2-1线性代数同济5版

线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j jn n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*0nnnnb b A b b b b ==④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A O A A OA B O B O B B OA A A BB OB O*==**=-1例 计算2-100-13000011-25解2-100-130000110-25=2-1115735-13-25⋅=⨯= ⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a O a O ---*==-1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112nijnj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111例 计算行列式⑦ a b -型公式：1[(1)]()n a b bbb a bban b a b b b ab b b ba-=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1nD -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；1111211111121122122222122222121200000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.1112111112121212222121222212112200000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mn A A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA .a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijnnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A-=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B B B A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 主换位副变号 ② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→初等行变换例 求122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵. 解32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999221221999-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O CB B CA B ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭④ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1A B B A E A B -==⇒=）例 设方阵A 满足矩阵方程220E --=A A , 证明A 及2E +A 都可逆, 并求1-A 及()12E -+A . 解 由220E --=A A 得()12E E -=A A , 故A 可逆, 且()112E -=-A A . 由220E --=A A 也可得(2)(3)4E E E +-=-A A 或1(2)(3)4E E E ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A A , 故2E +A 可逆, 且()12E -+A 1(3)4E =--A . 3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A矩阵秩的描述：①、()=r A r，A中有r阶子式不为0，1+r阶子式(存在的话) 全部为0；②、()<r A r，A的r阶子式全部为0；③、()≥r A r，A中存在r阶子式不为0；☻矩阵的秩的性质：①()A O r A≠⇔≥1; ()0A O r A=⇔=;0≤()m nr A⨯≤min(,)m n②()()()T Tr A r A r A A==③()()r kA r A k=≠其中0④()(),,()m n n sr A r B nA B r ABB Ax⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤()r AB≤{}min(),()r A r B⑥若P、Q可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ===；即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦若()()()m nAxr AB r Br A nAB O B OAAB AC B Cο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n sr AB r Br B nB⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧()r rE O E Or A r A AO O O O⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型.⑨()r A B±≤()()r A r B+, {}max(),()r A r B≤(,)r A B≤()()r A r B+⑩()()A O O Ar r A r BO B B O⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A Cr r A r BO B⎛⎫≠+⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解） 1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βααα，若存在一组数12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，则称β是12,,,n ααα的线性组合，或称称β可由12,,,n ααα的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n ααα的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭）； ④、1122n n a x a x a x β+++=（线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⇔i i A c β= ，(,,)i s =1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即： 1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇔111122*********22211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩3.线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一.4. 最大无关组相关知识向量组12,,,n ααα的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B .12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论Ax β=1122n n x x x αααβ+++=111211*********2,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1（1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k kk k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,s ηηη是Ax ο=的基础解系的条件：① 12,,,s ηηη线性无关； ② 12,,,s ηηη都是Ax ο=的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b 的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A b r A b r A r n n r Ax b Ax Ax b x k k ααααααα==<-====++0n-r 0) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对 应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元 为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础 解系 通解 212...,,...,n r n rn r k k k k α---++其中为任意常数.例 求下述方程组的解123451234523457,3232,22623x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎨⎪+++=⎩解 19100222111117123(,)3121320113220212623001000A A b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪==--−−→ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭, 由于()()25r A r A ==<，知线性方程组有无穷多解.原方程组等价于方程组1354234519222123322x x x x x x x x ⎧=----⎪⎪⎨⎪=---+⎪⎩,令3451000,1,0.001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系 12312021213,,.100010001ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求特解: 令3450x x x ===，得12923,.22x x =-=故特解为92232.000η*-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭所以方程组的通解为 1231202921213232100000000010x k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（123,,k k k 为任意常数）.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. √ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξ是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*线性无关√ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑ ⑤(,1ααα==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ= ⑤ 12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 23n λλλ====0.○注()12,,,Tn a a a 为A 各行的公比，()12,,,n b b b 为A 各列的公比.⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0 ②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ；12()()()()n f A f f f λλλ=.⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量. 设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,in r ξξξ- 其中()i i r r A E λ=-.则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++其中12,,,i n r k k k -为任意不全为零的数.例 求211020413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值和全部特征向量.解 第一步：写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.221121020(2)(2)(1)043413A E λλλλλλλλλ-----=-=-=--+=----解得特征值为1231, 2.λλλ=-==第二步：对每个特征值λ代数齐次线性方程组()0A E x λ-=，求其非零解,即对应于特征值λ的全部特征向量.当1λ=- 时，齐次线性方程组为()0A E x +=,系数矩阵111101030010414000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:1101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故对应于特征值1λ=-的全部特征向量为11(0)k P k ≠. 当2λ= 时，齐次线性方程组为(2)0A E x -=,系数矩阵4114112000000411000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:2011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3104P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故对应于特征值2λ=的全部特征向量为 2233k P k P +， 其中23,k k 不全为零.5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量.这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数. ③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值.9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.例 实对称阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交阵Q ，使得AQ Q 1-为对角阵.解 120222(1)(2)(5)0023A E λλλλλλλ---=---=-+--=--所以A 的特征值为11λ=-，22λ=，35λ=，当11λ=-时，解()0A E x +=，得基础解系为1(2,2,1)T x = 当22λ=时，解(2)0A E x -=，得基础解系为2(2,1,2)T x =-- 当35λ=时，解(5)0A E x -=，得基础解系为3(1,2,2)Tx =- 令111221(,,)333T x y x ==222212(,,)333T x y x ==--333122(,,)333T x y x ==-令123221333212(,,)333122333Q y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000500021AQ Q AQ Q T11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

线性代数复习要点第一部分行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算：① (定义法)1212121112121222()1212()n n nn n j j j n j j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑LL L L L M M M L1②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.11221122***0**0*00nnnnbbA b b bb==LM OL④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A OA A O A BO BO BBO A AAB B O B O*==**=-1例 计算2-100-130000110-25解2-100-130000110-25=2-1115735-13-25⋅=⨯= ⑤ 关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O---*==-K N N1⑥ 范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111 例 计算行列式⑦a b-型公式：1[(1)]()na b b bb a b ba nb a bb b a bb b b a-=+--LLLM M M O ML⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.⑨(递推公式法) 对n阶行列式nD找出nD与1nD-或1nD-,2nD-之间的一种关系——称为递推公式，其中nD,1nD-,2nD-等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法.(拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算.⑩(数学归纳法)2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)nnk n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；3. 证明0A =的方法：①、A A =-； ②、反证法；③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L称为m n ⨯矩阵. 记作：()ijm nA a ⨯=或m n A ⨯① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中12121122(,,,)j j ij i i is i j i j is sj sj b b c a a a a b a b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L M 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BAAB A ==⇒=或B=0不成立.a. 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；11112111111211221222221222221212000000n n n n m m m mn m m m m m mn a b b b a b a b a b a b b b a b a b a b B a b b b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLc. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.11121111121212122221212222121122000000n m n n m n m m mn m m m m mn b b b a a b a b a b b b b a a b a b a b B b b b a a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Λ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L L L L M M O M M M O M M M O M LLLd. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. ④ 方阵的幂的性质：mnm nA A A+=， ()()m n mnA A =⑤ 矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作TA . a. 对称矩阵和反对称矩阵: A 是对称矩阵TA A =.A 是反对称矩阵T A A =-.b. 分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑥ 伴随矩阵： ()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪ ⎪==⎪⎪⎝⎭LL M M M L，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A-=, 11AA --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *(1)(1)mn mn A A B BB A**⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 逆矩阵的求法 方阵A 可逆0A ≠.①伴随矩阵法 1A A A *-= ○注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 L L 主换位副变号 ② 初等变换法 1()()A E E A -−−−−→MM 初等行变换例 求122212221⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵. 解32322121232313213219221210203312210012210021212010036210012033221001033011009221122100999212010999221001999r r r r r r r r r r r r r r ------+⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→---→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦1122999122212,212999221221999-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以③ 分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ④1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑤ 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义1AB BA E A B -==⇒=）例 设方阵A 满足矩阵方程220E --=A A , 证明A 及2E +A 都可逆, 并求1-A 及()12E -+A . 解 由220E --=A A 得()12E E -=A A , 故A 可逆, 且()112E -=-A A . 由220E --=A A 也可得(2)(3)4E E E +-=-A A 或1(2)(3)4E E E ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦A A , 故2E +A 可逆, 且()12E -+A 1(3)4E =--A .3.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时， 4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或消法）变换☻矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：① 对A 施行一次初等○行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○左乘A ； ② 对A 施行一次初等○列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵○右乘A .注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵.5.关于A 矩阵秩的描述：①、()=r A r ，A 中有r 阶子式不为0，1+r 阶子式 (存在的话) 全部为0； ②、()<r A r ，A 的r 阶子式全部为0； ③、()≥r A r ，A 中存在r 阶子式不为0； ☻矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n② ()()()TTr A r A r A A ==③ ()()r kA r A k =≠ 其中0④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B OA AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rrE O E O r A r A A O O O O ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + ⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭☻求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AXB XA B ==(I) 或 (II)A B E X −−−−→MM 初等行变换(I)的解法：构造()() A E B X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 初等列变换(II)的解法：构造T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为， 用(I)的方法求出，再转置得第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表示2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的判定6. 线性方程组的解的结构（通解）（1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1.线性表示：对于给定向量组12,,,,n βαααL ，若存在一组数12,,,n k k k L 使得1122n n k k k βααα=+++L ， 则称β是12,,,n αααL 的线性组合，或称称β可由12,,,n αααL 的线性表示.线性表示的判别定理:β可由12,,,n αααL 的线性表示由n 个未知数m 个方程的方程组构成n 元线性方程：①、11112211211222221122n n n n m m nm n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++= ⎧⎪+++= ⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L L L L L L L L L 有解②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇔= ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M O M M M Ln n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax a a a x b β③、()1212n n x x aa a x β⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭LM （全部按列分块，其中12n b b b β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M ）；④、1122n n a x a x a x β+++=L （线性表出）⑤、有解的充要条件：()(,)r A r A n β=≤（n 为未知数的个数或维数）2. 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭L LL M M M L ⇔i i A c β= ，(,,)i s =L 1,2 ⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L ⇔12,,,s c c c L 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示.即：C 的列向量能由A 的列向量线性表示，B 为系数矩阵. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，A 为系数矩阵.即：1112111212222212n n n n mn n m a a a c a a a c a a a c βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M M L ⇔11112212121122222211222n n m m mn ma a a c a a a c a a a c βββββββββ+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩L L L L L L3.线性相关性判别方法：法1法2法3推论♣线性相关性判别法（归纳）♣ 线性相关性的性质① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动）④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一.4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组12,,,n αααL 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααL 矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B .向量组等价 12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅% ① 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.② 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系③ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .④ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价； ⑤ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. ⑥ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑦ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ⑧ 设A 是m n ⨯矩阵,若()r A m =，A 的行向量线性无关； 5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=L1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L M M M M ML其中 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 1 （1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质：1212121211221212(1),,(2),,(3),,,,,,,,(4),,(5),,(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηοηηηοηηηηολλλληληληγβηογηβηηβηηο=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-=L L 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),(7),,,,100k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηοηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪+++=⇔+++=⎪⎪+++=⇔+++=⎩L L L L L 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解(3) 判断12,,,sηηηL是Axο=的基础解系的条件：①12,,,sηηηL线性无关；②12,,,sηηηL都是Axο=的解；③ ()s n r A=-=每个解向量中自由未知量的个数.(4) 求非齐次线性方程组Ax = b的通解的步骤12112(1()(2)()()(3)(4)10,,...,(5)A br A b r A r nn rAx bAxAx bx k kααααααα==<-====++n-r) 将增广矩阵通过初等行变换化为；当时，把不是首非零元所在列对应的个变量作为自由元；令所有自由元为零，求得的一个；不计最后一列，分别令一个自由元为，其余自由元为零，得到的{};写出非齐次线性方程组的阶梯形矩阵特解基础解系通解212...,,...,n r n rn rkk k kα---++其中为任意常数.例 求下述方程组的解123451234523457,3232,22623x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎨⎪+++=⎩解 19100222111117123(,)3121320113220212623001000A A b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==--−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭%, 由于()()25r A r A==<%，知线性方程组有无穷多解. 原方程组等价于方程组1354234519222123322x x x x x x x x ⎧=----⎪⎪⎨⎪=---+⎪⎩,令3451000,1,0.001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求得等价方程组对应的奇次方程组的基础解系 12312021213,,.100010001ξξξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭求特解: 令3450x x x ===，得12923,.22x x =-= 故特解为92232.000η*-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭所以方程组的通解为 1231202921213232100000000010x k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（123,,k k k 为任意常数）.（5）其他性质一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.√ 若η*是Ax β=的一个解，1,,,s ξξξL 是Ax ο=的一个解⇒1,,,,s ξξξη*L 线性无关 √ Ax ο=与Bx ο=同解（,A B 列向量个数相同）⇔()()A r r A r B B ⎛⎫==⎪⎝⎭, 且有结果： ① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组Ax ο=与Bx ο=同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）； 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔AQ B =（右乘可逆矩阵Q ）.第四部分 方阵的特征值及特征向量1. 施密特正交化过程2. 特征值、特征向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化1.①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ②1(,)ni i i a b αβ===∑③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.2. 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 线性性：1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)k k αβαβ=3. ① 设A 是一个n 阶方阵, 若存在数λ和n 维非零列向量x , 使得 Ax x λ=，则称λ是方阵A 的一个特征值，x为方阵A 的对应于特征值λ的一个特征向量. ②0E A λ-=（或0A E λ-=）.③()E A λϕλ-=（或()A E λϕλ-=）.④ ()ϕλ是矩阵A 的特征多项式⇒()A O ϕ= ⑤ 12n A λλλ=L1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A ⑥ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.⑦ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且Ax ο=的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量.⑧ ()1r A =⇔A 一定可分解为A =()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L M 、21122()n n A a b a b a b A =+++L ,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++L tr , 23n λλλ====L 0.○注()12,,,Tn a a a L 为A 各行的公比，()12,,,nb b b L 为A 各列的公比. ⑨ 若A 的全部特征值12,,,n λλλL ，()f A 是多项式,则:① 若A 满足()f A O =⇒A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0②()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλL ；12()()()()n f A f f f λλλ=L .⑩ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同. 4. 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,i n r k k k -L 为任意不全为零的数.例 求211020413A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值和全部特征向量.解 第一步：写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.221121020(2)(2)(1)043413A E λλλλλλλλλ-----=-=-=--+=---- 解得特征值为1231, 2.λλλ=-==第二步：对每个特征值λ代数齐次线性方程组()0A E x λ-=，求其非零解,即对应于特征值λ的全部特征向量. 当1λ=- 时，齐次线性方程组为()0A E x +=,系数矩阵111101030010414000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:1101P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故对应于特征值1λ=-的全部特征向量为11(0)k P k ≠. 当2λ= 时，齐次线性方程组为(2)0A E x -=,系数矩阵4114112000000411000A E ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系:2011P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，3104P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故对应于特征值2λ=的全部特征向量为 2233k P k P +， 其中23,k k 不全为零. 5. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 6. 相似矩阵的性质： ①E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.○注α是A 关于0λ的特征向量,1P α-是B 关于0λ的特征向量. ②A B =tr tr③A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ④ ()()r A r B =⑤若A 与B 相似, 则A 的多项式()f A 与B 的多项式()f A 相似. 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 8. 实对称矩阵的性质：① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 不同特征值对应的特征向量必定正交；○注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； ③ 一定有n 个线性无关的特征向量. 若A 有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--； ④ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ⑤ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； ⑥ 两个实对称矩阵相似⇔有相同的特征值. 9. 正交矩阵 TAA E =正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② T TAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.10.例 实对称阵120222023A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，求正交阵Q ，使得AQ Q 1-为对角阵.解 120222(1)(2)(5)0023A E λλλλλλλ---=---=-+--=-- 所以A 的特征值为11λ=-，22λ=，35λ=，当11λ=-时，解()0A E x +=，得基础解系为1(2,2,1)Tx = 当22λ=时，解(2)0A E x -=，得基础解系为2(2,1,2)Tx =-- 当35λ=时，解(5)0A E x -=，得基础解系为3(1,2,2)Tx =-令111221(,,)333T x y x ==222212(,,)333T x y x ==--333122(,,)333T x y x ==-令123221333212(,,)333122333Q y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-1000500021AQ Q AQ Q T11.123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ=222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。

线性代数(同济第5版)复习要点以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线第一章 行列式基本结论1．行列式的性质（1） 互换行列式的两行，行列式变号.（2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.（3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 ),,2,1(n i =3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即0212222111211≠=nnn n n n a a a a a a a a a D那末，线性方程组有唯一的解,,,,2211DD x D Dx D D x n n ===主要计算计算行列式：1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n 阶行列式. 例1．（例7）计算行列式 3351110243152113------=D2．（例8）计算行列式 3111131111311113=D第二章 矩阵及其运算基本概念注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BA AB ≠3．矩阵乘法有零因子出现：O B O A ≠≠,，但却有O AB = 4．消去律不成立：AC AB =，推不出C B = 基本结论1．转置 (i) A A T T =)( (ii) T T T B A B A +=+)( (iii) T T kA kA =)( (iv)T T T A B AB =)(2．方阵的行列式 (i) ||||A A T =（行列式性质1）； (ii) ||||A A n λλ=; (iii)||||||B A AB =3．A 的伴随矩阵E A A A AA ||==**4．逆矩阵是初等矩阵可逆i sE E E E A E A nA R A A 21~)(0||=⇔⇔=⇔≠⇔推论 若E AB =（或E BA =），则1-=A B 方阵的逆阵满足下述运算规律：（i ）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且A A =--11)(. （ii ）若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111)(--=A A λλ（iii ）若B A ,为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111)(---=A B AB （iv ）若A 可逆，则T A 亦可逆，且T T A A )()(11--= 基本计算用上面基本结论进行简单计算 主要计算求1-A ：公式法*-=A A A ||11 基本证明用上面基本结论进行简单证明 例1. （例11）求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343122321A第三章 矩阵的初等变换与线性方程组基本结论线性方程组解的判定：1. n 元非齐次线性方程组b AX =b AX =有解⇔)()(B R A R =. 有解时，（记r B R A R ==)()(）（1）n r =时，b AX =有唯一解 （2）n r <时，b AX =有无穷多解2．齐次线性方程组0=AX （0=AX 是b AX =的特殊情形）由于0=AX 永远满足)()(B R A R =，故0=AX 总有解（至少有零解）从而 （1）n r =时，0=AX 有唯一零解（2）n r <时，0=AX 有（无穷多）非零解 基本计算1．会求矩阵的秩2．会用矩阵的秩判别线性方程组有没有解，有解时，有多少解 3．会用初等变换求矩阵的逆初等变换)|()|(1-→A E E A 行；(包括求矩阵方程B AX =，用)|()|(1B A E B A -→行； 主要计算1． 设非齐次线性方程组b AX =，试问此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？ 2． 会用初等变换求矩阵的逆 例1．（例5）设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=41461351021632305023A求矩阵A 的秩，并求A 的一个最高阶非零子式2．用初等变换求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=343122321A 的逆矩阵3．（例13）设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,)1(,3)1(,0)1(321321321λλλλx x x x x x x x x 问λ取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多个解？并在有无限多解时求其通解．第四章 向量组的线性相关性基本概念1．向量组的线性相关性向量的线性组合、线性表示、向量组的线性相关与线性无关 向量组的等价 2．向量组的秩极大线性无关组、向量组的秩 3．向量空间向量空间的基的定义、基的求法、向量空间的维数、维数的求法 向量组m ααα,,,21 所生成的向量空间为},,,|{),,,(21221121R k k k k k k L m m m m ∈+++= αααααα4．线性方程组解的结构齐次线性方程组基础解系、非齐次线性方程组解的结构 基本结论 1．线性表出定理1 向量b 能由向量组A 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,(21b B m ααα =的秩．定理2 向量组l B βββ,,,:21 能由向量组m A ααα,,,:21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,,(),(11l m B A ββαα =的秩. 即),()(B A R A R =.推论 向量组l B βββ,,,:21 与向量组m A ααα,,,:21 等价的充分必要条件是),()()(B A R B R A R ==定理3 设向量组l B βββ,,,:21 能由向量组m A ααα,,,:21 线性表示，则),,,(),,,(2121m l R R αααβββ ≤.2． 向量组的线性相关性定理4 向量组m ααα,,,21 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A ααα =秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是m A R =)(定理5 （1）若向量组m A ααα,,,:21 线性相关，则向量组11,,,:+m m B ααα 也线性相关． （2） m 个n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数m 时一定线性相关．（3） 设向量组m A ααα,,,:21 线性无关，而向量组βααα,,,,:21m B 线性相关，则向量β必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的．3．向量组的秩定理6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩．推论 （最大无关组的等价定义）设向量组B 是向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个最大无关组．4．解的结构（1）齐次线性方程组性质1 若21,ξξ为0=Ax 的解， 则21ξξ+也是0=Ax 的解． 性质2 若ξ为0=Ax 的解，k 为实数，则ξk 也是0=Ax 的解．0=Ax 的基础解系：r n -ξξ,,1 ，通解是r n r n k k X --++=ξξ 11定理7 设n m ⨯矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组O AX =的解集S 的秩r n R S -=. （2）非齐次线性方程组性质3 设1η及2η都是b Ax =的解，则21ηη-为导出组0=Ax 的解．性质4 设η是方程b Ax =的解，ξ是方程0=Ax 的解，则ηξ+仍是方程b Ax =的解．b Ax =的通解是：*+++=--ηξξr n r n k k X 11 5．向量空间向量组m ααα,,,21 所生成的向量空间为},,,|{),,,(21221121R k k k k k k L m m m m ∈+++= αααααα基本计算1. 一般地，要判别一个向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n b b b 21β是否可由向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα线性表出？设s s k k k αααβ+++= 2211按分量形式写出来就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++ns ns n n s s s s b k a k a k a b k a k a k a b k a k a k a 22112222212*********,, （*）定理 β可由向量组s ααα,,,21 线性表出⇔（*）有解 2. 一般地，要判别一个向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ns s s s n n a a a a a a a a a 21222122121111,,,ααα是否线性相关？设02211=+++s s x x x ααα按分量写出来就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111s ns n n ss s s k a k a k a k a k a k a k a k a k a （**）定理 向量组s ααα,,,21 线性相关⇔齐次线性方程组（**）有非零解 3. ),,,(21m L ααα 基和维数的求法 4．线性方程组解的结构（1）齐次线性方程组基础解系r n -ξξ,,1（2）非齐次线性方程组解的结构的求法*+++=--ηξξr n r n k k X 11主要计算1．设矩阵A ，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．2．设非齐次线性方程组b AX =，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（第三章容）（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.（第四章容） 基本证明向量的线性相关与线性无关、向量的组的等价、极大线性无关组、向量组的秩的证明 向量空间的基、维数的证明 基础解系、解的结构的证明 主要证明1．线性无关的证明2．B AB ⇔=0的列是0=AX 的解 例 1．（例11）设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属最大无关组的列向量用最大无关组线性表示．2．（例16）设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+--2143214321432132130x x x x x x x x x x x x ，试问（1）此线性方程组有解吗？若有解，有多少解？（2）若有无穷多解，求其通解（要求通过它的导出组的基础解系给出的通解）.3．（例6） 已知向量组321,,ααα线性无关，211ααβ+=, 322ααβ+=, 133ααβ+=，试证向量组321,,βββ线性无关．（第五章 §1 定理1、§2 定理2）4．（例13）设0=AB ，证明：n B R A R ≤+)()(.第五章 相似矩阵及二次型基本概念 一．积积的定义：n n y x y x y x Y X +++= 2211],[向量的长度：22221],[n x x x X X X +++== 、当1=X 时，称X 为单位向量．向量的夹角：YX Y X ],[arccos=θ向量的正交：0],[=Y X 时，称向量X 与Y 正交 正交向量组、正交基、规正交基 正交矩阵A ：)(1T T A A E A A ==-即二．矩阵的特征值、特征向量 特征值、特征向量三．相似矩阵，对称阵的对角化四．二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本结论 一．积（i ）],[],[X Y Y X =； （ii ）],[],[Y X Y X λλ=（iii ）],[],[],[Z Y Z X Z Y X +=+1．非负性：对任意X 都有 0≥X ; 当且仅当O X =时, 0=X 2．齐次性: X X ||λλ=;3．三角不等式：Y X Y X +≤+ 定理1 若n 维向量 r ααα,,,21 是一组两两正交的非零向量，则r ααα,,,21 线性无关．二．特征值、特征向量定理2 设m λλλ,,,21 是方阵A 的m 个特征值，m p p p ,,,21 依次是与之对应的特征向量．如果m λλλ,,,21 各不相同，则m p p p ,,,21 线性无关．三．相似矩阵，对称阵的对角化四．二次型及其标准形，正定二次型，正定矩阵 基本计算1．向量的长度：22221],[n x x x X X X +++==2．向量的夹角的求法：YX Y X ],[arccos =θ3．正交化方法： 设r ααα,,,21 线性无关111122221111222231111333111122211],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[],[--------=--=-==r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβββββαββββααβββββααβαβ4．单位化：r rr e e e ββββββ1,,1,1222111===5．特征值的求法、特征向量的求法6．对称阵的对角化方法7．求正交变换化二次型为标准形 例1．（例2） 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=014,131,121321ααα，试用施密特正交化过程把这组向量规正交化。

线性代数重点、难点
（教材：《线性代数》同济大学第五版）学时：40+8
第一章行列式
重点：n阶行列式的定义、性质与计算. n阶行列式的展开定理. 矩阵秩的概念，特性，求秩的方法.，克拉默法则。

难点：n阶行列式的展开定理，行列式按行列展开，行列式的计算。

第二章矩阵及其运算
重点：矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及分块矩阵. 矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算，方阵的行列式，逆矩阵。

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难点：逆矩阵。

第三章矩阵的初等变换与线性方程组
重点：矩阵的初等变换，矩阵秩的概念，求秩的方法；用初等变换的方法求线性方程组的解。

难点：矩阵的初等变换，用初等变换的方法求线性方程组的解。

第四章向量组的线性相关性
重点：向量组的线性相关性及其判定方法；向量组的极大线性无关组及秩的概念；极大线性无关组的求法，线性方程组的解的结构，线性方程组的通解。

难点：向量组的线性相关性及其判定方法，线性方程组的解的结构.
第五章相似矩阵及二次型
重点：.向量的正交性及正交化方法；特征值与特征向量的概念与性质，正交矩
阵、相似矩阵以及矩阵对角化的条件和方法；实对称矩阵的对角化方法；二次型标准化的正交变换法和配方法，二次型的正定性及其判别。

难点：矩阵的对角化方法及二次型标准化的正交变换法。