2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十二)

2019年高考理科数学 考前必做难题30题一、选择题1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.A. 3B. 2C. 1/2D.1/32．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π33.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．223 D ．29 5.已知函数f (x )=sin (2x +π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. π26．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9 7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．648．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ）9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞10.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222 11．已知直线l 是曲线xy e =与曲线22xy e=-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x ex =--- D. ()()222ln212x f x e x =---12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ） A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 1014.已知函数f (x )=e x +x 2+lnx 与函数g (x )=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ] C. (−∞,−1] D. (−∞,−12]15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则||||MN MF 的最大值为 （ ）AD二、填空题16．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 17.已知函数f(x)=sin(ωx +ϕ)（ω>0,|φ|<π2 ）图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数y =f(x)的图象向左平移π3个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数y =f(x)的图象（ ）A. 关于点(π12,0)对称B. 关于点(−π12,0)对称 C. 关于直线x =π12对称 D. 关于直线x =−π12对称18．已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于__________． 19.过抛物线214y x =的焦点F 作一条倾斜角为30︒的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB =__________．20.定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()xf x f x x '+>式()()()2444442x x f x f x ---<-的解集为 ．21．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式22213x x m m ---≥恒成立，若p ⌝为真命题，则m 的取值范围是 ．22．已知各项都为正数的数列{}n a ，对任意的*,m n N ∈， m n m n a a a +⋅=恒成立，且35472a a a ⋅+=，则212227log log log a a a +++=__________．23. 已知12A A ，为椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点， 12A A =E 的两个焦点与E 的短轴两个端点所构成的四边形是正方形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动点()P t （0t ≠），记直线12PA PA ，与E 的交点（不同于12A A ，）到x 轴的距离分别为12d d ，，求12d d 的最大值．24．（本小题满分12分）设椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点(0,2)且倾斜角为60︒的直线交椭圆E 于A ，B 两点，求AOB △的面积．25．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点1,A ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知不经过A 点的直线:l y x t =+与椭圆C 交于,P Q 两点， P 关于原点的对称点为R （与点A 不重合），直线,AQ AR 与y 轴分别交于两点,M N ，证明： AM AN =．26．（本小题满分12分）如图，点()2,0A -，()2,0B 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点，,,P M N 为椭圆C 上非顶点的三点，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，且1214k k =-，AP OM ∥，BP ON ∥．（1）求椭圆C 的方程；（2）判断OMN △的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．27．已知函数()()()2ln 1xf x x e a x x =-+-+.（1）讨论()f x 的导函数()'f x 零点的个数； （2）若函数()f x 的最小值为e -，求a 的取值范围.28．（本小题满分12分）已知函数f(x)=lnx −ax +xa ，其中a >0.（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：(1+122)(1+132) (1+142)⋯ (1+1n 2)<e34（n ∈N ∗，n ≥2）.29．已知函数f(x)=1nxx 2+x (I)求函数f(x)的导函数f′(x)；(Ⅱ)证明:f(x)<2e+√e (e 为自然对数的底数)30.（本小题满分12分）已知()ln f x x x =-，若1212()()()f x f x x x =≠， 证明：（1）122x x +> ，（2）121x x < .2019年高考理科数学 考前必做难题30题答案及解析1.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k 为（ ）.A. 3B. 2C. 1/2D.1/3【答案】选B2．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π3【答案】B【解析】如图，取AC 中点F ，连接BF ，则在Rt BCF △中2BF CF ==，4BC =，在Rt BCS △中，4CS =，所以BS =，则该三棱锥的外接球的表面积是112π3，故选A ．3.点B 是以线段AC 为直径的圆上的一点，其中2AB =，则AC AB ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D【解析】2cos 4AB AC AB ACAB BAC AC ABAB AC=∠===故选D4．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ） A ．21B ．22 C ．223 D ．29 【答案】C5.已知函数f (x )=sin (2x +π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为奇函数，则φ的最小值为（ ） A. π12 B. π6 C. π3 D. π2【答案】B 【解析】将函数f (x )图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x) =sin[2(x −φ)+π3]=sin(2x −2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k ∈Z)，故φ=π6−kπ2(k ∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为π6．选B ．6．已知M 是ABC △内的一点，且23AB AC =，30BAC ∠=，若MBC △，MCA △，MAB △的面积分别为12x y ，，，则14x y +的最小值为（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B 【解析】11sin cos tan 22ABC S AB AC A AB AC A A =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯∠⨯∠△11tan 122AB AC A =∠=⨯=，即11122x y x y ++=⇒+=，那么()141442252518y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+⨯+=+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝≥，故选B ．7．抛物线212x y =在第一象限内图像上的一点2(,2)i i a a 处的切线与x 轴交点的横坐标记为1i a +，其中*i ∈N ，若232a =，则246a a a ++等于（ ）A ．21B ．32C ．42D ．64【答案】C8．若曲线212y x e=与曲线ln y a x =在它们的公共点(),P s t 处具有公共切线，则实数a =（ ） A. 1 B. 12C. 1-D. 2 【答案】A【解析】曲线212y x e =的导数为：y ′=x e ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=s e． 曲线y=alnx 的导数为：y ′=a x ，在P （s ，t ）处的斜率为：k=as．曲线212y x e =与曲线y=alnx 在它们的公共点P （s ，t ）处具有公共切线，可得s a e s =，并且t=212s e，t=alns ，即221{,ln ,.122s ae s s s e s alns e=∴=∴==可得a=2 1.s e e e ==故选A ．9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为1F ，2F ．这两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形．若1||10PF =，记椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则12e e 的取值范围是（ ） A ．1(,)9+∞ B ．1(,)5+∞C ．1(,)3+∞D ．(0,)+∞【答案】C10.已知双曲线C ： 22221x y a b-= ()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上一点， Q 为双曲线C 渐近线上一点， P ， Q 均位于第一象限，且23QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 8B. 222 【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为by x a=，设点Q 坐标为,(0)bm m m a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则12,,,bm bm QF c m QF c m a a ⎛⎫⎛⎫=---=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵120QF QF ⋅=，∴222222222,,0bm bm b m c m c m c m m c c a a a a ⎛⎫⎛⎫---⋅--=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴m a =．设()00,P x y ，由23QP PF =得，∴()00003,,bm x m y c x y a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，∴003344{ 3344c m c ax bm b y a ++====，∵点()00,P x y 在双曲线上，∴222233441c a b a b+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=， ∴226160c ac a +-=，∴26160e e +-=，解得2e =或8e =-， ∴双曲线C 的离心率为2．选B ． 11．已知直线l 是曲线xy e =与曲线22xy e=-的一条公切线， l 与曲线22x y e =-切于点(),a b ，且a 是函数()f x 的零点，则()f x 的解析式可能为（ ） A. ()()222ln211xf x e x =+-- B. ()()222ln212x f x e x =+-- C. ()()222ln211xf x e x =--- D. ()()222ln212x f x e x =---【答案】B【解析】：设直线l 与曲线xy e =切点为(),m n ， xy e =的导数为'xy e =， 22xy e=-的导数为2'2xy e =，曲线xy e =在(),m n 的切线的方程为()m my e ex m -=-，即()1m y e x m =-+，曲线22x y e =-在点(),a b 处的切线方程为()()2222a a y e e x a --=-，即()222122a a y e x e a =+--，可得()()222{ 1122m amae e e m e a =-+=--，则2ln2m a =+，即()222ln2120a e a +--=，即有()()222ln212xf x ex =+--，故选B ．12. 已知双曲线C 的中心在原点O ，焦点()F -，点A 为左支上一点，满足|OA |＝|OF |且|AF |＝4，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．2213616x y -=C ．221416x y -=D ．2211636x y -=【答案】C【解析】如下图，由题意可得c =，设右焦点为F ′，由|OA |＝|OF |＝|OF′|知，∠AFF ′＝∠FAO ，∠OF ′A ＝∠OAF ′，所以∠AFF ′+∠OF ′A ＝∠FAO +∠OAF ′，由∠AFF ′+∠OF ′A +∠FAO +∠OAF ′＝180°知，∠FAO +∠OAF ′＝90°，即AF ⊥AF ′．在Rt △AFF ′中，由勾股定理，得'8AF ==，由双曲线的定义，得|AF ′|－|AF |＝2a ＝8－4＝4，从而a ＝2，得a 2＝4，于是b 2＝c 2－a 2＝16，所以双曲线的方程为221416x y -=．故选C ．13.某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年增加了70⋅x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是（ ）A. 2B. 6C. 8.5D. 10 【答案】D14.已知函数f (x )=e x +x 2+lnx 与函数g (x )=e −x +2x 2−ax 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,−e]B. (−∞,−1e ] C. (−∞,−1] D. (−∞,−12]【答案】C【解析】由题意得方程f (x )=g (−x )在(0,+∞)上有解， 即ax =−x 2+lnx 在(0,+∞)上有解．设y =ax,ℎ(x)=−x 2+ln x ，则由题意得两函数的图象在在(0,+∞)上有公共点． 由ℎ(x)=−x 2+ln x ，得ℎ′(x)=−2x +1x=−2x2+1x，故函数ℎ(x)在(0,√22)上单调递增，在(√22,+∞)上单调递减，∴ℎ(x)max =ℎ(√22)=−12+ln √22． 设直线y =ax 与函数ℎ(x)=−x 2+ln x 的图象切于点M(x 0,−x 02+lnx 0) ，如图所示，由题意得{−x 02+lnx 0=ax 0−2x 0+1x 0=a ，解得{x 0=1a =−1，结合图象可得当两函数的图象有公共点时，则有a ≤−1，故实数a 的取值范围为(−∞,−1]．选C ．15.已知等腰直角三角形AOB 内接于抛物线22y px =（0p >），O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，△AOB 的面积为16，F 为抛物线的焦点，N (1,0)-，若M 是抛物线上的动点，则||||MN MF 的最大值为 （ ）AD【答案】C【解析】设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，因为抛物线的对称轴为x 轴，内接AOB ∆为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称轴性知，直线AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA 与x 轴的夹角为45.由方程组22y x y px =⎧⎨=⎩得02x y p =⎧⎨=⎩，所以,A B 两点的坐标分别为()2,2p p 和()2,2p p -，所以4AB p =,21424162AOB S p p p ∆=⨯⨯==,所以2p =,所以抛物线的方程为24y x =，所以()1,0F ,设(),M x y ，则MNMF====12x x≤=+1x x =，即1x =时等号成立，故选C. 16．若变量x ， y 满足不等式组20,{5100, 80,x y x y x y -+≥-+≤+-≤则2yz x =+的最大值为__________． 【答案】1【解析】2yz x =+表示(),x y 到()2,0-的斜率， 由可行域可知，过点()0,2或()3,5时，斜率最大，即max 1z =。

2019年高考（理科）数学最有可能考的30题1．【集合运算与不等式】已知集合{}2A |log 1x x =≤，集合{}B |21xy y ==+，则A B ⋂=( )A. []1,2B. (]1,2 C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,22⎛⎤⎥⎝⎦2.【条件概率与排列组合】从1,2,3,4,5种任取2个不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件=B “取到的2个数均为偶数”，则()|P B A =（ ） A ．18 B ．14 C ．25 D ．123.【复数的概念及运算】复数z 满足()11i 1iz -=+，则z =A.22- B. 22+ C. 1i - D. 1i + 4. 【充要条件、特称命题与全称命题、复合命题真值表】已知命题:p 若,a b 是实数，则a b>是22a b >的充分不必要条件；命题:q “2R,23x x x ∃∈+>” 的否定是“2R,23x x x ∀∈+<”，则下列命题为真命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ⌝∧ C. p q ∧⌝ D. p q ⌝∧⌝ 5.【函数图象】函数()2sin f x x x =的图象可能为（ ）A. B.C.D.6.【三角变换】已知1cos 0,72παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，则cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ( )A.1114-B.14C.14D.13147.【函数综合问题】若关于x的不等式342xalog x-≤在10,2x⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.30,4⎛⎤⎥⎝⎦C.10,4⎛⎤⎥⎝⎦D.1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.【等差数列与传统文化】《算法统宗》是中国古代数学名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有八節竹一莖，为因盛米不均平；下頭三節三生九，上梢三節貯三升；唯有中間二節竹，要将米数次第盛；若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根8节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的.下端3节可盛米3.9升, 上端3节可盛米3升.要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米,中间两节可盛米多少升.由以上条件,要求计算出这根八节竹筒盛米的容积总共为( )升A. 9.0 B. 9.1 C. 9.2 D. 9.39.【三角函数图像与性质】已知函数(,,为常数,, , )的部分图像如图所示,则下列结论正确的是( )A. 函数的最小正周期为B. 直线是函数图象的一条对称轴C. 函数在区间上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位,得到函数的图象,则10. 设变量,x y满足线性约束条件{3030yx yx y≥-+≥+-≥，则2z x y=-的取值范围是（）A. []36-， B. []66-， C. [)6-+∞， D. [)3-+∞，11.【导数的综合应用】若函数()2lnlnxf x ax xx x=+--有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A. 11,1e e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ B. 11,1e e e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦ C. 1,11e e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭ D. 1,11e e e ⎡⎤--⎢⎥-⎣⎦12.【简单几何体的三视图与球的切解问题】如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（ ）A. B. C.D.13. 【双曲线几何性质】已知点2,F P 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与右支上的一点， O 为坐标原点，若点M 是2PF 的中点， 22OF F M =，且222·2c OF F M =，则该双曲线的离心率为（ ）B. 3214.【直线与抛物线的位置关系】已知抛物线2:4C y x =,过焦点F C 相交于,P Q 两点,且,P Q 两点在准线上的投影分别为,M N 两点,则MFN S ∆=（ ）A.83 C. 163 15.【程序框图】执行如图所示的程序框图，那么输出的a 值是A. 12-B. 1-C. 2D. 1216. 【抽样方法、直线与圆的位置关系】某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以()1,1A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ） A. ()()22111x y -++= B. ()()22112x y -++=C. ()()22181117x y -++=D. ()()22121115x y -++= 17.【新定义问题】若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f x t tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”.现有下列“关于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②正比例函数必是一个“关于t 函数”； ③“关于2函数”至少有一个零点；④()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是一个“关于t 函数”.其中正确结论的序号是_______.18.【线性规划应用问题】下表所示为,,X Y Z 三种食物的维生素含量及成本，某食品厂欲将三种食物混合，制成至少含44000单位维生素A 及48000单位维生素B 的混合物100千克，所用的食物,,X Y Z 的质量分别为,,x y z （千克），混合物的成本最少为__________元．19. 【正余弦定理应用】在ABC ∆中， a ， b ， c 分别为内角A , B , C 的对边，且 20.【平面向量数量积】如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点， AE 与BD 交于点M ，AB 1AD =，且16MA MB ⋅=-，则AB AD ⋅= ．21. 【积分与二项式定理】()611(0)x ax a x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为240，则=__________．22. 【导数的几何意义】 已知曲线x ay e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为________23.【极坐标与参数方程大题】在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积. 24.【不等式选讲】已知函数()23f x x a x a =-+-. （1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；（2）若对x R ∀∈， []2,2a ∃∈-，使得不等式()20m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.25. 【三角函数大题：正余弦定理应用】已知ABC ∆中，22,3sin 3AC A C B π===. （1）求AB ；（2）若D 为BC 边上一点，且ACD ∆，求ADC ∠的正弦值.26.【数列大题：递推数列求通项、数列求和】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3122n n S a =-， 11a =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若31321log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .27. 【概率统计大题：总体估计、随机变量分布列】某厂生产一种零件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于8为优质品，小于8大于等于4为正品，小于4为次品，现随机抽取这种零件100件进行检测，检测结果统计如下：若以上述测试中各组的频率作为相应的概率. （1）试估计这种零件的平均质量指标；（2）生产一件零件，若是优质品可盈利40元，若是正品盈利20元，若是次品则亏损20元；现从大量的这种零件中随机抽取2件，其利润之和记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望.28.【立体几何大题：空间垂直判定与性质、二面角计算】在四棱锥ABC P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面D A B C ，PC E DC PD 是， =的中点，作F PB PB EF 于点交⊥（1）证明：EDB PA 平面//； （2）证明：EFD PB 平面⊥； （3）求二面角D PB C -- 的大小。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（一）17．已知的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）当时，， 当时，适合上式，．（2）解：令，所以， ，两式相减得： ，故． 18．在中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，已知，． （1）求的值；（2）若，D 为AB 边上的点，且，求CD 的长．{}n a n 24n S n n =-{}n a 72n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 52n a n =-1362n n n T -+=-2n ≥()()221441152n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦1n =113a S ==52n a n ∴=-17122n n n n a n b --+==23213451222222nn n n n T --+=++++⋅⋅⋅++23112341222222n n n n n T -+=+++⋅⋅⋅++2111111111322131222222212nn n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=+-=--1362n n n T -+=-ABC △sin cos a B b A =3cos 5B =cos C 15a =2AD BD =【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由得：，A 、B 、C 是的内角，，因此，，故． 由得：．又；也就是．（2）解：由得：， 由正弦定理得：，，在中，，． 19．如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．1013CD =sin cos a B b A =sin sin sin cos A B B A =Q ABC △sin 0B ∴≠tan 1A =π4A =3cos 5B=4sin 5B ==()()cos cos πcos C A B A B =-+=-+⎡⎤⎣⎦ππcos cos cos sin sin 4410C B B =-+=cos 10C=sin 10C ==15πsin 4=21c ⇒=2143BD c ∴==ABC △22231514215141695CD =+-⨯⨯⨯=13CD ∴=12AE CD =（1）求证：平面； （2）求出该几何体的体积． 【答案】（1）见解析；（2）4．【解析】（1）为的中点，取中点，连接、、；则，且，且， 故四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面． （2）解：由己知，，，，且，平面，，又，平面， 是四棱锥的高，梯形的面积，，即所求几何体的体积为4．20．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线C ，过点F 的直线交曲线C 于A 、B 两个不同的点，过点A 、B 分别作曲线C 的切线，且二者相交于点M ．//EM ABC M Q DB BC G EM MG AG //MG DC 12MG DC =//MG AE ∴MG AE =AGME //EM AG ∴AG ⊂ABC EM ⊄ABC //EM ∴ABC 2AE =4DC =AB AC ⊥2AB AC ==EA ⊥Q ABC EA AB ∴⊥AB AC ⊥AB ∴⊥ACDE AB ∴B ACDE -ACDE ()()242622AE DC S AC ++⨯=⨯==143B ACDE V S AB -∴=⨯=P ()0,1F 2y =-P（1）求曲线C 的方程；（2）求证：；（3）求△ABM 的面积的最小值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）4．【解析】（1）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（2）证：设直线的方程为：，由得：，设，，则，．由得：， ，直线的方程为：···①， 直线的方程为：···②， ①－②得：，即， 将代入①得：， ，故，，，，．10AB MF ⋅=u u u r u u u r24x y =P 2y =-P ()0,1F 1y =-∴P ()0,1F 1y =-24x y =AB 1y kx =+241x y y kx ⎧=⎨=+⎩2440x kx --=(),A A A x y (),B B B x y 4A B x x k +=4A B x x ⋅=-24x y =214y x =12y x '∴=∴AM ()21214A A A x x y x x =--BM ()21214B B B x x y x x =--()()()2222112142B A A B B A x x x x x x x -=-+-22A B x x x k +==2A Bx x x +=22114214124B A A A A B A x x x x x x x y -⎛⎫==- ⎪⎝⎭-114A B x y x =∴=-()2,1M k -()2,2MF k ∴=-u u u r ()(),B A B A AB x x k x x =--u u u r ()()220B A B A AB MF k x x k x x ∴⋅=--=+-u u u r u u u r AB MF ∴⊥u u u r u u u r（3）解：由（2）知，点到的距离，，当时，的面积有最小值4． 21．已知函数（m 、n 为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是． （1）求m 、n 的值； （2）求的最大值；（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，都有．（注：）【答案】（1），；（2）；（3）见解析． 【解析】（1）由，得，由已知得，解得．又，，． （2）解：由（1）得：， 当时，，，所以；M AB d MF ==()22444A B A B AB AF BF y y k x x k =+=++=++=+Q ()()3222114141422S AB d k k ∴=⋅=⨯+⨯=+≥∴0k =ABM △()ln exm x nf x +=e 2.71828=⋅⋅⋅()yf x =()()1,1f 2ey =()f x ()()()e ln 12x x g x f x +'=⋅()f x '()f x 0x >()21e g x -<+()1ln 11x x '+=⎡⎤⎣⎦+2n =2m =()max 2ef x =()ln e x m x n f x +=()()ln 0exm nx mx xf x x x --'=>()10e m n f -'==m n =()21e en f ==2n ∴=2m =()()21ln exx x x f x x --'=()0,1x ∈10x ->ln 0x x ->1ln 0x x x -->当时，，，所以， ∴当时，；当时，，的单调递增区间是，单调递减区间是，时，． （3）证明：．对任意，等价于，令，则，由得：， ∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以的最大值为，即．设，则， ∴当时，单调递增，，故当时，，即，，∴对任意，都有．()1,x ∈+∞10x -<ln 0x x -<1ln 0x x x --<()0,1x ∈()0f x '>()1,x ∈+∞()0f x '<()f x ∴()0,1()1,+∞1x ∴=()max 2ef x =()()()()()()e ln 11ln ln 102x x x x x xg x f x x x+--+'=⋅=>0x >()21e g x -<+()()21e 1ln ln 1x x x x x -+--<+()()1ln 0p x x x x x =-->()ln 2p x x '=--()ln 20p x x '=--=2e x -=()20,ex -∈()0p x '>()p x ()2e ,x -∈+∞()0p x '<()p x ()p x ()22e1ep --=+21ln 1e x x x ---+≤()()ln 1q x x x =-+()01xq x x '=>+()0,x ∈+∞()q x ()()00q x q >=()0,x ∈+∞()()ln 10q x x x =-+>()1ln 1xx >+()()221e 1ln 1e ln 1x x x x x --+∴--+<+≤0x >()21e g x -<+。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十）17．（本小题满分12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且3cos 5B =，()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=． （1）求边b 的值；（2）求ABC △的周长的最大值．【答案】（1）由()s i n c o s c o s s i n 0AB A B --⋅=得sin cos cos sin sin A B A B c B +=． ∴sin sinC c B =，即sin sin C B c =． 由正弦定理得sin sin B C b c=，故1b =． （2）由余弦定理得，22262cos 15a cb ac B ac +=+=+． ∴()22161611552a c a c ac +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≤，∴5a c +≤ 所以当a c =时，ABC △51．18．（本小题满分12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．【答案】（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则()3414133381C 4444128P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴()()814711128128P A P A =-=-=． （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．()2112416P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1213133C 44432P ξ==⨯⨯⨯=， ()2131314C 444P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭43278127425625664⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ()31413275C 4464P ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故ξ的分布列为： ξ2 3 4 5 P116 332 2764 2764 ()123451632646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E ．（1）求证：E 为PC 的中点；（2）求二面角A ED B --的余弦值．【答案】（1）证明：连结AC ，设AC BD O =I ，连接OE ，则O 为AC 的中点，且面PAC I 面BDE OE =，∵PA ∥平面BDE ，∴PA OE ∥，∴E 为PC 的中点．（2）∵PA OE ∥，∴OE ⊥底面ABCD ，∴OE AC ⊥．又∵AC BD ⊥，OE BD O =I ，∴AC ⊥平面BED ．过点O 作ED 的垂线，交ED 于M ，连接AM ．∵OM ED ⊥，∴AM ED ⊥，∴AMO ∠为所求的平面角．OD OE ED OM ⋅=⋅，∴32OM =，又1OA =，∴72AM =． ∴21cos 7OM AMO AM ∠==，∴二面角A ED B --的余弦值为217． 20．（本小题满分12分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()12,0F ，过1F 作圆222x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点．（1）求椭圆的方程；（2）曲线2y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标．【答案】（1）由已知得2c b =，且2c =，∴2b =222236a b c b =+==．所以椭圆的方程为22162x y +=； （2）由曲线2y x m =+知曲线的图象关于y 轴对称，又椭圆22162x y +=的图象也是关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上， 设圆心为()0,M t ，曲线2y x m =+与椭圆在一、四象限交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则211y x m =+，222y x m =+． 把2x y m =-代入22162x y +=得2360y y m +--=，∴1213y y +=-， 又由MA MB =得()()22221122x y t x y t +-=+- 即()()22221221x x y t y t -=---=()()()()222112211222y y y y t x x y y t -+-=-+-， ∵12x x ≠，∴121213y y t +=-=-，∴13t =． 所以此圆的圆心坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+，其中1a <． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：对任意*n ∈N 时，()()1111ln 1ln 2ln 22n n n n+++>++L ． 【答案】（1）()()()()11x x a a f x x a x x--'=+-+=，0x >， ①若0a ≤，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>．所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；②若01a <<，当1a x <<时，()0f x '<，当0x a <<或1x >时，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞，单调递减区间为(),1a ；（2）证明：当12a =-时，由（1）知()f x 在1x =处取得最小值， ∴()()10f x f =≥，即2111ln 0222x x x -+-≥， 当1x >时，恒有21111ln 1x x x x x>=---． ()()111ln 1ln 2ln 2n n n ∴+++++L 1111112n n n n >-+-+++++L 1111121222n n n n n-=-=-．。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十六）17．（10分）的内角的对边分别为． （1）若面积的最大值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2．【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得，结合均值不等式得：，又，从而面积的最大值可得；（2）由正弦定理得，从而，又，故可求得的值． 试题解析：（1）由余弦定理得，即，所以， 因为，所以，即（当且仅当时，等号成立），所以，故面积的最大值为．（2）由正弦定理得，，所以， 所以，所以，所以，故为锐角，所以， 所以 ． 18．（12分）已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；ABC △,,A B C π,,,3a b c A =a =ABC △2ac =sin B ABC △223bc bc =+-3bc≤1sin 2ABC S bc A ==△ABC △sin sin 4c C A a ==cos 4C =πsin sin 3B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin B 2222cos a b c bc A =+-223b c bc =+-223b c bc +=+222b c bc +≥32bc bc +≥3bc ≤b c =1sin 244ABC S bc A bc ==△≤ABC △4sin sin a c A C =1πsin sin sin 23c C A a ===cos C =2a c =c a <C A <C cos C =()()πππsin sin πsin sin sin cos cos sin 333B A C A C C C C ⎛⎫=-+=+=+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12=+={}n a n n S ()2*122n n S a n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N {}n a（2）设数列，求数列前项和的值． 【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由推得，即，其中，故而得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和． 试题解析：（1）当时，即，解得，①② ①－②：，所以， 即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）因为，所以，所以， 所以 1221n n n n n a a b a a +++={}n b n n T 12n a n =-221616441n nn n +++2122n n S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()1110n n n n a a a a --+--=11n n a a --=2n ≥{}n a 1n =211122S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112a =22112224n n n n n S a S a a ⎛⎫=+⇒=++ ⎪⎝⎭2111124n n n S a a ---⇒=++22112n n n n n a a a a a --=-+-22110n n n n a a a a -----=()()1110n n n n a a a a --+--={}n a 11n n a a ---11n n a a --=2n ≥{}n a 12()111122n a n n =+-=-12n a n =-112n a n +=+222222221121122111111222222n n n n b n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221142121n n ⎡⎤=-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦()()1222222211111144413352121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦． 19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，．（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为． 【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角的余弦值． 试题解析：（1）如图取的中点，连接，依题意且， 所以四边形是平行四边形， 所以．因为是中点， 所以，故， 所以为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以平行四边形为菱形，所以，所以，即，又已知，所以平面，()222116164144121n n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦P ABCD -ABCD AB CD ∥12AD CD BC AB ===PAD △PA BD ⊥PAD ⊥ABCD A PB C --A PB C --65-DA x DB y D ABCD z D xyz -PAB ()3,1,1n =PBC ()653,1,3,cos ,m m n =-=A PB C --AB E DE DC EB ∥DC EB =BCDE DE BC =E AB 12AE AB =AE AD DE ==ADE △60AED ∠=︒AB CD ∥60,EDC BC CD ∠=︒=BCDE 1302EDB EDC ∠=∠=︒90ADB ∠=︒BD AD ⊥PA BD ⊥BD ⊥PAD平面，所以平面平面．（2）由（1）知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标． 设，则，，所以， 所以．设平面的法向量，则，令，则，所以．同理可得平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值为． 20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12．BD ⊂ABCD PAD ⊥ABCD BD ⊥PAD PAD ⊥ABCD DA x DB y D ABCD z D xyz -2AB=BD =1AD CD BC PA PD =====()()111,0,0,,,,0,,0,2222A B C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()13,0,,1,22PA AB ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭PAB (),,n x y z =1002200PA n x z AB n x ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-=⎩x =1,1y z ==()3,1,1n =PBC ()3,1,3m =-65cos ,m n =A PB C --1:2:3（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据;估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：． 【解析】试题分析：（1）由条件可得：，，；（2）由题意知服从二项分布， ，从而得到分布列及期望．试题解析：（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：， 解得， 又因为，所以． （2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：，X X 48n =X ()54E X =1230.125,0.25,0.375p p p ===2120.25p n==48n =X ()()22530,1,288kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n 123,,p p p ()2131123230.0370.01351p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪++++⨯=⎩1230.125,0.25,0.375p p p ===2120.25p n==48n =()350.0370.01358P p =++⨯=由题意知服从二项分布，，所以随机变量的分布列为：．21．（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为，从而得到的范围． 试题解析：（1）依题，所以（为定值），，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是．X ()()22530,1,288kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ()55284E X np ==⨯=M E (2216x y ++=)F MFEM P P C ABCD C ABCD S S 2214x y +=810S ≤≤AB 1y k x m =+BC 2y k x n =+AB CD 1d =BC AD 2d =14S d ===S PM PF =4PE PF PE PM ME +=+==EF =4>P E F 24,2a c ==P C 2214x y +=（2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中， 直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以， 因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理， 所以，（当且仅当时，不等式取等号）， 所以，即， 由①②可知，．22．（12分）已知函数．（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．8S =AB 1y k x m =+BC 2y k x n =+CD 1y k x m =-AD 2y k x n =-121k k ⋅=-AB CD1d ==BC AD2d ==()12*S d d =⋅=22221111121044x y k x k mx m y k x m ⎧+=⎪⎛⎫⇒+++-=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎩AB 221410k m ∆=+-=m =n =S ===44==212112k k +≥11k =±4S <≤810S <≤810S ≤≤()e ln x f x x =()f x ()()1f x a x >-()1,+∞a【答案】（1）在上单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式在上恒成立．在上恒成立，转求的最小值即可．试题解析：（1）易知函数的定义域为，，设，则，当时，，当时，，所以， 故，所以在上单调递增．（2）依题在上恒成立，设，则在上恒成立，，，欲使在上恒成立，则，得，反之，当时，，设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以， 故，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 综上所述，在上恒成立， 所以的取值范围是．()f x ()0,+∞(,e]-∞()()1f x a x >-()1,+∞()()e ln 10xg x x a x =-->()1,+∞()g x ()f x ()0,+∞()1e ln x f x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()1ln h x x x =+()22111x h x x x x -'=-=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>()()min 110h x h ==>()0f x '>()f x ()0,+∞()e ln 1xx a x >-()1,+∞()()()e ln 11xg x x a x x =-->()0g x >()1,+∞()10g =()1e ln x g x x a x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭()0g x >()1,+∞()10g '≥e a ≤e a ≤()11e ln e ln e x x g x x a x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥()()1e ln e 1x r x x x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()221e ln x r x x x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭()()221ln 1x x x x x φ=+->()()22233311122220x x x x x x x x xφ-+-+'=-+==>()x φ()1,+∞()()110x φφ>=>()0r x '>()r x ()1,+∞()()10r x r >=()0g x '>()g x ()1,+∞()10g =()0g x >()1,+∞()0g x >()1,+∞e a ⇔≤a (,e]-∞。

2019年高考（理科）数学考前必做基础30题1．已知集合，，则（ ） A.B.C.D.2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A.B.C.D.4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．166．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C. D.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π-9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 1212．已知向量，且，则等于__________．13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．16．若的展开式中的系数为80，则_______.17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.20．已知直线l 的参数方程是2{x y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中， D ， E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B ，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要P A的值；将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()（2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片.P B的值；①%2记B表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()②设X表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X的分布列和数学期望.24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截而得，已知AO面EFD．FA⊥平面,=为BC的中点, //CE OABC2,AB=2,AF=3,(1)求BD的长；(2)求证：面EFD⊥面BCED；(3)求平面DEF与平面ACEF相交所成锐角二面角的余弦值．25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+= 26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°,PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由.（Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC ．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长．29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点).2019年高考（理科）数学考前必做基础30题答案及解析1．已知集合，，则（ ） A. B. C.D.【答案】D2．已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{|13}N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A ．{|2}x x <B ．{|12}x x <<C ．{}3x x D ．{|1}x x ≤ 【答案】D【解析】阴影部分表示的集合为()U M N ⋃ð，由题{}1M N x x ⋃=，所以(){|1}U M N x x ⋃=≤ð，故选择D ． 3．若变量满足约束条件，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最小值． 由解得，故点．∴．故选B ．4．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()2120f x f x ++-<的解集是（ ） A ． 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ． 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()3,+∞D ． (),3-∞ 【答案】D5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线1C ： 2221x y -=，过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，则该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积（ ）A ．4 B ．2 C ．8 D ．16【答案】C6．已知为定义在 上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】当时，，则在上是增函数，且当]时，， ∵，∴的周期为2．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积等于（ ）A ．B ．3πC ．8πD ．12π【答案】D【解析】根据三视图可画出该空间几何体，如下图所示．其中2AB BD CD ===，AB BCD ⊥平面，BD CD ⊥，所以外接球的直径为AC =2412ππ=8．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A.12 B. 22π- C. 14 D. 24π- 【答案】B【解析】设正方形的面积为1，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为11212224ππ-⨯⨯-= 故所求的概率为222412ππ-⨯-= 9．将函数()22sin cos f x x x x =-(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ． 3π C ． 2π D ． 6π【答案】D10．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A ．11．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A. -2B. -1C. 12-D. 12【答案】B 【解析】若输入2S =-，则执行循环得1313,2;,3;2,4;,5;,6;3232S k S k S k S k S k =====-=====132,7;,8;,9;32S k S k S k =-=====结束循环，输出32S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入1S =-，则执行循环得11,2;2,3;1,4;,5;2,6;22S k S k S k S k S k =====-===== 11,7;,8;2,9;2S k S k S k =-=====结束循环，输出2S =，符合题意；若输入12S =-，则执行循环得212,2;3,3;,4;,5;3,6;323S k S k S k S k S k =====-=====12,7;,8;3,9;23S k S k S k =-=====结束循环，输出3S =，与题意输出的2S =矛盾；若输入12S =，则执行循环得12,2;1,3;,4;2,5;1,6;2S k S k S k S k S k ===-======-=1,7;2,8;1,9;2S k S k S k =====-=结束循环，输出1S =-，与题意输出的2S =矛盾；综上选B. 12．已知向量，且，则等于__________． 【答案】13．在正项等比数列{}n a 中， 26,a a 是231030x x -+=的两个根，则242611a a a ++=__________． 【答案】133【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2264a a a =，又262610,1a a a a +==，所以24261011133113a a a ++=+=，填133．14．已知1112ni i =-+，其中n 是实数， i 虚数单位，那么n =__________． 【答案】12【解析】()()111111122i i i i i -==-++-，根据复数相等的充要条件可知，12n =.15．下面茎叶图记录了甲、乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填__________， y 的位置应填__________．【答案】 3 8【解析】甲班平均数8913151020136x ++++++=，解得3x =；乙班共6个数据，中位数应为10106172y +++=，解得8y =.16．若的展开式中的系数为80，则_______.【答案】【解析】分析：先求出二项式的通项，然后通过组合的方法得到展开式中的系数后求得的值．详解：二项式展开式的通项为，故展开式中的系数为，由题意得，解得．17．已知2,a b =是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则()·a a b -等于__________． 【答案】3【解析】()21||42132a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=18．函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的最大值为2，它的最小正周期为2π. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()cos g x x f x =⋅，求()g x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（1）()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）详见解析. 【解析】（1）由已知()f x 最小正周期为2π，所以22ππω=，解得1ω=.因为()f x 的最大值为2，所以2A =，所以()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.19．已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角的大小； (2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.【答案】(1)(2).【解析】（1）由题意，所以（2）因为所以当时，取最大值，此时，由正弦定理得，20．已知直线l的参数方程是2{x t y ==+（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为=≥，∴直线l上的点向圆C 引的切线长的最小值为21．某钢厂打算租用A ，B 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， A ，B 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且B 型车皮不多于A 型车皮7个，分别用x ，y 表示租用A ，B 两种车皮的个数.（Ⅰ）用x ，y 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）分别租用A ， B 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金. 【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）分别租用A 、B 两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万. 【解析】（Ⅰ）由已知x ， y 满足的数学关系式为3660900,21,{7,0,0.x y x y y x x y +≥+≤-≤≥≥该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.22．如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为棱11A B 与1BB 的中点， M ， N 为线段1C D 上的动点，其中， M 更靠近D ，且1MN C N =.（1）证明： 1A E ⊥平面1AC D ；（2）若NE 与平面11BCC B，求异面直线BM 与NE 所成角的余弦值.【答案】（1）见解析（2（2）解：取BC 的中点O ， 11B C 的中点1O ，则AO BC ⊥， 1OO BC ⊥， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()0,1,0B ， ()0,1,1E ， ()10,1,2C -，1,22D ⎫⎪⎪⎝⎭， 设11C N C D λ=3,,02λ⎫=⎪⎪⎝⎭， 则11NE C E C N =- ()30,2,1,,02λ⎫=--⎪⎪⎝⎭3,2,12λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，易知()1,0,0n =是平面11BCC B 的一个法向量，∴cos ,NE n==，解得13λ=.∴33,,12NE ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭， 112C M C D λ= ⎫=⎪⎪⎝⎭， 11BM BC C M =+1,2⎫=-⎪⎪⎝⎭，， ∴cos ,NE BM132---==∴异面直线NE 与BM23．某单位年会进行抽奖活动，在抽奖箱里装有1张印有“一等奖”的卡片， 2张印 有“二等奖”的卡片， 3张印有“新年快乐”的卡片，抽中“一等奖”获奖200元， 抽中“二等奖”获奖100元，抽中“新年快乐”无奖金.（1）单位员工小张参加抽奖活动，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回.假如小张一定要将所有获奖卡片全部抽完才停止. 记A 表示“小张恰好抽奖4次停止活动”，求()P A 的值； （2）若单位员工小王参加抽奖活动，一次随机抽取2张卡片. ①%2记B 表示“小王参加抽奖活动中奖”，求()P B 的值；②设X 表示“小王参加抽奖活动所获奖金数（单位：元）”，求X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）320；（2）见解析 【解析】（1）()11333346320C C A P A A ⋅⋅== （2）①()2326415C P B C =-=②由题意可知X 可取的值为0， 100， 200， 300，则()2326105C P X C ===； ()11232621005C C P X C ===()212326420015C C P X C +===； ()1226230015C P X C ===因此X 的分布列为X 的数学期望是()124240001002003005515153E X =⨯+⨯+⨯+⨯=24．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面,ABC 2,AB = 2,AF = 3,CE O =为BC 的中点, //AO 面EFD ．(1)求BD 的长；(2)求证：面EFD ⊥面BCED ；(3)求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3【解析】（1）取ED 的中点P ，连接,PO PF ,则PO 为梯形BCED 的中位线，322BD CE BD PO ++==又//,//PO BD AF BD ,所以//PO AF所以,,,A O P F 四点共面,因为//AO 面EFD ，且面AOPF ⋂面EFD PF =所以//AO PF所以四边形AOPF 为平行四边形， 2PO AF ==所以1BD =（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ；又AO BC ⊥且AO ⊂平面ABC 所以AO ⊥面BCED ，因为//AO PF 所以PF ⊥面BCED 又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ；.设平面的法向量为(),,1n x y =， ()()1,0,1,PE PF ==由·0{·0n PF n PE ==得0{ 1y x ==- 所以()1,0,1n =-所以6cos ,BQ n BQ n BQ n⋅==-，由所求二面角为锐二面角角，所以平面与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值． 25．如图1，四边形ABCD 中， AC BD ⊥， 2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）5【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形，则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且A D C D ⊂、平面ACD ， AD CD D ⋂=，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ，所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向， ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：()0,0,0E ，()2,0,0C ，()0,1,0B -，()0,1,0D，)Ah ，11,,02F ⎛⎫⎪⎝⎭.()1BA h=，()2,1,0DC =-，由于A BC D ⊥，所以210B A D C h ⋅=-=，解得h =，则A 点坐标为1,0,22A ⎛⎝⎭.由于12BA ⎛= ⎝⎭，31,,02BF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ABF 的法向量(),,u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,2{30,2a b a b +=+=26．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望. 【答案】(1)1314 (2) ()132E X a =【解析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A ，则()()4548131114C P A P A C =-=-=（2）由题意可得： 5,6,7,8X a a a a =.()()312235354488513035,67014707C C C C P X a P X a C C ========, ()()1343554488303517,87077014C C C P X a P X a C C ========.()13311356781477142E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯= 27．四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,BCD ∠=60°, PA PD ==E 是BC 中点,点Q 在侧棱PC 上.（Ⅰ）求证: AD PB ⊥;（Ⅱ）是否存在Q ,使平面DEQ ⊥平面PEQ ？若存在,求出,若不存在,说明理由. （Ⅲ）是否存在Q ,使//PA 平面DEQ ？若存在,求出.若不存在,说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）详见解析；（III ）详见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, ,BO AD PO AD ⊥⊥,因为侧面PAD ⊥底面A B C D ,且平面PAD ⋂底面A B C D A D =,所以PO ⊥底面A B C D .以O 为坐标原点,如图建立空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,0,0,1,D E P C ---,因为Q 为PC 中点,所以12Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以()10,3,0,0,2DE DQ ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,所以平面DEQ 的法向量为()11,0,0n =. 因为()11,3,0,0,22DC DQ ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,设平面DQC 的法向量为()2,,n x y z =,则220{0DC n DQ n ⋅=⋅=,即301022xy y z -+=+=. 令3x =,则1,y z ==即(23,1,n =.所以12121221cos ,n n n n n n ⋅==. 由图可知,二面角E DQ C --为锐角,所以余弦值为7. （Ⅲ）设()01PQ PC λλ=≤≤由（Ⅱ）可知()()2,3,1,1,0,1PC PA =--=-. 设(),,Q x y z ,则(),,1PQ x y z =-,又因为()2,PQ PC λλλ==--,所以2{ 1x y z λλ=-==-+,即()2,1Q λλ--+.所以在平面DEQ 中, ()()0,3,0,12,1DE DQ λλ==--, 所以平面DEQ 的法向量为()11,0,21n λλ=--, 又因为//PA 平面DEQ ,所以10PA n ⋅=, 即()()()11210λλ-+--=,解得23λ=. 所以当23λ=时, //PA 平面DEQ28．如图，D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点，AC =．（I ）若30DAC ∠=，求角B 的大小；（II ）若2BD DC =，且AD =DC 的长． 【答案】（I ）60B ∠=°；（II ）2.29．某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了 40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•【答案】（1）（2）乙生产线更好（3）见解析（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，，由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，质量指标值在的件数为，由题意可知的取值为0，1，2，3；所以，，，.所以的分布列为：的数学期望.30．已知曲线的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线与交点的平面直角坐标；（Ⅱ）两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积(为坐标原点). 【答案】（1）；（2）．由平面几何知识可知，当依次排列且共线时，最大，此时，到的距离为，∴的面积为.2019年高考（理科）数学考前必做基础30题（解析版）第（31）页。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十六）17．（10分）的内角的对边分别为． （1）若面积的最大值；（2）若，求的值． 【答案】（1）；（2．【解析】试题分析：（1）有余弦定理易得，结合均值不等式得：，又，从而面积的最大值可得；（2）由正弦定理得，从而，又，故可求得的值．试题解析：（1）由余弦定理得，即，所以， 因为，所以，即（当且仅当时，等号成立），所以，故．（2）由正弦定理得，，所以， 所以，所以，所以，故为锐角，ABC △,,A B C π,,,3a b c A =a =ABC △2ac =sin B ABC △223b c bc =+-3bc ≤13sin 2ABC S bc A ==△ABC △3sin sin 4c C A a ==13cos 4C =πsin sin 3B C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin B 2222cos a b c bc A =+-223b c bc =+-223b c bc +=+222b c bc +≥32bc bc +≥3bc ≤b c =1sin 2ABC S bc A ==△ABC △sin sin a c A C =1πsin sin sin 23c C A a ===cos C =2a c =c a <C A <C所以， 所以 ． 18．（12分）已知正项数列的前项和为，满足．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，求数列前项和的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由推得，即，其中，故而得到数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求和． 试题解析：（1）当时，即，解得，①② ①－②：，所以，cos 4C =()()πππsin sin πsin sin sin cos cos sin 333B A C A C C C C ⎛⎫=-+=+=+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12=+={}n a n n S ()2*122n n S a n ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N {}n a 1221n n n n n a a b a a +++={}n b n n T 12n a n =-221616441n nn n +++2122n n S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()1110n n n n a a a a --+--=11n n a a --=2n ≥{}n a 1n =211122S a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭112a =22112224n n n n n S a S a a ⎛⎫=+⇒=++ ⎪⎝⎭2111124n n n S a a ---⇒=++22112n n n n n a a a a a --=-+-22110n n n n a a a a -----=即，因为是正项数列，所以，即，其中，所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）因为，所以， 所以， 所以 ． 19．（12分）如图，在四棱锥中，四边形为梯形，，，为等边三角形，．（1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值．()()1110n n n n a a a a --+--={}n a 11n n a a ---11n n a a --=2n ≥{}n a 12()111122n a n n =+-=-12n a n =-112n a n +=+222222221121122111111222222n n n n b n n n n n n ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()221142121n n ⎡⎤=-⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦()()1222222211111144413352121n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+⎢⎥⎣⎦()222116164144121n n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦P ABCD -ABCD AB CD ∥12AD CD BC AB ===PAD △PA BD⊥PAD ⊥ABCD A PB C --【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为． 【解析】试题分析：（1）欲证面面垂直，即证线面垂直；（2）以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标，平面的法向量，平面的法向量，从而得到二面角的余弦值． 试题解析：（1）如图取的中点，连接，依题意且， 所以四边形是平行四边形， 所以．因为是中点，所以，故， 所以为等边三角形，所以， 因为，所以， 所以平行四边形为菱形，所以，所以，即， 又已知，所以平面，平面，所以平面平面．A PBC --65-DA x DB y D ABCD z D xyz -PAB ()3,1,1n =PBC ()653,1,3,cos ,65m m n =-=A PBC --AB E DE DC EB ∥DC EB =BCDE DE BC =E AB 12AE AB =AE AD DE ==ADE △60AED ∠=︒AB CD ∥60,EDC BC CD ∠=︒=BCDE 1302EDB EDC ∠=∠=︒90ADB ∠=︒BD AD ⊥PA BD ⊥BD ⊥PAD BD ⊂ABCD PAD ⊥ABCD（2）由（1）知，平面，平面平面，所以如图，以为轴，为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标．设，则，，所以，所以． 设平面的法向量，则， 令，所以．同理可得平面的法向量，所以，所以二面角的余弦值为． 20．（12分）为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，学校对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12．BD ⊥PAD PAD ⊥ABCD DA x DB y D ABCD z D xyz -2AB =BD =1AD CD BC PAPD =====()()111,0,0,,,22A B C P ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭()13,0,,1,3,02PA AB ⎛⎫=-=- ⎪ ⎝⎭PAB (),,n x y z =100200PA n x z AB n x ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩-+=⎩x =1,1y z ==()3,1,1n =PBC ()3,1,3m =-65cos ,65m n =A PB C --1:2:3（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选2人，设表示体重超过60公斤的学生人数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）随机变量的分布列为：． 【解析】试题分析：（1）由条件可得：，，；（2）由题意知服从二项分布， ，从而得到分布列及期望．试题解析：（1）设报考飞行员的人数为，前3个小组的频率分别为，则由条件可得：， 解得，X X 48n =X ()54E X =1230.125,0.25,0.375p p p ===2120.25p n==48n =X ()()22530,1,288kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n 123,,p p p ()2131123230.0370.01351p p p p p p p ⎧=⎪=⎨⎪++++⨯=⎩1230.125,0.25,0.375p p p ===又因为，所以． （2）由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为：， 由题意知服从二项分布，，所以随机变量的分布列为：．21．（12分）已知点是圆心为的圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点． （1）求动点的轨迹的方程；（2）矩形的边所在直线与曲线均相切，设矩形的面积为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设的方程为，的方程为，直线与间的距离为，直线与间的距离为，2120.25p n==48n =()350.0370.01358P p =++⨯=X ()()22530,1,288kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ()55284E X np ==⨯=ME (2216x y ++=()3,0F MF EM P P C ABCD C ABCD S S 2214x y +=810S ≤≤AB 1y k x m =+BC 2y k x n =+ABCD 1d =BCAD 2d =，从而得到的范围． 试题解析：（1）依题，所以（为定值），，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，所以点轨迹的方程是．（2）①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设的方程为，的方程为，则的方程为，的方程为，其中，直线与间的距离为，同理直线与间的距离为，所以， 因为直线与椭圆相切，所以，所以，同理，14S d ===S PMPF=4PE PF PE PM ME +=+==EF=4>P EF 24,2a c ==P C 2214x y +=8S =AB 1y k x m =+BC 2y k x n =+CD 1y k x m =-AD 2y k x n =-121k k ⋅=-AB CD 1d ==BC AD2d ==()12*S d d =⋅=22221111121044x y k x k mx m y k x m ⎧+=⎪⎛⎫⇒+++-=⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎩AB 221410k m ∆=+-=m =n =所以，（当且仅当时，不等式取等号）， 所以，即， 由①②可知，．22．（12分）已知函数．（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增；（2）．【解析】试题分析：（1）二次求导确定函数的单调区间；（2）不等式在上恒成立．在上恒成立，转求的最小值即可．试题解析：（1）易知函数的定义域为，，设，则，当时，，当时，，所以，S ===44==212112k k +≥11k =±4S ≤810S <≤810S ≤≤()e ln xf x x =()f x ()()1f x a x >-()1,+∞a ()f x ()0,+∞(,e]-∞()()1f x a x >-()1,+∞()()e ln 10xg x x a x =-->()1,+∞()g x ()f x ()0,+∞()1e ln x f x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭()1ln h x x x =+()22111x h x x x x -'=-=01x <<()0h x '<1x >()0h x '>()()min 110h x h ==>故，所以在上单调递增．（2）依题在上恒成立，设，则在上恒成立，，，欲使在上恒成立，则，得，反之，当时，，设，则， 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以， 故，所以在上单调递增， 又，所以在上恒成立， 综上所述，在上恒成立， 所以的取值范围是．()0f x '>()f x ()0,+∞()e ln 1xx a x >-()1,+∞()()()e ln 11xg x x a x x =-->()0g x >()1,+∞()10g =()1e ln x g x x a x ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭()0g x >()1,+∞()10g '≥e a ≤e a ≤()11e ln e ln e x x g x x a x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥()()1e ln e 1x r x x x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭()221e ln x r x x x x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭()()221ln 1x x x x x φ=+->()()22233311122220x x x x x x x x xφ-+-+'=-+==>()x φ()1,+∞()()110x φφ>=>()0r x '>()r x ()1,+∞()()10r x r >=()0g x '>()g x ()1,+∞()10g =()0g x >()1,+∞()0g x >()1,+∞e a ⇔≤a (,e]-∞。

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十）17．（本小题满分12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且3cos 5B =，()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=． （1）求边b 的值；（2）求ABC △的周长的最大值．【答案】（1）由()s i n c o s c o s s i n 0AB A B --⋅=得sin cos cos sin sin A B A B c B +=． ∴sin sinC c B =，即sin sin C B c =． 由正弦定理得sin sin B C b c=，故1b =． （2）由余弦定理得，22262cos 15a cb ac B ac +=+=+．∴()22161611552a c a c ac +⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭≤，∴a c +所以当a c =时，ABC △1．18．（本小题满分12分）2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛．规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛．假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立． （1）求该学生进入省队的概率．（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．【答案】（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则()3414133381C 4444128P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴()()814711128128P A P A =-=-=． （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2，3，4，5．()2112416P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1213133C 44432P ξ==⨯⨯⨯=， ()2131314C 444P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭43278127425625664⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． ()31413275C 4464P ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭． 故ξ的分布列为：()123451632646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E ．（1）求证：E 为PC 的中点；（2）求二面角A ED B --的余弦值．【答案】（1）证明：连结AC ，设AC BD O =I ，连接OE ，则O 为AC 的中点，且面PAC I 面BDE OE =，∵PA ∥平面BDE ，∴PA OE ∥，∴E 为PC 的中点．（2）∵PA OE ∥，∴OE ⊥底面ABCD ，∴OE AC ⊥．又∵AC BD ⊥，OE BD O =I ，∴AC ⊥平面BED ．过点O 作ED 的垂线，交ED 于M ，连接AM ．∵OM ED ⊥，∴AM ED ⊥，∴AMO ∠为所求的平面角．OD OE ED OM ⋅=⋅，∴2OM =，又1OA =，∴2AM =．∴cos 7OM AMO AM ∠==，∴二面角A ED B --的余弦值为7． 20．（本小题满分12分）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()12,0F ，过1F 作圆222x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点．（1）求椭圆的方程；（2）曲线2y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标．【答案】（1）由已知得c =，且2c =，∴b =222236a b c b =+==．所以椭圆的方程为22162x y +=； （2）由曲线2y x m =+知曲线的图象关于y 轴对称， 又椭圆22162x y +=的图象也是关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上， 设圆心为()0,M t ，曲线2y x m =+与椭圆在一、四象限交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则211y x m =+，222y x m =+． 把2x y m =-代入22162x y +=得2360y y m +--=，∴1213y y +=-，又由MA MB =得= 即()()22221221x x y t y t -=---=()()()()222112211222y y y y t x x y y t -+-=-+-， ∵12x x ≠，∴121213y y t +=-=-，∴13t =． 所以此圆的圆心坐标为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+，其中1a <． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）证明：对任意*n ∈N 时，()()1111ln 1ln 2ln 22n n n n+++>++L ． 【答案】（1）()()()()11x x a a f x x a x x--'=+-+=，0x >， ①若0a ≤，当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>．所以()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1；②若01a <<，当1a x <<时，()0f x '<，当0x a <<或1x >时，()0f x '>， 所以()f x 的单调递增区间为()0,a ，()1,+∞，单调递减区间为(),1a ；（2）证明：当12a =-时，由（1）知()f x 在1x =处取得最小值， ∴()()10f x f =≥，即2111ln 0222x x x -+-≥， 当1x >时，恒有21111ln 1x x x x x>=---． ()()111ln 1ln 2ln 2n n n ∴+++++L 1111112n n n n >-+-+++++L 1111121222n n n n n-=-=-．。

2019年高考数学考前30天---选择题专训（十二）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】B2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．12B 2C 2D ．2【答案】C3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．3盏 B ．9盏C ．192盏D ．9384盏【答案】C4．为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101240i i x ==∑，1011700i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为25.5，据此估计其身高为（ ） A ．167 B ．176 C ．175 D ．180【答案】B5．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在()0,+∞上为减函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B6．已知函数()(i ) s n f x A x b ωϕ=++()00A ω＞，＞的图象如图所示，则() f x 的解析式为（ ）A ．()2sin()263f x x ππ=++B ．1()3sin()236f x x π=-+C ．()2sin()366f x x ππ=++D ．()2sin()363f x x ππ=++【答案】D7．函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为（ ）A ．3-B ．5C ．322+D ．32【答案】C8．已知[]x 表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为（ ）A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．【答案】B9．已知如下六个函数：y x =，2y x =，ln y x =，2x y =，sin y x =，cos y x =，从中选出两个函数记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =（ ）A ．2cos x x +B ．2sin x x +C ．2cos x x +D ．2sin x x +【答案】D10．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，()00,M x y ()000,0x y >>是双曲线的渐近线上一点，满足12MF MF ⊥，如果以2F 为焦点的抛物线22y px =()0p >经过点M ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．23-C ．25D 52【答案】C11．过点(1,1)P -作圆()22()(2)1x t y t t C -+-+=∈R ：的切线，切点分别为A ，B ，则PA PB 的最小值为（ ） A ．103B ．403C ．214D ．223－【答案】C12．已知定义在R 上的函数() y f x =对任意的x 都满足() 2() f x f x +=，当11x -≤＜时，()sin 2f x x π=，若函数()() log a g x f x x =-至少有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．()10,5,5⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ B ．[)10,5,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．()11,5,775⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[)11,5,775⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】当1a ＞时，作函数()f x 与函数log a y x =的图象如下：结合图象可知，log |5|1log |5|1a a -<⎧⎨<⎩，故5a ＞；当01a ＜＜时，作函数()f x 与函数log a y x =的图象如下：结合图象可知，log|5|1log|5|1aa--⎧⎨-⎩≥≥，故015a＜≤．故选A．。

2019年高考数学考前30天---选择题专训（二）选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}01M x x =≤≤，{}1N x x =≥，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}01x x ≤≤C ．{}11x x x -≤或0≤≤D ．{}10x x x -≤或≥【答案】D 2．若复数1i1i z -=+，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD 、-i【答案】C3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为甲x 、乙x ，标准差分别为甲σ、乙σ，则（ ）A ．乙甲乙甲，σσ<<x xB ．乙甲乙甲，σσ><x xC ．乙甲乙甲，σσ<>x xD ．乙甲乙甲，σσ>>x x【答案】C 4．已知数列}{n a 为等差数列，且55=a ，则9S 的值为（ ）A ．25B ．45C ．50D ．90【答案】B5．已知2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log c =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>【答案】D6．一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内爬行的概率为（ ）A．1B ．34 CπD ．14【答案】A7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．22【答案】B8．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x +＜解集为（ ）A ．(,2)-∞-B ．)2,2(-C ．)2,(-∞D ．),2(+∞-【答案】D9．执行如图的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1B ．23C ．12-D ．0【答案】D10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4=c ，则ABC △面积的最大值为（ ）A．B ．34C ．32D【答案】B11．设函数()()22cos e 2e x x f x x π⎛⎫-π++ ⎪⎝⎭=+的最大值为M ，最小值为N ，则2018)1(-+N M 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．20182D ．20183【答案】A12．已知双曲线()222210x y b a a b -=＞＞的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ．若双曲线上存在点P 使1221sin sin F PF cF PF a ∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．()1+B．)+∞C．)1D．)1,++∞【答案】C。