2015年北师大版八年级下册数学第一章 三角形的证明第2节《直角三角形(2)》导学案

北师大版八年级数学（下）第一章三角形的证明第2课时等边三角形的性质例1：如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为（）A．25°B．60°C．85°D．95°解：∠ADB＝∠DBC+∠C＝35°+60°＝95°．故选：D．练习：等边三角形的两个内角平分线所成的锐角是（）A．30°B．50°C．60°D．90°解：如图：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BO、CO是两个内角的平分线，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，在△OBC中，∠DOC＝∠OBC+∠OCB＝30°+30°＝60°．故选：C．作业：1．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的点，延长BC到点E，使CE＝CD，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E＝60°，∴∠E＝30°，故选：C．例2：如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC＝．解：∵AD是等边△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．故答案为：15°．练习：如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝cm．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°∴∠CDE＝30°∴∠CDE＝∠E，即CE＝CD＝AC＝3cm．故填3．作业：2. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝度．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，∵CG＝CD，∴∠GDC＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝15°．故答案为：15．例3：三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝120°，则∠3的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°解：如图，∵∠3+∠6+60°＝180°，∠2+∠4+60°＝180°，∠1+∠5+60°＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝540°﹣180°，∴∠3＝180°﹣（∠1+∠2）＝60°，故选：B．练习：如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BC＝BD，∴AB＝BD，∠BAD＝∠ADB＝20°，∴∠ABD＝140°，∴∠CBD＝80°，又∵BC＝BD，∴∠BCD＝50°＝∠BDC，故选：A．作业：3. 如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为（）A．50°B．45°C．40°D．35°解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝60°+90°＝150°，∵AC＝CD，∴∠DAC＝＝15°，∴∠BAD＝60°﹣15°＝45°．故选：B．例4：如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．证明：连接BD．∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠CDE+∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴MB＝ME．练习：如图，△ABC是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠AEC＝120°，AE＝CE，F 为BC中点，连接AF．（1）直接写出∠BAE的度数为；（2）判断AF与CE的位置关系，并说明理由．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵EA＝EC，∠AEC＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°．故答案为90°．（2）结论：AF∥EC．理由：∵AB＝AC，BF＝CF，∴AF⊥BC，∵∠ACB＝60°，∠ACE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴EC⊥BC，∴AF∥EC．作业：4．已知，如图，等边△ABC中，点D为BC延长线上一点，点E为CA延长线上一点，且AE＝DC，求证：AD＝BE．证明：在等边△ABC中，AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠EAB＝∠DCA＝120°．在△EAB和△DCA中，，∴△EAB≌△DCA（SAS），∴AD＝BE．例5：已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD．（1）求证：AD＝BE；（2）求：∠BFD的度数．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），∴∠ABE＝∠CAD（全等三角形对应角相等），又∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∴∠BFD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，又∠BAC＝60°，∴∠BFD＝60°．练习：已知，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°．（1）如图1，若∠1＝50°，求∠2；（2）如图2，连接DF，若∠1＝∠3，求证：DF∥BC．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠A＝∠C＝60°，∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠DEB+∠DEF+∠2＝180°，∵∠DEF＝60°，∴∠1+∠DEB＝∠2+∠DEB，∴∠2＝∠1＝50°；（2）∵∠B+∠1+∠DEB＝180°，∠FDE+∠3+∠DEF＝180°，又∵∠B＝60°，∠DEF ＝60°，∠1＝∠3，∴∠FDE＝∠DEB，∴DF∥BC．作业：5．已知△ABC为等腰三角形，AC＝BC，△ACE为等边三角形．（1）如图①，若∠ABC＝70°，则∠CAB的大小＝（度），∠EAB的大小＝（度）；（2）如图②，△BDC为等边三角形，AE与BD相交于点F，求证：FA＝FB．解：（1）∵AC＝CB，∴∠ABC＝∠CAB＝70°，∵△ACE为等边三角形，∴∠CAE＝60°，∴∠EAB＝∠CAB﹣∠CAE＝70°﹣60°＝10°；故答案为：70，10．（2）证明：∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵△ACE，△BDC都为等边三角形，∴∠CAE＝∠CBD＝60°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠CBA﹣∠CBD，即∠FAB＝∠FBA，∴FA＝FB．备用：在同一平面内，将两块正三角形的纸板的两个顶点重合在一起．（1）如图1重叠部分∠AOD＝30°，求∠COB的大小；（2）如图2重叠部分∠AOD＝15°，求∠COB的大小；（3）如图3，若两图形除O外没有重叠，∠AOD＝10°，求∠COB的大小；（4）求∠AOD和∠COB的数量关系．解：（1）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝30°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD＝60°+60°﹣30°＝90°；（2）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝15°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB﹣∠AOD ＝60°+60°﹣15°＝105°；（3）∵△COD和△AOB为正三角形，∠AOD＝10°，∴∠COB＝∠COD+∠AOB+∠AOD＝60°+60°+10°＝130°；（4）当∠AOD是两个角的重叠的角，则∠COB＝120°﹣∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD≤60°，则∠COB＝120°+∠AOD；当∠AOD是两个角的相离时的角，且∠AOD＞60°，则∠COB＝360°﹣（120°+∠AOD）＝240°﹣∠AOD．。

2 直角三角形第2课时【教学目标】知识技能目标1.掌握证明直角三角形全等的“HL”判定定理,进一步理解证明的必要性.2.利用“HL”定理解决实际问题.过程性目标进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力.情感态度目标在探究性学习中培养刻苦钻研、实事求是的态度,勇于探索创新的精神,增强学生的自主性和合作精神.【重点难点】重点:掌握判定直角三角形全等的条件;并能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.难点:证明“HL”定理的思路的探究和分析.【教学过程】一、创设情境1.判断两个三角形全等的方法有哪几种?2.已知一条边和斜边,求作一个直角三角形.想一想,怎么画?同学们相互交流.设计意图:通过动手实践培养学生观察、比较、交流的能力,得到猜想.由此发现判定直角三角形全等的一种特有方法.教师顺水推舟,询问能否证明:“在两个直角三角形中,直角所对的边(即斜边)和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.”,从而引入新课.二、探究归纳(1)证明“HL”定理.已知:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AB=A′B′,BC=B′C′.求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明:在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2(勾股定理).又∵在Rt△A′B′C′中,A′C′2=A′B′2-B′C′2 (勾股定理).AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′.∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SSS).定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示.例1:(课本P20例)设计意图:通过利用“HL”定理来解决实际问题,使学生体会数学结论在实际中的应用.要求学生不仅能用数学语言清楚地表达出自己的想法,还能将解题过程规范地书写出来.例2:判断下列命题的真假,并说明理由.(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.(2)斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等.(3)两条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.设计意图:通过本组练习,训练证明直角三角形全等的多种方法.三、交流反思本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.而当一边的对角是直角时,这两个三角形是全等的,从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理,并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题,不仅进一步掌握了推理证明的方法,而且发展了同学们演绎推理的能力.同学们这一节课的表现,很值得继续发扬光大.四、检测反馈1.在△ABC中,∠C=90°,AD为角平分线,BC=32,BD∶DC=9∶ 7,则点D到AB的距离为( )A.18 cmB.16 cmC.14 cmD.12 cm2.在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等,则点P应是△ABC的哪三条线交点.( )A.高B.角平分线C.中线D.边的垂直平分线3.已知,如图,在△ABC中,AB=AC,AD是角平分线,BE=CF,则下列说法正确的有几个( )①AD平分∠EDF;②△EBD≌△FCD;③BD=CD;④AD⊥BC.A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件________或________; 若利用“HL”证明△ABC≌△ABD,则需要加条件________或________.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6 cm,则△DEB的周长为________ cm.五、课后作业P21 习题1.6 第3,4,5题六、板书设计证明“HL”定理…………例题板书…………七、教学反思本节HL定理的证明学生掌握得比较好,定理的应用方面灵活性较强,给教师和学生发挥的余地较大,所以学生积极性非常高,作为教师要充分利用好这个资源,可以达到一题多解,举一反三的效果.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。

1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形21.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明第二节等腰三角形(一)1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2温故知新直角三角形有哪些性质？(1)有一个角是直角；(2)两个锐角的和为90°(互余); (3)两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。

反之,一个三角形满足什么条件才能是直角三角形呢?1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2深思熟虑一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；(2)有两个角的和为90°的三角形是直角三角形；(3)如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a +b =c , 那么这个三角形是直角三角形吗2 2 2 ???1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2你知道吗(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13)* * * * * * * * * * * * * 据说,古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个等距离的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形,其直角在第4个结处.(8)(1)(2)(3)(4)* * * * * * * * * * * *(12) (11) (10) (9) (5) (6) (7)(13)你想知道这是什么道理吗?1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2提问：这个命题的条件是什么？结论是什么？请你根据条件和结论写出已知和求证. 已知：如图( 1 ),在△ ABC 中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形.AB图(1)C1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2证明：作Rt△A′B′C′ , 使∠ A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC ( 如图(2)),则A A′B′2+A′C′2=B′C′2 (勾股定理). B∵AB2+AC2=BC2 , A′ A′B′=AB,A′C′=AC, ∴BC2=B′C′2. B′ ∴BC=B′C′. 图(2) ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠A==∠A′=90°( 全等三角形的对应角相等). 因此，△ABC是直角三角形.图(1)CC′1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形..1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2如果三角形的三边长a,b,c满足那么这个三角形是直角三角形. 几何表述语言：Ac B a b Ca 2 b2 c 2 ,∵△ABC的三边长a,b,c满足∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.a 2 b2 c 2 ,1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2典例剖析例1:判断由线段a,b,c组成的三(2) a=13,b=11,c=9 分析：根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不是直角三角形, 只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方.角形是不是直角三角形? (1) a=7,b=25,c=24; 解:(1)最长边为25∵a2+c2=72+242 =49+576 =625 b2=252 =625 ∴a2+c2=b2 ∴以7, 25, 24为边长的三角形是直角三角形.数形结合思想1.2.1北师大数学八年级下册第一章三角形的证明直角三角形2学有所得运用勾股定理逆定理的步骤有哪些？(1)首先确定最大边(如c). (2)验证：c2与a2+b2是否具有相等关系. 若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的直角三角形.若c2≠a2+b2,则△ABC不是直角三角形.勾股数满足a2+b2=c2的三个正整数，称为一组勾股数. 如：3、4、5;5、12、13。

八年级数学下册第一章三角形的证明2 直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案北师大版年级：姓名：第2课时直角三角形全等的判定【知识与技能】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性【过程与方法】进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感【情感态度】进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理【教学难点】进一步理解证明的必要性.一.情景导入，初步认知1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.二.思考探究，获取新知探究：“HL”定理.已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)．又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)【教学说明】讲解学生的板演，借此进一步规范学生的书写和表达.分析命题的条件，既然其中一边和它所对的直角对应相等，那么可以把这两个因素总结为直角三角形的斜边对应相等，于是直角三角形有自己的全等判定定理.三.运用新知，深化理解1.见教材P20例题2.填空：如下图，Rt△ABC和Rt△DEF，∠C=∠F=90°.（1）若∠A=∠D，BC=EF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（2）若∠A=∠D，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是ASA.（3）若∠A=∠D，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是AAS.（4）若AC=DF，AB=DE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是HL.（5）若AC=DF，CB=FE，则Rt△ABC≌Rt△DEF的依据是SAS.3.已知：Rt△ABC和Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD、B'D'分别是AC、A'C'边上的中线，且BD=B'D'. 求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'．证明：在Rt△BDC和Rt△B'D'C'中，∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt△BDC≌Rt△B'D'C' (HL定理)．∴CD=C'D'．又∵AC=2CD，A'C'=2C'D'，∴AC=A'C'．∴在Rt△ABC和Rt△A'B'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C'，∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C(SAS)．4.如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来，并证明.解：AC=DB.∵AC=DB,AB=BA,∴△ACB≌△BDA（HL）其他条件：CB=DA或四边形ACBD是平行四边形等.证明略.【教学说明】这是一个开放性问题，答案不唯一，需要我们灵活地运用公理和已学过的定理，观察图形，积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间的交流，获得各种不同的答案．5.如图，在△ABC与△A'B'C'中，CD、C'D'分别分别是高，并且AC＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC≌△A'B'C'．分析：要证△ABC≌△A'B'C'，由已知中找到条件：一组边AC=A'C'，一组角∠ACB=∠A'C'B'．如果寻求∠A=∠A'，就可用ASA证明全等；也可以寻求∠B=∠B'，这样就可用AAS；还可寻求BC=B'C'，那么就可根据SAS……注意到题目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'．观察图形，这里有三对三角形应该是全等的，且题目中具备了HL定理的条件，可证得Rt△ADC≌Rt△A'D'C'，因此证明∠A=∠A' 就可行．证明：∵CD、C'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高(已知)，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'(已知)，CD=C'D' (已知)，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∠A=∠A'，(全等三角形的对应角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A' (已证)，AC=A'C' (已知)，∠ACB=∠A'C'B' (已知)，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．【教学说明】通过上述师生共同活动，学生板书推理过程之后可发动学生去纠错，教师最后再总结.四.师生互动，课堂小结直角三角形的判定方法有五种，注意“HL”仅适用于直角三角形.五.教学板书布置作业:教材“习题1.6”中第3、4、5 题.本节课我们讨论了在一般三角形中两边及其一边对角对应相等的两个三角形不一定全等．而当一边的对角是直角时，这两个三角形是全等的，从而得出判定直角三角形全等的特殊方法——HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力．同学们这一节课的表现很值得夸赞．。