专题2.18 比较大小(解析版)

专题06比较大小（解析版）在每年的高考数学卷中,“比较大小”是一类热点问题.考生们经常找不到解答问题的方法，乱猜导致丢分. 比较大小易错点易错点1：比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。

常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a a M M N N-= （3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>（4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a = （令c b =） log log m na a n N N m= 易错点2：混淆对数的符号如何快速判断对数的符号---八字真言“同区间正，异区间负”（1）如果底数和真数均在（0，1）中，或者均在（1，+∞）中，那么对数的值为正数； （2）如果底数和真数一个在（0，1）中，一个在（1，+∞）中，那么对数的值为负数. 易错点3：没有选中合适的中间量利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计. 题组一1.(2016全国III)已知432a =，344b =，1325c =，则（ ） A.b a c << B.a b c << C.b c a << D.c a b <<【解析】因为4133216a ==，2155416b ==，1325c =，且幂函数13y x =在R 上单调递增，指数函数16xy =在R 上单调递增，所以b a c <<，故选A ．2.（2013新课标）设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则（ ）A. a b c >>B.b c a >>C.a c b >>D.c b a >>【解析】法1：33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+，由下图可知D 正确．法2： 3321log 61log 21log 3a ==+=+， 5521log 101log 21log 5b ==+=+， 7721log 141log 21log 7c ==+=+， 由222log 3log 5log 7<<，可得答案D 正确． 题组二3.（2019全国Ⅰ理3）已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 【解析】依题意22log 0.2log 10a ==＜， 0.20221b ==＞，因为0.3000.20.21=＜＜， 所以0.30.201c =∈（，），所以a c b ＜＜.故选B ．4.已知,,a b c 均为正数，且a a21log 2=1122211,log ,log 22b ca abc ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c <<【解析】如图，在平面直角坐标系中画出函数12212,log ,,log 2xx y y x y y x ⎛⎫==== ⎪⎝⎭的图像，可得a b c << 题组三★5．若a b >，则( ) A ．()0ln a b -> B ．33ab < C ．330a b -> D ．||||a b >yx1cb a x =2O【解析】取0,1,a b ==-()ln ln10,a b A -==则排除01133133,,3a b B -==>==排除()3333011,a b C =>-=-=故对，01,a b D =<=排除,故选C6.(2016全国I) 若101a b c >><<，，则（ ） A.c c a b < B.c c ab ba < C.log log b a a c b c<D.log log a b c c<【解析】选项A ，考虑幂函数cy x =，因为0c >，所以cy x =为增函数，又1a b >>，所以cca b >，A 错．对于选项B ，ccab ba <()cbb aa ⇔<，又()xb y a=是减函数，所以B 错．对于选项D ，由对数函数的性质可知D 错，故选C ．7．（2017新课标Ⅰ）设x y z ，，为正数，且235xyz==，则（ ） A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z <<【解析】设235xyzk ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =，5log z k =， 所以22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ， 22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ．★8．(2018全国卷Ⅲ)设3.0log 3.0log 22.0==b a ，，则( ) A ．0<<+ab b a B ．0<+<b a ab C ．ab b a <<+0 D ．b a ab +<<0 【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=， 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a bab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．题组四9．（2019全国Ⅲ理11）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则( )A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->> D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【解析】 ()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331(log )(log 4)4f f =，因为33log 4log 31>=，2303202221--<<<=，所以23323022log 4--<<<，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233231(2)(2)(log )4f f f -->>. 故选C ． 10.（20152）设函数f’(x)是奇函数()()f x x R ∈的导函数，0)1(=-f ，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A.(,1)(0,1)-∞-UB.(1,0)(1,)-+∞UC.(,1)(1,0)-∞--UD.(0,1)(1,)+∞U 【解析】令()()f x h x x=，因为()f x 为奇函数，所以()h x 为偶函数，由于 2()()()xf x f x h x x'-'=，当0x >时，'()()xf x f x - 0<，所以()h x 在(0,)+∞ 上单调递减，根据对称性()h x 在(,0)-∞上单调递增，又(1)0f -=，(1)0f =， 数形结合可知，使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-U ．。

有理数的大小比较（4种题型）【知识梳理】1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【考点剖析】 题型一：借助数轴直接比较数的大小例1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－112，4，0.解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 解：如图所示：1a b >a b >1a b =a b =1ab<a b <因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－112＜0＜12＜4＜＋5.方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式1】在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，1-22，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）【答案】数轴见详解，1(3)2(1)452−+<−<−−<−<．【分析】将各数表示在数轴上，再用“＜”连接即可． 【详解】解：如图所示：∴用“＜”连接各数为：1(3)2(1)452−+<−<−−<−<；【点睛】此题考查了有理数大小比较，以及数轴，将各数正确表示在数轴上是解本题的关键．【变式2】如图，数轴上依次有四个点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的数互为相反数，则在这四个点中表示的数绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．PC ．ND ．Q【答案】D【分析】先利用相反数的定义确定原点为线段MN 的中点，则可判定点Q 到原点的距离最大，然后根据绝对值的定义可判定点Q 表示的数的绝对值最大． 【详解】解：∵点M ，N 表示的数互为相反数， ∴原点为线段MN 的中点， ∴点Q 到原点的距离最大， ∴点Q 表示的数的绝对值最大． 故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了相反数． 【变式3】（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－13，52，0.25（2）比较下列各组数的大小①35-与34− ②| 5.8|−−与( 5.8)−−【答案】（1）数轴见详解；10.2503523−<−<<<；（2）①3354−>−；② 5.8(5.8)−−<−− 【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小； （2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴如图所示：由题意，3−的相反数是3；0的相反数是0；13−的相反数是13；52的相反数是52−；0.25的相反数是0.25−；∴10.2503523−<−<<<；（2）①∵3354<， ∴3354−>−； ②| 5.8| 5.8−−=−，( 5.8) 5.8−−=， ∴5.8(5.8)−−<−−；【点睛】本题考查了数轴的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．题型二：借助数轴间接比较数的大小例2.已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示．比较a 、b 、－a 、－b 的大小，正确的是( )A ．a ＜b ＜－a ＜－bB ．b ＜－a ＜－b ＜aC ．－a ＜a ＜b ＜－bD ．－b ＜a ＜－a ＜b解析：由图可得a ＜0＜b ，且|a|＜|b|，则有：－b ＜a ＜－a ＜b.故选D.方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式1】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ） A ．2− B ．1.3C ．0.4−D ．0.6【答案】C【分析】离原点最近，即求这四个点对应的实数绝对值的最小值即可．【详解】解：22,1.3 1.3,0.40.4,0.60.6−==−==又2 1.30.60.4>>>∴离原点最近的是0.4−，故选：C ．【点睛】本题考查有理数的大小比较、有理数与数轴的对应关系、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知0a <，0ab <，且a b >，那么将a ，b ，a −，b −按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A ．a b b a −>−>> B ．b a a b >>−>− C ．b a a b >−>>− D ．a b b a −>>−>【答案】D【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵a ＜0，ab ＜0， ∴b ＞0， 又∵|a|＞|b|，∴设a=-2，b=1，则-a=2，-b=-1 则-2＜-1＜1＜2． 故-a ＞b ＞-b ＞a ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的数值，再比较大小．题型三：运用法则直接比较大小 例3.比较下列各对数的大小：①－1与－0.01； ②2−−与0； ③－0.3与31−； ④⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−91与101−−。

专题2.18 有理数的除法（拓展提高）一、单选题1．下列计算中，正确的是（ ）． A ．1515-=- B ．4.5 1.7 2.5 1.8 5.5--+=C ．()22--=D ．()1313-÷-=【答案】C【分析】根据绝对值、相反数、有理数加减和乘除运算的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】1515-=，故选项A 错误； 4.5 1.7 2.5 1.8 2.1--+=，故选项B 错误；()22--=，故选项C 正确；()111133339⎛⎫-÷-=-⨯-= ⎪⎝⎭，故选项D 错误； 故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值、相反数、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、相反数、有理数加减和乘除运算的性质，从而完成求解．2．在数轴上有a 、b 两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0ab >C ．0a b -<D ．0ab> 【答案】C【分析】根据数轴上的位置判断a 、b 两个有理数的正负和绝对值大小即可． 【详解】解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，a b >， ∴0a b +<，0ab <，0ab<，0a b -<， ∴A 、B 、D 错误，C 正确; 故选：C ．【点睛】本题考查了数轴上表示数和有理数的运算，解题关键是通过数轴确定两个有理数的正负和绝对值大小．3．已知数a b c ，，的大小关系如图所示，下列选项中正确的有（ ）个 ①0abc > ②0a b c +-> ③||1||||a b c a b c++= ④||||||2a b c a b c a --++-=-A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】根据数轴可以得到a<0，c>b>0，|c|>|a|>|b|，再根据有理数的乘除法法则，有理数的加法法则及绝对值的性质即可得出答案．【详解】解：由数轴可得a<0，c>b>0，|c|>|a|>|b|， ∴①0abc <，故①错误；②∵c>b ，∴b-c<0，∵a<0，∴0a b c +-<，故②错误； ③∵a<0，∴1a a =-，∵c>b>0，∴1b b =，1c c =，∴||1111||||a b c a b c++=-++=，故③正确；④∵a<0，b>0，∴a-b<0，∴|a-b|=b-a ，∵a<0，c>0，且|c|>|a|，∴c+a>0，∴|c+a|=c+a ，∵c>b>0，∴b-c<0，∴|b-c|=c-b ，∴||||||2a b c a b c b a c a c b a --++-=---+-=-，故④正确． ∴③④两个正确． 故选C ．【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负，有理数的运算法则，绝对值的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 4．下列说法正确的是（ ） A ．绝对值是本身的数都是正数 B ．单项式23x y 的次数是2C ．除以一个不为0的数，等于乘以这个数的相反数D ．3π是一个单项式【答案】D【分析】根据绝对值的意义、有理数的除法法则、单项式的定义进行判断即可． 【详解】解：A 选项，绝对值是本身的数是正数或0，故原说法错误；B 选项，单项式23x y 的次数是3，故原说法错误；C 选项，除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，故原说法错误；D 选项，3π表示一个数，是一个单项式，故正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了绝对值、单项式的定义以及有理数的除法，熟记相关定义和法则是解答本题的关键．5．有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若14a =，则2020a 为（ ） A ．2- B ．4 C ．34D ．13-【答案】B【分析】根据题意分别求出121131144a a =-=-=，231411133a a =-=-=-，34111(3)4a a =-=--=，由此得到规律进行计算即可 【详解】∵14a =， ∴121131144a a =-=-=，231411133a a =-=-=-，34111(3)4a a =-=--=，，数列每3个数为一个周期循环， ∵202036731÷=，∴2020a 个数与第一个数相等，即2020a =4， 故选：B【点睛】此题考查数字的变化规律，有理数的减法法则，除法法则，解此题的关键是能从所给出的条件中找到数据变化的规律 6．a 是有理数，我们把22a-称为a 的“哈利数”．如：3的“哈利数”是223=-2-，2-的“哈利数”是212(2)2=--，已知13a =，2a 是1a 的“哈利数”，3a 是2a 的“哈利数”，4a 是3a 的“哈利数”，．．．，依此类推，则2010a =（ ） A ．12B ．2-C ．3D ．43【答案】B【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，而20104=5022÷，从而可得答案．【详解】解：∵13a =，()23452212422,,,3,142322232223a a a a ∴==-======-----∴该数列每4个数为一周期循环， ∵20104=5022÷，∴20102 2.a a ==- 故选：B ．【点睛】本题考查数字的变换规律，列代数式，同时考查有理数的加减运算，除法运算，根据题意得出该数列每4个数为一周期循环是关键．二、填空题7．定义一种新的运算：x *y =2x y x +，如：3*1=3213+⨯=53，则2*3=__________． 【答案】4【分析】把原式利用题中的新定义计算转换为有理数运算，即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：2232*342+⨯==， 故答案为：4【点睛】此题考查了新定义运算和有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 8．已知：2|2|(1)a b +++取最小值，则aab b+=________． 【答案】4【分析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a 、b 的值，再代入求值即可得． 【详解】20a +≥，2(1)0b +≥，2120()b a +∴++≥，∴当2120,0()b a ++==时，212()b a +++取得最小值0，20,10a b ∴+=+=，解得2,1a b =-=-， 则()2122214a ab b +=-⨯-+=+-=-， 故答案为：4．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘除法与加法，熟练掌握绝对值与偶次方的非负性是解题关键．9．有时两数的和恰等于这两数的商，如()4242-+=-÷，42423333+=÷等．试写出另外1个这样的等式______． 【答案】993322-+=-÷． 【分析】根据两数的和恰等于这两数的商的要求，举出实例即可．【详解】解：993322-+=-÷，()()11-1-122+=÷． 故答案为：993322-+=-÷．【点睛】本题考查生活经验的积累问题，掌握两数的和恰等于这两数的商是解题关键．10．已知m 、n 为有理数，那么m n -可看成数轴上表示数m 和数n 的两点之间的距离．若有理数x 在数轴上的位置如图所示，则22x x +-型的值为________．【答案】1【分析】由数轴上表示x 的点的位置，得到x 小于-2，可得出x+2都小于0，利用绝对值的代数意义：负数的绝对值等于它的相反数化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：由数轴上表示x 的点的位置,得到x<-2， ∴x+2<0， ∴22x x +-＝22x x ----=1，故答案为1．【点睛】本题考查了数轴，绝对值，熟练掌握绝对值的化简是解本题的关键．11．对于任意有理数a ，b ，c ，d ，规定一种运算：a a c d b b d c =-，例如5(3)51231217⨯--⨯=-=-．那么3234--=_________．【答案】6【分析】根据规定的运算进行列式，再根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】()()323423126634-=⨯--⨯-=-=-．故答案为：6．【点睛】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，理解题意，掌握运算法则是解题的关键． 12．如图，有理数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示： 则下列结论：①a+b-c ＞0：②b-a ＜0：③bc-a ＜0：④|a|b |c|-+=1a |b|c．其中正确的是_______．【答案】②③．【分析】根据数轴，得到11b a c <-<<<，然后绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则11b a c <-<<<，∴0a b c +-<，故①错误；0b a -<，故②正确； 0bc a -<，故③正确；1(1)13acb a b c-+=--+=，故④错误； 故答案为：②③．【点睛】本题考查了数轴的定义，绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴的定义，正确得到11b a c <-<<<．13．一天，甲乙两人利用温差测试测量山峰的高度，甲在山顶测得的温度是-4℃，乙此时在山脚测得的温度是8℃．已知在该地区高度每增加100米，气温大约降低0.6℃，则这个山峰的高度大约是__________米． 【答案】2000【分析】先根据题意列出运算式子，再计算有理数的加减乘除运算即可得． 【详解】由题意得：()()840.6100840.6100--÷⨯=+÷⨯⎡⎤⎣⎦，120.6100=÷⨯，=⨯，20100=（米），2000故答案为：2000．【点睛】本题考查了有理数加减乘除运算的实际应用，依据题意，正确列出运算式子是解题关键．14．1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数m最少经过6步运算可得到1，则m的值为__．【答案】10或64【分析】根据得数为1，可倒推出第5次计算后得数一定是2，第4次计算后得4，依此类推，直至倒退到第1次前的数即可．【详解】解：如图，利用倒推法可得：由第6次计算后得1，可得第5次计算后的得数一定是2，由第5次计算后得2，可得第4次计算后的得数一定是4，由第4次计算后得4，可得第3次计算后的得数是1或8，其中1不合题意，因此第3次计算后一定得8 由第3次计算后得8，可得第2次计算后的得数一定是16，由第2次计算后得16，可得第1次计算后的得数是5或32，由第1次计算后得5，可得原数为10，由第1次计算后32，可得原数为64，故答案为：10或64．【点睛】考查有理数的运算，掌握计算法则是正确计算的前提，理解题意是重中之重．三、解答题 15．计算 （1）77()8181-+-= （2）()015-- = （3）( 2.25)(80)-⨯+=（4）3217⎛⎫÷-⎪⎝⎭= 【答案】（1）0；（2）15；（3）-180；（4）-49【分析】（1）先化简绝对值，再根据有理数加法法则计算； （2）先将减法化为加法再计算； （3）根据乘法法则计算；（4）将除法化为乘法，再根据乘法法则计算． 【详解】（1）77()8181-+-=77()8181-+=0； （2）()015-- =0+15=15； （3）( 2.25)(80)-⨯+=-180； （4）3217⎛⎫÷-⎪⎝⎭=721()3⨯-=-49． 【点睛】此题考查有理数的加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则，熟练掌握各计算法则是解题的关键．16．如图A 在数轴上所对应的数为2-．（1）点B 在点A 右边距A 点4个单位长度，求点B 所对应的数；（2）在（1）的条件下，点A 以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点B 以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，当点A 运动到6-所在的点处时，求,A B 两点间距离． 【答案】（1）2；（2）14个单位长度【分析】（1）根据左减右加可求点B 所对应的数；（2）先根据时间=路程÷速度，求出运动时间，再根据列出=速度×时间求解即可．【详解】解：（1）-2+4=2．故点B所对应的数是2；（2）（-2+6）÷2=2（秒），2+2+（2+3）×2=14（个单位长度）．答：A，B两点间距离是14个单位长度．【点睛】本题考查了数轴，有理数的混合运算，解题的关键是理解题意，列出算式．17．某集团公司对所属甲．乙两分厂下半年经营情况记录（其中“+”表示盈利，“﹣”表示亏损，单位：亿元）如下表．（1）计算八月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？（2）分别计算下半年甲、乙两个工厂平均每月盈利或亏损多少亿元？【答案】（1）0.3亿元，（2）甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．【分析】（1）由表可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，由此可得出结果．（2）将甲乙两厂每个月的盈利相加即可得出结果．【详解】解：（1）由图可得出乙厂亏0.7亿元，甲厂亏0.4亿元，0.7-0.4=0.3（亿元）∴可得出乙比甲多亏0.3亿元．（2）甲：﹣0.2﹣0.4+0.5+0+1.2+1.3＝2.4亿元，2.4÷6=0.4（亿元）；乙：1.0﹣0.7﹣1.5+1.8﹣1.8+0＝﹣1.2亿元，-1.2÷6=-0.2（亿元）．∴甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元．答：八月份乙厂比甲厂多亏损0.3亿元；甲平均每月盈利0.4亿元，乙平均每月亏0.2亿元【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的加减法，解题关键正确理解正负数的意义，准确进行计算．18．请你先认真阅读材料：计算12112 ()() 3031065 -÷-+-解：原式的倒数是21121-+()3106530⎛⎫-÷-⎪⎝⎭＝2112()(30)31065-+-⨯-＝23×（﹣30）﹣110×（﹣30）+16×（﹣30）﹣25×（﹣30）＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12） ＝﹣20+3﹣5+12 ＝﹣10 故原式等于﹣110再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算：11322()()4261437-÷-+-． 【答案】114-． 【分析】根据题意，先计算出113224261437⎛⎫⎛⎫-÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的倒数132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果，再算出原式结果即可．【详解】解：原式的倒数是：132216143742⎛⎫⎛⎫-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132********⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭13224242424261437⎛⎫=-⨯-⨯+⨯-⨯ ⎪⎝⎭()792812=--+-14=-，故原式114=-． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，读懂题意，并能根据题意解答题目是解决问题的关键．19．设0a >，x ，y 为有理数，定义新运算：||a x a x =⨯※．如323|2|6=⨯=※，()414|1|a a -=⨯-※．（1）计算20210※和()20212-※的值．（2）若0y <，化简()23y -※．（3）请直接写出一组,,a x y 的具体值，说明()a x y a x a y +=+※※※不成立．【答案】（1）0；4042；(2)6y -；（3）1a =，2x =，3y =-（答案不唯一）【分析】(1)根据题意※表示前面的数与后面数的绝对值的积，直接代入数据求解计算；(2)有y<0，得到y 为负数，进而得到-3y 为正数，去绝对值后等于本身-3y ，再代入数据求解即可；(3)按照题意要求写一组具体的,,a x y 的值再验算即可．【详解】解：(1)根据题意得:202102021|0|0=⨯=※； ()202122021|2|4042-=⨯-=※；(2)因为0y <，所以30y ->，所以()()232|3|236y y y y -=⨯-=⨯-=-※；(3)由题意，当,,a x y 分别取1a =，2x =，3y =-时，此时()2311※※(-1)=1-=，而11※2※(-3)=2+3=5+，所以，()a x y a x a y +=+※※※不成立．【点睛】本题是新定义题型，按照题目中给定的运算要求和顺序进行求解即可．20．我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数，小浩受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成了三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A 类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B 类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C 类，例如3，6，9等．（1）2020属于 类（填A ，B 或C ）；（2）①从A 类数中任取两个数，则它们的和属于 类（填A ，B 或C ）；②从A 类数中任意取出15个数，从B 类数中任意取出16个数，从C 类数中任意取出17个数，把它们都加起来，则最后的结果属于 类（填A ，B 或C ）；（3）从A 类数中任意取出m 个数，从B 类数中任意取出n 个数，把它们都加起来，若最后的结果属于C 类，则下列关于m ，n 的叙述中正确的是 （填序号）．①m +2n 属于C 类；②|m ﹣n |属于B 类；③m 属于A 类，n 属于C 类；④m ，n 属于同一类．【答案】（1）A；（2）①B；②B；（3）①④【分析】（1）计算2020÷3，根据计算结果即可求解；（2）①从A类数中任取两个数进行计算，即可求解；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，再除以3，根据余数判断即可求解；（3）根据m，n的余数之和，举例，观察即可判断．【详解】解：（1）2020÷3＝673…1，所以2020被3除余数为1，属于A类；故答案为：A；（2）①从A类数中任取两个数，如：（1+4）÷3＝1…2，（4+7）÷3＝3…2，被3除余数为2，则它们的和属于B类；②从A类数中任意取出15个数，从B类数中任意取出16个数，从C类数中任意取出17个数，把它们的余数相加，得（15×1+16×2+17×0）＝47÷3＝15…2，∴余数为2，属于B类；故答案为：①B；②B；（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数，余数之和为：m×1+n×2＝m+2n，∵最后的结果属于C类，∴m+2n能被3整除，即m+2n属于C类，①正确；②若m＝1，n＝1，则|m﹣n|＝0，不属于B类，②错误；③若m＝1，n＝1，③错误；④观察可发现若m+2n属于C类，m，n必须是同一类，④正确；综上，①④正确．故答案为：①④．【点睛】本题考查了新定义的应用和有理数的除法，解题的关键是熟练掌握新定义进行解答．。

秒杀题型：比较大小①同底或同指〔或可化简为同底与同指〕比较大小:【解析】：x y ，而y x 3为增函数，所以选A 。

1.〔2021年新课标全国卷118〕设a log 3 6,b log 510,clog 714.那么 ( )A. c b aB. b c aC. a c bD. a b c【解析】：法一：可化简为同底对数型log 3 6 1 log 3 21 1， 1 b log 510=1 log 5 2 1 -log 23log 2 51c log 714 = 1 log 7 21 - ，选D 。

log 2 7秒杀思路：构造指 、对数及其它函数，利用增减性比较大小。

1 法二:构造函数 为减函数，选 D。

f (x) log x 2x 1 log x 21log 2 X2.〔高考题〕log 2 a 5 g2,b 5Iog 4,clog 3-，那么 5A. a b cB. b a cC. a c bD. C【解析】：a 5log 2,b5log ^'3T6,clog 510 3可,log 2log10 log 2，选C 。

3.(高考题)a log 2 3.6, b C. ba cD. c a选B 。

4 21a 23,b45,c253，那么()C.bc aD .c ab422a 23 4345 ，由幕函数的单调性得2 2 2c 25353 43，选 A 。

( )33A. x yB.sinx sinyC.l n(x 21) ln(y 21)1 1 x2 1 y 2 1log 4 3.2, c log 4,那么( ) A. a b cB. a c b【解析】log 2 3.6 log 42，4. 〔2021年新课标全国卷III6〕 A. b a cB. a b c【解析】：由指数函数的单调性得 5. 〔高考题〕实数x, y 满足a xa y 〔0 a 1〕,那么以下关系式恒成立的是b6.〔高考题〕定义在R 上的函数f x 2|x m1 〔 m 为实数〕为偶函数，记法二:构造函数 —，求导可知单调区间为：当X e 时,单调递减，而 — —x24仿照上题的两种解法，选②不同底或不同指比较大小:秒杀思路：先划分区间，一般划分为〔,0〕,〔0,1〕,〔1,〕三个区间，假设比较不出，再细化区间。

专题3-5 导数技巧：比大小目录【题型一】对数函数基础构造1：xlnx 型............................................................................................... 1 【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x 型 ............................................................................................. 3 【题型三】指数函数基础构造 .................................................................................................................. 4 【题型四】“取对数”法 ............................................................................................................................ 6 【题型五】指数切线构造：()e 1xx -+ (7)【题型六】对数切线构造 (9)【题型七】反比例构造:2(1)ln 1x x x -<+型 (12)【题型八】“零点”构造法 ...................................................................................................................... 13 【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造 ................................................................................... 14 【题型十】“同构”构造：差、商、积同构 ........................................................................................... 17 【题型十一】泰勒逼近 ............................................................................................................................ 19 【题型十二】帕德逼近 ............................................................................................................................ 20 【题型十三】综合 .................................................................................................................................... 22 二、真题再现 ............................................................................................................................................ 24 三、模拟检测 .. (26)【题型一】对数函数基础构造1：xlnx 型【典例分析】（2022·全国·高三专题练习）已知1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且ln55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，则（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ．a b c << 【答案】A【分析】构造函数()ln f x x x =，根据单调性即可确定,,a b c 的大小.【详解】设函数()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当1,,()0e x f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递增，当10,,()0e x f x ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，由题ln55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，得11111111ln ln ,ln ln ,ln ln ln 55332244a a b b c c ====，因为1111543e <<<，所以111111ln ln ln 554433>>，则ln ln ln a a c c b b >>，且1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以a c b >>.故选：A.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >> 【答案】D【分析】构造函数()()18ln f x x x =-，8x ≥，求其单调性，从而判断a ，b ，c 的大小关系. 【详解】构造()()18ln f x x x =-，8x ≥，()18ln 1f x x x +'=--，()18ln 1f x x x +'=--在[)8,+∞时为减函数，且()295558ln81ln8ln e 204444f =-+-=-<-=-<'，所以()18ln 10f x x x=-+-<'在[)8,+∞恒成立，故()()18ln f x x x =-在[)8,+∞上单调递减，所以()()()8910f f f >>，即10ln89ln98ln10>>，所以10988910>>，即a b c >>. 故选：D2.（2022·四川宜宾·二模（文））已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b a c << C ．a b c << D ．c b a << 【答案】A【分析】先构造函数()()()20ln 9f x x x x =-≥，求导确定函数单调性，即可判断,,a b c 的大小.【详解】令()()()20ln 9f x x x x =-≥，则()120()ln 20ln 1f x x x x x x'=-+-⋅=-+-，显然当9x ≥时，()'f x 是减函数且20(9)ln 9109f '=-+-<，故()f x 是减函数，(9)(10)(11)f f f >>，即1110911ln 910ln109ln11,ln 9ln10ln11>>>>， 可得1110991011>>，即c a b <<. 故选：A.3.（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））设15ln13a =，14ln14b =，13ln15c =，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a b c >> 【答案】D【分析】构造函数()()()14ln 14f x x x =+-，利用函数()f x 的导数讨论函数()f x 的单调性.【详解】令()()()14ln 14f x x x =+- ，[]11x ∈-，，则()()1413=ln 14ln1501415x f x x x +'--<-<-， 所以()()()14ln 14f x x x =+-在[]11-，上单调递增 ，所以()()()101f f f -<<，即13ln1514ln1415ln13<<，所以，a b c >> 故选：D【题型二】对数函数基础构造2：lnx/x 型【典例分析】(2022·全国·模拟预测）已知1e a b <<<，有以下结论：①b aa b <；①ee ab ab >；①ee ab aa <；①ee b ba a <，则其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C【分析】构造()ln xf x x =，()1,e x ∈，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，①，在①的基础上得到①的正误，根据()xg x a =的单调性及①得到①的正误..【详解】设()ln x f x x =，()1,e x ∈，则()21ln 0x f x x -'=>在()1,e x ∈上恒成立，所以()ln xf x x=在()1,e x ∈上单调递增，因为1e a b <<<，所以ln ln a ba b<，即ln ln b a a b <，因为ln y x =单调递增，所以b a a b <，①正确； ln ln e 1e e b b <=，即ln eaba b <， 因为ln y x =单调递增，所以e <e ab a b ，①错误； 因为b a a b <，所以e <e ab b a ，①正确；因为()xg x a =单调递增，1e a b <<< 所以a b a a <，所以e <e aba a ，①正确. 故选：C【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数ln ()x f x x =，应用导数研究其单调性，进而比较2()3e af =，()b f e =，(3)c f =的大小，若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，构造2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，利用导数确定()0>g x ，进而得到212121ln ln 2x x x x x x ->-+，即可判断a 、c 的大小，即可知正确选项.【详解】令ln ()x f x x =，则222ln 3()33e e af e ==，ln ()e b f e e ==，ln 3(3)3c f ==，而21ln ()x f x x -'=且0x >，即0x e <<时()f x 单调增，x e >时()f x 单调减，又2133ee <<<，①b c >，b a >. 若ln x t x =有两个解12,x x ，则121x e x <<<，1(0,)t e ∈，即2121ln ln x x t x x -=-，1212ln x x x x t+=， 令2(1)()ln (1)1x g x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x g x x x -'=>+，即()g x 在(1,)+∞上递增， ①()(1)0g x g >=，即在(1,)+∞上，2(1)ln 1x x x ->+，若21x x x =即212121ln ln 2x x x x x x ->-+，故122ln t t x x >，有212x x e >①当23x =时，213e e x >>，故21()()(3)3e f f x f <=，综上：b c a >>.故选：A2.（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知44ln5,5ln4,5ln a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．a c b << D ．c b a << 【答案】B【分析】令()()ln e xf x x x=≥，利用导数判断()f x 在()e,+∞上的单调性，即可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()()ln e xf x x x=≥，可得()1ln 1ln x x x x f x x x ⋅--'==，当x e ≥时，()0f x '≤恒成立，所以()ln xf x x=在()e,+∞上单调递减，所以()()()π45f f f >>，即ln πln 4ln 5π45>>，可得4ln ln 4ππ>，5ln44ln5>，所以4ln ln 4，5ln 44ln5， 所以4π5ln π5ln 4>，ππ5ln 44ln5>，即c b >，b a >.所以a b c <<.故选：B.3.（2022·全国·高三专题练习（理））设20222020a =，20212021b =，20202022c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >> 【答案】A【分析】由于ln2020ln 2021ln2021ln 2022a b =，所以构造函数()()2ln 1xf x x e x =≥+，利用导数判断其为减函数，从而可比较出()()202020210f f >>，进而可比较出,a b 的大小，同理可比较出,b c 的大小，即可得答案【详解】①ln2020ln 2022ln20202021ln2021ln 2021ln20212022a b ==，构造函数()()2ln 1x f x x e x =≥+，()()21ln 1x x x f x x x +-'=+， 令()1ln g x x x x =+-，则()ln 0g x x '=-<，①()g x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，①()()2210g x g e e ≤=-<，故()0f x '<， ①()f x 在)2,e ⎡+∞⎣上单减，①()()202020210f f >>，①()()2020ln 1ln 2021f a b f =>①ln ln a b >.①a b >，同理可得ln ln b c >，b c >，故a b c >>，故选：A【题型三】指数函数基础构造【典例分析】设正实数a ，b ，c ，满足2ln 2a c e b b ce ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c << 福建省福州格致中学2022届高三10月月考数学试题 【答案】B 【分析】通过构造函数()(0)x f x xe x =>，利用导数判断函数的单调性，并判断c 的范围，通过变形得c b e =，得,b c 的大小关系，再直接解方程求a 的范围，最后三个数比较大小. 【详解】设()(0)x f x xe x =>，0x >时，()()10xf x x e '=+>恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递增，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x e ⎫∈⎪⎝⎭2<，所以1,12c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ln ln ln b c b b b e ce =⋅=，故ln b c =，即)c b e e =∈，而ln 2122a =<，所以a c b <<．故选：B【变式演练】1.已知,,a b c ∈R .满足3220ln ln ln b a cb a c==-<.则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >> 2020届湖北省高三下学期5月高考模拟调研考试理科数学试题 【答案】A 【分析】根据指数函数值域可确定1c >，(),0,1a b ∈；构造函数()()201ln xf x x x=<<，利用导数可知()f x 在()0,1上单调递减，利用232ln ln ln a b ba b b=<可知b a <，由此可得结果. 【详解】30b >，20a >，20c >，ln 0b ∴<，ln 0a <，ln 0c >， 01b ∴<<，01a <<，1c >；320b b>>，ln 0b <，232ln ln ln a b b a b b∴=<， 令()()201ln xf x x x=<<，则()()()22122ln 2ln 2ln 2ln ln ln x x x x x x x f x x x ⎛⎫⋅-⋅- ⎪⎝⎭'==， 当01x <<时，ln 0x <，10x-<，()0f x '∴<，()f x ∴在()0,1上单调递减， 22ln ln a ba b<，即()()f a f b <，b a ∴<，c a b ∴>>.故选：A . 2.已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（ ） A ．lg lg b a a b < B ．lg lg b a a b = C ．lg lg b a a b > D ．不确定 【答案】C 【分析】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解 【详解】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b ==考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<，b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aa b >，即lg lg b a a b >故选：C3.已知实数1232a e =，2343b e =，6787c e =，(e 为自然对数的底数)则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】A 【分析】由已知实数的形式构造函数11()x xx f x e x-+=，即有(2),(3),(7)a f b f c f ===，利用导数研究()f x 的单调性，再比较对应函数值的大小即可. 【详解】由题意，令11()x xx f x e x-+=，则(2),(3),(7)a f b f c f ===，而13()x xe f x x -'=，所以0x >时()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，①(2)(3)(7)f f f <<，即a b c <<， 故选：A【题型四】“取对数”法【典例分析】（2023·全国·高三专题练习）已知ln72a =，ln 63b =，ln54c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．a c b << 【答案】B【分析】对a ，b ，c 取对数，探求它们的结构特征，构造函数()()ln ln 9f x x x =⋅-(24x ≤≤)，借助导数判断单调性即可作答.【详解】对a ，b ，c 取对数得：ln ln2ln7a =⋅，ln ln3ln6b =⋅，ln ln4ln5c =⋅，令()()ln ln 9f x x x =⋅-(24x ≤≤)，()()ln 9x f x x-'=-()()()9ln 9ln ln 99x x x xx x x x ---=--， 令()ln ,1g x x x x =>，()ln 10g x x '=+>，即()ln g x x x =在(1,)+∞上单调递增， 由24x ≤≤得，951x x -≥>>，于是得()()9ln 9ln x x x x -->，又()90x x ->， 因此，()0f x '>，即()f x 在[]2,4上单调递增，从而得()()()234f f f <<， 即ln2ln7ln3ln6ln4ln5<<，ln ln ln a b c <<，所以a b c <<. 故选：B【变式演练】1.（2021·全国·高三专题练习）已知实数(),,0,a b c e ∈，且33a a =，44b b =，55c c =，则（ ） A ．c b a << B ．b c a << C ．a c b << D ．a b c << 【答案】A【分析】将已知的等式两边取对数可得ln 3ln 3a a =，ln 4ln 4b b =，ln 5ln 5c c =.设函数()ln xf x x=，求导，分析导函数的正负，得出所令函数的单调性，由此可得选项．【详解】由33a a =，44b b =，55c c =得ln33ln a a =，ln44ln b b =，ln55ln c c =，因此ln 3ln 3a a =，ln 4ln 4bb=，ln 5ln 5cc=. 设函数()ln xf x x=，则()()3f f a =，()()4f f b =，()()5f f c =，()21ln xf x x-'=，令()0f x '=，得x e =，所以()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 所以()()()345f f f >>，即()()()f a f b f c >>，又(),,0,a b c e ∈， 所以a b c >>，故选：A.2.（2022·全国·高三专题练习）已知3.9 3.8 3.9 3.83.9, 3.9, 3.8, 3.8a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（ ） A ．d c b a <<< B ．d b c a <<< C ．b d c a <<< D ．b c d a <<< 【答案】B【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数判断函数的单调性，可得()3.9(3.8)f f <，从而可得 3.8 3.93.9 3.8<，再由 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， 当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，故()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减，所以()3.9(3.8)f f <，所以ln 3.9ln 3.83.9 3.8<，3.8ln3.9 3.9ln3.8<所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<， 3.8 3.93.9 3.8<， 因为 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，所以 3.8 3.83.8 3.9<，同理 3.9 3.93.8 3.9<，所以 3.8 3.8 3.9 3.93.8 3.9 3.8 3.9<<<，故选：B3.已知5458<，45138<，设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，找出这三个数大小关系_________ 【答案】a b c << 【分析】把,,a b c 用换底公式变形，已知不等关系及3453>，3485<也取对数后，可把,,a b c 与中间值比较大小，从而得出结论． 【详解】由已知lg 3lg 5a =，lg 5lg8b =，lg8lg13c =，又5458<，则5lg54lg8<，①lg 54lg85b =<， 45138<，则4lg135lg8<，lg84lg135c =>， 又345125813=>=，①3lg54lg3>，lg 33lg 54a =<， 而3485126255=<=，①3lg84lg5<，lg 53lg84b =>， 综上有a b c <<．故答案为：a b c <<．【题型五】指数切线构造：()e 1x x -+【典例分析】（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））设a ＝1101，b ＝ln1.01，c ＝0.01e 1-，则（ ） A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b 【答案】A【分析】观察式子的结构，进而设 1.01x =，然后构造函数，随即通过求解函数的单调性得到答案.【详解】设 1.01x =，所以111,ln ,e 1x a b x c x-=-==-，设()()()e 11xf x x x =-+>，则()e 10xf x '=->，所以()f x 在（1，+∞）单调递增， 所以()()()21e 20e 10e 1x xf x f x x >=->⇒-+>⇒>+…①，所以1e x x ->…①，由①，()1111ln 11ln 1ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x->+⇒->⇒->⇒->-⇒>-…①，由①，1ln x x ->…①，由①①，1e 11ln x x x -->->，则c >b ， 由①，b >a ，所以c >b>a . 故选：A.【变式演练】1.（2022·河南·模拟预测（理））已知0.2111.2,,9a b c e ===，则（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．c b a <<【答案】C【分析】构造函数()()10xf x e x x =-->，()(1)(1)(01)x xg x x e x e x -<--<=+，利用导数研究函数的单调性，得出()f x ，()g x 的单调性，得出1(0)x e x x >+>，令0.2x =，可得出a c <，再由得出的21(01)1xx e x x+<<<-，令0.1x =，得出c b <，从而得出结果．【详解】解：先证1(0)x e x x >+>，令()()10x f x e x x =-->，则()10x f x e '=->，可知()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f >=，即1(0)x e x x >+>，令0.2x =，则0.2 1.2e >，所以a c <；再证21(01)1xx e x x+<<<-即证(1)(1)x x x e x e -+>-， 令()(1)(1)(01)x x g x x e x e x -<--<=+，则()()0x xg x x e e -'=->， 所以()g x 在()0,1上单调递增，所以()()00g x g >=，即21(01)1xxe x x+<<<-， 令0.1x =，则0.2119e <，所以c b <，从而a c b <<． 故选：C.2.（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知0.05a e =，ln1.112b =+，c = ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 【答案】D【分析】利用导数可求得1x e x >+，ln 1≤-x x ；分别代入0.1x =和 1.1x =，整理可得,,a b c 的大小关系.【详解】令()()10x f x e x x =-->，则()10xf e x ='->，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x >+，0.1 1.1e ∴>，0.05e ∴>a c >；令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=，ln 1x x ∴≤-（当且仅当1x =时取等号），1∴，即ln 12x +≤1x =时取等号），ln1.112∴+<b c <； 综上所述：a c b >>.故选：D.3.（2022·全国·高三专题练习）已知991001101,,ln101100-===a b e c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c << 【答案】B【解析】首先设()1x f x e x =--，利用导数得到()10x e x x >+≠，从而得到9910099111100100101b e a -=>-+=>=，设()ln 1g x x x =-+，利用导数得到()ln 11x x x <-≠，从而得到b c >和c a >，即可得到答案.【详解】设()1x f x e x =--，()1xf x e '=-，令()0f x '=，解得0x =.(),0x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数，()0,x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()()00f x f ≥=，即10x e x --≥，当且仅当0x =时取等号.所以()10xe x x >+≠.故9910099111100100101b ea -=>-+=>=，即b a >.设()ln 1g x x x =-+，()111x g x x x -'=-=，令()0g x '=，解得1x =.()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，()1,x ∈+∞，()0g x '<，()g x 为减函数.所以()()10g x g ≤=，即ln 10x x -+≤，当且仅当1x =时取等号.所以()ln 11x x x <-≠.所以1011011ln 1100100100c =<-=，又因为1100b >，所以bc >. 又因为()ln 11x x x ->-+≠，所以1011001001ln ln 1100101101101c a ==->-+==， 即c a >，综上b c a >>.故选：B【题型六】对数切线构造【典例分析】（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知12a >且122e a a -=，13b >且133e b b -=，14c >且144e c c -=，则（ ）A ．ln ln ln a b c bc ac ab <<B ．ln ln ln a c bbc ab ac << C ．ln ln ln c b a ab ac bc << D ．ln ln ln b a cac bc ab << 【答案】A【分析】对已知的等式进行变形，转化成结构一致，从而构造函数，确定构造的函数的性质，得到a 、b 、c 的大小，再根据选项构造函数，借助函数的单调性比较大小即可.【详解】由已知条件，对于122e a a -=，两边同取对数，则有1ln 2ln 2a a +=-，即111ln ln 2ln 222a a -=+=-，同理：11ln ln 33b b -=-；11ln ln 44c c -=-构造函数()ln f x x x =-，则()12f a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()14f c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.对其求导得：()()10x f x x x -'=> ∴当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；又12a >，13b >，14c >1a b c ∴<<<再构造函数()ln g x x x =，对其求导得：()()ln 10g x x x '=+>∴当10x e <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x e>时，()0g x '>，()g x 单调递增；()()()g a g b g c ∴<<即：ln ln ln a a b b c c << 又0abc >ln ln ln a b cbc ac ab<<∴.故选：A. 【提分秘籍】 基本规律指数和对数放缩法基础图【变式演练】1..（2022·山西运城·高三期末（理））已知(),,0,a b c ∈+∞，且121e e2aa --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5cc --=+，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】C【分析】构造函数()e xf x x =-，利用导函数可得函数的单调性，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >，即得.【详解】由题可得121e e 2a a --=+，131e e 3b b --=+，151e e 5c c --=+.令()e x f x x =-，则()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，①()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减，又()12f a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()13f b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()15f c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,,0a b c >，由111235-<-<-，可知111235f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即()()()f a f b f c >>，①c b a <<. 故选：C.2.（2021·四川·双流中学高三阶段练习（理））已知4ln 0,5ln 0,6ln 0456a b ca b c -=≠-=≠-=≠，则（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．a c b << 【答案】A【分析】根据给定条件构造函数()ln (0)f x x x x =->，探讨函数的单调性，借助单调性进行推理即可得解.【详解】令函数()ln (0)f x x x x =->，则11()1x f x x x'-=-=，则有()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，且x 趋近于0和趋近于正无穷大时，()f x 值都趋近于正无穷大，由4ln 04aa -=≠得，ln 4ln4a a -=-，即()(4)f a f =，且4a ≠，显然01a <<，若1a ≥，而()f x 在(1,)+∞上单调递增，由()(4)f a f =必有4a =与4a ≠矛盾，因此得01a <<，同理，由5ln 05bb -=≠得()(5)f b f =，且5b ≠，并且有01b <<，由6ln 06cc -=≠得()(6)f c f =，且6c ≠，并且有01c <<，显然有(4)(5)(6)f f f <<，于是得()()()f a f b f c <<，又()f x 在(0,1)上单调递减， 所以c b a <<.故选：A3.（2022·全国·高三专题练习）已知e 2.71828≈是自然对数的底数，设132,,ln 2e ea b c ==-，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【分析】首先设()xf x e=，利用导数判断函数的单调性，比较,a b 的大小，设利用导数判断1x e x ≥+，放缩ln 2c ，再设函数()ln xg x x e=-，利用导数判断单调性，得()20g >，再比较,b c 的大小，即可得到结果.【详解】设()xf xe=，()1f x e '=，当204e x ≤<时，()0f x '>，函数单调递增，当24ex >时，()0f x '<，函数单调递减，()()3,2a f b f ==，2234e <<时，()()32f f <，即a b <，设1x y e x =--，1x y e '=-，(),0-∞时，0y '<，函数单调递减，()0,∞+时，0y '>，函数单调递增，所以当0x =时，函数取得最小值，()00f =，即1x e x ≥+恒成立，即1> 令()ln x g x x e =-，()11g x e x'=-，()0,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，x e =时，函数取得最小值()0g e =，即()20g >，得：2ln 2e >2ln 2e<，即12ln 2ln 2e->，即b c <， 综上可知a b c <<故选：A【题型七】反比例构造:2(1)ln 1x x x -<+型 【典例分析】（2022·江苏·金陵中学二模）设 1.1e a =-1b =，2ln1.1c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b << 【答案】A【分析】利用幂函数和指数函数的性质判断的范围，a 利用基本不等式判断b 的范围，构造新函数并利用导数讨论函数的单调性求出c 的范围，进而得出结果.【详解】由3e 28<32e <31.1 1.52e <e e =，所以 1.1e1.1e 0-，即0a <1.41.21.21110.1842+<-<，即0.184b <；设2(1)()ln (0)1x f x x x x -=->+，则22214(1)()0(1)(1)x f x x x x x -=-=+'≥+，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =， 所以当(1,)x ∈+∞时()0f x >，即2(1)ln 1x x x ->+，当(0,1)x ∈时()0f x <，即2(1)ln 1x x x -<+，又1.11>，则()21.11ln1.10.0951.11->≈+，所以2ln1.10.19c =>，即0.19c >，综上，a b c <<.故选：A【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）若0.2e a =，b =ln3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 【答案】B【分析】构造函数()()e 10xf x x x =-->，利用导数可得0.2e 1.2b a >>=，进而可得 1.2e 3.2>，可得a c >，再利用函数()()21ln 1x g x x x -=-+，可得ln3.2 1.1>，即得.【详解】令()()e 10x f x x x =-->，则()e 10xf x '=->， ①()f x 在()0,∞+上单调递增，①0.20.21 1.2e a b >+===， 0.2 1.21.e ln 2e a >==，ln3.2c =，①()()()6551.262.7387.4,3.2335.5e e >≈≈=，① 1.2e 3.2>，故a c >，设()()21ln 1x g x x x -=-+，则()()()()()22221211011x x x g x x x x x +--=-=≥++'， 所以函数在()0,∞+上单调递增，由()10g =，所以1x >时，()0g x >，即()21ln 1x x x ->+， ①()()22121.6155ln 3.2ln 2ln1.611 1.11 1.613950--=+>+=>=+，又1 1.2 1.21,1 1.1b <<<=<，① 1.1c b >>，故a c b >>. 故选：B.2.（2022·江西·模拟预测（理））设24(2ln 4)e a -=，1e b =，ln 44c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（ ） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 【答案】A【分析】根据a 、b 、c 的结构，构造函数()ln xf x x=，利用导数判断单调性，即可比较出a 、b 、c 的大小，得到正确答案.【详解】因为222ln4(2ln 4)4e 4e a e -==，1ln e b e e ==，ln 44c =构造函数()ln x f x x =， 则()21ln xf x x -'=，24e a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()b f e =，()4c f =，()f x 在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减.则有()b f e =最大，即a b <，c b <.若ln x t x =有两个解，则1211,0,x e x t e ⎛⎫<<<∈ ⎪⎝⎭，所以1122ln ,ln ,x tx x tx ==所以1212ln ln ,x x tx tx -=-1212ln ln ,x x tx tx +=+即2121ln ln x x t x x -=-,()()1212ln ,x x t x x =+令()()()21ln 11x g x x x x -=->+，则()()()2101x x x x g -'=>+，故()g x 在()1,+∞上单增,所以()()10g x g >=，即在()1,+∞上，()21ln 1x x x ->+.若21x x x =，则有21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+. 故()122ln t t x x >，所以212x x e >.当24x =时，有214e x e <<，故()()2144e f f x f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以a c <.综上所述：a c b <<. 故选：A【题型八】“零点”构造法【典例分析】（2022·广东广州·高三开学考试）设ln1.1a =，0.1e 1b =-，tan0.1c =，0.4d π=，则（ ）A ．a b c d <<<B ．a c b d <<<C ．a b d c <<<D ．a c d b <<<【答案】B【分析】观察4个数易得均与0.1有关，故考虑()()ln 1a x x =+，()e 1xb x =-，()tanc x x =，()4d x x π=在0.1x =时的大小关系，故利用作差法，分别构造相减的函数判断单调性以及与0的大小关系即可.【详解】设()()ln 1a x x =+，()e 1xb x =-，()tanc x x =，()4d x x π=，易得()()()()0000a b c d ===.设()()4e 1xy d x b x x π=--+=，则令0e 4x y π'=-=有4ln x π=，故()()y d x b x =-在4,ln π⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增.①因为10101055544525243e 3.2416162π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即104e π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故410ln 1π>，即4ln 0.1π>，故()()()()0.10.1000d b d b ->-=，即d b >.①设()()e 1tan xy b x c x x --=-=，则222e 1cos 1c e os cos x xy x x x'=--=，设()2cos e 1x f x x =-，则()()()22cos 2si e e n sin 2sin 1x x x x f x x x '==---+.设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥，故()sin g x x x =-为增函数，故()()00g x g ≥=，即sin x x ≥.故()()()2221e e 12x xx x x f x ⎡⎤≥--+=-++⎣'⎦，当[]0,0.1x ∈时()0f x '>， ()2cos e 1x f x x =-为增函数，故()02cos 01e 0f x ≥-=，故当[]0,0.1x ∈时()()y b x c x =-为增函数，故()()()()0.10.1000b c b c ->-=，故b c >.①设()()()tan ln 1y c x a x x x -==+-，()2221sin cos co 111s x xy x x x x +-++'==，易得当()0,0.1x ∈时0y '>，故()()()()0.10.1000c a c a ->-=，即c a >. 综上d b c a >>>故选：B【变式演练】1.．（2020·北海市北海中学高三）已知1x ＝1ln 2，2x ＝12e -，3x 满足33ln xe x -=，则下列各选项正确的是 A ．132x x x << B ．123x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<【答案】B【详解】因为函数ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以11lnln102x =<=；12212101x ee-<====<；因为3x 满足33ln x e x -=，即3x 是方程1ln 0xx e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的实数根，所以3x 是函数()1ln xf x x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点，函数f (x )在定义域内是减函数，因为()11f e =，()110ef e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以函数有唯一零点，即()31,x e ∈.所以123x x x <<.【题型九】“跨界”构造：切、弦、指、对构造【典例分析】（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，其中e 2.71828=为自然对数的底数，则（ ） A ．c a b >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 【答案】B【分析】观察0.21,ln1.2,tan 0.2e a b c =-==，发现都含有0.2，把0.2换成x ，自变量在(0,1)或其子集范围内构造函数，利用导数证明其单调性，比较,,a b c 的大小.【详解】令cos cos sin ()1tan cos e e x xx x x f x x x--=--=，04x π<<，令()cos cos sin e x g x x x x =--，()(sin cos )sin cos (1)(cos sin )e e xx g x x x x x x x '=-++-=-⋅-，当04x π<<时，()0g x '>，()g x 单调递增， 又(0)110g =-=，所以()0>g x ，又cos 0x >，所以()0f x >，在(0,)4π成立，所以(0.2)0f >即a c >，令()ln(1)h x x x =+-，1()111x h x x x -=-=++'，()h x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0h x h <=，即ln(1)x x +<，令()tan m x x x =-，21()1cos m x x '=-，()m x 在(0,)2x π∈为减函数，所以()(0)0m x m <=，即tan x x <， 所以ln(1)tan x x x +<<，(0,)2x π∈成立， 令0.2x =，则上式变为ln(0.21)0.2tan 0.2+<<，所以0.2b c << 所以b c <， 所以b c a <<. 故答案为：B.【变式演练】1.（2022·全国·高三专题练习）设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin0.01tan0.01c =+，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．b c a >> 【答案】A【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan x f x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x --，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xx g x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos cos 6x x <<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递 2.（2022·四川·广安二中模拟预测（理））已知0πx y <<<，且e sin e sin y x x y =，其中e 为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ） A ．co co s 0s x y +<B ．cos cos 0x y +>C ．cos sin x y >D ．sin sin x y >【答案】B【分析】构造()sin e xxf x =，0πx <<，求导研究其单调性，判断出D 选项，利用同角三角函数关系得到AB 选项，构造差函数，得到π2x y >-，从而判断出C 选项.【详解】构造()sin e x x f x =，0πx <<，则()sin 0e x x f x =>恒成立，则()cos sin e xx xf x -'=，当π04x <<时，cos sin x x >，()cos sin 0e xx x f x -'=>， 当ππ4x <<时，cos sin x x <，()cos sin 0e xx xf x -'=< 所以()sin e x x f x =在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，因为0πx y <<<，所以π0π4x y <<<<，0e e x y <<， 又sin sin 0e ex y x y=>，所以0sin sin x y <<，D 错误，因为π0π4x y <<<<，所以cos 0x，cos y所以cos cos x y >，所以cos cos 0x y +>，A 错误，B 正确.令()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()()π2ππ22sin cos e e πcos sin sin cos 2e e e x xxx x x x x x x g x f x f x --⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎝⎭=+-=+= ⎪⎝'⎭'' 当0πx <<时，()0g x '>恒成立，所以()()π2g x f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在()0,π上单调递增，当π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()π02g x f x f x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，因为()()f x f y =，所以()π2f y f x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭。

２０２２年高考 比较大小 题目归类及解法耿㊀永(贵州省遵义市第十八中学㊀５６３０９９)摘㊀要:近几年ꎬ高考数学试卷中比较大小是热门题型ꎬ同时也是重点㊁难点ꎬ涉及到的知识主要有:作差法㊁作商法㊁找中间值法㊁切线放缩㊁不等式放缩㊁三角不等式㊁函数同构㊁泰勒展开式等.为了帮助学生更好地掌握 比较大小 题目的相关知识点ꎬ文章对２０２２年高考比较大小题目进行归纳整理ꎬ帮助学生准确理解㊁认识这类问题的常用解题方法.关键词:比较大小的方法ꎻ同构ꎻ放缩中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００８５－０３收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:耿永(１９８４.９－)ꎬ男ꎬ贵州省遵义人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究ꎮ㊀㊀２０２２年全国甲卷理科第１２题㊁２０２２年全国甲卷文科第１２题涉及到的解法有作商法㊁三角不等式法㊁找中间值法㊁构造函数法及高等数学中的泰勒展开式放缩等ꎬ现就这两题给出部分解法ꎮ例１㊀(２０２２全国甲卷理科第１２题)已知ａ＝３１３２ꎬｂ＝ｃｏｓ１４ꎬｃ＝４ｓｉｎ１４ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ｃ>ｂ>ａ㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃ㊀Ｃ.ａ>ｂ>ｃ㊀Ｄ.ａ>ｃ>ｂ知识铺垫㊀㊀记ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－１<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.所以ｆ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上单调递减.又ｆ(０)＝０ꎬ所以ｆ(ｘ)<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.即ｓｉｎｘ<ｘꎬｘɪ(０ꎬπ２).记ｇ(ｘ)＝ｘ－ｔａｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝１－１ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓ２ｘ－１ｃｏｓ２ｘ<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.所以ｇ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上单调递减ꎬｇ(０)＝０.所以ｇ(ｘ)<０在ｘɪ(０ꎬπ２)恒成立.即ｘ<ｔａｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ２).综上ꎬ当ｘɪ(０ꎬπ２)时ꎬｓｉｎｘ<ｘ<ｔａｎｘ.由ｓｉｎｘ<ｘꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ可构造函数Ｆ(ｘ)＝－ｃｏｓｘ－１２ｘ２＋１ꎬｘɪ(０ꎬπ２)ꎬ则Ｆᶄ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＝ｓｉｎｘ－ｘ<０.所以Ｆ(ｘ)在ｘɪ(０ꎬπ２)上单调递减.又Ｆ(０)＝０ꎬ所以Ｆ(ｘ)<０在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.５８即ｃｏｓｘ>－１２ｘ２＋１在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.解法１㊀ｃｂ＝４ｓｉｎ１４ｃｏｓ１４＝４ｔａｎ１４>４ˑ１４＝１ꎬ因为ｂ>０ꎬｃ>０ꎬ所以ｃ>ｂ.由上述证明知:ｃｏｓｘ>－１２ｘ２＋１在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.令ｘ＝１４得ｃｏｓ１４>－１２ˑ１４æèçöø÷２＋１＝３１３２.所以ｂ>ａ.综上ꎬｃ>ｂ>ａ.故选Ａ解法２㊀由泰勒展开式:ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ０)＋ｆᶄｘ０()１!(ｘ－ｘ０)＋ｆᵡ(ｘ)２!(ｘ－ｘ０)２＋ｆ(ｎ)(ｘ０)ｎ!(ｘ－ｘ０)ｎ＋Ｒｎ.对于函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓｘ在ｘ０＝０处有ｃｏｓｘ＝１－１２!ｘ２＋１４!ｘ４－ (－１)ｋｘ２ｋ(２ｋ)!＋０(ｘ２ｋ).所以ｃｏｓｘ>－１２ｘ２＋１在ｘɪ(０ꎬπ２)上恒成立.令ｘ＝１４得ｃｏｓ１４>－１２ˑ１４æèçöø÷２＋１＝３１３２.所以ｂ>ａ.例２㊀(２０２２年全国甲卷文科第１２题)已知９ｍ＝１０ꎬａ＝１０ｍ－１１ꎬｂ＝８ｍ－９ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ>０>ｂ㊀Ｂ.ａ>ｂ>０㊀Ｃ.ｂ>ａ>０㊀Ｄ.ｂ>０>ａ解法１㊀由选项知:可找中间值法ꎬ取中间值０.若ａ>０ꎬ则１０ｍ－１１>０.即１０ｍ>１１ꎬｍ>ｌｇ１１.由９ｍ＝１０ꎬ得ｍ＝ｌｏｇ９１０.所以ｌｏｇ９１０>ｌｇ１１.即ｌｇ１０ｌｇ９>ｌｇ１１.即ｌｇ１０>ｌｇ９ ｌｇ１１.ｌｇ９ ｌｇ１１<ｌｇ９＋ｌｇ１１２æèçöø÷２＝ｌｇ９９２æèçöø÷２<１＝ｌｇ１０.所以ａ>０成立.若ｂ<０ꎬ则８ｍ－９<０.即８ｍ<９.即ｍ<ｌｏｇ８９.由９ｍ＝１０ꎬ得ｍ＝ｌｏｇ９１０.所以ｌｏｇ９１０<ｌｏｇ８９.即ｌｇ１０ｌｇ９<ｌｇ９ｌｇ８.即ｌｇ８ ｌｇ１０<(ｌｇ９)２.又ｌｇ８ ｌｇ１０<ｌｇ８＋ｌｇ１０２æèçöø÷２<ｌｇ８１２æèçöø÷２＝(ｌｇ９)２ꎬ所以ｂ<０成立.综上ꎬａ>０>ｂ.故选Ａ.解法２㊀由ａ＝１０ｍ－１１＝１０ｍ－１０－１ꎬｂ＝８ｍ－９＝８ｍ－８－１ꎬ可构造函数ｆ(ｘ)＝ｘｍ－ｘ－１ꎬ此时ａ＝ｆ(１０)ꎬｂ＝ｆ(８).而ｆ(９)＝９ｍ－９－１＝９ｍ－１０＝０ꎬ由９ｍ＝１０ꎬ得ｍ＝ｌｏｇ９１０ɪ(１ꎬ３２).又ｆᶄ(ｘ)＝ｍｘｍ－１－１ꎬ由ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得ｍｘｍ－１＝１.即ｘ＝ｍ１１－ｍɪ(０ꎬ１).记ｘ０＝ｍ１１－ｍɪ(０ꎬ１)ꎬ如图１所示ꎬａ＝ｆ(１０)>０ꎬｂ＝ｆ(８)<０.图１综上ꎬａ>０>ｂ.故选Ａ.通过对２０２２年高考比较大小题目的解法可知:要想在短时间内准确解答此类题型ꎬ必须熟练掌握相应方法ꎬ同时对一些常用的放缩ꎬ如:ｅｘȡｘ＋１(当且仅当ｘ＝０时等号成立)ꎻｌｎｘɤｘ－１(当且仅当ｘ＝１时等号成立)ꎬ并在具体题目中归类整理ꎬ熟记一些二级结论及其变形公式ꎬ对解答此类题目都有很大帮助.６８练习１㊀已知ａ＝４＋２５ｌｎ２ꎬｂ＝２＋２１.２ꎬｃ＝２２.１ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ｂ<ａ<ｃ㊀Ｃ.ａ<ｃ<ｂ㊀Ｄ.ｃ<ｂ<ａ练习２㊀已知ａ＝ｌｎ４９６４ꎬｂ＝３－４ｅ２－３ꎬｃ＝４ｌｎ３－３３－１ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀)..Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ｃ<ａ<ｂ㊀Ｃ.ｃ<ｂ<ａ㊀Ｄ.ｂ<ｃ<ａ练习３㊀已知ａ＝８１０ꎬｂ＝９９ꎬｃ＝１０８ꎬ则ａꎬｂꎬｃ的大小关系为(㊀㊀).Ａ.ｂ>ｃ.ａ㊀Ｂ.ｂ>ａ>ｃ㊀Ｃ.ａ>ｃ>ｂ㊀Ｄ.ａ>ｂ>ｃ练习４㊀已知１１ｘ＝１２ꎬ１２ｙ＝１３ꎬꎬｌｏｇ１２１１ｚ＝１３１２ꎬ则ｘꎬｙꎬｚ的大小关系为.参考文献:[１]盛龙.高中数学不等式解题方法探析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(２５):４３－４４.[２]沈丽莉.高中数学学考常见不等式基本思路[Ｊ].教育界ꎬ２０２１(３５):１０－１１.[３]李光星.基于高中数学基本不等式解题技巧分析[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２１(１９):１６－１７.[４]林秋林. 实数中的比较大小 解法探究[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２０(１１):１０－１１＋１３.[５]徐珊威.高中数学最值问题的解题研究[Ｄ].昆明:云南师范大学ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]解三角形的最值问题马扬博㊀王桢宇(北京市第一七一中学㊀１０００１３)摘㊀要:本文通过研究一道解三角形习题ꎬ梳理了三角形面积最值问题的不同求解视角ꎬ低起点高站位ꎬ所用知识均源于课本ꎬ以学生视角探索解题思路.关键词:解三角形ꎻ面积公式ꎻ平面向量中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－００８７－０３收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:马扬博ꎬ男ꎬ高中在读ꎬ从事中学数学解题研究.王桢宇ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.１试题呈现例１㊀如图１ꎬ已知ａꎬｂꎬｃ分别为әＡＢＣ三个内角ＡꎬＢꎬＣ的对边ꎬＤ是ＢＣ的中点ꎬ且ＡＤ＝３ꎬＡ＝π３ꎬ求ＳәＡＢＣ的最大值.图１７８。

高考数学中的“比较大小”赏析高考数学中的“比较大小”问题是一类常见的命题形式，常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混合在一起进行排序。

解决这类问题可以从代数和几何两方面进行探究，即利用函数的性质及图像解答。

本文将通过典型的例题来说明此类问题的方法与技巧。

方法一：特殊值或特殊函数比较大小。

例如，对于题目“若a>b，则ln((a-b))>3aa^3>b^3>a>b”，可以通过代入特殊值或比较特殊函数值来解决。

方法二：不等式的性质比较大小。

例如，对于题目“若a>b>c<d<e，则abcbabab<cdcddcdc”，可以通过不等式的性质进行比较。

方法三：函数的单调性对称性比较大小。

例如，对于题目“已知奇函数f(x)在R上是增函数，若a=-f(log2)，则a<b<c或c<b<a”，可以通过函数的单调性和对称性进行比较。

在解决这类问题时，需要注意排除格式错误和明显有问题的段落，同时可以适当地改写每段话，使其更加清晰明了。

第一段话已经没有明显的问题，但是可以将其改写为更流畅的语言：已知函数f(x)为定义在实数集上的奇函数，且满足f(1+x)=f(1-x)。

当x∈[0,1]时，f(x)=ln(x^2+1)。

设a=f(log1/54)，b=f(2019/32)，c=f(3)，则a、b、c的大小关系是什么？第二段话存在格式错误，可以改写为：已知定义在实数集上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，且函数f(x)在(-∞,0)上是减函数。

设a=f(2cos(π/3))，b=f(log(1/4.1))，c=f(20.8)，则a、b、c的大小关系是什么？第三段话同样存在格式错误，可以改写为：已知函数f(x)=x-x^2+1，g(x)=log(1-x+1/2)的零点分别为a、b、c。

则a、b、c的大小关系是什么？1.格式错误已删除，无明显有问题的段落需要删除。

结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁”，通常是与0,1比较
通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间的大小关系.
比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：
（1）利用指数函数的单调性：y=a x，当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：y=log a x，当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减；
（1）作差法：作差与0作比较；
（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）；
结构相同的比较大小题目，可以构造函数，利用函数的单调性比较大小
通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构
造函数f(x)=
e x―x―1，利用导数证明得到x>0时，
e
x>x+1，进而放缩得到a=
e
0.2
>1+0.2=1.2=ln
e
1.2.
由数形结合可知sin x >3πx 在0,π
6
恒成立，所以sin π9>1
3，
所以c <a <b ，故选：A
当x∈(0,2)时，x2<2x；当x∈
由x=π∈(0,2)，故(π)2 <
所以b<a<c，
故选：A
8．（2023·河南开封·校考模拟预测）若。

数的大小比较试题1. 比较原理在数学中，比较两个数的大小是一项基本的运算。

通常使用大于（>）、小于（<）、等于（=）等符号来表示。

比较的结果可为真（True）或假（False），即表示一个数是否大于、小于或等于另一个数。

2. 整数比较（1）比较原则：对于两个整数a和b，可以采用以下规则进行比较：- 如果a大于b，则a > b为真；- 如果a小于b，则a < b为真；- 如果a等于b，则a = b为真。

（2）示例：- 比较整数17和23的大小：17 < 23 为真，17 > 23 为假，17 = 23 为假；所以，17小于23，23大于17。

- 比较整数-10和5的大小：-10 < 5 为真，-10 > 5 为假，-10 = 5 为假；所以，-10小于5，5大于-10。

3. 小数比较（1）比较原则：对于两个小数a和b，可以采用以下规则进行比较：- 如果a大于b，则a > b为真；- 如果a小于b，则a < b为真；- 如果a等于b，则a = b为真。

（2）示例：- 比较小数2.5和3.1的大小：2.5 <3.1 为真，2.5 > 3.1 为假，2.5 = 3.1 为假；所以，2.5小于3.1，3.1大于2.5。

- 比较小数-1.2和0的大小：-1.2 < 0 为真，-1.2 > 0 为假，-1.2 = 0 为假；所以，-1.2小于0，0大于-1.2。

4. 分数比较（1）比较原则：对于两个分数a/b和c/d，可以采用以下规则进行比较：- 将两个分数转换为相同的分母，再比较其分子的大小；- 如果分子相等，则比较分母的大小。

（2）示例：- 比较分数1/2和2/3的大小：将分数1/2转换为6分母得到3/6，分数2/3为4/6；3/6 < 4/6 为真，3/6 > 4/6 为假，3/6 = 4/6 为假；所以，1/2小于2/3，2/3大于1/2。

比多比少专项填空题(一)
比多比少专项 - 填空题
比多比少的概念解析
比多比少是数学中一个常见的概念，用于比较两个数的大小关系。

当我们想要判断两个数的大小时，可以通过比较它们的大小关系来得
出结论。

下面是一些相关的填空题，帮助学生加深对比多比少概念的
理解。

填空题
1.63 __ 49。

答案：>（大于）
解析：63大于49。

2.18 __ 23。

答案：<（小于）
解析：18小于23。

3.15 __ 15。

答案：=（等于）
解析：15等于15。

4.84 __ 84。

答案：=（等于）
解析：84等于84。

5.36 __ 36。

答案：=（等于）
解析：36等于36。

6.46 __ 64。

答案：<（小于）
解析：46小于64。

7.92 __ 86。

答案：>（大于）
解析：92大于86。

8.79 __ 81。

答案：<（小于）
解析：79小于81。

9.72 __ 72。

答案：=（等于）
解析：72等于72。

10.67 __ 54。

答案：>（大于）
解析：67大于54。

总结
通过以上填空题，希望能够帮助学生更好地理解比多比少的概念。

比较数的大小是数学中的基础内容，掌握好这一概念对于后续学习非
常重要。

不断练习和巩固比多比少的知识，可以帮助学生在数学学习
中取得更好的成绩。

高考数学比较大小专题高考数学比较大小专题是高考数学考试中的一个重要专题。

在这一专题中，考生需要掌握一些基本的数学知识和技巧，以便能够在考场上正确地解决大小关系的问题。

首先，考生应该掌握一些基本的数学符号和表示方法，如大于、小于、等于等。

其次，考生应该掌握一些基本的数学规律，如奇偶性、数列的通项公式、基本的组合数学等。

此外，考生还应该掌握一些基本的数学方法，如分式的化简、平方根的计算、指数的计算等。

这些方法将帮助考生在解决比较大小的问题时能够更加精确地运用数学知识。

另外，考生还应该注意在解决比较大小的问题时，要牢记一些基本的数学原理，如不等式的原理、比例的原理等。

这些原理能够帮助考生在解决复杂的比较大小的问题时找到正确的思路。

最后，考生还应该注意在解决比较大小的问题时要细心观察题目，要仔细读懂题目的意思，并注意题目中给出的数高考数学比较大小专题最后，考生还应该注意在解决比较大小的问题时要细心观察题目，要仔细读懂题目的意思，并注意题目中给出的数据是否完整。

如果题目中给出的数据不完整，考生应该尝试通过自己的推理和分析来补充缺失的信息。

同时，考生还应该注意题目中给出的数据是否符合常识，如果不符合常识，需要慎重考虑是否要调整解题的思路。

在解决比较大小的问题时，考生还应该注意不同类型的问题可能需要使用不同的解题方法。

例如，对于求最大值或最小值的问题，可以使用极值的概念来解决；对于求两个数的关系的问题，可以使用不等式的原理来解决。

考生应该根据题目的具体要求来选择合适的解题方法。

高考数学比较大小专题是高考数学考试中的一个重要专题，考生应该掌握一些基本的数学知识和技巧，并仔细观察题目，选择合适的解题方法，才能在考场上正确地解决大小高考数学比较大小专题总的来说，高考数学比较大小专题是高考数学考试中的一个重要专题，考生应该掌握一些基本的数学知识和技巧，并仔细观察题目，选择合适的解题方法，才能在考场上正确地解决大小关系的问题。

专题07 比较大小（选填题11种考法）考法一 与特殊值比较大小【例1-1】（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）已知0.23a =，30.2b =，3log 0.2c =，则（ ）A ．a b c>>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】A【解析】因为3x y =在R 上单调递增，且0.20>，所以0.20331a =>=；因为0.2x y =在R 上单调递减，且30>，所以3000.20.21b <=<=；因为3log y x =在()0,∞+上单调递增，且0.21<，所以33log 0.2log 10c =<=．综上所述，a b c >>，故选：A ．【例1-2】（2023·西藏林芝·校考模拟预测）若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b<<B ．c b a <<C ．b<c<a D ．c<a<b 【答案】B【解析】由对数函数2log y x =在()0,x ∈+∞上单调递增可知，22log 3log 21a =>=，可得()1,a ∈+∞；由对数函数3log y x =在()0,x ∈+∞上单调递增可知，3330log log 2log 131b =<<==，可得()0,1b ∈；由对数函数4log y x =在()0,x ∈+∞上单调递增可知，441log log 103c =<=，可得(),0c ∈-∞；所以可得c b a <<.故选：B【变式】1．（2023·陕西安康 ）设 1.2311,log 2,33a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．b a c>>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】因为3311log 2log 23b =>=>， 1.211133c a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b a c >>.故选：A2．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b>>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.3．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b<<【答案】D【解析】22log 0.3log 10<= ，<0a ∴，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>= ，1b ∴>，0.3000.40.41<<= ，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.4．（2023·西藏拉萨 ）设0.23a =，0.2log 0.3b =，3πtan 5c =则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】C【解析】0.20331a =>=，所以1a >；0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21b =<=<=，所以01b <<；3ππ52>，所以3πtan 05c =<，则c b a <<．故选：C.考法二 指数式比较大小【例2-1】（2023·天津·统考高考真题）若0.50.60.51.01, 1.01,0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a>>C ．a b c >>D ．b a c>>【答案】D【解析】由 1.01x y =在R 上递增，则0.50.61.01 1.01a b =<=，由0.5y x =在[0,)+∞上递增，则0.50.51.010.6a c =>=.所以b a c >>.故选：D【例2-2】（2023·山东聊城·统考三模）设0.50.2a =，0.20.5b =，0.5log 0.2c =则（）A ．a c b>>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．c b a >>【答案】D【解析】由0.2x y =单调递减可知：0.50.20.20.2<.由0.2y x =单调递增可知：0.20.20.20.5<，所以0.50.20.20.5<，即a b <，且1b <.由0.5log y x =单调递减可知：0.50.5log 0.2log 0.51c =>=，所以c b a >>.故选：D【例2-3】（2023·安徽淮南·统考一模）若75a =，86b =，22e 2e c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b>>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．b a c >>【答案】B 【解析】由已知可得，7ln 5log 5ln 7a ==，8ln 6log 6ln 8b ==，由22e 2e c =+可得，()22ln e 2c =+，所以()()2222ln e ln e 2ln e 2c ==++.设()ln ,1ln(2)x f x x x =>+，则()()()()22ln 2ln ,12ln (2)x x x x f x x x x x ++-'=>++，因为1x >，故()21,ln 2ln 0x x x x +>>+>>，所以()()2ln 2ln 0x x x x ++->即()0f x ¢>，所以()f x 在()1,+∞上为增函数，又()5a f =，()6b f =，()2e c f =，又2e 65>>，所以c b a >>.故选：B.【变式】1．（2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）设0.30.232,3,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．c<a<b【答案】D 【解析】因为()()3121110.330.221010*********,2223339a b ========，而110y x =在()0,∞+上单调递增，所以11101089<，即a b <，又33log 2log 31c =<=，而0.30221a =>=，则c a <，所以c<a<b .故选：D.2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知0.20.3a =，0.30.2b =，15ln 0.3c =-，则（ ）A ．a b c>>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c b a >>【答案】A【解析】0.2y x = 在()0,∞+上单调递增，0.20.20.30.2∴>；又0.2x y =在R 上单调递减，0.20.30.20.2∴>，0.20.30.30.2∴>，即a b >；0.311110.20.2115ln 0.355ln 5ln 3e-<-<-==< ，c b ∴<；综上所述：a b c >>.故选：A.3.（2022·全国·高三专题练习）已知 3.9 3.8 3.9 3.83.9, 3.9, 3.8, 3.8a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（ ）A ．d c b a<<<B ．d b c a <<<C ．b d c a<<<D ．b c d a <<<【答案】B【分析】构造函数()ln x f x x=，利用导数判断函数的单调性，可得()3.9(3.8)f f <，从而可得 3.8 3.93.9 3.8<，再由 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，即可得出选项.【详解】构造函数()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=，当(),x e ∈+∞时，()0f x '<，故()ln x f x x =在(),x e ∈+∞上单调递减，所以()3.9(3.8)f f <，所以ln 3.9ln 3.83.9 3.8<，3.8ln 3.9 3.9ln 3.8<所以 3.8 3.9ln 3.9ln 3.8<， 3.8 3.93.9 3.8<，因为 3.8y x =在()0,∞+上单调递增，所以 3.8 3.83.8 3.9<，同理 3.9 3.93.8 3.9<，所以 3.8 3.8 3.9 3.93.8 3.9 3.8 3.9<<<，故选：B考法三 函数的性质比较大小【例3-1】（2022·江西）函数()e e 2sin x x f x x -=--.若420a =，5log 10b =，log a c b =，则有（ ）A ．()()()f a f b f c >>B ．()()()f a f c f b >>C ．()()()f b f a f c >>D ．()()()f b f c f a >>【答案】A 【解析】因为函数()e e 2sin x x f x x -=--，所以()e e 2cos x x f x x --'=+，当0x >时，()22cos 0f x x >'-≥，所以()f x 在()0,∞+上递增，因为4455log 20log 162,1log 10log 252,0log log 1a a a b c b a =>=<=<=<=<=，所以0a b c >>>，所以()()()f a f b f c >>，故选：A【例3-2】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a<<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b<<【答案】D 【解析】因为2()cos ,R f x x x x =--∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=----=--=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时,()2sin ,f x x x '=-+，设()2sin g x x x =-+，则()2cos g x x '=-+，1cos 1x -≤≤ ，()0g x '∴<，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递减,所以()(0)0f x f ''≤=,所以()f x 在[0,)+∞上单调递减,又因为()f x 为偶函数,所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为41ln 0,054<-<,445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为31411e e e 4-->=>,因为141ln e 4=,41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>,所以145ln e ln 4>，即15ln 44>,所以3415e ln 44->>,所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即a c b <<.故选：D.【变式】1（2022·江苏 ）已知函数()e e x x f x -=-，则0.60.60.4(0.4),(0.6),(0.4)a f b f c f ===的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．a c b<<【答案】D【解析】由0.630.20.20.6(0.6)0.216==，0.420.20.20.4(0.4)0.16==，即0.20.20.160.216<，所以0.40.60.40.6<，又0.60.40.40.4<，所以0.60.40.60.40.40.6<<，而()e e x x f x -=-递增，故0.60.40.6(0.4)(0.4)(0.6)a f c f b f =<=<=故选：D2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===，则（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【解析】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝，而22491670+-=+=>，41102⎛-=> ⎝11>由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝，而22481682)0-=+==<，11<g g >，综上，g g g <<，又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>.故选：A.3．（2023·河北沧州·统考三模）已知()f x 为奇函数，当02x ≤≤时，2()2f x x x =-，当2x >时，()31f x x =--，则（ ）A ．(()()0.30.323f f f ->>B ．()()(0.30.323f f f >>-C ．(()()0.30.332f f f ->>D ．()()(0.30.332f f f >>-【答案】A【解析】因为当02x ≤≤时，()22f x x x =-，则()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,2上单调递减，当2x >时，()31f x x =--，则()f x 在()2,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增.且()20231f ==--，所以()f x 在()0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减，在()3,+∞上单调递增.因为(()51(1)f f f f -=>==，0.30.31233<<<，则()()()0.30.3123f f f >>所以(()()0.30.323f f f ->>.故选：A4.（2023春·广西·高三校联考阶段练习）已知函数()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()1f x f x +=--，()1y f x =-为偶函数，当[]2,1x ∈--时，()1f x x =--，若a f ⎛= ⎝，(ln 2)b f =，()3log 1458c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b<c<aB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b<<【答案】A【解析】因为函数(1)=-y f x 为偶函数，得()y f x =的图象关于直线=1x -对称，且(1)(1)f x f x --=-，由()()1f x f x +=--得(2)(1)f x f x +=---，所以(2)(1)f x f x +=--，即(3)()f x f x +=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以函数()y f x =的一个周期为6，则()()()333log 14586log 2log 2c f f f ==+=，当[]2,1x ∈--时，()1f x x =--，又()y f x =的图象关于直线=1x -对称，所以2(2110a f f ⎛⎛==-=--+-=> ⎝⎝，由()()1f x f x +=--得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()y f x =的图象关于点1(,0)2对称，又函数()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在[]0,1上单调递减，又331log log 2ln 212=<<<，所以()()33(ln 2)log 2log 14580b f f f c =<==<，所以b<c<a .故选：A考法四 导函数模型比较大小【例4-1】（2022·四川遂宁 ）已知定义在R 上的函数()y f x =满足：函数()y f x =为奇函数，且当0x <时，()()0f x xf x '+>成立（()f x '为()f x 的导函数），若()1a f =--，()()ln 2ln 2b f =，1212log 4c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a b c>>【答案】B【解析】设()(),0g x xf x x =<，则()()()g x f x xf x ''=+，因为当0x <时，()()0f x xf x '+>成立，所以()0g x '>，()g x 为递增函数，又因为函数()y f x =为奇函数，可得()()f x f x -=-，则()()()()g x xf x xf x g x -=--==，所以函数()g x 为偶函数，所以函数()g x 在(0,)+∞为单调递减函数，由()()()111a f g g =--=-=，()()()ln 2ln 2ln 2==b f g ，()1212(log 2(2)24c f f g ===，因为ln 212<<，所以()()()ln 212g g g >>，即b a c >>.故选：B【例4-2】（2023·广西柳州·统考模拟预测）设函数(),R y f x x =∈的导数为()f x '，且()f x 为偶函数，()()f x f x '>，则不等式成立的是（ ）A ．()()()120e 1e 2f f f -<<B ．()()()31e 30e 1f f f -<<C ．()()()12e 10e 2f f f -<<D ．()()()23e 2e 30f f f <<【答案】B 【解析】设()()e x f x g x =，则()()()0e xf x f xg x '-'=>，可得()g x 在R 上递增，又()f x 为偶函数，则1(1)(1)e (1)e f g f -==，0(0)(0)(0)e f g f ==，22(2)(2)e (2)e f g f ---==，33(3)(3)e (3)ef g f ---==，由3201-<-<<，可得(3)(2)(0)(1)g g g g -<-<<，即有132e (3)e (2)(0)e (1)f f f f -<<<.故选：B.【例4-3】（2022·吉林）（多选）已知函数()y f x =是偶函数，对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）Aππ34f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Bππ46⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Cππ46⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．ππ63f ⎛⎫⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ABD【解析】构造函数()()cos f x g x x =，其中ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则()()()2cos sin cos f x x f x x g x x '+'=，∵对于任意的π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，∴ 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，则函数()()cos f x g x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又函数()y f x =是偶函数，()()f x f x -=，∴()()()()()cos cos f x f x g x g x x x--===-，∴()y g x =在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上为偶函数，∴函数()()cos f x g x x =在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．∵ππ34>，则ππ34g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ34ππcos cos 34f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即π312f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>ππ34f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确；同理可知ππ46g g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ46ππcos cos 46f f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>ππ46⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；ππ64g g ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，且ππ66g g ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即ππ64ππcos cos 46f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫- ⎪⎝⎭<，化简得ππ46⎛⎫⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；ππ63g g ⎫⎫⎛⎛< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，且ππ33g g ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ63ππcos cos 63f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π312f ⎛⎫- ⎪⎝⎭<，化简得ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确．故选：ABD.【变式】1．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，则，R ()f x ()f x '()()20f x f x '-<()01f =()2e 11f -<()21ef >1e2f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()11e 2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭()()2e x f x g x =()()()()()()22222e 2e 2e e x x x x f x f x f x f x g x ''⋅-='-=因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A 不正确；所以，即，即，故B 不正确；，即，即，故C 正确；，即，即，故D 不正确；故选：C.2．（2021·山东·高三开学考试）（多选）已知定义在π02⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是（ ）A ．π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫⎪⎝⎭B ．πln 3f ⎛⎫⎪⎝⎭>0C ．π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭π3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π4f ⎛⎫⎪⎝⎭π3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】CD【解析】令()()π,0,cos 2f x g x x x ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()()2cos sin cos f x x f x x g x x +''=，因为()()cos sin 0f x x f x x '+<，所以()()()2cos sin 0cos f x x f x x g x x +='<'在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因此函数()()cos f x g x x =在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，故ππ64g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ64ππcos cos 64f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ64f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错；又()00=f ，所以()()000cos0f g ==，所以()()0cos f x g x x=≤在π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，因为ππ0ln1lnln e 132=<<=<，所以πln 03f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 错；又ππ63g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ63ππcos cos 63f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ63f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；()()20f x f x '-<R ()0g x '<R ()g x R ()()10g g ->()()()22010e 11e e f f f --=->=()()10g g <()()210e e f f <()()221e 0e f f <=()102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭()101021e e f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭<=1e 2f ⎛⎫< ⎪⎝⎭()112g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()12112e ef f ⎛⎫ ⎪⎝⎭>()11e 2f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭又ππ43g g ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以ππ43ππcos cos 43f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，即ππ43f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：CD3．（2023湖南）设函数()f x '是定义在()0,π上的函数()f x 的导函数，有()()cos sin 0f x x f x x '->，若123a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，0b =，56c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】A【解析】设函数()()cos g x f x x =，则()()cos ()sin g x f x x f x x ''=-，因为()()cos sin 0f x x f x x '->，所以()0g x '>，所以()g x 在()0,π上是增函数，1cos ()23333a f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，cos ()2202f g b πππ⎛⎫= ⎪⎝⎭==，5555cos ()6666c f f g ππππ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b c <<，故选：A考法五 根据图像交点比较大小【例5】（2023秋·广东江门）已知()122xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()12log 2g x x x =--，()32h x x x =--的零点分别是a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．b a c>>【答案】B【解析】函数()122xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()12log 2g x x x =--，()32h x x x =--的零点，即为函数2y x =+分别与函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、12log y x =、3y x =的图象交点的横坐标，如图所示：由图可得a b c <<.故选：B 【变式】1．（2023·天津和平·统考三模）已知,,a b c 满足3222,log 2,20a a b b c c -=++=---=，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c b a<<【答案】B【解析】由题意知：把a 的值看成函数12xy -=与22y x =+图像的交点的横坐标，因为()1212-->-+，0202<+，易知10a -<<；把b 的值看成函数32log y x =与42y x =--图像的交点的横坐标，2log 112>--，易知01b <<；把c 的值看成函数35y x =与62y x =+图像的交点的横坐标，3112<+，与3222>+，易知12c <<.所以a b c <<.故选：B.2．（2023秋·北京）已知1x ，2x ，3x 满足11121log 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211221log 2x x +⎛⎫= ⎪⎝⎭，31321log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1x ，2x ， 3x 的大小关系为（ ）A ．123x x x <<B ．231x x x <<C ．132x x x <<D ．213x x x <<【答案】C【解析】在同一平面直角坐标系内作出+112111log 232x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、、的图像12log y x =过点1(,1)(1,0)2、；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭过点1(0,1)(1,)2、；13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭过点1(0,1)(1,3、；112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭过点11(0,)(1,24、，则+1111232x x x y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、与12log y x =图像交点横坐标依次增大，又+1111232xxx y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭、、与12log y x =图像交点横坐标分别为132x x x 、、，则132x x x <<.故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b<c<a【答案】B【解析】构造函数()21log 3x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为函数2log y x =、13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，且()1103f =-<，()8209f =>，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()g x 为上的增函数，且，，因为，由零点存在定理可知.因为，则，因此，.故选：B.考法六 导数法之同构函数【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）设ln 44a =，24ln 4e b -=，c =，则（ ）A ．a b c <<B ．<<b c aC ．c b a <<D ．<<c a b【答案】D()0,∞+1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭()0g b =1193b <<154c⎛⎫= ⎪⎝⎭1144log 5log 10c =<=c b a <<【解析】由题意可得ln 4ln 242a ==，222e ln4ln 42e e 2b -==，c =设()ln x f x x =，0x >，则()21ln xf x x -'=，故当()0,e x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；因为()()42a f f ==，2e 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，c f=，且2e 02e 42<<<<<，可得()2a f f c =>=，()2e 42a f f b ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭，所以<<c a b .故选：D.【例6-2】（2023·全国·模拟预测）已知(),,1,a b c ∈+∞，且1ln 1e a a ---=，2ln 2e b b ---=，4ln 4e c c ---=，其中e 是自然对数的底数，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c b a<<【答案】A【解析】由题意可得1ln e 1a a --=+，2ln e 2b b --=+，4ln e 4c c --=+，令()e x f x x -=+，则()e 1xf x -'=-+，因为当0x >时()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()124f f f <<，即ln ln ln a a b b c c -<-<-，令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，因为当1x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，又因为(),,1,a b c ∈+∞且()()()g a g b g c <<，所以a b c <<，故选：A 【变式】1.（2022·山西吕梁）已知1ln e ,ln a b c -===a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c<<【答案】B【解析】12022ln2022ln ln20222022a===，11ln eee eb-===，12021ln2021ln ln20212021c===，令ln()xf xx=，则21ln()xf xx-'=，当0ex<<时，()0f x'>，当ex>时，()0f x'<，所以()f x在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，由e20212022<<，所以(e)(2021)(2022)f f f>>，所以b c a>>.故选：B.2.（2022·内蒙古）已知1ln23a=+，1ln34b=+，e2e1c+=+，则a、b、c的大小关系为（）A．a b c>>B．b c a>>C．c b a>>D．b a c>>【答案】B【解析】构造函数()1ln1f x xx=++，其中0x>，则()()()()222221311124111xx xf xx x x x x x⎛⎫++⎪++⎝⎭'=-==>+++，所以，函数()f x在()0,∞+上单调递增，因为()1ln223a f=+=，()1ln334b f=+=，()e2111ln e ee1e1e1c f+==+=+=+++，因为3e20>>>，所以，a c b<<.故选：B.3（2023·广西桂林·统考一模）已知a、b、()1,c∈+∞，2e ln39a a=，3e ln28b b=，22e c c-=，则（）A．a b c>>B．a c b>>C．b c a>>D．c a b>>【答案】A【解析】因为a、b、()1,c∈+∞，由2e ln39a a=可得ln9e9aa=，由3e ln28b b=可得ln8e8bb=，由22e c c-=可得22e ecc=，构造函数()ln xf xx=，其中0x>，则()21ln xf xx-'=，当0ex<<时，()0f x¢>；当ex>时，()0f x'<.所以，函数()f x的增区间为()0,e，减区间为()e,+∞，因为2e e 89<<<，所以，()()()2e 89f f f >>，即e e ec b a c b a>>，即()()()e e e c b af f f >>，因为a 、b 、()1,c ∈+∞，则e a 、e b 、()e e,c∈+∞，所以，e e e a b c >>，因此，a b c >>.故选：A.4.（2022·贵州毕节·三模（理））已知3ln 3a =，e b =，2e 2c =（e为自然对数的底数），则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．b c a>>【答案】A【解析】令()ln x f x x =，()0x >，所以()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减当()e,x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数()f x 单调递增；所以()33ln 3a f ==，e e lne b ==，()2222e e e lne 2c f ===，所以c a b >>，故选：A.考点七 作差作商比较大小【例7-1】（2023·全国·模拟预测）已知8.1log 4a =， 3.1log e b =，ln 2.1c , =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．b<c<a【答案】A【解析】因为 3.1log e 0b =>，ln 2.10c =>，所以(2223.1ln 2.1ln 2.1ln 3.1ln 6.51ln 2.1ln 3.1log e 22c b +⎛⎫⎛⎫==⨯<== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又2e 7.389≈e <，所以ln e=1<，所以1cb<，故c b <，因为8.1ln 42ln 24ln 8.1ln 8.1g lo a ====，又2e 7.389≈，所以28.1e >，所以1>，所以ln 2a <，又ln 2ln 2.1c <=，所以a c <，所以a c b <<，故选：A.【例7-2】（2023·全国·高三专题练习）已知910a =，19e b -=，10=1+ln 11c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b<<【答案】B【解析】令()e 1,x f x x =--得()e 1,x f x =-'令()e 10x f x '=-=，解得0x =，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()(0)0,f x f ≥=即e 10x x --≥，当且仅当0x =时，等号成立，所以1(0)x e x x >+≠，则1911101e 1099b a=>+==>，所以.b a <因为10191=1+ln1ln ,11111010110c a =+==-+，所以11ln ,110110c a -=++令1()lnln(1),1h x x x x x =+=-+++得1()111xh x x x=-+=++'，令()0h x '>得0,x >令()0h x '<得10,x -<<所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0,h x h ≥=所以1()0,10h >即11ln 0,110110c a -=+>+所以0,c a ->则,c a >所以b a c <<，故选：B.【变式】1.（2023·云南·校联考模拟预测）已知21625log 9,log 16,e a b c -===，则（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b>>【答案】A【解析】221644log 9log 3log 30a ===>，222555log 16log 4log 40b ===>，4445log 3log 3log 5log 4a b ==⋅22444log 3log 5log 1522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22244log 16log 422⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1=，所以a b <，224421log 3log 2log 2e 2a c -=>==>=，所以b a c >>.故选：A 2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）若ln 3ln 2a =-，ln 2ln 3b =，ln 3ln 2c =⨯，则（ ）A ．a c b<<B ．a b c<<C ．<<b c aD ．b a c<<【答案】B【解析】311ln 3ln 2ln,0,222a a ⎛⎫=-==<=∴∈ ⎪⎝⎭，ln 211,,1ln 322b b ⎛⎫=>=∴∈ ⎪⎝⎭，故a b <，2ln 2ln 3ln 2ln 2ln 3ln 2,ln 3ln 3ln l 311n 3b c ⎛⎫⎛⎫-=-⨯=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于1ln 20,ln 31>>>，所以21ln 3ln 20ln 3b c ⎛⎫--=< ⎪⎝⎭，故b c <，因此a b c <<，故选：B3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知11cos 55a =，425b =，1sin 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>【答案】A【解析】由题意可得：∵1sin155tan 115cos 55c a ==，利用三角函数线可得当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x >115tan5155⇒>⋅=，∴c a >构造函数()()()cos 1cos 1H x x x x x x x x =--=⋅+-∴()00H =，1114cos 55525H ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即15H a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()cos 1sin 10G x x x G x x '=+-⇒=-+>∴()cos 1G x x x =+-在R 上单调递增，即()105G G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()()1111005555G G H H ⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴0a b b a <-⇒<，∴b a c <<．故选：A ．4.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知0.3e a =，1310b =，()2ln 0.3e c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c b a>>C ．a b c >>D ．b a c>>【答案】C【解析】由题意得().20310.3,ln 0.e ,3e 2ln 0.3a b c =+==+=，可得0.310.e 3b a -=+-，设()1e ,0x f x x x =+->，可得()1e 0xf x '=-<，所以()f x 单调递减，则()()0.300f f <=，即0b a -<，所以b a <；又由2ln 0.3(10.3)1ln 0.30.3c b -=+-+=+-，设函数()1ln ,(0,1)g x x x x =+-∈，可得()111x g x x x-'=-=，当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()0.310g g <=，即0c b -<，所以c b <，所以c b a <<.故选：C.考点八 指对数切线比较大小【例8】（2023·全国·高三专题练习）已知9899198,e ,ln 9999-===a b c ，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b a c<<【答案】C【解析】设()ln 1f x x x =+-，()0,x ∈+∞，所以()111xf x x x+'=+=，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增，则()989898981ln 1ln 109999999999f f ⎛⎫=+-=-<= ⎪⎝⎭，所以981ln9999<，则c a <；()e 1x g x x =--，()e 1x g x '=-，当()0,x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()9898999998981e 1e 00999999g g --⎛⎫-=-+=->= ⎪⎝⎭，所以98991e99->，故b a >，故c<a<b .故选：C.【变式】1.（2023·新疆·高三校联考阶段练习）已知1100a =，99100e b -=，101ln 100c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a>>【答案】B【解析】设函数()e 1,R x f x x x =--∈,则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，()f x 递减；当0x >时，()0f x '>，()f x 递增，故()(0)0f x f ≥=，即e 1x x ≥+，当0x =时取等号；∵e 1xx ≥+，∴99100991e1100100->-=，∴b a >，由以上分析可知e 1x x ≥+，则0x >时，有1e x x -≥成立，当1x =时取等号，， 即ln 1≤-x x ，当1x =时取等号，∴1011011ln 1100100100<-=，∴a c >，故b a c >>，故选：B.2.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知13a =，13e 1b =-，4ln 3c =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】C【解析】13a =，13e 1b =-，41ln ln 133c ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，设()()e 101xf x x x =--<<，所以()e 10xf x '=->，所以()f x 在()0,1上单调递增，所以()()00f x f >=，即()e 101xx x -><<.所以131e 13->，即a b <.设()()()ln 101g x x x x =+-<<，则()11011x g x x x-'=-=<++，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()00g x g <=，即()()ln 101x x x +<<<.所以11ln 133⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即c a <.所以c<a<b .故选:C.3．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）1sin 0.1a =+，0.1e b =，1716c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）.A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a>>【答案】B【解析】令()e 1),(0)(x f x x x +-=>，则e ()10x f x '=->，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0f x f >=，则e 1,(0)x x x >+>．令()sin ,(0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，则sin ,(0)x x x >>．所以0.1e 10.11sin 0.1>+>+，即b a >；令()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则()5cos 8h x x '=-，因为π06x <<cos 1x <<，则5cos 8x >，故()0h x '>，所以()h x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >，易知π0.10,6⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以51sin 0.10.1816>⨯=，则1171sin 0.111616+>+=，即a c >；综上：b a c >>.故选：B.考法九 导数法之异构函数【例9】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c>>【答案】D【解析】构造函数()12ln f x x x x =--，其中1x >，则()()22211210x f x x x x-'=+-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，所以，()()111011101.12ln1.1ln1.211010111011f f =--=-->=，所以，1110ln1.21ln1.21011a b =->>=，令()()2ln 211xg x x x =+-+，其中0x >，则()()()222220111x g x x x x '=-=>+++对任意的0x >恒成立，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，所以，()()0.220.1ln1.2ln1.2001.111g g =-=->=，即2ln1.211b =>，令()e 1x h x x =--，其中0x >，则()e 10xh x '=->对任意的0x >恒成立，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数，则()()0.10.1e 1.100g g =->=，则0.1e 1.1>，所以，0.11125e 5 1.111c =<=⨯，综上所述，a b c >>.故选：D.【变式】1．（2023·四川·校联考一模）设a =ln 3ln 2b =-，13c =，下列判断正确的是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a<<【答案】D【解析】因为a ==ln 3ln 2b =-=，113c ==设1t >，则构造函数()()12ln 1f t t t t t =-->，有()()22211210t f x t t t-'=+-=>，则()f t 单调递增，且()10f =，所以a b >；再构造函数()()212ln 11g t t t t =-+>，有()23322120t g t t t t-'=-=⨯>，则()g t 单调递增，且()10g =，所以c b <，综上：c b a <<．故选：D2．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知1ln 2ln e 3231ln 2ln 3,,e 23a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，试比较,,a b c 的大小关系（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a<<【答案】C 【解析】设()()()2ln 1ln 0x xf x x f x x x-'=>⇒=，当e x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以有()()()4e 3f f f >>，因为1ln e ln 22ln 2ln 4,e e 244===，所以1ln 3ln 4e 34>>，设()()(0)ln ln xg x x x g x x x =>⇒=，设ln ln 1y x x y x '=⇒=+，当10ex <<时，0'<y ，函数ln y x x =单调递减，因为1ln 3ln 40e 34>>>，所以1ln 3ln 4ln ln ln e 34g g g ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为函数ln y x =是正实数集上的增函数，故1ln 3ln 4e 34g g g ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即e 1ln3ln 4ln 23421ln 3ln 4ln 2e 342⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<=，所以a c b <<，故选：C3（2023·山东烟台·校联考三模）已知sin1a =，3πb =，31log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b a c>>【答案】B。

比较大小问题【高考真题】1.(2022·全国甲理)已知a=3132,b=cos14,c=4sin14，则( )A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b答案　A　解析　因为cb=4tan14，因为当x∈0,π2,sin x<x<tan x，所以tan14>14，即c b>1，所以c>b；设f(x)=cos x+12x2-1,x∈(0,+∞)，f (x)=-sin x+x>0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f14 >f(0)=0，所以cos14-3132>0，所以b>a，所以c>b>a，故选A．2.(2022·全国甲文)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9，则( )A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a答案　A　解析　由9m=10可得m=log910=lg10lg9>1，而lg9lg11<lg9+lg1122=lg992 2<1=lg102，所以lg10lg9>lg11lg10，即m>lg11，所以a=10m-11>10lg11-11=0．又lg8lg10<lg8+lg1022=lg8022<lg9 2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log89>m，所以b=8m-9<8log89-9=0．综上，a>0>b．故选A．3.(2022·新高考Ⅰ)设a=0.1e0.1,b=19，c=-ln0.9，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b答案　C　解析　设f(x)=ln(1+x)-x(x>-1)，因为f (x)=11+x-1=-x1+x，当x∈(-1,0)时，f(x)>0，当x∈(0,+∞)时f (x)<0，所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+∞)单调递减，在(-1,0)上单调递增，所以f 19 <f(0)=0，所以ln109-19<0，故19>ln109=-ln0.9，即b>c，所以f-110<f(0)=0，所以ln910+110<0，故910<e-110，所以110e110<19，故a<b，设g(x)=xe x+ln(1-x)(0<x<1)，则g(x)=x+1e x+1x-1=x2-1e x+1x-1，令h(x)=e x(x2-1)+1，h (x)=e x(x2+2x-1)，当0<x<2-1时，h (x)<0，函数h(x)=e x(x2-1)+1单调递减，当2-1<x<1时，h (x)>0，函数h(x)=e x(x2-1) +1单调递增，又h(0)=0，所以当0<x<2-1时，h(x)<0，所以当0<x<2-1时，g (x)>0，函数g (x)=xe x+ln(1-x)单调递增，所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1>-ln0.9，所以a>c，故选C．【同类问题】1.已知a=ln22，b=1e，c=ln33，则a、b、c的大小关系为( )A.b<c<aB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案　C　解析　设f(x)=ln xx，则f′(x)=1-ln xx2，当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，则当x=e时，f(x)max=ln ee=1e，即b>a，b>c；a-c=ln22-ln33=3ln2-2ln36=ln8-ln96<0．2.下列不等式成立的是( )A.2ln 32<32ln2B.2ln3<3ln2C.5ln4<4ln5D.π>e lnπ答案　AD　解析　设f(x)=ln xx(x>0)，则f′(x)=1-ln xx2，所以当0<x<e时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>e时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．因为32<2<e，所以f32 <f(2)，即2ln32<32ln2，故选项A正确；因为2<3<e，所以f(2)<f(3)，即2ln3>3ln2，故选项B不正确；因为e<4<5，所以f(4)>f(5)，即5ln4>4ln5，故选项C不正确；因为e<π，所以f(e)>f(π)，即π> e lnπ，故选项D正确．3.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)<f(x)，若a=f(1)，b=f(ln4)ln4，c=f(3)3，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.c>a>bC.b>a>cD.a>c>b答案　A　解析　设g(x)=f(x)x，则g′(x)=xf′(x)-f(x)x2<0，∴g(x)为减函数．∵3>ln4>1，∴g(3)<g(ln4)<g(1)，即a>b>c．4.已知a=ln33，b=e-1，c=3ln28，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c答案　D　解析　依题意，得a=ln33=ln33，b=e-1=ln ee，c=3ln28=ln88．令f(x)=ln xx(x>0)，则f′(x)=1-ln xx2，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，所以f(x)max=f(e)=1e=b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c．5.已知a，b∈(0，3)，且4ln a=a ln4，4ln b=b ln2，c=log0.30.06，则( )A.c<b<aB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a答案　C　解析　由已知得ln aa=ln44=ln22，ln bb=ln24=ln1616，可以构造函数f(x)=ln xx，则f′(x)=1-ln xx2，当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，又f (a)=f(2)=f(4)>f(b)=f(16)，结合a，b∈(0，3)，所以b<a=2，又c=log0.30.06=log0.3(0.2×0.3)= log0.30.2+1>1+log0.30.3=2，所以b<a<c．6.(多选)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是( )A.ln2>2eB.ln3<3eC.lnπ>πeD.ln3lnπ<3π答案　ACD 解析　令g (x )=ln x x ，则g ′(x )=1-ln xx 2，当0<x <e 时，g ′(x )>0，当x >e 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，e )上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减.∵2<e ，∴g (2)<g (e )，即ln22<ln e e =1e，∴ln 2<2e ，故A 错误．∵e <3<π，∴g (e )>g (3)>g (π)，即ln e e =1e >ln33>lnππ，∴ln 3<3e ，ln π<πe ，ln3lnπ>3π，故B 正确，C 、D 错误．7.(多选)若0<x 1<x 2<1，则下列不等式成立的是( )A.x 2e x 1>x 1e x 2B.x 2e x 1<x 1e x 2C.e x 2-e x 1>ln x 2-ln x 1 D.e x 1-e x 2<ln x 2-ln x 1答案　AD 解析　构造函数f (x )=e xx (0<x <1)，因为f ′(x )=e x(x -1)x 2<0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，因为0<x 1<x 2<1，所以e x 2x 2<e x1x 1，即x 2e x 1>x 1e x 2，所以选项A 正确，选项B 错误；构造函数h(x )=e x -ln x (0<x <1)，h ′(x )=e x -1x，易知h ′(x )在(0，1)上单调递增，而h ′(1)=e -1>0，当x →0+时，h ′(x )→-∞，所以存在x 0∈(0，1)，使h ′(x 0)=0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，1)上单调递增，所以无法判断C 选项的正确性；构造函数g (x )=e x +ln x (0<x <1)，易知g (x )在(0，1)上单调递增，因为0<x 1<x 2<1，所以e x 1+ln x 1<e x 2+ln x 2，即e x 1-e x 2<ln x 2-ln x 1，所以选项D 正确．8.若e -2b +12(a -1)2=e -a +12(2b -1)2，则( )A.a >2b B.a =2b C.a <2b D.a >b 2答案　B 解析　设f (x )=12(x -1)2-e -x ，则f ′(x )=x -1+e -x ，设g (x )=x -1+e -x ，则g ′(x )=1-e -x=e x -1e x，令g ′(x )>0⇒x >0⇒f ′(x )在(0，+∞)上单调递增；令g ′(x )<0⇒x <0⇒f ′(x )在(-∞，0)上单调递减，所以f ′(x )min =f ′(0)=0，即f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )=12(x -1)2-e -x 在(-∞，+∞)上单调递增，e -2b +12(a -1)2=e -a +12(2b -1)2化为12(a -1)2-e -a =12(2b -1)2-e -2b ，即f (a )=f (2b )⇒a =2b ．9.(多选)已知a ，b ∈(0，e )，且a <b ，则下列式子中可能成立的是( )A.ae b <be a B.ae b >be a C.a ln b <b ln a D.a ln b >b ln a答案　ABD 解析　设g (x )=e x x ，则g ′(x )=e x(x -1)x 2，所以g (x )=e xx 在(0，1)上单调递减，在(1，e )上单调递增．所以当a ，b ∈(0，e )，a <b 时，不能判断出g (a )与g (b )的大小．所以选项A ，B 都有可能正确；设f (x )=ln x x ，则f ′(x )=1-ln xx 2，由f ′(x )>0，得0<x <e ，由f ′(x )<0，得x >e ，所以f (x )在(0，e )上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减，因为a ，b ∈(0，e )，且a <b ，所以ln a a <ln bb，即a ln b >b ln a ．所以选项C 不正确，D 正确．10.已知a ，b ，c ∈(0，1)，且a 2-2ln a +1=e ，b 2-2ln b +2=e 2，c 2-2ln c +3=e 3，其中e 是自然对数的底数，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案　a >b >c 解析　设f (x )=x 2-2ln x ，g (x )=e x -x ，则f (a )=g (1)，f (b )=g (2)，f (c )=g (3)，又g ′(x )=e x -1>0(x >0)，所以g (x )在(0，+∞)上单调递增，所以g (3)>g (2)>g (1)，即f (c )>f (b )>f (a )，因为f ′(x )=2x -2x =2(x 2-1)x <0(x ∈(0，1))，所以f (x )在(0，1)上单调递减，所以a >b >c ．11.已知a =12ln 2+14，b =2e ，c =lnπ+1π，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <b D.b <c <a答案　B 解析　设函数f (x )=ln x +1x ，则f ′(x )=-ln xx 2，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x >1，所以f (x )在(0，1)上为增函数，在(1，+∞)上为减函数，所以f (4)<f (π)<f (e )，即ln4+14<lnπ+1π<ln e +1e ，所以a <c <b ．12.已知a >1，b >1，且满足a 2-3b =2ln a -ln 4b ，则( )A.a 2>2bB.a 2<2bC.a 2>b 2D.a 2<b 2答案　A 解析　由题，得a 2-ln a 2=3b -ln 4b ，且a >1，b >1，令f (x )=x -ln x (x >0)，则f ′(x )=1-1x =x -1x，令f ′(x )>0得x >1，令f ′(x )<0得0<x <1，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增．∵a >1，b >1，∴a 2>1，2b >1，又∵f (a 2)=a 2-ln a 2=3b -ln 4b ，f (2b )=2b -ln 2b ，∴f (a 2)-f (2b )=(3b -ln 4b )-(2b -ln 2b )=b -ln 2>0，即f (a 2)>f (2b )，∴a 2>2b ．13.(2020·全国Ⅰ)若2a +log 2a =4b +2log 4b ，则( )A.a >2bB.a <2bC.a >b 2D.a <b 2答案　B 解析　由指数和对数的运算性质得2a +log 2a =4b +2log 4b =22b +log 2b ．令f (x )=2x +log 2x ，则f (x )在(0，+∞)上单调递增．又∵22b +log 2b <22b +log 2b +1=22b +log 2(2b )，∴2a +log 2a <22b +log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b ．故选B ．14.(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A.x 1+ln x 2>x 2+ln x 1B.x 1+ln x 2<x 2+ln x 1C.x 2e x 1>x 1e x 2D.x 2e x 1<x 1e x2答案　AC 解析　令f (x )=x -ln x ，∴f ′(x )=1-1x =x -1x，当0<x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，1)上单调递减．∵0<x 1<x 2<1，∴f (x 2)<f (x 1)，即x 2-ln x 2<x 1-ln x 1，即x 1+ln x 2>x 2+ln x 1．设g(x )=e x x ，则g ′(x )=xe x -e xx 2=e x (x -1)x 2．当0<x <1时，g ′(x )<0，即g (x )在(0，1)上单调递减，∵0<x 1<x 2<1，∴g (x 2)<g (x 1)，即e x 2x 2<e x1x 1，∴x 2e x 1>x 1e x 2，故选AC ．15.已知函数f (x )=e xx -ax ，x ∈(0，+∞)，当x 2>x 1时，不等式f (x 1)x 2-f (x 2)x 1<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，e ] B.(-∞，e ) C.-∞，e2 D.-∞，e2答案　D 解析　由f (x 1)x 2-f (x 2)x 1<0，得x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，令g (x )=xf (x )，则g (x )在(0，+∞)上调递增，又因为g (x )=e x-ax 2，所以g ′(x )=e x-2ax ≥0，在(0，+∞)上恒成立，即a ≤e x 2x ，令h (x )=e x2x，则h ′(x )=e x (x -1)2x 2，令h ′(x )=0，则h (x )在(0，1)单调递减，在(1，+∞)单调递增，所以h (x )min =h (1)=e 2，选D ．16.(2021·全国乙)设a =2ln1.01，b =ln1.02，c = 1.04-1，则( )A.a <b <cB.b <c <aC.b <a <cD.c <a <b答案　B 解析　b -c =ln1.02- 1.04+1，设f (x )=ln (x +1)-1+2x +1，则b -c =f (0.02)，f ′(x )=1x +1-221+2x =1+2x -(x +1)(x +1)1+2x ，当x >0时，x +1=(x +1)2>1+2x ，故当x >0时，f ′(x )=1+2x -(x +1)(x +1)1+2x<0，所以f (x )在(0，+∞)上单调递减，所以f (0.02)<f (0)=0，即b <c ．a -c =2ln 1.01- 1.04+1，设g (x )=2ln (x +1)-1+4x +1，则a -c =g (0.01)，g ′(x )=2x +1-421+4x=2[1+4x -(x +1)](x +1)1+4x ，当0<x <2时，4x +1=2x +2x +1>x 2+2x +1=(x +1)2=x +1，故当0<x <2时，g ′(x )>0，所以g (x )在(0，2)上单调递增，所以g (0.01)>g (0)=0，故c <a ，从而有b <c <a ，故选B ．17.设x ，y ，z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z答案　D 解析　令2x =3y =5z =t (t >1)，两边取对数得x =log 2t =ln t ln2，y =log 3t =ln tln3，z =log 5t =ln t ln5，从而2x =2ln2ln t ，3y =3ln3ln t ，5z =5ln5ln t ．由t >1知，要比较三者大小，只需比较2ln2，3ln3，5ln5的大小．又2ln2=4ln4，e <3<4<5，由y =ln x x 在(e ，+∞)上单调递减可知，ln33>ln44>ln55，从而3ln3<4ln4<5ln5，3y <2x <5z ，故选D ．18.已知a <5且ae 5=5e a ，b <4且be 4=4e b ，c <3且ce 3=3e c ，则( )A.c <b <aB.b <c <aC.a <c <bD.a <b <c答案　D 解析　方法一　由已知e 55=e a a ，e 44=e bb，e 33=e c c ，设f (x )=e xx ，则f ′(x )=(x -1)e xx 2，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以f (3)<f (4)<f (5)，f (c )<f (b )<f (a )，所以a <b <c ．方法二　设e x =e 55x ，①，e x =e 44x ，②，e x =e 33x ，③，a ，b ，c 依次为方程①②③的根，结合图象，方程的根可以看作两个图象的交点的横坐标，∵e 55>e 44>e 33，由图可知a <b <c ．。

比较大小-高考数学一题多解本专题在高考中经常出现，并且呈现出试题越来越难的趋势.解题所需知识主要考查学生函数部分知识的掌握情况.解题有时需要的技巧多，试题灵活.突出对函数单调性的运用，利于考察学生的数形结合与方程思想，以及构造，放缩等相关知识.【典例】【2022·新高考Ⅰ第7题】设0.110.1e , ln 0.99a b c ===-，，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.c<a<bD.a c b<<（一）构造函数法——从形式上去找共性，构造函数解法1：由题意可知，0.110.10.1,,ln 0.9ln(10.1)910.1a ebc ====-=---，取0.1x =，构造函数，设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1, 0)x ∈-时，()f x '0>，当)0,( x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0, )+∞单调递减，在(1, 0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，再设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--，令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >，故选C.解法2：易得0x ≠时e 1x x >+，所以1x <且0x ≠时e 10x x ->->，即1e 1xx<-，所以0.11101+0.1<e 10.19<<-，所以0.11a b <<，设()()11ln 12f x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，则()211112f x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭()22102x x -=-<，所以()()10f x f <=，即()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，取109x =，得10110919ln 0.1192910180c a ⎛⎫=<-=<< ⎪⎝⎭，故选C.【点评】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.【知识链接】常见的导数不等式(1)e 1x x ≥+；(2)1e x x -≥；(3)()ln 1x x ≤+；(4)ln 1≤-x x ；(5)1ln 1x x≥-.（二）高观点下泰勒展开【思维暴露】泰勒公式是将一个在0x 处具有n 阶导数的函数利用关于0()x x -的n 次多项式来逼近函数的方法.若函数()f x 在包含0x 的某个闭区间[,]a b 上具有n 阶导数，且在开区间(,)a b 上具有(1)n +阶导数，则对闭区间[,]a b 上任意一点x ，成立下式：()20000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中：()0()n fx 表示()f x 在0x x =处的n 阶导数，等号后的多项式称为函数()f x 在0x 处的泰勒展开式，剩余的()()n R x 是泰勒公式的余项，是0()nx x -的高阶无穷小量.解法3：带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n nn f f f x f f x x x R x n '''=+++++ 知()212!!n xn x x e x o x n =+++⋯+，()231ln(1)(1)23nn n x x x x x o x n-+=-++⋯+-+，可知，20.10.10.10.1(10.1)0.11052!a e=≈⋅++=，10.11119b =≈，230.10.1ln 0.9ln(10.1)(0.10.105323c =-=--≈----=，所以c<a<b ，选C.【点评】本题的背景是泰勒公式，虽然是高数知识，但是让学生了解一些这些相关的知识，会有助于快速做出本题，并且能够拓展，推广.【知识链接】常见函数的麦克劳林展开式：（1）21e e 12!!(1)!n xxn x x x x n n θ+=++++++ （2）352122sin (1)()3!5!(21)!n nn x x x x x o x n ++=-+-+-++ （3）24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!n n n x x x x x o x n =-+-++-+ （4）2311ln(1)(1)()231n n n x x x x x o x n +++=-+-+-++ （5）211()1n n x x x o x x=+++++- （6）22(1)(1)1()2!nn n x nx x o x -+=+++【针对训练】【2022·高考数学甲卷文科第12题】1．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（）A ．0a b>>B ．0a b >>C ．0b a >>D ．0b a>>【2022高考数学甲卷理科第12题】2．已知3111,cos 4sin 3244a b c ===，则（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>3．设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c <<D ．c<a<b 4．已知0.2653log 7log 6a b c ===，，，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c>>5．若都不为零的实数,a b 满足a b >，则（）A ．11a b<B ．2b a a b+>C ．e 1a b ->D ．ln ln a b>6．设126a =，3log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．c b a<<7．已知2x a =，ln b x =，3c x =，若()0,1x ∈，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．c a b>>8．已知6log 3a =，8log 4b =，10log 5c =，则（）．A ．b a c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c<<9．已知ln 2ln 3ln 6,,235a b c ===，则正确的大小顺序是（）A ．b a c <<B ．a c b<<C ．a b c<<D ．c<a<b10．设0.21e1,ln1.2,5a b c =-==，则,,a b c 的大小关系为___________.（从小到大顺序排）参考答案：1．A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg 9lg10lg8lg 9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -=，由9log 10(1,1.5)m =∈知0(0,1)x ∈.()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以(10)(8)f f >，即a b >，又因为9log 10(9)9100f =-=，所以0a b >>.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．A 【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >;构造函数()()21cos 1,0,2f x x x x ∞=+-∈+,利用导数可得b a >,即可得解.【详解】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a>1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ=当114sin cos 44+142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos 4=11sin 4sin 44<=<，故b c <所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+，241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A.[方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1c b >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x =得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．3．B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a ,b 的大小作出判定，对于a 与c ，b 与c 的大小关系，将0.01换成x ,分别构造函数()()2ln 11f x x =+,()()ln 121g x x =+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f (0)=0,g (0)=0即可得出a 与c ，b 与c 的大小关系.【详解】[方法一]：2ln1.01a =2ln1.01=()2ln 10.01=+()2ln 120.010.01=+⨯+ln1.02b >=，所以b a <；下面比较c 与,a b 的大小关系.记()()2ln 11f x x =+，则()00f =，()2121x f x x -='=+，由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x +-+>()1x >+，()0f x ¢>，所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=，即2ln1.011>，即a c >；令()()ln 121g x x =+，则()00g =，()212212x g x x -=+'，由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时，()214120x x +-+<，所以()0g x '<，即函数()g x 在[0，+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=，即ln1.021<，即b <c ；综上，b<c<a ，故选：B.[方法二]：令()21ln 1(1)2x f x x x ⎛⎫+=--> ⎪⎝⎭()()221-01x f x x =+'-<，即函数()f x 在（1，+∞)上单调递减()10,ff b c<=∴<令()232ln 1(13)4x g x x x ⎛⎫+=-+<< ⎪⎝⎭()()()21303x x g x x --+'=>，即函数()g x 在（1，3)上单调递增()10,gg a c=∴综上，b<c<a ，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.4．C【分析】首先用作差法及基本不等式判断b 、c ，再由幂函数的性质得到0.20.2 1.23e >>，再令()5log 5xf x x =-，利用导数说明函数的单调性，即可判断a 、c .【详解】[方法一]：作差比较：256lg 6lg 7lg 6lg5lg 7log 6log 7lg5lg 6lg5lg 6-⋅-=-=⋅因为2222lg 5lg 71lg 5lg 7lg 35lg lg 622+⎛⎫⎛⎫⋅<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2lg 6lg 5lg 70-⋅>，所以56log 6log 70->，即c b >，又0.20.23e >，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时()0g x '>，当0x <时()0g x '<，所以()()min 00g x g ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以0.20.223.e 102 1.>>+=，令()5log 5x f x x =-，则()11ln 555ln 55ln 5x f x x x -'=-=⋅，所以当5ln 5x >时()0f x ¢>，所以()f x 在5,ln 5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，显然55ln 5>，又()50f =，所以()()566log 6505f f =->=，即56log 65>，所以250.20.36e 6og 5>>>，即a c b >>；故选：C.[方法二]：构造函数比较：()()()()ln 11,ln x f x x x∞+=∈+，()()()()()()2ln 1ln 1'1,1ln x x x x f x x x x x∞-++=∈++，再令()ln g x x x =，则()()()'1ln 01,g x x x ∞=+>∈+，则()g x 在(1,)+∞上单增，则ln (1)ln(1)0x x x x -++<，'()0f x <，所以()f x 在(1,)+∞上单减，所以56log 6log 70->，即c b >，又0.20.23e >，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时()0g x '>，当0x <时()0g x '<，所以()()min 00g x g ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以0.20.223.e 102 1.>>+=，令()5log 5x f x x =-，则()11ln 555ln 55ln 5x f x x x -'=-=⋅，所以当5ln 5x >时()0f x ¢>，所以()f x 在5,ln 5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，显然55ln 5>，又()50f =，所以()()566log 6505f f =->=，即56log 65>，所以250.20.36e 6og 5>>>，即a c b >>；故选：C.5．C【分析】AB 可以举出反例，C 选项可以根据指数函数单调性进行判断，D 选项可以从定义域上排除.【详解】[方法一]：特值法：取1,1a b ==-，满足a b >，但11a b>，A 错误；当1,1a b ==-，满足a b >，但22b aa b+=-<，B 错误；因为a b >，所以0a b ->，所以e 1a b ->，C 正确；当a<0或0b <时，ln ,ln a b 无意义，故D 错误.故选：C[方法二]：函数性质法对于A ，由于不清楚,a b 的正负，不能直接取倒数，A 错误；对于B ，由于不清楚,a b 是否为正，没有办法利用基本不等式，B 错误；对于D ，由于不清楚,a b 的正负，ln ln a b ，不一定有意义，D 错误；故选C.6．C【分析】对,a b 通过估计值可以直接比较；对于,c b 需要结合换底公式以及不等式的性质进行比较.【详解】[方法一]：函数性质法：126a ==，因为23<<，所以23a <<；因为3log y x =在R 上单调递增，23<<，所以33log log 2log 3<<，即31log 212<<，所以112b <<；所以b a <，又3lg 2log 2lg 3b ==，lg 2ln 2lg ec ==，因为因为lg y x =在R 上单调递增，且2e 3<<，所以lg 2lg e lg 3<<，所以111lg 2lg e lg 3>>，又因为lg 20>，所以lg 2lg 21lg e lg 3>>，即1c b >>，综上：b<c<a .故选：C.[方法二]：中间量法3ln2ln2log 2ln31b c ==<=，又12ln2ln 16c e a =<=<=，综上：b<c<a .故选：C.7．B【分析】法一：根据基本初等函数的单调性可知,,a b c 的范围，即可求解.【详解】[方法一]：函数性质法由()0,1x ∈，所以(1,2)2x a ∈=，ln ln10b x =<=，3(0,1)c x =∈，所以a c b >>．故选：B.[方法二]：【最优解】特值法取12x =，则1221a =>，1ln 02b =<，3112c ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以a c b >>.故选：B.【整体点评】法一：根据单调性确定各字母的范围，从而得出大小关系，是比较大小的最基本方法，是通性通法；法二：对于较简单的比较大小问题，利用特殊值得到各字母的范围，是不错的选择，是该题的最优解．8．D【分析】结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【详解】[方法一]：构造函数（一）由题意得，666261log 3log 1log 212log 6a ===-=-，888281log 4log 1log 212log 8b ===-=-，1010102101log 5log 1log 212log 10a ===-=-，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>，所以a b c <<.故选：D.[方法二]：构造函数（二）构造()()()()ln 1,ln 2x f x x x ∞=∈+，()()()()2ln2'01,ln 2f x x x x ∞=>∈+⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以222log 6log 8log 10<<，则222111log 6log 8log 10>>，所以a b c <<.故选：D.9．B【分析】方法一：作差利用对数的性质即可比较.【详解】[方法一]：【最优解】作差比较法因为ln 2ln 65ln 22ln 6ln32ln360251010a c ---=-==<，所以a c <，因为ln3ln 65ln33ln 6ln 243ln 2160351510bc ---=-==>，所以b c >，所以a c b <<.故选：B.[方法二]：构造函数法()()()ln 1,x f x x x∞=∈+，21ln ()x f x x -'=，令()0f x '<，得>x e ，所以()f x 在(,)e +∞上单减，所以ln3ln4ln2ln63426>=>，所以b ＞a ，因为ln 2ln 65ln 22ln 6ln32ln360251010a c ---=-=<，所以a c <，因为ln3ln 65ln33ln 6ln 243ln 2160351510bc ---=-==>，所以b c >，所以a c b <<.故选：B.【整体点评】方法一：作差法是最常用的比较大小的方法，是该题的最优解；方法二：根据式子形式，利用函数的单调性比较大小，也是常用的比较大小的方法，对于处理较难的比较大小问题，是不错的选择，但对于该题作用显得不是很好．10．b<c<a【分析】方法一：构造函数()e 1x f x x =--和()ln 1g x x x =-+，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.【详解】[方法一]：【最优解】构造函数法记()e 1x f x x =--，则()e 1x f x '=-，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在()0+∞，上单调递增，故0.20.2(0.2)(0)e 0.210e 10.2f f >⇒-->⇒->，故a c >，记()ln 1g x x x =-+，则11()1x g x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，故()g x 在()1+∞，单调递减，故(1.2)(1)0ln1.2 1.210ln1.20.2g g <=⇒-+<⇒<，故b c <，因此a c b >>．故答案为：b<c<a[方法二]：泰勒公式放缩0.2110.210.2a e c =->+-==，由函数切线放缩ln(1)x x +<得()ln 10.20.2b c =+<=，因此a c b >>.故答案为：b<c<a【整体点评】方法一：根据式子特征，构造相关函数，利用其单调性比较出大小关系，是该题的通性通法，也是最优解；方法二：利用泰勒公式以及切线不等式放缩，解法简洁，但是内容超出教材，不是每一个同学可以掌握．。

小学数学认识和运用比较大小的知识点总结在小学数学学习中，比较大小是一个重要的知识点。

通过比较大小，我们可以了解数的大小关系，进行数量的比较和排序。

本文将总结小学数学中常见的比较大小的知识点，并提供一些运用这些知识点的例子。

一、整数的比较大小在整数的比较中，我们需要掌握以下几个规则：1. 当两个正整数进行比较时，数值较大的整数更大。

例如， 4 > 2，意味着4大于2。

2. 当两个负整数进行比较时，数值绝对值较大的负整数更小。

例如，-5 < -2，意味着-5小于-2。

3. 当正整数和负整数进行比较时，正整数更大。

例如， 3 > -4，意味着3大于-4。

4. 当两个负整数进行比较时，数值绝对值较小的负整数更大。

例如，-3 > -5，意味着-3大于-5。

5. 当两个零进行比较时，它们相等。

例如， 0 = 0。

在实际应用中，我们可以通过比较整数的温度、年龄、身高等进行大小的判断。

例如，判断相同年级的学生中谁的身高更高，可以通过比较身高值。

二、分数的比较大小在小学数学中，我们接触到的分数主要是真分数和假分数。

比较真分数和假分数的大小可以按照以下方法进行：1. 将真分数和假分数转化为相同的分母，然后比较分子的大小。

分子较大的分数更大。

例如，比较5/6和7/8的大小。

我们可以先将两个分数的分母设置为48（6 × 8），然后比较分子。

5/6 转化为40/48，7/8 转化为42/48。

显然，7/8 > 5/6，因为 42 > 40.2. 对于带分数，我们可以将其转化为假分数，然后按照上述方法进行比较。

例如，比较3 3/4 和 2 7/8 的大小。

我们首先将它们转化为假分数，得到15/4 和 23/8。

然后我们将分母设置为最小公倍数，即8。

15/4 转化为30/8，23/8 保持不变。

显然，23/8 > 15/4。

分数的比较常用于厘清物品的大小顺序，例如比较苹果的重量、比较两个学生的成绩等。

压轴题04比大小问题函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。

这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。

○热○点○题○型1比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。

6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。

一、单选题1．已知函数()f x 满足()()1ln 0f x x f x x'+<（其中()f x '是()f x 的导数），若12e a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，13e bf ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则下列选项中正确的是（）A ．643a b c <<B ．634a c b<<C ．463b a c<<D ．436b c a<<2．已知0.01a =，0.1e 1b =-，1ln 0.01c =+，则（）．A ．a c b >>B ．a b c>>C ．c b a>>D ．b a c>>A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c<a<bD ．b<c<a4．已知2()cos f x x x =+，若3441e ,ln ,54a f b f c f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b c a <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a c b<<5．已知ln 20.69≈，设ln 8 3.527 3.536,132a b c e ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c>>6．已知函数()31sin 2f x x x =-，若π0,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()sin cos a fθθ=，()()sin sin b f θθ=，12c f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．c a b>>R ，当0x >时，，f x 为其导函数，且满足()()f x f x '<恒成立，若01a <<，则()30f ，()f a ，()1af 三者的大小关系为（）A ．()()()130af f a f >>B ．()()()301f f a af >>C ．()()()301f af f a >>D ．()()()301f a f af >>8．已知a ，b ，()1,c ∈+∞，且ln 2a a -=，ln 2ln 22b b -=+，sin1ln tan1c c -=+，其中e 是自然对数的底数，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<aA ．b c a <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b<<利用单调性即可判断,,a b c 的大小关系.10．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a<<【答案】A【分析】由1.10.410.5+=+考虑构造函数()()1.5e xf x x =-，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较,,a b c 的大小.【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e xf x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于观察数的结构特征，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性函数的单调性比较大小.11．设130121,sin ,e 124330a b c ===-，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c >>B ．a b c >>C ．a c b>>D ．c a b>>12．已知0.1e a =，1110b =，c =，则（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b>>A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．a b c<<A．c b a<<B．c<a<b C．b<c<a D．a c b<<15．已知函数()ex x b f x =，且e ln ba c ==，则（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f a f c f b <<D ．()()()f c f b f a <<【答案】B【分析】由指对数图象判断c b >，且0a >，1c >，构造()e 1xg x x =--并研究其最值得c a ≥，结合e e a b c a =>=，得到1c a b b >>+>，求导得()f x '，然后由函数单调性即可得到其大小关系.【详解】由e ln b a c ==，则,b c 是y a =是e ,ln x y y x ==的交点横坐标，如下图示，由图易知：c b >，且0a >，1c >，构造()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，令()00g x x '=⇒=，当0x <时，()0g x '<，则()g x 递减；当0x >时，()0g x '>，则()g x 递增；所以当0x =时，()()min 00g x g ==，所以()()0g x g ≥,即e 1x x ≥+，16．若 1.1ln1.1a =，0.10.1e b =，10c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b<<17．已知12,ln3e 3a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．a c b <<D ．b a c<<为（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．y x z>>【答案】B19．已知7a =，ln1.4b =，0.2e 1c =-，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<20．设1111ln ,tan ,101011a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c<a<b二、多选题21．已知函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',若()f x 满足:[](1)()()0x f x f x -'->,()()222exf x f x --=,则下列判断一定不正确的是()A ．(1)(0)f f <B ．()()22e 0f f >C ．33e 0f f >()()D ．()()44e 0f f <22．已知函数，其中a ，b ，0,c ∈+∞，20f =，则下列结论正确的是（）A ．102f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()30f <C ．()f x 在R 上单调递减D ．()()11f f -最大值为4-23．若ln1.1a =，111b =，sin 0.1c =，21220d =，则（）．A ．a b <B ．b c <C ．a d<D ．c d<A ．c b >B ．0.013ab<C ．b c>D ．0.013ab>【答案】AB【分析】考虑 2.99 2.983.01,3.02类似于()33xx -+的函数形式，因此构造函数()()33xf x x -=+，运用函数的单调性求解.A ．()ππsin *n nn>∈N B ．2log 3>C ．3e ln 3<D ．e ln 9>26．已知当关于x 的不等式2e 0x λλ-≥在()1,+∞上恒成立时，正数λ的取值范围为集合D ，则下列式子的值是集合D 的元素的是（）A ．ln 2ln 3B ．5131log log 53-C ．3π2tan 5e D ．22cos 1sin 1-27．已知定义域为R 的函数在1,0-上单调递增，11f x f x +=-，且图像关于2,0对称，则()f x （）A ．()()02f f =B ．周期2T =C ．在(]1,2单调递减D ．满足()()()202120222023f f f >>【答案】ACD【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B 选项，周期再结合已知单调性判断C 选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.【详解】由()()11f x f x +=-知()f x 的对称轴为1x =，所以()()02,f f =故A 正确;由()()11f x f x +=-知：()()2f x f x +=-，又图像关于()2,0对称，即()()22f x f x +=--，故()()4f x f x +=--，所以()()24f x f x -+=+，即()()2f x f x -=+，所以()()()4,f x f x f x =+的周期为4，故B 错误;因为()f x 在(]1,0-上单调递增，且4T =，所以()f x 在(]3,4上单调递增，又图像关于()2,0对称，所以()f x 在(]0,1上单调递增，因为关于1x =对称，所以()f x 在(]1,2上单调递减，故C 正确；根据周期性，()()()()()()20211,20222,20233f f f f f f ===，因为关于1x =对称，所以()()20f f =，因为周期4T =，所以()()31f f =-；结合()f x 在(1,2]上单调递减，且(]1,0-上单调递增，故()()()()()31021f f f f f =-<=<，即()()()202120222023f f f >>，故D 正确.故选:ACD.三、填空题28．已知sin13a =，b =π9c =，则,,a b c 的大小关系是___________.29．设191e10a=，19b=，32ln2c=，则____>______>______(填a，b，c)．【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于根据数据之间的联系，构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较函数值的大小.四、解答题30．已知函数()y f x =的定义域为D ，区间M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()y f x =为M 上的t -增长函数．(1)已知()f x x =，判断函数()y f x =是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知0n >，设()2g x x =，且函数()y g x =是区间[]4,2--上的n -增长函数，求实数n 的取值范围；(3)如果函数()y h x =是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22h x x a a =--，且函数()y h x =为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．④当)22,x a a ⎡∈-⎣时，则22443x a a +≥-+>，注意到()h x 在)22,a a ⎡-⎣上单调递减，在()2,a +∞上单调递增，可得()()()()2234h x h a h a h x ≤-=<+；⑤当)2,x a ⎡∈+∞⎣时，则24x x a +>≥，且()h x 在)2,a ⎡+∞⎣上单调递增，可得()()4h x h x <+；综上所述：当()1,1a ∈-时，对x ∀∈R ，均有()()4h x h x <+.故实数a 的取值范围为()1,1-.【点睛】关键点点睛：根据()h x 的单调性，取特值2x a =-，先求出实数a 的取值范围，再证明其充分性.。

高考数学复习：比较大小关系题型题型一：选取中间值：0与1型解答比较函数值大小问题，常见的基础思路之一是判断各个数值所在的区间，这样的区间划分，最基础的是以正负划分，正数则以1为区间端点划分，负数多以-1为分界点划分。

1.设3log a π=，2b =，1ln 2c=4，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c>>D ．b a c>>2.定义在R 上的函数()sin 2f x x x =+，若12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f =，13e c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>4.已知0.812a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 3b =，0.34c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a<<D ．c b a<<题型二：选取中间值：临界值型寻找非0、1的中间变量，中间变量的选择首先要估算要比较大小的两个值所在的大致区间。

然后可以对区间使用二分法（或者利用区间内特殊值，或者利用指对互化）寻找合适的中间值。

1.估算要比较大小的两个值所在的大致区间2.可以对区间使用二分法（或者利用指对转化）寻找合适的中间值3.利用幂指对等函数计算公式进行适当的放缩转化1.若3log 2a =，πlog 3b =，8log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．a c b<<2.若0.3220.32,log 0.3,0.3,log 2a b c d ====，则a ，b ，c ，d 的大小关系为（）A ．a <b <c <d B ．d <b <c <a C ．b <d <c <a D ．d <c <b <a 3.若2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<4.设2log 3a =，3log 4b =， 1.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a>>对数函数1a >01a <<图象性质（1）定义域：()0,∞+_.（2）值域：R （3）过定点()1,0，即x =_1_时，y =0（4）在_()0,∞+上增函数（4）在()0,∞+上是减函数（5）1,log 0a x x >>；01,log 0a x x <<<（5）1,log 0a x x ><；01,log 0a x x <对数比较大小①同底数对数比较，用单调性比较；②同真数对数比较，画图像比较；③不同底也真对数比较，借助媒介“0和1”.④对数与指数之间比较，一般借助媒介“0和1”.1.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A．a b c >>B．a c b >>C．b c a >>D．c a b >>2.已知5log 2a =，8log 3b =，32c =，则下列判断正确的是（）A．c b a <<B．b a c <<C．a c b<<D．a b c<<3.若1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2312b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，231log 3c =，则（）A．c a b <<B．a b c <<C．b a c <<D．b c a <<4.已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A．a c b <<B．c a b <<C．c b a<<D．a b c<<指数函数1a >01a <<图象性质（1）定义域：()0,∞+_.（2）值域：R （3）过定点()1,0，即x =_1_时，y =0（4）在_()0,∞+上增函数（4）在()0,∞+上是减函数（5）1,log 0a x x >>；01,log 0a x x <<<（5）1,log 0a x x ><；01,log 0a x x <指数幂比较大小①同底幂比较，构造指数函数，用单调性比较；②同指数幂比较，构造幂函数，用单调性比较；③不同底也不同指幂比较，借助媒介“1”.1.设1898a ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1989b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，1778c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则下列关系正确的是（）A．c b a <<B．a c b <<C．b a c <<D．b<c<a2.已知0.60.40.612,2,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A．a b c <<B．c a b <<C．c b a <<D．a c b<<3.若0.22023a =，0.2log 2023b =，20230.2c =，则（）A．a b c >>B．b a c >>C．a c b >>D．c a b>>4.设43e a -=，ln 3b =，231log 3c -+=，则（）A．c<a<b B．b a c<<C．a c b<<D．a b c<<三角函数图像与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域R R{x |x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z)上递增；[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z)上递减[－π＋2k π，2k π](k ∈Z)上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z)上递减(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z)上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z)时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(k π，0)(k ∈Z)(π2＋k π，0)(k ∈Z)(k π2，0)(k ∈Z)对称轴方程x ＝π2＋k π(k ∈Z)x ＝k π(k ∈Z)周期2π2ππ三角函数与三角函数值比较大小：1.借助于三角函数的周期性，对称性，诱导公式等，转化为一个单调区间内比大小2.借助一些三角函数不等式进行放缩转化：如当x ∈(0，π2)时，sinx x <3.构造含有三角函数式的函数，求导后借助单调性比大小1.下列选项中两数大小关系错误的是（）A．sin1cos1>B．sin 2tan 2>C．3π3πsin sin75<D．3ππtan tan 75⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2.已知ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin sin a αα=，()tan sin b αα=，()sin tan c αα=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．a b c <<B．b a c <<C．<<b c a D．<<c a b3.sin1.5，cos1.5，tan1.5的大小关系为（）A．tan1.5sin1.5cos1.5>>B．sin1.5tan1.5cos1.5>>C．sin1.5cos1.5tan1.5>>D．tan1.5cos1.5sin1.5>>4.a ，tan95tan35tan35b ︒︒︒=-︒，n 4sin 391si 5c ︒=︒，则a ，b ，c 的大小关系是（）A．a b c <<B．a c b <<C．b<c<a D．c b a<<题型六：比大小基本方法：做差比较法差比法：作差，变形，判断正负。