高一数学奇偶性

高一数学奇偶性知识点高中数学中，奇偶性是一个重要的概念。

了解数的奇偶性可以在解题过程中提供便利，因此理解和掌握数的奇偶性知识点对于高一数学学习者来说至关重要。

本文将介绍高一数学中常见的奇偶性知识点，帮助学生更好地理解和应用这些知识。

一、奇数和偶数的基本概念在开始探讨更深入的奇偶性知识之前，我们先来回顾一下奇数和偶数的基本概念。

奇数是指不能被2整除的整数，偶数则恰好相反，是可以被2整除的整数。

我们可以用一个简单的公式来表示奇数和偶数：奇数：2n + 1 (n为整数)偶数：2n (n为整数)其中，n为任意整数，通过这个公式，我们可以得到所有的奇数和偶数。

二、整数性质与奇偶性的关系整数有一些特殊的性质与奇偶性密切相关。

下面介绍几个常见的性质：1. 两个奇数的和是偶数，两个偶数的和也是偶数；2. 一个奇数和一个偶数的和是奇数；3. 两个奇数的乘积是奇数，两个偶数的乘积是偶数；4. 一个奇数和一个偶数的乘积是偶数。

这些性质在解题过程中经常会被用到，同学们需要熟练掌握。

三、口诀“差奇和偶，乘偶和偶”在解题中的应用为了更好地应用奇偶性知识进行解题，我们可以借助一个简单的口诀：“差奇和偶，乘偶和偶”。

该口诀的含义是，两个数相减，若一个奇数一个偶数，则差为奇数；两个数相乘，若其中有一个数为偶数，则乘积为偶数。

通过使用这个口诀，我们可以在解答一些题目时迅速判断结果的奇偶性，从而节省时间和提高效率。

四、数列中的奇偶性在数列中，奇偶性也是一个重要的概念。

我们来看看一些常见的数列奇偶性规律：1. 交替数列：每一项与前一项的奇偶性相反。

比如：1，-2，3，-4，5，-6...2. 连续奇数数列：首项为奇数，公差为2。

3. 连续偶数数列：首项为偶数，公差为2。

通过了解数列中的奇偶性规律，我们可以更好地理解和分析数列，从而在解答与数列相关的问题时更加得心应手。

五、概率问题中的奇偶性在概率问题中，奇偶性也扮演着重要的角色。

考虑以下两个例子：1. 抛掷硬币：抛一枚公正的硬币，正面和反面的概率都是1/2。

高一奇偶性知识点总结高一阶段，奇偶性是数学中一个重要的概念。

了解奇偶性有助于我们更好地解决数学问题，尤其是在代数和图形方面。

本文将就高一奇偶性知识点进行总结，希望可以对大家的学习有所帮助。

一、奇数与偶数的定义首先，我们要了解奇数和偶数的定义。

奇数是指除以2余1的自然数，例如1、3、5等；而偶数是指能够被2整除的自然数，例如2、4、6等。

二、奇偶性性质1. 偶数加偶数等于偶数：当我们将两个偶数相加，其结果仍然是偶数。

因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其和也可以表示为2的倍数。

2. 奇数加奇数等于偶数：当我们将两个奇数相加，其结果是偶数。

因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即奇数加奇数的和是偶数。

3. 偶数加奇数等于奇数：当我们将一个偶数与一个奇数相加，其结果是奇数。

因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其和可以表示为2的倍数再加上1，即偶数加奇数的和是奇数。

4. 偶数乘以偶数等于偶数：当我们将两个偶数相乘，其结果是偶数。

因为两个偶数可以表示为2的倍数，所以其积也可以表示为2的倍数。

5. 奇数乘以奇数等于奇数：当我们将两个奇数相乘，其结果是奇数。

因为两个奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数加1，即奇数乘以奇数的积是奇数。

6. 偶数乘以奇数等于偶数：当我们将一个偶数与一个奇数相乘，其结果是偶数。

因为偶数可以表示为2的倍数，奇数可以表示为2的倍数加1，所以其积可以表示为2的倍数再加上偶数，即偶数乘以奇数的积是偶数。

三、应用奇偶性解题奇偶性可以帮助我们解答一些数学问题。

例如，我们可以通过奇偶性来判断一个数的因数个数。

如果一个整数可以被其他整数整除，那么这个整数一定是偶数，因为偶数可以被2整除。

而如果一个整数不能被其他整数整除，那么这个整数一定是奇数，因为奇数只能被1和自身整除。

此外，奇偶性还可以用于证明一些数学定理。

在代数方面，我们可以利用奇偶性证明某些等式的成立性。

函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数.设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. （6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-； 若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-. 2.单调性（1）定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆.如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间；如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集.①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反. ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数. 3.最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值.设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； （2）确定)(x f -与)(x f 的关系； （3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数； 若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ； （2）作差)()(21x f x f y -=∆； （3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）. 3.求函数最大（小）值的 一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值. （3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(； （2）22)1lg()(2---=x x x f .错解分析：（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(21)1)(1(2-=+-=x x x . 显然有)(x f -＝)(x f ，∴)(x f 为偶函数.（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f . ∴)(x f 为非奇非偶函数.解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1. 定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数. （2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x .∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22，∴)(x f 为奇函数. 技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域. 又例:判断下列函数的奇偶性.（1）551)(2-+-=x x x f ； （2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ； （3）33)(22-+-=x x x f .解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1.此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数.（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()(，)(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()(，)(x f ＝－)(x f -；∴ )(x f 为奇函数.（3）∵33)(22-+-=x x x f 的定义域为{|x x =.此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =. ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性. 解析：函数定义域为R ，又11161222116)(++=++=----xxx x x x f＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅. ∴)(x f 为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-x x xx x f ，显然)(x f 为偶函数. 从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数.解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数.再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性.解析：∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论.（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间.错解分析：设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ， ∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间. 又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数， ∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间. 解析：设23)(2+-=x x x t ， 由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间. 又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间.技巧提示：函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域.运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义.又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性.解析：在定义域内任取1x ＜2x ，∴)()(21x f x f -＝1212x a x a x b x b ++-++))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调. 当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0.∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间.【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数. （1） 求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数.解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx xe a ae ae a e +=+. ∴11()()xxa e ae --0= 对一切x R ∈成立， 则10a a-=，即1a =±.∵0a >，∴1a =. （2）设120x x <<，则12121211()()xxx x f x f x e e e e-=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e eee+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<， ∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数.技巧提示：两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难.两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标.又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围.解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数.∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，即⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2. 再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________.解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴， 于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小. ∴22122122--+<--x x x即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x∴－2＜x ＜0.【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论.解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1；① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1，∴0＜)(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ，∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F . 综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数.技巧提示：该题属于判断抽象函数的单调性问题.抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点.又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1.求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a . 解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数.（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0.于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=.所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+. 因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a .【例6】设函数)(x f ＝xx 1-.对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是 .解析：方法一 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数， 因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=， 故0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法二 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0.若x m mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()(＝m xm x m 22212--＜0恒成立， 因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立， 设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g .解 ⎩⎨⎧<>-0012m m ，得m ＜－1.于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.方法三 ：显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数， 则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0. 因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立， 所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ， 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1. 于是实数m 的取值范围是)1,(--∞.技巧提示：这是一个“恒成立”问题函数，本题提供了三种解法，其中方法一和方法二较好地应用了函数的单调性.函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数.在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零.又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠， （1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。

高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。

第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。

第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。

第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。

常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。

第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。

第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。

第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。

两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。

第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。

高一数学知识点奇偶性数学中的奇偶性是指数的特性，即一个数是奇数还是偶数。

本文将介绍高一数学中涉及到的奇偶性相关的知识点，包括奇数、偶数、奇偶校验和函数的奇偶性。

1. 奇数与偶数奇数是能被2整除余1的整数，例如1、3、5等。

而偶数则是能被2整除的整数，例如2、4、6等。

由此可见，奇数与偶数在除以2的余数上有明显的差异。

在高一数学中，奇偶数的性质非常常见且重要。

奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数。

偶数与偶数相加、相乘，结果同样为偶数。

而奇数与偶数相加，结果为奇数，相乘则为偶数。

这些性质在解题和证明中经常会用到，需要加以掌握。

2. 奇偶校验奇偶校验是一种常用的信息传输校验方式，用来检测在传输过程中是否存在错误。

它利用了奇偶性的特性来实现校验。

奇偶校验的基本原理是：给定一个二进制数，统计其中1的个数，如果结果为偶数，则在数的最高位添加一个1，构成一个奇数；如果结果为奇数，则在数的最高位添加一个0，构成一个偶数。

这样，接收端在接收到数据后，再次进行奇偶校验，若结果与发送端的奇偶校验位相同，则说明传输没有错误。

奇偶校验在计算机领域中广泛应用，特别是在数据传输和存储方面。

了解奇偶校验的原理及其应用，对理解计算机相关知识具有重要的帮助。

3. 函数的奇偶性在高一数学中，函数的奇偶性也是一个重要的概念。

函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。

对于一个函数f(x)，如果对于任意x，f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。

换句话说，偶函数在x轴上对称。

例如，y = x^2就是一个典型的偶函数。

另一方面，如果对于任意x，f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数。

奇函数关于坐标原点对称。

例如，y = x^3就是一个典型的奇函数。

通过判断函数的奇偶性，我们可以简化函数图像的绘制过程，更好地理解和分析函数的性质。

总结：奇偶性是高一数学中重要的知识点。

掌握奇数与偶数的性质，了解奇偶校验的原理和应用，以及函数的奇偶性对于解题和理解数学概念都具有重要的作用。

〖一方教育〗函数的奇偶性一、函数奇偶性的判断：1、定义域关于原点对称；2、奇函数()()x f x f -=-，偶函数()()x f x f =-；3、奇函数图像关于原点对称、偶函数图像关于y 轴对称。

1、奇偶性的判断①242)(x x x f +=; ②]1,1(,2)(3-∈+=x x x x f ; ③32)(2++=x x x f ;④24)(---=x x x f ;⑤2)(=x f ;⑥]2,1(,0)(-∈=x x f .⑦22)(34--=x x x x f ; ⑧|1||1|)(++-=x x x f ; ⑨xx x x f -+-=11)1()(; ⑩作出函数32)(2--=x x x f ;的图像.并判断函数)(x f 奇偶性（11）.求证：函数⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y 是奇函数。

二、奇偶性的性质2、求值①已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．②已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．③已知f(x)=x 5+2x 3+3x-8, f(-2)=10, f(2)=④若(),155,8)(57-=-+++=f cx bx ax x f 求)5(f . ⑤设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f = 。

⑥已知函数y=()f x 是定义域为R 的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2-4x,试求方程f(x)=-3的解集。

3、求解析式①已知函数)(x f y =在R 上是奇函数,且在),0(+∞x x x f 2)(2-=,求)(x f 解析式.②已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x |x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．③已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 2-2x+1,试求函数y=f(x)的表达式，并画出y=f(x)的图象。

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。

➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。

③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。

④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。

1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。

➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。

➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。

1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。

函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；3、可逆性：)()(x f x f =-⇔)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；4、等价性：)()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=；)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f ；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。

8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

并且关于原点对称。

三、关于奇偶函数的图像特征 一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数； 即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ）偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数。

即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ）奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。

）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。

1.3.2 奇偶性Q 情景引入ing jing yin ru大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？X 新知导学in zhi dao xue函数的奇偶性由于f (x )和f (－x )必须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点．①奇函数有f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1(f (x )≠0)；②偶函数有f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1(f (x )≠0)．(3)函数奇偶性的三个关注点．①若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空集合；③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数． (4)奇、偶函数图象对称性的应用．①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数． Y 预习自测u xi zi ce1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( B )[解析] A 、C 、D 中的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，B 中的图象关于y 轴对称，是偶函数．2．下列函数为偶函数的是( B ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝x 2 C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝x 3[解析] y ＝x ＋1为非奇非偶函数；y ＝x 2＋x 为非奇非偶函数；令f (x )＝x 2，∴f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数；令g (x )＝x 3，g (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．3．(2019·南阳市高一期中测试)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b 的值为( B )A ．0B ．13C ．1D ．2[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋2a ＝0b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝134．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝__－2__.[解析] ∵x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，∴f (1)＝1＋1＝2.又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2. 5．已知函数f (x )＝x －ax 的图象经过点(2,1)．(1)求a 的值； (2)判断f (x )的奇偶性．[解析] (1)∵点(2,1)在函数f (x )的图象上， ∴1＝2－a2，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x －2x ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．f (－x )＝－x －2(－x )＝－x ＋2x ＝－(x －2x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨函数奇偶性的判断典例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x －1＋1－x ； (3)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(4)f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)－12x 2－1(x ＜0).[思路分析] (1)函数具备奇偶性时，函数的定义域有什么特点？ (2)判断函数的奇偶性应把握好哪几个关键点？[解析] (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0，∴定义域为{1}，∵定义域不关于原点对称，∴f (x )为非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝－12(－x )2－1＝－(12x 2＋1)＝－f (x )；①当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－(－12x 2－1)＝－f (x )．②综上可知，函数f (x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(x ＞0)－12x 2－1(x ＜0)是奇函数．[注意] ①由于这里的－x ＜0，因此应将－x 代入f (x )＝－12x 2－1；②由于这里的－x ＞0，因此应将－x 代入f (x )＝12x 2＋1.『规律方法』 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法：(2)图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择题、填空题中．〔跟踪练习1〕判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1x ；(2)f (x )＝－3x 2＋1；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x <0)x －x 2(x >0)； (4)f (x )＝0； (5)f (x )＝2x ＋1； (6)f (x )＝x 3－x 2x －1.[解析] (1)函数f (x )＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f (－x )＝－1x ＝－f (x )，∴f (x )＝1x是奇函数．(2)函数f (x )＝－3x 2＋1的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )＝－3(－x )2＋1＝－3x 2＋1＝f (x )，∴f (x )＝－3x 2＋1是偶函数．(3)显然函数f (x )的定义域关于原点对称．当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ＝－(x －x 2)＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x －x 2＝－(x 2＋x )＝－f (x )， ∴f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． (4)由于f (－x )＝0＝f (x )，且f (－x )＝0＝－f (x )， ∴f (x )＝0既是奇函数，又是偶函数．(5)函数f (x )＝2x ＋1的定义域为R ，关于原点对称． ∵f (1)＝3，f (－1)＝－1，－f (1)＝－3，∴f(－1)≠f(1)，∴y＝2x＋1不是偶函数，又f(－1)≠－f(1)，∴y＝2x＋1不是奇函数，∴y＝2x＋1既不是奇函数，又不是偶函数．(6)函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，故函数f(x)不具有奇偶性．命题方向2⇨奇、偶函数图象的应用典例2已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间．[思路分析]∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，根据对称性作出函数y ＝f(x)在x>0时的图象．[解析](1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．『规律方法』 1.研究函数图象时，要注意对函数性质的研究，这样可避免作图的盲目性和复杂性．2．利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称．〔跟踪练习2〕如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f (3)的值．[解析] 奇函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，则补全的图象如图，易知f (3)＝－2.命题方向3 ⇨利用函数的奇偶性求解析式典例3 已知函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋3.试求f (x )在R 上的表达式．[思路分析] (1)如何把(－∞，0)上的未知解析式转移到(0，＋∞)上的已知解析式？ (2)奇函数f (x )在x ＝0处的函数值是多少？由函数图象关于原点对称可知y ＝f (x )是奇函数．利用奇函数性质可求得解析式．[解析] ∵函数f (x )的图象关于原点对称．∴f (x )为奇函数，则f (0)＝0，设x ＜0，则－x ＞0，∵x >0时，f (x )＝x 2－2x ＋3，∴f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋2x ＋3)＝－x 2－2x －3 于是有：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3 (x ＞0)0 (x ＝0)－x 2－2x －3 (x ＜0).『规律方法』 利用函数奇偶性求函数解析式利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的关系式f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x ，然后把x 转化为－x (另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导，求得所求区间上的解析式．〔跟踪练习3〕已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0)时，f (x )的解析式 .[解析] 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1＝x 2－x －1， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝x 2－x －1. ∴当x ∈(－∞，0)时， f (x )＝x 2－x －1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi忽略函数奇偶性对定义域的限制条件导致判断错误典例4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x －1)x ＋1x －1； (2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2.[错解] (1)f (x )＝(x －1)·x ＋1x －1＝x 2－1. ∵f (－x )＝(－x 2)－1＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (2)f (－x )＝1－(－x )2|－x ＋2|－2＝1－x 2|x －2|－2，∵f (－x )≠－f (x )且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )为非奇非偶函数．[错因分析] 要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域(看定义域是否关于原点对称)．有时还需要在定义域制约条件下将f (x )进行变形，以利于判定其奇偶性．[正解] (1)由x ＋1x －1≥0得{x |x ＞1，或x ≤－1}，∵f (x )定义域关于原点不对称， ∴f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0|x ＋2|－2≠0，得－1≤x ≤1且x ≠0，定义域关于原点对称，又－1≤x ≤1且x ≠0时，f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x 2x ，∵f (－x )＝1－(－x )2－x＝－1－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．[警示] 1.函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称． 2．确定函数的定义域时，要针对函数的原解析式． X 学科核心素养ue ke he xin su yang逻辑推理与转化思想的应用——再谈恒成立问题1．在我们数学研究中，存在大量的恒成立问题，如：(1)f (x )在区间D 上单调递增，则对任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)恒成立； (2)若f (x )是奇函数，定义域为M ，则f (－x )＝－f (x )对任意x ∈M 恒成立；若f (x )是偶函数，定义域为M ，则对任意x ∈M, f (－x )＝f (x )恒成立；(3)若f (x )的最大值为M ，最小值为m ，定义域为A ，则对任意x ∈A ，有m ≤f (x )≤M . 解答这类问题时，应充分利用其恒成立的特点选取解答方法．2．遇到f (－x )与f (x )的关系问题时，应首先从函数f (x )的奇偶性入手考虑，如果f (x )不具有奇偶性，看是否存在奇(偶)函数g (x )，使f (x )用g (x )表示，再利用g (x )的奇偶性来解答．典例5 已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)等于( A )A ．－26B ．－18C ．－10D ．10[思路分析] 只有一个条件f (－2)＝10，两个待定系数a ，b ，不能通过列方程组方法求出a ，b .由f (－2)求f (2)，我们可联想函数的奇偶性，观察f (x )的表达式有什么特征？如何借助函数的奇偶性求f (2)?[解析] 解法一：令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数，从而g (－2)＝－g (2)，又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10，∴g (－2)＝18，∴g (2)＝－g (－2)＝－18.∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26.解法二：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝(－2)5＋a (－2)3＋b (－2)－8 ①f (2)＝25＋a ·23＋b ·2－8 ②，①＋②得f (2)＋f (－2)＝－16.又f (－2)＝10，∴f (2)＝－26. K 课堂达标验收e tang da biao yan shou1．函数y ＝f (x )，x ∈[－1，a ](a >－1)是奇函数，则a 等于( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．无法确定[解析] 由题意得－1＋a ＝0，∴a ＝1. 2．已知函数f (x )＝ax 2(a >0)，则必有( B ) A ．f (a )<f (－a ) B ．f (a )＝f (－a ) C ．f (a )>f (－a )D ．f (a )＝f (a ＋1) [解析] ∵f (－x )＝a (－x )2＝ax 2＝f (x )， ∴f (x )为偶函数，∴f (a )＝f (－a )．3．对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，都有( C ) A ．f (x )－f (－x )>0 B ．f (x )－f (－x )≤0 C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0 [解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0， ∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故选C ．4．函数f (x )＝x 2－2mx ＋4是偶函数，则实数m ＝__0__. [解析] f (x )为偶函数，则对称轴为x ＝m ＝0.5．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解析](1)因为f(x)是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f(3)＜f(1)．A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)＝|x|＋1是(B)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数[解析]f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．2．若函数y＝f(x)为奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数f(x)的图象上的是(D) A．(a，－f(a))B．(－a，－f(－a))C．(－a, f(a))D．(－a，－f(a))[解析]∵－f(a)＝f(－a)，∴点(－a，－f(a))在y＝f(x)的图象上，故选D．3．下列说法正确的是(B)A．偶函数的图象一定与y轴相交B．奇函数y＝f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0C．奇函数y＝f(x)的图象一定过原点D．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析]A项中若定义域不含0，则图象与y轴不相交，C项中定义域不含0，则图象不过原点，D项中奇函数不一定单调，故选B．4．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(D)A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数[解析]令F1(x)＝f(x)·f(－x)，F2(x)＝f(x)|f(－x)|，F3(x)＝f(x)－f(－x)，F4(x)＝f(x)＋f(－x)，则F1(－x)＝f(－x)·f(x)＝F1(x)，即F1(x)为偶函数；F2(－x)＝f(－x)·|f(x)|≠±F2(x)，即F2(x)为非奇非偶函数；F3(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F3(x)，即F3(x)为奇函数；F4(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F4(x)，即F4(x)为偶函数．结合选项知D正确．5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝(C)A．－2B．－1C．1D．2[解析]∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a，且函数是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴1－a＝0，∴a＝1.6．已知f(x)＝ax7－bx5＋cx3＋2，且f(－5)＝m，则f(5)＋f(－5)的值为(A)A．4B．0C．2m D．－m＋4[解析]由f(－5)＝a(－5)7－b(－5)5＋c(－5)3＋2＝－a·57＋b·55－c·53＋2＝m，得a·57－b·55＋c·53＝2－m，则f(5)＝a·57－b·52＋c·53＋2＝2－m＋2＝4－m.∴f(5)＋f(－5)＝4－m＋m＝4.故选A．二、填空题7．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝__－x＋1__.[解析]设x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－x＋1.∴x>0时，f(x)＝－x＋1.8．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝__12__.[解析]∵当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，∴f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－16＋4＝－12，11又∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－12，∴f (2)＝12.三、解答题9．已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，求f (x )，g (x )的表达式．[解析] f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数得，f (x )－g (x )＝x 2－x －2又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得：f (x )＝x 2－2，g (x )＝x .B 级 素养提升一、选择题1．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( C )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称[解析] ∵f (x )＝1x －x (x ≠0)，∴f (－x )＝－1x ＋x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，所以f (x )＝1x －x 的图象关于原点对称，故选C ．2．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a 等于( A )A ．12B ．23C ．34D ．1[解析] 解法一：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－x(－2x ＋1)(－x －a )＝－x(2x ＋1)(x －a )，即(2x －1)(x ＋a )＝(2x ＋1)(x －a )恒成立，整理得(2a －1)x ＝0，∴必须有2a －1＝0，∴a ＝12，故选A ．解法二：由于函数f (x )是奇函数，所以必有f (－1)＝－f (1)，即1－1－a ＝－13(1－a )，即1＋a ＝3(1－a )，解得a ＝12，故选A ．123．已知f (x )＝x 5－2ax 3＋3bx ＋2，且f (－2)＝－3，则f (2)＝( C )A ．3B ．5C ．7D ．－1[解析] 令g (x )＝x 5－2ax 3＋3bx ，则g (x )为奇函数，∴f (x )＝g (x )＋2，f (－2)＝g (－2)＋2＝－g (2)＋2＝－3，∴g (2)＝5，f (2)＝g (2)＋2＝7.4．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( A )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)[解析] ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，即f (－π)>f (3)>f (－2)．二、填空题5．已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为__5__.[解析] ∵f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－6，所以(－3)2＋a ×(－3)＝－6，解得a ＝5.6．设奇函数f (x )的定义域为[－6,6]，当x ∈[0,6]时f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为__[－6，－3)∪(0,3)__.[解析] 由f (x )在[0,6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0,3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6,0)上，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为[－6，－3)∪(0,3)．三、解答题7．已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25，求函数f (x )的解析式． [解析] ∵f (x )是(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0，∴b ＝0，又f (12)＝25，∴12a 1＋(12)2＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x 1＋x 2.13 8．奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的减函数，若f (m －1)＋f (3－2m )<0，求实数m 的取值范围．[解析] 原不等式化为f (m －1)<－f (3－2m )．∵f (x )是奇函数，∴f (m －1)<f (2m －3)．∵f (x )为(－1,1)上的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －1<1－1<2m －3<1m －1>2m －3，解得1<m <2，故实数m 的取值范围是(1,2)．9．已知f (x )为奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，求m －n 的值．[解析] ∵x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝(x ＋32)2－14， ∴当x ∈[－3，－1]时，f (x )min ＝f (－32)＝－14，f (x )max ＝f (－3)＝2. ∵f (x )为奇函数，∴f (x )在x ∈[1,3]上的最小值和最大值分别是－2，14， ∴m ＝14，n ＝－2. ∴m －n ＝14－(－2)＝94， 即m －n 的值为94.。

高一数学教案函数的奇偶性5篇使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数奇偶性的方法.高一数学教案函数的奇偶性1一、内容与解析 (一)内容：基本初等函数习题课(一)。

(二)解析：对数函数的性质的掌握，要先根据其图像来分析与记忆，这样更形像更直观，这是学习图像与性质的基本方法，在此基础上，我们要对对数函数的两种情况的性质做一个比较，使之更好的'掌握.二、目标及其解析：(一)教学目标(1)掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质及其奇偶性.(二)解析(1)基本初等函数的学习重要是学习其性质，要掌握好性质，从图像上来理解与掌握是一个很有效的办法.(2)每类基本初类函数的性质差别比较大，学习时要有一个有效的区分.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易区分各函数的图像与性质，不容易抓住其各自的特点。

四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用P5高一数学教案函数的奇偶性2【教学目标】【知识目标】：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.【能力目标】通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力.【德育目标】通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程. 【教学重点】函数单调性的概念、判断及证明. 函数的单调性是学生第一次接触用严格的逻辑语言证明函数的性质，并在今后解决初等函数的性质、求函数的值域、不等式及比较两个数的大小等方面有广泛的实际应用，【教学难点】归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性. 由于判断或证明函数的单调性，常常要综合运用一些知识(如不等式、因式分解、配方及数形结合的思想方法等)所以判断或证明函数的单调性是本节课的难点.【教材分析】函数的单调性是函数的重要性质之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性的联系在一起，所以本节课在教材中的作用如下 (1)函数的单调性起着承前启后的作用。

高一数学第四讲 函数的奇偶性一、知识要点：1、函数奇偶性定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )既不是奇函数也不是偶函数如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

2、函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法（1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域是否关于原点对称；②确定f (－x )与f (x )的关系；③作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数；若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称。

(2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于y 轴对称的函数为偶函数，（3）简单性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇二、基础练习：1. f (x ),g (x )是定义在R 上的函数，h (x )=f (x )+g (x )，则f (x )，g (x )均为偶函数,h (x )一定为偶函数吗？ 反之是否成立？2.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是①y =f (|x |); ②y =f (-x ); ③y =x ·f (x ); ④y =f (x )+x .3.设函数若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是4.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 2-2x ，则在x<0上f (x )的表达式为5.设f (x )是R 上的偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，若x 1＜0,且x 1+x 2＞0,则 f (x 1)与f (-x 2)的大小关系是三、例题精讲：题型1： 函数奇偶性的判定例1.判断下列函数的奇偶性：① x x x x f -+-=11)1()(,②29|4||3|x y x x -=++-,③22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨->⎪⎩④2211)(x x x f --= 变式：设函数f （x ）在（－∞，+∞）内有定义，下列函数：y =－|f （x ）|；②y =xf （x 2）；③y =－f （－x ）；④y =f （x ）－f （－x ）。

高一奇偶性知识点大全在数学学科中，奇偶性是一个基本的概念，对于高一学生来说，了解和掌握奇偶性的知识点对于解题非常重要。

本文将为大家介绍一些高一奇偶性的知识点，希望能够帮助同学们更好地理解和应用这一概念。

一、奇偶数的定义奇数和偶数是自然数的两个基本分类。

奇数是指不能被2整除的自然数，例如1、3、5等；偶数是指可以被2整除的自然数，例如2、4、6等。

奇数除以2会有余数，而偶数除以2得到的商是整数。

二、奇偶性的运算法则1. 奇数和奇数相加得到偶数。

例如，3 + 5 = 8。

2. 奇数和偶数相加得到奇数。

例如，3 + 4 = 7。

3. 偶数和偶数相加得到偶数。

例如，4 + 6 = 10。

4. 偶数乘以任意数得到偶数。

例如，2 × 3 = 6。

5. 奇数乘以奇数得到奇数。

例如，3 × 3 = 9。

三、奇偶性的应用1. 奇偶数的相加相减(1) 奇数与奇数相减得到偶数。

例如，5 - 3 = 2。

(2) 奇数与偶数相减得到奇数。

例如，7 - 4 = 3。

(3) 偶数与偶数相减得到偶数。

例如，8 - 2 = 6。

2. 奇偶数的乘积(1) 偶数与任意数相乘得到偶数。

例如，2 × 5 = 10。

(2) 奇数与3的乘积一定是奇数。

例如，3 × 9 = 27。

3. 奇偶数的除法在除法运算中，有一个基本原则：一个奇数除以另一个奇数，或者一个偶数除以另一个偶数，结果一定是奇数；而一个奇数除以偶数的结果一定是偶数。

四、奇偶数在排列组合中的应用1. 偶数次排列的奇数当我们在计算排列组合问题时，如果有奇数个元素需要排列，那么排列的结果一定是奇数个。

例如，对于A、B、C三个元素的排列：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共有6个排列结果。

2. 奇数次排列的偶数相反地，当我们有偶数个元素需要排列时，排列的结果一定是偶数个。

例如，对于A、B、C、D四个元素的排列：ABCD、ABDC、ACBD、ACDB、ADBC、ADCB、BACD、BADC、BCAD、BCDA、BDAC、BDCA、CABD、CADB、CBAD、CBDA、CDAB、CDBA、DABC、DACB、DBAC、DBCA、DCAB、DCBA，共有24个排列结果。

高一必修一数学奇偶性知识点在高一必修一的数学学习中，奇偶性是一个非常重要的知识点。

奇偶性在数学中具有广泛的应用，不仅在解方程、证明等数学题目中有用，还在实际生活中有很多应用。

下面我们将详细介绍高一必修一数学中与奇偶性相关的知识点。

一、整数的奇偶性整数的奇偶性是指整数的性质，可以判断一个数是奇数还是偶数。

整数的奇偶性是通过整除2来确定的。

当一个整数除以2的余数为0时，它是一个偶数；当余数为1时，它是一个奇数。

二、四则运算中的奇偶性在四则运算中，奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数；偶数与偶数相加、相乘，结果也是偶数。

而奇数与偶数相加、相乘，结果则是偶数。

三、幂的奇偶性在幂的运算中，奇数的任意次幂都是奇数，而偶数的任意次幂都是偶数。

四、多项式的奇偶性对于多项式来说，奇次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相同；偶次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相反。

五、函数的奇偶性在函数的奇偶性中，如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。

六、图形的奇偶性在几何图形中，奇函数的图形关于坐标原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。

七、应用举例1. 在解一元二次方程时，可以根据方程中各项的系数的奇偶性，来判断方程的根的奇偶性，从而简化解题过程。

2. 在证明数学命题时，奇偶性也经常被用到。

通过分析题目中给出的条件和结论的奇偶性，可以选择合适的方法进行证明。

3. 在计算机科学中，奇偶性也常常被用于数据校验，如奇偶校验位、CRC校验等。

综上所述，高一必修一数学中的奇偶性知识点涉及整数、四则运算、幂、多项式、函数和图形等方面。

掌握奇偶性的规律和应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解题能力。

因此，我们要认真学习和掌握这一知识点，为接下来的学习打下良好的基础。