10年高考题之直线与圆的方程锦集

高考数学直线与圆的方程复习题及参考答案：一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1.(2009•重庆市高三联合诊断性考试)将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y-3=0的角为 ( )A.30°B.60°C.120°D.150°答案：A解析：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，注意到k1k3=-1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l2到直线l3的角是30°，选A.2.(2009•湖北荆州质检二)过点P(1,2)，且方向向量v=(-1,1)的直线的方程为( )A.x-y-3=0B.x+y+3=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案：C解析：方向向量为v=(-1,1)，则直线的斜率为-1，直线方程为y-2=-(x-1)即x+y-3=0，故选C.3.(2009•东城3月)设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程x-y+1=0，则直线PB的方程为 ( )A.2x+y-7=0B.2x-y-1=0C.x-2y+4=0D.x+y-5=0答案：D解析：因kPA=1，则kPB=-1，又A(-1,0)，点P的横坐标为2，则B(5,0)，直线PB的方程为x+y-5=0，故选D.4.过两点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为 ( )A.-32B.32C.3D.-3答案：A解析：由两点式，得y-31-3=x-0-1-0，即2x-y+3=0，令y=0，得x=-32，即在x轴上的截距为-32.5.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点，则a的值是 ( )A.3B.0C.-1D.0或-1答案：D解析：当a=0时，两直线方程分别为x+6=0和x=0，显然无公共点;当a≠0时，-1a2=-a-23a，∴a=-1或a=3.而当a=3时，两直线重合，∴a=0或-1.6.两直线2x-my+4=0和2mx+3y-6=0的交点在第二象限，则m的取值范围是( )A.-32≤m≤2B.-32C.-32≤m<2D.-32答案：B解析：由2x-my+4=0，2mx+3y-6=0，解得两直线的交点坐标为(3m-6m2+3，4m+6m2+3)，由交点在第二象限知横坐标为负、纵坐标为正，故3m-6m2+3<0且4m+6m2+3>0⇒-327.(2009•福建，9)在平面直角坐标系中，若不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ( )A.-5B.1C.2D.3答案：D解析：不等式组x+y-1≥0，x-1≤0，ax-y+1≥0所围成的区域如图所示.∵其面积为2，∴|AC|=4，∴C的坐标为(1,4)，代入ax-y+1=0，得a=3.故选D.8.(2009•陕西，4)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为( )A.3B.2C.6D.23答案：D解析：∵直线的方程为y=3x，圆心为(0,2)，半径r=2.由点到直线的距离公式得弦心距等于1，从而所求弦长等于222-12=23.故选D.9.(2009•西城4月，6)与直线x-y-4=0和圆x2+y2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是 ( )A.(x+1)2+(y+1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=4C.(x-1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y+1)=4答案：C解析：圆x2+y2+2x-2y=0的圆心为(-1,1)，半径为2，过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为62=32，则所求的圆的半径为2，故选C.10.(2009•安阳，6)已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，且|OA→+OB→|=|OA→-OB→|，其中O为原点，则实数a的值为 ( )A.2B.-2C.2或-2D.6或-6答案：C解析：由|OA→+OB→|=|OA→-OB→|得|OA→+OB→|2=|OA→-OB→|2，OA→•OB→=0，OA→⊥OB→，三角形AOB为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为2，即|a|2=2，a=±2，故选C.11.(2009•河南实验中学3月)若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是 ( )A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定答案：C解析：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则1a2+b2<1，a2+b2>1，点P(a，b)在圆C外部，故选C.12.(2010•保定市高三摸底考试)从原点向圆x2+(y-6)2=4作两条切线，则这两条切线夹角的大小为 ( )A.π6B.π2C.arccos79D.arcsin229答案：C解析：如图，sin∠AOB=26=13，cos∠BOC=cos2∠AOB=1-2sin2∠AOB=1-29=79，∴∠BOC=arccos79，故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上。

专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆2019年1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为x =1+3t y =2+4tìíî （t 为参数），则点（1，0） 到直线l 的距离是（A ）15 （B ）25 （C ）45 （D ）652.（2019江苏10）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x =+>上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4．（2019浙江12）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.2010-2018年2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8] C． D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y t (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ． 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A．3 B．3 C．3 D ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+的最大值为A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35- B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34-7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y +=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -+=或20x y -=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．⎡⎣D ．22⎡-⎢⎣⎦， 11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+=12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=o，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m = A ．21 B ．19 C ．9 D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π， 15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为A ．45πB ．34πC ．(6π-D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=19．（2013重庆）已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A ．4B 1C ．6- D20．（2013安徽）直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点()1,0A -；()1,0B ；()0,1C ，直线y ax b =+(0)a >将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是A ．(0,1)B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．1123⎛⎤-⎥ ⎦⎝ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆221:O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切， 且与直线10ax y -+=垂直， 则a =A ．12-B ．1C ．2D ．1224．（2013广东）垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第一象限的直线方程是A ．0x y +-=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D ．0x y +=25．（2013新课标2）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若||3||AF BF =，则l 的方程为A ．1y x =-或1y x =-+B ．1)y x =-或1)y x =-C ．1)y x =-或1)y x =-D ．(1)2y x =-或(1)2y x =-- 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A ．[1B ．(,1)-∞-∞UC ．[2-D ．(,2)-∞-∞U28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +…分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于A ．B ．CD ．130．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 31．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是A ．(3-，3)B ．(3-，0)U (0，3)C ．[D ．(-∞，-U ，+∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y xC ．22+y =0x x - D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y +=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=上，若20PA PB ⋅u u u r u u u r ≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NAMANB MB =； ②2NBMANA MB -=； ③22NBMANA MB +=．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线02=-+y ax 与圆心为C 的圆()()4122=-+-a y x 相交于B A ，两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数=a _________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为3C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点(2,0)A -，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则（Ⅰ）b = ；（Ⅱ）λ= .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.45．（2013湖北）已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=(π02θ<<)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__．48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__．49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ．50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ．三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，34tan =∠BCO ． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆C的半径为1，圆心在l 上. ylO A（I ）若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（II ）若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．54．(2013新课标2)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22在y 轴上截得线段长为23（I ）求圆心P 的轨迹方程；（II ）若P 点到直线y x =2，求圆P 的方程． 55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．56．（2010北京）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)6直线y t =椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ,圆心为P ． （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；（Ⅲ）设(,)Q x y 是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆答案部分2019年1.解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为4320x y -+=． 则点（1，0）到直线l 的距离是d ==2. 解析 解法一：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于0004(,)x x x +， 由20411x-=-，解得000)x x =>． 所以曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=． 解法二：由题意可设点P 的坐标为4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >，则点P 到直线0x y +=的距离222242x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=…，当且仅当x = 所以点P 到直线0x y +=的距离的最小值为4.3.解析 解法一：（1）过A作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H. 以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得1122m +=-，解得2m =-． 所以圆心为（0，-2），则半径r ==． 解法二：由r ==，得2m =-，所以r ==2010-2018年1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d == 所以点P到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB = 所以ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．12【解析】直线的普通方程为20x y +-=，圆的标准方程为22(1)1x y -+=， 圆心为(1,0)C ，半径为1，点C 到直线20x y +-=的距离2d ==以||AB ==1122ABC S ∆==． 3．C【解析】由题意可得d ====（其中cos ϕ=，sin ϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d ≤1=+∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ．4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，x则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y 所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-u u u r ，(0,1)AB =-u u u r ，(2,0)AD =u u u r，由AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r ，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12x y -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c，则=，所以c =250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x =，得24200y y +-=， 设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=o，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin 2OMN '∠=<，则45OMN '∠<o ，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=． 12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ．13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C ，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．20．C 【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离=1d =，半径r =，所以最后弦长为4=.21．B 【解析】（1）当y ax b =+过()1,0A -与BC 的中点D 时，符合要求，此13b =， （2）当y ax b =+位于②位置时1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭,11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令1112A BD S ∆=得212b a b =-,∵0a >,∴12b < (3) 当y ax b =+位于③位置时21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭,21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭， 令2212A CD S ∆=,即()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭，化简得22241a b b -=-+,∵0a >, ∴22410b b -+<，解得1122b -<<+综上：112b -<<，选B 22．B 【解析】点M(a, b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C【解析】设直线斜率为k ，则直线方程为2(2)y k x -=-，即220kx y k -+-=，圆心(1,0)==12k =-．因为直线与直线10ax y -+=垂直，所以112k a =-=-， 即2a =，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于1r =，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：()0y x k k =-+>，再利用圆心到直线的距离等于1r =，求得k =25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =13，当1x =3时，2112y =，所以此时1y ==±1y =1(3,(,3A B ,此时AB k =此时直线方程为1)y x =-。

高考数学阶段复习：直线和圆的方程1. 已知12,l l 是曲线C ：1y x =的两条互相平行的切线，则1l 与2l 的距离的最大值为（ ）A. B. 2C. D. 42. 双曲线221916x y -=的顶点到渐近线的距离为（ ） A. 95B. 125C. 165D. 1853. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率12e =，右焦点为(,0)F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12(,)P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情况都有可能4. 若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则实数a 的取值X 围是（ ）A. (,2)-∞-B. 2(,0)3-C. (2,0)-D. 2(2,)3--5. 已知圆面222:()1C x a y a -+≤-的面积为S ，平面区域:24D x y +≤与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值X 围是（ ） A. (,2)-∞ B. (,0)(0,)-∞⋃+∞C. (1,1)- D. (,1)(1,2)-∞-⋃6. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则双曲线的离心率为________． 7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:16O x y +=，点()1,2P ，M 、N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=，若PQ PM PN =+，则||PQ 的最小值为__________．8. 已知F 是抛物线24y x =的焦点，点A 、B 、C 在抛物线上，并且满足0AF BF CF ++=，又||AF 、||BF 、||CF 依次成等差数列，若B 位于抛物线的对称轴的下方，则直线AC 的方程为_______．9. 已知椭圆2214x y +=，过点(,0)M m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆于A ，B 两点．若M 为圆外一动点，则AB 的最大值为_________．10. 已知点F 为抛物线2:4C x y =的焦点，过点1(2,)2M -作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线FA ，FM ，FB 的斜率分别为123,,k k k ，若123,,k k k 成公差不为零的等差数列，则直线l 的方程是_________． 试卷答案1. 答案：C 分析：设第一象限的切点坐标为1(,)t t，根据曲线的对称性， 曲线在第三象限的切点坐标为1(,)t t--， 此时两条切线方程分别为212y x t t =-+，212y x t t=--，两直线之间的距离4d ==≤=， 当且仅当1t =时等号成立．2. 答案：B 分析：利用点到直线的距离公式求解．双曲线221916x y -=的一个顶点(3,0)到一条渐近线43y x =，即430x y -=的距离为125，故选B ．3. 答案：A 分析：由已知得 12c e a ==，则 2a c =． 又 12b x x a +=-， 12c x x a =-， 所以 222222221212122222222()22b c b ca b a a x x x x x x a a a a a +++=+-=+==<=， 因此点12(,)P x x 必在圆222x y += 内．4. 答案：D分析：由题意知， 22244(21)0a a a a +-+->，化简得 23440a a +-<，解得 223a -<<． 5. 答案：A6. 分析：因为双曲线的渐近线方程为 b y x a =±，不妨设b k a = ，则 0k >， 因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y -+= 相切，1= ，解得k =，即 b a =，所以3c e a ====7. 答案：分析：设M ，N 及B 的坐标为11(,)M x y ，22(,)N x y ，(,)B x y ， 由0PM PN ⋅=，得12121212()2()50x x y y x x y y +-+-++=，又221116x y +=，222216x y +=，122x x x +=，122y y y +=， 代入得221122x y x y +--=，即22127()(1)221x y -+-=，∴B 的轨迹为一周，故min ||PB =，∴||||2||PQ MN PB ==的最小值=．8. 答案：210x y --=分析：因为0AF BF CF ++=，所以3A B C x x x ++=，且F 为ABC ∆的重心， 又||,||,||AF BF CF 成等差数列，结合抛物线的定义，有2(1)11B A C x x x +=+++，所以2B A C x x x =+，所以1B x =，所以(1,2)B -，所以AC 中点的坐标为(1,1)．因为2244A A C Cy x y x ⎧=⎨=⎩， 所以42A C A C A Cy y x x y y -==-+， 所以直线AC 的方程为210x y --=．9. 答案：2分析：由题意知， ||1m >．设切线l 的方程为()y k x m =-． 由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得，22222(14)8440k x k mx k m +-+-= ， 设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 则2122814k m x x k +=+ ， 221224414k m x x k -=+， 又l 与圆 221x y +=相切，1= ， 即 2221m k k =+．所以||2||||AB m m ===≤+ ， 当且仅当m =||AB 的最大值为2．10. 答案：210x y +-=或3440x y +-=分析：抛物线2:4C x y = 的焦点为 (0,1)F ．设直线l 的方程为 1(2)2y k x +=-，1122(,),(,)A x y B x y ， 由21(2)24y k x x y⎧+=-⎪⎨⎪=⎩ ， 得 24820x kx k -++=， 故1212482x x k x x k +=⎧⎨=+⎩ ， 2164(82)0k k ∆=-+>，所以k <或k > ． 又123,,k k k 成公差不为零的等差数列，则 1322k k k +=． 而 1221122113121211y y x y x y x x k k x x x x --+--+=+= 222112211244x x x x x x x x +--= 121212(1)()4x x x x x x -+= 282(1)4448241k k k k k k +-⋅-==++． 21132204k --==--， 所以 243412k k k -=-+，281030k k ++= ， 解得12k =-或34k =-． 所以直线l 的方程为11(2)22y x +=--或13(2)24y x +=--， 即 210x y +-=或3440x y +-=．。

高考真题第十一篇直线和圆的方程2019年1.（2019北京理3）已知直线l 的参数方程为 （t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）（B ） （C ） （D ） 2.（2019江苏10）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点， 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .3（2019江苏18）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．4．（2019浙江12）已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则=_____，=______.2010-2018年x =1+3ty =2+4tìíî15254565xOy 4(0)y x x x=+>C (0,)m r 230x y -+=C (2,1)A --m r2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C．D．2．(2018天津)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ，直线1,232⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 ．3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．135．（2017新课标Ⅲ）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 A ．3 B． CD ．26．（2015山东）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为A ．53-或35-B ．32-或23- C ．54-或45- D ．43-或34- 7．（2015广东）平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +-=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y --=8．（2015新课标2）过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =A ．26B ．8C ．46D ．109．（2015重庆）已知直线l ：10()x ay a R +-=∈是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB ＝A ．2B ．C ．6D ．10．（2014新课标2）设点0(,1)M x ，若在圆22:=1O x y +上存在点N ，使得°45OMN ∠=，则0x 的取值范围是A ．[]1,1-B ．1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C ．⎡⎣ D ．22⎡-⎢⎣⎦， 11．（2014福建）已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是A ．20x y +-=B ．20x y -+=C ．30x y +-=D ．30x y -+= 12．（2014北京）已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．413．（2014湖南）若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =A ．21B ．19C ．9D ．11-14．（2014安徽）过点P ）（1,3--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是A ．]60π，（B ．]30π，（C ．]60[π，D ．]30[π，15．（2014浙江）已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦的长度为4，则实数a 的值是A ．－2B ．－4C ．－6D ．－816．（2014四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是A． B． C． D．17．（2014江西）在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为 A ．45π B ．34π C．(6π- D ．54π18．（2013山东）过点(3，1)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．B ．C ．D ．19．（2013重庆）已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 A ． BC ．D20．（2013安徽）直线被圆截得的弦长为A ．1B ．2C ．4D ．21．（2013新课标2）已知点；；，直线将△分割为面积相等的两部分，则的取值范围是()2211x y -+=230x y +-=230x y --=430x y --=430x y +-=()()221:231C x y -+-=()()222:349C x y -+-=,M N12,C C P x PM PN +416-250x y +-+=22240x y x y +--=()1,0A -()1,0B ()0,1C y ax b =+(0)a >ABCbA ．B ．C ．D ． 22．（2013陕西）已知点(,)M a b 在圆外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定23．（2013天津）已知过点P (2，2) 的直线与圆相切， 且与直线垂直， 则A ．B ．1C ．2D ．24．（2013广东）垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是A ．B ．C ．D ．25．（2013新课标2）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为A ．或1y x =-+B ．或C ．或D ．或 26．（2012浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2012天津）设m ，n R ∈，若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切，则+m n 的取值范围是A．[1 B．(,1[1+3,+)-∞-∞ C．[2-D ．(,2[2+22,+)-∞-∞(0,1)1122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭1123⎛⎤- ⎥ ⎦⎝11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭221:O x y +=225(1)x y +=-10ax y -+=a =12-121y x =+221x y +=0x y +=10x y ++=10xy +-=0x y +=2:4C y x =F l F C A B ||3||AF BF =l 1yx =-(1)3y x =-(1)3yx =--1)yx =-1)yx =-(1)2yx =-(1)2y x =--28．（2012湖北）过点(1,1)P 的直线，将圆形区域{}22(,)|4x y x y +分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A ．20x y +-=B ．10y -=C ．0x y -=D ．340x y +-=29．（2012天津）在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于A ．B ．C D ．30．（2011北京）已知点A (0,2)，B (2,0)．若点C 在函数y = x 的图像上，则使得ΔABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．131．（2011江西）若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 A ．(3-3) B ．(3-，0)(0，3)C ．[D ．(-∞， +∞) 32．（2010福建）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为A ．22++2=0x y xB ．22++=0x y x C ．22+y =0x x - D ．22+2=0x y x -33．（2010广东）若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y +=B ．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++=二、填空题34．(2018江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．35．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，(12,0)A -，(0,6)B ，点P 在圆O ：2250x y +=xOy 3450x y +-=224x y +=,A B AB 1上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ．36．（2015湖北）如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为 ； （Ⅰ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=；③NB MA NAMB+=其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）37．（2014江苏）在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ．38．（2014重庆）已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_________．39．（2014湖北）直线1l ：y x a =+和2l ：y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b +=________．40．（2014山东）圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．41．（2014陕西）若圆C 的半径为1，其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称，则圆C 的标准方程为____．42．（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．xOy 032=-+y x 4)1()2(22=++-y x 02=-+y ax C ()()4122=-+-a y x B A ，ABC ∆=a43．（2014湖北）已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 （Ⅰ） ； （Ⅱ） .44．（2013浙江）直线23y x =+被圆22680x y x y +--=所截得的弦长等于__________.45．（2013湖北）已知圆：，直线：()．设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则 .46．（2012北京）直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为 .47．（2011浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =__． 48．(2011辽宁)已知圆C 经过A (5，1)，B (1，3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__． 49．(2010新课标)圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 ． 50．(2010新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线0x y -=相切于点(2,1)B ，则圆C 的方程为 ． 三、解答题51．(2016年全国I)设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．52．(2014江苏)如图，为了保护河上古桥，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆．且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m ． 经测量，点A位于点O 正北方向60m 处， 点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸)，． （I ）求新桥BC 的长；（II ）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？(2,0)A -M b =λ=O 225x y +=l cos sin 1x y θθ+=π02θ<<O l k k =OA 34tan =∠BCO53．（2013江苏）如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆C 的半径为1，圆心在上.（I）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（II）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．54．(2013新课标2)在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I）求圆心的轨迹方程；（II）若点到直线的距离为，求圆的方程．55．（2011新课标）在平面直角坐标系xoy中，曲线261y x x=-+与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线0x y a-+=交于A，B两点，且,OA OB⊥求a的值．56．（2010北京）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，，xOy()03A,24l y x=-：lC1y x=-A CC M2MA MO=C axOy P x y PP y x=2P椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P．直线y t（I）求椭圆C的方程；（II）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；Q x y是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．（Ⅲ）设(,)答案部分 2019年1.解析 由直线l 的参数方程消去t ，可得其普通方程为． 则点（1，0）到直线l 的距离是．故选D ．2. 解析 解法一：由，得， 设斜率为的直线与曲线切于，由，解得． 所以曲线上，点到直线的距离最小，． 解法二：由题意可设点的坐标为，则点到直线的距离 ，当且仅当所以点到直线的距离的最小值为4. 3.解析 解法一：（1）过A 作，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，.' 因为PB ⊥AB ，所以. 4320x y -+=65d ==4(0)y x x x =+>241y x'=-1-4(0)y x x x=+>0004(,)x x x +20411x -=-000)x x =>4(0)y x x x=+>P 0x y +=4=P 4,x x x ⎛⎫+⎪⎝⎭()0x >P 0x y +=222224x d ⎛⎫+ ⎪==⨯⨯=x =P 0x y +=AE BD ⊥6, 8DE BE AC AE CD =====84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==所以.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知，从而，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15， 此时； 当∠OBP >90°时，在中，. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O12154cos 5BD PB PBD ===∠10AD ==2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅1P 1PB AB ⊥1P 11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=1PPB △115PB PB >=CQ ===的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为， 直线PB 的方程为.所以P （−13，9），. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，联结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：. 在线段AD 上取点M （3，），因为，3443-42533y x =--15PB ==36(44)4y x x =-+-1545OM =<=所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设为l 上一点，且，由（1）知，B =15，此时（−13，9）； 当∠OBP >90°时，在中，. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q（a ，9），由，得a =，所以Q （，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为. 4.解析：解法一：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得． 所以圆心为（0，-2），则半径．1P 1PB AB ⊥1P 1P 1PPB △115PB PB >=15(4)AQ a ==>4+4+4+4(13)17PQ =+-=+17+1122m +=-2m =-22(20)(12)5r =--+-+=解法二：由，得，所以2010-2018年1．A【解析】圆心(2,0)到直线的距离d==所以点P到直线的距离1d∈．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为(2,0)A-，(0,2)B-，所以||AB=所以ABP∆的面积111||2S AB d==．因为1d∈，所以[2,6]S∈，即ABP∆面积的取值范围是[2,6]．故选A．2．12【解析】直线的普通方程为20x y+-=，圆的标准方程为22(1)1x y-+=，圆心为(1,0)C，半径为1，点C到直线20x y+-=的距离2d==以||AB==11222ABCS∆==．3．C【解析】由题意可得d====（其中cosϕ=，sinϕ=，∵1sin()1θϕ--≤≤,d≤1=+∴当0m=时，d取得最大值3，故选C．4．A【解析】以线段12A A为直径的圆是222x y a+=，直线20bx ay ab-+=与圆相切，r==2m=-r==所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，3c e a ==，故选A ．5．A 【解析】如图建立直角坐标系，则(0,1)A ，(0,0)B ，(2,1)D ，(,)P x y所以圆的方程为224(2)5x y -+=， 所以(,1)AP x y =-，(0,1)AB =-，(2,0)AD =，由AP AB AD λμ=+，得21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，所以λμ+=12xy -+，设12x z y =-+，即102xy z -+-=， 点(,)P x y 在圆上，所以圆心到直线102xy z -+-=的距离小于半径，≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值为3， 即λμ+的最大值为3，选A ．6．D 【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2)y k x +=-，即230kx y k ---=，则1d ==，|55|k +=43k =-或34-．x7．A 【解析】 设所求直线的方程为20x y c ++=(1)≠c ，=所以c =故所求直线的方程为250x y ++=或250x y +-=．8．C 【解析】设过,,A B C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则3100422007500D E F D E F D E F +++=⎧⎪+++=⎨⎪-++=⎩，解得2,4,20D E F =-==-， 所求圆的方程为2224200x y x y +-+-=，令0x，得24200y y +-=，设1(0,)M y ，2(0,)N y ，则124y y +=-，1220y y ⋅=-，所以12||||MN y y =-==9．C 【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，因此，，即，．选C ．10．A 【解析】当点M 的坐标为(1,1)时，圆上存在点(1,0)N ，使得45OMN ∠=，所以01x =符合题意，排除B 、D ；当点M的坐标为时，OM =，过点M 作圆O 的一条切线MN '，连接ON '，则在Rt OMN '∆中，sin OMN '∠=<，则45OMN '∠<，故此时在圆O 上不存在点N ，使得°45OMN ∠=，即0x =合题意，排除C ，故选A ．11．D 【解析】直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为30x y -+=．12．B 【解析】因为圆C 的圆心为(3,4)，半径为1，||5OC =，所以以原点为圆心、以m为半径与圆C 有公共点的最大圆的半径为6，所以m 的最大值为6，故选B ． 13．C 【解析】由题意得12(0,0),(3,4)C C，121,r r ==1212||15C C r r =+==，所以9m =．C 22(2)(1)4x y -+-=(2,1)C 2r =2110a +⨯-=1a =-(4,1)A --6AB ===14．D 【解析】设直线l 的倾斜角为θ，由题意可知min max 0,263ππθθ==⨯=．15．B 【解析】圆的标准方程为22(1)(1)2x y a ++-=-，则圆心(1,1)C -，半径r 满足22r a =-，则圆心C 到直线20x y ++=的距离d == 所以2422r a =+=-，故4a =-16．B 【解析】易知直线0x my +=过定点(0,0)A ，直线30mx y m --+=过定点(1,3)B ，且两条直线相互垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动，故||||||cos ||sin PA PB AB PAB AB PAB +=∠+∠)4PAB π=∠+∈．故选B ．17．A 【解析】由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ，要使圆C 的面积最小，只需圆C 的半径或直径最小．又圆C 与直线240x y +-=相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点O 到直线240x y +-=的距离，此时2r =，得r =，圆C 的面积的最小值为245S r ππ==． 18．A 【解析】根据平面几何知识，直线AB 一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为12，故直线AB 的斜率一定是2-，只有选项A 中直线的斜率为2-． 19．A 【解析】圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值． 又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=， 故选A ．20．C 【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.21．B 【解析】（1）当过与的中点时，符合要求，此， (1,2)d=r=4=y ax b =+()1,0A -BC D 13b =（2）当位于②位置时,， 令得,∵,∴ (3) 当位于③位置时,， 令,即，化简得,∵, ∴，解得综上：，选B 22．B 【解析】点M(a , b )在圆221x y +=外，∴221a b +>．圆(0,0)O 到直线1ax by +=距离1d =<=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B ．23．C 【解析】设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心．因为直线与直线垂直，所以， 即，选C ． 24．A 【解析】∵圆心到直线的距离等于，排除B 、C ；相切于第一象限排除D ，选A.直接法可设所求的直线方程为：，再利用圆心到直线的距离等于y ax b =+1,0b A a ⎛⎫-⎪⎝⎭11,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭1112A BD S ∆=212b a b=-0a >12b <y ax b =+21,11b b a A a a --⎛⎫⎪--⎝⎭21,11b a b D a a -+⎛⎫⎪++⎝⎭2212A CD S ∆=()111112112b b b a a --⎛⎫--= ⎪+-⎝⎭22241a b b -=-+0a >22410b b -+<1122b -<<+1122b -<<k 2(2)y k x -=-220kx y k -+-=(1,0)==12k =-10ax y -+=112k a =-=-2a =1r =()0y x k k =-+>，求得25．C 【解析】抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，准线方程为1x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则因为|AF |=3|BF |，所以1213(1)x x +=+，所以1232x x =+，因为1||y =32||y ，1x =92x ，所以1x =3，2x =，当1x =3时，， 所以此时，若，则, 此时此时直线方程为。

方法技巧专题6直线与圆问题二、直线与圆的方程问题3、两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线21,l l 的斜率21,k k 存在，则1,//21212121-=⇔⊥=⇔k k l l k k l l ;若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.1.例题【例1】设R ∈λ，则“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当3-=λ时，两条直线的方程分别为0223,0146=-+=++y x y x ，此时两条直线平行；若两条直线平行，则)1(6)1(2λλλ--=-⨯，所以3-=λ或1=λ，经检验，两者均符合；综上：“3-=λ是直线1)1(2=-+y x λλ与直线4)1(6=-+y x λ平行”的充分不必要条件，故选A.【答案】A【例2】过点（1，2）的直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当OAB ∆的面积最小时，直线l 的方程为（）A.042=-+y x B.05-2y x =+ C.03=-+y x D.0832=-+y x 【解析】设l 的方程为)0,0(1>>=+b a b y a x ，则有121=+b a ，因为0,0>>b a ，所以ab b a 2221≥+，即ab 221≥，所以8≥ab ，当且仅当2121==b a ，即4,2==b a 时，取“=”.即当4,2==b a 时，OAB ∆的面积最小.此时l 的方程为142=+yx ，即042=-+y x .故选A.【答案】A2.巩固提升综合练习【练习1】若两平行直线)0(02:1>=+-m m y x l 与062:2=-+ny x l 之间的距离是5，则=+n m （）A.0B.1C.-2D.-1【解析】因为21,l l 平行，所以m n ⨯≠-⨯-⨯=⨯2)6(1),2(21，解得3,4-≠-=m n ，所以直线2l 的方程是032=--y x ，又21,l l 之间的距离是5，所以5413=++m ，解得m =2或m =-8（舍去），所以2-=+n m ，故选C.【答案】C【练习2】直线l 过点P （1，4），分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于点A ，B 两点，O 为坐标原点，当OB OA +最小时，l 的方程为.【解析】经检验直线l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为)0<k k （，则直线l 的方程为)1(4-=-x k y ，令y=0得)0,41(kA -，令x=0得)4,0(k B -，则945)4(5)4(5)4(41(=+≥-+-+=+-=-+-=+k k k k k k OB OA ，当且仅当kk -=-4，即2-=k 时，OB OA +取得最小值.此时l 的方程为062=-+y x .【答案】062=-+y x1.例题【例1】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点)5,0(M 在圆C 上，且圆心到直线02=-y x 的距离为554，则圆C 的方程为.【解析】设圆心为)0)(0,(>a a ，则圆心到直线02=-y x 的距离5541402=+-=a d ，解得2=a ，半径3)50()0(22=-+-=a r ，所以圆C 的方程为9)2(22=+-y x .【答案】9)2(22=+-y x 【例2】圆心为点()4,7C ，并且截直线3410x y -+=所得的弦长为8的圆的方程（）A ．()224(7)5x y -+-=B ．()224(7)25x y -+-=C ．()227(4)5x y -+-=D ．()227(4)25x y -+-=【答案】B【解析】圆心到直线的距离d 3==，在直线3410x y -+=上截的的弦长为8∴圆的半径5r ==∴圆的方程为()()224725x y -+-=故选：B2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆C 关于y 轴对称，经过点（1，0）且被x 轴分成两段弧长比为1：2，则圆C 的方程为（）A.34)33(22=+±y x B.31)33(22=+±y x C.3433(22=±+y x D.31)33(22=±+y x【解析】由题意知圆心在y 轴上，且被x 所分的劣弧所对的圆心角为32π，设圆心为),0(a ，半径为r ，则a r r ==3cos ,13sinππ，解得332=r ，即33342==a r ，，则33±=a ，故圆C 的方程为34)33(22=±+y x .【答案】C【练习2】以(1,0)C -为圆心，并且与圆22430x y x +-+=外切的圆的方程是()A ．22(1)2x y ++=B ．22(1)4x y ++=C ．22(1)2x y -+=D ．22(1)4x y -+=【答案】B【解析】根据题意，设圆C 的半径为R ，圆22430x y x +-+=，即()2221x y -+=，其圆心为()2,0，半径1r =，设()2,0M ，若圆C 与圆M 外切，则有3R r MC +==，则2R =，则所求圆的方程为()2214x y ++=；故选：B ．1、直线与圆的位置关系的判断直线0:=++C By Ax l （A ，B 不全为0）与圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 的位置关系的判断方法有：（1）几何法：圆心),(b a 到直线0:=++C By Ax l 的距离为d ，⇔<r d 直线与圆相交；⇔=r d 直线与圆相切；⇔>r d 直线与圆相离.（2）代数法：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0rb y a x C By Ax 消元，得到的一元二次方程的判别式为∆，则⇔>∆0直线与圆相交；⇔=∆0直线与圆相切；⇔<∆0直线与圆相离.1.例题【例1】已知圆m y x -=-++2)1()1(22截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数=m （）A.2- B.4- C.6- D.8-【解析】圆心)1,1(-到直线02=++y x 的距离为2=d ，由弦长公式得4)2()2(22=--m 解得4-=m ，故选B.【答案】B【例2】若直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1有两个公共点，则点P （a ，b ）与圆x 2+y 2＝1的位置关系是（）A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能【解析】根据题意，直线ax +by ＝1与圆x 2+y 2＝1有两个公共点，即直线与圆相交，则有圆心到直线ax +by ＝1的距离dr ＝1，变形可得a 2+b 2＞1，则点P （a ，b ）在圆x 2+y 2＝1的外部；故选：B ．【例3】若圆C ：x 2+y 2＝5﹣m 与圆E ：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝16有三条公切线，则m 的值为（）A ．2B ．C ．4D ．6【解析】若两圆有三条公切线，等价为两圆相外切，圆E （3，4），半径R ＝4，圆C （0，0），半径r ，则|EC |＝45，即1，得5﹣m ＝1，则m ＝4，故选：C ．【例4】已知圆02:221=+-+y kx y x C 与圆04:222=-++ky y x C 的公共弦所在直线恒过定点),(b a P ，且点P 在直线02=--ny mx 上，则mn 的取值范围是（）A.），（410 B.]410，（ C.），（41∞- D.]41，（∞-【解析】将0222=+-+y kx y x 与0422=-++ky y x 相减，得公共弦所在的直线方程为04)2(=--+y k kx ，即0)42()(=+-+y y x k ，由⎩⎨⎧=+=+0042y x y 得⎩⎨⎧-==22y x ，所以定点为），（22-P ，因此0222=-+n m ，所以414)(12=+≤=+n m mn n m ，，故选D.【答案】D【例5】已知点M （3，1）及圆4)2()1(22=-+-y x ，则过点M 的圆的切线方程为.【解析】由题意得圆心C （1，2），半径2=r ，当直线的斜率不存在时，方程为3=x ,由圆心C （1，2）到直线3=x 的距离r d ==-=213知，这条直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设方程为)3(1-=-x k y ，即031=-+-k y kx ，因为相切，所以213122=+-+-k kk ，解得43=k ，故方程为)3(431-=-x y ，即0543=--y x ；综上所述：过点M 的圆的切线方程为3=x 或0543=--y x .【答案】3=x 或0543=--y x 【练习1】已知直线03=-+m y x 与圆2:22=+y x C 相交于A ，B 两点，O为坐标原点，且=+，则实数m 的值为.2==，可知ABC ∆为等腰直角三角形，则点O 到AB 所在直线的距离为1.由1231==+-m m ，得2±=m .【答案】2±【练习2】已知两条平行直线l 1，l 2之间的距离为1，l 1与圆C ：x 2+y 2＝4相切，l 2与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝（）A．B．C．D．【解析】根据题意，l 1与圆C ：x 2+y 2＝4相切，则圆心C 到直线l 1的距离为2，又由两条平行直线l 1，l 2之间的距离为1，则圆心C 到直线l 2的距离d ＝2﹣1＝1，则|AB |＝22；故选：D ．【练习3】若直线l ：ax +y +2a ＝0被圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝4所截得的弦长为，则a 的值为（）A ．﹣7或﹣1B ．7或1C ．7或﹣1D ．﹣7或1【解析】圆心为C （0，4），半径R ＝2，∵直线l ：ax +y +2a ＝0被圆C ：x 2+（y ﹣4）2＝4所截得的弦长为，∴圆心到直线的距离d 满足d 2＝R 2﹣（）2＝4﹣2＝2，即d，平方得2a2+2＝16+16a+4a2，即a2+8a+7＝0，即（a+1）（a+7）＝0，得a＝﹣1或a＝﹣7，故选：A．【练习4】已知圆x2+y2＝1的圆心为O，点P是直线l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的动点，若该圆上存在点Q 使得∠QPO＝30°，则实数m的最大值为【解析】直线l的方程可化为（x+3）m﹣（y+2）＝0，令，得，即直线l过定点（﹣3，﹣2），因为该圆上存在点Q使得∠QPO＝30°，故，即OP≥2，所以OP2，解得，故填：4【练习5】过直线l：y＝x﹣2上任意点P作圆C：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线最小时，△PAB的面积为．【解答】如图，要使切线长最小，则|OP |最小，过O 作直线y ＝x ﹣2的垂线，则垂足为P ，可得|OP|，∴A ，B 为圆C ：x 2+y 2＝1与两坐标轴的交点，则PA ＝PB ＝1，∠APB ＝90°，∴△PAB 的面积为．故答案为：．1．已知圆22:4C x y +=，直线:1(1)l y k x -=+，则直线l 与圆C 的位置关系（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上皆有可能【答案】C【解析】方法一：直线l 方程可整理为：10kx y k -++=由圆C 方程可知，圆心：()0,0；半径：2r =∴圆心到直线l的距离：d ===若0k ≤，则1d r ≤<，此时直线与圆相交若0k >，则d ==又12k k+≥（当且仅当1k =时取等号）2121k k∴+≤+则d r ≤<，此时直线与圆相交综上所述：直线与圆相交方法二：因为直线:1(1)l y k x -=+过定点（-1,1），点（-1,1）在圆22:4C x y +=内，所以直线:1(1)l y k x -=+与圆22:4C x y +=相交。

考点21 直线与圆1.（2010·安徽高考文科·Ｔ4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） （A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 【命题立意】本题主要考查直线平行问题.【思路点拨】可设所求直线方程为20x y c -+=，代入点（1，0）得c 值，进而得直线方程.【规范解答】选A ，设直线方程为20x y c -+=，又经过(1,0)，故1c =-，所求方程为210x y --=. 2.(2010·广东高考文科·Ｔ6）若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的方程是（ ）(A)22(5)5x y -+= (B)22(5)5x y ++=(C)22(5)5x y -+= (D)22(5)5x y ++=【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】选D .设圆心为(,0)(0)a a <，则2220512a r +⨯==+，解得5a =-，所以所求圆的方程为：22(5)5x y ++=，故选D .3.（2010 ·海南宁夏高考·理科T15）过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)． 则圆C 的方程为 .【命题立意】本题主要考察了圆的相关知识，如何灵活转化题目中的条件求解圆的方程是解决问题的关键. 【思路点拨】由题意得出圆心既在线段AB 的中垂线上，又在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，进而可求出圆心和半径,从而得解.【规范解答】由题意知，圆心既在过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在线段AB 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，AB 的中垂线为3x =，联立半径2r CA ==22(3)2x y -+=.【答案】22(3)2x y -+=4.（2010·广东高考理科·Ｔ１2）已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是【命题立意】本题考察直线与圆的位置关系.【思路点拨】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解. 【规范解答】设圆心坐标为(,0)a ，则022a +=，解得2a =±，又圆心位于y 轴左侧，所以2a =-.故圆O 的方程为22(2)2x y ++=. 【答案】22(2)2x y ++=5.（2010·天津高考文科·Ｔ１4）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切.则圆C 的方程为【命题立意】考查点到直线的距离、圆的标准方程、直线与圆的位置关系. 【思路点拨】圆心到与圆的切线的距离即为圆的半径.【规范解答】由题意可得圆心的坐标为（-1,0），圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径，故22r ==，所以圆的方程为2x+1y 2+=2（）. 【答案】2x+1y 2+=2（） 6.（2010·江苏高考·Ｔ9）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是___________ 【命题立意】本题考查直线与圆的位置关系.【思路点拨】由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线12x-5y+c=0的距离小于1，从而求出c 的取值范围.【规范解答】如图，圆422=+y x 的半径为2， 圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1, 问题转化为坐标原点（0，0）到直线12x-5y+c=0的 距离小于1.1,13,1313.c c <<∴-<<【答案】1313c -<<7.（2010·山东高考理科·Ｔ16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为 ．【命题立意】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【规范解答】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为x+y-3=0. 【答案】x+y-3=0【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.8.（2010·山东高考文科·Ｔ１6）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦长为C 的标准方程为 .【命题立意】本题考查了点到直线的距离、直线与圆的关系，圆的标准方程等知识，考查了考生的分析问题解决问题的能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】根据弦长及圆心在x 轴的正半轴上求出圆心坐标，再求出圆的半径即可得解. 【规范解答】设圆心坐标为(a,0)，圆的半径为r，则由题意知：22+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），222(1)(31)4,r a =-=-=故所求圆的方程为22(3) 4.x y -+=. 【答案】22(3)4x y -+=【方法技巧】（1）研究直线与圆的位置关系，尽可能简化运算，要联系圆的几何特性.如“垂直于弦的直径必平分弦”，“圆的切线垂直于过切点的半径”，“两圆相交时连心线必垂直平分其公共弦”等.在解题时应注意灵活运用.（2）直线与圆相交是解析几何中一类重要问题，解题时注意运用“设而不求”的技巧.9.（2010·湖南高考文科·Ｔ14）若不同两点P,Q 的坐标分别为（a ，b ），（3-b ，3-a ），则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线对称的圆的方程为 . 【思路点拨】第一问直接利用“如果两直线的斜率存在，那么相互垂直的充要条件是斜率之积等于-1”；第二问把圆的对称转化为圆心关于直线的对称.【规范解答】设PQ 的垂直平分线的斜率为k ，则k ·ab ba ----33=-1，∴k=-1，而且PQ 的中点坐标是(23b a -+ ,23b a +-)，∴l 的方程为：y-23b a +-=-1·(x-23b a -+ )，∴y=-x+3,而圆心(2,3)关于直线y=-x+3对称的点坐标为(0,1)，∴所求圆的方程为：x 2+(y-1)2=1. 【答案】-1 x 2+(y-1)2=1【方法技巧】一个图形关于一条直线的对称图形的方程的求法，如果对称轴的斜率为±1，常常把横坐标代入得到纵坐标，把纵坐标代入得到横坐标，如(a,b)关于y=x+c 的对称点是(b-c,a+c).10.（2010·北京高考理科·Ｔ１9）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (1)求动点P 的轨迹方程.(2)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【命题立意】本题考查了动点轨迹的求法，第（2）问是探究性问题，考查了考生综合运用知识解决问题的能力，考查了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】（1）设出点P 的坐标，利用AP 与BP 的斜率之积为13-，可得到点P 的轨迹方程.（2）方法一：设出00(,)P x y ，把PAB ∆和PMN ∆的面积表示出来，整理求解；方法二：把△PAB 与△PMN 的面积相等转化为||||||||PA PN PM PB =，进而转化为0000|1||3||3||1|x x x x +-=--. 【规范解答】（1）因为点B 与点A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1,1)-.设点P 的坐标为(,)x y ， 由题意得111113y y x x -+=-+-，化简得 2234(1)x y x +=≠±.故动点P 的轨迹方程为2234(1)x y x +=≠±.（2）方法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=++，直线BP 的方程为0011(1)1y y x x ++=--， 令3x =得000431M y x y x +-=+，000231N y x y x -+=-，于是PMN ∆的面积为2000020||(3)1||(3)2|1|PMNM N x y x S y y x x ∆+-=--=-， 又直线AB 的方程为0x y +=，||AB = 点P 到直线AB的距离d =， 于是PAB ∆的面积为001||||2PAB S AB d x y ∆==+， 当PABPMN S S ∆∆=时，有20000020||(3)|||1|x y x x y x +-+=-， 又00||0x y +≠，所以20(3)x -=20|1|x -，解得053x =. 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（方法二：若存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠， 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB =，所以0000|1||3||3||1|x x x x +-=--， 即 2200(3)|1|x x -=-，解得0x 53=， 因为220034x y +=，所以0y =， 故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P的坐标为55(,,-3939或（.。

第七章 直线与圆的方程1、与圆22(2)1x y +-=相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （ ）A 、2条B 、3条C 、4条D 、6条1、C【思路分析】 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为1x y a a+=，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同，故选C .【命题分析】 考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.2．己知（－1，0）B （1，－1）C （2，3）。

在△ABC 所在区域内（含边界），P = 5x －y 的最大值是2．解答：P （A ）=－5，P （B ）=6 ，P （C ）=7即填7评析：本题考察线性规划问题3、设全集}06208201243|),{(,},|),{(⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-->-+=∈∈=y x y x y x y x P R y R x y x U ，},|),{(222+∈≤+=R r r y x y x Q ，若⊆Q C U P 恒成立，则实数r 最大值为 . 3、512 【思路分析】 作出集合P 表示的平面区域，易知为使⊆Q C U P 恒成立，必须且只需r ≤原点O 到直线3x+4y -12=0的距离.【命题分析】考查简单的线性规划知识，集合的有关概念，数形结合的思想方法，数学语言的灵活转换能力.4．设集合},),({R y R x y x u ∈∈=，n y x y x B m y x y x A -+=≥+-=),({},02),({ }0>，若点B C A P u I ∈)3,2(，则n m +的最小值为（ ）A ．6-B ．1C ．4D ．54．C 【思路分析】：A P ∈，即：034≥+-m ，∴1-≥m ；B C P u ∈，则032≤-+n ∴5≥n ，得4≥+n m ，故选C.【命题分析】：考查集合的运算，元素与集合的关系，不等式的性质，等价转换的思想方法，思维的灵活性.5、(理)已知函数32)(2-+=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ，集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M I 的面积是 A ．2π B ． π C ．π2D ． π4 5、(理) D 【思路分析】： 集合M 即为：8)1()1(22≤+++y x ，集合N 即为：0))(2(≥-++y x y x ，其面积等于半圆面积。

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题1、已知m ∈R ，直线l ：2(1)4mx m y m -+=和圆C ：2284160x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？ 解析：（1）直线l 的方程可化为22411m m y x m m =-++，直线l 的斜率21mk m =+，因为21(1)2m m +≤，所以2112m k m =+≤，当且仅当1m =时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（2）不能．由（1）知l 的方程为(4)y k x =-，其中12k ≤． 圆C 的圆心为(42)C -，，半径2r =．圆心C 到直线l的距离d =．由12k ≤，得1d >，即2r d >．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于23π．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧． 2、已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由。

解析：圆C 化成标准方程为2223)2()1(=++-y x 假设存在以AB 为直径的圆M ，圆心M 的坐标为（a由于CM ⊥l ，∴k CM ⋅k l = －1 ∴k CM =112-=-+a b ， 即a +b +1=0，得b = －a －1 ① 直线l 的方程为y －b =x －a ， 即x －y +b －a =0CM=23+-a b∵以AB 为直径的圆M 过原点，∴OM MB MA ==2)3(92222+--=-=a b CMCB MB ，222b a OM += ∴2222)3(9b a a b +=+-- ②把①代入②得 0322=--a a ，∴123-==a a 或 当25,23-==b a 时此时直线l 的方程为x －y －4=0； 当0,1=-=b a 时此时直线l 的方程为x －y +1=0故这样的直线l 是存在的，方程为x －y －4=0 或x －y +1=0评析：此题用0OA OB =,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b 的方程比较简单3、已知点A(－2，－1)和B(2，3)，圆C ：x 2＋y 2= m 2，当圆C 与线段．．AB 没有公共点时，求m 的取值范围.解：∵过点A 、B 的直线方程为在l ：x －y ＋1 = 0, 作OP 垂直AB 于点P ，连结OB.由图象得：|m|＜OP 或|m|＞OB 时，线段AB 与圆x 2＋y 2= m 2无交点.（I ）当|m|＜OP 时，由点到直线的距离公式得：22|m |2|1||m |<⇒<，即22m 22<<-. （II ）当m ＞OB 时,||||m m 即 13m 13m >-<或. ∴当22m 22<<-和0m 13m 13m ≠>-<且与时，圆x 2＋y 2= m 2与线段AB 无交点.4、．已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A .⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围. 解： ⑴设(),P x y 为轨迹上任一点，则0y =≠ （4分）化简得：2114y x =+ 为求。

智才艺州攀枝花市创界学校高中数学第七章-直线和圆的方程 考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的间隔．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由条件列出曲线方程．圆的HY 方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：〔1〕理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件纯熟地求出直线方程．〔2〕掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的间隔公式可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系．〔3〕理解二元一次不等式表示平面区域．〔4〕理解线性规划的意义，并会简单的应用．〔5〕理解解析几何的根本思想，理解坐标法．〔6〕掌握圆的HY 方程和一般方程，理解参数方程的概念。

理解圆的参数方程．§07.直线和圆的方程知识要点一、直线方程.1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或者重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或者12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：假设232--=x y 是一直线的方程，那么这条直线的方程是232--=x y ，但假设)0(232≥--=x x y 那么不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，假设b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点〔0，b 〕的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线.②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或者无视其中任一个“前提〞都会导致结论的错误.〔一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，那么1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或者21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠〕推论：假设两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα那么1l ∥212αα=⇔l .⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，那么有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在.②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或者02=k ，且1l 的斜率不存在.〔即01221=+B A B A 是垂直的充要条件〕4.直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角〔方向角〕；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，那么有21121tan k k k k +-=θ. 5.过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内〕6.点到直线的间隔：⑴点到直线的间隔公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的间隔为d ，那么有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的间隔公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的间隔：||OP = 2. 定比分点坐标分式。