c =2a ，当l 垂直于x 轴时，PQ =2b 2a=6，即b 2=3a ，即c 2-a 2=3a ，解得a =1，b =3，因此x 2-y 23=1；(2)设l PQ :x =my +2，联立双曲线方程x 2-y 23=1，得：3m 2-1 y 2+12my +9=0，当m =0时，P 2,3 ,Q 2,-3 ,M 0,-1 ,N 0,1 ，MP ⋅NQ +MQ ⋅NP=-12，当m ≠0时，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,M x 3,y 3 ,N x 4,y 4 ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此y 1y 2=93m 2-1<0，即m ∈-33,0 ∪0,33 ，同理可得y 3y 4=9m 23-m 2，依题意MP ⋅NQ =MF +FP ⋅NF +FQ =MF ⋅NF +FP ⋅FQ，同理可得，MQ ⋅NP =MF +FQ ⋅NF +FP =MF ⋅NF +FP ⋅FQ，而FP ⋅FQ +MF ⋅NF =1+m 2 y 1y 2+1+1m2 y 3y 4，代入y 1y 2=93m 2-1，y 3y 4=9m 23-m 2，FP ⋅FQ +MF ⋅NF =91+m 2 3m 2-1+91+m 2 3-m 2=-181+m 2 21-3m 2 3-m 2 =-63m 4+6m 2+3 3m 4-10m 2+3，分离参数得，FP ⋅FQ +MF ⋅NF=-6-96m 23m 4-10m 2+3，因为m ∈-33,0 ∪0,33，当m 2∈0,13 时，由m 2+1m 2∈103,+∞ ，FP ⋅FQ +MF ⋅NF =6-963m 2+1m2 -10∈-∞,-6 ，所以MP ⋅NQ +MQ ⋅NP =2FP ⋅FQ +MF ⋅NF∈-∞,-12 ，综上可知，MP ⋅NQ +MQ ⋅NP的取值范围为-∞,-12 .13.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 的左、右准线与其一条渐近线y =2x 的交点分别为A ，B ，四边形AF 1BF 2的面积为4.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知l 为圆O :x 2+y 2=43的切线，且与C 相交于P ，Q 两点，求OP ⋅OQ .【答案】(1)x 2-y 24=1；(2)0.【解析】(1)设F 1F 2=2c ，由直线y =2x 是双曲线C 的一条渐近线，得ba=2①，因为双曲线C 的准线方程为x =±a 2c，由x =a 2c y =2x得y =2a 2c ，所以B a 2c ,2a 2c ，由双曲线的对称性，得S 四边形AF 1BF 2=4S △BOF 2=4×12c ⋅2a 2c=4a 2，由四边形AF 1BF 2的面积为4，可得4a 2=4，即a =1，结合①得，b =2，所以双曲线C 的方程为x 2-y 24=1.(2)①当直线l 的不斜率存在时，对于圆O :x 2+y 2=43，不妨考虑l :x =233，则由x =233,x 2-y 24=1,得x =233,y =±233,，所以P 233,233 ，Q 233,-233 ，所以OP ⋅OQ=0.②当直线l 的斜率存在时，设l :y =kx +m ，因为直线l 与C 相交于P ，Q 两点，所以k ≠±2.因为直线PQ 与圆O 相切，所以|m |1+k 2=233，即m 2=431+k 2(*)，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，双曲线中的向量问题第11页由y =kx +m ,x 2-y 24=1,消y 得4-k 2 x 2-2kmx -m 2+4 =0(k ≠±2)，结合(*)，有Δ=(2km )2+44-k 2 m 2+4 =163k 2+16>0，所以x 1+x 2=2km 4-k 2，x 1x 2=-m 2+44-k 2，所以OP ⋅OQ=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+kx 1+m kx 2+m ，=1+k 2 x 1x 2+km x 1+x 2 +m 2=-1+k 2m 2+44-k 2+2k 2m 24-k2+m 2=3m 2-4k 2+1 k 2-4.结合(*)，得OP ⋅OQ =3×431+k 2 -4k 2+1k 2-4=0.综上，OP ⋅OQ =0.14.已知双曲线C 的方程为y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 ，离心率e =52,顶点到渐近线的距离为255(1)求双曲线C 的方程;(2)设P 是双曲线C 上的点,A ,B 两点在双曲线C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若AP =λPB ,λ∈13,2,求△AOB 面积的取值范围.【答案】(1)y 24-x 2=1;(2)2,83【解析】(1)由题,一条渐近线方程y =bax ⇒bx -ay =0, 可知c a =52ab -0 a 2+b 2=255 ⇒c a =52ab c =255 ,两式相乘有b =1,又c 2=a 2+b 2.故c a =52⇒a 2+1a2=54⇒a 2=4,c 2=5.故双曲线C 的方程：y 24-x 2=1(2)由题,渐近线方程为y =±2x ,故设P (x 0,y 0),A (x 1,2x 1),B (x 2,-2x 2)因为AP =λPB ,故x 0-x 1=λ(x 2-x 0)y 0-2x 1=λ(-2x 2-y 0) ⇒x 0=x 1+λx 21+λy 0=2x 1-λx 21+λ,将点P (x 0,y 0)代入双曲线方程有x 1-λx 21+λ 2-x 1+λx 21+λ 2=1.化简得x 1x 2=-1+λ24λ.故S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 =12x 1(-2x 2)-x 2×2x 1 =2x 1x 2 =1+λ 22λ=12λ+1λ+2 .双曲线中的向量问题第12页因为λ∈13,2,由对勾函数性质得λ+1λ∈2,103,故S △AOB =12λ+1λ+2 ∈2,83 15.已知椭圆C 1：x 24+y 2=1，F 1,F 2为C 1的左、右焦点.(1)求椭圆C 1的焦距；(2)点Q 2,22为椭圆C 1一点，与OQ 平行的直线l 与椭圆C 1交于两点A 、B ，若△QAB 面积为1，求直线l 的方程；(3)已知椭圆C 1与双曲线C 2：x 2-y 2=1在第一象限的交点为M (x M ,y M )，椭圆C 1和双曲线C 2上满足x ≥x N 的所有点(x ,y )组成曲线C .若点N 是曲线C 上一动点，求NF 1 ⋅NF 2的取值范围.【答案】(1)23；(2)y =12x ±1；(3)-45,+∞ .【解析】(1)由椭圆C 1：x 24+y 2=1可得：a =2，b =1，c =a 2-b 2=3，则椭圆C 1的焦距为2c =23；(2)由k OQ =12，设l :y =12x +m ，代入x 2+4y 2=4得x 2+2mx +2m 2-2=0，由Δ=4m 2-8(m 2-1)=8-4m 2>0，得m <2，x A +x B =-2m ，x A x B =2m 2-2，所以AB =1+14⋅(-2m )2-4(2m 2-2)=5⋅2-m 2，又Q 到直线l 的距离为d =m5，由S △QAB =12⋅d ⋅AB =m ⋅2-m 2=1,m =±1，所以l :y =12x ±1；(3)由x 2+4y 2=4x 2-y 2=1 ，解得x M =2105y M =155，设N (x ,y )是曲线C 上一点，则F 1(-3,0),F 2(3,0)，NF 1 =(-3-x ,-y )，NF 2=(3-x ,-y )，所以NF 1 ⋅NF 2=x 2+y 2-3；当点N 在曲线x 2+4y 2=4x ≥x M 上时，NF 1 ⋅NF 2=1-3y 2，当y =155时，(NF 1 ⋅NF 2 )min =-45，当y =0时，(NF 1 ⋅NF 2)max =1，所以NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,1 ；当点N 在曲线x 2-y 2=1x ≥x M 上时，NF 1 ⋅NF 2=2y 2-2；当y =155时，(NF 1 ⋅NF 2 )min =-45，NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,+∞ ；综上，NF 1 ⋅NF 2 ∈-45,+∞ .双曲线中的向量问题第13页。

解析几何专练8（1）抛物线的定点、定值、定直线及向量问题12、6一、弦的斜率.（1）设()11,A x y 、()22,B x y 为()220y px p =>上两点，则=AB k ,若AB 的中点为),00y x M （，则=AB k ；若A,B 重合于),33y x N （,则在N 点处的切线的斜率为。

(2)设()11,A x y 、()22,B x y 为)0(22>=p py x 上两点，则=AB k ,若AB 的中点为),00y x M （，则=AB k ；若A,B 重合于),33y x N （,则在N 点处的切线的斜率为。

二、平行弦：抛物线一组平行弦的中点的轨迹是三、切线及切点弦：设()220y px p =>，证明:(1)以),00y x N （为切点的切线方程是00px px y y +=.(2)从抛物线外一点),t s M （，向抛物线引两条切线MB MA ,,B A ,为切点，AB 的方程为px ps ty +=证明:【题型一】定点问题1.已知抛物线Γ：()220y px p =>的焦点为F ，直线,AB CD 过焦点F 分别交抛物线Γ于点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,C x y 、()44,D x y ，其中,A C 位于x 轴同侧，且BC 经过点,04p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，记BC ，AD 的斜率分别为BC k ，AD k ，则下列正确的有（）A ．212y y p =-B ．AD 过定点C ．4BC ADk k =D ．AD 的最小值为22已知抛物线2:2C y px =过点()2,2P ，O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)直线:l y kx b =+与抛物线C 交于不同的两点A 、B （A 、B 不与O 重合）．过点A 作x 轴的垂线分别与直线OP 、OB 交于点M 、N ，且M 为线段AN 的中点．试判断直线l 是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．3．已知抛物线29y x =上一动点G ，过点G 作x 轴的垂线，垂足为D ，M 是GD 上一点，且满足13GM GD = .(1)求动点M 的轨迹C ；(2)若()0,4P x 为曲线C 上一定点，过点P 作两条直线分别与抛物线交于A ，B 两点，若满足2PA PB k k +=-，求证：直线AB 恒过定点，并求出定点坐标.4．已知抛物线的方程是24y x =，直线l 交抛物线于A ，B 两点.(1)若弦AB 的中点为()2,2，求弦AB 的直线方程；(2)设()()1122,,,A x y B x y ，若1216y y =-，求证：直线AB 过定点.5（2022·全国·高三期末）已知椭圆1C 和抛物线2C 的焦点均在x 轴上，1C 的中心和2C 的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：x 52-42262y 2504-3212-(1)求1C 和2C 的方程；(2)过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线l 交椭圆1C 于A B 、两点，在y 轴上是否存在定点D ，使以线段AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D 的坐标，若不存在，说明理由．6（2022·重庆高三阶段练习）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为)3,0F ，渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求12,C C 的方程；(2)设A 是1C 与2C 在第一象限的公共点，作直线l 与1C 的两支分别交于点,M N ，便得AM AN ⊥.（i ）求证：直线MN 过定点；（ii ）过A 作AD MN ⊥于D .是否存在定点P ，使得DP 为定值？如果有，请求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由.。

1向量专题一、定比分点的向量形式及运用定理：（定比分点公式的向量形式）设点P 分21P P 的比为l （即21PP P P l =，1-¹l ），Q 为平面上的任意一点，则.11121QP QP QP ll l +++=证明：,21PP P P l = (),21QP QP QP QP -=-\l即(),121QP QP QP l l +=+即.11121QP QP QP l l l+++=推论1：设点P 为OAB D 的边AB 上的点，且,,n PB m AP ==则.OB nm m OA nm n OP +++=推论2：设点P 为OAB D 的边AB 的中点，则().21OB OA OP +=推论3：OAB D 中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使()OB t OA t OP -+=1成立。

推论4： （定比分点公式）在直角坐标平面中，设()()(),,,,,,222111y x P y x P y x P 且点P 分21P P 的比为l （其中1-¹l ），则.1,11121ll l l ++=++=y y y xx x例1 如图，在ABC D 中，E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 之间，F 是AC 的中点，G 是AB 的中点，设H 是线段DF 与EG 的交点，求比值.:HG EH例2 如图所示，已知ABC D 的面积为E D cm ,,142分别是边BC AB ，上的点，且，1:2::==EC BE DB AD 求PAC D 的面积。

例3 已知G 是ABC D 的重心，过点G 任作一条直线l ，分别交边AC AB ，于点，，E D 若.,AC y AE AB x AD ==求证：yx 11+为定值。

二、奔驰定理与三角形五心的向量表达 【奔驰定理】设P 是ABC D 内一点，记三角形PBA PCA PBC ,,面积分别为，C B A S S S ,,则.0=++PC S PB S PA S C B A延长AP 至点D ，则BCPCD ACD PBD ABD PCD PBD ACD ABD S S S S S S S S S S CD BD =--===D D D D D D D D 用同样方法可得ACB S S S PD PA+=由以上两式结合定比分点坐标公式分别可得PB S S S PB S S S PD C B C C B B+++=(1)PA S S S PD CB A+-= (2)()()21-化简即得.0=++PC S PB S PA S C B A奔驰定理：点O 为ABC D 内任意一点，求证：.00=+×+×D D D OC SOB SOA S BA AOCBOC证明：考虑到存在R Îg m l 、、， 使得0=×+×+×OC OB OA g m l (1)如图：设，OC OF OB OE OA OD ×=×=×=g m l ,, 0=++\DF DEOD\点O 为DEF D 的重心。

圆锥曲线专题——定点、定值问题定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型【例题】已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k--+++=+++， 整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220b a b a y b a b a x +-+-。

向量相量矢量向量、相量和矢量是物理学、数学等领域中常用的概念。

它们在描述物理量、运动及力的作用等方面都具有重要的意义。

但是，对于初学者来说，有时候很容易将这三个概念混淆起来。

因此，本文将对这三个概念进行简单介绍和区分。

第一步：向量向量，又称矢量，是描述空间中大小和方向的物理量。

在数学中，向量通常由箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

向量的运算包括加法和数量积，在物理学中，向量通常被用于表示力、速度、加速度等物理量。

举个例子，当我们用一定的力推动物体时，我们可以将这个力表示成一个向量，向量的大小代表施加这个力的大小，箭头的方向表示力的方向。

第二步：相量相量是指量纲相等、方向相反的“反向矢量”，在物理学中常用于表示电流、电势、角位移等物理量。

相量有以下特点：①量纲相等②方向相反③大小相等。

举个例子，当一个电流从左往右流动时，其方向可以用一个向量表示，而回路中的欧姆定律告诉我们，电流的大小与电势差之比是定值，可以用一个相量表示。

相量在计算物理量时有很大的作用。

第三步：矢量矢量和向量是一个概念，但是在日常口语中，我们更多地使用向量这个术语。

而在工程和物理学中，矢量和向量是等价概念。

通常来讲，矢量是由大小和方向构成的物理量。

矢量的大小用标量表示，其方向则用一个单位向量表示。

矢量的常见运算有加法、减法和数量积。

举个例子，一个物体受到的重力是一个矢量，其大小由万有引力定律决定，方向则垂直于地面。

总结：向量、相量和矢量是物理学、数学等领域中非常重要的概念。

在实际应用中，它们具有不同的作用和定义。

向量主要用于描述大小和方向的物理量，相量则表示量纲相等、方向相反的物理量，而矢量则包括向量和相量两个概念，用于表示大小和方向的物理量。

熟练掌握这些概念，有利于我们更好地理解和应用物理学、数学等相关领域的知识。

解析几何中的定点定值问题考纲解读：定点定值问题是解析几何解答题的考查重点。

此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线的圆，圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。

考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数和方程等数学思想方法。

一、定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

例1、已知A 、B 是抛物线y 2=2p x (p >0)上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当α、β变化且α+β=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

解析： 设A 〔121,2y p y 〕，B 〔222,2y py 〕，则 212tan ,2tan y py p==βα，代入1)tan(=+βα得221214)(2p y y y y p -=+ 〔1〕 又设直线AB 的方程为b kx y +=，则022222=+-⇒⎩⎨⎧=+=pb py ky pxy bkx y ∴kpy y kpby y 2,22121=+=，代入〔1〕式得pk p b 22+= ∴直线AB 的方程为)2(2p x k p y +=- ∴直线AB 过定点〔-)2,2p p说明：此题在特殊条件下很难探索出定点，因此要从已知出发，把所求的定点问题转化为求直线AB ，再从AB 直线系中看出定点。

例2．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -相切． ⑴求椭圆C 的方程；⑵设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：⑴由题意知c e a ==22222234c a b e a a -===，即224a b =，又因为1b ==，所以224,1a b ==，故椭圆C 的方程为C ：2214x y +=．⑵由题意知直线PN 的斜率存在，设直线PN 的方程为(4)y k x =- ① 联立22(4)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：2222(41)324(161)0k x k x k --+-=， 由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<， 又0k =不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是0k <<或0k <<． ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--， 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②由得①2212122232644,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．【针对性练习1】 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程；⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解：⑴∵点M到(),0，),0的距离之和是4，∴M 的轨迹C 是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆，其方程为2214x y +=．⑵将y kx b =+，代入曲线C的方程，整理得22(14)40k x +++= ，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y，则12x x +=，122414x x k=+ ②且2212121212()()()()y y kx b kx b k x x kb x x b ⋅=++=+++，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+．由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①，当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6556y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，且不过点A ．综上，k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点． 【针对性练习2】在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

平面向量常见基础题型（一）向量共线1. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ2．已知），（），，（），，（73231x C B A --，设=，=且∥，则x 的值为 （ ）(A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 183．已知，是同一平面内的两个向量，其中a =（1，252=，且a ∥，求的坐标4.n 为何值时，向量），（1n =与),4(n =共线且方向相同？5.已知,不共线，k -=+=,，如果c ∥d ，那么k= ,c 与d 的方向关系是（二）向量的垂直1．已知向量=--==n n 与），若，（，（211242==，且与的夹角为3π，若的值垂直，求与k k k 22-+。

3.已知单位向量⊥-，求证：（的夹角为和23π4.已知,24），（=求与垂直的单位向量的坐标。

5. ）满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥，___=+⊥（（三）向量的夹角1.平面向量,41==且满足2.=，则与的夹角为2.已知非零向量,（2-⊥=，则与的夹角为3.已知平面向量,满足424)2.(==-=+-（且，则与的夹角为 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<,5.的夹角。

与求b a ,732=+==6.若非零向量b a ,,0).2(=+=则b a 与的夹角为（四）求向量的模1.已知零向量==+==，则），（2510.,12 2. 已知向量,====221 3. 已知向量)3,1(=，=+-=b )0,2(4．已知向量-==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 5. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，（）==+=BC162(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 16. 设向量，则+-⊥==2),2(,21 （五）投影1．，45==，与的夹角32πθ=，则向量在向量上的投影为 2已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）ABC．D． 3在Rt △ABC 中，===∠AC C .,4,2则π4关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：① )(-⊥； ② ⊥ ；③0).(=- ④在方向上的投影等于在 方向上的投影 ；⑤λ=；⑥=,其中正确的个数是 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 （六）平面向量基本定理1在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =-3 中，边的高为，若，，，，，则 （A ） （B ）（C ） （D ） ABC ∆AB CD CB a =CA b =0a b ⋅=||1a =||2b =AD =1133a b -2233a b -3355a b -4455a b -4设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.5向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.（七）向量定值1在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=________.2己知正方形ABCD 的边长为l ，点E 是AB 边上的动点.则的值为 ，的最大值为_________.3如图在平行四边形ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为P ，且= .4 如图，在矩形中，，点是的中点，点在边上，若，则的值是5.如图，在ΔABC 中，，，， 则=（ ） （A ） （B ）（C ） （D ） 6如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是 ．AB AC ⋅DE CB ⋅DE DC ⋅3AP =AP AC ABCD 2,2AB BC ==E BC F CD 2AB AF ⋅=AE BF ⋅AD AB ⊥3BC =BD 1AD =AC AD ⋅2332333ABCDEF参考答案：（一）1、51- 2、B 3、（2,4）或（-2，-4） 4、n=2 5、k=-1 相反 （二）1、2 2、±4 3、略 4、（552,55-）或（552,55-） 5、（37,97--） （三）1、3π2、3π 3、32π 4、32π 5、32π 6、32π （四）1、5 2、6 3、2 4、2 5、C 6、10 （五）1、-2 2、A 3、16 4、B（六）1、B 2、A 3、D 4、215、-4（七）1、-16 2、1 ，1 3、18 4、2 5、D 6、22。

圆·向量数量积·定值向量数量积的几何意义：一个向量在另一个向量上的投影。

定义两向量的数量内积等同于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积两向量α与β的数量积α·β=|α|*|β|cosθ其中|α||β|是两向量的模θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)若存有座标α(x1,y1,z1) β(x2,y2,z2)那么α·β=x1x2+y1y2+z1z2|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)把|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影因此用数量内积可以算出两向量的夹角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|已知两个向量a和b,它们的夹角为c,则a的模乘以b的模再乘以c的余弦称为a与b 的数量积(又称内积、点积。

)即为未知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫作a与b的数量内积,记作a·b&quot;·不容省略若用×则变成了向量内积向量积性质几何意义及其运用叉积的长度|a×b| 可以解释成这两个叉乘向量a,b共起点时，所构成平行四边形的面积。

据此有：混合积[abc] = (a×b)·c可以得到以a，b，c为棱的平行六面体的体积。

[1]代数规则1.反交换律：a×b= -b×a2.乘法的分配律：a× (b+c) =a×b+a×c3.与标量乘法兼容：(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)4.不满足用户结合律，但满足用户雅基数排序恒等式：a× (b×c) +b× (c×a)+c× (a×b) =05.分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的 r3 构成了一个李代数。

题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。