专题12 对数与对数函数(课后层级训练)-2020年新高考数学一轮复习之考点题型深度剖析 (1)

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________． 【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值； （3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（ ） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________． 【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒， 所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35； （2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)． 【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误， 故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________． 【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-， 显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称， 在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减， 又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >， 则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>， 当2t x =时，a c b >>， 当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数； 又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =； 又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增， 故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或 解得12x x ><-或 故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数 【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ， 有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误， 对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误， 故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围； （2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由 【解】解：（1）因为函数的定义域为R ， 则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去； 当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立， 令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>． 故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（ ）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =， 所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >， 所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增； 则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<， 即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭； 故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（ ）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =， 若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭； 故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（ ） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116， 当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立， 即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立， 由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >， 综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（ ）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确； 对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确； 对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+， 对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞． 故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值； 【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-， 因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <， 因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立， 因为()f x 在区间[]1,2上单调递减， 所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2， 所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++， 所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2， 因为1a >，则()9g x =时最大值为2， 即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围． 【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。

《对数与对数函数》专题1．对数的概念、性质及运算2．(1)换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，c >0，且c ≠1，b >0)；(2)log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .(3)log am b n ＝n mlog a b3．对数函数的图象（1不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大， 如图，0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大；在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． （2）指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．4．对数函数的性质题型一 对数的运算1．(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________2．2log 23＋log 43＝_______3．log 23·log 38＋(3)log 34＝________.4．log 535＋2log 122－log 5150－log 514＝________.5．(lg 3)2－lg 9＋1－lg 13＋8130.5 log 5＝________.6．[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝________7．⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100-12＝________.8． lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(3lg 2)2＋lg 16＋lg 0.06＝________.9． 2312log ＋lg 8＋32lg 25＋⎝⎛⎭⎫925-12＝________.10．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x-12等于( )A ．13 B.36 C ．33 D.2411．(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫45a (a >0，且a ≠1)的值为________.12．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.13．log 225·log 34·log 59＝________.14．已知log 62＝p ，log 65＝q ，则lg 5＝________(用p ，q 表示)．15．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.16．已知4a ＝5b ＝10，则1a ＋2b ＝________.17．已知log 147＝a ，log 145＝b ，则用a ，b 表示log 3528＝________.18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝________.19．对任意的正实数x ，y ，下列等式不成立的是( )A ．lg y －lg x ＝lg y xB ．lg(x ＋y )＝lg x ＋lg yC ．lg x 3＝3lg xD ．lg x ＝ln xln 10题型二 对数函数的图象及应用类型一 对数函数图象的辨析 1．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图像为( )3．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的大致图象是( )4．函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )5．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )6．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a ＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 3＜x 1B ．x 1＜x 3＜x 2C ．x 1＜x 2＜x 3D ．x 3＜x 2＜x 1类型二 对数函数图象的应用1．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．2．函数y ＝log a (x －2)＋2恒过定点P ，则点P 的坐标为________．3．函数y ＝log 3|2x －m |的图象关于x ＝12对称，则m ＝________.4．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________.5．已知函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝2x ＋b 的图象上，则f (log 23)＝_______6．已知函数f (x )＝|ln x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)7．已知函数f (x )＝|log 12x |的定义域为⎣⎡⎦⎤12，m ，值域为[0,1]，则m 的取值范围为________．8．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．题型三 对数函数的性质及应用类型一 与对数有关的函数定义域问题 1．函数y ＝log 2x －1的定义域为________．2．函数f (x )＝1ln (3x ＋1)的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－13，0∪(0，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞ D ．[0，＋∞)3．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎝⎛⎦⎤12，14．若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．[0,3)C ．(0,3]D ．[0,3]类型二 与对数有关的最值（值域）问题1．函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)的递增区间为_____，值域为________．2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.3．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为____________．4．函数f (x )＝log 2 x ·log 2(2x )的最小值为________．5．已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x(0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________． .6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋8，x ≤2，log ax ＋5，x >2(a >0，a ≠1)的值域为[6，＋∞)，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1,2)C ．(1,2]D ．[2，＋∞)7．若函数f (x )＝log a (x 2－26x ＋a )(a >0，且a ≠1)有最小值12，则实数a 的值等于________．类型三 与对数有关的单调性问题1．函数y ＝log 12(3x －1)的单调递减区间为________．2．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)3．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为__________，单调递增区间为__________．4．已知函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞)5．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)6．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫0，12上恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间是____________．7．设函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是( )A ．f (a ＋2)＞f (3)B ．f (a ＋2)＜f (3)C ．f (a ＋2)＝ f (3)D ．不能确定类型四 与对数有关的比较大小问题1．设a ＝log 50.5，b ＝log 20.3，c ＝log 0.32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a >b >c2．设a ＝log 3π，b ＝log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a3．已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b4．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 2 15，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b5．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a6．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c7．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a8．设a ＝2 01812019，b ＝log 2 018 2 019，c ＝log 2 019 2 018，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a9．若实数a ，b 满足a ＞b ＞1，m ＝log a (log a b )，n ＝(log a b )2，l ＝log a b 2，则m ，n ，l 的大小关系为( )A ．m ＞l ＞nB ．l ＞n ＞mC ．n ＞l ＞mD ．l ＞m ＞n10．若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b类型五 与对数有关的不等式问题1．已知log a 34<1，那么a 的取值范围是________．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧41－x，x ≤1，1－log 14x ，x ＞1，则满足不等式f (x )≤2的实数x 的取值集合为________．5．已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．6．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1类型六 对数函数性质的综合问题1．已知函数f (x )＝lg(1＋4x 2＋2x )＋2，则f (ln 2)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝________．2．已知函数f (x )＝ln (1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.3．已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值等于________．4．若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤43，3B.⎣⎡⎦⎤43，2C.⎣⎡⎭⎫43，2D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞5．(理科做)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( )A ．x 1x 2<0B ．x 1x 2＝1C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<16．(理科做)设函数f (x )＝|log a x |(0＜a ＜1)的定义域为[m ，n ](m ＜n )，值域为[0,1]，若n －m 的最小值为13，则实数a的值为________.7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.8．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最小值为0，求出a 的值．9．(理科做)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )＝ln x ＋1x －1＞ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．。

高三一轮真题汇编考点13对数与对数函数【考情分析】高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度【考纲要求】1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数一、选择题1.（2019•全国卷Ⅰ）已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a2. （2019•全国卷Ⅱ）若a>b,则（）A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|3．(2018·天津高考)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝121log3，则a，b，c的大小关系为() A．a>b>c B．b>a>cC．c>b>a D．c>a>b4．(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln (1－x) B．y＝ln (2－x)C．y＝ln (1＋x) D．y＝ln (2＋x)5．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是(参考数据：lg3≈0．48)()A．1033B．1053C．1073D．1093 6．(2016·全国卷Ⅰ)若a>b>1，0<c<1，则()A．a c<b c B．ab c<ba cC．a log b c<b log a c D．log a c<log b c二、填空题7．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．5 2，a b＝b a，则a＝________，b＝________．8．(2016·浙江高考)已知a>b>1．若log a b＋log b a＝参考答案1. 答案：B解析：因为a=log 20.2<log 21=0，所以a<0.因为b=20.2>20=1，所以b>1.因为c=0.20.3<0.20=1，所以0<c<1.所以a<c<b.故本题正确答案为B.2. 答案：C解析：A 项，因为a>b ，所以a -b>0，但不能确定是否满足a -b>1，当0<a -b<1时，ln(a -b )<0，故A 项错误；B 项，设f(x)=3x ，可知图象如图1，则3a >3b ，故B 项错误；C 项，设g(x)=x 3，可知图象如图2，则a 3>b 3，则a 3-b 3>0，故C 正确；D 项，假设a=1，b=﹣2，则|a|=1<|b|=2，故D 错误.故本题正确答案为C.3. 答案： D解析： 由已知得c ＝log 23，∵log 23>log 2e>1，b ＝ln 2<1，∴c >a >b ，故选D ．4. 答案： B解析： 函数y ＝ln x 过定点(1，0)，(1，0)关于x ＝1对称的点还是(1，0)，只有y ＝ln (2－x )过此点，故选B ．5. 答案： D解析： 由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0．48－80×1＝93．28．又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，故与M N最接近的是1093．故选D ． 6. 答案： C解析： 解法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错误；∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c－1在x ∈(0，＋∞)上是减函数， ∴b c －1>a c －1，又ab >0，∴ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故选C ．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12．易验证A ，B ，D 均是错误的，只有C 正确．7. 答案： －7解析： 根据题意，有f (3)＝log 2(9＋a )＝1，可得9＋a ＝2，所以a ＝－7．8. 答案： 4 2解析： 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a ＝(a )a ，即a a ＝a a 2，亦即a ＝a 2，解得a ＝4，∴b ＝2．。

第七节对数与对数函数••>必过数材美概念如果a x= N(a>0,且a* 1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x= log g N, 其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x= N? x= log a N log a1= 0, log a a = 1, alog a N = N运算法则log a(M N)= log a M + log a Na > 0,且a * 1, M > 0, N > 0 log a N= lo g a M —log a Nlog a M n= nlog a M(n € R)换底公式换底公式：log a b= j°g：(a> 0，且a * 1, c> 0,且c* 1, b>0)y= log a x a > 10 v a v 1图象yA1=1円叫..v」o((1,0) 屛i I ! r=l叫性质定义域为(0,+^ )值域为R过定点110!，即x= 1时，y= 0当x> 1 时，y> 0;当0v x v 1 时，y v 0当x> 1 时，y v 0;当0v x v 1 时，y> 0在区间(0,+s )上是增函数在区间(0,+s )上是减函数3.反函数指数函数y= a x(a>0且a* 1)与对数函数y= log a x(a>0且a* 1)互为反函数，它们的图象关于直线y= x对称.［小题体验］1.函数f(x)= log a(x+ 2)—2(a> 0,且a* 1)的图象必过定点_____________答案：(一1,—2)2.函数f(x)= Iog5(2x+ 1)的单调增区间是答案：（-1 +8 ] 1 2,+丿3. （2015 浙江高考）计算：logT^ = ________ ，2log23+ Iog43 =解析：Io g^22= Io g2 2 —Iog22= 1—1=—2；2log23+ Iog43= 2Iog23 2Iog43= 3X 2Iog43= 3 x 2Iog2 3= 3 3.答案：—1 3 3••>必过易措美1. 在运算性质Iog a M a= aIog a M中，要特别注意条件，在无M > 0的条件下应为Iog a M =a og a|M|( a N*,且a为偶数).2. 解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1) 务必先研究函数的定义域；(2) 注意对数底数的取值范围.［小题纠偏］1.函数y= 7Iog o.5(4x—3 的定义域为_________.答案：3, 12.函数f(x) = Iog(x+1)(2x—1)的单调递增区间是答案：■，+m考点一对数式的化简与求值基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （易错题）设a, b, c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（）A. Iog a b Iog c b= Iog c aB. Iog a b Iog c a = Iog c bC. Iog a（bc）= Iog a b Iog a cD. Iog a（b+ c）= log a b+ Iog a c解析：选B利用对数的换底公式进行验证，log a b Iog c a =善盍；Iog c a = Iog c b.25 5 322. （2018 台州模拟）lg16—2lg$ + lg81 等于（）解析：选 A Ig 16-2|g 9 + Ig 81= lg ff —lg 81+ Ig 8H lg 詩21 X 32y = Ig 2’ 故选 A.3•计算 Ig 1-Ig 25 moo — 2= __________答案：—20iog 2X , x >0,—x13 + 1, X w 0,解析：因为 f(1) = Iog 21 = 0，所以 f(f(1)) = f(0) = 2. 因为 Iog 32 v 0,所以 f Iog 3~ = 3 — Iog 31 + 1=3Iog 32 + 1= 2+ 1 = 3.答案：5［谨记通法］对数运算的一般思路(1) 将真数化为底数的指数幕的形式进行化简； (2) 将同底对数的和、差、倍合并；(3) 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用.考点二对数函数的图象及应用重点保分型考点一一师生共研［典例引领］设方程10x = |Ig( — x)|的两个根分别为X 1, X 2,则()A . X 1X 2V 0B . X 1X 2= 0D . 0 v x 1X2v 1解析：选D 作出y = 10x 与y = |Ig(— x)|的大致图象，如图. 显然 X 1< 0, X 2V 0.不妨令 X 1< X 2,贝U X 1V — 1 v X 2V 0,所以 10x 1= Ig( — X 1), 10x 2=— Ig(— X 2), 此时 10x 1v 10x 2, 即 Ig(— X1)v — Ig(— X 2),A • ig 2B . Ig 3 D . Ig 5解析:原式=(Ig 2 2 — Ig 52)X ioo2 = Ig •-—2X 10= Ig 10 X 10= — 2 X 10=— 20.4.已知函数f(x) = 则 f(f(1)) + f Iog 3 1 的值是所以 f(f(1)) + f Iog 31 =2 + 3= 5.C . X 1X 2 > 1由此得Ig(x1X2) v 0,所以0 v X1X2< 1,故选D.［由题悟法］应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间卜值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.⑵一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.［即时应用］1.函数f(x)= ln|x—1|的图象大致是()解析：选 B 当x> 1 时，f(x)= ln(x—1),又f(x)的图象关于x= 1对称，故选 B.2. (2018温州适应性训练)若X1满足2x+ 2x= 5, X2满足2x+ 2log2(x—1) = 5,则刈+ X2=( )5A.QB. 3C.7D. 4解析：选 C 2x= 5—2x,2log2(x —1) = 5 —2x, 即2x—1= 5—x, log2(x —1) = | —x,作出y =2x—1,y炖-」/ 厂121Q' 5/ yy= 2 —x, y= log2(x—1)的图象(如图).由图知y= 2x—1与y= log2(x—1)的图象关于y= x—1对称，它们与y= ；—x的交点A, B的中点为y= 2—x与y= x—1的交点C, Xc = x1^x2= 7,二X1 + X2 = 2，故选 C.考点三对数函数的性质及应用题点多变型考点一一多角探明［锁定考向］高考对对数函数的性质及其应用的考查，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、 中、高档都有.常见的命题角度有： (1) 比较对数值的大小； (2) 简单对数不等式的解法； (3) 对数函数的综合问题.［题点全练］角度一：比较对数值的大小1.设 a = log 3n b = log2^3, c = log^2，贝U a , b , c 的大小关系是( )A . a >b >cB . a >c >bC . b >a >cD . b >c >a1b2lo g 23解析：选 A 因为 a = log 3 n> log 33 = 1, b = log^'3< log 22 = 1，所以 a > b ;又-=1 -------------c 12log 32 =(log 23)2> 1, c > 0,所以 b > c.故 a > b > c.角度二：简单对数不等式的解法log 2x , x > 0,2•设函数f(x) =1|iog?(— x ) x < 0.A . (— 1,0) U (0,1)C . (— 1,0)U (1 ,+s )a > 0,由题意得*|og 2a >— log 2ara < 0, 或・—log 2(— a > log 2( — a 》解得a > 1或—1 < a < 0.故选C. 角度三：对数函数的综合问题_x3.已知函数 f(x — 3)= log«63X(a >0, a ^ 1). (1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； ⑵当0< a < 1时，求函数f(x)的单调区间. 解：令 x — 3 = u ,贝U x = u + 3,若f(a)>f(— a),则实数a 的取值范围是(B . ( — 3 — 1) U (1 ,+s )D . ( — 3, — 1) U (0,1)解析：选C3+ u于是f(u)= log a (a> 0, a M 1,—3< u< 3),3 —u所以f(x)= log (a> 0, —3v x v 3).3 —x 3+ x(1)因为f(—x) + f(x)= log a3—+ log a3—=log a1 = 0,3 十x 3—x所以f(—x)=—f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.人3+ x 6⑵令t=尸一1—x—3则t在(—3,3)上是增函数，当0 v a v 1时，函数y= log a t是减函数,所以f(x)= log a^—(0 v a v 1)在(一3,3)上是减函数,即函数f(x)的单调递减区间是(一3,3).［通法在握］1.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤:“同增异诚”原则判斷歯数的单调性2.比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母, 则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.⑶若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.［演练冲关］1. (2019 杭州模拟)已知函数f(x) = log a(8 —ax)(a> 0,且a^ 1),若f(x) > 1 在区间［1,2］上恒成立，则实数a的取值范围为__________ .解析：当a> 1时，f(x)> 1等价于8—ax> a在［1,2］上恒成立,即a v x+，min=殳解得1v a v 8.当0 v a v 1时,f(x) > 1等价于0v 8 —ax v a在［1,2］上恒成立，即a> *二max且a vmin ,解得a>4且a v 4，故不存在.答案：1322.已知函数 f(x)= log 4(ax + 2x + 3). (1)若f(1) = 1，求f(x)的单调区间；⑵是否存在实数a ,使f(x)的最小值为0?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解：(1)因为 f(1) = 1,所以 log 4(a + 5) = 1, 因此 a + 5= 4, a = — 1, 这时 f(x)= log 4( - x 2+ 2x + 3). 由一x 2 + 2x + 3>0，得—1 v X V 3, 函数f(x)的定义域为(—1,3). 令 g(x)=— x 2+ 2x + 3,则g(x)在(— 1,1)上递增，在(1,3)上递减. 又y = iog 4x 在(0 ,+s )上递增，所以f(x)的单调递增区间是(一1,1)，递减区间是(1,3).⑵假设存在实数a ,使f(x)的最小值为0,则h(x)= ax 2 + 2x + 3应有最小值 1,<a> 0,因此应有 3a — 1a故存在实数a = 2，使f(x)的最小值为0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1. (2018金华温州台州高三开学联考 )若2a = 3b = 6：则(1 1 A, b =1 1 D.2a +2b =解析：选A 令2 = 3b = 6：= k ,综上可知，实数a 的取值范围为 =1, 1解得a = *B 2 + 2 = a b8.1 b 1 cig k lg 2’则1+b=去+需=说=:.2. （2019 舟山模拟）设a= log50.5, b= log20.3, c= log0.a2,则a, b, c 的大小关系是（）A . b < a v cB . b < c < aC ：—x e — e - f( — x)= — x 十 e x =— x 十 e —x =一 f(x),e 十e e 十e••• f(x)是单调递增的奇函数,1又 f(lo g4a) = f( — log 4a) = — f(log 4a),1则不等式 2f(log 4a) + f(log4a) + f(1)< 0 化为 f(log 4a) + f(1)< 0, 即即 f(log 4a)< — f(1) = f(— 1 11),则 log 4a < — 1 = log 4^，得 0<a w 45 b a I~t r4. (2016 浙江高考)已知 a > b > 1,若 log a b + log b a = ?, a = b ,贝V a =1 5 1 解析：■/ log a b + log b a = log a b + jog O b = 2，二 lo9a b = 2 或？.1 2 T a > b > 1,二 log a b v log a a = 1, • log a b =?，二 a = b .•/ a b = b a ,「. (b 2)b = bb 2,即 b 2b = bb 2,2•- 2b = b , • b = 2, a = 4. 答案：4 25. (2018杭州模拟)已知函数y = log1(x 2— ax + a)在区间(2,十^ )上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ______________ .解析：令t = x 2— ax + a ，则函数f(x)在区间(2，十^)上是减函数，可得函数t 在区间(2,C . c < b < aD . a < b < c10解析：选 B a = log 50.5> log 50.2 =— 1, b = log 20.3 < Iog 20.5=— 1, c = log 0.32 > log o.r ^一 54^3, log 5°.5 =鬻lg 2 lg 2—g 〒聶2即c < a ，故b < c < a .故选B.3. (2018金华名校联考)已知函数 x — xf(x)=匕，若实数 a 满足 2f(log 4a)十 f(log~a)十f(1) w 0，贝U a 的取值范围是(A . (0,4]D . [1,4]解析：选B-f(x)=e x+ e2xe r — ""2x 1e + 12x —1" + 1p 厂2 = 1 —F 2 ，定义域为 R , e 十1 e 十1s x e x — e x,b =B .w 2,+ s)上是增函数，且t(2) > 0，所以2解得a w 4，所以实数a的取值范围t 2 = 4- a> 0,是(—8 , 4].答案：(一8，4]二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x> 0时，f(x)= 3x+ m(m为常数),则f( - log a5)的值为()A. 4B.- 4C . 6D . - 6解析：选B •••函数f(x)是定义在R上的奇函数，••• f(0) = 0, 即3°+ m= 0，解得m=—1,f(log35) = 3log35—1 = 4,•- f(—log35)=—f(log35) =—4.2. (2018丽水月考)函数f(x) = lg(4x—2x+1+ 11)的最小值是( )A. 10B. 1C . 11D . lg 11解析：选 B 令2x= t, t> 0,贝U 4x—2x+1+ 11 = t2—2t+ 11= (t—1)2+ 10 > 10,所以lg(4x —2x+1+ 11)> 1,即所求函数的最小值为 1.故选B.3. (2019丽水模拟)已知对数函数f(x)= log a x是增函数，则函数f(|x|+ 1)的图象大致是解析：选B由函数f(x)= log a x是增函数知，a> 1.f(|x|+ 1)= log a(|x|+ 1)=l0ga(X + 1 ), x> 0, log a[ —(x—1 J , X V 0.由对数函数性质知选 B.1 一x 14. (2018 金华模拟)已知函数f(x)= lg^^x，若f(a) = ?,则f( —a)=( )A. 2B.—21 一 x解析：选D T f(x)= Ig^L 的定义域为—1v x v 1,1十x4 _I *n *••• f (— x) = Ig =— Ig =— f(x),1—x 1 十x • f(x)为奇函数,1• f(— a) = — f(a) = — 2.5. (2016 浙江高考)已知 a , b >0 且 1, 1,若 log a b > 1,则( )A . (a —1)(b — 1)v0 B . (a — 1)(a — b)>0 C . (b — 1)(b — a) vD .(b — 1)(b — a)>0解析：选 D T a , b > 0 且 a z 1, b ^ 1,•••当 a > 1,即 a — 1> 0时，不等式 log a b > 1 可化为 alog a b >a 1,即卩 b >a > 1, • (a — 1)(a — b)v 0, (b — 1)(a — 1)>0, (b — 1)(b — a)>0.当 0v a v 1, 即a — 1 v 0时，不等式log a b > 1可化为alog a b v a 1, 即 0 v b v a v 1,• (a — 1)(a — b)v 0, (b — 1)(a — 1)>0, (b — 1)(b — a)>0.综上可知，选D.6. (2018杭二月考)已知2x = 72y = A ,且^十y = 2，则A 的值是 _____________ . 1 11 1 2解析：由 2x = 72y = A 得 x = lo g 2A , y = 2log 7A ，则［十 y =耐诅十^gA = lo g A 2+ 2log A 72=log A 98= 2, A = 98.又 A >0,故 A = 98= 7 2. 答案：7 27.若方程2log 2X — log 2(x — 1) = m + 1有两个不同的解，则实数m 的取值范围是 ________ 2 2即x > 1,方程化简为log 2亠 =m + 1,故亠 =2m +1,即x — 1x — 1-m2 >1,1 —2 十 2 > 0,］△= 22m + 2— 4X 2m +1> 0,解得m > 1.答案：(1，十^ )28.已知函数 f(x)= |log 3x|,实数 m , n 满足 0v m v n ，且 f(m)= f(n)，若 f(x)在［m ,n ］上的最大值为2,则m =—解析：由题意知'>0,lx —1> 0, x 2— 2m 十1x + 2m +1= 0,当x > 1时，此方程有两个不同的解,所以$［—log 3x , O v x V 1,解析：因为f(x)= |log 3x|=所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1, +|lOg 3X , x > 1,O v m v 1,O v m v 1, g )上单调递增，由 O v m v n 且f(m) = f(n)，可得n > 1,贝U n > 1,所log j n =— log ^m,mn = 1,以O v m 2v m v 1,则f(x)在［m 2,i )上单调递减，在(1 , n ］上单调递增，所以f(m 2)>f(m)= f(n), 则f(x)在［m 2, n ］上的最大值为f(m 2)=— log 3m 2= 2,解得m =1，则n = 3，所以十=9.答案：99.已知f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x > O 时，f(x) = log a (x + 1)(a >O ,且a 丰1). (1) 求函数f(x)的解析式；⑵若一1 v f(1) v 1,求实数a 的取值范围. 解：(1)当 x v O 时，一x >O , 由题意知 f(— x)= log a ( — x + 1),又f(x)是定义在 R 上的偶函数，••• f( — x) = f(x). • ••当 x v O 时，f(x) = log a (— x + 1),loga(x + 1 , x > O ,•函数f(x)的解析式为f(x)=*'‘l !oga ( — x + 1), x v O.(2) •••— 1 v f(1)v 1, •— 1v log a 2v 1, •- log a ~v log a 2v log a a.a、a > 2,a v 2, 1解得O v a v 1综上，实数a 的取值范围为O , 1 U (2, + g ).1O .设 f(x)= log a (1 + x) + log a (3 — x)(a > O , a 丰 1)，且 f(1)= 2. (1)求a 的值及f(x)的定义域； ⑵求f(x)在区间O , ； 上的最大值.①当a >1时，原不等式等价于la v 2,解得a > 2;②当O v a v 1时，原不等式等价于1> 2 <a解：(1) •/ f(1) = 2,•- log a4= 2(a>O, a M 1),a = 2.•••函数f(x)的定义域为(一1,3). (2)f(x) = log 2(1 + x) + log 2(3 — x) =log 2(1 + x)(3 — x) =log 2[ — (x — 1) + 4],•••当x € (— 1,1]时，f(x)是增函数； 当x € (1,3)时，f(x)是减函数，故函数f(x)在 0, 3上的最大值是f(1) = log 24 = 2. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州五校联考)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x + 1) = f( — x),当x € (0,1)时, ,log 2 1 1-x 1,X M ,f(x)= i d则f(x)在区间(1, 2 /内是()[0 , x 1=2 ,A .增函数且 f(x)> 0B .增函数且 f(x) VC •减函数且 f(x)> 0D •减函数且f(x) V0 解析：选D 由f(x)为奇■函数，f(x +1) = f( — X)得，f(x)=— f(x + 1) = f(x + 2); • f(x)= f(x + 2),• f(x)是周期为2的周期函数.根据条件，x € 2，1 时，f(x)= log x —1 ,• x — 2 € — 3，— 1 , — (x — 2) € 1, 2 ,设 2 — x = t , t € 1, , x = 2— t , • - f (t )=碣 2- t , • f(t)=— log^3—t , • f (x )=- |o g^ 2—x ,x €1, 3,,1 + x > 0, 由3 — x > 0, 得 x € (— 1,3),• f(x)= f(x — 2) =— f(2 — x) = l 1.可以看出x 增大时，3 — x 减小，logl x 增大，f(x)减小，•••在区间1, 3内，f(x)是减函数， 而由 1 V X V 3得 0< 3— X V 1, •嗨 2 - x >1, • f(x)< 0.2.已知函数 f(x)= log a (3 — ax)(a >0,且 a * 1).(1) 当x € ［0,2］时，函数f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围；(2) 是否存在这样的实数 a ,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为 1?如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：(1) ■/ a >0 且 a 丰 1，设 t(x)= 3 — ax ,则 t(x)= 3 — ax 为减函数，当 x € ［0,2］时，t(x) 的最小值为3— 2a ,•••当x € ［0,2］时,f(x)恒有意义，即 x € ［0,2］时，3— ax > 0恒成立.3--3— 2a > 0,.. a < 3.3又 a > 0 且 a * 1 ,• 0< a < 1 或 1 < a <_, 2•实数a 的取值范围为(0,1) U 1, 3 . (2)由(1)知函数t(x) = 3 — ax 为减函数. ••• f(x)在区间［1,2］上为减函数，• y = log a t 在［1,2］上为增函数，• a > 1,当x € ［1,2］时，t(x)的最小值为3 — 2a , f(x)的最大值为f(1) = log a (3 — a),「 3 a< 2,即3.a=2a ,使得函数f(x)在区间［1,2］上为减函数，并且最大值为 1.3 — 2a > 0, log a 3 — a = 1,故不存在这样的实数。

专练11对数与对数函数[基础强化]一、选择题1．lg 52＋2lg ＝()A．1B．－1C．3D．－32．函数y )C．23，1，13．函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调递增区间是()A．(－∞，0)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－∞，1)4．若函数f (x )＝(m －2)x a 是幂函数，则函数g (x )＝log a (x ＋m )(a >0且a ≠1)的图象过点()A．(－2，0)B．(2，0)C．(－3，0)D．(3，0)5．已知55<84，134<85，设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则()A．a <b <c B．b <a <cC．b <c <a D．c <a <b6．若a >b ，则()A．ln (a －b )>0B．3a <3bC．a 3－b 3>0D．|a |>|b |7．已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则()A．f (x )在(0，2)单调递增B．f (x )在(0，2)单调递减C．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D．y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称8．若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()9．若函数f(x log a x，x>3，－2x＋8，x≤3存在最小值，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(1，3]D．(0，3 3 ]二、填空题10．已知函数f(x)＝log2(x2＋a).若f(3)＝1，则a＝________.11．函数f(x)＝13x－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________．12．函数f(x)＝log2(－x2＋22)的值域为________．[能力提升] 13．若2a＋log2a＝4b＋2log4b则()A．a>2b B．a<2bC．a>b2D．a<b214．(多选)对于函数f(x)＝lg1|x－2|＋1，下列说法正确的有()A．f(x＋2)是偶函数B．f(x＋2)是奇函数C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增D．f(x)没有最小值15．(多选)[2023·新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg p p 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m 声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A．p 1≥p 2B．p 2>10p 3C．p 3＝100p 0D．p 1≤100p 216．已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，若函数g (x )＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．专练11对数与对数函数1．B 原式＝lg 52＋lg 4－2＝lg (52×4)－2＝1－2＝－1．2．D 由题意得log 12(3x －2)≥0，即0<3x －2≤1.∴23<x ≤1.3．A 函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数f (x )＝log 12(x 2－2x )的单调增区间为(－∞，0).4．A ∵f (x )＝(m －2)x a 为幂函数，∴m －2＝1，m ＝3，∴g (x )＝log a (x ＋3)，又g (－2)＝0，∴g (x )的图象过(－2，0).5．A a ＝log 53∈(0，1)，b ＝log 85∈(0，1)，则a b ＝log 53log 85＝log 53·log 5＝<1，∴a <b .又∵134<85，∴135<13×85，两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85)，即log 138>45，∴c >45.又∵55<84，∴8×55<85，两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885，即log 85<45，∴b <45.综上所述，c >b >a ，故选A.6．C 通解：由函数y ＝ln x 的图象(图略)知，当0<a －b <1时，ln (a －b )<0，故A 不正确；因为函数y ＝3x 在R 上单调递增，所以当a >b 时，3a >3b ，故B 不正确；因为函数y ＝x 3在R 上单调递增，所以当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 正确；当b <a <0时，|a |<|b |，故D 不正确．故选C.优解：当a ＝0.3，b ＝－0.4时，ln (a －b )<0，3a ＞3b ，|a |<|b |，故排除A，B，D.故选C.7．C f (x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln [x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x ).设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0，2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．∴选项A、B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，∴f (x )的图象不关于点(1，0)对称，∴选项D 错误．8．B 由y ＝log a x 的图象可知所以a ＝3.对于选项A：y ＝3－x 为减函数，A 错误；对于选项B：y ＝x 3，显然满足条件；对于选项C：y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，C 错误；对于选项D：y ＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，D 错误．故选B.9．C 当x ≤3时，f (x )＝－2x ＋8单调递减，则f (x )≥f (3)＝2；当x >3时，f (x )＝log a x ，必须满足a >1，且log a 3≥2，得1<a ≤ 3.故选C.10．－7解析：∵f (3)＝log 2(9＋a )＝1，∴9＋a ＝2，a ＝－7.11．8y ，y ＝－log 2(x f (x )－log 2(x ＋4)在区间[－2，2]上单调递减，所以函数f (x )的最大值为f －log 2－∞，32解析：∵0<－x 2＋22≤22，∴log 2(－x 2＋22)≤log 222＝32.13．B 2a ＋log 2a ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 2(2b )，令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (a )<f (2b )，又易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以a <2b ，故选B.14．AD 对于f (x f (x ＋2)＝lg又f (－x ＋2)＝lg f (x ＋2)为偶函数，故A 正确，B 错误．对于C，因为f (x )＝lg x ＞2，x ＜2，当x ∈(2，＋∞)时，因为y ＝1x －2在x ∈(2，＋∞)时单调递减，故y ＝1x －2＋1单调递减，所以y ＝lg 错误．x ∈(2，＋∞)时，y ＝lg x ∈(－∞，2)时，y＝lg x →＋∞时，y →0，当x →－∞时，y →0，故f (x )没有最小值．故D 正确．15．ACD 因为L p ＝20×lg p p 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg p p 0，得，因为L p 3＝40，所以＝100p 0，故C 正确；假设p 2>10p 3，则，所以，所以L p 2－L p 3>20，不可能成立，故B 不正确；因为≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．综上，选ACD.16．[－1，＋∞)解析：∵函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，而f (0)＝0，∴f (－2)＝log a 3＝－1，∴a ＝13，∴g (x ＋m －3，令g (x )＝0，得x ＝－m －1，则－m －1≤0，求得m ≥－1，故m 的取值范围为[－1，＋∞).。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结12对数与对数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值为5分，中、低等难度考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点3．体会对数函数是一类重要的函数模型4．了解指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数一、基础小题1．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝()A．0 B．2 C．4 D．6答案 D解析由对数的运算公式和换底公式可得log29×log34＋2log510＋log50.25＝2log23×log24log23＋log5(102×0.25)＝4＋2＝6.故选D.2．已知函数f (x )＝ln (1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 D解析 设lg 2＝a ，则lg 12＝－lg 2＝－a ，f (a )＋f (－a )＝ln (1＋9a 2－3a )＋1＋ln (1＋9（－a ）2＋3a )＋1＝ln (1＋9a 2－9a 2)＋2＝ln 1＋2＝2，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2.故选D.3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )单调递增，则( ) A ．f (log 94)>f (1)>f (log 34) B ．f (log 94)<f (1)<f (log 34) C ．f (1)>f (log 94)>f (log 34) D ．f (1)<f (log 94)<f (log 34) 答案 B解析 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )单调递增，所以f (x )在R 上单调递增，因为log 94<log 99＝1，1＝log 33<log 34，所以log 94<1<log 34，所以f (log 94)<f (1)<f (log 34).故选B.4．若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值为( ) A ．1 B ．0或18 C ．18 D ．log 23 答案 D解析 由题意知lg 2＋lg (2x ＋5)＝2lg (2x ＋1)，2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23.故选D.5．已知方程2－x －|log 2x |＝0的两根分别为x 1，x 2，则( )A ．1<x 1x 2<2B ．x 1x 2>2C ．x 1x 2＝1D ．0<x 1x 2<1 答案 D解析 不妨设x 1<x 2，作出y ＝2－x 与y ＝|log 2x |的图象，如图．由图可知0<x 1<1<x 2，则2－x 1＝－log 2x 1，2－x 2＝log 2x 2，那么log 2x 1＋log 2x 2＝log 2(x 1x 2)＝2－x 2－2－x 1<0，则0<x 1x 2<1.故选D.6．设a ＝log 0.12，b ＝log 302，则( ) A.3ab <2(a ＋b )<4ab B ．4ab <2(a ＋b )<3ab C ．2ab <3(a ＋b )<4ab D ．4ab <3(a ＋b )<2ab 答案 B解析 因为a ＝log 0.12，b ＝log 302，所以ab <0，1a ＋1b ＝log 20.1＋log 230＝log 23∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以32<1a ＋1b <2，所以4ab <2(a ＋b )<3ab .故选B.7．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则( ) A ．R <P <Q B ．P <Q <R C ．Q <P <R D ．P <R <Q 答案 B解析 ∵函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上是增函数，a >b >1，∴lg a >lg b >0，由基本不等式可得P ＝lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )＝Q ，Q ＝12(lg a ＋lg b )＝12lg (ab )＝lg ab <lg a ＋b 2＝R ，∴P <Q <R .故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是() A ．[1，2) B ．[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 B解析函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ＜2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，可得⎩⎨⎧a ＜2，e a －1≥1或⎩⎨⎧a ≥2，log 3（a 2－1）≥1，解得1≤a ＜2或a ≥2.所以a ≥1.故选B. 9．(多选)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( ) A ．ab ＋bc ＝2ac B ．ab ＋bc ＝ac C ．2c ＝2a ＋1b D ．1c ＝2b －1a 答案 AD解析 由于a ，b ，c 都是正数，故可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c ＝log M 9.∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1a ＋1c ＝2b ，即1c ＝2b －1a ，去分母整理得，ab ＋bc ＝2ac .故选AD.10．(多选)设函数y ＝ln (x 2－x ＋1)，则下列命题中正确的是( ) A ．函数的定义域为R B ．函数是增函数C ．函数的值域为RD ．函数的图象关于直线x ＝12对称 答案 AD解析 ∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34＞0恒成立，∴函数的定义域为R ，A 正确；函数y＝ln (x 2－x ＋1)在x ＞12时是增函数，在x ＜12时是减函数，B 错误；由x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34可得y ＝ln (x 2－x ＋1)≥ln 34，∴函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫ln 34，＋∞，C 错误；函数的图象关于直线x ＝12对称，D 正确．11．已知2x＝72y＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．答案 7 2解析 由2x＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2.12．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________．答案 9解析 因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n ＝2，得n ＝9，则m ＝19.此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得，nm ＝9.二、高考小题13．(2022·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是 ( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c 答案 C解析 a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .故选C.14．(2022·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5B ．1.2C ．0.8D ．0.6 答案 C解析 将L ＝4.9代入L ＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1＝－110，所以V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8.故选C.15．(2022·天津高考)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝( ) A ．－1 B ．lg 7 C ．1 D ．log 710 答案 C解析 ∵2a ＝5b ＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.故选C.16．(2022·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( ) A ．a ＞2b B ．a ＜2b C ．a ＞b 2 D ．a ＜b 2 答案 B解析 设f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )为增函数．因为2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b ，所以f (a )－f (2b )＝2a ＋log 2a －(22b ＋log 22b )＝22b ＋log 2b －(22b ＋log 22b )＝log 212＝－1＜0，所以f (a )＜f (2b )，所以a ＜2b ，所以A 错误，B 正确；f (a )－f (b 2)＝2a ＋log 2a －(2b 2＋log 2b 2)＝22b ＋log 2b －(2b 2＋log 2b 2)＝22b －2b 2－log 2b ，当b ＝1时，f (a )－f (b 2)＝2＞0，此时f (a )＞f (b 2)，有a ＞b 2，当b ＝2时，f (a )－f (b 2)＝－1＜0，此时f (a )＜f (b 2)，有a ＜b 2，所以C ，D 错误．故选B.17．(2022·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案 A解析 ∵a ，b ，c ∈(0，1)，a b ＝log 53log 85＝lg 3lg 5×lg 8lg 5＜1（lg 5）2×⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 822＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3＋lg 82lg 52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 24lg 252＜1，∴a ＜b .由b ＝log 85，得8b ＝5，由55＜84，得85b ＜84，∴5b ＜4，可得b ＜45.由c ＝log 138，得13c ＝8，由134＜85，得134＜135c ，∴5c ＞4，可得c ＞45.综上所述，a ＜b ＜c .故选A.三、模拟小题18．(2022·重庆模拟)已知a ＝log 43，b ＝log 53，c ＝log 45，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．a <c <b D ．c <a <b 答案 A解析 因为0<a <1，0<b <1，又a ＝lg 3lg 4，b ＝lg 3lg 5，所以a －b ＝lg 3lg 4－lg 3lg 5＝lg 3（lg 5－lg 4）lg 4·lg 5>0，所以0<b <a <1，因为c ＝log 45>1，所以b <a <c .故选A.19．(2022·湖南湘潭高三阶段测试)如果2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q ，那么PQ 的值为( )A ．14 B ．4 C ．6 D ．4或1 答案 B解析 由题意知P >0，Q >0，P >2Q .由2log a (P －2Q )＝log a P ＋log a Q 可得log a (P －2Q )2＝log a (PQ )，所以(P －2Q )2＝PQ ，可化为P 2－5PQ ＋4Q 2＝0，又因为Q >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫P Q 2－5P Q ＋4＝0，解得P Q ＝4或P Q ＝1(舍去).故选B.20．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝x 3＋log 2(x ＋ x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，若a＋b ≥0，则( )A ．f (a )＋f (b )≤0B ．f (a )＋f (b )≥0C ．f (a )－f (b )≤0D ．f (a )－f (b )≥0 答案 B解析 设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，其定义域为R ，f (－x )＝－x 3＋log 2(－x ＋x 2＋1)＝－x 3－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f (x )在R 上单调递增，那么a ＋b ≥0，即a ≥－b 时，f (a )≥f (－b )，得f (a )≥－f (b )，可得f (a )＋f (b )≥0.故选B.21．(多选)(2022·广东佛山模拟)函数f (x )＝ln (e x ＋1)－ln (e x －1)，下列说法正确的是( )A ．f (x )的定义域为(0，＋∞)B ．f (x )在定义域内单调递增C ．不等式f (m －1)>f (2m )的解集为(－1，＋∞)D ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 答案 AD解析 要使函数有意义，则⎩⎨⎧e x ＋1>0e x －1>0⇒x ∈(0，＋∞)，故A 正确；f (x )＝ln (e x ＋1)－ln (e x－1)＝ln e x＋1e x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2e x －1，令y ＝1＋2e x －1，易知其在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，故B 不正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以对于f (m －1)>f (2m )，有⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，2m >0，m －1<2m⇒m ∈(1，＋∞)，故C 不正确；令y ＝f (x )＝ln⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2e x －1，解得e x ＝e y＋1e y －1⇒x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e y ＋1e y －1，所以函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，故D 正确．故选AD.22．(多选)(2022·湖北省宜昌市高三月考)定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎨⎧0，0＜x ＜1，ln x ，x ≥1.若a ＞0，b ＞0，则下列结论中正确的是( )A ．ln ＋(a b )＝b ln ＋aB ．ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋bC ．ln ＋(a ＋b )≥ln ＋a ＋ln ＋bD ．ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2 答案 AD解析 对于A ，当0＜a ＜1，b ＞0时，有0＜a b ＜1，从而ln ＋(a b )＝0，b ln ＋a ＝b ×0＝0，所以ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；当a ≥1，b ＞0时，有a b ≥1，从而ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ，b ln ＋a ＝b ln a ，所以ln ＋(a b )＝b ln ＋a .所以当a ＞0，b ＞0时，ln ＋(a b )＝b ln ＋a ，故A 正确；对于B ，当a ＝14，b ＝2时满足a ＞0，b ＞0，而ln ＋(ab )＝ln ＋12＝0，ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln ＋14＋ln ＋2＝ln 2，所以ln ＋(ab )≠ln ＋a ＋ln ＋b ，故B 错误；对于C ，令a ＝2，b ＝4，则ln ＋(2＋4)＝ln 6，ln ＋2＋ln ＋4＝ln 2＋ln 4＝ln 8，显然ln 6<ln 8，故C 错误；对于D ，由“正对数”的定义知，当x 1≤x 2时，有ln ＋x 1≤ln ＋x 2，当0＜a ＜1，0＜b ＜1时，有0＜a ＋b ＜2，从而ln ＋(a ＋b )＜ln ＋2＝ln 2，ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝0＋0＋ln 2＝ln 2，所以ln ＋(a ＋b )＜ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2；当a ≥1，0＜b ＜1时，有a ＋b ＞1，从而ln ＋(a ＋b )＝ln (a ＋b )＜ln (a ＋a )＝ln (2a )，ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln a ＋0＋ln 2＝ln (2a )，所以ln ＋(a ＋b )＜ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2；同理当0＜a ＜1，b ≥1时，也成立；当a ≥1，b ≥1时，ln ＋(a ＋b )＝ln (a ＋b )，ln＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln a ＋ln b ＋ln 2＝ln (2ab )，因为2ab －(a ＋b )＝ab －a ＋ab －b ＝a (b －1)＋b (a －1)≥0，所以2ab ≥a ＋b ，所以ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2.综上所述，当a ＞0，b ＞0时，ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2，故D 正确．故选AD.23．(2022·陕西安康模拟)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________．答案 4 2解析 令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴a a＝(a )a ，即aa＝a a 2，亦即a＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.24．(2022·甘肃武威十八中高三模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|log 2x －1|，0＜x ≤4，3－x ，x ＞4.设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________．答案 (16，36)解析 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ＞4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，若a ，b ，c 互不相等，不妨设a ＜b ＜c ，因为f (a )＝f (b )＝f (c )，所以由图象可知0＜a ＜2＜b ＜4＜c ＜9，由f (a )＝f (b )，得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，即log2(ab)＝2，则ab＝4，所以abc＝4c，因为4＜c＜9，所以16＜4c＜36，即16＜abc＜36，所以abc的取值范围是(16，36).一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2022·河南安阳高三模拟)已知函数f(x)＝lg (ax－3)的图象经过定点(2，0).(1)求a的值；(2)设f(3)＝m，f(5)＝n，求log2163(用m，n表示).解(1)由已知，得2a－3＝1，解得a＝2.(2)由(1)得f(x)＝lg (2x－3)，则f(3)＝lg 3＝m，f(5)＝lg 7＝n，∴log2163＝lg 63lg 21＝2lg 3＋lg 7lg 3＋lg 7＝2m＋nm＋n.2．(2022·江西九江模拟)已知a>2，函数f(x)＝log4(x－2)－log4(a－x).(1)求f(x)的定义域；(2)当a＝4时，求不等式f(2x－5)≤f(3)的解集.解 (1)由题意，得⎩⎨⎧x －2>0，a －x >0，解得⎩⎨⎧x >2，x <a ，因为a >2，所以2<x <a ， 故f (x )的定义域为(2，a ).(2)因为a ＝4，所以f (2x －5)＝log 4(2x －7)－log 4(9－2x )，f (3)＝log 41－log 41＝0， 因为f (2x －5)≤f (3)，所以log 4(2x －7)－log 4(9－2x )≤0，即log 4(2x －7)≤log 4(9－2x )， 从而⎩⎪⎨⎪⎧2x －7>0，9－2x >0，2x －7≤9－2x ，解得72<x ≤4，故不等式f (2x －5)≤f (3)的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤72，4.3．(2022·广东珠海模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋1x －1.(1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x ). ∴f (x )＝ln x ＋1x －1是奇函数．(2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m（x －1）（7－x ）恒成立，∴x ＋1x －1>m（x －1）（7－x ）>0恒成立， ∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立． 令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，当x ∈[2，3]时，函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时，函数g (x )单调递减，∴当x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7，∴0<m <7.故实数m 的取值范围为(0，7).4．(2022·湖北荆州模拟)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2，其中a 是大于0的常数.(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1，4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围． 解 (1)∵x ＋ax －2＝（x －1）2＋a －1x ，∴当a >1时，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝1时，函数f (x )的定义域为{x |x >0且x ≠1}，当0<a <1时，函数f (x )的定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1，4)，x ∈[2，＋∞)时，g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－ax 2>0恒成立，∴g (x )＝x ＋ax －2在[2，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －2在[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0， 即x ＋ax －2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立， ∴a >3x －x 2，令h (x )＝3x －x 2， 则h (x )＝3x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94，又h (x )在x ∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2， ∴a 的取值范围为(2，＋∞).。

2020年高考第一轮复习数学2.8 对数与对数函数（一）知识梳理 1．对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2.对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3.对数的运算性质log log log a a a MN M N =+； log log log aaa MMN N=- log log n a a M n M=其中a>0,a ≠0,M>0,N>0；log log (0,01,01)log m a m NN N a a m m a=>>≠>≠且且对数换底公式 4．幂函数与指数函数有什么区别？幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数5.指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、名称 指数函数 对数函数一般形式Y=a x(a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域(-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点（０，1） （1，０） 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数性０＜a<1,在(-∞,+ ∞)上为减函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数b> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 y>1 ? y<1? y>0? y<0?4．几个注意点1．指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系2．研究对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制 （二）小题训练1. 1.（北京文2）若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则 解：利用中间值和1来比较:372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，2. （江西文4）若01x y <<<，则A ．33y x <B ．log 3log 3x y <C ．44log log x y <D ．11()()44x y <解：函数4()log f x x =为增函数, 44log log x y <3.（08安徽理13文13）函数221()x f x --=的定义域为 ．4.（2020年春季北京）若f －1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －1（x ）的值域为___________________.解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域. 由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞）， ∴f －1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）5.(2020北京春季高考)函数f(x)=|log 2x|的图象是( )解析:f(x)=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x 答案:A（三）题型剖析考点一：对数函数性质应用例1：取值 12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2=-++=-++ 3．指对数互化例2．已知x,y,z 为正数，满足z y x 643==① 求证：xz y 1121-= ②比较3x 、4y 、6z 的大小 思维分析：掌握指数式与对数式互化是解决问题的一个有效途径。