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2020年河北省高考文科数学仿真模拟试题（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{|07}U x N x =∈<<，{2,5}A =，{}1,3,5B =，则()U A B =ð（ ）A. {5}B. {}1,5C. {2,5}D. {}1,32. 已知复数z 满足()11z i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ）A. 1i -+B. 1i --C. 1i +D. 1i -3. 已知ABC ∆中，(2,8)AB =，(3,4)AC =-，若BM MC =，则AM 的坐标为 （ ） A. 1(,6)2-B. 5(,2)2C. (1,12)-D. (5,4)4. 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于100分的学生数是（ ）A. 210B. 205C. 200D. 1955. 执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. 2B. 4C. 5D. 6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 10B. 12C.D. 207．已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+3)=f(x-1).若当]0,2[-∈x 时,13)(+=-xx f ,f(2019)= （ ） A ．6B ．4C ．2D ．18．函数y ＝||xxa x (a>1)的图象的大致形状是 （ ）9. 为得到函数cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A. 向左平移512π个长度单位 B. 向右平移6π个长度单位 C. 向左平移6π个长度单位 D. 向右平移512π个长度单位10.设函数()()()ln f x x x ax a R =-∈在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是（ ）A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. ln 210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. ln 211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 11．设O 在△ABC 的内部，且有OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△ABC 的面积和△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．53C ．2D ．32121x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===（ ）A ．()0,12B ．()0,16C ．()9,21D ．()15,25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年河北省高考数学（文科）模拟试卷（1）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．（5分）复数z =3−4i1−i （其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知f （x ）＝sin x ，在区间[−π3，π]任取一个实数x 0，则使得f （x 0）≥12的概率为（ ） A ．14B ．34C ．12D ．784．（5分）若a ＝0.30.2，b ＝log 0.12，c ＝0.3﹣0.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5．（5分）在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝4，D 是边BC 上一点，DB ＝2DC ，则AD →⋅BC →是（ ） A ．8B ．﹣8C ．323D ．−3236．（5分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知cos （π+α）=35，α∈（π2，π），则tan （π4−α）＝（ ） A ．−17B ．﹣7C ．17D ．78．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，过点A(π12，0)，B(π3，2)，当x ∈[π12，5π12]，g(x)=2mf(x)+cos(4x −π3)的最大值为9，则m 的值为（ ）A ．2B ．52C ．2和52D ．±29．（5分）已知程序框图如图所示，则输出的S ＝（ ）A ．4760B ．712C ．3760D ．51210．（5分）双曲线15y 2﹣x 2＝15与椭圆x 225+y 29=1的（ ） A ．焦点相同B ．焦距相同C ．离心率相等D ．形状相同11．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√612．（5分）已知直线y ＝﹣x +1与椭圆：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线x ﹣2y ＝0上，则此椭圆的离心率为（ ）A ．√33B ．12C ．√22D ．√32二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ ．14．（5分）1×2+4×22+7×23+…+（3n +1）×2n +1＝ ．15．（5分）已知f （x ）为奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝x +ln （﹣x ），则曲线y ＝f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为 ．16．（5分）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC =√3，BB 1＝2，则该三棱柱的外接球表面积为 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）数列{a n }为等差数列，a 1=12，a 14＝27，数列{b n }是等比数列，b 2＝3且b 2，b 3的等差中项为6．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若c n ＝a 2n +b 2n ，求数列{c n }的前n 项和S n18．（12分）如图，在多面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1，BB 1，CC 1，DD 1都和平面ABCD 垂直，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝CD ＝BB 1＝DD 1＝2，AA 1＝AD ＝4，CC 1＝1． （I ）证明：平面B 1C 1D 1⊥平面ABB 1A 1； （II ）求多面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积．19．（12分）2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内顾客：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00〜11：00，11：00〜15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t 与平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客40人，其中10人购物时刻在[19，23]（夜晚），女顾客60人，其中50人购物时刻在[7，19）（白天），根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？白天 夜晚 总计 男顾客 女顾客 总计100附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n =a +b +c +dP （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.82820．（12分）设A ，B 为抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上不同两点，抛物线C 的焦点到其准线的距离为4，A 与B 的横坐标之和为8． （Ⅰ）求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若设M 为抛物线C 上一点，C 在点M 处的切线与直线AB 平行，过M 点作直线l 与曲线C 相交于点M ，Q ，与y 轴交于点P ，且满足MP →=2PQ →，求△OPQ 的面积． 21．（12分）已知函数f （x ）＝ln （x 2+1），g （x ）=1x 2−1+a ． （1）求f （x ）的极值点；（2）求方程f （x ）＝g （x ）的根的个数． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）x=−2+12t22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{（t为参数），以坐标y=√32t原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=√10．（1）若l与C相交于A，B两点P（﹣2，0），求|P A|•|PB|；（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．五．解答题（共1小题）23．已知函数f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2m|（m＞0）_（1）若m＝1，解关于x的不等式f（x）≥1；（2）若f（x）的最大值为3，求m．2020年河北省高考数学（文科）模拟试卷（1）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}， ∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}． 故选：C ． 2．（5分）复数z =3−4i1−i（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵复数z =3−4i1−i =(3−4i)(1+i)(1−i)(1+i)=72−12i ， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为（72，−12），∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D ．3．（5分）已知f （x ）＝sin x ，在区间[−π3，π]任取一个实数x 0，则使得f （x 0）≥12的概率为（ ） A ．14B ．34C ．12D ．78【解答】解：在区间[−π3，π]任取一个实数x 0，使得f(x 0)≥12，即sin x 0≥12， 解得π6≤x 0≤5π6． ∴在区间[−π3，π]任取一个实数x 0，使得f(x 0)≥12概率=5π6−π6π−(−π3)=12． 故选：C ．4．（5分）若a ＝0.30.2，b ＝log 0.12，c ＝0.3﹣0.1，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c ＞a ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【解答】解：∵y ＝0.3x 是单调递减函数； ∴0＜a ＝0.30.2＜1＜c ＝0.3﹣0.1，又因为b ＝log 0.12＜log 0.11＝0， ∴a ，b ，c 的大小关系为b ＜a ＜c ．故选：A ．5．（5分）在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝4，D 是边BC 上一点，DB ＝2DC ，则AD →⋅BC →是（ ） A ．8B ．﹣8C ．323D ．−323【解答】解：根据题意，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝4，则AB →•AC →=2×4×cos120°＝﹣4；又由D 是边BC 上一点，DB ＝2DC ，则AD →=13×AB →+23×AC →，又由BC →=AC →−AB →，则AD →⋅BC →=（13×AB →+23×AC →）•（AC →−AB →）=23×AC →2−13×AB →2−13×AB →•AC →=323； 故选：C ．6．（5分）函数f （x ）＝x 2+e |x |的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：因为对于任意的x ∈R ，f （x ）＝x 2+e |x |＞0恒成立，所以排除A ，B ， 由于f （0）＝02+e |0|＝1，则排除D ， 故选：C ．7．（5分）已知cos （π+α）=35，α∈（π2，π），则tan （π4−α）＝（ ）A ．−17B ．﹣7C ．17D ．7【解答】解：∵cos （π+α）＝﹣cos α=35，α∈（π2，π），∴cos α=−35，∴sin α=√1−cos 2α=45，∴tan α=sinαcosα=−43，则tan （π4−α）=1−tanα1+tanα=−7， 故选：B ．8．（5分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，过点A(π12，0)，B(π3，2)，当x ∈[π12，5π12]，g(x)=2mf(x)+cos(4x −π3)的最大值为9，则m 的值为（ ）A ．2B ．52C ．2和52D ．±2【解答】解：由题意T =4(π3−π12)=π，故ω＝2，将A 的坐标代入f （x ）得sin(2×π12+φ）＝0，故π6+φ＝2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴φ=−π6．故f(x)=2sin(2x −π6)，∴g(x)=4msin(2x −π6)+[1﹣2sin 2(2x −π6)] 令t =sin(2x −π6)∈[0，1]，故g （x ）可化为：y ＝﹣2t 2+4mt +1，t ∈[0，1] 对称轴为：t ＝m ，开口向下． ①当m ≤0时，t ＝0时，y max ＝1≠9②当m ≥1时，t ＝1时，y max ＝4m ﹣1＝9，∴m =52符合题意； ③当0＜m ＜1时，t ＝m 时，y max ＝2m 2+1＝9，∴m ＝±2（舍） 综上，当m 的值为52时，原函数取得最大值9．故选：B ．9．（5分）已知程序框图如图所示，则输出的S ＝（ ）A ．4760B ．712C ．3760D ．512【解答】解：a ＝1，n ＝1，S ＝0； S ＝1，a ＝﹣1，n ＝2； S =1−12，a ＝1，n ＝3； S =1−12+13，a ＝﹣1，n ＝4； S =1−12+13−14=712，a ＝1，n ＝5； 跳出循环，输出结果S =712． 故选：B ．10．（5分）双曲线15y 2﹣x 2＝15与椭圆x 225+y 29=1的（ ） A ．焦点相同B ．焦距相同C ．离心率相等D ．形状相同【解答】解：双曲线15y 2﹣x 2＝15化为标准方程是y 2−x 215=1， 它的焦点坐标是（0，±4），焦距是2c ＝8，离心率是e ＝4； 椭圆的标准方程是x 225+y 29=1，它的焦点坐标为（±4，0），焦距是2c ＝8，离心率是e =45． 所以，它们的焦距相同． 故选：B ．11．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√6【解答】解：利用正弦定理：因为a sinA=b sinB，所以b =asinBsinA =√6×√2212=2√3．故选：A ．12．（5分）已知直线y ＝﹣x +1与椭圆：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线x ﹣2y ＝0上，则此椭圆的离心率为（ ） A ．√33B ．12C ．√22D ．√32【解答】解：设A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），AB 的中点P （x 0，y 0），由x 0﹣2y 0＝0，k OP =12，由“点差法”可得k AB •k OP =−b 2a2，所以b 2a 2=12，椭圆的离心率e =c a =√1−b2a2=√22，故选：C ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝x +ty 得y =−1t x +zt ， 平移直线y =−1t x +zt ，由图象知当直线y =−1t x +zt 经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11， 由{y =2y =2(x −2)得A （3，2）， 则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4，故答案为：4．14．（5分）1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1＝（12n﹣8）×2n+10．【解答】解：设T n＝1×2+4×22+7×23+…+（3n+1）×2n+1，①则2T n＝1×22+4×23+7×24+…+（3n+1）×2n+2，②①﹣②，得：﹣T n＝2+3×（22+23+24+…+2n+1）﹣（3n+1）×2n+2＝2+3×4(1−2n)1−2−（3n+1）×2n+2＝2+3×（2n+2﹣4）﹣（3n+1）×2n+2＝﹣10﹣（12n﹣8）×2n，∴T n＝（12n﹣8）×2n+10．故答案为：（12n﹣8）×2n+10．15．（5分）已知f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝x+ln（﹣x），则曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝（1−1e）x．【解答】解：当x＞0时，﹣y＝﹣x+lnx，y＝x﹣lnx，y′＝1−1 x，切线方程为y﹣（e﹣1）＝（1−1e）（x﹣e），即y＝（1−1e）x．故答案为y＝（1−1e）x．16．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC=√3，BB1＝2，则该三棱柱的外接球表面积为8π．【解答】解：由题意可知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AC=√3，∠BAC=π2，可得BC＝2，设底面ABC 的小圆半径为r ，则 2＝2r ，可得r ＝1；连接两个底面中心的连线，中点与顶点的连线就是球的半径R ， 则R =√12+(22)2=√2∴外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π； 故答案为：8π．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）数列{a n }为等差数列，a 1=12，a 14＝27，数列{b n }是等比数列，b 2＝3且b 2，b 3的等差中项为6．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）若c n ＝a 2n +b 2n ，求数列{c n }的前n 项和S n【解答】解：（Ⅰ）因为数列{a n }为等差数列，a 1=12，a 14＝27， 所以13d ＝a 14﹣a 1＝27−12=532，解得d =5326， 所以a n ＝a 1+（n ﹣1）d =12+（n ﹣1）×5326=5326n −2013， 因为数列{b n }是等比数列，b 2＝3且b 2，b 3的等差中项为6． 所以b 2+b 3＝12，b 3+3＝12，b 3＝9， 所以q =b 3b 2=3， 所以b n ＝b 2q n ﹣2＝3×3n ﹣2＝3n ﹣1， （Ⅱ）c n ＝a 2n +b 2n =5313n −2013+32n ﹣1， S n ＝c 1+c 2+c 3+…+c n ， ＝（5313−2013+3）+（5313×2−2013+33）+…+（5313n −2013+32n ﹣1），=5313（1+2+…+n ）−2013n +3(1−9n)1−9，=1832n+1+5326n2+12n−38．18．（12分）如图，在多面体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1，BB1，CC1，DD1都和平面ABCD垂直，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝BB1＝DD1＝2，AA1＝AD＝4，CC1＝1．（I）证明：平面B1C1D1⊥平面ABB1A1；（II）求多面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积．【解答】解：（I）证明：连结BD，由题设得BB1∥DD1，BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1，由题设，四边形ABCD是等腰梯形，取AD中点E，连结BE，CE，∵BC＝DE＝2，BC∥DE，∴四边形BCDE是平行四边形，BE＝CD＝2，∴AE＝DE＝BE，∴∠ABD=π2，∴AB⊥BD，由题设得BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BD，∵AB∩BB1＝B，∴BD⊥平面ABB1A1，∵BD∥B1D1，∴B1D1⊥ABB1A1，∵B1D1⊂平面B1C1D1，∴平面B1C1D1⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）解：如图，平面BDD1B1把多面体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，由题意得S△ABD＝2√3，S△BCD=√3，多面体ABD﹣A1B1D1可以分为一个三棱锥和一个三棱柱，多面体BCD﹣B1C1D1可以看成三棱柱BCD﹣B1C2D1截去一个三棱锥C2﹣B1C1D1，∴多面体ABCD﹣A1B1C1D1的体积：V=(2√3×2+13×2√3×2)+（√3×2−13×√3×1）＝7√3．19．（12分）2019年国庆节假期期间，某商场为掌握假期期间顾客购买商品人次，统计了10月1日7：00﹣23：00这一时间段内顾客：00这一时间段内顾客购买商品人次，统计发现这一时间段内顾客购买商品共5000人次顾客购买商品时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段7：00〜11：00，11：00〜15：00，15：00～19：00，19：00～23：00，依次记作[7，11），[11，15），[15，19），[19，23]．（1）求该天顾客购买商品时刻的中位数t与平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）现从10月1日在该商场购买商品的顾客中随机抽取100名顾客，经统计有男顾客40人，其中10人购物时刻在[19，23]（夜晚），女顾客60人，其中50人购物时刻在[7，19）（白天），根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”？白天夜晚总计男顾客女顾客总计100附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【解答】解：（1）设中位数为m ，则0.025×4+0.075×4+0.100×（m ﹣15）＝0.5，解得m ＝16．平均值x =0.025×4×9+0.075×4×13+0.100×4×17+0.050×4×21＝15.8； （2）2×2列联表如图：白天 夜晚 总计 男顾客 30 10 40 女顾客 50 10 60 总计8020100（2）K 2的观测值k =100×(300−800)240×60×80×20≈1.302＜2.706．∴没有90%的把握认为“男顾客更喜欢在夜晚购物”．20．（12分）设A ，B 为抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）上不同两点，抛物线C 的焦点到其准线的距离为4，A 与B 的横坐标之和为8． （Ⅰ）求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若设M 为抛物线C 上一点，C 在点M 处的切线与直线AB 平行，过M 点作直线l 与曲线C 相交于点M ，Q ，与y 轴交于点P ，且满足MP →=2PQ →，求△OPQ 的面积． 【解答】解：（Ⅰ）由条件可知：p ＝4，∴x 2＝8y ． 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴{x 12=8y 1x 22=8y 2， ∴k AB =y 1−y2x 1−x 2=x 1+x 28=1． （Ⅱ）设M （x 0，y 0），y ′=14x ，∴14x 0=1，∴x 0＝4，∴y 0＝2． 设点P （0，y 3），Q （x 4，y 4），直线l 为：y ＝k （x ﹣4）+2， ∴{y =k(x −4)+2x 2=8y ，∴x 2﹣8kx +32k ﹣16＝0， ∴x 0+x 4＝8k ，x 0x 4＝32k ﹣16．∵MP →=2PQ →，∴﹣x 0＝2x 4，∴x 4＝﹣2，k =14， ∴S △MOQ =12|MQ|ℎ=3，∴S △OPQ =13S △MOQ =1． 21．（12分）已知函数f （x ）＝ln （x 2+1），g （x ）=1x 2−1+a ．（1）求f（x）的极值点；（2）求方程f（x）＝g（x）的根的个数．【解答】解：（1）函数f（x）＝ln（x2+1），定义域为：R，由f′（x）=2x2=0，解得：x＝0，f（x）在（﹣∞，0）内为减函数，在（0，+∞）内为增函数，故f（x）仅有一个极小值点0，无极大值点；（2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ln（x2+1）−1x2−1−a，h′（x）=2xx2+1+2x(x2−1)2=2x[1x2+1+1(x2−1)2]；当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h'（x）≥0，当x∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）时，h′（x）＜0．因此，h（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）上时，h（x）单调递减，在（0.1），（1，十∞）上时，h（x）单调递增；又h（x）为偶函数，当x∈（﹣1，1）时，h（x）的极小值为h（0）＝1﹣a，当x→﹣1﹣时，h（x）→﹣∞，当x→﹣1+时，h（x）→+∞，当x→﹣∞时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞由根的存在性定理知，方程在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）一定有根，故f（x）＝g（x）的根的情况为：当1﹣a＞0时，即：a＜1时，原方程有2个根，当1﹣a＝0时，即：a＝1时，原方程有3个根，当1﹣a＜0时，即：a＞1时，原方程有4个根，四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=−2+12ty=√32t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=√10．（1）若l与C相交于A，B两点P（﹣2，0），求|P A|•|PB|；（2）圆M的圆心在极轴上，且圆M经过极点，若l被圆M截得的弦长为1，求圆M的半径．【解答】解：（1）由ρ=√10，得x2+y2＝10，将{x =−2+12ty =√32t 代入x 2+y 2＝10，得t 2﹣2t ﹣6＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝﹣6，故|P A ||PB |＝|t t 2|＝6．（2）直线l 的普通方程为√3x −y +2√3=0， 设圆M 的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝a 2（a ＞0） 圆心（a ，0）到直线l 的距离为d =|√3a+2√3|2， 因为2√a 2−d 2=1，所以d 2＝a 2−14=3(a+2)24， 解得a ＝13（a ＝﹣1＜0，舍去）， 则圆M 的半径为13． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x ﹣m |﹣|x +2m |（m ＞0）_ （1）若m ＝1，解关于x 的不等式f （x ）≥1； （2）若f （x ）的最大值为3，求m ．【解答】解：（1）当m ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|﹣|x +2|．∵f （x ）≥1，∴{x ＞1x −1−x −2≥1或{−2≤x ≤11−x −x −2≥1或{x ＜−21−x +x +2≥1，∴x ∈∅或﹣2≤x ≤﹣1或x ＜﹣2，∴x ≤﹣1， ∴不等式的解集为{x |x ≤﹣1}．（2）f （x ）＝|x ﹣m |﹣|x +2m |≤|x ﹣m ﹣x ﹣2m |＝|3m |＝3m （m ＞0）， 当且仅当x ≤﹣2m 时等号成立，∵f （x ）的最大值为3，∴f （x ）max ＝3m ＝3， ∴m ＝1．。
河北2019-2020学年高三模拟考试数学试题（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共 4 页．考试结束后，将答题纸和机读卡一并交回．注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，请认真核准准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．第Ⅰ卷：选择题（60分）一. 选择题：（本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}1,2A =，{}|,,B x x a b a A b A ==+∈∈，则集合=B A Y （ ） A ．{1，2} B ．{1，2,3}C ．{1，2,4}D ．{1，2,3,4}2.设复数z 满足11=+z ii，则||z =（ ） A ．1 B ．5 C ．2 D ．2 3．已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．112-或 4．如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A ．病人在5月13日12时的体温是38℃B ．从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C ．病人体温在5月14日0时到6时下降最快D ．病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定 5．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥ ②若//m α，βn//，且//m n ，则//αβ ③若m α⊥，βn//，且m n ⊥，则αβ⊥ ④若m α⊥，βn//，且//m n ，则//αβ 其中正确的命题是（ ） A ．①③ B ．②④C ．③④D ．①6．定义21a a122121b a b a b b -=，已知22110a b +≠，22220a b +≠，则“11220a b a b =”是“直线1110a x b y c ++=与直线2220a x b y c ++=平行”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要7．下列格式中正确的是（ ） A ．43tan 77ππ> B ．1317tan tan 45ππ-<⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- C ．tan281tan665︒>︒ D ．tan4tan3>8．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从（ ）年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） A ．2020B ．2021C ．2022D ．20139．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ） A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ 10．已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D ．2211．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na n nb S =，则数列{}n b 的最小项为（ ） A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷：非选择题（90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若α，β为锐角，且4παβ+=，则()()1tan 1tan αβ++=__________；()()()()1tan11tan 21tan31tan 45++++=ooooL __________.14.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，且()3,6-∈m ，则m x y z +=仅在点1(1,)2A -处取得最大值的概率为 ．15．天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为________年.16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 三、解答题：共70分。
2020届模拟06 文科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知集合{}3813x A x =>,{}212110B x x x =∈-+<N ，则A B =I （ ） A ．{}2,3,4 B ．{}2,3,4,5C ．{}5,6,7,8,9,10D ．{}6,7,8,9,102．已知实数,a b 满足()()i 2i 35i a b ++=-（其中i 为虚数单位），则复数i z b a =-的共轭复数为 （ ）A ．131i 55-+B ．131i 55-- C ．131i 55+ D ．131i 55-3．已知命题0:0,2p x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,0023sin 0x x -<，则命题p 的真假以及命题p 的否定分别为 （ ）A ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x ->B ．真，:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥C ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x ->D ．假，:p ⌝00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，0023sin 0x x -≥4．已知向量()2,m =-a ，()1,n =b ，若()-//a b b ，且2=b ，则实数m 的值为 （ ） A ．2 B ．4 C ．2-或2 D ．4-或4 5．运行如下程序框图，若输出的k 的值为6，则判断框中可以填 （ ）6．()tan751cos240sin30sin 60sin1201tan75︒-︒︒--︒︒+=+︒（ ）A ．1323+B ．1323-C ．1323-+D ．1323--7．已知函数()321ln333xf x x x x x-=++++，则下列说法正确的是 （ ） A ．函数()f x 的图象关于1x =-对称B ．函数()f x 的图象关于1y =-对称C ．函数()f x 的图象关于()1,0-中心对称D ．函数()f x 的图象关于()1,1--中心对称8．将函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到的函数图象关于2x π=对称，则当ω取到最小值时，函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．()33,2010410k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z B ．()3113,4102010k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z C ．()33,20545k k k ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦++Z D ．()3113,45205k k k ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦++Z 9．已知实数,x y 满足343125510x y x yx +⎧⎪⎪⎪+⎨⎪-⎪⎪⎩≥≤≥，若3z mx y =--，且0z ≥恒成立，则实数m 的取值不可能为 （ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010．已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．211．已知椭圆222:19x y C b+=的离心率为223，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()2,0P 满足PM PN ⊥，则PM MN ⋅uuu r uuu r的取值范围为 （ ）A ．125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]25,1--D ．[]5,1--12．已知关于x 的不等式212ln x x mx +≤在[)1,+∞上恒成立，则m 的最小值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．） 13．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当23n =时，从左往右第22个数为 .14．已知双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离为3.现有如下条件：①双曲线C 的离心率为54； ②双曲线C 与椭圆22:13611x y C '+=共焦点； ③双曲线右支上的一点P 到12,F F 的距离之差是虚轴长的43倍.请从上述3个条件中任选一个，得到双曲线C 的方程为 . （注：以上三个条件得到的双曲线C 的方程一致）15．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，且AB CD //，12AB CD =，PA PB AD ==，43PA AD CD +==，若平面PAB ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为 .第15题图 第16题图16．如图所示，四边形MNQP 被线段NP 切割成两个三角形分别为MNP △和QNP △，若MN MP ⊥，2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，22QN QP ==，则四边形MNQP 面积的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列13log n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为1-的等差数列，且22a +是13,a a 的等差中项.（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若n T 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若n T M <恒成立，求实数M 的取值范围.18．（12分）某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲参加围棋比赛的概率；（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.19．（12分）已知四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，且AD BC //，222BC AD AB ===，F 为,AC BD 的交点，点E 在平面ABCD 内的投影为点F . （1）AF ED ⊥；（2）若AF EF =，求三棱锥D ABE -的体积.20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上、下顶点分别为,A B ，若12AF =，点3(,1)2-关于直线y x =的对称点在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程与离心率；（2）过点()0,2做直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点,M N ； 若OM ON λ⋅<uuu r uuu r恒成立，求实数λ的取值范围.21．（12分）已知函数()2ln 2p f x x x =-. （1）当0p >时，求函数()f x 的极值点； （2）若1p >时，证明：()()33e 121p p x f x p ---<-.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 1004πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；（2）将曲线C 向左平移2个单位，再将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值.23．（10分）选修4—5不等式选讲 已知函数()f x x m =-. （1）当2m =时，求不等式()23f x x >-的解集；（2）若不等式()1122f x x ++≥恒成立，求实数m 的取值范围.2020届模拟06文科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】依题意，集合{}9293813332xx A x x x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=>=>=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭，{}{}{}2121101112,3,4,5,6,7,8,9,10B x x x x x =∈-+<∈<<N =N =，故{}5,6,7,8,9,10A B =I ，故选C.2．【答案】A 【解析】依题意，()()()()35i 2i 35i 113ii 2i 2i 2i 5a b ----+===++-，故113,55a b ==-，故131i i 55z b a =-=--，故复数z 的共轭复数为131i 55z =-+，故选A.3．【答案】B 【解析】不妨取04x π=，此时003223sin 022x x π-=-<，故命题p 为真；特称命题的否定为全称命题，故:p ⌝0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，23sin 0x x -≥，故选B.4.【答案】C 【解析】依题意，向量()()3,-=--a b m n ；因为()-//a b b ，故3m n n -=-，故20m n +=；又2=b ，即1n =-或1，故2m =或-2，故选C. 5．【答案】B 【解析】运行该程序，第一次，2,2S k ==；第二次，6,3S k ==；第三次，14,4S k ==；第四次，30,5S k ==；第五次；62,6S k ==；第六次，126,7S k ==；观察可知，判断框中可以填“62S <”，故选B. 6．【答案】A 【解析】依题意，()cos240sin30sin 60sin120︒︒--︒︒sin30cos120cos30sin120=︒︒+︒︒1sin1502=︒=； 00tan 751tan 75tan 453tan 301tan 751tan 75tan 453-︒-︒==︒=++︒︒；故原式的值为1323+，故选A. 7．【答案】D 【解析】依题意，()()()()321ln 1121x f x x x -+=++-++，将函数()f x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位后，得到函数32ln2xy x x-=++的图象，这是一个奇函数，图象关于()0,0中心对称，故函数()321ln333xf x x x x x-=++++的对称中心为()1,1--，故选D.8．【答案】C 【解析】依题意，将函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，得到sin 43y x ωππω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，此时()2432k k ωπωππππ--=+∈Z ， 解得()546k k ωπππ=+∈Z ，故()1043k k ω=+∈Z ，故ω的最小值为103 故()10sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令()10222332k x k k πππππ--∈++Z ≤≤，解得()10522636k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，即()3320545k x k k ππππ-∈++Z ≤≤，故选C.9．【答案】A 【解析】依题意，作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，可以求出()()221,1,1,,5,25A B C ⎛⎫⎪⎝⎭；要使0z ≥恒成立，需且仅需130223055230m m m --⎧⎪⎪--⎨⎪⎪--⎩≥≥≥解得375m ≥；故m 的取值不可能为7，故选A. 10．【答案】B 【解析】作出该几何体的直观图如下图所示，观察可知，该几何体的最短棱长为AC 或BD ，均为2，故选B.11．【答案】A 【解析】依题意，()22PM MN PM PN PM PM PN PM PM ⋅=⋅-=⋅-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；因为222193b e =-=，故21b =；设(),M x y ，则()2,PM x y =--uuu r ， 故()2222222282444414599x x PM x y x x y x x x =-+=-++=-++-=-+uuu r ，[]3,3x ∈-，可知，当3x =-时，2PM uuu r 有最大值25，当94x =时，2PM uuu r 有小值12；故PM MN ⋅u u u r u u u r 的取值范围为125,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故选A.12．【答案】A 【解析】依题意，222ln 112ln x x x mx m x x+⇔+≤≥，令()22ln 1x g x x x =+，故()()32ln 1'x x x g x x --=；令()ln 1h x x x x =--，则()'ln h x x =-，故当[)1,x ∈+∞时，()'ln 0h x x =-≤；故()22ln 1x g x x x=+在[)1,+∞上单调递减，故()()max 11m g x g ⎡⎤==⎣⎦≥，故m 的最小值为1，故选A. 13．【答案】253【解析】当23n =时，共有24个数，从左往右第22个数即为这一行的倒数第3个数，观察可知，其规律为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,136,153，171,190,210,231,253，故所求数字为253.14．【答案】221169x y -=【解析】依题意，双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，即0bx ay ±=，故223bc a b =+，即3b =；①双曲线C 的离心率为54，故54c a =；又3b =，且222a b c +=，故4,5a c ==，故双曲线C 的方程为221169x y -=； ②椭圆22':13611x y C +=的焦点坐标为()()5,0,5,0-，故5c =；又222a b c +=，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=； ③依题意，设双曲线C 的左、右焦点分别为12,F F ，故12423PF PF b -=⋅，故4a =，故双曲线C 的方程为221169x y -=. 15．【答案】52π【解析】因为四边形ABCD 为等腰梯形，AB CD //，故AD BC =；因为PA PB =,12AB CD =,PA PB AD ==,43PA AD CD +==，=23PA PB AB AD BC ====，故3ADC π∠=； 取CD 的中点E ，则E 是等腰梯形ABCD 外接圆圆心；F 是PAB △外心，作OE ⊥平面ABCD ，OF ⊥平面PAB ，则O 是四棱锥P ABCD -的外接球的球心，且3,2OF GE PF ===；设四棱锥P ABCD -的外接球半径R ，则22213R PF OF =+=，所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积是52π.16．【答案】524+【解析】因为2sin 24MPN π⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，故42MPN ππ∠+=，故4MPN π∠=，故MNP △是等腰直角三角形；在QNP △中，2,1QN QP ==，由余弦定理，254cos NP Q =-；2211os 42c 45MNP S MN NP Q =-==△；又1sin 2sin QNP S NQ P Q Q Q =⋅⋅=△，55cos sin 2sin()444MNQP S Q Q Q π=-+=+-；3π5（1）依题意，11133log log 1n n a a +-=-，故113log 1n na a +=-，故13n n a a +=；故数列{}n a 是公比为3的等比数列，因为()21322a a a +=+，故()1112329a a a +=+， 解得11a =；故数列{}n a 的通项公式为13n n a -=；（6分） （2）依题意，1113n n a -=，故数列1n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，故1231111n nT a a a a =++++L 111113133=1113323213nn n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++==-< ⎪⎝⎭-L ， 故32M ≥，即实数M 的取值范围为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（12分）18．【解析】（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，故甲参加围棋比赛的概率为12；（4分）（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4， 则所有的可能为（1,2,1,2）,（1,2,1,3）,（1,2,1,4）,（1,2,2,3）,（1,2,2,4）,（1,2,3,4）,（1,3,1,2）,（1,3,1,3）,（1,3,1,4）,（1,3,2,3）,（1,3,2,4）,（1,3,3,4），其中满足条件的有（1,2,3,4）,（1,3,2,4）两种，故所求概率21126P ==.（12分） 19．【解析】（1）依题意，AFD CBF △△∽，12AF DF AD CF BF BC ===， 又Q 1,2AB BC ==,∴2,32AD AC ==，（2分） 在Rt BDA △中，2262BD AB AD =+=,∴1333AF AC ==，（3分）在ABF △中，2222236()()133AF BF AB +=+==，∴90AFB ∠=︒，即AC BD ⊥；Q EF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴AC EF ⊥；（6分）又Q BD EF F =I ,BD ⊂平面BDE ,EF ⊂平面BDE ,∴AC ⊥平面BDE ， 因为ED ⊂平面BDE ，故AC ED ⊥，即AF ED ⊥；（8分）（2）依题意，11123613322336D ABE E ABD ABD S EF V V --⋅=⨯⨯⨯⨯===△.（12分）20．【解析】（1）依题意，点3(,1)2-关于直线y x =的对称点为3(1,)2-， 因为12AF =，故222b c a +==，故椭圆222:14x yC b+=；将3(1,)2-代入椭圆222:14x y C b +=中，解得1b =；所以椭圆C 的方程为2214xy +=故离心率32c e a ==；（4分）（2）当直线l 的斜率不存在时，(0,1),(0,1)M N -，所以1OM ON ⋅=-u u u u r u u u r． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为11222,(,),(,)y kx M x y N x y =+， 联立22214y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得22(14)16120k x kx +++=， 由0∆>，可得243k >，且1212221612,1414k x x x x k k +=-=++， 所以1212OM ON x x y y ⋅=+uuu u r uuu r 21212217(1)2()4114k x x k x x k =++++=-++，所以1314OM ON -<⋅<uuu u r uuu r ，故134λ≥，综上实数λ的取值范围为13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（12分）（1）依题意，()2ln 2p f x x x =-，故()()()21111'px px px f x px x x x+--=-==； 可知，当0,p x p ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x <；,p x p ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0f x >； 故函数()f x 的极小值点为px p=，无极大值点；（4分）（2）Q 1p >，令()()()()211ln 2pg x p x f x p x x x =--=--+，故()()()11'px x g x x +-=-，可得函数()g x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞， ∴()g x 在1x =时取得极大值，并且也是最大值，即()max 112g x p =-． 又210p ->，∴()21(21)1ln (21)(1)22p p p x x x p p ⎡⎤---+--⎢⎥⎣⎦≤．设31(21)(1)2()e p p p h p ---=，则233(297)(1)(27)()2e 2e p p p p p p h p ---+--'=-=-，所以()h p 的单调递增区间为7(1,)2，单调递减区间为7(+)2∞，，所以1236794()()22e e h p h ⨯==≤,Q 2e 3>,∴99332e<=,∴()3h p <，又3e 0p ->Q ， ∴()23(21)1ln 3e 2p p p p x x x -⎡⎤---+<⎢⎥⎣⎦，即()()33e 121p p x f x p ---<-.（12分）22．【解析】（1）曲线：()22:24C x y -+=；直线::250l x y -+=；（4分） （2）依题意，曲线221:14y C x +=；又曲线1C 的参数方程为cos (2sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)， 设曲线1C 上任一点()cos ,2sin P θθ，则()cos 2sin 25255sin 10222P l d θθθϕ→-+-+==≥(其中1tan 2ϕ=-)，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.（10分） 23．【解析】（1）显然3x >；故()()()()22322343f x f x x x x x x >⇒>-⇒->-⇒<-，故不等式()23f x x >-的解集为()3,4；（5分）（2）依题意，当2m -≥，()31,21111,22231,22x m x m f x x x m x m x m x ⎧+-⎪⎪⎪++=-++-⎨⎪⎪-+--⎪⎩≥≤≤≤，故()min 111222mf x x ⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦≥，解得2m ≥；当2m -≤时，()31,221111,22231,2x m x f x x x m m x x m x m ⎧+->-⎪⎪⎪++=--<-⎨⎪⎪-+-⎪⎩≤≤，故()min111222mf x x ⎡⎤++=--⎢⎥⎣⎦≥，解得6m -≤；综上所述，实数m 的值为(,6][2,)-∞-+∞U .（10分）。
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}220P x x x =-≥，{}12Q x x =<≤，则P Q =I （ ） A ．[0,1) B ．{2}C ．(1,2)D ．[1,2]【答案】B2．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称且12i z =+，则12z z =（ ） A ．－5 B ．5C ．－4＋iD ．－4－i【答案】A3．下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是（ ） A ．12y x =- B ．12log (2)y x =- C ．21()2x y -=D ．2y x =-【答案】B4．已知 1.22a =，0.21()2b -=，5log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C5．若1cos()43απ+=，(0,)2απ∈，则sin α的值为（ ）A ．23B ．426+ C ．718D ．426- 【答案】D6．如果对于任意实数m ，[]m 表示不超过m 的最大整数，那么“[][]x y =”是“[]1x y -<成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A7．某空间几何体的三视图如图，且已知该几何体的体积为36π，则其表面积为（ ） A ．332π+B ．32πC ．334π+2D ．334π+【答案】A8．已知实数x ，y 满足不等式组：22221x y x y y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≤≥≥，则3z y x =-的取值范围为（ ）A ．[1,2]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[1,6]【答案】D9．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入20=a ，8=b ，则输出的结果为（ ） A ．4a =，3i =B ．4a =，4i =C ．2a =，3i =D ．2a =，4i =此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】A10．已知函数()2sin(2)6fx x π=+，若将它的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．12x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．3x 2π=【答案】C11．以双曲线22221x y a b -=的两焦点为直径作圆，且该圆在x 轴上方交双曲线于A ，B 两点；再以线段AB 为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ．31+ B ．2C ．21+D ．3【答案】B12．如图，正方形ABCD 的边长为2，O 为AD 的中点，射线OP 从OA 出发，绕着点O 顺时针方向旋转至OD ，在旋转的过程中，记AOP ∠为[]()0,x x ∈π，OP 所经过的在正方形ABCD 内的区域（阴影部分）的面积()S f x =，那么对于函数()f x 有以下三个结论：①332f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②函数()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭上为减函数；③任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()4f x f x +π-=；其中不正确．．．的是（ ）A ．①B ．③C ．②D ．②③【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(3,4)=a ，(,1)x =b ，若()-⊥a b a ，则实数x 为________． 【答案】714．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin c b Ac a C B-=-+，则B =________． 【答案】3π 15．已知x ，y +∈R ，且231x y +=，则11x y +的最小值是________．【答案】526+16．已知*1log (2)()n n a n n +=+∈N ，观察下列算式：1223log 3log 42a a ⋅=⋅=；126237log 3log 4log 83a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L ；若1232016m a a a a ⋅⋅⋅⋅=L ，则m 的值为________． 【答案】201622-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，25a =，823a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b a =，27b a =，求1000n S >的最小正整数n ． 【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，826235183a a d d -==-=⇒=．2(2)5(2)331n a a n d n n =+-=+-⋅=-，（2） ∵12b a =，2737120b a ==⋅-=，∴212045b q b ===， ∴25(14)5(41)100042601143nnn n n S --==>⇒=>-， ∵1021024=，92512=，∴210n =，∴ 最小正整数n 为5． 18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点． （1）证明：PB ∥平面AEC ；（2）设1AP =，3AD =，三棱锥P ABD -的体积34为，求A 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连结EO ，∵ABCD 是矩形，∴O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点，∴EO ∥PB ． EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ： （2）∵1AP =，3AD =，三棱锥P ﹣ABD 的体积34V =， ∴133664V PA AB AD AB =⋅⋅==， ∴32AB =，23131()22PB =+=．作AH ⊥PB 交PB 于H ，由题意可知BC ⊥平面P AB ，∴BC ⊥AH ， 故AH ⊥平面PBC ．又在三角形P AB 中，由射影定理可得：31313PA AB AH PB ⋅==， ∴A 到平面PBC 的距离31313． 19．（本小题满分12分）某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月11日 3月12日 3月13日 3月14日 3月15日昼夜温差（C ︒） 10 11 13 12 8 发芽数（颗）2325302616（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；（2）请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程$$y bx a =+； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：2121ˆxn x yx n yx bni i ni ii --=∑∑==，x b y a-=ˆ） 【答案】（1）,m n 的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个，设“,m n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）， 所以103)(=A P ，故事件A 的概率为103．（2）由数据得12x =，27y =，3972x y =，31977i i i x y ==∑，321434i i x ==∑，23432x =，由公式，得977972434432b-=-$，$5271232a =-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程为$532y x =-． （3）当10x =时，$22y =，22223-<，当8x =时，^17y =，17216-<， 所以得到的线性回归方程是可靠的．20．（本小题满分12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的上下左右四个顶点分别为A ，B ，C ，D ，x 轴正半轴上的某点P 满足2PA PD ==，4PC =． （1）求椭圆的标准方程以及点P 的坐标；（2）过C 点作倾斜角为锐角的直线1l 交椭圆于点Q ，过点P 作直线2l 交椭圆于点,M N ，且12//l l ，是否存在这样的直线1l ，2l 使得CDQ △，MNA △，MND △的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．【答案】（1）设点P 的坐标为0(,0)x 0(0)x >，易知224a =+，3a =，041x a =-=，22023b x =-=．因此椭圆标准方程为22193x y+=， P 点坐标为(1,0)．（2）设直线的斜率为(0)k k >，00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1:(3)l y k x =+，2:(1)l y k x =-，MNA △、MND △的面积相等，则点,A D 到直线2l 的距离相等．22|3|11k k k --=++，解之得3k =33k =-（舍）． 当3k =2l 的方程可化为：13x =+，代入椭圆方程并整理得： 253120y -=，所以121235125y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以211212293()45y y y y y y -=+-=； 所以MND △的面积为12119393||||222PD y y ⋅-=⨯=当3k =1l 的方程可化为：33x =-，代入椭圆方程并整理得： 25330y y -=，解之得335y =0y =（舍）， 所以CDQ △的面积为1939362⨯=所以CDQ MND S S =△△． 21．（本小题满分12分） 已知函数2()e (1)x f x x x =-+．（1）当[1,2]x ∈-时，求()f x 的最大值与最小值；（2）如果函数()()1g x f x ax =-+有三个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）因为2()e (1)x f x x x =-+， 所以()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x x x '=+-+=+-，令()0f x '=得11x =-，2ln 2x =，()f x '，()f x 的变化如下表：x－1 (1,ln 2)- ln 2 ln 22（，）2 ()f x ' 0－ 0＋()f x1e-2(ln 2)1--22e -9()f x 在[1,2]-上的最小值是2(ln 2)1--，因为22e 90->，10e -<，212e 9e->-，所以()f x 在[1,2]-上的最大值是22e 9-．（2）2()1e (2)(e 2)x x f x ax x x a x x x a -+=--+=---， 所以()10f x ax x =-⇒=或e 20x x a ---=，设()e 2x g x x a =---，则()e 1x g x '=-，0x >时，()0g x '>，0x <时，()0g x '<， 所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，在(,0)-∞上是减函数，()(0)1g x g a =--≥， 且x →+∞，()g x →+∞，x →-∞，()g x →+∞，①当10a -->时，即1a <-时，()0g x =没有实根，方程()1f x ax =-有1个实根； ②当10a --=时，即1a =-时，()0g x =有1个实根为零，方程()1f x ax =-有1个实根； ③当10a --<时，即1a >-时，()0g x =有2不等于零的实根，方程()1f x ax =-有3个实根．综上可得，1a >-时，方程()1f x ax =-有3个实根．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0α<<π），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的最小值．【答案】（1）由2sin 4cos ρθθ=，得2(sin )4cos ρθρθ=，所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =，（2）将直线l 的参数方程代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=． 设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1224cos sin t t αα+=，1224sin t t α=-，∴12AB t t =-==2απ=时，AB 的最小值为4． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()1f x ax =-，不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤． （1）求a 的值； （2）若()()3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）由13ax -≤，得313ax --≤≤，即24ax -≤≤．当0a >时，24x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2142aa⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，42x a a -≤≤，因为不等式()3f x ≤的解集是{}12x x -≤≤，所以2241aa⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，无解． 所以2a =． （2）因为()()|21||21||(21)(21)|23333f x f x x x x x +--++--+==≥，所以要使()()3f x f x k +-<存在实数解，只需23k >．解得23k >或23k <-． 所以实数k 的取值范围是22(,)(,)33-∞-+∞U ．。
2020年河北省普通高考模拟考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =，则()U A B =I ð（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4,5,6} （C ）∅ （D ）{1,2,3,4,5,6} （2）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（3）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （4）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63 （5）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12 （7）函数1()222xf x x =--的其中一个零点所在的区间为 （A ）1(0,)2 （B ）1(,1)2（C ）3(1,)2（D ）3(,2)2（8）设函数()3cos(2)sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数（C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（9）已知椭圆221:12x yCm n+=+与双曲线222:1x yCm n-=共焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范围为（A）2(,1)2（B）2(0,)2（C）(0,1)（D）1(0,)2（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是（A）7（B）2 （C）3（D）5（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m=，1813n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333（12）已知函数|21|,2()3,21x xf xxx⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，则()f x的值域是（A）[0,)+∞（B）[1,3]（C）[1,)+∞（D）[0,3]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020届高三第二次联考试卷文科数学本卷分第Ⅰ卷(选择题、填空题)和第Ⅱ卷解答题两部分，满分150分. 考试用时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、班级用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答卷上； 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上. 答在第Ⅰ卷上不得分；3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高.第Ⅰ卷(选择题、填空题共70分)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集{}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则下图中阴影部分表示的集合为 ( )A. {}0x x >B. {}30x x -<<C. {}31x x -<<-D. {}1x x <-2. 已知正方形ABCD 的边长为1, 则AB BC AC ++u u u r u u u r u u u r=（ ）A. 0B. 2C.2 D. 223. 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km , 灯塔A 在观察站C 的北偏东20o, 灯塔B 在观察站C 的南偏东40o，则灯塔A 与灯塔B 的距离为 ( )km A. a B.a 2 C. a 2 D. a 34. 曲线x x x f ln )(=在点1=x 处的切线方程为（ ）A. 22+=x yB. 22-=x yC. 1-=x yD. 1+=x y5. 设函数22(,2]()log (2,)x x f x x x ⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩, 则满足()4f x =的x 的值是 ( )A. 2B. 16C. 2或16D. 2-或166. 设向量311(sin ,),(,cos ),432a xb x ==r r 且//a b r r , 则锐角x 为（ ） A. 6π B. 4π C. 3πD. π125 7. 已知等差数列{}n a 中, 315,a a 是方程2610x x --=的两根, 则7891011a a a a a ++++等于（ ）A. 18B. 18-C. 15D. 128. 已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值是４, 最小值是0, 最小正周期是2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A. 4sin(4)6y x π=+ B. 2sin(2)23y x π=++ C. 2sin(4)23y x π=++ D. 2sin(4)26y x π=++ 9. 若函数)(x f y =的图象如右下图所示, 则函数)1(x f y -=的图象大致为 ( )10. 已知0a >且21,()x a f x x a ≠=- , 当(1,1)x ∈- 时均有1()2f x < , 则实数a 的取值范围是( )A. [)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0YB. (]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡C. (]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D. [)∞+⎥⎦⎤⎝⎛， 441,0Y 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数5||4)(--=x x x f 的定义域为_____ ________.12. 若()f n 为21n +的各位数字之和()n *∈N , 如: 因为2141197,19717+=++=, 所以(14)17f =. 记1()()f n f n =,21()(())f n f f n =, …,1()(())k k f n f f n += (k *∈N ), 则2008(8)f = .13. 如下图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图, 则此几何体共由____ _____块木块堆成.14. 对于函数x x x f cos sin )(+=, 给出下列四个命题:① 存在)2,0(πα∈, 使34)(=αf ; 俯视图侧视图正视图D.C.A. B.② 存在)2,0(πα∈, 使)3()(αα+=+x f x f 恒成立;③ 存在R ϕ∈, 使函数)(ϕ+x f 的图象关于y 轴对称; ④ 函数f (x )的图象关于点)0,43(π对称;⑤ 若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()f x ∈. 其中正确命题的序号是 .2020年文科数学答题卷二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. 12.13. 14.第Ⅱ卷(解答题共80分)三、解答题（共6小题，满分80分） 15. (本小题满分14分)已知向量(cos ,sin )=r a αα, (cos ,sin )=rb ββ, -=r r a b .(Ⅰ) 求cos()αβ-的值; (Ⅱ) 若0πα<<, 0πβ-<<, 且5sin β=-, 求sin α.班 姓 学号 考16. (本小题满分12分)已知函数32()(4)3(6)f x x m x mx n =+--+-在定义域内是奇函数. (1) 求m , n 的值;(2) 求()f x 在区间[3,2]-上的极值和最值.17. (本小题满分14分)已知点集{}(,)L x y y ==⋅u u r r m n , 其中(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n 为向量, 点列(,)n n n P a b 在点集L 中, 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 已知数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, *N n ∈.(1) 求数列{}n a , {}n b 的通项公式;(2) 求1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r 的最小值;(3) 设1(2)n n n n c n n a P P +=≥⋅u u u u u u r , 求234n c c c c ++++L 的值.18. (本小题满分14分)(1) 如图1, 在三棱锥A BCD -中, ,M N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心, 求证://MN BD .(2) 如图2, 在三棱锥S ABC -的侧棱,,SA SB SC 上分别取,,A B C '''三点, 使12SA SA '=, 13SB SB '=, 14SC SC '=, 过,,A B C '''三点作截面将棱锥分成上、下两部分, 求这两部分的体积比. 学号 考室19. (本小题满分12分)某西部山区的某种特产由于运输的原因, 长期只能在当地销售. 当地政府通过投资对该项特产的销售进行扶持, 已知每投入x 万元, 可获得纯利润100)40(16012+--=x P 万元 (已扣除投资, 下同). 当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售, 其规划方案为: 在未来10年内对该项目每年都投入60万元的销售投资, 其中在前5年中, 每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路. 公路5年建成, 通车前该特产只能在当地销售; 公路通车后的5年中, 该特产既在本地销售, 也在外地销售, 在外地销售的投资收益为: 每投入x 万元, 可获纯利润)60(2119)60(1601592x x Q -+--=万元. 问仅从这10年的累积利润看, 该规划方案是否可行?20.（本小题满分14分）已知函数()22xx af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()yg x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;(3) 设1()()(),F x f x h x a=+ 设()F x 的最小值为m . 是否存在实数a , 使2m >若存在, 求出a 的取值范围, 若不存在, 说明理由.室2020年联考文科数学答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDDCC BCDAC二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）11. {x |45x x ≥≠且} 12. 11 13. 5 14. ①③④⑤ 三、解答题（共6小题，满分80分）15. 解:（Ⅰ）(cos ,sin )=r Q a αα, (cos ,sin )=rb ββ, ()cos cos ,sin sin ∴-=--r rαβαβa b . ………………………………………………… (2)5-=r r Q a b ,5=, …………………… (4) 即 ()422cos 5αβ--=, ()3cos 5αβ∴-=. (7)（Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-<Q , (8)()3cos 5αβ-=Q ,()4sin .5αβ∴-= (9)5sin 13β=-Q ,12cos 13β∴=, (10)()sin sin ∴=-+⎡⎤⎣⎦ααββ ……………………………………………………………… (12)()()sin cos cos sin =-+-αββαββ ………………………………………………… (13)412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ………………………………………………………………………… (14) 16. 解: (1) 依题意得()()f x f x -=-, (1)即3232()(4)()3()(6)(4)3(6)x m x m x n x m x mx n -+----+-=---+--, ……………… (2)∴22(4)2(6)0m x n -+-=, ……………………………………………………………………… (3) 故4m =,6n =. ……………………………………………………………………………………(4)(2)由(1)得3()12f x x x =-, ………………………………………………………………………(5)∴2()3123(2)(2)f x x x x '=-=-+, …………………………………………………… (6)当(3,2)x ∈--时, ()0f x '>, ()f x 单调递增; 当(2,2)x ∈-时, ()0f x '<, ()f x 单调递减;……………………………………………………………………………………………… (8)所以当2x =-时,()f x 有极大值16. (9)(3)9f -=Q , (2)16f =-, ……………………………………………………………………… (10) max ()(2)16f x f ∴=-=,min ()(2)16f x f ∴==-. (12)17.解:(1)由y =⋅u u r r m n,(22,1),(1,12)x b b =-=+u u r rm n , 得:12+=x y (2)即 :L 12+=x y Q 1P 为L 的轨迹与y 轴的交点, 1(0,1)P ∴ 则 110,1a b == (3)Q数列{}n a 为等差数列, 且公差为1, 1 (N )n a n n *∴=-∈, ………………………………… (4) 代入12+=x y , 得:2 1 (N )n b n n *=-∈ (5)(2) (1,21)n P n n --Q , 1(,21)n P n n +∴+,221121(1,21)(,21)515()1020n n OP OP n n n n n n n +∴⋅=--⋅+=--=--u u u r u u u u u r (8)Nn *∈Q , 所以当1n =时,1n n OP OP +⋅u u u r u u u u u r有最小值, 为3. (9)(3) 当2≥n 时, )12,1(--n n P n ,得:11),n n n a P P n +⋅=-u u u u u u r…………………………………(10)111(1)1n C n n n n===---, (12)23111111(1)()()12231n C C C n n n∴+++=-+-++-=--L L L . …………………… (14)18. 解: (1) 连结AM , 延长交BC 于P ; 连结AN , 延长交CD 于Q , 连结PQ . (1),M N Q 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心,23AM AN AP AQ ∴==. ...................................................... (3) //MN PQ ∴, 且,P Q 分别是,BC CD 的中点. ..................... (5) ∴//PQ BD , (6)由公理4知: //MN BD . (7)(2) 解:sin 1sin 12SB C SBC S SB SC B SC S SB SC B SC ''∆∆''''⋅∠==''⋅∠, ……………………… (10) 设点A '到平面SBC 的距离为h ', A 点到平面SBC 的距离为h .12SA SA '=Q , 12h h '∴=. …………………………………………… (12) 1131243SB C S A B C A SB C S ABC A SBCSBC S h V V V V S h ''∆''''''----∆'⋅===⋅. .................................... (13) 故三棱锥被分成的两部分的体积比为1:23. (14)19. 解: 在实施规划前, 由题设100)40(16012+--=x P (万元), 知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元. 则10年的总利润为W 1=100×10=1000（万元）. …………………………………………… (3) 实施规划后的前5年中, 由题设100)40(16012+--=x P 知, 每年投入30万元时, 有最大利润8795max =P (万元). ………………………………………………………………………………………………………… (5) 前5年的利润和为8397558795=⨯(万元). (6)设在公路通车的后5年中, 每年用x 万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x ）万元于外地区的销售投资, ………………………………………………………………………………………………………… (7) 则其总利润为5)2119160159(5]100)40(1601[222⨯+-+⨯+--=x x x W 4950)30(52+--=x . ……………………………… (9) 当x =30时，W 2|max =4950（万元）. (10)AB CD M NQPSC'B'A'CBA从而10年的总利润为495083975+（万元）. (11)1000495083975>+Θ,∴该规划方案有极大实施价值. …………………………………………… (12) 20. 解: (1) 由题设,()g x (2)f x =-2222x x a--=-. (2)(2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点11(,)x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直线1y =对称, 则112x xy y=⎧⎨=-⎩, (4)2(),2()y g x y g x ∴-=∴=-, 即22()222x x ah x --=-+. (6)(3)由题设,21()2xx F x a =-+22222x x a ---+＝111()2(41)242x x a a -+-+ ………………… (7) 0a ≠Q① 当0a <时, 有114a -0<, 410a -<, 而2x0>, 12x 0>,()2F x ∴<, 这与()F x 的最小值2m >+矛盾; …………………………………………… (8) ② 当104a <≤时, 有114a -0>, 410a -≤, 此时()F x 在R 上是增函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (9) ③ 当4a ≥时, 有114a -0≤, 410a ->, 此时()F x 在R 上是减函数, 故不存在最小值;……………………………………………………………………………………………………… (10) ④当144a <<时, 有114a -0>,410a ->,()2F x ≥, (11)当且仅当2x=时取得等号,()F x 取最小值m=2. (12)又2m >+及144a <<, 得(4)(41)744144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩ …………………………………………… (13) 1212,21244a a a ⎧<<⎪⎪∴<<⎨⎪<<⎪⎩. (14)。
2020年河北省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
新时代NT 教育2023-2024学年高三入学摸底考试数学（新高考）参考答案1.D 【解析】当∅=A 时，a =0,当{}2-=A 时，1a =-,当{}2=A 时，a =1,{}1,0,1-∈∴a .2.B 【解析】21i,i.1iz z =-=∴=--3.B 【解析】当,0)2)(2>-+k k （即22>-<k k 或时，12222=--+k y k x 表示双曲线，所以“2>k ”是“12222=--+k y k x 表示双曲线”的充分不必要条件.4.D 【解析】由题分析得111)1(1+-=+=n n n n a n ,所以1231011111101.223101111a a a a ++++=-+-++-= 5.A 【解析】224523ab a b a b -=+-=-=，a b ∴-6.C 【解析】3tan 2tan 1tan 14tan )45tan(=∴-=-+=+=+αααπαπα，（，54tan 1tan 1sin cos 2cos 2222-=+-=-=∴ααααα.7.A 【解析】11112,11111-+=-==≥===-n n n T T a n T a n n n n 时，当时，当，2341,n a a a a ∴>>>>> 11a =而，为最大项为最小项，21a a ∴.8.D 【解析】由已知得函数()f x 既关于原点对称，又关于1x =对称，所以周期T =4，1)7()3(2log )(5==--=g g x x g ，而设，由函数图像可分析()f x 与()g x 的交点个数为5.9.AB 【解析】22121,0,0≥+≥++>>abab ab b a b a 则若，当且仅当22==b a 时取等号.∴A 正确；3)(x x f =是在R 上单调递增的函数，()()f a f b a b ∴>>若，则，∴B 正确；）单调递减，，在（若∞+=<0)(,0a x x f a a a )53(52(>∴，∴C 错误；,0,011b a ba <<>>则若b a ln ln <∴，∴D 错误.10.BC 【解析】222221212()nnx x x x x xx n n++++++=≠ ∴A 错误;,101210122x x s i i ∑=-=由130)10101222=+⨯=∴∑=i i x s x （，∴B 正确;，，（由2)(319~=ξξD B 8)(4)2(==∴ξξD D ,∴C 正确;数据2，3，4，7，8，10，17，18的第50百分位数是7.5，∴D 错误11.ACD 【解析】取EF NF MN F A B N D B ,,,,连结的中点的中点'',则四边形EMNF 为平行四边形,//,,//MN EF MN B AE MN B AE ''∴⊄面面,∴A 正确;假设存在一个位置使得B D AE '⊥，取AE 中点H ，连结DH H B ,',显然,B H AE B H B D B ''''⊥= ,DH AE HD B AE ⊥∴'⊥∴，面,进而有DA =DE ,而由题可得DA DE ≠=3,∴不存在AE D B ⊥'，故B 错误;当时，面面ABCD AE B ⊥'四棱锥AECD B -'的体积最大，此时棱锥的高为3，1113B AECD V '-=⨯=.∴D 正确.12.ACD 【解析】设切点)1ln ,(-m m ，,1)(mm f k ='=2,2ln ,11ln e m m m m m =∴=∴⋅=-∴，所以过原点的切线方程为2x y e =，∴A 正确；与)(x f 关于x y =对称的函数为1+=x e y ,∴B 错误；若过点(,)a b 有2条直线与()f x 相切，则点(a,b )在f (x )上方，即(),b f a >即ln 1,b a >-∴C 正确;由于,ln 1ln 12x R x x x x +∀∈≤-∴-≤-，，∴D 正确.13.56π【解析】2y x = 为偶函数，所以），（，πϕϕπ0)32cos()(∈+-=x x g 为奇函数，5,,.326k k Z πππϕπϕ∴-+=+∈∴=h =(3hV S S =+下棱台上）15.11【解析】2121)21,0,22(12[2(1)]()271111a b a b a b a b a b a b b a ->>+=-++=-+++=++≥--（）,22(1)b a =-时取等号.16.8【解析】法一：如图建立直角坐标系，2222(,),24(A x y AB AD x y x y ⎡⎤=+=-+⎣⎦设由得：2233480x y +-+=即：，02,ABC ABD A S S ∆∆=所以点8.A x ABC ∆所以当到面积最大为,2,AD m AB m ABD ==∆法二：设则在中，由余弦定理可知，2222121244cos ,54cos m m m A m A=+-=-，224sin sin 22sin 6),(0,)554cos cos 4ABC ABD A AS S m A A A A π∆∆===-∈--而（，sin 453cos 4A MN A --由右图可知，最小值为直线的斜率4(6)()8.3ABC ∆-⨯-=故面积的最大值为17.【解析】1145(1)1,1,,131488a b d q a a d d q d ===∴+=+++==2,2d q ∴==..........................................................................................2分121,2n n n a n b -∴=-=..........................................................................................5分()(2)21,(21)21(21)2(21)n n n n n n n S c a S n n n =-∴=⋅=-⋅-=-⋅--..............7分121232......(21)2[135......(21)]n n T n n =⋅+⋅++-⋅-++++-21232......(21)2n nS n '=⋅+⋅++-⋅令23121232......(21)2n nS n +'=⋅+⋅++-⋅231122(22......2)(21)262)2n n n n S n n ++'∴-=+⋅+++--⋅=-+-⋅（3............9分1126(23)2,6(23)2n n nn S n T n n ++'∴=+-⋅∴=+-⋅-............10分18.【解析】（1）由得)sin(sin sin sin )sin(sin )sin(sin C A C A BB A A B A A +-+=++++BC A BC A CA sin sin sin sin sin sin sin sin -+=++,由正弦定理可得：222()()2ac a c b a c b a c ac b =+-++=++- (2)分22222212,cos ,(0,).223a c b a c b ac B B B ac ππ+-+-=-∴==-∈∴=即 (4)分221(2)sin 44()242ABC BA BCS ac B ac ac BD BD BA BC ∆+=====∴=+ ，由.....8分222222242cos 428a c ac B a c a c =++=+-∴+=， (10)分2222cos 28432b a c ac B b =+-=+=∴=.........................................................12分19.【解析】，时，设）当（11)(,1)1ln(1)()()(11+-='-+-=--==x e x h x e x g x f x h a x x 10,0()0,10()01x e x x h x x h x x ''==>>-<<<+时时，()10)0)h x ∴-+∞在(，单调递减，(，单调递增，....................................................................2分()(0),(0)0,()0h x h h h x ∴≥=∴≥而,()()1f x g x ≥+即.......................................................4分（2）法一：若1()()1x f x g x ∀∈-+∞≥+（，），恒成立，即：()1ln1ln ln 11x x x ae ae a x a+≥+⇒+≥++ln 1ln (1)x x a e a e x x +≥+++即................................................................................6分()ln ,()0)m t t t m t =++∞构造函数易知在(，递增，()(1)x m a e m x ≥+则不等式为.....................................................................................8分111,()(1)x x xx x ae x a x x e e φ++∴≥+⇒≥=>-设()()(1),()10)0xx x x x eφφ-'=>--+∞则在（，递增，，递减，..................................10分m ax ()(0)1x φφ==,1a ∴≥............................................................................................12分法二：1()()1x f x g x ∀∈-+∞≥+（，），恒成立，即ln ln 110x ae a x +-+-≥（）；)ln(1)ln 1x F x ae x a =-++-令（0011(),0,1)11x x F x ae a ae x x x x '=->=>-++（）有唯一实数根，设为，(................................6分00001,ln ln(1),1x ae a x x x =+=-++即00)(1,))Fx x x -+∞则（在递减，在(，递增，0min 00()()ln(1ln 10x F x F x ae x a ∴==-++-≥）.....................................................................8分00012ln(1)101x x x --+-≥+即：,1()2ln(1)1,()1)1h x x x h x x =--+--+∞+设显然在(，单调递减，0000()0,10h h x x =∴≥-<≤而（），则,...................................................................................10分000ln ln(1),(1,0]a x x x =-+-∈-,ln 0,a ∴≥ 1.a ≥........................................................12分20.【解析】(1)取SC 中点F ，连接,EF FD ，,E F 分别为,SB SC 的中点，//EF BC ∴，12EF BC =， 底面四边形ABCD 是矩形，P 为棱AD 的中点，//PD BC ∴，12PD BC =．//EF PD ∴，EF PD =，故四边形PEFD 是平行四边形，//PE FD \...................................................................2分又FD ⊂ 平面SCD ，PE ⊄平面SCD ，//PE ∴平面SCD ...........................................4分(2)以点P 为原点，PA ，PS的方向分别为,x z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设AD =2,则()0,0,0P ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,0,3S ............................................6分1110232,0,330n PB SM MA M PMB n n PM ⎧⋅=⎪=∴⎨⋅=⎪⎩若（，，）设面的法向量为12(3,3,2),(0,1,0)n SAD n =--=取取面的法向量.....................9分12121230cos ,10n n n n n n ⋅==-.....................................................11分3010SAD PMB ∴面和面夹角的余弦值为...............................12分21.【解析】（1）同学甲在游戏终止时成功通过两个关卡的概率P =9132213221=⨯⨯⨯............4分（2）同学甲成功通过关卡的个数ξ的值为0，1，2.......................................................................6分P (ξ=0)=18113121312121312121=⨯⨯⨯+⨯⨯+P (ξ=1)=185231213*********=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯P (ξ=2)=9132213221=⨯⨯⨯......................................................................11分所以同学甲成功通过关卡的个数ξ的分布列为：.......................................................................12分ξ012P18111851922.【解析】由题可得222222241163a b a cb aa b c ⎧+=⎪⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩22163x y ∴+=所求椭圆方程为：.......................4分22)1(2)(0)A y k x y tx t -=+=<（方法一：设过点的直线为与相切，2221(2)2104(210y k x tx kx k k t k y tx -=+⎧⇒---=⇒∆=++=⎨=⎩），12121212121281124k k t k k k k P A Q A k k tk k k k +=-⎧+∴⇒=+=-⎨⋅=⎩,(，分别是直线和的斜率）..............6分设直线PQ 为：n mx y +=，1122(,),(,),P x y Q x y 2222212)4260,26y mx nm x mnx n x y =+⎧+++-=⎨+=⎩得:(则22212212162,214m n x x m mn x x +-=+-=+，由0>∆得：03622>+-n m ..........................................................................8分2121212121k 12211221121-=-+++-++=-++-+=+n mx x n mx x y x y x k ，即=-+++-++)1)(2()1)(21221n mx x n mx x （)1)(1(212-+-+-n mx n mx 得：0)1(2))(21()22221212=-+++-++n x x mn n x x m m （,0)21)(1()2)(21()3)222222=+-+-+-+-+m n mn mn n n m m （（,整理得：0168222=---+m m mn n ，即[][]0)14()12(=+++-m n m n ,)14(12+-=+=m n m n 或...............................................................................10分所以1212++=+=m mx y PQ m n 为：时，直线当，恒过21A -点（，）,不符合题意；当时，)14(+-=m n 直线PQ 为：），，恒过点（，即14)4(114--=+--=x m y m mx y ，综上，直线PQ 恒过定点41)-(，.................................................................................12分21(2)(0)A y k x y tx t -=+=<方法二：设过点的直线为与相切，2221(2)2104(210y k x tx kx k k t k y tx -=+⎧⇒---=⇒∆=++=⎨=⎩）1212121212824k k t k k k k P A Q A k k tk k +=-⎧+∴⇒=-⎨⋅=⎩，(，分别是直线和的斜率）.......6分1)1()2(=-++y n x m PQ ：设直线...........................7分椭圆方程：[][]61)1(22)222=+-+-+y x （联立得：[][]0)1()2()1(4)1(2)1()2()2(4)222=-++-+-+-+++-+y n x m y y y n x m x x （22112)24)()4()()14022y y x n m n m x x --+++-+-=++同除以(得:(..........9分y 1(,)21)2x y x --+而为与(，连线的斜率12124()2,62141k k m n m n k k m +-==-=+-即即代入直线方程得21)(2)6(1)6n x n y +++-=（，(21)6240n x n y n ++--=即.........................................................11分41).P Q ∴-直线恒过(，.........................................................12分。
