2014届高考数学(理)一轮复习专题集训：平面向量的数量积

数学复习：平面向量数量积的计算一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19352.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b 满足a =，)(21R e e b ∈+=λλ ，其中21,e e 为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b ，恒有4a b +≥ ，则21,e e 夹角的最小值是（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π2例2-2.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，点E 在边BC 上，3BC BE =，若G 为线段DC 上的动点，则AG AE ⋅的最大值为（）A ．2B ．83C ．103D ．43.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为（）6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC =，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6平面向量数量积的计算答案一．基本原理（3）夹角：222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +⋅++=⋅⋅= θ投影也是一个数量，不是向量.当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当直角时投影为0；当0θ=时投影为||b；当180θ= 时投影为b - 5.极化恒等式人教版必修二第22页练习3设置了这样的问题：求证：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .若我们将这个结论进一步几何化，就可以得到一把处理数量积范围问题的利器：极化恒等式.下面我先给出这道习题的证明，再推出该恒等式.证明：由于→→→→→→++=+b a b a b a 2)(222，→→→→→→-+=-b a b a b a 2)(222两式相减可得：22)()(4→→→→→→--+=⋅b a b a b a .特别，在ABC ∆中，设→→→→==AC b AB a ,，点M 为BC 中点，再由三角形中线向量公式可得：2241→→→→-=⋅BC AM AC AB (极化恒等式).6.与外心有关的数量积计算结论：如图1，||||||cos ||OB OD OB AOB OA OB OA ⋅=⋅∠=⋅→→，特别地，若点A 在线段OB 的中垂线上时，2||21OB OB OA ⋅=⋅→→.如图1如图2进一步，外心性质：如图2，O 为ABC ∆的外心，可以证明：（1）.2||21→→→=⋅AB AB AO ；2||21→→→=⋅AC AC AO ，同理可得→→⋅BC BO 等.（2）.)|||(|4122→→→→+=⋅AC AB AF AO ，同理可得→→⋅BF BO 等.（3）.)|||(|2122→→→→-=⋅AB AC BC AO ，同理可得→→⋅AC BO 等.证明:AO BC AD BC ⋅=⋅ ()()2222111()().222AB AC AC AB AC AB n m =+-=-=-二．典例分析1.定义法计算例1．已知向量a ，b 满足||5a = ，||6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,=a a b <+> （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【解析】5a = ，6b = ，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= .7a b+=，因此，()1919cos,5735a a ba a ba a b⋅+<+>===⨯⋅+.2.基底法计算例2-1．已知平面向量,a b满足4a=，)(21Reeb∈+=λλ，其中21,ee为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量,a b，恒有4a b+≥，则21,ee夹角的最小值是（）A．6πB．π4C．π3D．π2【解析】因a=221()||cos,0||cos,8a b a b b b a b b a b+⇔+≥⇔〈〉≥⇔≥〈〉，依题意，||2b≥恒成立，而21eebλ+=，21,ee为不共线的单位向量，即有2221,cos21be=++λλ，于是得21,cos221,cos21221221++⇔≥++λλλλeee恒成立，则02,cos4212≤-=∆ee，即有22,cos2221≤≤-e，又π≤≤21,0ee，解得43,421ππ≤≤ee，所以21,ee夹角的最小值是π4.例2-2.已知菱形ABCD的边长为2，120BAD︒∠=，点E在边BC上，3BC BE=，若G为线段DC上的动点，则AG AE⋅的最大值为（）A．2B．83C．103D．4【答案】B【解析】由题意可知，如图所示因为菱形ABCD 的边长为2，120BAD ︒∠=，所以2AB AD == ,1cos1202222AB AD AB AD ︒⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，设[],0,1DG DC λλ=∈ ，则AG AD DG AD DC AD AB λλ=+=+=+ ，因为3BC BE =，所以1133BE BC AD ==,13AE AB BE AB AD =+=+ ,()2211(1333AG AE AD AB AB AD AD AB AD ABλλλ⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪⎝⎭ ()22110222123333λλλ⎛⎫=⨯+⨯++⨯-=- ⎪⎝⎭,当1λ=时，AG AE ⋅ 的最大值为83.3.坐标法例3．在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒．P 为ABC ∆所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅的取值范围是()A ．[5-，3]B ．[3-，5]C ．[6-，4]D ．[4-，6]【答案】D【解析】在ABC ∆中，3AC =，4BC =，90C ∠=︒，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图：则(3,0)A ，(0,4)B ，(0,0)C ，设(,)P x y ，因为1PC =，所以221x y +=，又(3,)PA x y =-- ，(,4)PB x y =--，所以22(3)(4)34341PA PB x x y y x y x y x y ⋅=----=+--=--+，设cos x θ=，sin y θ=，所以(3cos 4sin )15sin()1PA PB θθθϕ⋅=-++=-++ ，其中3tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，PA PB ⋅有最小值为4-，当sin()1θϕ+=-时，PA PB ⋅有最大值为6，所以[4PA PB ⋅∈- ，6].变式.在ABC ∆中，90A ∠=︒，2AB AC ==，点M 为边AB 的中点，点P 在边BC 上，则MP CP ⋅的最小值为．【答案】98-【解析】建立平面直角坐标系如下，则(2,0)B ，(0,2)C ，(1,0)M ，直线BC 的方程为122x y+=，即2x y +=，点P 在直线上，设(,2)P x x -，∴(1,2)MP x x =-- ，(,)CP x x =-，∴22399(1)(2)232()488MP CP x x x x x x x ⋅=---=-=--- ，∴MP CP ⋅ 的最小值为98-．4.投影法计算例4．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1、圆心在线段CD （含端点）上运动，点P 是圆Q 上及其内部的动点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．[2,8]B ．[4,8]C ．[2,10]D ．[4,10]【解析】由cos ,AP AB AB AP AP AB ⋅=⋅ ，可得AP AB ⋅ 为AB 与AP 在AB方向上的投影之积.正六边形ABCDEF 中，以D 为圆心的圆Q 与DE 交于M ，过M 作MM AB '⊥于M '，设以C 为圆心的圆Q 与AB 垂直的，切线与圆Q 切于点N 与AB 延长线交点为N '，则AP 在AB方向上的投影最小值为AM '，最大值为AN ',又1AM '=，cos 6014AN AB BC '=++=，则248AP AB ⋅≤⨯= ，212AP AB ⋅≥⨯= ，则AP AB ⋅ 的取值范围是[2,8].5.极化恒等式例5-1．已知ABC ∆是长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B ．32-C ．43-D ．1-【解析】（方法1.几何法）设点M 为BC 中点，可得→→→=+PM PC PB 2，再设AM 中点为N ，这样用极化恒等式可知：22212→→→→-=⋅AM PN PM P A ，在等边三角形ABC ∆中，3=AM ，故→→⋅PM P A 取最小值当且仅当2322-=⋅→→→PN PM P A 取最小，即0||=→PN ，故23)(min -=⋅→→PM P A .（方法2.坐标法）以BC 中点为坐标原点，由于(0A ，()10B -，，()10C ，．设()P x y ，，()PA x y =- ，()1PB x y =--- ，，()1PC x y =--，，故()2222PA PB PC x y ⋅+=-+ 2233224x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则其最小值为33242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，此时0x =，32y =．例5-2.已知等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，点P ，则PA PB PA PC ⋅+⋅ 的最小值为（）A ．14B ．10C ．8D ．2【解析】（法1.极化恒等式）根据题干特征，共起点的数量积范围问题，我们尝试往恒等式方向走.记BC 中点为M ，AM 中点为N .由于→→→→→⋅=+⋅PM P A PC PB P A 2)(，而)41(2222→→→→-=⋅AM PN PM P A .由于ABC ∆为等边三角形，则M O A ,,三点共线，且由于O 是外心，也是重心，故32=⇒=AM OA .则→→→→⇔+⋅min min ||)]([PN PC PB P A ，显然，由P 在圆外，且N O ,共线（AM 中点为N ），则25||||||min =-=→→→ON OP PN .综上所述，8212)]([22min min =⋅-=+⋅→→→→→AM PN PC PB P A .（法2.基底法）()()()()PA PB PA PC PO OA PO OB PO OA PO OC ⋅+⋅=+++++ 22()()PO PO OA OB OA OB PO PO OA OC OA OC=+++⋅++++⋅ 22()PO PO OA OB OA OC OA OB OA OC =+++++⋅+⋅ ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，因此1cos 22()22OA OB OA OB AOB ⋅=⋅⋅∠=⨯⨯-=- ，3OP == ，因为等边ABC ∆的三个顶点均在圆224x y +=上，所以原点O 是等边ABC ∆的重心，因此0OA OB OC ++= ，所以有：18221414cos PA PB PA PC PO OA OP OA OP OA AOP⋅+⋅=+⋅--=-⋅=-⋅⋅∠ 146cos AOP =-∠，当0AOP ∠=时，即,OP OA 同向时，PA PB PA PC ⋅+⋅ 有最小值，最小值为1468-=.6.外接圆性质例6-1．已知点O 是ABC ∆的外心，6AB =，8BC =，2π3B =，若BO xBA yBC =+ ，则34x y +=（）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，点O 在AB 、AC 上的射影是点D 、E ，它们分别为AB 、AC 的中点．由数量积的几何意义，可得21182BO BA BA BD AB ⋅=⋅== ，23212BC BO BC BE BC ⋅=⋅== ．又2π3B =，所以1cos 68242BA BC BA BC B ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又BO xBA yBC =+ ，所以()2362418BO BA xBA yBC BA BA C x y BA x B y =+⋅⋅=+⋅=-= ，即1286x y -=．同理()2246432BO BC xBA yBC BC C y x B BC y BA x ⋅⋅=++⋅=+==- ，即384x y -+=，解得1091112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以710113434912x y +=⨯+=⨯．例6-2．已知O 是ABC ∆的外心，4||=AB ，2AC = ，则()AO AB AC ⋅+= （）A ．10B ．9C ．8D ．6【解析】如图，O 为ABC ∆的外心，设,D E 为,AB AC 的中点，则,OD AB OE AC ⊥⊥,故()AO AB AC AO AB AO AC ⋅+=+⋅⋅ ||||cos |||co |s AO AB AO AC OAD OAE ⋅∠+=∠⋅⋅⋅ ||||||||AD AB AE AC +=⋅⋅ 2222111||41||2222210AB AC +=+⨯⋅== .。

平面向量的数量积一、选择题1．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→的值等于( )A ．25B ．24C ．－25D ．－242．若向量a, b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．03．设x ，y ∈R，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．104．已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b 与向量c 的夹角θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知两个非零向量a 与b ，定义|a ×b |＝|a ||b |sin θ，其中θ为a 与b 的夹角．若a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，则|a ×b |的值为( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8二、填空题6．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(1，1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________；(2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．7．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 在a 方向上的投影为________．8．设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．三、解答题9．已知a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．11．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求sin θ＋2cos θsin θ－cos θ的值； (2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ·cos θ的值．解析及答案一、选择题1．【解析】 ∵|AB →|2＋|BC →|2＝|CA →|2，∴AB →⊥BC →，即AB →·BC →＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝CA →(BC →＋AB →)＝CA →·AC →＝－CA →2＝－25.【答案】 C2．【解析】 ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0，又∵a ∥b ，则设b ＝λa ，∴c ·(a ＋2b )＝(1＋2λ)c ·a ＝0.【答案】 D3．【解析】 ∵a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10.【答案】 B4．【解析】 ∵(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c＝1×3×cos 120°＋2×3×cos 120°＝－92， |a ＋b |＝（a ＋b ）2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝12＋2×1×2×cos 120°＋22＝3，∴cos θ＝（a ＋b ）·c |a ＋b |·|c |＝－923×3＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°.【答案】 D 5．【解析】 因为a ＝(－3，4)，b ＝(0，2)，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝85×2＝45，且θ∈[0，π]，则sin θ＝35，故|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝5×2×35＝6. 【答案】 C二、填空题6．【解析】 (1)∵2a ＋b ＝(3，1)，∴|2a ＋b |＝32＋12＝10.∴与2a ＋b 同向的单位向量2a ＋b |2a ＋b |＝(31010，1010)． (2)∵b －3a ＝(－2，1)，∴|b －3a |＝5，|a |＝1，(b －3a )·a ＝(－2，1)·(1，0)＝－2，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝（b －3a ）·a |b －3a ||a |＝－25＝－255. 【答案】 (1)(31010，1010) (2)－2557．【解析】 (a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝1＋1×2×cos 60°＝2，则a ＋b 在a 方向上的投影为（a ＋b ）·a |a |＝2. 【答案】 28．【解析】 由题意知OA →＝(－2，1)，OB →＝(4，3)，则|OA →|＝5，|OB →|＝5，OA →·OB →＝－2×4＋1×3＝－5，∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝－555＝－55， ∴sin ∠AOB ＝255， ∴S △OAB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12×5×5×255＝5. 【答案】 5三、解答题9．【解】 ∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )＞0，即(1，2)·(1＋λ，2＋λ)＞0，∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－53， 当a 与 a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝ma ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1，2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线．综上可知，λ＞－53且λ≠0. 10．【解】 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 11．【解】 ∵A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)， ∴AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)． (1)|AC →|＝|BC →|， ∴（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ，所以tan θ＝12， ∴sin θ＋2cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋2tan θ－1＝12＋212－1＝－5. (2)OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，∴OA →＋2OB →＝(1，2)，∵(OA →＋2OB →)·OC →＝1，∴2sin θ＋2cos θ＝1.∴(sin θ＋cos θ)2＝14， ∴sin θ·cos θ＝－38.。

平面向量的数量积知识点及归纳总结知识点精讲一、平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a 与b 的夹角．记作,a b ，并规定,a b []0,π∈.如果a 与b 的夹角是2π，就称a 与b 垂直，记为a b ⊥.(2) |a || b |cos ,a b 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a b ⋅,即a b ⋅＝| a || b |cos ,a b . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a b ⋅=0. 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a b ⋅＝±| a || b |. 二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度| a |与b 在a 方向上的射影| b |cos θ的乘积．即a b ⋅＝| a || b |cos θ.( b 在a 方向上的射影| b |cos θa b a⋅=;a 在b 方向上的射影| a |cos θa b b⋅=).三．平面向量数量积的重要性质 性质1 ||cos e a a e a θ⋅=⋅=. 性质2 .a b a b 0⊥⇔⋅=性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ⋅=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ⋅=.22||a a a a ⋅==或||a 性质4 cos ().||||a ba 0b 0a b 且θ⋅=≠≠性质5 ||||||.a b a b ⋅≤注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b=b a ⋅⋅（交换律）；（2）()=()(a b a b a b λλλλ⋅⋅=⋅为实数）； （3）(+)=a b c a c b c ⋅⋅+⋅（分配律）。

平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2D.－3＋2 2变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( )A.126B.－126C.112D.－112变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________.高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |23.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.94.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.325.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.67.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a 与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6D.0 8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值.平面向量数量积运算题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________.(2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2答案 (1)2 (2)D 解析 (1)如图，AE →·AF →＝(AB →＋BE →)·(AD →＋DF →)＝(AB →＋13BC →)·(AD →＋1λDC →)＝AB →·AD →＋1λAB →·DC →＋13BC →·AD →＋13λBC →·DC →＝2×2×cos 120°＋1λ×2×2＋13×2×2＋13λ×2×2×cos 120°＝－2＋4λ＋43－23λ＝103λ－23，又∵AE →·AF →＝1， ∴103λ－23＝1，∴λ＝2. (2)方法一 设|P A →|＝|PB →|＝x ，∠APB ＝θ， 则tan θ2＝1x，从而cos θ＝1－tan 2θ21＋tan 2θ2＝x 2－1x 2＋1.P A →·PB →＝|P A →|·|PB →|·cos θ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时取等号，故P A →·PB →的最小值为22－3. 方法二 设∠APB ＝θ，0<θ<π， 则|P A →|＝|PB →|＝1tanθ2.P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos θ ＝(1tanθ2)2cos θ＝cos 2θ2sin 2θ2·(1－2sin 2θ2)＝(1－sin 2θ2)(1－2sin 2θ2)sin 2θ2.令x ＝sin 2θ2，0<x ≤1，则P A →·PB →＝(1－x )(1－2x )x＝2x ＋1x－3≥22－3，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时取等号.故P A →·PB →的最小值为22－3.方法三 以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，P (x 0,0)，则P A →·PB →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21. 由OA ⊥P A ⇒OA →·P A →＝(x 1，y 1)·(x 1－x 0，y 1)＝0⇒x 21－x 1x 0＋y 21＝0， 又x 21＋y 21＝1，所以x 1x 0＝1.从而P A →·PB →＝x 21－2x 1x 0＋x 20－y 21＝x 21－2＋x 20－(1－x 21) ＝2x 21＋x 20－3≥22－3.故P A →·PB →的最小值为22－3.点评 (1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择.注意两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“·”.(2)向量的数量积运算需要注意的问题：a·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a·b |≤|a |·|b |.变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 答案 9解析 因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D.π(2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值等于( ) A.126 B.－126C.112D.－112答案 (1)A (2)B解析 (1)由(a －b )⊥(3a ＋2b )得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a·b －2b 2＝0.又∵|a |＝223|b |，设〈a ，b 〉＝θ，即3|a |2－|a |·|b |·cos θ－2|b |2＝0， ∴83|b |2－223|b |2·cos θ－2|b |2＝0. ∴cos θ＝22.又∵0≤θ≤π，∴θ＝π4. (2)记向量2a －b 与a ＋2b 的夹角为θ， 又(2a －b )2＝4×22＋32－4×2×3×cos π3＝13，(a ＋2b )2＝22＋4×32＋4×2×3×cos π3＝52，(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a ·b ＝8－18＋9＝－1，故cos θ＝(2a －b )·(a ＋2b )|2a －b |·|a ＋2b |＝－126，即2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦值是－126.点评 求向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律，(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角.变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________. 答案 90°解析 ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质得AB →与AC →的夹角为90°. 题型三 利用数量积求向量的模例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5D.6(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________. 答案 (1)A (2)5解析 (1)因为平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°， 所以|2a ＋b |＝(2a )2＋b 2＋2×|2a |×|b |cos 120°＝22×12＋22＋2×2×1×2×⎝⎛⎭⎫－12＝2. (2)方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )， P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )， ∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )， |P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5. 方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)， ∴PC →＝(1－x )DC →， P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →， PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →，∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.点评 (1)把几何图形放在适当的坐标系中，给有关向量赋以具体的坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解.(2)向量不放在坐标系中研究，求解此类问题的方法是利用向量的运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________. 答案233解析 因为|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12.所以e 1与e 2的夹角为60°.又因为b ·e 1＝b ·e 2＝1，所以b ·e 1－b ·e 2＝0，即b ·(e 1－e 2)＝0，所以b ⊥(e 1－e 2).所以b 与e 1的夹角为30°，所以b ·e 1＝|b |·|e 1|cos 30°＝1. 所以|b |＝233. 高考题型精练1.(2015·山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →等于( )A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2 D.32a 2 答案 D解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.2.(2014·浙江)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( )A.min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |}B.min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |}C.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D.max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |2 答案 D解析 由于|a ＋b |，|a －b |与|a |，|b |的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错.当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b |>|a －b |，此时，|a ＋b |2>|a |2＋|b |2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b |<|a －b |，此时，|a －b |2>|a |2＋|b |2；当a ⊥b 时，|a ＋b |2＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2，故选D.3.(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B解析 ∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1,1]，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.4.如图，在等腰直角△ABO 中，OA ＝OB ＝1，C 为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝p ，则p ·(b －a )等于( )A.－12B.12C.－32D.32答案 A解析 以OA ，OB 所在直线分别作为x 轴，y 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A (1,0)，B (0,1)，C (34，14)，直线l 的方程为y －14＝x －34，即x －y －12＝0.设P (x ，x －12)，则p ＝(x ，x －12)，而b －a ＝(－1,1)，所以p ·(b －a )＝－x ＋(x －12)＝－12.5.在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.(0，52] B.(52，72] C.(52，2] D.(72，2] 答案 D解析 由题意，知B 1，B 2在以O 为圆心的单位圆上，点P 在以O 为圆心，12为半径的圆的内部.又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→， 所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上， 当P 与O 点重合时，|OA →|取得最大值2， 当P 在半径为12的圆周上时，|OA →|取得最小值72，故选D.6.如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足BM →＝3MA →，则CM →·CB →等于( )A.2B.3C.4D.6答案 C解析 在△ABC 中，因为∠ACB ＝90°且AC ＝BC ＝4，所以AB ＝42，且B ＝A ＝45°.因为BM →＝3MA →，所以BM →＝34BA →.所以CM →·CB →＝(CB →＋BM →)·CB →＝CB →2＋BM →·CB →＝CB →2＋34BA →·CB →＝16＋34×42×4cos 135°＝4.7.(2014·安徽)设a ，b 为非零向量，|b |＝2|a |，两组向量x 1，x 2，x 3，x 4和y 1，y 2，y 3，y 4均由2个a 和2个b 排列而成.若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3＋x 4·y 4所有可能取值中的最小值为4|a |2，则a与b 的夹角为( ) A.2π3 B.π3 C.π6 D.0 答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，由于x i ，y i (i ＝1,2,3,4)均由2个a 和2个b 排列而成，记S ＝ i ＝14(x i ·y i )，则S 有以下三种情况：①S ＝2a 2＋2b 2；②S ＝4a ·b ；③S ＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.∵|b |＝2|a |，∴①中S ＝10|a |2，②中S ＝8|a |2cos θ，③中S ＝5|a |2＋4|a |2cos θ. 易知②最小，即8|a |2cos θ＝4|a |2，∴cos θ＝12，可求θ＝π3，故选B.8.(2014·江苏)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB→2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.9.设非零向量a ，b 的夹角为θ，记f (a ，b )＝a cos θ－b sin θ.若e 1，e 2均为单位向量，且e 1·e 2＝32，则向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为________. 答案 π2解析 由e 1·e 2＝32，可得cos 〈e 1，e 2〉＝e 1·e 2|e 1||e 2|＝32， 故〈e 1，e 2〉＝π6，〈e 2，－e 1〉＝π－〈e 2，e 1〉＝5π6.f (e 1，e 2)＝e 1cos π6－e 2sin π6＝32e 1－12e2，f (e 2，－e 1)＝e 2cos5π6－(－e 1)sin 5π6＝12e 1－32e 2.f (e 1，e 2)·f (e 2，－e 1)＝(32e 1－12e 2)·(12e 1－32e 2)＝32－e 1·e 2＝0， 所以f (e 1，e 2)⊥f (e 2，－e 1).故向量f (e 1，e 2)与f (e 2，－e 1)的夹角为π2.10.如图，在△ABC 中，O 为BC 中点，若AB ＝1，AC ＝3，〈AB →，AC →〉＝60°，则|OA →|＝________.答案132解析 因为〈AB →，AC →〉＝60°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos 60°＝1×3×12＝32，又AO →＝12(AB →＋AC →)，所以AO →2＝14(AB →＋AC →)2＝14(AB →2＋2AB →·AC →＋AC →2)，即AO →2＝14(1＋3＋9)＝134，所以|OA →|＝132.11.已知向量a ＝(sin x ，34)，b ＝(cos x ，－1).(1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos(2A ＋π6)(x ∈[0，π3])的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0.所以tan x ＝－34.故cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos xsin 2x ＋cos 2x＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b＝2(sin x ＋cos x ，－14)·(cos x ，－1)＝sin 2x ＋cos 2x ＋32＝2sin(2x ＋π4)＋32.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，所以sin A ＝a sin Bb＝3×632＝22. 所以A ＝π4或A ＝3π4.因为b >a ，所以A ＝π4.所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)＝2sin(2x ＋π4)－12.因为x ∈[0，π3]，所以2x ＋π4∈[π4，11π12].所以32－1≤f (x )＋4cos(2A ＋π6)≤2－12. 所以f (x )＋4cos(2A ＋π6)的取值范围为[32－1，2－12].12.在△ABC 中，AC ＝10，过顶点C 作AB 的垂线，垂足为D ，AD ＝5，且满足AD →＝511DB →.(1)求|AB →－AC →|；(2)存在实数t ≥1，使得向量x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →，令k ＝x ·y ，求k 的最小值. 解 (1)由AD →＝511DB →，且A ，B ，D 三点共线，可知|AD →|＝511|DB →|.又AD ＝5，所以DB ＝11.在Rt △ADC 中，CD 2＝AC 2－AD 2＝75， 在Rt △BDC 中，BC 2＝DB 2＋CD 2＝196， 所以BC ＝14.所以|AB →－AC →|＝|CB →|＝14.(2)由(1)，知|AB →|＝16，|AC →|＝10，|BC →|＝14. 由余弦定理，得cos A ＝102＋162－1422×10×16＝12.由x ＝AB →＋tAC →，y ＝tAB →＋AC →， 知k ＝x ·y＝(AB →＋tAC →)·(tAB →＋AC →)＝t |AB →|2＋(t 2＋1)AC →·AB →＋t |AC →|2 ＝256t ＋(t 2＋1)×16×10×12＋100t＝80t 2＋356t ＋80.由二次函数的图象，可知该函数在[1，＋∞)上单调递增， 所以当t ＝1时，k 取得最小值516.。