【100所名校】陕西省西安市高新一中2018-2019学年高二(上)期中数学试卷(文科)

陕西西安第一中学2018-2019学度高二上年中考试数学2018-2018学年度第一学期期中考试高二年级数学〔必修5〕试题【一】选择题〔共10小题，每题3分，共30分、在每题给出的四个选项中, 只有一项为哪一项符合题目要求的〕 1、假设R c b a ∈,,，且b a >，那么以下不等式一定成立的是〔 〕A.、c b c a -≥+ B 、bc ac >C 、02>-ba cD 、0)(2≥-c b a2、在ABC ∆中，32=a ，22=b ，︒=45B ，那么=A 〔 〕A 、︒30B 、︒60C 、︒30或︒150D 、︒60或︒120 3、等差数列{}n a 满足:296a a a +=,那么9S =〔 〕 A 、2-B 、0C 、1D 、24.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，那么=1020a a 〔 〕A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－235. 各项均为正数的等比数列{}n a 中，且34129,1a a a a -=-=，那么54a a +等于〔 〕A 、16B 、27C 、36D 、－276、边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为〔 〕A 、90°B 、120°C 、135°D 、150° 7、假设不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对任意实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是 〔 〕A 、]2,2(-B 、]2,2[-C 、),2(+∞D 、]2,(-∞8、{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，那么使得nS 达到最大值的n 是〔 〕A 、21B 、20C 、19D 、 18 9、设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为〔 〕A 、 8B 、 4C 、 1D 、1410、在∆ABC 中，假设bc a c b c b a 3))((=-+++，且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 的形状是〔 〕A 、直角三角形B 、等腰直角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形【二】填空题(共4小题，每题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直截了当写在答题卡上)11、在∆ABC 中，sinA ：sinB ：sinC=2：5：6，那么cosC 的值为_______ 12、数列{}n a 的前n 项和23+=n ns ，那么=n a ___________________13、关于x 的不等式02>++b ax x 的解集为),21()2,(+∞-⋃--∞，那么关于x 的不等式012<++ax bx 的解集是_______________14、某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩那么该校招聘的教师人数最多是 名.【三】解答题：〔本大题共5小题，共50分，请在答题卡指定位置作答，解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、(10分){}n a 是公差不为零的等差数列, 11a =，且139,,a a a 成等比数列.〔1〕求数列{}n a 的通项; 〔2〕求数列{}2n a 的前n 项和n S .16、(10分)〔1〕解不等式：0)9)(43(22<---x x x 〔2〕假设0>a ，解关于x 的不等式1)1(2≤++-x aa x 17、(10分)某种汽车，购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？ 18、(10分)如图，A ，B是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B点相距C 点的救援船马上即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？19、(10分)数列{}n a 满足125a =，且对任意n *∈N ，都有11422n n n n a a a a +++=+、 (1〕求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,并求{}n a 的通项公式；〔2〕令,1+⋅=n n n a a b n n b b b b T++++= 321， 附加题：1、(10分){}项和，的前为数列已知n a S n n a →=()1,n S , b →=()122,1++-n n a ,a b →→⊥〔1〕求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2为等差数列； 〔2〕 假设20131n n n b a n -=+,问是否存在0n , 关于任意k 〔k N *∈〕， 不等式0n k b b ≤成立.2、(10分)函数3()l o g ()f x a x b=+的图象通过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n na n N =∈ 〔1〕求数列}{n a 的通项公式；〔2〕设nn n a b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T 〔3〕在〔2〕的条件下，判断数列}{nT 的单调性，并给出证明、2018-2018学年度第一学期期中考试高二年级数学答案【一】选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D DBCBBABBD【二】填空题11、207- 12、 ⎩⎨⎧≥⋅==)2(32)1(5n n a nn 13、〔-2，-21〕 14、10 【三】解答题15.解：〔1〕由题设知公差0.d ≠由11a =，139,,a a a 成等比数列，得1218112d dd++=+，解得1d =，或0d = (舍去).故{}n a 的通项1(1)1.n a n n =+-⨯=〔2〕由〔I 〕知22n a n =，由等比数列前n 项和公式，得2312(12)22222 2.12n nn n S +-=+++⋅⋅⋅+==-- }1{1}1{,11}1{,1100))(1)2(),4()3,1()3,0)3)(3)(1)(4(0)9)(43(0)9)(43()1.(162222==≤≤∴<>≤≤∴><<≤--+∞⋃-⋃-∞-∴>-++-∴>---∴<---x x a a x a x a a a a x a x a a a a x ax x x x x x x x x x x 时，原不等式的解集为当原不等式的解集为时，有当原不等式的解集为时，有当原不等式化为（原不等式的解集为：（ 17.答案见课本93页例5小时。

2018学年陕西省西安市高新一中国际部高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）若抛物线y2=2px，p＞0的准线过点（﹣1，2），则该抛物线的焦点坐标是（）A．（﹣1，0）B．（0，﹣1）C．（1，0） D．（0，1）2．（4分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．存在x0∈R，f（x0）=0B．若f′（x0）=0，则x0不一定是函数f（x）的极值点C．若x0是函数f（x）的极小值点，则f（x）在（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是函数f（x）的极值点，则f′（x0）=03．（4分）若双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则离心率e=（）A．B．C．D．4．（4分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．5．（4分）已知圆（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣m截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数m=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣86．（4分）若函数f（x）=x3﹣6x2+cx无极值点，则实数c的取值范围是（）A．[12，+∞）B．（12，+∞）C．（﹣∞，12）D．（﹣∞，12]7．（4分）已知f（x）=，则f′（）等于（）A．B．C．D．﹣8．（4分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．（4分）定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＜f（x），m=，n=，则m，n的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m=n D．无法确定10．（4分）设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0）为函数y=f（x）的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设f（x）=，数列{a n}的通项公式为a n=n﹣1007，则f（a i）=（）A．4034 B．4036 C．2018 D．2017二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）设曲线y=e x上点P处的切线平行于直线x﹣y﹣1=0，则点P的坐标是．12．（4分）已知点P为抛物线C：y2=4x上的一动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到抛物线C准线的距离之和的最小值为．13．（4分）用总长14.8 m的钢条作一个长方体容器的框架，如果制作容器的一边比另一边长0.5 m，那么高为时，容器容积最大．14．（4分）已知函数f（x）=alnx﹣x2，若对区间（1，2）内任意两个实数p，q（p≠q），都有，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（10分）已知函数f（x）=．（1）若函数f（x）在（）上存在单调增区间，求实数a的取值范围．（2）若函数f（x）在（）上单调递增，求实数a的取值范围．16．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1的极坐标方程为：ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，曲线C2的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C1和C2的直角坐标方程；（1）设曲线C1和C2交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．17．（12分）已知动点M到定点F（1，0）和定直线x=2的距离之比为，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．。

高新一中2018—2019学年第一学期期中考试2020届高二数学试题(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.抛物线241x y =的焦点坐标是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛021， B.(1,0) C.⎪⎭⎫ ⎝⎛210， D.(0,1) 2.圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1,则a 的值等于 A.34- B.43- C.3 D.2 3.已知直线l 的参数方程是()，为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=222221则直线l 的斜率为 A.22 B.22- C.1 D.-1 4.椭圆121022=-+-m y m x 的焦距为4,则m 等于 A.4 B.8 C.4或8 D.125.已知向量()()()，，，02112=-•-=k 则k 等于A.-12B.12C.-6D.6 6.已知()x f 是定义在R 上的奇函数,且当0＞x 时,()，＞，＜，π⎪⎩⎪⎨⎧≤=8log 806cos 2x x x x x f 则()()16-f f 等于 A.21- B.23- C.21 D.237.已知双曲线191622=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、,过2F 的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点,若，5=AB 则1ABF △的周长为A.16B.20C.21D.268.已知直线01=-++c by ax 经过圆05222=--+y y x 的圆心,则c b 14+的最小值是 A.9 B.8 C.4 D.29.函数()()1ln 2+=x x f 的图象大致是A B C D10.已知椭圆()012222＞＞b a by a x =+的左、右焦点为21F F 、,离心率为，e P 是椭圆上一点,满足212F F PF ⊥,点Q 在线段1PF 上,且F 21=若，021=•F F 则2e 的值为 A.12- B.22- C.32- D.25-二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上)11.若直线012:1=-+my x l 与直线()0113:2=---my x m l 平行,则实数m 的值为_______.12.圆心在A(2,0)半径为1的圆的极坐标方程是_________.13.在△ABC 中,内角A,B 、C 所对的边分别为，、、c b a 若()，π，3622=+-=C b a c 则△ABC 的面积是________.14.长为2的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2上滑动,则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值是_______.三、解答题(大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为，n S 且().22*N n a S n n ∈-=(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若，n n a b 2log =,求数列{}n n b a +的前n 项和.n T16.(本小题满分8分) 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为()，为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=sin 3cos 33y x 直线l 的方程是 012=-+y x ,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。

陕西省西安市高新第一中学高二数学上学期期中试题文（含解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|ln ,1A y y x x ==≥，{}|12,xB y t x ==-∈R 则AB =（ ）． A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(,1]-∞D ．[0,)+∞【答案】B【解析】1x ≥时，ln ln10x =≥，故[0,)A =+∞， 因为20x >，所以121x -<，故(,1)B --∞， 故[0,1)A B =． 故选B ．2．已知i 为虚数单位，复数12z =-+的共轭复数为z ，则||z z +=（ ）．A ．12-+B ．12 C ．12+D ．12--【答案】B【解析】∵12z =-+的共轭复数为z ，∴12z =-，||1z ==，则11||122z z z +=-+==-．故选B ．3．已知在m ，n ，1l ，2l 表示直线，α、β表示平面．若m α⊂，n α⊂，1l β⊂，2l β⊂，12l l M =，则αβ∥的一个充分条件是（ ）． A ．m β∥且1l α∥B ．m β∥且n β∥C ．m β∥且2n l ∥D ．1m l ∥且2n l ∥【答案】【解析】由题意得，m ，n 是平面α内的两条直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线， 要使αβ∥，只要一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行即可． 故选D ．4．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、《天籁》和《马蹄声碎》四部话剧，每天一部．受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演；《茶馆》不能在周一和周三上演；《天籁》不能在周三和周四上演；《马蹄声碎》不能在周一和周四上演．那么下列说法正确的是（ ）．A ．《雷雨》只能在周二上演B ．《茶馆》可能在周二或周四上演C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D ．四部话剧都有可能在周二上演 【答案】C【解析】由题意，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》． 故选C ．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是（ ）．A ．6n =B ．6n <C ．6n ≤D ．8n ≤【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得0S =，2n =， 满足条件，12S =，4n =，满足条件，113244S =+=，6n =， 满足条件，1111124612S =++=，8n =， 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S 的值为1112， 故判断框中填写的内容可以是6n ≤． 故选C ．6．已知1sin cos 3αα-=，则2πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）．A ．118B ．19C ．1718D 【答案】C【解析】本题主要考查三角函数．因为1sin cos 3αα-=，故21(sin cos )12sin cos 9αααα-=-=，82sin cos 9αα=，所以22π117cos (12sin cos )4218ααααα⎫⎛⎫-====⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 故选C ．7．已知ABC △的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与ABC △的关系为（ ）． A ．P 在ABC △内部B ．P 在ABC △外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在ABC △的AC 边的一个三等分点上【答案】D【解析】∵PA PB PC AB ++=， ∴PA PB PC PB PA ++=-， ∴22PC PA AP =-=，∴P 是AC 边的一个三等分点． 故选D ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）． A ．3π120-B ．3π20C ．3π120-D ．3π10【答案】A17， 设内切圆的半径为r ，则81517r r -+-=，解得3r =， ∴内切圆的面积为2π9πr =，∴豆子落在内切圆外部的概率19π3π11208152P -==-⨯⨯．故选A ．r8r15rr9．若实数x ，y 满足10,0,0,x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则sin(2)z x y =+的最小值与最大值和是（ ）．A ．1sin 2+B ．sin 2C ．0D ．1【答案】D【解析】如图，可行域， ∴2(0,2]x y +∈，∴sin(2)x y +的最小值为1，最大值为0． 故选D ．10．四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF被球面所截得的线段长为 ）．A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π【答案】A【解析】将三视图还原为直观图如图，可得四棱锥P ABCD -的五个顶点位于 同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球，设该正方体的棱长为a ，设处接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心， 设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG ，根据题意，直线EF被球面所截得的线段长为即正方体面对角线也是AG =， 所以正方体棱长2a =，∴Rt OGA △中，112OG a ==，AO即外接球半径R ，∴外接球表面积为24π12πR =． 故答案为：12π．ODG ABCEFP11．如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是1A ，2A ，1B ，2B ，焦点为1F ，2F ，延长12B F 与22A B 交于P 点，若12B PA ∠为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）．ABCD【答案】B【解析】由题意，1222B F A B ⊥， 1(0,)B b -，1(,0)F c ， 2(,0)A a ，2(0,)B b ，∴12(,)B F c b =， 22(,)A B a b =-，212220B F A B ca b ⋅=-+=，即222b ac a c ==-， 即2e 1e =-，2e e 10+-=，∴e =， 由椭圆0e 1<<，∴e =故选B ．12．定义：如果函数()f x 在[,]a b 上存在1x ，2x ，12()a x x b <<<，满足1()()()f b f a f x b a-'=-，2()()()f b f a f x b a -'=-，则称数1x ，2x 为[,]a b 上的“对望数”，函数()f x 为[,]a b 上的“对望函数”．已知函数321()3f x x x m =-+是[0,]m 上的“对望函数”，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．331,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(2,3)D ．3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意可知，在区间[0,]m 存在1x ，212(0)x x x m <<<，满足1()(0)()f m f f x m-'=3213m m m-= 213m m =+， ∵321()3f x x x m =-+，∴2()2f x x x '=-，∴方程22123x x m m -=-在区间(0,)m 有两个解，令221()2(0)3g x x x m m x m =--+<<，则222444031()031()031m m g x m m g m m m m ⎧∆=+->⎪⎪⎪=-+>⎪⎨⎪=-->⎪⎪⎪>⎩，解得332m <<，∴实数m 的取值范围是3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选D ．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某学校对高三年级一次考试进行抽样分析．如图是根据抽样分析后的考试成绩绘制的频率分布直方图，其中抽样成绩的范围是[96,106]，样本数据分组为[)96,98，[)98,100，[)100,102，[)102,104，[104,106]．已知样本中成绩小于100分的人数是36，则样本中成绩大于或等于98分且小于104分的人数是__________．【答案】90【解析】本题主要考查频率分布直方图．成绩小于100分的频率是(0.0500.100)20.300⨯=，频数是36，故样本容量是361200.300=人， 成绩大于或等于98分且小于104分的频率是(0.1000.1500.125)20.750⨯=， 所以成绩大于或等于98分且小于104分的人数是1200.75090⨯=．14．函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，的零点个数为__________．【答案】3【解析】①当1x ≤时，令2()10f x x =-=， 解得1x =或1x =-．②当1x >时，令2()log (1)0f x x =-=， 解得2x =，故函数221,1()log (1),1x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤的零点个数为3．故答案为：3．15．已知离心率为2的双曲线221(,)x y m n m n+=∈R 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn=__________． 【答案】13【解析】由题意可得1m n +=，4m n m +=，解得14m =，34n =，所以13m n =．16．在ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC =∠，则ABD S =△ __________． 【答案】330 【解析】解：如图， 由5sin 13B =，得12cos 13B =， 又∵3cos 5ADC =∠，∴3cos 5ADB =-∠，4sin 5ADB =∠， ∴sin sin()BAD B BDA =+∠∠sin cos cos sin B BDA B BDA =+⋅∠∠53124135135⎛⎫=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 1548336565-+==， 由正弦定理得33||sin sin AB BAD ADB=∠∠，∴4335||413523365AB ⨯==⨯=，∴1||||sin 2ABD S AB AD B =⋅⋅△∠ 153352213=⨯⨯⨯ 330=．33ABC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共70分）．17．（本题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项为正数，且23269a a a =，3229a a =+． （1）求{}n a 的通项公式． （2）设31323log log log n n nb a a a =+++，若数列{}n b 的前n 和为n S ，求100S ．【答案】见解析．【解析】（1）设数列N 的公比为q ，∵23269a a a =，即2242229a q a a q =⋅，解得29q =， 又0q >，则3q =，∵3229a a =+，即11969a a =+，解得13a =， ∴3n n a =．（2）31323log log log n a a a +++3123log n a a a a =⋅⋅1233log 3n++++=(1)2n n +=， ∴(1)122n n n n b n++==， ∴10010110012103002S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==．18．（本题满分12分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：min ）．（1）求这15名乘客的平均候车时间．（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数．（3）若从下表第三、四组的6人中选2人作进一步问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【答案】见解析． 【解析】（1）11(2.527.5612.5417.5222.51)157.710.5min 1515⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=．（2）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=， 所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人． （3）将第三组乘客编号为1a ，2a ，3a ，4a ，第四组乘客编号为1b ，2b ， 从6人中任选两人有包含以下15个基本事件： 12(,)a a ，13(,)a a ，14(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ， 23(,)a a ，24(,)a a ，21(,)a b ，22(,)a b ，34(,)a a ， 31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b ，12(,)b b ，其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件，所以概率为815．19．（本题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC ⊥底面ABC ，底面边长和侧棱长均为2，1A B =（1）求证：平面11A BC ⊥平面1AB C ． （2）求四棱锥111A BCC B -的体积．ABCA 1B 1C 1【答案】见解析．【解析】（1）证明：取AC 的中点O ，1A O ，BO ， 因为ABC △是等边三角形，所以BO AC ⊥， 因为侧面11A ACC ⊥底面ABC ，侧面11A ACC 底面ABC AC =，BO AC ⊥，所以BO ⊥侧面1ACC A ，1A O ⊂侧面1ACC A ，∴1BO AO ⊥， 在1Rt A BO △中，因为1A B =BO =所以1A O =12AA =，1AO =， 所以22211A O AO AA +=， 所以1A AO △为直角三角形， 所以1AO AC ⊥， 又BO AC ⊥，1AO BO O =，所以AC ⊥平面1A BO ，1A B ⊂平面1A BO ， 所以1A B AC ⊥，因为四边形11ABB A 为菱形， 所以11A B AB ⊥， 因为1A BAC A =，所以1A B ⊥平面1AB C ．DC 1B 1A 1CBAO（2）由（1）知，1AO ⊥底面ABC，1A O =所以三棱锥1A ABC -的体积为1113A ABC ABC V S AO -=⋅△11432=⨯⨯1=，所以四棱锥111A BB C C -的体积为2，过1C 作1C D AC ⊥交AC 的延长线于D ，连BD ，则1C D ⊥底面ABC ，11C D A O ==在1Rt C DC △，得1CD =，在BDC △中，22221221cos1207BD =+-⨯⨯⨯=°，∴BD =在1Rt BC D △中，得1BC ==菱形11BB C C 中，得1B C =，所以菱形11BB C C设所求为h ，可得123h =，解得h =，所以点1A 到平面11BB C C20．（本题满分12分）设函数 2()(1)e x f x ax x =+-，(0)a <． （1）讨论()f x 的单调性．（2）当1a =-时，函数()y f x =与3211()32g x x x m =++的图象有三个不同的交点，求实数m 的范围．【答案】见解析．【解析】（1）∵2()(1)e x f x ax x =+-，∴2221()(21)e (1)e ((21))e e x x xx a f x ax ax x ax a x ax x a +⎛⎫'=+++-=++=+ ⎪⎝⎭，当12a =-时，()0f x '≤恒成立，故函数()f x 在R 上单调递减；当12a -<时，21a x a +-<时，()0f x '<；210a x a +-<<时，()0f x '>； 当0x >时，()0f x '<；故函数()f x 在21,a a +⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在21,0a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 当102a -<<时，0x <时，()0f x '<，210a x a +-<<时，()0f x '>；当21a x a+->时，()0f x '<； 故函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在21,a a +⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （2）当1a =时，23211()()(1)e 32xf xg x x x x x m ⎛⎫-=-+--++ ⎪⎝⎭，故23211(1)e 32xm x x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，令23211()(1)e 32xh x x x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，则22()()e ()(1)(e 1)x x h x x x x x x x '=-+-+=-++， 故当1x -<时，()0h x '<； 当10x -<<时，()0h x '>； 当0x >时，()0h x '<；31(1)e 6h -=--，(0)1h =-，故311e 6m ---<<．21．（本题满分12分）已知1F 、2F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P ⎛- ⎝⎭在椭圆上，线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=． （1）求椭圆的标准方程．（2）⊙O 是以12F F 为直径的圆，一直线:l y kx m =+与⊙O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ．当OA OB λ⋅=，且满足2334λ≤≤时，求AOB △面积S 的取值范围．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵20PM F M +=， ∴点M 是线段2PF 的中点， ∴OM 是12PF F △的中位线， 又∵12OM F F ⊥， ∴112PF F F ⊥，∴2222211112c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，解得22a =，21b =，21c =，∴椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）∵圆O 与直线l 相切，1=，即221m k =+，联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，222(12)4220k x kmx m +++-=，∵直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴222(4)4(12)(22)0km k m ∆=-+->， ∴20k >，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -⋅=+，∴2221212121221()()()12k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，212122112k OA OB x x y y k λ+⋅=+==+，∴222133124k k ++≤≤，∴2112k ≤≤，ABO S S =△1||12AB =⋅⋅12=12==设42u k k =+，则324u ≤≤，S =3,24u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵S 关于u 在3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，34S ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2(2)3S =，23S ≤．22．（本题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程已知圆22:4O x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到曲线C ． （1）写出曲线C 的参数方程．（2）设直线:220l x y -+=与曲线C 相交于A ，B 两点，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线m 过线段AB 的中点，且倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，求直线m 的极坐标方程． 【答案】见解析．【解析】解：（1）设曲线C 上任意一点(,)P x y ，则点(,2)Q x y 在圆O 上，∴22(2)4x y +=，即2214x y +=，∴曲线C 的参数方程是2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），（2）联立2222044x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩， 得(2,0)A -，(0,1)B ，∴线段AB 的中点N 的坐标11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设直线l 的倾斜角为α，则1tan 2α=，2122tan 42tan 211tan 314ααα⨯===--， ∴直线m 的方程为：41(1)32y x =++，即86110x y -+=，∴直线m 的极坐标方程为：8cos 6sin 110ρθρθ-+=．23．（本题满分10分）选修45-：不等式选讲在平面直角坐标系中，定义点11(,)P x y ，22(,)Q x y 之间的直角距离为，已知点(,1)A x ，(1,2)B ，(5,3)C ． （1）若(,)(,)L A B L A C >，求x 的取值范围．（2）当x ∈R 时，不等式(,)(,)L A B t L A C +≤恒成立，求t 的最小值． 【答案】见解析．【解析】（1）由定义得|1|1|5|2x x -+-+>，即|1||5|1x x --->， 当5x ≥时，不等式化为41>，解得5x ≥； 当15x <<，不等式化为261x ->，解得752x <<； 当1x ≤时，不等式化为41->无解，故不等式的解集为7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）当x ∈R 时，不等式|1|1|5|2x t x -++-+≤恒成立，也就是|1||5|1t x x ----≥恒成立， 函数令()|1||5|f x x x =---，所以max ()4f x =， 4,126,154,5x x x x -⎧⎪=-⎨⎪⎩≤≤<>， 要使原不等式恒成立只要3t ≥即可，故min 3t =．。

2018-2019学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线的方程为：，则其标准方程为：， 其焦点在y 轴正半轴上，且， 则其焦点坐标为； 故选：D ．根据题意，先将抛物线的方程变形为标准方程的形式，分析可得抛物线的焦点位置以及p 的值，进而可得其焦点坐标，即可得答案．本题考查抛物线的标准方程和性质，注意先将抛物线的方程变形为标准方程的形式．2.圆的圆心到直线的距离为1，则A.B.C.D. 2【答案】A【解析】解：圆的圆心坐标为：，故圆心到直线的距离，解得：，故选：A ．求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档． 3.已知直线l 的参数方程是，则直线l 的斜率为A.B.C. 1D.【答案】D【解析】解：根据题意，直线l 的参数方程是，其普通方程为，即， 直线l 的斜率为； 故选：D ．根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，分析可得答案．本题考查直线的参数方程，注意将直线的参数方程变形为普通方程，属于基础题．4. 已知椭圆：的焦距为4，则m 等于A. 4B. 8C. 4或8D. 以上均不对【答案】C【解析】解：焦点在x 轴上时： 解得：焦点在y 轴上时 解得： 故选：C ．首先分两种情况：焦点在x 轴上时：焦点在y 轴上时分别求出m 的值即可．本题考查的知识要点：椭圆方程的两种情况：焦点在x 轴或y 轴上，考察a 、b 、c 的关系式，及相关的运算问题．5. 已知向量，则k 等于A. B. 12C. D. 6【答案】B【解析】解：因为，，，，解得：，故选：B ．用数量积公式列方程计算．本题考查了平面向量的数量积的性质及其运算属基础题． 6.已知是定义在R 上的奇函数，且当对，，A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意，；故；故选：C ．由题意，利用奇偶性可得；再求即可．本题考查了分段函数的应用，属于基础题．7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点，若，则的周长为A. 16B. 20C. 21D. 26【答案】D【解析】解：由双曲线的方程可知， 则，， 则， 即，则的周长为， 故选：D ．根据双曲线的定义和性质，即可求出三角形的周长．本题主要考查双曲线的定义，根据双曲线的定义得到A ，B 到两焦点距离之差是个常数是解决本题的关键． 8.已知直线、经过圆的圆心，则的最小值是A. 9B. 8C. 4D. 2【答案】A【解析】解：圆化成标准方程，得， 圆的圆心为，半径． 直线经过圆心C ，，即，因此，，、，，当且仅当时等号成立． 由此可得当，即且时，的最小值为9．故选：A ．将圆化成标准方程可得圆心为，代入题中的直线方程算出，从而化简得，再根据基本不等式加以计算，可得当且时，的最小值为9． 本题给出已知圆的圆心在直线上，在b 、的情况下求的最小值着重考查了直线与圆的位置关系、圆的标准方程和基本不等式等知识，属于中档题．9. 函数的图象大致是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：，又在单调递增，， 函数的图象应在x 轴的上方，又，图象过原点， 综上只有A 符合． 故选：A ．，又在单调递增，，函数的图象应在x 轴的上方，在令x 取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．10. 已知椭圆的左，右焦点为，，离心率为是椭圆上一点，满足，点Q 在线段上，且若，则A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由题意可知：，则， 由，，则，，，由，则，整理得：，则，整理得：，则，解得：， 由，则， 故选：C ．由题意求得P 点坐标，根据向量的坐标运算求得Q 点坐标，由，求得，则，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．本题考查椭圆的离心率的求法，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共16.0分） 11. 若直线与直线平行，那么实数m 的值为______． 【答案】0或【解析】解：当时，两条直线的斜率都不存在，两直线的方程分别为和，显然两直线平行．当时，两条直线的斜率都存在，两直线平行的充要条件是斜率相等，且在y 轴上的截距不相等，即，且，解得，综上，实数m 的值为0或， 故答案为0或．先检验时，两条直线的斜率都不存在的情况再考虑时，两条直线的斜率都存在的情况，此时，两直线平行的充要条件是斜率相等，且在y 轴上的截距不相等，解出实数m 的值．本题考查两条直线平行的条件，注意检验两条直线的斜率都不存在的情况，体现了分类讨论的数学思想．12. 圆心在半径为1的圆的极坐标方程是______． 【答案】【解析】解：由题意，圆的标准方程是：， 展开得：， 由，得：，故答案为：． 根据，将普通方程转化为极坐标方程即可． 本题考查了普通方程和极坐标方程的转化，是一道基础题．13.在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c ，若，，则的面积是______．【答案】【解析】解：由，可得，由余弦定理：，所以：，所以；所以．故答案为：．利用余弦定理，结合，，求出，利用，求出的面积．本题考查余弦定理，正弦定理的运用，考查学生的计算能力，确定是关键．14. 长为2的线段AB 的两个端点在抛物线上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是______．【答案】【解析】解：设抛物线的准线为l，A、B、M在l上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．由梯形的中位线定理，可得连结AF、BF ，根据抛物线的定义得，根据平面几何知识，可得，当且仅当点F在AB上时取等号，可得设M的横坐标为a ，抛物线的准线方程为．则，得．因此，当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时，AB中点M到y 轴距离的最小值为故答案为：设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD 、根据梯形中位线定理证出，利用抛物线的定义得，由此结合平面几何的知识证出，即可求出AB中点M到y轴距离的最小值．本题给出抛物线长度为2的弦，当弦在抛物线上滑动时求它的中点到y轴的最小距离着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共64.0分）15. 已知正项等比数列的前n 项和为，且．求数列的通项公式；若，求数列的前n 项和．【答案】解：时得，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，；，．【解析】当时，，可得出数列是等比数列，再用等比数列的通项公式可得；利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、利用分组求和法是解决本题的关键，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16. 在直角坐标系xOy中，曲线C 的参数方程为为参数，直线l 的方程是，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求直线l和圆C的极坐标方程；Ⅱ已知射线OM ：其中与圆C交于O、P，射线OQ ：与直线l交于点Q，若，求的值．【答案】解：Ⅰ直线l 的方程是，，，直线l 的极坐标方程为，即．曲线C 的参数方程为为参数，圆C 的直角坐标方程为，圆C 的极坐标方程为．Ⅱ由题意得，，则，解得，又，．【解析】Ⅰ由，，能求出直线l的极坐标方程；由曲线C的参数方程求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆C的极坐标方程．Ⅱ由，，由，得，由此能求出的值．本题考查直线与圆的极坐标的求法，考查角的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．17. 已知圆C ：，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．若点P 运动到处，求此时切线l的方程；当时，求点P的轨迹方程P；求两切点所在直线方程．【答案】解：C ：，即C ：，当时，圆心到直线的距离，此时直线与圆相切，当斜率存在时，可设直线即由直线与圆相切的性质可知，，解方程可得，，直线方程为故所求的切线l 的方程为或；，，整理可得P 的轨迹方程为设，另一切点为N，连接CM，CN 则，，则PMCN 四点共圆，且此圆的方程为C ：可得，两切点所在直线方程为．【解析】对切线的斜率是否存在分类讨论，用点斜式求得直线的方程；设出P的坐标，代入平面两点间的距离公式，化简得轨迹方程设，另一切点为N，则PMCN四点共圆，两圆方程相减可得切点所在的直线方程．本题主要考查了用点斜式求解直线方程，注意分类讨论思想的应用，还考查了直线与圆相切的性质，点到直线的距离公式及轨迹方程的求解，属于中档试题18. 已知函数的最小正周期为Ⅰ求的值；Ⅱ求在区间上的最大值和最小值．【答案】解：Ⅰ因为，所以的最小正周期，解得．Ⅱ由Ⅰ得，因为，所以，所以，当，即时，取得最大值为1；当，即时，取得最小值为．【解析】Ⅰ根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．Ⅱ求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．19. 椭圆C ：的左、右焦点分别为、，离心率为，长轴长为4．求椭圆C的方程；设不过原点O的直线l与椭圆C相较于P、Q两点，满足直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【答案】解：由得，，椭圆C 的方程为：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为：，，，由，消去y 得：则且，，故，因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以，即，又，所以，即，由于直线OP，OQ 的斜率存在，且，得，设d为点O到直线l 的距离，则，所以的取值范围是【解析】根据离心率和长轴，求出a，b即可；设出直线的方程，将直线方程与椭圆方程联立，消去x得到关于y的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值，利用判别式大于0得到m 的范围，将面包用m表示，求出面积的范围．本题考查了直线与椭圆的综合属难题．20. 数列满足，求的值．【答案】解：数列满足，可得，即有，设，，两式相减可得，化简可得，则．【解析】由题意可得，运用数列恒等式，以及数列的求和方法：错位相减法，计算可得所求值．本题考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式和化简变形能力，属于中档题．21. 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道H 是直角顶点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上已知米，米，记．试将污水净化管道的长度L 表示为的函数，并写出定义域；问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．【答案】解：由题意可得，，，由于，，而且，，，即，设，则，由于，由于在上是单调减函数，当时，即或时，L 取得最大值为米．【解析】解直角三角形求得得EH、FH、EF 的解析式，再由得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明的范围．设，根据函数在上是单调减函数，可求得L的最大值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数的模型，利用三角函数的单调性求三角函数的最值，属于中档题．。

陕西省西安市高新第一中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线24x y =的准线方程为（） A ．1-=y B ．161-=x C ．1-=x D ．161-=y 2.两直线03)12(=-+-y x m 与016=++my x 垂直，则m 的值为（） A ．0 B ．116 C ．136 D ．0或1363.如果方程052422=++-+k y x y x 表示圆，那么k 的取值范围是（） A ．)1,(-∞ B ．),(+∞-∞ C ．]1,(-∞ D ．),1[+∞4.双曲线)(142222Z m m y m x ∈=+-的离心率为（） A ．3 B ．2 C ．5 D ．36.若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥02200y x y x y ，则11+-=x y z 的取值范围是（）A ．]31,1[-B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[- 7.已知直线t bt y y atx x (00⎩⎨⎧+=+=为参数)上两点A 、B 对应的参数值是1t ，2t ，则AB 等于（）A ．21t t +B ．21t t -C ．2122t t b a -+ D ．2221ba t t +-8.已知直线t t b y t a x (sin cos ⎩⎨⎧+=+=θθ为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（） A ．221t t - B ．221tt + C ．221t t - D ．221t t +9.方程04)1(22=-+-+y x y x 所表示的曲线是（）10.设点),(y x P 是曲线)0,0(1≥≥=+b a y b x a 上任意一点，其坐标),(y x 均满足2212122222≤+-+++++x y x x y x ，则b a +2的取值范围为（）A ．),2[+∞B ．]2,1[C ．),1[+∞D ．]2,0( 二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上）11.以)3,1(为圆心，并且与直线0643=--y x 相切的圆的方程为________.12.过点)1,3(-P 引直线，使点)3,2(-A ，)5,4(B 到它的距离相等，则这条直线的方程为________.13.已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤22x y x xy ，则y x z +=2的最大值与最小值之和为_______.14.P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，M 、N 分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的点，则PN PM -的最大值等于_______.15.设椭圆1422=+y x 的左、右焦点分别为21,F F ，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，θ221=∠MF F ，21F MF ∆的内心为I ，则=θcos MI ________.三、解答题 （本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线t t y t x C (sin 3cos 4:1⎩⎨⎧+=+-=为参数)，θθθ(sin 3cos 8:2⎩⎨⎧==y x C 为参数).（1）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为2π=t ，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线7)sin 2(cos :3=-θθρC 距离的最小值.17.（本小题满分13分）已知定圆4)3(:22=-+y x C ，定直线063:=++y x m ，过)0,1(-A 的一条动直线l 与直线相交于N ，与圆C 相交于Q P ,两点.（1）当l 与m 垂直时，求出N 点的坐标，并证明：l 过圆心C ； （2）当32=PQ 时，求直线l 的方程. 18.（本小题满分14分）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为)4cos(24πθρ+=.（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点)0,2(P 作斜率为1的直线l 与圆C 交于B A ,两点，试求PBPA 11+的值. 19.（本小题满分15分）如图，曲线)0,0(1:22>>=+n m ny m x C 与正方形4:=+y x L 的边界相切. （1）求n m +的值；（2）设直线b x y l +=:交曲线C 于A ，B ，交L 于C ，D ，是否存在的这样的曲线C ，使得CA ，AB ，BD 成等差数列？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 上任意一点到点)0,23(的距离与到直线23-=x 的距离相等. （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上的两个动点),(11y x A 和),(22y x B ，其中21x x ≠且421=+x x ，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.。

高新一中2018-2019学年度第一学期期中考试高三数学(理科)试题第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.设集合{}{}，，＜＜0|11|2≤-=-=x x x B x x A 则=B A （ ） A.{}10|＜x x ≤ B.{}101|=≤-x x x 或＜ C.{}01|≤-x x ＜ D.{}10|≤≤x x2.设复数z 满足，iii z 22++=则z （ ）A.3B.10C.9D.103.已知实数y x 、满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+0104x x y y x 若目标函数22y x z +=的最大值和最小值分别为M 和N,则=N M（ ）A.3B.5C.4D.27 4.已知命题:p 对任意0＞x ,总有；＜x x sin命题:q 直线()，，011:012:21=--+=++y a x l y ax l 若，∥21l l 则.12-==a a 或则下列命题中是真命题的是（ ）A.q p ∧B.()()q p ⌝∧⌝C.()q p ∨⌝D.q p ∨5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等。

下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的b a 、分别为8、2,则输出的=n （ ）A.2B.3C.4D.56.质地均匀的正四面体表面分别印有0、1、2、3四个数字,某同学随机的抛掷此正四面体两次,若正四面体与地面重合的表面数字分别记为n m 、,且两次结果相互独立,互不影响,记422≤+n m 为事件A 则事件A 发生的概率为（ ）A.16π B.163 C.8π D.83 7.已知点()8，m 在幂函数()()n x m x f 1-=图像上,设曲线: （ ），，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=45log 4554212.03.0f c f b f a 则c b a 、、的大小关系为 A.c a b ＞＞ B.c b a ＞＞ C.a b c ＞＞ D.a c b ＞＞8.已知，＞0a ,函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx x f ω在⎪⎭⎫⎝⎛，ππ2上单调递减,则ω的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡4521，C.⎥⎦⎤⎝⎛210， D.(]20，9.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为（ ）A.4πB.6πC.8πD.2π10.设A 、B 、P 是双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-上不同的三个点,且A 、B 连线经过坐标原点,若直线PA 、PB 的斜率之积为41,则该双曲线的离心率为（ ） A.26 B.25 C.2 D.315 11.一布袋中装有n 个小球,甲,乙两个同学轮流且不放回的抓球,每次最少抓一个球,最多抓三个球,规定:由甲先抓,且谁抓到最后一个球谁赢,那么以下推断中正确的是（ ） A.若9=n ,则甲有必赢的策略 B.若11=n ,则乙有必赢的策略 C.若6=n ,则乙有必赢的策略 D.若4=n ,则甲有必赢的策略12.已知集合()(){}，，x f y y x M ==|,若对于任意()，，M y x ∈11存在()，，M y x ∈22使得 02121=+y y x x 成立,则称集合M 是“垂直对点集”给出下列四个集合：（ ）()(){}(){}(){}.2log |1sin 12-====+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x e y y x M x y y x M x y y x M x y y x M ，；④，③；，；②，① 其中是“垂直对点集”的序号是 A.①② B.②③ C.①④ D.②④第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分) 13.若，，，dx e S dx xS dx x S x ⎰⎰⎰===21321221211则321S S S 、、的大小关系是_________. 14.已知点P ()y x ，是抛物线x y 42=上任意一点,Q 是圆()()14222=-++y x 上任意一点,则x PQ +的最小值为_________.15.已知，，t t==⊥1若P 点是△ABC 所在平面内一点,且+=则PC PB ∙的最大值等于_________.16.已知函数()()R a e x a e x x f x x ∈++=122有四个零点,则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题12分)某学校的平面示意图为如下图五边形区域 ABCDE,其中三角形区域ABE 为生活区,四边形区域BCDE 为教学区,AB 、BC 、CD 、DE 、EA 、BE 为学校的主要道路(不考虑宽度),∠BCD=∠CDE=，π32∠BAE=，π3DE=3BC=3CD=.109km (]道路BE 的长度;X(2)求生活区ABE 面积的最大值18.(本小题12分)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,采集相应数据,对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计,并绘制了相应的折线图,如图所示：(1)折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润y(单位:百万元)与月份代码x之间的关系,求y关于x的线性回归方程,并预测该公司2018年1月份的利润；(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有采购成本分别为10万元/包和12万元/包的A、B两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用4个月,不同类型的新型材料损坏的时间各不相同,已知生产新型材料的企业乙对A、B两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命频数统计如下表:经甲公司测算,平均每包新型材料每月可以带来5万元收入,不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每包新型材料的使用寿命都是整数月,且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率,如果你是甲公司的负责人,以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款新型材料?19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥BCFE A -中,四边形EFCB 为梯形,EF ∥BC,且2EF=BC,△ABC 是边长为2的正三角形,顶点F 在AC 上的射影为点G,且.352213===BF CF FG ，， (1)证明:平面FGB ⊥平面ABC ； (2)求二面角E-AB-F 的余弦值。

陕西省西安市高新第一中学2018-2019学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等差数列{a n}中，a1=11，前7项的和S7=35，则前n项和S n中（）A．前6项和最小B．前7项和最小C．前6项和最大D．前7项和最大参考答案：C【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】先根据等差数列的求和公式和S7的值，求得公差d，进而求得数列的通项公式，要使前n项和最大，只需a n≥0，进而求得n的范围．【解答】解：由等差数列求和公式S7=7×11+，d=35可得d=﹣2，则a n=11+（n﹣1）×（﹣2）=13﹣2n，要使前n项和最大，只需a n≥0即可，故13﹣2n≥0，解之得n≤6.5，故前6项的和最大．故选C．【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列与不等式的综合运用．考查了学生对等差数列基础知识如通项公式，求和公式等的理解和运用．2. 已知集合，则下列结论正确的是A. B. C. D.参考答案：C试题分析：由于，因此，故答案为C.考点：1、元素与集合的关系；2、集合间的并集、交集3. 双曲线的实轴长是（Ａ）２（Ｂ）（Ｃ）４（Ｄ）参考答案：C本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，属简单题.双曲线方程可变为，所以,。

故选C.4. 已知函数是偶函数，其定义域为，则点的轨迹是 A. 线段 B. 直线的一部分 C. 点 D. 圆锥曲线参考答案：B略5. 若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，，，则球的表面积为（）A．B．C． D．参考答案：D略6. 已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是A． B．C． D．参考答案：C略7. 已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）=，f（x+1）=f（x﹣1），则方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为（）A．0 B．﹣2 C．﹣8 D．8参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】可判断函数f（x）的周期为2，从而化简可得f（x）﹣2=，作函数f（x）﹣2与y=在[﹣3，3]上的图象，从而结合图象解得．【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），∴函数f（x）的周期为2，∵f（x）=，∴f（x）﹣2=，∵f（x）=，∴f（x）﹣2=，作函数y=f（x）﹣2与y=在[﹣3，3]上的图象如下，易知点A与点C关于原点对称，故方程f（x）=在区间[﹣3，3]上的所有实根之和为0，故选：A．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及方程与函数的关系应用．8. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．B．C．D．参考答案：C略9. 双曲线M:（a>0,b>0）实轴的两个顶点为A,B，点P为双曲线M上除A、B 外的一个动点，若且,则动点Q的运动轨迹为（）A .圆 B.椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线参考答案：C略10. 若，则下列不等式中总成立的是（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系XOY中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是．参考答案：12. 已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .参考答案：略13. 设全集合,集合,,则集合.参考答案：略14. 不等式的解集是.参考答案：{}试题分析：由绝对值的几何意义，分别表示数轴上点到点的距离，不等式的解集，就是数轴上到距离之和不小于的的集合.结合数轴知所求解集为{}.考点：不等式选讲，绝对值不等式.15. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．参考答案：38,12.【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体如图，利用表面积与体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图得到几何体如图，所以几何体的表面积=4×2×4+（2×1+1×1）×2=38，体积V=4×2×1+4×1×1=12．16. 锐角的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是．参考答案：由正弦定理得，所以，即，所以，又由余弦定理得，所以，所以△的面积．17. 函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为．参考答案：6【考点】正弦函数的图象．【分析】直接利用周期公式，即可得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为T==6，故答案为6．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2018-2019学年陕西省西安市高新一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x −x 2≤0}，则A ∩B =( )A. {x|−1<x ≤0}B. {x|−1<x ≤0或x =1}C. {x|0≤x <1}D. {x|0≤x ≤1} 【答案】A【解析】解：集合A ={x|−1<x <1}，B ={x|x −x 2≤0}={x|x(x −1)≥0}={x|x ≤0或x ≥1}， 则A ∩B ={x|−1<x ≤0}． 故选：A ．化简集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2. 设复数Z 满足z =|2+i|+2ii，则|z|=( )A. 3B. √10C. 9D. 10【答案】A【解析】解：满足z =|2+i|+2ii=−i(√5+2i)−i⋅i=2−√5i ，则|z|=√22+(−√5)2=3．故选：A ．利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 已知实数x 、y 满足约束条件{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0，若目标函数z =x 2+y 2的最大值和最小值分别为M 和N ，则MN =( )A. 3B. 5C. 4D. 72【答案】B【解析】【分析】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求最值是解答此类题目的关键．由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【解答】解：由实数x 、y 满足约束条件{x +y ≤4y −x ≥0x −1≥0得到可行域如图：目标函数z =x 2+y 2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方的最大值M ，最小值N ，由图得知，B 是距离原点最远的点，由{x +y =4x =1，解得x =1，y =3，可得B(1,3)， 所以目标函数z =x 2+y 2的最大值为12+32=10； M =10，由{x =1x =y得到A(1,1)， 所以目标函数z =x 2+y 2的最小值为12+12=2； 所以N =2， 则MN =5．故选：B ．4. 已知命题p ：对∀x >0，总有x <sinx ；命题q ：直线l 1：ax +2y +1=0，l 2：x +(a −1)y −1=0若l 1//l 2，则a =2或a =−1；则下列命题中是真命题的是( )A. p ∧qB. (¬p)∧(¬q)C. (¬p)∨qD. p ∨q【答案】D【解析】【分析】本题考查复合命题真假的判断，两条直线平行的判定，一元二次方程的解法，导数的运算，考查分类讨论的数学思想，考查运算求解能力，属于中档题．根据条件判断命题p ，q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【解答】解：设f(x)=sinx −x ， 则f′(x)=cosx −1≤0，则函数f(x)在x >0上为减函数， 则当x >0时，f(x)<f(0)=0，即此时sinx <x 恒成立，即命题p 是真命题;若a =0，则两直线方程为l 1：2y +1=0，l 2：x −y −1=0， 此时两直线不平行，不满足条件， 若a ≠0，若两直线平行，则满足1a =a−12≠−11，由1a =a−12得a(a −1)=2，即a 2−a −2=0得a =2或a =−1， 由1a ≠−1得a ≠−1，则a =2，即命题q 是假命题;则p ∨q 是真命题，其余为假命题．5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a、b分别为8、2，则输出的n=()A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】解：输入的a、b分别为8、2，n=1第一次执行循环体后a=12，b=4，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后n=2，a=18，b=8，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后n=3，a=27，b=16，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后n=4，a=812，b=32，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后n=5，a=2434，b=64，满足退出循环的条件，故输出的n=5，故选：A．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为()A. 38B. 316C. π8D. π16【答案】A【解析】解：质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．基本事件总数N=42=16，记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含的基本事件有：(0,0)，(1,1)，(0,1)，(1,0)，(0,2)，(2,0)共6个，∴事件A 发生的概率为p =616=38．故选：A ．先求出基本事件总数N =42=16，再利用列举法求出m 2+n 2≤4包含的基本事件个数，由此能求出事件A 发生的概率．本题考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等，是基础题．7. 已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m −1)x n 图象上，设曲线：a =f((45)0.3)，b =f((54)0.2)，c =f(log 1254)，则a 、b 、c 的大小关系为( ) A. b >a >c B. a >b >c C. c >b >a D. b >c >a【答案】A【解析】解：点(m,8)在幂函数f(x)=(m −1)x n 图象上， ∴m −1=1，m =2； ∴f(2)=2n =8，n =3，∴f(x)=x 3；f(x)是定义域R 上的增函数；且(54)0.2>1>(45)0.3>0>log 1254，∴f((54)0.2)>f((45)0.3)>f(log 1254)，即b >a >c ． 故选：A ．根据幂函数的定义求出m 和n 的值，写出f(x)的解析式，再根据f(x)的单调性比较a 、b 、c 的大小．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．8. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx +π4)在区间[π2,π]上单调递减，则实数ω的取值范围是( )A. [12,54]B. [12,34]C. (0,12]D. (0,2]【答案】A【解析】解：法一：令：ω=2⇒(ωx +π4)∈[5π4,9π4]不合题意 排除(D)ω=1⇒(ωx +π4)∈[3π4,5π4]合题意 排除(B)(C)法二：ω(π−π2)≤π⇔ω≤2，(ωx +π4)∈[π2ω+π4,πω+π4]⊂[π2,3π2]得：π2ω+π4≥π2,πω+π4≤3π2⇔12≤ω≤54．故选：A ．法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果． 法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A. 4πB. 6πC. 8πD. 2π【答案】C【解析】解：几何体为三棱锥，可以将其补形为一个棱长为√2的正方形，高为2，该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个，故2R=√22+(√2)2+(√2)2=2√2，R=√2，所以外接球的表面积为：4πR2=8π．故选：C．由题意判断几何体的形状，几何体扩展为正方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力10.设A、B、P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上不同的三个点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的斜率之积为14，则该双曲线的离心率为()A. √52B. √62C. √2D. √153【答案】A【解析】解：根据双曲线的对称性可知A，B关于原点对称，设A(x1,y1)，B(−x1,−y1)，P(x,y)，则x12a2−y12b2=1，x2a2−y2b2=1∴k PA⋅k PB=y1−yx1−x ⋅−y1−y−x1−x=−b2a2=−14，∴该双曲线的离心率e=√1+b2a2=√52．故选：A．由于A，B连线经过坐标原点，所以A，B一定关于原点对称，利用直线PA，PB的斜率乘积，可寻求几何量之间的关系，从而可求离心率．本题主要考查双曲线的几何性质，考查点差法，关键是设点代入化简，应注意双曲线几何量之间的关系．11.一布袋中装有n个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由甲先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是()A. 若n=9，则甲有必赢的策略B. 若n=11，则乙有必赢的策略C. 若n=6，则乙有必赢的策略D. 若n=4，则甲有必赢的策略【答案】A【解析】解：若n=9，则甲有必赢的策略，必赢策略如下：第一步：甲先抓1球，第二步：①当乙抓1球时，甲再抓3球时；②当乙抓2球时，甲再抓2球时；③当乙抓3球时，甲再抓1球时；第三步：这时还有4个球，轮到乙抓，按规定乙最少抓一个球，最多抓三个球，则布袋中都会剩余1--3个球，第四步：甲再抓走剩下所有的球，从而甲胜．故选：A．甲若想必胜，则必须最后取球时还剩1--3个球，通过简单的合情推理可以得解．本题考查了实际操作的能力及进行简单的合情推理，属简单题．12.已知集合M={(x,y)|y=f(x)}，若对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：}；①M={(x,y)|y=1x②M={(x,y)|y=sinx+1}；③M={(x,y)|y=log2x}；④M={(x,y)|y=e x−2}．其中是“垂直对点集”的序号是()A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④【答案】D是以x，y轴为渐近线【解析】解：对于①y=1x的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意(x1,y1)∈M，不存在(x2,y2)∈M，满足好集合的定义；在另一支上对任意(x1,y1)∈M，不存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足“垂直对点集”的定义，不是“垂直对点集”．对于②M={(x,y)|y=sinx+1}，对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如(0,1)、(π,0)，满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．对于③M={(x,y)|y=log2x}，取点(1,0)，曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于④M={(x,y)|y=e x−2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意(x1,y1)∈M，存在(x2,y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M(0,−1)，则N(ln2,0)，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．所以②④正确．故选：D ．对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误； 本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意(x 1,y 1)∈M ，存在(x 2,y 2)∈M ，使得x 1x 2+y 1y 2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若S 1=∫x 221dx ，S 2=∫1x 21dx ，S 3=∫e x 21dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为______．【答案】S 2<S 1<S 3【解析】解：S 1=∫x 221dx =13x 3|12=73， S 2=∫1x21dx =lnx 12=ln2，S 3=∫e x 21dx =e x |12=e 2−e ，∵ln2<73<e 2−e ，∴S 2<S 1<S 3，故答案为：S 2<S 1<S 3，先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．14. 已知点P(x,y)是抛物线y 2=4x 上任意一点，Q 是圆(x +2)2+(y −4)2=1上任意一点，则|PQ|+x 的最小值为______． 【答案】3【解析】解：抛物线y 2=4x 的焦点F(1,0)，准线l ：x =−1圆C ：(x +2)2+(y −4)2=1的圆心C(−2,4)，半径r =1，由抛物线定义知：点P 到直线l ：x =−1距离d =|PF|，点P 到y 轴的距离为x =d −1，∴当C 、P 、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，∴(|PQ|+x)min =|FC|−r −1 =5−1−1=3故答案为：3．当C 、P 、F 三点共线时，|PQ|+d 取最小值，即(|PQ|+d)min =|FC|−r ，由此能求出结果．本题考查两条线段和的最上值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．15. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1t ，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值等于______． 【答案】13【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系， 可得A(0,0)，B(1t ,0)，C(0,t)， ∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，∴P(1,4)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1t −1,−4)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,t −4)， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(1t −1)−4(t −4)=17−(1t +4t)≤17−2√1t ⋅4t =13， 当且仅当1t =4t ，即t =12时，取等号， ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为13， 故答案为：13．建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为17−(1t +4t)，再利用基本不等式求得它的最大值．本题考查平面向量数量积的运算，涉及基本不等式求最值，属中档题．16. 已知函数f(x)=x 2e 2x +a|x|e x +1(a ∈R)有四个零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】a <−e −e −1【解析】解：函数f(x)=x 2e 2x +a|x|e x +1(a ∈R)有四个零点，由f(0)=1，x =0不为零点，即f(x)=0即有−a =(|x|e x )+1|x|e x 有四个不等实根， 设g(x)=(|x|e x )+1|x|e x ，当x >0时，g(x)=xe x +1xe x ≥2，当且仅当xe x =1，取得等号；当x <0时，g(x)=−xe x −1xe x 导数为g′(x)=−(x +1)e x +x+1x 2e x ， 可得0>x >−1时g(x)递增；x <−1时，g(x)递减， 可得x =−1处g(x)取得极小值e +e −1， 画出函数g(x)的图象，可得−a >e +e −1，即a <−e −e −1时，−a =(|x|e x )+1|x|e x 有四个不等实根， 函数f(x)由四个零点， 故答案为：a <−e −e −1．由题意可得−a =(|x|e x )+1|x|e x 有四个不等实根，设g(x)=(|x|e x )+1|x|e x ，求得导数和单调性，可得极值，画出图象，即可得到所求范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用数形结合思想方法和导数判断单调性、极值，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 某学校的平面示意图为如下图五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD =∠CDE =2π3，∠BAE =π3,DE =3BC =3CD =910km ．(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值． 【答案】解：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CDcos∠BCD =27100，∴BD =3√310． ∵BC =CD ，∴∠CDB =∠CBD =π−23π2=π6， 又∠CDE =2π3，∴∠BDE =π2． 在Rt △BDE 中，所以BE =√BD 2+DE 2=(3√310)(910)=3√35． (2)设∠ABE =α，∵∠BAE =π3，∴∠AEB =2π3−α．在△ABE 中，由正弦定理，得AB sin∠AEB =AEsin∠ABE =BEsin∠BAE =3√35sin π3=65，∴AB =65sin(2π3−α),AE =65sinα．∴S △ABE =12|AB||AE|sin π3=9√325[sin(2π3−α)sinα]=9√325[12sin(2α−π6)+14]≤9√325(12+14)=27√3100． ∵0<α<2π3，∴π6<α+π6<5π6．∴当2α−π6=π2，即α=π3时，S △ABE 取得最大值为27√3100，即生活区△ABE 面积的最大值为27√3100km 2． 注：第(2)问也可用余弦定理和均值不等式求解．【解析】(1)连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得：BD ，在Rt △BDE 中，求解BE 即可．(2)设∠ABE =α，在△ABE 中，由正弦定理，求解AB ，AE ，表示S △ABE ，然后求解最大值．本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查距离的求法，是中档题．18. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，采集相应数据，对该公司2017年连续六个月的利润进行了统计，并绘制了相应的折线图，如图所示： (1)折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y(单位：百万元)与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2018年1月份的利润； (2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有采购成本分别为10万元/包和12万元/包的A 、B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，不同类型的新型材料损坏的时间各不相同，已知生产新型材料的企业乙对A 、B 两种型号各100件新型材料进行过科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命频数统计如表： 使用寿命 材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100经甲公司测算，平均每包新型材料每月可以带来万元收入，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每包新型材料的使用寿命都是整数月，且以频率作为每包新型材料使用寿命的概率，如果你是甲公司的负责人，以每包新型材料产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：∑y i 6i=1=96，∑x i 6i=1y i =371． 参考公式：回归直线方程为y ̂=b ̂x +a ̂，其中b̂=(n i=1x i −x)(y i −y)∑(n x −x)2．【答案】解：(1)由题意知，x =16×(1+2+3+4+5+6)=3.5， y =16×96=16，其中b ̂=(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=3517.5=2，a ∧=y −b ∧x =16−2×3.5=9， ∴x 关于y 的线性回归方程为y ∧=2x +9，2018年1月对于的是x =7，则y ∧=2×7+9=23，即预测公司2018年1月份(即x =7时)的利润为23百万元；(2)由频率估计概率，A 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴A 型材料利润的数学期望为(5−10)×0.2+(10−10)×0.35+(15−10)×0.35+(20−10)×0.1=1.75万元；B 型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴B 型材料利润的数学期望为(5−12)×0.1+(10−12)×0.3+(15−12)×0.4+(20−12)×0.2=1.50万元； ∵1.75>1.50，∴应该采购A 型材料．【解析】(1)求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论； (2)分别计算相应的数学期望，即可得出结论．本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．19. 如图，在四棱锥A −BCFE 中，四边形EFCB 为梯形，EF//BC ，且2EF =BC ，△ABC 是边长为2的正三角形，顶点F 在AC 上的射影为点G ，且FG =√3，CF =√212，BF =52． (1)证明：平面FGB ⊥平面ABC ；(2)求二面角E −AB −F 的余弦值．【答案】证明：(1)由顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG ⊥AC ．取AC 的中点为O ，连结OB ，GB ． 在Rt △FGC 中，FG =√3，CF =√212， 所以CG =32.------(1分)在Rt △GBO 中，OB =√3，OG =12， 所以BG =√132.------(2分)所以，BG 2+GF 2=FB 2，即FG ⊥BG.------(3分)∵FG ⊥AC ，FG ⊥GB ，AC ∩BG =G ， ∴FG ⊥面ABC ．又FG ⊆面FGB ，所以面FGB ⊥面ABC.------(5分) 解：(2)由(1)知，OB ⊥FG ，OB ⊥AC ， 且AC ∩FG =G所以 OB ⊥面AFC ，且FG ⊥面ABC ．以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,−1,0)，B(√3,0，0)，F(0,−12,√3)，E(√32,−1,√3)，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−1,√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−12,√3).------(8分) 设平面ABE ，ABF 的法向量分别为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，n ⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x −y =0m ⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32x −y +√3z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,−12)，------(9分) {n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a −b =0n ⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a −12b +√3c =0，取a =1，得n ⃗ =(1,−√3,−12)，------(10分) cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1517． 所以二面角E −AB −F 的余弦值为1517.------(12分)【解析】(1)顶点F 在AC 上投影为点G ，可知，FG ⊥AC.取AC 的中点为O ，连结OB ，GB.计算BG 2+GF 2=FB 2，推出FG ⊥BG ，结合FG ⊥AC ，FG ⊥GB ，证明FG ⊥面ABC.然后证明面FGB ⊥面ABC ．(2)由(1)知，OB ⊥FG ，OB ⊥AC ，且AC ∩FG =G ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，过点O 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABE ，ABF 的法向量，利用向量的数量积求解即可．本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20. 已知曲线C 1：x 26+y 23=1，曲线C 2：x 2=2py(p >0)，且C 1与C 2的焦点之间的距离为2，且C 1与C 2在第一象限的交点为A ． (1)求曲线C 2的方程和点A 的坐标；(2)若过点A 且斜率为k(k ≠0)的直线l 与C 1的另一个交点为B ，过点A 与l 垂直的直线与C 2的另一个交点为C.设m 2=4|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |5|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |，试求m 取值范围．【答案】解：(1)曲线C 1的焦点坐标为(±√3,0)，曲线C 2的焦点坐标为(0,p2)， 由C 1与C 2的焦点之间的距离为2，得√3+(p2)2=2，解得p =2， ∴C 2的方程为x 2=4y ．由{x 2=4y x 26+y 23=1，解得A(2,1)，(2)当直线AB 的斜率存在时，∴设直线AB 的方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1，由{y =kx −2k +1x 26+y 23=1，得(2k 2+1)x +4k(1−2k)x +2(1−2k)2−6=0则x A x B =2(1−2k)2−62k 2+1，∵x A =2， ∴x B =(1−2k)2−32k 2+1，又直线AC 的方程为y −1=−1k x +2k +1，即y =−1k x +2k +1， 由{y =−1k x +2k +1x 2=4y ，得x 2+4k x −4−8k =0， 则x A x C =−4−8k ， ∵x A =2， ∴x C =−2−4k ，∴|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+k 2|x B −x A |=√1+k 2⋅|(1−2k)2−32k 2+1−2|=√1+k 2⋅|4k+4|2k 2+1，同理|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+(1k )2⋅|x C −x A |=√1+1k 2⋅|4+4k |， ∴m 2=4|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |5|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4k 210k 2+5=410+5k 2，∵k ≠0， ∴0<m 2<25，即m ∈(−√105,0)∪(0,√105).∴综上所述：m ∈(−√105,0)∪(0,√105).【解析】(1)由题意可得√3+(p2)2=2，解得p =2，即可求出交点坐标，(2)当直线AB 的斜率存在时，可设直线AB 的方程为y −1=k(x −2)，根据韦达定理和弦长公式，即可求出m 的取值范围．本题考查了直线和椭圆的位置关系，以及弦长公式，考查了运算能力和转化能力，属于难题．21. 函数f(x)=ln(x +t)+ax ，其中t 、a 为实常数．(1)若t =0时，讨论函数f(x)的单调性；(2)t=0时，不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(3)若g(x)=e x+ax，当t≤2时，证明：g(x)>f(x)．【答案】解：(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax，x>0，∴f′(x)=1x −ax2=x−ax2，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a>0时，若0<x<a，则f′(x)<0，函数单调递减，若x>a，则f′(x)>0，函数单调递增，∴f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)单调递增，(2)∵不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，∴a≥x−xlnx，设ℎ(x)=x−xlnx，x∈(0,1]∴ℎ′(x)=1−1−lnx=−lnx≥0恒成立，∴ℎ(x)在(0,1]上单调递增，∴ℎ(x)max=ℎ(1)=1，∴a≥1(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，∴x+t>0，∴x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，∴m′(x)=e x−1，当x>0时，m′(x)>0，函数m(x)单调递增，当x<0时，m′(x)<0，函数m(x)单调递减，∴m(x)>m(0)=1−1>0，∴e x>x+1，要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，∴φ′(x)=1−1x+t =x+t−1x+t，令φ′(x)=0，解得x=1−t>−1，当x>1−t时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增，当−t<x<1−t时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减，∴φ(x)min=φ(1−t)=2−t≥0，∴g(x)>f(x)．【解析】(1)当t=0时，f(x)=lnx+ax ，x>0，f′(x)=1x−ax2=x−ax2，对a分类讨论即可得出函数的单调性．(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，可得a≥x−xlnx，设ℎ(x)=x−xlnx，x∈(0,1]，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．(3)g(x)−f(x)=e x+ax −ln(x+t)−ax=e x−ln(x+t)，t≤2，由x+t>0，可得x>−t≥−2，设m(x)=e x−x−1，利用导数研究函数的单调性可得e x>x+1.因此要证g(x)>f(x)，只要证x+1−ln(x+t)>0，设φ(x)=x+1−ln(x+t)，利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosθy =1+2sinθ(θ为参数)；直线l ：θ=α(α∈[0,π))，ρ∈R 与曲线C 相交于M ，N 两点．以极点O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)记线段MN 的中点为P ，若|OP|≤λ恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】解：(1)因为曲线C 的参数方程为{x =−1+2cosθy =1+2sinθ(θ为参数)， 故所求方程为(x +1)2+(y −1)2=4． 因为{x =ρcosθy =ρsinθ，故曲线C 的极坐标方程为ρ2+2√2cos(θ+π4)=2．(2)联立θ=α和ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ−2=0，得ρ2+2ρ(cosθ−sinθ)−2=0， 设M(ρ1,α)、N(ρ2,α)， 则：ρ1+ρ2=2√2sin(α−π4)， 由|PO|=|ρ1+ρ22|，得|PO|=√2|sin(α−π4)|≤√2，当α=3π4时，|OP|取最大值√2，故实数λ的取值范围为[√2,+∞)．【解析】(1)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用三角函数的恒等变换和极径求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用．23. 已知函数f(x)=|2x −4|+|x +1|，(Ⅰ)解不等式f(x)≤9；(Ⅱ)若不等式f(x)<2x +a 的解集为A ，B ={x|x 2−3x <0}，且满足B ⊆A ，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)f(x)≤9可化为|2x −4|+|x +1|≤9， 故{x >23x −3≤9，或{−1≤x ≤25−x ≤9，或{x <−1−3x +3≤9；…(2分) 解得：2<x ≤4，或−1≤x ≤2，或−2≤x <−1； …(4分) 不等式的解集为[−2,4]；…(5分) (Ⅱ)易知B =(0,3)；…(6分)所以B ⊆A ，又|2x −4|+|x +1|<2x +a 在x ∈(0,3)恒成立；…(7分) ⇒|2x −4|<x +a −1在x ∈(0,3)恒成立；…(8分)⇒−x −a +1<2x −4<x +a −1在x ∈(0,3)恒成立；…(9分) 故{a >x −3在x ∈(0,3)恒成立a >−3x +5在x ∈(0,3)恒成立⇒{a ≥0a ≥5⇒a ≥5…(10分) 【解析】(Ⅰ)通过讨论x 的范围得到关于x 的不等式组，解出即可；(Ⅱ)求出B ，根据集合的包含关系求出a 的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。

陕西省西安市一中2018-2019学年高二学期期中考试数学理试卷时间：100分钟 满分100分本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。

注意事项1.答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。

请认真核准考号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.填空题和解答题的答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列不等式的证明过程正确的是 A.若a ，b ∈R,则22=⋅≥+baa b b a a b B.y x y R y x lg lg 2lg lgx ,≥+∈+，则 C.x4x 2x 4x x ⋅≥+为负实数则若=-4 D.222222x =⋅≥+--x x x x 为负实数，则若 2. 已知{}53645342n n a 3620a a a a a a a a a +=++，那么，＞是等比数列，且的值等于 A.6 B.12 C.18 D.24 3.在△ABC 中，若∠B=30°，AB=23，AC=2，则满足条件的三角形有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 4.已知正数x ，y 满足y x 22z 05y 3-x 0y -x 2+=⎩⎨⎧≥+≤，则的最大值为A.8B.16C.32D.645.等差数列{}201918321n ,24a a a a a a a ++-=++中，=78，则此数列前20项和等于 A.160 B.180 C.200 D.2206.一元二次不等式()()0a bx cx 0a 022＞，则不等式＞，的解集为＞++++βαc bx ax 的解集为A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛βα11， B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛βα1-1-， C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αβ11， D.⎪⎪⎭⎫⎝⎛αβ1-1-， 7.在△ABC 中，A=60°，AB=2，且ABC 的面积为23，则BC 的长为 A.3 B.23C.32D.2 8.某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多余A 型车7辆，则租金最少为A.38400元B.36000元C.36800元D.31200元9.已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是A.0B.1C.2D.410. 设关于x ，y 的不等式组()，，点表示的平面区域内存在＞＜＞00y x 0m -y 0x 01y -x 2⎪⎩⎪⎨⎧++m 满足22x 00=-y ，求得m 的取值范围是A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞34-，B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞31-，C.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞32--，D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞35--， 11.在△ABC 中，cb c A 22sin2-=，则△ABC 的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形12.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≤0y 0x 02y -x 06-y -x 3，，若目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的值是最大值为12，b 3a 2+的最小值为 A.625 B.38 C.311D.4 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2019学年陕西省西安市高二上学期期中考试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设数列则是这个数列的（）A ．第六项________________________B ．第七项____________________________C ．第八项____________________________D ．第九项2. 若为非零实数，且，则下列不等式成立的是（）A ．____________________B ．____________________C ．______________D ．3. 已知等差数列的公差是2，若a 1 ，a 3 ，a 4 成等比数列，则a 2 等于（）A ． -4____________________________B ． -6_________________________________C ． -8___________________________________D ． -104. 在∆ABC中，已知a= ，b= ，C= ，则∆ABC是（）A ．锐角三角形______________B ．直角三角形________C ．钝角三角形______________ D ．任意三角形5. 如果函数f （ x ）对任意a，b满足f （ a＋b ）＝f （ a ）·f （ b ），且f （ 1 ）＝2，则＋＋＋…＋＝（）A ． 4 018_________________________________B ． 1006________________________ C ． 2 010 ____________________________ D ． 20146. 在等差数列中，已知a 1 －a 4 －a 8 －a 12 +a 15 =2，那么S 15 = （）A ． -30_________________________B ． 15_________________________C ． -60__________________________ D ． -157. 设是由正数组成的等比数列，公比q=2 ，且a 1 a 2 a 3 …a 30 = ，则a 3 a 6 a 9 …a 30 = （）A ． 2 10__________________B ． 2 15____________________C ． 216_______________________ D ． 2 208. 已知a>0，b>0，则＋＋2 的最小值是（）A ． 2____________________________B ． 2_________________________________ C ． 4 D ． 59. 在等差数列{a n }中，已知a 3 +a 8 >0，且S 9 <0，则S 1 、S 2 、…S 9 中最小的是（）A ． S 4_______________________B ． S 5_______________________C ． S6____________________________ D ． S 710. 在三角形ABC中，已知A ，b=1，其面积为，则为（）A ．_________B ． ___________C ．________ D ．11. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（）A ． ______________B ．或C ． ____________________D ．或12. 若不等式在区间上有解，则a的取值范围为（）A ．（ , ）____________________________B ．____________________ C ． _________________ D ．二、填空题13. 在等比数列{b n }中，S 4 =4，S 8 =20，那么S 12 =________________________ ．14. 若满足约束条件则的最大值为____________________________ ．15. 在△ ABC 中，cos A ＝， sin B ＝，则cos C 的值为____________________________ ．16. 如果数列{a n }的前n项之和为S n =3＋2 n ，那么=________________________ ．17. 若正数满足，则的取值范围是________________________ ．三、解答题18. 解关于x的不等式≤ （其中a>0且a≠1 ）．19. 已知等差数列 {a n } 满足 a 2 ＝ 2 ， a 5 ＝ 8 ．（1）求 {a n } 的通项公式；（2）各项均为正数的等比数列 {b n } 中， b 1 ＝ 1 ， b 2 ＋ b 3 ＝ a 4 ，求{b n } 的前 n 项和 T n ．20. 设某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少 10 层，每层 2000 平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为 x （x ≥ 10 ）层，则每平方米的平均建筑费用为 560 ＋ 48x （单位：元）．（1）写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式；（2）该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用/建筑总面积）21. 已知，△ ABC的三个内角为A，B，C，m＝（ sin B＋sin C,0 ），n＝（ 0，sin A ）且|m| 2 －|n| 2 ＝sin Bsin C ．（1）求角A的大小（2）求sin B＋sin C的取值范围．22. 已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项相同，且a 1 ＋ 2a 2 ＋ 2 2 a 3 ＋…＋2 n－1 a n ＝8n对任意n ∈ N * 都成立，数列{b n＋1 －b n }是等差数列．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈ N * ，使得（b k －a k ）∈ （0,1）？请说明理由．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】。

陕煤建司一中2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学试题一.选择题(每小题5分，共60分)1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝A.15B.59C.53D ．1 2．若不等式x 2＋2x ＋c <0的解集为{x |－3<x <1}，则实数c 的值为 A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 3．数列－1，3，－5，7，－9，11，…的一个通项公式为 A ．a n ＝(2n －1)(－1)n B ．a n ＝(2n ＋1)(－1)n C ．a n ＝(2n －1)(－1)n ＋1 D ．a n ＝(2n ＋1)(－1)n ＋1 4．若a>b>0，则下列成立的是( ) A.b 1a ＞b ＋1a B.b a ＞b ＋1a ＋1C ．a －1b ＞b －1a D.2a ＋b a ＋2b ＞ab5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝21，S 21＝33，则S 14＝( ) A ．27 B ．45 C ．32 D ．116．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( )A.34B.23C.24D.147．我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？A ．5B ．4C ．3D ．28．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 9．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n＝38n ＋142n ＋1(n ∈N *)，则a 6b 7＝( )A ．16 B.24215 C.43223 D.4942710．关于x 的不等式2kx2＋x －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－13B.⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－13C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13，＋∞D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－13，＋∞ 11.设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为A ．－4B ．6C ．10D ．17 12.设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72C ．22＋12D ．22－12二.填空题(每小题4分，共20分)13．在等比数列{a n }中，a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝__________，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．14.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝b ，则ab＝________．15．若点A (1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________．16．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，2S n ＝(n ＋1)a n ，若存在唯一的正整数n 使得不等式a 2n －ta n －2t 2≤0成立，则实数t 的取值范围为________．三.解答题(共70分)17.(10分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15. (1)求{a n }的通项公式； (2)设na nn 2a b =，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(12分)在△ABC 中，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＝1114，cos(π－B )＝－12. (1)求sin A 与B 的值；(2)若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，求b ，c 的值．19. (12分) 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．20. (12分已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．21. (12分)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x 千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.22. (12分)已知等比数列{a n}的公比q>1，a1＝1，且a1，a3，a2＋14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1＋a2b2＋…＋a n b n＝(n－1)·3n＋1，n∈N*.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若ma n≥b n－8恒成立，求实数m的最小值．陕煤建司一中2018-2019学年度第一学期期中考试高二数学答案1．B2．D3．A4．A5．D6．D7．C8．D9．A.10．A11.B12.A 13．－22n －1－1214. 115．2 16．(－2，－1]∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，117.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n2a n，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1， ∵S 3＝6，S 5＝15，⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×（3－1）d ＝6，5a 1＋12×5×（5－1）d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝a n2a n＝n2n，⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋12×3×（3－1）d ＝6，5a 1＋12×5×（5－1）d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝a n2a n＝n2n，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n＋n2n ＋1，②①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n 2n ..18．在△ABC 中，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＝1114，cos(π－B )＝－12. (1)求sin A 与B 的值；(2)若角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，求b ，c 的值．解析 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋A ＝cos A ，∴cos A ＝1114. 又∵0<A <π，∴sin A ＝5314.∵cos(π－B )＝－cos B ＝－12，且0<B <π，∴B ＝π3.(2)解法一 由正弦定理得a sin A ＝bsin B， ∴b ＝a ·sin Bsin A＝7.另由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得49＝25＋c 2－5c ， 解得c ＝8或c ＝－3(舍去)．∴b ＝7，c ＝8.解法二 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a ·sin Bsin A ＝7.又∵cos C ＝cos(π－A －B )＝－cos(A ＋B )，＝sin A sin B －cos A cos B ＝5314×32－1114×12＝17，∴c2＝a 2＋b 2－2ab cos A 得c 2＝25＋49－2×5×7×17＝64， 即c ＝8.∴b ＝7，c ＝8.19.已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． 解析 (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－1a n －1－1a n －1＝a na n －1－1a n －1＝1.又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫72，＋∞上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时， a n 取得最大值3.20.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式． 解析 (1)证明 依题意S n ＝4a n －3(n ∈N *)，n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1.因为S n ＝4a n －3，则S n －1＝4a n －1－3(n ≥2)． 所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1，又a 1＝1≠0，所以{a n }是首项为1，公比为43的等比数列．(2)因为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，得b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43n －1.可得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －3)=1)34(31n --．21.如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．解析 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x ，解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．22.已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且a 1，a 3，a 2＋14成等差数列，数列{b n }满足：a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·3n ＋1，n ∈N *.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若ma n ≥b n －8恒成立，求实数m 的最小值．解析 (1)∵等比数列{a n }满足：a 1＝1且a 1，a 3，a 2＋14成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2＋14，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ＋14，∴2q2－q －15＝0，∴q ＝3或q ＝－52，又q >1，∴q ＝3，∴a n ＝3n －1.∵a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·3n ＋1，①∴当n ≥2时，有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·3n －1＋1，② ①－②可得a n b n ＝(2n －1)·3n －1， ∴b n ＝2n －1(n ≥2)，又n ＝1时，可求得b 1＝1，适合b n ＝2n －1，故b n ＝2n －1.(2)若ma n ≥b n －8恒成立，则m ≥2n －93n －1恒成立．令C n ＝2n －93n －1，∴C n ＋1－C n ＝2n －73n －2n －93n －1＝20－4n3n .当C n ＋1＝C n ，即n ＝5时，C 5＝C 6，当C n ＋1>C n ，即n <5时，C 1<C 2<C 3<C 4<C 5， 当C n ＋1<C n ，即n >5时，C 6>C 7>C 8>…， ∴C n 的最大值为C 5＝C 6＝181，∴m ≥181，∴实数m 的最小值为181.。

2019-2020学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距是6，一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝12．（4分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．83．（4分）若函数f（x）满足f（x）＝x3﹣f（′1）•x2﹣x，则f'（2）的值为（）A．3B．1C．0D．﹣14．（4分）已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C 的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2D．（x+1）2+（y+1）2＝25．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．6．（4分）为了得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需把函数y＝3cos x的图象上所有的点（）A．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位B．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位C．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位D．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位7．（4分）设0＜x＜，记a＝ln sin x，b＝sin x，c＝e sin x，则比较a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（4分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP|＝|F1F2|，且|PF1|•|PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．（4分）已知函数f（x）＝﹣lnx在[1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）10．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1+x2＝4，若AB的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是（）A．B．8C．D．6二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线方程．12．（4分）函数f（x）＝﹣lnx的单调递减区间是13．（4分）数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+1．则数列{a n}的前20项的和为．14．（4分）已知函数f（x）＝e x（x﹣ae x）有两个极值点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5题，共44分）15．已知函数f（x）＝（sin2x﹣cos2x）﹣2sin x cos x．（1）求函数f（x）的对称轴方程．（2）设x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域和单调递增区间．16．已知函数f（x）＝x3﹣ax2+4（a∈R）．（1）若a＝1，求函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．18．在平面直角坐标系中，已知两定点E（0，1），F（0，﹣1），动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）设点A，B依次为动点G的轨迹的左、右顶点，P为直线l：x＝4的一动点（点P 不在x轴上），连接AP交动点G的轨迹于点C，连接PB并延长交G的轨迹于点D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．19．已知函数f（x）＝+lnx（a＞0），设函数f（x）的导函数为f'（x），x1，x2是函数f（x）的两个不相等的零点．（1）求实数a的取值范围．（2）证明：x1f′（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．四、附加题；（本大题共2题，共20分）20．已知实数x、y满足2x+3y＝4x+9y，试求U＝8x+27y的取值范围．21．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x）（1）求f（x）的表达式；（2）定义正数数列{a n}；a1＝，a n+12＝2a n•f（a n）（n∈N*）．试求数列{a n}的通项公式．2019-2020学年陕西省西安市高新一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的焦距是6，一条渐近线方程为y＝x，则双曲线C的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．﹣＝1D．﹣＝1【分析】由题意求得c与的值，结合隐含条件列式求得a2，b2，则答案可求．【解答】解：由题意，2c＝6，则c＝3，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝5．∴双曲线C的方程为：﹣＝1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题．2．（4分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3．（4分）若函数f（x）满足f（x）＝x3﹣f（′1）•x2﹣x，则f'（2）的值为（）A．3B．1C．0D．﹣1【分析】根据题意，求出f（x）的导数可得f′（x）＝x2﹣2f′（1）x﹣1，令x＝1可得f′（1）的值，即可得f′（x）＝x2﹣1，令x＝2计算可得答案．【解答】解：根据题意，，则其导数f′（x）＝x2﹣2f′（1）x﹣1，令x＝1可得：f′（1）＝1﹣2f′（1）x﹣1，变形可得f′（1）＝0，则f′（x）＝x2﹣1，则f'（2）＝4﹣1＝3，故选：A．【点评】本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．4．（4分）已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C 的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2D．（x+1）2+（y+1）2＝2【分析】圆心在直线x+y＝0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．【解答】解：圆心在x+y＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y＝0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离是．故A错误．故选：B．【点评】一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．5．（4分）已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，那么函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【分析】由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增；从而得到答案．【解答】解：由导函数图象可知，f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递减，在（﹣2，0）上单调递增，故选：A．【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题．6．（4分）为了得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需把函数y＝3cos x的图象上所有的点（）A．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位B．先把横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移个单位C．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位D．先把横坐标缩短到原来的倍，然后向右平移个单位【分析】由题意利用诱导公式，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：为了得到函数y＝3sin（2x+）的图象，只需把函数y＝3cos x＝3sin（x+）的图象上所有的横坐标缩短到原来的倍，得到y ＝3sin（2x+）的图象，然后向右平移个单位即可，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于中档题．7．（4分）设0＜x＜，记a＝ln sin x，b＝sin x，c＝e sin x，则比较a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【分析】分别判断a，b，c的大小即可得到结论．【解答】解：∵0＜x＜，∴0＜sin x＜1，则ln sin x＜0，1＜e sin x＜e，即a＜0，0＜b＜1，1＜c＜e，故a＜b＜c，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数，对数函数的性质求出a，b，c 的取值范围是解决本题的关键，比较基础．8．（4分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O 为坐标原点，若|OP|＝|F1F2|，且|PF1|•|PF2|＝a2，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|＝2a，又|PF1|•|PF2|＝a2，可得|PF1|＝|PF2|＝a，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得b＝c，计算即可得到椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|＝2a，又|PF1|•|PF2|＝a2，可得|PF1|＝|PF2|＝a，即P为椭圆的短轴的端点，|OP|＝b，且|OP|＝|F1F2|＝c，即有c＝b＝，即为a＝c，e＝＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，以及a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（4分）已知函数f（x）＝﹣lnx在[1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【分析】首先求得导函数的解析式，然后将问题转化为导函数小于等于零恒成立的问题，结合函数的定义域进行讨论即可确定实数a的取值范围．【解答】解：，令f'（x）≤0，得，又当x∈[1，+∞）时，（当且仅当x＝1时等号成立），故有2a≤4，即a≤2，实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：C．【点评】本题主要考查导函数研究函数的单调性，等价转化的数学思想，恒成立问题的处理方法，基本不等式求最值等知识，属于中等题．10．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y2＝4x上相异两点，且满足x1+x2＝4，若AB的垂直平分线交x轴于点M，则△AMB的面积的最大值是（）A．B．8C．D．6【分析】通过设AB中点为P（2，t），可得直线AB的方程并与抛物线联立，利用韦达定理、两点间距离公式、面积公式及换元法计算即可．【解答】解：当AB垂直于x轴时，显然不符合题意．设AB中点为P（2，t），于是k AB＝＝＝＝，∴可设直线AB的方程为y﹣t＝（x﹣2），联立方程，消去x得：y2﹣2ty+2t2﹣8＝0，∴y1+y2＝2t，y1y2＝2t2﹣8，∴|AB|＝＝，由k AB•k MP＝﹣1，可得k MP＝﹣，∴MP：y﹣t＝﹣（x﹣2），令y＝0，可得M（4，0），∴|MP|＝＝，于是S△MAB＝|AB|•|MP|＝（4+t2），令m＝，则S＝（12﹣m2）•m＝﹣m3+6m，∵S′＝﹣m2+6＝﹣（m+2）（m﹣2），∴S′＞0⇒0＜m＜2，S′＜0⇒m＞2，∴当m＝2时，（S△MAB）max＝8，此时t2＝4．故选：B．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，涉及到韦达定理、两点间距离公式、三角形面积公式、函数的单调性及换元法等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．（4分）曲线f（x）＝x cos x+3x在点（0，f（0））处的切线方程y＝4x．【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线方程．【解答】解：f（x）＝x cos x+3x的导数为f′（x）＝cos x﹣x sin x+3，可得在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝cos0﹣0sin0+3＝4，且切点为（0，0），则在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣0＝4（x﹣0），即为y＝4x．故答案为：y＝4x．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12．（4分）函数f（x）＝﹣lnx的单调递减区间是，【写成也正确】．【分析】求函数的导数，根据函数单调性和导数之间的关系求出f′（x）≤0即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为{x|x＞0}；函数的导数f′（x）＝﹣，令＝t＞0，由f′（x）≤0得﹣≤0，解得0＜t≤，所以0＜x≤即函数的单调递减区间为（0，]，故答案为：，【写成也正确】．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据条件求出函数的导数，解导数不等式是解决本题的关键．13．（4分）数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+1．则数列{a n}的前20项的和为10．【分析】由数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+1．可得a2n+a2n﹣1＝1，即可求解．【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1＝（﹣1）n a n+1．则a2＝﹣a1+1，a4＝﹣a3+1，a6＝﹣a5+1…a2n+a2n﹣1＝1，∴数列{a n}的前20项的和S＝（a2+a1）+（a4+a3）+（a6+a5）+…+（a20+a19）＝10．故答案为：10．【点评】本题考查求数列的求和，考查归纳推理能力，属于中档题．14．（4分）已知函数f（x）＝e x（x﹣ae x）有两个极值点，则实数a的取值范围是（0，）．【分析】根据题意，对函数f（x）求导数，得出导数f′（x）＝0有两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）＝e x（x﹣ae x），∴f′（x）＝（x+1﹣2a•e x）e x，由于函数f（x）的两个极值点为x1，x2，即x1，x2是方程f′（x）＝0的两不等实根，即方程x+1﹣2ae x＝0，且a≠0，∴＝e x；设y1＝（a≠0），y2＝e x，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0＜a＜，故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合性题目．三、解答题（本大题共5题，共44分）15．已知函数f（x）＝（sin2x﹣cos2x）﹣2sin x cos x．（1）求函数f（x）的对称轴方程．（2）设x∈[﹣，]，求函数f（x）的值域和单调递增区间．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝﹣2sin（2x+），利用正弦函数的性质即可求解．（2）由已知可求﹣≤2x+≤π，利用正弦函数的性质即可得解f（x）的值域，根据正弦函数的单调性可求单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）＝（sin2x﹣cos2x）﹣2sin x cos x＝﹣cos2x﹣sin2x＝﹣2sin（2x +），∴令2x +＝kπ+，k∈Z，解得x ＝kπ+，k∈Z，f（x）的对称轴方程为x ＝kπ+，k∈Z．（2）∵x∈[﹣，]，∴﹣≤2x +≤π，∴﹣≤sin（2x +）≤1，∴﹣2≤﹣2sin（2x +）≤﹣，∴值域为[﹣2，﹣]．∴令2kπ+≤2x +≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，属于基础题．16．已知函数f（x ）＝x3﹣ax2+4（a∈R）．（1）若a＝1，求函数f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值；（2）讨论函数f（x）的单调性．【分析】（1）a＝1代入f（x），对f（x）进行求导，令f′（x）＝0，求出极值点，利用导数研究函数的单调性及最值问题；（2）对f（x）进行求导，讨论a的不同取值时函数的单调性，即可求解．【解答】解：（1）若a＝1，则f′（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2），令f′（x）＝0，则x＝0或x＝2．在区间[﹣3，3]上，当x变化时f'（x）、f（x）的情况如下x﹣3（﹣3，0）0（0，2）2（2，3）3 f′（x）+0﹣0+4 f（x）﹣14单调递增极大值4单调递减极小值单调递增∴f（x）min＝f（﹣3）＝﹣14（2）f′（x）＝x2﹣2ax＝x（x﹣2a），当a＝0时，f′（x）＝x2≥0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，在（﹣∞，2a），（0，+∞）上，f′（x）＞0，在（2a，0）上，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2a），（0，+∞），单调递减区间为（2a，0）；当a＞0时，在（﹣∞，0），（2a，+∞）上，f′（x）＞0，在（0，2a）上，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2a，+∞），单调递减区间为（0，2a）．综上，当a＝0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，2a），（0，+∞），单调递减区间为（2a，0）；当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2a，+∞），单调递减区间为（0，2a）．【点评】本题主要考查利用导数求函数的最值，利用导数求函数的单调性，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．17．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|•|OB|＝8，点B的轨迹为C2．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）设点C的极坐标为（2，），求△ABC面积的最小值．【分析】（1）先将C1化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；C2的极坐标方程为ρcosθ＝4；（2）由题意知|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC＝|OC||ρB cosθ|＝|4﹣2cos2θ|，当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ．设B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，∵|OA||OB|＝8，∴ρ•ρ0＝8，∴＝2cosθ，ρcosθ＝4，∴C2的极坐标方程为ρcosθ＝4（2）由题意知|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC＝|OC||ρB cosθ|＝|4﹣2cos2θ|，当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18．在平面直角坐标系中，已知两定点E（0，1），F（0，﹣1），动点G满足：直线EG与直线FG的斜率之积为﹣．（1）求动点G的轨迹方程；（2）设点A，B依次为动点G的轨迹的左、右顶点，P为直线l：x＝4的一动点（点P 不在x轴上），连接AP交动点G的轨迹于点C，连接PB并延长交G的轨迹于点D，求证：直线CD恒过定点，并求出该定点坐标．【分析】（1）求动点的轨迹问题，设动点G的坐标为（x，y），根据直线EG与直线FG 的斜率之积为﹣，列出方程，化简；（2）联立直线AP与G的轨迹方程，求出点C的坐标，同理求出点D的坐标，进而写出CD的方程，确定定点坐标．【解答】解：（1）已知E（0，1），F（0，﹣1），设动点G的坐标为（x，y），所以直线EG的斜率k1＝（x≠0），直线FG的斜率k2＝（x≠0），又k1×k2＝，所以，即．（2）设P（4，y0）（y≠0），又A（﹣2，0），B（2，0），故直线AP的方程为：y＝（x+2），代入椭圆方程并整理得：（9+y02）x2+4y02x+4y02﹣36＝0，故x c＝，；同理可得：，，∴，故直线CD的方程为y＝k CD（x﹣x C）+y C，即（3﹣y02）y+2y0（﹣x+1）＝0，故直线CD恒过定点（1，0）．【点评】本题考查了圆锥曲线的综合知识，属于中档题．19．已知函数f（x）＝+lnx（a＞0），设函数f（x）的导函数为f'（x），x1，x2是函数f（x）的两个不相等的零点．（1）求实数a的取值范围．（2）证明：x1f′（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【分析】（1）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a的范围即可；（2）问题转化为证f（）＞f（x1），即证f（）＞f（x2），设函数F（x）＝f（）﹣f（x）＝﹣﹣2lnx+2lna（x＞a），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝，∵a＞0，∴①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数，②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数，∴f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得0＜a＜，一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为0＜a＜，所以0＜a2＜a＜，f（a2）＝+lna2＝+2lna，令g（a）＝+2lna，当0＜a＜时，g′（a）＝﹣+＝＜0，所以f（a2）＝g（a）＝+2lna＞g（）＝e﹣2＞0又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是（0，）；（2）证明：设p＝x1f′（x1）+x2f'（x2）＝1﹣+1﹣＝2﹣（+），又，则p＝2+ln（x1x2），下面证明x1x2＞a2，不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2，要证x1x2＞a2，即证x1＞，因为x1，∈（0，a），f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证f（）＞f（x1）．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证f（）＞f（x2），设函数F（x）＝f（）﹣f（x）＝﹣﹣2lnx+2lna（x＞a）．所以F′（x）＝＞0，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以f（）＞f（x2）成立．从而x1x2＞a2成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．四、附加题；（本大题共2题，共20分）20．已知实数x、y满足2x+3y＝4x+9y，试求U＝8x+27y的取值范围．【分析】令2x＝a，3y＝b，可得t＝a+b∈（1，2]，即可得到U＝8x+27y＝t3+t2，构造函数，利用导数即可求出．【解答】解：令2x＝a，3y＝b，由实数x、y满足2x+3y＝4x+9y，可得a+b＝a2+b2，（a，b＞0），即（a﹣）2+（b﹣）2＝，设t＝a+b，由于（a﹣）2+（b﹣）2＝表示以（，）为圆心，以为半径的圆，由平面aOb中的图象可知t＝a+b∈（1，2]，又ab＝＝U＝8x+27y＝a3+b3＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝t3﹣3••t＝﹣t3+t2，设f（t）＝﹣t3+t2，t∈（1，2]，∴f′（t）＝﹣t2+3t＝﹣t（t﹣2）≥0，∴f（t）在（1，2]上单调递增，∴f（t）∈[1，2]，综上所述U＝8x+27y的取值范围为[1，2]．【点评】本题考查了换元法和导数与函数的最值的关系，考查了运算求解能力，属于难题．21．已知sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x）（1）求f（x）的表达式；（2）定义正数数列{a n}；a1＝，a n+12＝2a n•f（a n）（n∈N*）．试求数列{a n}的通项公式．【分析】（1）由sin（2α+β）＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f（x），进行角的变换从而求出解析式；（2）根据定义正数数列{a n}；a1＝，a n+12＝2a n•f（a n）（n∈N*），证明{}是首项为2，公比为的等比数列．【解答】解：（1）由sin（2α+β）＝3sinβ，得sin[（α+β）]＝3sin[（α+β）﹣α]，所以tan（α+β）＝2tanα，于是，，即，解得：y＝；（2）因为a＝2a n f（a n）＝，所以，即＝，因此，{}是首项为2，公比为的等比数列．所以，故．【点评】本题比较综合，考查函数的解析式的求法、数列的通项公式的求法，属于中档题．。

陕煤建司一中2018—2018学年度第一学期高二数学(文）期中试题一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( )A ．a n ＝4n －1B ．a n ＝n 2＋n －2 C ．a n ＝n 2＋n ＋1D ．不存在2．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝29，a 3＝7，则a 12的值为( )A ．32B ．40C ．34D ．43.等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝12，那么它前8项之和等于( )A ．12 B. 48 C ．36D ．244．在等比数列{a n }中，a 1＝4，S 3＝12，则公比q 的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－2或15．在等比数列{a n }中，a 3＝12，a 7＝2，则a 5等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．±16．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01507.在△ABC 中，符合余弦定理的是 ( )．A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2＋2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab8．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t9.已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（ ） A ．5 B ．4 C ．8 D ．6 10.不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解集为R ，那么（ ）A. 0,0a<∆< B. 0,0a <∆≤ C. 0,0a >∆≥ D. 0,0a >∆>11.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 7 C. 3 D. -812．公差不为0的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为________ . 14.已知数列｛a n ｝的前n 项和2n S n n =+，那么它的通项公式为a n =_________ 15．在△ABC 中，A ＝120°，B ＝30°,b ＝7，则c ＝________. 16．不等式(3x ＋2)(2x －1)(x －2)≥0的解集是_______三.解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分） 17．(10分）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．18.（10分） 已知等比数列{}n a 中，45,106431=+=+a a a a ，求其第4项及前5项和.19.（12分）求不等式的解集：(1)0542<++-x x (2)21131x x ->+20.（12分）已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及ABC ∆的面积．21.（12分）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x， (1) 求a 的值；(2) 求不等式01522>-+-a x ax 的解集.22．（14分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足28432=++a a a ，且23+a 是2a ，4a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若nn n a a b 21l o g =，数列{}n b 的前n项和为nS ，求nS .。

2017-2018学年第一学期期中考试 2019届高二数学（文）试题一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过(1,2)-，则抛物线的焦点坐标为（ ）．A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1)【答案】B【解析】∵抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-， ∴12p=， ∴该抛物线焦点坐标为(1,0)．2．已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ）．A ．存在0x ∈R ，0()0f x =B ．若0()0f x '=，则0x 不一定是函数()f x 的极值点C ．若0x 是函数()f x 的极小值点，则()f x 在0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0()0f x '= 【答案】C【解析】A ．对于三次函数32()f x x ax bx c =+++，A ．由于当x →-∞时，y →-∞，当x →+∞时，y →+∞，故0x ∃∈R ，0()0f x =，故A 正确； B ．∵2()3a f x f x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，32332222422333273a a a a ab x a x b x c x ax bx c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--+--+++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，32323333273a a a a a ab f a b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵2()233a a f x f x f⎛⎫⎛⎫--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴点,33a a P f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为对称中心，故B 正确． C ．若取1a =-，1b =-，0c =，则32()f x x x x =--， 对于32()f x x x x =--， ∵2()321f x x x '=--，∴由2()3210f x x x '=-->得1,(1,)3x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭，由2()3210f x x x '=--<得1,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的单调增区间为：1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(1,)+∞，减区间为：1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故1是()f x 的极小值点，但()f x 在区间(,1)-∞-不是单调递减，故C 错误；D ．若0x 是()f x 的极值点，根据导数的意义，则0()0f x '=，故D 正确．综上所述． 故选C ．3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线离心率为（ ）．ABC D【答案】D【解析】∵双曲线的两条渐近线方程为22b by x x x a =±=±=±，∴22b=，则4b =，则c ===，则双曲线的离心率c e a === 故选D ．4．若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是下列中的（ ）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数， ∴对任意的a x x b '''<<<， 有()()()()f a f x f x f b '''''''<<<，也即在a ，x '，x ''，b 处它们的斜率是依次增大的， ∴A 满足上述条件，B 存在()()f x f x '''''>，C 对任意的a x x b '''<<<，()()f x f x '''''=，D 对任意的[,]x a b ∈，()f x '不满足逐项递增的条件．故选A ．5．已知圆22(1)(1)2x y m ++-=-截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数m =（ ）．A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-【答案】B【解析】由题意：圆心(1,1)-，r =， 设圆心到直线的距离为d ，∴d∵d == ∴4a =-．6．若函数32()6f x x x cx =-+无极值点，则实数c 的取值范围是（ ）．A ．[)12,+∞B ．(12,)+∞C ．(,12)-∞D ．(],12-∞【答案】A【解析】2()312f x x x c '=-+， ∵无极值点，∴2()312f x x x c '=-+中， 0∆≤，即2(12)430c --⨯⨯≤， 解得：12c ≥．7．已知函数sin ()sin cos x f x x x =+，则π4f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）．A ．14B ．0C ．12D【答案】C【解析】解：22cos (sin cos )sin (cos sin )1()(sin cos )(sin cos )x x x x x x f x x x x x +--'==++， ∴π142f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭．故选C ．8．函数3()e 2x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】2()e 30x f x x '=+>； ∴()f x 在R 上单调递增； 又(0)10f =-<，(1)e 10f =->； ∴()f x 在区间(0,1)内零点个数是1． 故答案为：1．9．定义在[)0,+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，对于任意的0x ≥，恒有()()f x f x '<，(1)e f m =，2(2)ef n =，则m ，n 的大小关系是（ ）． A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．无法确定 【答案】B【解析】构造函数()()e xf x F x =， 因()()()0e xf x f x F x '-'=>，故()()e xf x F x =在[)0,+∞上单调递增，则(2)(3)F F <， 即23(2)(3)e ef f <， 所以m n <．故选B ．10．设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设3218()2133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为1007n a n =-，则20171()i i f a ==∑（ ）．A ．4034B ．4036C ．2018D ．2017【答案】A【解析】解：28()43f x x x '=-+，()24f x x ''=-，令()0f x ''=得2x =， 又(2)2f =，∴()f x 的对称中心为(2,2)． ∵1007n a n =-，∴{}n a 是以1006-为首项，以1为公差的等差数列， 因此，本题正确答案是：4034．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________． 【答案】(1,0)【解析】解：∵切线与直线10x y -+=平行， ∴斜率为1，∵ln y x x =，11ln 1ln y x x x x'=⨯+⋅=+，∴0()1y x '=， ∴01ln 1x +=， ∴01x =， ∴切点为(1,0)，因此，本题正确答案是：(1,0)．12．已知点P 为抛物线2:4C y x =上的一动点，则点P 到点(0,2)A 的距离与点P 到抛物线C 准线的距离之和的最小值为__________．【解析】由题得：如图：l :由图易得：AA AA '''+．13．用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m ，那么高为__________m 时容器的容积最大？ 【答案】1.2【解析】设底面一边长为x 米，另一边的长为(0.5)x +米，高(3.22)h x =-米， 容器的容积223 2.2 1.6n n V x x x ==-++，(0 1.6)x <<，令0V '=得1x =，或415x =-（舍去）． 当(0,1)x ∈时，0V '>； 当(1,1.6)x ∈时，0V '<．因此，1x =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点．所以，长方体容器的高为1.2米时，容器最大，最大容积为1.8立方米．14．已知函数2()ln f x a x x =-，若对区间(1,2)内任意两个实数p ，()q p q ≠，都有()()0f p f q p q-<-，则实数a 的取值范围是__________．【答案】21a ≥ 【解析】不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，即(1)(1)1(1)(1)f p f q p q +-+>+-+，即函数(1)(12)y f x x =+<<图像上任意两点， 连线的斜率1k >，那么曲线()y f x =在(2,3)上任意两点连线的斜率1k '>， 只需()1f x '>，((2,3))x ∈即可． 即()21af x x x'=->，需22a x x >+恒成立， ∵(2,3)x ∈，∴22x x +的值域为(10,21)，∴21a ≥．三、解答题：（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分10分）已知函数3211()232f x x x ax =-++．（1）若函数()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调增区间，求实数a 的取值范围．（2）若函数()f x 在2,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，求实数a 的取值范围．【答案】见解析．【解析】2()2f x x x a '=-++． （1）2,3x ⎛⎫∃∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x '>，∴2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴19a >-．（2）2,1()03x f x ⎛⎫'∀∈> ⎪⎝⎭，2min2x x a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴0a >．16．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为：2222cos 3sin 3ρθρθ+=，曲线2C 的参数方程是1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程．（2）设曲线1C 和2C 交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【答案】见解析．【解析】（1）曲线2232cos 3sin 3ρθρθ+=化为直角坐标方程为：2233x y +=，即2213x y +=；曲线2C 参数方程是1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）化为直角坐标方程为：1)x y =-，即0x +=．（2）22331)x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即(0,1)A ，B ，线段AB 的中点为12M ⎫⎪⎪⎝⎭，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为22112x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．17．（本小题满分12分）已知动点M 到定点(1,0)F 和定直线2x =，设动点M 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程．（2）已知点O 为坐标原点，A ，B 为曲线C 上两点，且OA OB ⊥，求证：2211||||OA OB +为定值．【答案】见解析． 【解析】（1）(,)M x y ，2|x =-， ∴2212x y +=． （2）11(,)A ρθ，21π,2B ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴2212x y +=化为极坐标方程， 2221cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴2221111cos sin 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22221sin cos 12ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴2211||||OA OB +， 222211cos sin sin cos 22θθθθ=+++， 32=．18．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x a x bx =-图象上一点(2,(2))P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++．（1）求a ，b 的值．（2）若方程()0f x m +=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根，求实数m 的取值范围．（e 为自然对数的底数） 【答案】见解析．【解析】函数2()ln f x a x bx =-的导数()f x '， 2abx x=-， 由切线方程得(2)42af b '=-，(2)ln 24f a b =-，∴432ab -=-， 且ln2462ln222ln24a b -=-++=-，解得2a =，1b =． （2）则2()2ln f x x x =-， 令2()()2ln h x f x m x x m '=+=-+， 则2()2h x x x'=-，令()0h x '=，得1x =（1x =-舍去）． 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内，当1,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '>， 即()h x 是增函数；当(]1,e x ∈时，()0h x '<，即()h x 是减函数，则方程()0h x =在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个不等实根的充要条件是10e (1)0(e)0h h h ⎧⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎪⎪>⎨⎪⎪⎪⎩≤≤，即2112em <+≤， 故答案为：211,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦．四、附加题：（本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本小题满分8分）在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =．求t a n 2t a n t a n t a n t a A B C A B C ++的最小值． 【答案】16．【解析】sin()2sin sin B C B C +=， sin cos cos sin 2sin sin B C B C B C +=，∴tan tan 2tan tan B C B C +=， tan tan tan tan()1tan tan B CA B C B C+=-+=-，2tan tan 1tan tan B CB C-=-，设tan tan B C t =，∴1t >， ∴原式22211t tt t t t--=++⋅--， 2222221t t t t t-+--=-， 241t t =-， 2(1)2(1)141t t t -+-+=⋅-， 14(1)21t t ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦，∴最小值为16．20．（本小题满分12分）在ABC △中，已知(1,0)B -，(1,0)C ，且sin sin 2sin B C A +=． （1）求顶点A 的轨迹M 的方程．（2）直线l 过点(1,0)B -，且与轨迹M 交于P ，Q 两点，求CPQ △的内切圆面积的最大值． 【答案】见解析．【解析】（1）sin sin 2sin B C A +=， ∴2b c a +=， ∴||||4AC AB +=，∴22143x y +=． （2）内切圆面积最大，即内切圆半径最大， 111222CPQ S r PQ r QC r PC =⋅+⋅+⋅，1()2r PQ QC PC =++， 1842r r =⋅=， 即CPQ △面积最大时，r 最大，:1l x ky =-，22(43)690k y ky +--=， 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，1212||2S c y y =⋅⋅-=max 3S =，此时34r =， ∴内切圆面积最大为9π16．。