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成都大学诗叶子制作第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)ba c a cb cb a ;解 ba c a cb cb a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc=3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).成都大学诗叶子制作(4)y x y x x y x y yx y x +++.解 yx y x x y x y yx y x +++=x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3).2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数:(1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个)7 2, 7 4, 7 6(3个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)(6)1 3 ⋅⋅⋅(2n-1) (2n) (2n-2) ⋅⋅⋅ 2.解逆序数为n(n-1) :3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,⋅⋅⋅, (2n-1)(2n-2) (n-1个)4 2(1个)6 2, 6 4(2个)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2n)2, (2n)4, (2n)6,⋅⋅⋅, (2n)(2n-2) (n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(-1)t a11a23a3r a4s,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子a11a23的项分别是(-1)t a11a23a32a44=(-1)1a11a23a32a44=-a11a23a32a44,(-1)t a11a23a34a42=(-1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42.4.计算下列各行列式:成都大学诗叶子制作成都大学诗叶子制作(1)7110025*******214; 解 71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解 2605232112131412-26053212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd aeac ab ---;解 efcf bf de cd bd aeac ab ---e c b e c b e c b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=.成都大学诗叶子制作(4)dc b a 100110011001---. 解 d c b a 100110011001---dc b aab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ada ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)y x z x z y zy x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++;证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bxaz bz ay by ax +++++++++成都大学诗叶子制作bz ay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++=bz ay y x by ax x z bxaz z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得) 5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)成都大学诗叶子制作022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b ad a c a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---=))(())((00111))()((a b d b d d a b c b c c b d b c a d a c a b ++-++------= )()(11))()()()((a b d d a b c c b d b c a d a c a b ++++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ).成都大学诗叶子制作(5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即 D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1, 则D n 按第一列展开, 有 11100 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-xx a xD D n n n n =xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得n nn n a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nn n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= , 11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以成都大学诗叶子制作nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证 nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=. D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aaD n 11⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0; 解成都大学诗叶子制作aa a a a D n 0 0010 000 00 000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开) )1()1(10 00 00 000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n aa a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n n a a an n n nn a a a+⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa aa x a a a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得 ax x a ax x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0, 再将各列都加到第一列上, 得ax ax a x aaa a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.成都大学诗叶子制作(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有 nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解成都大学诗叶子制作nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开) nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=n i i i i i n c b d a D 12)(. (5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |;成都大学诗叶子制作解 a ij =|i -j |, 04321 4 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 043211 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r 15242321 0 22210 02210 00210 0001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n≠0.解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 111 1121成都大学诗叶子制作nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--10001 000 100 0100 0100 0011332212132 11113121121110 00011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 000100 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为成都大学诗叶子制作14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D , 284112035122412111512-=-----=D , 426110135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==D D x , 222==D D x , 333==D D x , 144-==D D x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 150751001651000651000650000611==D , 114551010651000650000601000152-==D ,成都大学诗叶子制作70351100650000601000051001653==D , 39551000601000051000651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x , 6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ成都大学诗叶子制作有非零解？解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知:⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,成都大学诗叶子制作故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ,⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T .4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛;解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ;成都大学诗叶子制作解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问:(1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA . (2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗? 解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A ,成都大学诗叶子制作 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ; 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取成都大学诗叶子制作 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,成都大学诗叶子制作 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵.证明 因为A T =A , 所以成都大学诗叶子制作 (B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以 AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθc o s s i n s i n c o s A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,成都大学诗叶子制作 所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:成都大学诗叶子制作 (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ; 解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .成都大学诗叶子制作 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,成都大学诗叶子制作 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x . 14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ).另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1, 就有(E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.成都大学诗叶子制作 证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21, 由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-. 由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E ,所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2 E )-1,成都大学诗叶子制作 )3(41)2(1A E E A -=+-. 16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|. 解 因为*||11A A A =-, 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A =|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有 |A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0,从而A *也可逆.因为A *=|A |A -1, 所以(A *)-1=|A |-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得成都大学诗叶子制作A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0. (2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到|A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立. 因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B . 解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1 =-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A成都大学诗叶子制作11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731. 24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511,求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A . 26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,成都大学诗叶子制作所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解 4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A , 则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,成都大学诗叶子制作1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C OC O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321.成都大学诗叶子制作由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵: (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则成都大学诗叶子制作⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010.成都大学诗叶子制作(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2, r 4-2r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000410001111020201(下一步: r 2+r 3. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.成都大学诗叶子制作3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为成都大学诗叶子制作⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--412315210 100010001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B . 解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=134313*********) ,(T T B A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---411007101042001 ~r ,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,成都大学诗叶子制作所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式?解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式. 7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样?解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵:成都大学诗叶子制作⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量.9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********;成都大学诗叶子制作解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1, r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------023*********63071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. )成都大学诗叶子制作~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ).证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B .11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3.解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2;成都大学诗叶子制作(3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有成都大学诗叶子制作A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010*********k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).(3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为。
(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案(很全，最新版)习题解答L利用对角线法则计算卞列三阶行列式:解(1) JMS： = 2x( - 4)X3 + 0x(~l)x( - 1) -hix 1x8-ix(-4)x(-l)-2x(-])x8^oxix3 = -4；(2)原式=acb + bac + cba -一J ■沪~3abc - a" - b3—c3\(3)原式—+ 1' a*t a ~ - l*a*c a=be1 + + ab1—ba1—cb2—ac z=c2(b - a) ab(b - a) - c(b2- = (a - b)(b - c)(c - a)(4)原式*工+ y)y +歼(工+ $”(工+ 4刃_ (工+卅_八丈=-2(x J+ ^3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1) 1 2 S 4；(2) 4 1 3 2；(3) 3 4 2 I；(4) 2 4 1 3；(5) 1 3 - (2n - [) 2 4 …(6) 1 3 *** (2n -L) {In) (2n ~2)…2.解(1)此排列为自然排列•其逆序数为⑴(2)此排列的首位元素的逆序数为S第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元察3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0*第3位元素2的逆序数为2■末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5;(4)类肌于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0.0t2, 1*故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3；(5)注意到这2卉个数的排列中，前N位元索之间没有逆序对•第討+ 1位元素2与它前面的玲-I个数构成逆序对”故它的逆序数为打- 1;同理，第n+2 倍元素4的逆序数为末位元累2«的逆序数为(L故此排列的逆序数为(« " 1) + (n * 2) + *" + 0 = y w (- 1);(6) 与(5)相仿*此排列的前n + 1位元素没有逆序对：第幵+ 2位元素 (2n - 2)的逆序数为2;第牯十3位元素2牯-4与它前面的2n - 3T 2H ~ l r 2n t 2n-2构成逆序对,故它的逆序为4；-»；末位元素2的逆序数为2(«-1),故此 排列的逆序数为2 + 4 + -+2(M -1) = H («-O ，3・写出四阶行列式中含有因子gm 的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元累. 而它们又分别位于第2列和第4列，即a 绘和“别或。
脣和盘心注意到排列1324 与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有引心袒的项为-5222^3441 2 4 ■ 口 -4r 〕-7 2 --4105 2 0"10r,-15 2 — 200 1 1 7 ■:-，Q 1 141712 02|■12 0 2心1口 01 ■.* 1心 +\Sr 20 117Q — 15 2 一■20 !0 0 17 85o-7 2-4；0 0 9 4522 02 1 2 0 ah 1 ac ae bd ■ cdde bfcf-ef0 0b-1 0 -1 00 1d(1)a与◎ U 日為总羽a42 '4.计算下列各行列式:=0 (因第3.4行成比例)*4 6 362 5 1 5 1 0 2 I0 =0 (因有两行相同”abcdif 7 L 1 1 -1 11 1 -1^^abcdef -1 1■0 0 0 2o i +皿-1 bo -1o o1 卄tib a -1 c0 -112；▼ 1注adcd・■ ii I (1 + fl/?a 0按口KJF i'* 1 (_ [}(_ 1)'-1 c 144> ■0~ld ~Aabcdefi1 +a/j-1ad1 +cd=(1 + a6)(l + cd) + ad5.求解下列方程：■1=0i⑵'1=0,其中a,b t c互不相等”解⑴左式V沽6 + 3}门-(t +3)巾—巧/、-(x + 3)= (x + 3)=(』+ 3)&2 -3)*于是方程的解为：巧二-3,帀=再皿严■厲;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙徳行列式，由例12的结果得(■fj a)(jc ~ —c)(a 6) (a —c) (A —= 0.因a.b.c互不相等，故方程的解为；业== =6.证明：= (a-6)(a-c)(a-d)(6^c)(6-J)(c-rf)(a +^ + c + ^);X 0 -10-1…0…<)(5) Q*«出Vn V|««•■•000…J.-1证^1心fj -卩…a2- b2ab-' b1 (1)左式二2( a ~ b)a —b=(a - />)3=右式;(2)将左式按第1列拆开得=a B x" + + *** + a, x + a fl.护r I(a - b)1 ab - b1 b22b u a " o1 0 01ab b22a a +b 2b—(a- b)3; I11OJ C 十by ay + bzaz ■+bxay + bz az + bx ax + byaz + bx ajc +by ay + bza1Q + 1F(a+ 2)' (tH (6 + 1)2J 心+ 1严d2 (衣 + 1 )*(6 + 2)2(c + 2)2Q + 2尸+ 3尸(6 + 3)2(r + 3)2(£ + 3)23'=(a1 + 戻〉ax ay + bz az + bx by ay + bz az + bx左式=ay az bx ax + by+bz+Z LT ax + by=aDj + bD2 + az ax + by ay + bz bjc ax + by ay + bz其中tryay十6zaz + bxax + by于是ay + bz az + frj"az bx ax + byax + by ay + bzay +bz az十bxax byaz +bxa.r 十byuy +bzz az + bxx aj： byy ayt bz(3)左式JC y zD = aD. + bD2={a^ + f/) y z x二右式* zT y2« +52b I 26+3 26 + 52c + 1 2c + 3 2 c +52d+ 1 24 + 3 2d+ 5J y其中：x = c 1(r + Ha)-(Ar)(£f + a)-£b (^i + ai'^d 1-<i/j) = c(<i + 6 +y = d 2{d a) ~ bd(b + a) = d(a d}(d - b). 1 1(□ + i 4- c) d(a + b + d)=(<-^)(4/ -+ b + d) - c(a + b + c)]=^i)[(£Z — c)(a + b) d 2 - c 2 ]—(c — b)(d b)(d e)(a + Z? + 二十討)*因此，左式—(i^a)(c — a)(^~r n)(r ,_i r >)(d -/i)(J — £：)(3 + ^ + ^+ ^)=右式.(5)证一 递推法•按第1列展开，以彈立建惟公式，=xD. + (-l)1" + ^a = zD - + a 0. 又*归纳基础为：D* = % (注癒不是于是D.*i =工D. + 叫=x ( H D 卄 | + a 1) + fl a= j 2D P(-i + aij + «[j= 十工+…十％龙十％=a （）+幼工十十…十"H 文"■证二按最后一行展开得2a + 1 26 + 1 2c + 1=0 ｛因有两列和同”<4)左式工n -叭ri - arib ac - a bib a) c(c* a)F (F ~ a 2)- J )1 b61 { A + a) r a (c + £1) d 3 (t/ +a)I 110 c ~ b d ~ b Ox jc bd — b甸MT ・{f FS )Fl, —6^ + a ) rg■- 二—'(b - a)(c - a )(</ _ a)=(b - a)(c - a)(d ~ a)d - a— a) 护(护- a 1)1X=(r - b)=2<-/-U=〉：口左=a0 + a t j： + djX14- ■" + a B_i^a~l + 弧工”、7.设n阶咅列式D = <ki（%）,把D上下翻转、或逆时针旋转9叭或依副对轴线翻转、依欧得D t= i: .Di= ；J ,Di= i : TS *■'* 5 «ii '** %i | 纵i (i)证明D严D? = （- 1）业」D，巧=D*证（1）先计算口•为此通过交换行将0变换成D.从而找出0与D 的关系.D｝的最后一行是D的第【行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1 行，共诳行茁-1次交做卡这时最后一行是D的第2行，把它依次与旋面的行交换，直至挽到第2行，共进行冲-2次交换¥……，宜至最后一行是D的第卉-1 行，再通过一次交换将它换到第H —I行，这样就把D.变换成D,共进行p1（用-1）十（聲-2〉+ ・- + l-yn（H -1）次交换’故D严（-L）卜"八5.注r上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时’经當用到.它的特点是在把盘垢一行换到某一行的同时*歸持其余卅-1个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）”2*同理把D左右翻转所得行列式为（-1｝卜3小0.（2〉计算注意到D2的第1,2,行恰好嵌衣是D的第"比- 1列，故若把D2上下翻转得B2, M D a的第1,2,…』行依次是D的第1, 2严・小列，即D z = D r.于是由（1）D, = （- 1 ）卜山1>D3 = （- I ）T*i<_u D T= （ -1 ）卜D.（3）计算巧.注意到若把D3逆时针旋转如■得方.则D3的第1,乙…小列恰好是D的第歹叭于是再把D.左右翻转就得到D.由（1）之注及⑵'有6=（-1沪…审严口注本例的结论值得记取’即对行列式D作转置、依副对角蝮翻转、逹转18F所得行列式不变；柞上下翻转、左右翻转、逆（顺】时軒旋转所诣行列式为&卄算下列各行列式（D.^k阶行列式）：a1（1）a= * ，其中对角线上元絮都是s未写出的元素都是51 ◎⑵ D.二.. .;■A- ・■«■a a JC护(a- 1)* ■“ {a -cfT (a- l)>_]■■■ (o - n)*'⑶几产: - Jd口一 1 … a —n] 1 (1)提示：利用范德蒙縊行列式的结杲.■■■U| 仇，其中未写岀的元素都是山(5) D w=dett^),其中也=11 1 + a21 1 *** 1 + Qj,把D“按第一行展开得按第一列麗开解二由倒H)(2) 本题中D…是戟材例8中行列式的一般形式「它是一伞非常有用的行列式■在以后各章中育不少应用.(1)解一1).解利用各列的元索之和相同*提取公因式.=(i + (n - 1 )a ],(3) 解 把所给荷列式上下翻转’即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻 转’由于上下翻转与左右翻转所用交换胆数相等，故行列式经上下翻转再左右鞫 转(相当于转昶(T,参看题7)其值不变•于是按范德蒙德行列式的结果，可得1(a - Ji)* (a - n + 1}" '(i) S 本題与例口相苗丫懈法也大致相同，用递推法.H-由屁)…a 右-扒“)-口(旳必-払血)”110 | r -_r|2w-3 w-1 -2 -1 -2 »i•L (血比另一肓面，归纳基础为D 2 ==5£ -们门”利用这些结果,递推得⑸騁12n - 1 n-2 v-3n — +n -2（6）解 将原行列式化为上三角形行列式•为此’从第2行起’各行均减去 第1行’得与例1.3棚仿的行列式1 +尙 1 (1)-叭 衍b 1…1 0伽:匕*:-1 T--i-fl l …耳.°…a.' 1 1其中"17 + 6，*餌（1十衆）于是D —31-129. ^D=[ 3"f ,D 的（f J ）元的代数余子式葩作A,求 20 1 — 1 1-5 3-3A+ 3A JJ ~2A M + 2A^ +解 与例巧相仿Mj 严3/1龙7人刃+2人”警于用13 -2’2暮换D 的第 3行对应元素所得行列式■即 -I 1 3 -17 0 3 0 -1 -1 3 -2 -5 3▼ 1-1 3 10. 用克拉默法则解下列方程组; j| + X J + X J + — 510,=1・xI + 2X 2 E^i + 4工^2;3x, + J ：2 + 2 J's + 1 L T 4 = 0;-7 -2 3 23 0 - 13r t ~2r}-12-3 -7—33 0 -31C - 3心-15 - 1 8 -15 -1 8 1 J 5 1 1 516 =1 2 —2 4 -a0 1 -7 32 ~3—2 -5 -2r0—5•—12-73 10 11r* ~3n0-2—15811 5+ 5rj01-7311—478=i B=--426 00'47 801—291400-29 143 3.5-270 32ri +3r a3-2 -423 0 -22口_ 2心-10-1 9-io-1g32=-142；-3-13-50 1 -2 3r3~2r0 一 5 -3 -7F-3r80 *2-11 1 8(J1II '5 14-2723按巾廉开23'33-1371=-284;4-5111-21400111 151I15 1 2-11 -2 -7 2 3-3n-2ri□厂*5-3 -12 12 0 Io 一 2-1-15由克拉默法则•得= 65i-114,于是 0 = 325 - 114 = 211；=-19 + 180=161i5 6 0 0|5 6 06 0 015 6 0按口展开1 5 6—1 5 60 15 60 1 50 1 50 0 15矿2®1 00 0 11-13 -55 -7-47-29-13-47-S-29fl ；(*由（・）式5 6 06 0 0 15 6—5 6 0 ]o 151 5 665-216= -151;0 6 5 10 0 6 5116 05 0 00 5 6+ 1 6 00 1 50 5 6= 142.6 1 5 0 1 00 1由克拉默法则’得151 一 6亠］616_109 _6_64万-— —— - ~?nt x 4--D - = m .11. 问芯声取何值时，齐欧线性方程组+帀 +^3=0, s j| + 严“ + x 3 =0, ，工［+2中’十工严0有非零解？［Ax| + X 2 + jj —0, ［工［+ Xj — 0*显然x, =l,j ：3 = t-A t ^3=- -1星它的一牛非零解;当A = l,原方程组成为J } + xj + jj *0,w Xj + 牛* + Xj - 0>十 2灼 Xy=Q tJL 然“产-U JTJ =0F Xi= 1是它的一个非零解一 因此，当站=0或A = 1时.方程组有非零解. 注 定理占（或定理亍）仅表明齐欧线性方程组聲有非零解，它的系数行列5 6 0 11 5 65 6 015 6 0 拽创6JF0 15十J 5 60 15 00 0 10 1 50 0 11= 5-114= -109?D t =-1 + 65 = 64.0 0 65由（• }式解 由定理5’.此时方程组的系数行列式必须为山故只宿当P =0^X = 1时•方程组才可能有非零解. •当戸三队原方程组磁为式必为零、至于这条件是否充分将在第三章中予以解决•目前还是应验证它有非 零解•下题也是同样情形.12问A 取何值时，齐次线性方程组f (1 ~ A I -2不2 + 4x3 = 0,■*2J ：I + (3-A)I 1+J :5 = 0,+X ： + (1 - A>Jt 3 =0有非零解？解 若方程组有非零解，由定理5S 它的系数行列式D = 0.13 - A -2故D = 0=>A = 0或人=2或A = 3t 并且不难验证;当人=0时’工产-2,Z 2 = l t j ：3 = 1；当；I = 2时严-2口产3*巧=1：当 人=3时口严-1,^=5,^ = 2均是该方程组的非零解*所以当A =0t 2F 3时 方程组有非零解.习题解答1.-A2^-1 C1+ f|1 - A A-3 +A 4-(1-A)1A **3 3A — I-A Il — 14 3 r7351 -2 32 =6 57 0J J> Il 49,解<1)=-A (a -2)(A - 3) +43 J7(1) 1-2 32； (2) (1,2J) 257 0.n丄2 (3) 1 (72)|3」4 0 —0 -^3+ A 4 —1 - A ) 1 - A 一 2 23-A 1 1I.计算下列乘积:ri 3 it14 0 -2J3⑵(1.2,3),^ 2 =(10)1K1 =10；412Xj + fluXjXi + a l2 + a 3I JT Z + a a ^-Ej ++白口工」工i 十a ］』』、a…x? + 血盟h ： + a jj + 2a (J j| x 2 +2a ()Jr, jr 3 + la^XiXt.0 15 242 22'-213 22-15 ]8 — 22-2 = -2 -17 2027.2 -22.,429因A T = A t 即A 为对称阵’故1 12. 设 A= 11 4 - 1求 3AB-2A R A T B.1 2 3 ,B =-1 -2 4.05 LAB =于是 3AB-2A =31-12 -23 4 = 0 05 -58 65 1..2 9 0. 5 8111 15 6 -2 11 -190J-1 L-2(-L2)|1(I = -1 -3 a ll xl+ aIE X 2 + a IJ J-1 1 00 2I'O 5 81A7B = AB= 0 -5 «2 9 Oj3. 已知两个线性变换求从JE|「九到JTj T Ij t的线性变换，解依欢将两个线性变换写忧矩阵JB式:2 0 1 -3 1 (T其中沖=-2 3 2t B =2 0 1分别为对应的系数矩阵；X =115 .0-13」X = AY=A(BZ)^(AB)Z^CZ ・这里矩阵即有Xi = 6z t+ + 3tj* jj = L2z(- 4矶 + 9?jL ij —- 10^| 一十."5； )"(： J 冋(1) 吗？(2) (A + B)l = 42 +2AB + B:n^?(3) (A + B)(A - B) = A2(3 )故心以(2) (>4 + B)J= {A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + i?-T 但由(1), AB^BA，故AB + BA 7^2 AB,从而(A+ B)2^4Z +2AB + B2；y =• 1>1Vl»Z =」•在这些记号下+从到me列的线性变换的矩2 0 11-3 1 0 f 13AE 土-2 3 2 2 0 1 =12 -4 9,415」0-13..-10 - 1 16阵形式为(3) (A + B)(A - B) = A z+ B4 - AB - 由(l)：ABH HA ,故HA -AB^O,从而（A + 0）（4 - - B1.乳举反例说明下列命題是错误的；（1）若A2=O f则4 = 0;（2）若= 则 A = 0 或4 = E;（3）若AX= AY,且A^O t则X= Y.解⑴取A = L J.有d = 0 •但心6⑵取盘叫罪有A1-A,但AHO且AHE*⑶s（：：片（；：）•…彳:帥皿小且市6但X^Y.6,设心=（；:卜求;)(:;卜的・(:\K :H畀)(：m)一般可禍事塞上•当A = 1时，（2.3）式显然成立;设当k = n时江2. 3）式成立，那么当k = n十1时,由归纳法，知£2二）武成立一A 1 07+设A= 0 A 1 .求A".0 0 A.解把A写成两个矩阵之和A 001 ()I 0A ==0A0+0 0 [==A£+B ( 0A0 DjQ i010 0 1其中三阶矩阵00 1 満足fi-=0 0 0t B^ = O(i>3).卫0 0 e o (2.3)(J Ml ：）于是A K =(AE + B)- = + C l X'1B + -■ + C：B n=O"E +C>"'B +A-C”10 厂十'0nAA1rt(n-l)]2冰lo 0r J.00 X1 .8,设A,强为卑阶矩阵，且A为对称阵，证明B T AB也是对称阵. 证根据矩阵乘积的转證规则•有= = 〈因A为对称阵）「故由定义，知fi T AB为对称阵-9•设都是甘阶对称阵•证明AB是对称阵的充要条杵是证因A T = 故AB为对称阵^{AJ8）T= 4B<=?B T A T=ABUEA = AB t10.求下列矩阵的逆阵：玄0^2…（叭如…％H0〉*Abi,0 a, ）1解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得f1 2f =.1j 5 -2、j 5 7]\2 5) 1 2 \-2-2J2 51 2-1]⑶ 3 45 -4-sin \ _ i ( DOS 0cos 6 / ccs : & & \ — sin 0cos d sin 6 —sin 6 cos 0于是由定理1的推论倔A 可逆「且=（右右…』）•注 本题结论值得记貶，可当作公式用.11.解下列矩阵方程：0 I O'I 0 J1 -431 0 0 X 0 0 1—2 0 -I 、ooi.0 1 0.1 -2 01 2⑶因|A|= 34 5-44 -2Mn=. = -4-4 !「2 =2^a f 故A 可逆，并且 3 Mu- 5M 3I =,KA422 =A42J = 1 -1 =6F51| 12II=-1415 -4M JI = Mj! = 241 3 -1 I-2 =l是有恿义的，井且因AB =diag （a 1宀’…宀）由昭（+舟）= diag （l t l r-J ） =,（4 ）因我L 旳…庄” * ° i 故叫工0门=1 +sin 0 cos 0= ------ AMl=丄-4 2j -136 1-32 140113 ■»■ 2一 16 -Mn%」1 O'3 - Xn 2 1 7…小.于是矩阵B =解 H)因矩阵f J 的行列式=1,不均零+叙它可逆.从而用它的逆矩阵 左乘方程两边"得.T U 1)HJ DC DHo ①(2)记矩阵方程为故A 可逆，用A"右乘方程的两边褂X=PA只.1 / -663\ -2 21-8 15-2)_2 "■ ■ ----@|A|=6^0 JBI =2^0.故均可逆”依次用片“和卅"左乘和右乘方程两边得I 112 12\琳 3 0)= + 0I 1 4\ / 2 0\ 13 t B =,C = 1-J 2\ -1 1/ W(3)记"；),则矩阵方程可写为AXB=C.det A -L ： 1門于是-%0 (4)本题与｛3)相仿個矩阵11 01 (10 1J 1001］的行列式都是-1,故0 ■均是可逆阵■并且0 1 W■ 10】0 1 0 0 -1 1 0 011 0 0 — 1 0 0V0 0 1=0 0 1.0 0 L .0 0 1, 0 1 0. .0 1 0J1 0 X 11 ▼ 4 31 0 0* J故得K = 10 02 0- Ji° 0 1〔）0 1.J -2 oJ toi thL卩-431F 0 0=12 0 -1 c0 1出0 L 111-20i io 1 0；1卩 3 -41F -101 = 1 0 o 2-1 0 = i3 -4,0 01J 111 0 -2-11-2,12-利用逆矩阵醉下列线性方程组：+ 2JT 2 +3=hH - -玄 —(1) 2x ( + 2x r + 5JTJ =2,⑵［2文］* 斗 一 3工严 1 ・3x ( + 5x a + xj = 3;(3X )+ 2x 3 -5x )= 0-解将方程组写作距阵形式Ax = b t这里，A 为系数矩阵山二（4 口的心卩为未知数矩阵』为常数矩阵”12 3,，⑴因M2 2 2 5 =)5^0\故A 可逆*于是3 51I 2 3 -■ rrJT = A '1 fr = 2 25 23 5L工-23 13P fl 1'V1 1513 -8 1 2 1 ~15 041 -2.30 j即有X ］ = U 5X1 = 0*严厂°；1 ⑵因⑷二2 3-1 -1-1 -3 =3^0,故A 可逆，于是1 -1 -r -1 12 Jf si A 1 = 2-1 -3IJ2 -s.即有13.已知线性蛮换工I =2^, +2划 I- y }, w Ji = Sy 亠如+ 5伽， 列=3y +2^ + 3^.求从变量眄花到变量p ，加的线性变换一解 记工=（旳⑷申八厂® 宀心八则线性变换的矩阵影式为工二于是yi = -7T | -4^； + 9J 51 S y t =6x t + -7^3 i [yj = 3j| + 2X 3 "■ 4xj*14”侬A 为三阶距阵JAU 二求K2AL-5A ・I. 辭 因141=^0,故A 可逆.于是由"=|A f *八及（2A ），昇二 得 （24）_, -5A* =y4'!= -2A'\两端取行列武得\(2A)l -5A\ = |-2A'1l = ('2)J pr l =-16.注 先化简矩阵，再取行列式■往往使计算变得简单.0 3 3115•设1 1 0 t AB = A + 2B,求 R. T2 3jXi = 5, =0i jj =3.4卅碁中A 为它的系数距阵•因d 岂A = 2 2 I3 1 5 J2 3,是从变量£ .孔到变疑汕，旳的线性变换的矩阵形式为 y = A^x.-43 2又 A*1 = - 1-7 6 3「丁=1工0,故A 冕可逆阵，于解 由 AB = A +2B=*(A ~2E)B = A.-23 3 因A~2E=1 - 1 0 ,它的行列式der (A -2E)=2^0,故它是可逆阵.L - 12 L用⑺-2E)J 左乘上式闯边得解 由方程^B + E = A 3 + B.合并含有未卿矩阵B 的项，得<4-£)« = 42-£=(4-£)(4+£),0 0 1]又t A-E= «1 0 ,其行列式det(A - - 1^0,故A-E 可逆，用I 0 0」(A-E)'1左乘上式两边■即得2 0 1B = A + E= 0 3 01 0 2」17.设 A = diag(l 1-2J)M*BA=2BA - 8£,求 E.解 由于所给矩阵方程中含有A 及其伴随阵，因此仍从公式AA^ = lAlE^手.为此•用A 左乘所给方程两边，得^AA ' SA ^2ABA -SA ,又，也1 = -2HQ,故A 是可逆拒阵，用A 右乘上式两边+得|4|B = 24B-8E=><2A + 2E)J3 = 8E=>(A + E)B=4£.注意到 A + £ = diAg (U -2J) +di ag (klj)=diag(2t - 1.2)是可逆矩阵，且(A 十 JE ) z = diag (寺，j —寺)"于是B = 4(A + E)'1 =diae (2, -4,2),is.已知矩阵A 的祥随阵"=dm ft (iaa.8)t 且助" + 3E,求 B,解 先由A*来确定丨4|.由题意知存在■有A* = \ A \ A~* \A' | = |Ar|A-'| = |A|\BSU' t=8T tt|A|| =2.再化简所给矩阵方程ABA'l =BA^ +3E =>(A - E)BA''=3E-2 3 3B = (A -2E)-l A = 1 -1 0! -1 2 1[-1 3 30 3 3 _ 1' 113JI [}1 1 - 1」.-1 2 30 3 3 1 1 0 .-1 23.1 .2 1 0 】6.设A- 0 2 J 010 "目AH + E = A ，+叭求臥6 61 f 04 6 2 Oj2 3 1 O J- E)B^3A =>(E-=由 |Al=2t ft A-'-yJjA' =ydiag(l,ia,8)=diag|y,y.y t 4)tK A 丄=Tiog (壬*寺、乡* …3 )， (E-A-1)-' 二山昭(2,2,2,-£).B V 「)，3血申,22-寺)"叔£石6- 6 -1 -41 1本甌与教材例13相仿■因P ,AP=A,故A =PAP"\ A 11 =PA n P=(■: y 1$ 9?(J 4)=A S (5E -6A + A 2)^111解 因"2 10 -2 = -6^0,故P 是可逆阵.于是尸由AP^ PA.1 -1 1 .^A = PAP'\井且记多项式列工)=卅(5-壮十d),有p(A) = JV (A>P _l .因A 是三阶对角阵’故巒(A ) = diag(卩(-L)會(1).p(5)) ™di<g(12*0»0)»121 1 1 =4111.J I 1.注，由于臥人)除(l J)元外均是队故在求P*时、只需计算P 的仃J)元壮2,1) 元.(3J)于是解于是19.设 P {AP = A t 其中 P = c: ■:)(■;亂;一:)1 i 1 +2bJ 4 + 2H \ /2 731 2 732-1 -4-2"J _ I -683 -68420. 设AP = PA,其中11:11-11 0 -2 L A = 11 -11. •于是-2A H*A 21 * * 「2 M (4-)A ； * 「2元的代数余子式A lt.A21和21-设A^O(k为正豔数)，证E-A可逆，井且其逆矩阵(E-4)-' =E + A + A1+ …十A_」，*证由(E —AjtF+A + 41++** +'4*-1) —E + 4 + ■■■ + 4*~1一A —越‘ ■…一=E- O = E t由定豐2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵〈E —= E +A4■…+住判断矩阵B是否为A胸逆矩阵「罐直接、最简单的方法就是验证AB , ^ B .F - . , - ■^ • T ■(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3是否为+的逆只需验证£ X3是否等于1 一样，下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵A漓足A1-A-2E^=O ・(2.4)证明A及A+2E都可逆"井求A"及(A+2E)^\解先证盘可逆.由(2*4)式得A(A- E)= 2E；, . J 徂就是- E)j=E.由定理2之推论知片是可逆的，且A^ = ^(A-E)i再证A +2E可逆.用例2.1的解法，由(A +2E)(A -3£) = A2 - A - 6E = 2£-6£= -4E,即(A+2更)[#(3E …A) 爲.同理MA^2E可逆,K(A + 2E)^ = l(3JE-4).23,设矩阵A可逆，证明其仲随阵A •也可逆*且(4' = .证AA =\A\E及|AlH(L由定理2的推论知加可逆，且(A)' =7T7tI A I另一方面’因A*](^-'}* = I A'J|E ・用A左乘此式两边得比较上面两个式子’即知结论成立.24.设N阶矩阵A的伴随阵为/T，证明:⑴若Ml二0侧K丨=0；(2)|AJ = |A|*'\证(1}因26. =G:)•沁;卜赵-:)-=(原式二 Au Bn +设"34 0 .0若记"-2 30 -3Ko：原式二A 「:「23 \0 -3) 5 2 -4 0-3 0 0 0 0 22O A 1A 11 ® 11 +®22J)(z-42 -43 -9 2 -4 3-9J■求U 及冒.+则A 咸为一A* A = \A\E tSlAl "时，上式成为A* A = O.要证|A“ I 工山用反证法：设由矩阵可逆的充要条件知，是可 逆矩阵，用(A*)_,左乘上式導号两边•得A^O.于是推得A 的所有旳-1阶子 式，亦即A •的所有元累均为零.这导致/T 此与A •为可逆矩阵矛盾，这 一矛盾说明^141=0时訂於丨=0.(2)分两种情形： 情形li|4|=0.由⑴訂刖结论成立*情形2:|AM0.在(2. 5)式的两边取行列式，得|A*llAI = IA*AHllAl£J = l4lV与教材碉15相同，本题练号分块矩阵乘法■记1 2 1 °卩3 1 0 1 0°L2 -10 2 « 0-23 咼 C 0 30 0 -3J 计算(2.5)于是注 |A*I = W 本题(2)的结果值得记取.-2 0亍分块对角矩阵于是I J 4*I = |A|* = (|A| I Ijijl)"* |A| 1*1 IO 11189乔（:£卜诡点小畑—2（；：）,故心（：看习题6） •代人即得5J Q 0 0 '—0 亍0 0 0 0 24 0 00 24 2*J27.设tt 阶矩阵A 与*阶矩阵M 都可逆，求由分块矩阵乘法规则,(2.6)为此，根据原矩阵的分块悄况■对X 作一样的分块,其中X n ,X （3T X 2（.氐立是未知矩阵（为明矶起见，它们依次是« X X矩阵｝.把上式代人（2飞）武得到 比较上式两端两个矩阵，有必=&口儿=八AX n = O=>X tl = O ；CX i2 + BX 12 ■ E t BX 21 斗 E (=>X 22 - B _l ；CX (I 十 BX a] = O=>BX 21 = - CX tl 二宀 CA'1 =^X 2i = - CA 于是得；）（可齧⑵求（:的逆阵•就是求” + $阶方阵JC 使解U ）因A 和B 均可逆，件分块阵& O \ - O\i^n o Ej \C E 八 X 丹2,|C| = 12,fe B*C 均是可逆阵.由27^(2)的结论，得B D习题解答L 用初等行变换把下列矩阵化为行敖简彩矩阵:1 02 "10 2-3 I 1(1) 2 0 31 « *⑵ 0 3-43 *.3 0 4 3j,0 4-7 - lj1 —1 34 32 3 1 — 33 -3 5-4L1 2 0 -2 -4⑶A f⑷2-2 3 - 23 -2 8 3 0 3一3 4 * 2 -L2 -37 4310 2 …11 Fj -Al 1 02 - I解(1)2 03 1 一J- —0 0 -1 33 04 3. 心0 0~25 2 0 010 0 0 2 10 012 0 0( ⑵0 0 8 3 2 13 0^0 0 5 2-1 2 1 4J求下列矩阵的逆阵: 0(1)将 分块为A 二A 5 2\ , /L 2 l)，Ai=(5lA.I-LlAj-l.故它们均可逆+于是由分块对角矩阵的性质，有1-20 0A ；' O⑵记A，因0 0(D c)***" = (! 2)'C=(10 0 2 -50 0-3 " 8-_ 12 - 1 2 .D--^\B\ =B 1 O-C 1 Cr2x (-l ) P 02 0 -2|1 02 0 -2■' J r1 -1 -1 -1 n+rj 0 I -1 03 內+B 皓0 0 1 4 nF0 0 01 4 r* +7 J140 0c-1 -2 -32 3 2 071 2 3 4 10 (T r l "2r i 1 2 3 4 1 0 0 解(A,E) =2 3 4 5 0 I 0乌-5r (0 -1-2 -3 -2 1 03 4 3 2 0 0.0 —6-12-18-5 0 1」5 •求一个可逆阵P,便PA 为行堆简形.2」K 0 2-3(2) 0 3-4 0 4-71 一］ 3 ⑶1 3 -3 5 2-2 3374广i~2r t Io3]-310L010fl10-I1] ro 2 X2? ° 2 J |o or a x ( - U-3-20巾6 * r t --31OJ -33121 -3,5 3 ; 02 0 -2 _4】 *1 11 L -8 8 9 12 -7 78 1E 12 3 £ 设 A~ 2 3 45 4 3 -4 4 -2 -20 0 0721 0 -1-2 ft p=2 -1 0 •井且A 的行最简形为=0 13• 7 -6 ij0 0u左设A =；L (1)求一个可逆阵巴使PA 为行量简形'(2)求一个可逆阵C.ffi QA 7为行最简形.-52 1 0 01 0 12 0*⑵(A\E) =3 -1010 ri *2" 3-1 0 1 C,1 10 0 1」J10 0 1.4.试利用矩阵的初導变换，求下列方阵的逆阵:解记所给的矩阵为A.10 0-110 -10 1.(1) 3 3 .3 2 1 1 5 *2 3] 「2L 00 2 -3 20 0r a -r(-2) n-9nrx * 4n72 1■ ” r y2 -i9 1T2 12\⑴人斫「；4 ；O ' ]门 + 3r (1 0 4 1' ------\2 -1 1 0r t x( -1)lo4 1 3\7 2 5/于是P 二(U为A 的行摄简形;于是Q =n巧 10 1 2 0 r? *( - 1) 1 0 1 2 00 -1 -3-5 0 -— ■ 0 1 3 5 0 o ~ n ,0 1 1 - 2 1 J乃■ ri 0 0 -4 -71 2 0 j 013 「4-7 1J1为山丫的押最简形.0 0 5 0，并且“丁二 3 210 0 1J r,^n to 0 22-I丄因由定理1之推论”知A可逆，且(3 -2-2-2I T J01J()302=322-20010]10 0 0 17 10 0 010 10 0-1 -2 -3-2 001010001510-30—10!0 -2000!2'10 0 01110—3 -41010-2-0 0 - 1 10-10 1 ID 0 1-1046 _2 06910-3 -4 2 1 一6-10-因由定理1之推论，知A 可逆，并且解 ⑴与教材例3相仿*若A 是可逆矩阵，则可求得矩阵方程的解为X =A'\B t 而判断A 是否可逆和求解可適过（A,E ）的行最简形一起解决：即若IA-EM A 可逆，并且初等行变换把A 变为E 的同时、把B 变为A"'B-10 2 于是A 可逆，且-15 -3‘ 12 4.（2）可以仿照教材中的方迭，用初等列变换求BA \但通常习惯用初導行 窘换求X.因X4^B=>A T X T =B T =>X T = （A T ）Jj B T r 与题仃）相同，可用初等行变换 先求得从而得K.计算如下：2 2 -1 -3 3 1 2 2' -3 n**rj I 0 3 -7 -411 3 -4 1 -5J 3 -4 31 rj ~2r t .02 -3 1 2.⑵设“1 1 -1-2 0 3 -6 6 -1641-211-32 2 1 ,B = 22 .3 1 1」,3 _10 2 -313 _4. t B = \24 1 -2 I "3 2 2 1 2 2.3 1 -1 3 -ljj 0 -1-2 1・・0 2 3 6 G _3rj.0 1 2 9I 0 * 1 -2 -2a 2 2L 2 23 1 -1 3 一5. (I)设 A 二 ，求* 使 A¥ = B; 2-1 7 -1 01 -I P A¥ = 2X +X-0 1 "AX = 2X + A^(A -2E)X=A.欲解此方程，需要(i)判断A~2E 为可逆矩阵;(ii)进一步求X = (A-2E)^l A.这两件事可由(A -2EM )的行最简形一起解决.-1-1 0 1 -1 0 F| x{- 1}1 1 0-1 1 O' (A -2E t A) = 0 -1 -1 0 1 -1 H - r 3 +— 0 1 1 0 -1 1-1 0 -I -1 0 1. K 7 .0 1 -1 -2 I L4 0 T ■ 1 2 -1 ■R(-2) 1 0 0 0 1 -— 1 C - r 2 0 1 1 0 -1 1 -- rj卜 0 1 0 -1 01 心-r t 0 0 -2 -2 2 Q J rj ▼ r, ,0 0 r 1 -I0.上述结果表明A-2E-E t 故A -2E 可逆，且[0 1 -11 I' ,X=(A -2£)~'A =10 1..1-1 》7+衽秩是r 的矩阵中，有没有等于。
