湖北省监利县第一中学高三数学一轮复习 13.函数与方程学案

城东蜊市阳光实验学校函数与方程③二次方程f(x)=0在区间(p ，q)内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=∆⇔;0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b ④二次方程f(x)=0在区间(p ，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0，或者者f(p)=0(检验)或者者f(q)=0(检验)检验另一根假设在(p ，q)内成立。

典例解析:考点一：确定函数零点所在的区间典题导入(2021·统考)设f(x)＝ex ＋x －4，那么函数f(x)的零点位于区间() A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)∵f(x)＝ex ＋x －4，∴f ′(x)＝ex ＋1>0.∴函数f(x)在R 上单调递增．f(－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝e ＋1－4＝e －3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故零点x0∈(1,2)．C由题悟法利用函数零点的存在性定理判断零点所在的区间时，首先看函数y ＝f(x)在区间上的图象是否连续不断，再看是否有f(a)·f(b)<0.假设有，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内必有零点．以题试法1．(2021·模拟)设函数y ＝x3与y ＝x －2的图象交点为(x0，y0)，那么x0所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选B 设函数f(x)＝x3－x －2，f(1)·f(2)<0，且f(x)为单调函数，那么x0∈(1,2)．考点二：判断函数零点个数典题导入(1)(2021·高考)函数f(x)＝x －x 的零点的个数为() A ．0B ．1C．2 D．3(2)(2021·东城区模拟)函数f(x)＝那么函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是()A．4 B．3C．2 D．1(1)在同一平面直角坐标系内作出y1＝x与y2＝x的图象如下列图，易知，两函数图象只有一个交点，因此函数f(x)＝x－x只有1个零点．(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1，又由f(－2)＝f＝－1.可得f(x)＝－2或者者f(x)＝.假设f(x)＝－2，那么x＝－3或者者x＝；假设f(x)＝，那么x＝－或者者x＝，综上可得函数y＝f(f(x))＋1有4个零点．(1)B(2)A由题悟法判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f(x)＝0，假设能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．以题试法2．(2021·高考)函数f(x)＝xcosx2在区间上的零点个数为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选C令xcosx2＝0，那么x＝0，或者者x2＝kπ＋，又x∈，因此xk ＝(k＝0,1,2,3,4)，一一共有6个零点．考点三：函数零点的应用典题导入(2021·高考改编)函数f(x)＝ex－x＋a有零点，那么a的取值范围是________．把两个函数图像交点转化为一个函数的零点，再由根的存在性定理判断，由于转了几个弯子，学生难以开启思路。

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 函数与方程思想学案（1）知识目标：理解函数与方程思想的含义及蕴含的一般解题思路。

（2）能力目标：通过函数与方程思想的应用，使学生在收获知识的同时，培养灵活运用数学知识、思想和方法分析、解决问题的能力。

（3）情感目标：通过学习打通知识间的内在联系，提高思维的深刻性和思辨性；培养学生细心观引入：1.把长为12cm 的铁丝截成两段，分别围成两个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）222232.23.4.233.cm D cm C cm B cm A2.0,0.2223.2223.2223,.2223a b a b a b a b a b A a b a b B a b a b C a b a bD a b a b >>+=+>+=+<-=->-=-<设，则（）若，则若，则若则若，则3. (,)P x y 是椭圆2244x y +=上的一个动点，有定点)1,0(M ,则||PM 的最大值是 .4.在等比数列}{n a 中，若15,61524=-=-a a a a ，则公比q = .5.方程237xx +=的解所在区间是（ ）A.(-1.0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)[问题1]以上题目哪些用到了函数知识，哪些用到了方程知识？※ 纵深探究，共同提高函数思想,是用运动和变化的观点,分析数学中的数量关系,建立 ，方程思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立 ， 例1．的取值范围，求，且满足设ab b a ab R b a 3,++=∈[问题2]由此题你可以归纳出运用函数与方程思想解题的一般步骤吗？ 例 2. 已知函数)(ln 1)(R a x a x x f ∈--=，若0<a ,且对任意]1,0(,21∈x x ，都有|11|4|)()(|2121x x x f x f -≤-，求实数a 的取值范围.[问题3]你学到了哪些构造函数的方法？当堂演练1. 对于满足40≤≤p 的实数p ,使342-+>+p x px x 恒成立的x 的取值范围是2.方程x x m =-+1有解，则m 的最大值为（ ）(A) -1 (B)0 (C)1 (D)-2※ 课堂小结，共同提升※ 自我肯定，自我评价你对本节课的掌握情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差(必做题)1.函数1|log |2)(5.0-=x x f x 的零点个数为( )A.1B.2C.3D.42.对于实数a 和b ,定义运算⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=**ba ab b b a ab a b a ,,:""22,设)1()12()(-*-=x x x f ,且关于x 的方程)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ,则321x x x 的取值范围 是(选做题)设函数x m x x f ln )1()(2+-=,其中m 为常数(1) 若函数)(x f 有极值,求实数m 的取值范围(2) 当*∈≥N n n ,3时,证明不等式n n n n 1ln )1ln(12<-+<函数与方程思想是最重要的一种数学思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在高考中所占比重较大，综合知识多，题型多，应用技巧多。

湖北省监利县第一中学2022届高三数学一轮复习第1课时变化率与数学案【课本导读】1．导数的概念(1)f(某)在某＝某0处的导数就是f(某)在某＝某0处的，记作：即f′(某0)＝limΔ某→0或f′(某0)，f某0＋Δ某Δ某－f某0.(2)当把上式中的某0看做变量某时，f′(某)即为f(某)的，简称导数，即y′＝f′(某)＝limΔ某→0f某＋Δ某Δ某－f某.2．导数的几何意义函数f(某)在某＝某0处的导数就是，即曲线y＝f(某)在点P(某0，f(某0))处的切线的斜率k＝f′(某0)，切线方程为．3．基本初等函数的导数公式n某(1)C′＝(C为常数)；(2)(某)′＝(n∈Q)；(3)(in某)′＝；(4)(co 某)′＝；某某(5)(a)′＝；(6)(e)′＝；(7)(loga某)′＝；(8)(ln某)′＝.4．两个函数的四则运算的导数若u(某)、v(某)的导数都存在，则(1)(u±v)′＝；(2)(u·v)′＝；(3)()′＝；(4)(cu)′＝(c为常数)．【教材回归】12321．(课本习题改编)某汽车的路程函数是(t)＝2t－gt(g＝10m/)，则当t＝2时，汽车的2加速度是()22A．14m/B．4m/22C．10m/D．－4m/2．计算：43(1)(某－3某＋1)′＝________.1(2)(ln)′＝________.uv某某(3)(某e)′＝______.(4)(in某·co某)′＝______.某3．曲线y＝某e＋2某＋1在点(0,1)处的切线方程为________．4．设正弦函数y＝in某在某＝0和某＝A．k1>k2B．k1π附近的平均变化率为k1，k2，则k1，k2的大小关系为()2C．k1＝k2D．不确定5．若曲线y＝某α＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.【授人以渔】题型一利用定义求系数例1(1)用导数的定义求函数f(某)＝1某在某＝1处的导数(2)设f(某)＝某3－8某，则limf＋Δ某－fΔ某→0Δ某＝______；limf某－ff－k－f某－2＝______；lim2k＝______.某→2k→0思考题1(1)求函数y＝某2＋1在某0到某0＋Δ某之间的平均变化率．(2)已知f′(a)＝3，则limfa＋3h－fa－hh＝________.h→0题型二导数运算例2求下列函数的导数：(1)y＝(3某3－4某)(2某＋1)；(2)y＝某2in某某2co2；(3)y＝3某e某－2某＋e；(4)y＝ln某某2＋1.思考题2(1)求下列各函数的导数：①y＝某＋某5＋in某某2；②y＝(1－某)(1＋某)；2③y＝－in(1－2co)；24④y＝tan某；(2)等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(某)＝某(某－a1)·(某－a2)·…·(某－a8)，则f′(0)等于()69A．2B．21215C．2D．2题型三导数的几何意义134例3已知曲线y＝某＋.33(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．思考题3求过点(1，－1)的曲线y＝某－2某的切线方程．【本课总结】1．求f(某)在某＝某0处的导数f′(某0)，有两种方法：(1)定义法：f′(某0)＝limΔ某→03某2某f某0＋Δ某Δ某－f某0.(2)利用导函数求值，即先求f(某)在(a，b)内的导函数f′(某)，再求f′(某0)．2．求复合函数的导数时，应选好中间变量，将复合函数分解为几个基本函数，然后从外层到内层依次求导．3．若f(某)在某＝某0处存在导数，则f′(某)即为曲线f(某)在点某0处的切线斜率．4．求曲线的切线方程时，若不知切点，应先设切点，列等式求切点．【自助餐】321．有一机器人的运动方程为＝t＋(t是时间，是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时t速度为________．22．若曲线y＝a某－ln某在点(1，a)处的切线平行于某轴，则a＝________.3．f(某)与g(某)是定义在R上的两个可导函数，若f(某)，g(某)满足f′(某)＝g′(某)，则f(某)与g(某)满足()A．f(某)＝g(某)3B．f(某)＝g(某)＝0C．f(某)－g(某)为常数函数D．f(某)＋g(某)为常数函数4．设函数y＝某in某＋co某的图像上在点(某0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(某0)，则函数k＝g(某0)的图像大致为()5．若函数f(某)＝a某＋b某＋c某＋d某＋e的图像过点P(0,1)，且在某＝1处的切线方程为y＝某－2，求y＝f(某)的解析式．4324。

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 周测试卷（五）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.)1．已知22={|2},{(,)|4}M y y x N x y x y ==+=，则M N I 中元素个数为（ ） A ． 0 B ． 1C ． 2D ．不确定2．函数3)3()(2+-+=x a ax x f 在区间[-1,+∞)上递减,则实数a 的取值范围是( ) A ．[-3,0) B ．(-∞,-3] C ．[-2,0] D ．[-3,0]3. 已知命题22:,11,:,10,P x R mx q x R x mx ∃∈+≤∀∈++≥若 ()p q ∨⌝为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,0)(2,)-∞+∞UB ．[0，2]C ．RD ．φ4. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是（ ）A ．1 B.2 C.3 D.4 5.设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．12D ．1-6．函数2cos )(x x x f =在区间[0,4]上的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．77．已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[0,1)上单调递增,记)3(),2(),21(f c f b f a ===,则a,b,c 的大小关系为( )A ．a>b=cB ． b>a=cC ．b>c>aD ．a>c>b8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小1份为（ ） A ．56B ．103 C ．53D ．1169．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞-10．定义域是一切实数的函数()x f y =，其图像是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—伴随函数”；②“12—伴随函数”至少有一个零点．；③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”。

湖北省监利县第一中学2020届高三数学一轮复习 14.变化率与导数学案【学习目标】1．了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点 处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．2．熟记基本导数公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.预 习 案 1．导数的概念(1)f(x)在0x x =处的导数就是f(x)在0x x =处的 ，记作：0/x x y =或()0/x f即(2)当把上式中的0x 看做变量x 时，f ′(x)即为f(x)的 ，简称导数，即3．基本初等函数的导数公式(1)C ′＝ (C 为常数)； (2)(x n )′＝ (n ∈Q *)； (3)(sin x )′＝ ； (4)(cos x )′＝ ； (5)(a x )′＝ ； (6)(e x)′＝ ； (7)(log a x )′＝ ； (8)(ln x )′＝ . 4．两个函数的四则运算的导数 若u (x )、v (x )的导数都存在，则(1)(u ±v )′＝ ； (2)(u ·v )′＝ ； (3)(u v)′＝ ； (4)(cu )′＝ (c 为常数)． 【预习自测】1．某汽车的路程函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，汽车的加速度是( )A ．14 m/s2B ．4 m/s2C ．10 m/s2D ．－4 m/s22．计算：(1)(x 4－3x 3＋1)′＝________. (2)(ln 1x)′＝________.(3)(x e 2x )′＝________. (4)函数y ＝log 2(ax 3)的导数为________．3．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．4．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率为k 1，k 2，则k 1，k 2的大小关系为( ) A ．k 1>k 2 B ．k 1<k 2 C ．k 1＝k 2 D ．不确定5.若曲线y ＝x α＋1(α∈R )在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.探 究 案题型一利用定义求系数例1 (1)用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．(2)设f(x)＝x3－8x，则li mΔx→0f2＋Δx－f2Δx＝______；li mx→2f x－f2x－2＝______； li mk→0f2－k－f22k＝______.探究1.（1）已知f′(a)＝3，则limh→0f a＋3h－f a－hh＝________.(2)求函数y＝x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率题型二导数的运算例2. 求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)； (2)y＝x2sin x2cosx2；(3)y＝3x e x－2x＋e； (4)y＝ln xx2＋1.（5）y＝－sin x2(1－2cos2x4)；（6）y＝tan x；题型三复合函数的导数例3.求下列函数的导数：(1)y＝e2x cos3x； (2)y＝ln x2＋1；(3)y＝(2x－3)5. (4)f(x)＝ln(x－1)2；(5)f(x)＝cos(π3－2x)； (6)f(x)＝e－2x sin(2x)．题型四导数的几何意义例4.已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．探究2.求过点(1，－1)的曲线y＝x3－2x的切线方程．拓展：1.若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.2.若曲线y＝32x2＋x－12的某一切线与直线y＝4x＋3平行，则切点坐标为________，切线方程为________我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。

2019-2020学年高考数学一轮复习《函数与方程》学案 学习目标：理解与函数零点相关的知识，利用初等函数的图像或利用导数做出函数的图像来判断函数的零点的个数，利用函数零点求参数的取值范围学习过程1、零点定义：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使 成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点．2、函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与 有交点⇔函数y ＝f (x )有 ．3、函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y ＝f (x )在区间 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得 ，这 个 也就是方程f (x )＝0的根．4．二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且 __的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．4、函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是____________5、函数f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是（ ）(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 6、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．07、判断函数f (x )＝4x ＋x 2－23x 3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．8、若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．。

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 13.函数与方程学案【学习目标】1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．预 习 案1．函数零点的概念: ( 零点不是点！)(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝0的实数x ；(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图像与x 轴交点的 坐标．2．函数零点与方程根的关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图像与 有交点⇔函数y ＝f (x )有 ．3．函数零点的判断如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 .那么，函数y ＝f (x )在区间 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．4．二分法的定义对于在[a ，b ]上连续不断，且 的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的 所在的区间 ，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．5．用二分法求函数f (x )零点近似值(1)确定区间[a ，b ]，验证 ，给定精确度ε；(2)求区间(a ，b )的中点x 1；(3)计算f (x 1)；①若 ，则x 1就是函数的零点；②若 ，则令b ＝x 1，(此时零点x 0∈(a ，x 1))；③若 ，则令a ＝x 1，(此时零点x 0∈(x 1，b ))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)～(4)．【预习自测】1．函数f (x )＝－x 2＋5x －6的零点是 ( )A ．－2,3B ．2,3C ．2，－3D ．－2，－32．函数f (x )＝21x －(12)x 的零点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1在[0,2]上 ( )A ．有两个零点B ．有三个零点C ．仅有一个零点D ．无零点4．下列函数图像与x 轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是( )5．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是________．探究案题型一零点的个数及求法例1. (1)函数f(x)＝x cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5(2)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．(3)判断下列函数在给定区间是否存在零点．①f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；②f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．探究 1.(1)设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( )A．[0,1] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－1,0](2) “k>3”是“函数f(x)＝x－2，x∈[0，k]存在零点的” ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件(3)(已知a>0且a≠1，函数f(x)＝a x－|log a x|的零点个数为________．题型二零点性质的应用例2.若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．探究2.(1)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝ ( )A．－2或2 B．－9或3 C．－1或1 D．－3或1(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是________．例3. 若二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4在(1，＋∞)内有两个零点，求实数a 的取值范围．探究3.m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4．(1)有且仅有一个零点； (2)有两个零点且均比－1大．例4. 若方程x 2－32x －k ＝0在(－1,1)上有实根，求k 的取值范围．探究4. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a 的取值范围．题型三用二分法求方程的近似解例5.求方程ln x＋2x－6＝0在[2,3]内的近似解(精确到0.01)．探究5.(1)为了求函数f(x)＝2x－x2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x和。

湖北省监利县第一中学2014年高中数学 函数的单调性与导数学案 新人教A 版必修4【使用说明】1.自学课本P22--P26，仔细阅读课本，课前完成预习案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇到不会的问题再回去阅读课本。

2.限时独立完成，书写规范，课上小组合作探究，答疑解惑。

3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。

【学习目标】1.了解函数单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．3.激情投入，从科学家探索物质构成奥秘的史实中体会科学探究的过程和方法。

预 习 案 知识衔接1.指出下列函数的单调性：○1 122-+=x x y ； x x y 1+=； ○2 x x y +=3； xx y 1-=； ○3 ()12log 2+-=x y2.○1函数在某点附近的单调性与该点导数正负的关系 观察右图，填空：1。

()1x f '______0（填< ，> ，=）；此时函数在1x 附近单调递____（增，减）；2.()2x f '______0；此时函数在2x 附近单调递______；3.()3x f '______0；此时函数在3x 附近单调递______；4.()4x f '______0；函数在4x 附近单调递______；5. ()5x f '______0；函数在5x 附近单调递______. ○2函数的单调性与导函数正负的关系 定理：在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是_________．探 究 案例1.已知导函数'()f x 的下列信息，试画出函数()y f x =图像的大致形状．当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <； 当4x =，或1x =时，'()0f x =例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+； （2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈； （4）32()23241f x x x x =+-+拓展1 求函数x e x f x -=)(的单调区间拓展2 证明：函数x x y 33-=在区间[]1,1-上单调递减小结：求解函数()y f x =单调区间的步骤：例3.如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．四、课堂小结【随堂检测】 1．函数()1129223++-=x x x x f 的单调递减区间为（ ）A ．()21，B ．()∞+，2C ．()1-，∞D ．()1-，∞和()∞+，2 2．已知对任意实数x ，()()()()x g x g x f x f =--=-,成立.当0>x 时，()()0,0>'>'x g x f ； 当0<x 时（ ）A ．()()0,0>'>'x g x fB ．()()0,0<'>'x g x fC ．()()0,0>'<'x g x fD ．()()0,0<'<'x g x f 3．若()x f y '=的图像如右图所示，则()x f y =的图像最有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．函数()ππ,,cos sin -∈+=x x x x y 的单调增区间为（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ 和⎪⎭⎫⎝⎛2,0π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC ．⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ 和 ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D ．⎪⎭⎫⎝⎛-0,2π和 ⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数xe x y 2=的单调递增区间是 .6．已知函数()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，则a 的取值范围是 .7．四个函数：○1x e y -=；○2x y ln =；○3x a y =；○431x y =中，在区间()0,∞-内为减函数的有 .8．已知函数1623-++=x bx ax y 的递增区间为()3,2-，求b a ,的值.。

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 第12课时 函数的图像学案【学习目标】1．掌握作函数图像的两种基本方法：描点法和图像变换法．2．了解图像的平移变换、伸缩变换、对称变换，能利用函数的图像研究函数的性质，以达到识图、作图、用图的目的． 【课本导读】1．函数图像的三种变换 (1)平移变换y ＝f (x )的图像向左平移a (a >0)个单位，得到 的图像；y ＝f (x －b )(b >0)的图像可由y ＝f (x )的图像 而得到；y ＝f (x )的图像向下平移b (b >0)个单位，得到 的图像；y ＝f (x )＋b (b >0)的图像可由y ＝f (x )的图像 而得到．总之，对于平移变换，记忆口诀为：左加右减，上加下减．(2)对称变换y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于 对称； y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于 对称； y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于 对称；y ＝|f (x )|的图像可将y ＝f (x )的图像在x 轴下方的部分 ，其余部分不变而得到； y ＝f (|x |)的图像可先作出y ＝f (x )当x ≥0时的图像，再作关于y 轴的对称． (3)伸缩变换y ＝f (ax )(a >0)的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的 坐标变为原来的 倍， 坐标 而得到．y ＝af (x )的图像，可将y ＝f (x )的图像上所有点的 坐标不变， 坐标伸长为原来的 ．2．几个重要结论(1)若f (m ＋x )＝f (m －x )恒成立，则y ＝f (x )的图像关于直线 对称．(2)设函数y ＝f (x )定义在实数集上，则函数y ＝f (x －m )与y ＝f (m －x )(m >0)的图像关于直线 对称．(3)若f (a ＋x )＝f (b －x )，对任意x ∈R 恒成立，则y ＝f (x )的图像关于x ＝a ＋b2对称．(4)函数y ＝f (a ＋x )与函数y ＝f (b －x )的图像关于x ＝b －a2对称．【教材回归】1．函数y ＝lg|x －1|的图像大致为 （ ）2．函数y ＝1－1x －1的图像是( )3．当0<a <1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像是 ( )4．要得到函数y ＝8·2－x的图像，只需将函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像( )A ．向右平移3个单位B ．向左平移3个单位C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位5．设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |的图像关于直线x ＝1对称，则a 的值为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．－1题型一 利用变换作图例1 作出下列函数的图像．(1)f (x )＝x1＋|x |； (2)f (x )＝|lg|x －1||．探究1 (1)一些函数的图像可由基本初等函数的图像通过变换而得，常见图像变换有平移变换，对称变换，伸缩变换，用x ＋m 替换x ，图像发生左、右平移．用y ＋n 替换y ，图像发生上、下平移，用kx 替换x ，图像发生伸缩变化，用－x 、－y 替换x 、y 图像分别关于y 轴、x 轴对称．(2)作函数图像时应结合函数的性质，如f (x )＝x1＋|x |为奇函数，f (x )＝lg|x |为偶函数等．(3)多步变换时，应确定好变换顺序． 思考题1 作出下列函数的图像．(1)y ＝2x ＋2； (2)y ＝x ＋2x －1； (3)y ＝(12)|x | ； (4)y ＝|log 2x－1|．题型二 知式选图或知图选式问题例2 函数f (x )的部分图像如图所示，则函数f (x )的解析式是A ．f (x )＝x ＋sin xB ．f (x )＝cos xxC ．f (x )＝x cos xD ．f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)探究2 对于给定函数的图像，要能从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性，注意图像与函数解析式中参数的关系，常用的方法有：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题．(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题．(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．思考题2 (1)函数y ＝x2－2sin x 的图像大致是 ( )(2)(2013·衡水调研卷)函数y ＝x ＋sin|x |，x ∈[－π，π]的大致图像是 ( )题型三 函数图像的对称性例3 (1)已知f (x )＝ln(1－x )，函数g (x )的图像与f (x )的图像关于点(1,0)对称，则g (x )的解析式为______．(2)设函数y ＝f (x )的定义域为实数集R ，则函数y ＝f (x －1)与y ＝f (1－x )的图像关于 ( )A ．直线y ＝0对称B ．直线x ＝0对称C ．直线y ＝1对称D ．直线x ＝1对称探究3 (1)求一曲线关于一点或一直线对称曲线方程．一般运用相关点求轨迹的方法． (2)下列结论需记住：①f (x ，y )＝0与f (－x ，y )＝0的图像关于y 轴对称； ②f (x ，y )＝0与f (x ，－y )＝0的图像关于x 轴对称； ③f (x ，y )＝0与f (－x ，－y )＝0的图像关于原点对称； ④f (x ，y )＝0与f (y ，x )＝0的图像关于y ＝x 对称；⑤f (x ，y )＝0与f (2m －x ，y )＝0的图像关于直线x ＝m 对称． 思考题3 (1)已知函数f (2x ＋1)是奇函数，则函数y ＝f (2x )的图像关于下列哪个点成中心对称 ( )A ．(1, 0)B ．(－1,0)C ．(12，0)D ．(－12，0) （ ）(2)求证：函数f (x )满足对任意x ，都有f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝a 对称．题型四 函数图像的应用例4 (1)函数f (x )＝|4x －x 2|－a 恰有三个零点，则a ＝________． (2)不等式log 2(－x )＜x ＋1的解集为__________．探究4 函数、方程、不等式三者之间有着密切的联系，它们之间的相互转化有时能使问题迎刃而解，本题利用函数的图像来解决方程根的个数问题及不等式求解问题．思考题 4 若直线y ＝x ＋m 和曲线y ＝1－x 2有两个不同的交点，则m 的取值范围是________． 【本课总结】1．作图的基本方法是描点法，某些函数的图像也可通过已知图像进行变换而得． 2．识图问题的关键是通过函数的性质进行排除确定．3．函数图像能直观反映函数的性质，通过图像可以解决许多问题，如不等式问题、方程问题、函数的值域等． 【自助餐】1．已知定理：“若,a b 为常数，()g x 满足()()2g a x g a x b ++-=，则函数()y g x =的图像关于点(,)a b 中心对称”．设函数1()x af x a x+-=-，定义域为A ．（Ⅰ）试证明()y f x =的图像关于点(,1)a -成中心对称；（Ⅱ）当[2,1]x a a ∈--时，求证：1()[,0]2f x ∈-；（Ⅲ）对于给定的i x A ∈，设计构造过程：21()x f x =,32()x f x =，…，1()n n x f x +=．如果(2,3,)i x A i ∈=L ，构造过程将继续下去；如果i x A ∉，构造过程将停止．若对任意i x A ∈，构造过程可以无限进行下去，求a的值．。

第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集 合【学习目标】1．了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用列举法或描述法表示集合．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3．理解并会求并集、交集、补集；能用Venn(韦恩)图表达集合的关系与运算．预 习 案1．集合的基本概念(1)集合的概念： ； (2)集合中元素的三个特性： ； (3)集合的三种表示方法： ． 2．集合的运算(1)子集：若 ，则A ⊆B ；真子集：若A ⊆B ，且 ，则A B ； ∅是 集合的子集，是 集合的真子集．(2)交集：A ∩B ＝ ； (3)并集：A ∪B ＝ ． 3．集合的常用运算性质(1)A ∩∅＝∅；A ∩A ＝ ；(2)A ∪∅＝A ；A ∪A ＝ ； (3)A ∩(∁U A )＝ ；A ∪(∁U A )＝ ；∁U (∁U A )＝ ； (4)补集：若U 为全集，A ⊆U ，则∁U A ＝ ； (5)A ⊆B ⇔A ∩B ＝ ⇔A ∪B ＝ ；(6)∁U (A ∩B )＝ ；∁U (A ∪B )＝ ； (7)如图所示，用集合A 、B 表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分所表示的集合分别是 ； ； ； ．(8)card(A ∪B )＝card(A )＋card(B )－ ．【预习自测】1．给出以下四个命题：①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}．②{x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}． ③{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }．④若集合A 与B 的并集为全集，则A 、B 中至少有一个是全集． 其中正确的命题是________．2．(课本习题改编)已知A ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6m －1，m ∈Z }，用适当的符号填空： －4____A ；－4____B ；A ________B .3．集合M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}的子集个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2013·课标全国Ⅰ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }，则A ∩B ＝ ( )A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2} 5．(课本习题改编)设U ＝{小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4,5,6}，则A ∩B ＝ ；A ∪B ＝ ；(∁U A )∪(∁U B )＝ ；(∁U A )∩(∁U B )＝ ．探 究 案题型一 集合的基本概念例1.(1)集合M ＝{x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4＋π2，k ∈Z }，则 ( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M ∩N ＝∅(2)(2013·辽宁改编)已知A ＝{y |y ＝10x －1}，B ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则(∁U A )∩B ＝________．(3)集合A ＝{1,0，x }，B ＝{|x |，y ，lg(xy )}，且A ＝B ，则x ，y 的值分别为________．探究1. (1)(2013·山东理)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．9 ( )(2)设2 015∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为________．题型二 集合的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{1,3,2a －1}，B ＝{3，a 2}，若B ⊆A ，则实数a ＝________．(2)设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}， ①若B ⊆A ，求a 的值； ②若A ⊆B ，求a 的值．探究2. (1)(2014·衡水调研)已知集合A ＝{y ∈Z |y ＝sin x ，x ∈R }，则集合A 的子集的个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．①若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系； ②若B A ，求实数a 组成的集合C ．题型三 集合的基本运算例3 (1)(2013·安徽)已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝ ( )A ．{－2，－1}B ．{－2}C ．{－1,0,1}D ．{0,1}(2)设集合A ，B 是全集U 的两个子集，则A B 是(∁U A )∪B ＝U 的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(3)设f (n )＝2n ＋1(n ∈N )，P ＝{1,2,3,4,5}，Q ＝{3,4,5,6,7}，记P ∧＝{n ∈N |f (n )∈P }，Q ∧＝{n∈N |f (n )∈Q }，则P ∧∩∁N Q ∧＝ ( )A ．{0,3}B ．{0}C ．{1,2}D ．{1,2,6,7}探究3 (1)(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝{x |(12)x ≤1}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝A ． {x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} ( )(2)设S ，T 是两个非空集合，且S ⊄T ，T ⊄S ，令X ＝S ∩T ，那么S ∪X 等于 ( ) A ．X B ．T C ．∅ D ．S(3)设有限集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }，则∑=ni na1叫做集合A 的和，记作S A .若集合P ＝{x |x ＝2n－1，n ∈N *，n ≤4}，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为P 1，P 2，…，P k ，则=∑=ki p iS1________．【本课总结】1．通过例1～例3的讲解使学生对集合的表示及子、交、并、补运算等基础知识再一次巩固并系统化，体现本书：以“基础知识”为根本、以“通性通法”为重点的宗旨．2．通过例3树立学生“数形结合”的思想意识：①在深刻理解集合的交、并、补概念的基础上，用韦恩图解有关集合问题，可化难为易．②两个集合都是不等式的解集时，求它们的交、并、补通常用数轴直观显示，但要注意区间的开与闭．3．注意五个等价关系式A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩∁U B ＝∅.4．集合作为工具经常渗透到函数、不等式等知识中，同时新题型集合的概念及运算问题也是近几年新课标高考的热点问题．训 练 案1．下列各组集合中表示同一集合的是 ( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}2．(2013·课标全国Ⅱ)已知集合M ＝{x |(x －1)2<4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝ ( )A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}3．(2013·浙江)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ ( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．(1，＋∞)4．集合M ＝{x |x ＝1＋a 2，a ∈N *}，P ＝{x |x ＝a 2－4a ＋5，a ∈N *}，则下列关系中正确的是 ( ) A ．M ⊂P B ．P ⊂M C ．M ＝P D ．M ⊄P 且P ⊄M5．设全集U ＝Z ，集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{x |x ＝4m ，m ∈Z }，则U 等于 ( ) A ．P ∪Q B ．(∁U P )∪Q C ．P ∪(∁U Q ) D ．(∁U P )∪(∁U Q )6．在集合M ＝{0，12，1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合，该集合恰满足条件“对∀x ∈A ，有1x∈A ”的概率是______．我的学习总结：（1）我对知识的总结 . （2）我对数学思想及方法的总结。

函数与方程一、考纲要求函数与方程（A 级要求）； 二、复习目标能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解二分法求方程近似解的方法，体会函数零点与方程根的联系，形成用函数观点处理问题的能力．会利用函数图象求方程的解的个数．体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 三、重点难点函数零点的概念及用“二分法”求方程的近似解，使学生初步形成用函数观点处理问题的意识． 四、要点梳理1．函数的零点：一般地,如果函数()y f x =在实数a 处的值等于_____，即：______，则a 叫做这个函数的零点．2．函数零点的判断：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_______________，则函数()y f x =在区间________内有零点，即存在(),c a b ∈使得()0f c =，即c 为函数()y f x =的一个零点，即c 为方程()0f x =的一个根．3．二分法 对于在区间[],a b 上连续不断，且__________________的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，近而得到零点的近似值的方法叫做二分法． 4．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤： 第一步，确定区间(),a b ，验证___________； 第二步，求区间(),a b 的中点1x ； 第三步，计算___________；①若 ，则1x 就是函数的零点；②若 ，则令1b x =(此时零点()01,x a x ∈)； ③若 ，则令1a x =(此时零点()01,x x b ∈)； 第四步，判断是否满足要求的条件，否则重复第二、三、四步． 五、基础自测1．函数()2cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为．2．已知()()()2212f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围 ． 3．对于函数2()f x x mx n =++，若()0,()0f a f b ><，则函数()f x 在区间(,)a b 内：①一定有零点； ②一定没有零点； ③可能有两个零点； ④至多有两个零点． 其中正确的序号是___________．4．下列数值是函数()f x 在区间[1,2]上的一些点的函数值：由此可判断：方程()0f x =的一个近似解为 （精确到0.1).5．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间 ． 六、典例精讲例1、(1)函数()23xf x e x =+-的零点所在的一个区间是 ．(2) 已知函数()ln 2f x x x =-+一个零点所在的区间为()(),1k k k *+∈N ，则k 的值为________．(3)若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是 ________．(4)方程2210x ax -+=的一个根在区间()0,2,另一根在区间()3,4,则实数a 的范围是________．例2、 已知函数8()f x x x=+．若方程()f x a =有两解，求实数a 的取值范围。

课题：函数与方程（高三第一轮复习课）教学内容分析：本节课选自人教版必修一第三章第一节《函数与方程》内容。

函数与方程在高中数学中占举足轻重的地位，高考对函数零点的考查有：（1）求函数零点；（2）确定函数零点的个数：（3）根据函数零点的存在情况求参数值或取值范围。

题型既有选择题、填空题，又有解答题，客观题主要考查相应函数的图像和性质，主观题考查较为综合，涉及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法等。

本节课通过对函数零点的讨论，将函数零点与方程的根、与函数图像三者有机结合起来。

它既揭示了函数与方程之间的内在联系，又对函数知识进行了总结拓展，同时将方程与函数图像联系起来，渗透了“数形结合”、“方程与函数”等重要思想。

学情分析：这是一个理科的普通班，学生基础普遍不扎实，学生具有强烈的畏难情绪，且眼高手低。

通过高一高二的知识积累，学生虽然对本节内容有简单的认识，但是时间较长，知识点大多遗忘。

所以，在本课开始前，先通过简单的知识梳理让学生把知识点贯穿起来，然后根据学生的实际情况进行适当的知识点拓展。

设计思想：教学理念：以第一轮复习为抓手，让学生把各个相关的知识点有机的结合起来。

教学原则：夯实基础，注重各个层面的学生。

教学方法：讲练结合，师生互动。

教学目标：知识与技能：让学生理清函数零点、函数图象与x轴的交点、方程的根三者之间的关系；弄清零点的存在性、零点的个数、零点的求解方法等三个问题。

过程与方法：利用已学过的函数的图像、性质去研究函数的零点。

情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想及从特殊到一般的归纳思想，提高辩证思维以及分析问题解决问题的能力。

教学重点难点：重点：函数零点，方程的根，函数图象与x轴交点三者之间的互相联系。

难点：零点个数问题，含参数的零点问题。

教学程序框图：教学环节与设计意图：（一）、知识梳理设计意图：第一部分知识梳理要求学生在课前完成，学生回顾已学过的内容，结合相关知识整理出“函数与方程”的知识体系。

高考数学（理科）一轮复习函数与方程学案有答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案11 函数与方程导学目标：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．自主梳理．函数零点的定义对于函数y＝f，把使________成立的实数x叫做函数y ＝f的零点．方程f＝0有实根&#8660;函数y＝f的图象与____有交点&#8660;函数y＝f有________．2．函数零点的判定如果函数y＝f在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f在区间________内有零点，即存在c∈，使得________，这个____也就是f＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与零点的关系Δ&gt;0Δ＝0Δ&lt;0二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点________，________________无交点零点个数________________________4.用二分法求函数f零点近似值的步骤第一步，确定区间[a，b]，验证________________，给定精确度ε；第二步，求区间的中点c；第三步，计算______：①若________，则c就是函数的零点；②若________，则令b＝c[此时零点x0∈]；③若________，则令a＝c[此时零点x0∈]；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|&lt;ε，则得到零点近似值a；否则重复第二、三、四步．自我检测．f＝x2＋2x－3，x≤0－2＋lnxx&gt;0的零点个数为A．0B．1c．2D．32．若函数y＝f在R上递增，则函数y＝f的零点A．至少有一个B．至多有一个c．有且只有一个D．可能有无数个3．如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是A．①②B．①③c．①④D．③④4．设f＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈内近似解的过程中得f&lt;0，f&gt;0，f&lt;0，则方程的根所在的区间是A．B．c．D．不能确定5．若函数f的零点与g＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f可以是A．f＝4x－1B．f＝2c．f＝ex－1D．f＝ln探究点一函数零点的判断例1 判断函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．变式迁移1 若定义在R上的偶函数f满足f＝f，且当x∈[0,1]时，f＝x，则函数y＝f－log3|x|的零点个数是A．多于4个B．4个c．3个D．2个探究点二用二分法求方程的近似解例2 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解．变式迁移2 用二分法研究函数f＝x3＋lnx＋12的零点时，第一次经计算f&lt;0，&gt;0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为A.0，12B．f12c.12，1D.0，12探究点三利用函数的零点确定参数例3 已知a是实数，函数f＝2ax2＋2x－3－a，如果函数y＝f在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．变式迁移3 若函数f＝4x＋a&#8226;2x＋a＋1在上存在零点，求实数a的取值范围．．全面认识深刻理解函数零点：从“数”的角度看：即是使f＝0的实数x；从“形”的角度看：即是函数f的图象与x轴交点的横坐标；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．2．求函数y＝f的零点的方法：求方程f＝0的实数根；对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f&#8226;f&lt;0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．3．有关函数零点的重要结论：若连续不间断的函数f是定义域上的单调函数，则f至多有一个零点；连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．一、选择题．函数f＝2x＋3x的零点所在的一个区间是A．B．c．D．2．已知函数f＝log2x－13x，若实数x0是方程f＝0的解，且0&lt;x1&lt;x0，则f的值A．恒为负B．等于零c．恒为正D．不小于零3．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是4．函数f＝－1有两个零点x1、x2，且x1&lt;x2，则A．x1&lt;2,2&lt;x2&lt;5B．x1&gt;2，x2&gt;5c．x1&lt;2，x2&gt;5D．2&lt;x1&lt;5，x2&gt;55．设函数f＝4x－4，x≤1x2－4x＋3，x&gt;1，g＝log2x，则函数h＝f－g 的零点个数是A．4B．3c．2D．1题号2345答案二、填空题6．定义在R上的奇函数f满足：当x&gt;0时，f＝XXx ＋logXXx，则在R上，函数f零点的个数为________．7．已知函数f＝x＋2x，g＝x＋lnx，h＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是______________．8．若函数f＝ax－x－a有两个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题9．已知函数f＝x3－x2＋x2＋14.证明：存在x0∈，使f＝x0.0．已知二次函数f＝4x2－2x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f&gt;0，求实数p的取值范围．1．设函数f＝ax2＋bx＋c，且f＝－a2，3a&gt;2c&gt;2b，求证：a&gt;0且－3&lt;ba&lt;－34；函数f在区间内至少有一个零点；设x1，x2是函数f的两个零点，则2≤|x1－x2|&lt;574.答案自主梳理．f＝0 x轴零点 2.f&#8226;f&lt;0f＝0 c 3. 两个一个无 4.f&#8226;f&lt;0f①f＝0②f&#8226;f&lt;0 ③f&#8226;f&lt;0自我检测．c [当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x&gt;0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有两个零点．]2．B 3.B 4.B 5.A课堂活动区例1 解题导引判断函数零点个数最常用的方法是令f＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y＝f 就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧．解方法一设f＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均为增函数，∴f也是增函数．又∵f＝0＋2－6＝－4&lt;0，f＝ln3&gt;0，∴f在上存在零点．又f为增函数，∴函数在上存在唯一零点．方法二在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．变式迁移1 B [由题意知f是偶函数并且周期为2.由f－log3|x|＝0，得f＝log3|x|，令y＝f，y＝log3|x|，这两个函数都是偶函数，画两函数y轴右边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x ≠0，x∈R的范围内共4个．]例2 解题导引①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程；②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a，b]长度尽可能小，且满足f&#8226;f&lt;0；③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间后，直到|a－b|&lt;ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一．解设f＝2x3＋3x－3.经计算，f＝－3&lt;0，f＝2&gt;0，所以函数在内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在内有解．取的中点0.5，经计算f&lt;0，又f&gt;0，所以方程2x3＋3x－3＝0在内有解，如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表.的中点fa＋b20.5f&lt;00.75f&gt;00.625f&lt;00.6875f&lt;0|0.6875－0.75|＝0.0625&lt;0.1至此，可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间内，可以将区间端点0.6875作为函数f零点的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精确度0.1的一个近似解．变式迁移2 D [由于f&lt;0，f12&gt;0，而f＝x3＋lnx＋12中的x3及lnx＋12在－12，＋∞上是增函数，故f 在－12，＋∞上也是增函数，故f在0，12上存在零点，所以x0∈0，12，第二次计算应计算0和12在数轴上对应的中点x1＝0＋122＝14.]例3 解若a＝0，f＝2x－3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a≠0.令Δ＝4＋8a＝8a2＋24a＋4＝0，解得a＝－3±72.①当a＝－3－72时，f＝0的重根x＝3－72∈[－1,1]，当a＝－3＋72时，f＝0的重根x＝3＋72&#8713;[－1,1]，∴y＝f恰有一个零点在[－1,1]上；②当f&#8226;f＝&lt;0，即1&lt;a&lt;5时，y＝f在[－1,1]上也恰有一个零点．③当y＝f在[－1,1]上有两个零点时，则a&gt;0Δ＝8a2＋24a＋4&gt;0－1&lt;－12a&lt;1f&#61480;1&#61481;≥0f&#61480;－1&#61481;≥0，或a&lt;0Δ＝8a2＋24a＋4&gt;0－1&lt;－12a&lt;1f&#61480;1&#61481;≤0f&#61480;－1&#61481;≤0，解得a≥5或a&lt;－3－72.综上所述实数a的取值范围是a&gt;1或a≤－3－72.变式迁移3 解方法一设2x＝t，则函数f＝4x＋a&#8226;2x＋a＋1化为g＝t2＋at＋a＋1)．函数f＝4x＋a&#8226;2x＋a＋1在上存在零点，等价于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正实数根．当方程①有两个正实根时，a应满足Δ＝a2－4&#61480;a＋1&#61481;≥0t1＋t2＝－a&gt;0t1&#8226;t2＝a＋1&gt;0，解得：－1&lt;a≤2－22；当方程①有一正根一负根时，只需t1&#8226;t2＝a＋1&lt;0，即a&lt;－1；当方程①有一根为0时，a＝－1，此时方程①的另一根为1.综上可知a≤2－22.方法二令g＝t2＋at＋a＋1)．当函数g在上存在两个零点时，实数a应满足Δ＝a2－4&#61480;a＋1&#61481;≥0－a2&gt;0g&#61480;0&#61481;＝a＋1&gt;0，解得－1&lt;a≤2－22；当函数g在上存在一个零点，另一个零点在时，实数a应满足g＝a＋1&lt;0，解得a&lt;－1；当函数g的一个零点是0时，g＝a＋1＝0，a＝－1，此时可以求得函数g的另一个零点是1.综上知a≤2－22.课后练习区．B [因为f＝12－3&lt;0，f＝1&gt;0，所以f在区间上存在零点．]2．A3．c [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f&#8226;f&lt;0.A、B中不存在f&lt;0，D中函数不连续．]4．c5．B [当x≤1时，函数f＝4x－4与g＝log2x的图象有两个交点，可得h有两个零点，当x&gt;1时，函数f＝x2－4x＋3与g＝log2x的图象有1个交点，可得函数h有1个零点，∴函数h共有3个零点．]6．3解析函数f为R上的奇函数，因此f＝0，当x&gt;0时，f＝XXx＋logXXx在区间内存在一个零点，又f为增函数，因此在内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在内有且仅有一解，从而函数在R上的零点的个数为3.7．x1&lt;x2&lt;x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，设y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，设y＝lnx，y＝－x.在同一坐标系内画出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如图：x1&lt;0&lt;x2&lt;1，令x－x－1＝0，则2－x－1＝0，∴x＝1＋52，即x3＝3＋52&gt;1，所以x1&lt;x2&lt;x3.8．a&gt;1解析设函数y＝ax和函数y＝x＋a，则函数f＝ax－x －a有两个零点，就是函数y＝ax与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0&lt;a&lt;1时两函数只有一个交点，不符合；当a&gt;1时，因为函数y＝ax的图象过点，而直线y ＝x＋a所过的点一定在点的上方，所以一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a&gt;1.9．证明令g＝f－x.………………………………………………………………∵g＝14，g＝f－12＝－18，∴g&#8226;g&lt;0.……………………………………………………………………………又函数g在上连续，…………………………………………………………所以存在x0∈，使g＝0.即f＝x0.………………………………………………………………………………0．解二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f&gt;0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f≤0.……………………此时f&#61480;1&#61481;≤0f&#61480;－1&#61481;≤0，即2p2＋3p－9≥02p2－p－1≥0，解得：p≥32或p≤－3.…………………………………………………………………………∴二次函数f在区间[－1,1]内至少存在一个实数c，使f&gt;0的实数p的取值范围是－3&lt;p&lt;32.…………………………………………………………………………………1．证明∵f＝a＋b＋c＝－a2，∴3a＋2b＋2c＝0.又3a&gt;2c&gt;2b，∴3a&gt;0,2b&lt;0，∴a&gt;0，b&lt;0.又2c＝－3a－2b，由3a&gt;2c&gt;2b，∴3a&gt;－3a－2b&gt;2b.∵a&gt;0，∴－3&lt;ba&lt;－34.……………………………………………………………………∵f＝c，f＝4a＋2b＋c＝a－c.①当c&gt;0时，∵a&gt;0，∴f＝c&gt;0且f＝－a2&lt;0，∴函数f在区间内至少有一个零点．……………………………………………②当c≤0时，∵a&gt;0，∴f＝－a2&lt;0且f＝a－c&gt;0，∴函数f在区间内至少有一个零点．综合①②得f在内至少有一个零点．……………………………………………∵x1，x2是函数f的两个零点，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根．∴x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca＝－32－ba.∴|x1－x2|＝&#61480;x1＋x2&#61481;2－4x1x2＝&#61480;－ba&#61481;2－4&#61480;－32－ba&#61481;＝&#61480;ba＋2&#61481;2＋2.∵－3&lt;ba&lt;－34，∴2≤|x1－x2|&lt;574.……………………………………………………………………。

1湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 函数巩固训练（一） 1.已知函数 )12(+x f 是奇函数，则函数)2(x f y =的图像关于下列哪个点成中心 对称（ ） A.（1,0） B.(-1，0) C.（21，0） D.(21-,0) 变式：()x f y =关于点（1,0）成中心对称。

2.函数()1-=x f y 与()x f y -=1的图像关于（ ）A.直线0=y 对称B.直线0=x 对称C.直线1=y 对称D.直线1=x 对称3.已知函数()x x x f tan sin +=，项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f Λ，则当=k 时，()0=k a f 。

4. 定义在ℜ上的函数()x f 满足：对任意的ℜ∈y x ,,都有()()()2011-+=+y f x f y x f ,且当0>x 时，有()2011>x f ，设M,N 分别为()x f 在[]2012,2012-上的最大值与最小值，则M+N 的值为（ ）A.4022B.4024C.2011D.20125.函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+++=+2,2,sin 201212011201020111ππx x x f x x 的最大值与最小值之和为 6.设()244+=x x x f ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛10011000100131001210011f f f f Λ= 7.函数()x x f πcos =与函数()12log 1-=x x g 的图像所有交点的横坐标之和为8.设()x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是单调函数，则满足()⎪⎭⎫⎝⎛++=412x x f x f 的所有x 之和为（ ） 29.-A B.27- C.8- D.8 9已知函数x x x y ++=2331的图像C 上存在一点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同的于P 的两点()()2211,,y x N y x M ，且恒有21y y +为定值0y ，则0y 的值为（ ）A.31-B.32-C.34- D.2- 10.已知函数()x e x f x ln -=，若函数()x g y =的图像与函数()x f y =的图像关于直线21=x 对2 称，则化简下式 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛2012201120123201222012120122011201232012220121g g g g f f f f ΛΛ 11.在x y x y y y x x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+恒成立的函数的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.312.已知函数()[]ππ8,8,2cos 2sin cos cos -∈++++=x x x x x x x f 的最大值为M ，最小值 为m,则M+m= 13.函数()x f y =是定义在ℜ上的增函数，函数()2010-=x f y 的图像关于点（2010,0）对称，若实数y x ,满足不等式()()0248622<+-+-y y f x x f ，则22y x +的取值范围是14.设定义域为ℜ的函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-1,01,lg 1x x x f x ，则关于x 的方程()()02=++c x bf x f 有7个不同实数解得充要条件是15.设定义域为ℜ的函数()⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-)0(,44)0(,1521x x x x x f x ，若关于x 的方程 ()()()01222=++-m x f m x f 有7个不同的实根，则m=。

第八节函数与方程一、学习目标1、理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系，并会求函数的零点或判断个数。

2、会根据函数的零点求参数，了解函数零点存在定理，会判断零点所在区间。

二、学习过程知识点一函数的零点1.函数零点的概念对于函数y＝f（x），x∈D，我们把使f（x）＝0的叫做函数y＝f（x），x∈D的零点.注意：零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.2.三个等价关系3.零点存在定理【提醒】函数零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点.自查自测1、（判断题）函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点. ( )2、函数245y x x =--的零点为（ ）.A ．()5,0B ．()1,5-C ．1-和5D ．()1,0-和()5,03、(人教A 版必修①P155·T1改编)下列图象所表示的函数中不能用零点存在性定理求零点的是( ).A 、B 、C 、D 、考点一 函数零点所在区间的判断例11、设()2f x lnx x ＝＋－，则函数f (x )的零点所在的区间为( ).1(0)A ， ).(12?B ， .3(2)C ， .4(3)D ，变式11：()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()4,5 变式12、(人教A 版必修①P160)已知函数x x f x +=2)(，x x x g +=2log )(，x x x h +=3)(的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c ，的大小顺序为( ).A 、c b a >>B 、a c b >>C 、b a c >>D 、c a b >>考点二 函数零点个数问题例21、已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,log 0,)(221x x x x f x ，则函数g (x )＝f (x )－12的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式21、函数()()0.2sin log 02f x x x x π⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4交点个数为（ ）A 、3B 、4C 、6D 、8拓展、已知函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数()()g x f x x m =++，若()g x 有两个零点，则m 的取值范围是（ ）．A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞- C ．[0,)+∞ D ．[1,0)-【当堂检测】1．函数()234x f x x =+-的零点所在的区间是（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2 D ．()2,32．已知函数()1,02,0x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则方程()30x f x -=的解的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3 3．函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,8π上的所有零点之和为（ ）A ．45πB ．40πC ．35πD ．30π 4．（选做）若函数()2ln f x x m x =+-在区间()1,2上只有一个零点，则常数m 的取值范围为（ ）A ．12m <<B ．ln 22m <<C ．11ln 2m <<+D ．1ln 22m +<<【归纳总结】1、确定函数零点所在区间的常用方法2、函数零点个数的判断方法【作业】1、函数2()log f x x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭2、（多选）函数2()2x f x a x=--的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的可能取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、函数()32,03e ,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩的零点个数为___________. 4、（2024上海模拟卷改编 选做）已知函数()()()122,0,R log 1,0,x x f x a x x ⎧≤⎪=∈⎨+>⎪⎩，a x f x g +=)()(在R 上没有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(){},10-∞- B ．(),1∞-- C ．()1,-+∞ D ．。

湖北省监利县第一中学2015届高三数学一轮复习 周测（6）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分） 1.命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠02．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ． y＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－13．已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝π B ．θ＝π2 C ．θ＝π3 D ．θ＝2π34．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b＞2abC.b a ＋a b≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab5．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2＜0(a ＞0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.1526．设z ＝x ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．07．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 8．下列每组函数是同一函数的是 （ ）A. 2)1()(,1)(-=-=x x g x x fB.2)3()(,3)(-=-=x x g x x fC.2)(,24)(2+=--=x x g x x x f D.31)(,)3)(1()(-⋅-=--=x x x g x x x f 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝e x(x ＋1)，给出下列命题：①当x ＞0时，f (x )＝e x(1－x )；②函数f (x )有两个零点；③f (x )＞0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)；.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．310．已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )＜0成立，a ＝(20.2)·f (20.2)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝(log 39)·f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b ＞a ＞cB ．c ＞a ＞bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．将函数xx f 2)(=的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到函数的解析式为 ： ．12．设)(x f 在R 上是偶函数，若当0>x 时,有)1(log )(2+=x x f ，则=-)7(f13．已知函数⎩⎨⎧>≤-=0,30,1)(2x x x x x f ， 若15)(=x f ，则=x ． 14．函数g (x )＝x 2－2 014x ，若g (a )＝g (b )，a ≠b ，则g (a ＋b )＝________.15．已知集合A ＝{x |x 2－x ≤0}，函数f (x )＝2－x (x ∈A )的值域为B ，则(∁R A )∩B ＝________. 16．设函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则a ＋2b ＞0是f (x )＞0在[0,1]上恒成立的________条件．(填充分但不必要，必要但不充分，充要，既不充分也不必要)17按照上述定义，若M ＝{－2 01,0,2 013}，N ＝{－2 013,0,2 014}，则M ⊕N ＝________.三、解答题（本大题共5小题，共 65分）．18．(本小题满分12分)已知函数2421x x y --=的定义域为A ，函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B ，（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若φ=B A ，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax ＋1ax＋b(a ＞0)． (1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －＜－x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2≤x≤12∈5x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＞12(1)求函数f(x)的最小值；(2)已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式f (x )≥m 2＋2m －2对任意m ∈R 恒成立；q ：函数y ＝(m 2－1)x是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．21.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a ＞2c ＞2b ，求证：(1)a ＞0，且－3＜b a ＜－34；(2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点； (3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|＜574.22．(本小题满分14分)设函数f(x)＝13x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c.(1)试问函数f(x)能否在x＝－1时取得极值？说明理由；(2)若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围．。

数列求和数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。

由于数列求和问题题型多样，技巧性较强，是数列的一个难点。

考纲要求学生熟练掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式。

对非等差数⑴掌握常用的数列求和公式，会用公式求常见数列的前n 项和。

⑵学会用观察、分解、转化的方法解决非等差、等比数列求和问题。

数列求和的常用方法：⑴公式法：直接利用等差、等比数列和一些常见数列的前n 项公式求和。

等差数列求和公式：等比数列求和公式：=++++=2222321n S n =++++=3333321n S n⑵倒序相加法：如果一个数列{a n }，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广。

⑶分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减。

⑷错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广。

⑸裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。

⑹并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如(1)()n n a f n =-类⒈已知数列{}n a 的首项11a =，通项n a 与前n 项和n S 之间满足12(2)n n n a S S n -=-≥， 则n a =__________________.⒉已知{}n a 是首项为1的等比数列，若n S 是{}n a 的前n 项和，且369S S =，求数列1{}n a 的前n 项和__________=n T . ⒊数列{}n n ⋅-)1(的前2012项的和2012S =________.⒋.________89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222=++⋅⋅⋅+++⒌ .__________)12(53210=++⋅⋅⋅+++n n n n n C n C C C ⒍数列{}n a 满足n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，则_______2013=S .一、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

２．9 函数与方程错误!１．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．２．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．１．函数的零点（１）函数零点的定义对于函数y＝f（x）（x∈D），把使________成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点．（２）函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与____有交点⇔函数y＝f（x）有____．（３）函数零点的判定（零点存在性定理）如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有__________，那么函数y＝f （x）在区间______内有零点，即存在c∈（a，b），使得________，这个____也就是方程f（x）＝0的根．２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴______，______________无交点的交点零点个数__________________（１）二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间______，使区间的两个端点逐步逼近____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．（２）用二分法求函数f （x ）零点近似值的步骤第一步，确定区间[a ，b ]，验证________，给定精确度ε； 第二步，求区间（a ，b ）的中点c ； 第三步，计算____；１若________，则c 就是函数的零点；２若________，则令b ＝c （此时零点x 0∈（a ，c ））； ３若________，则令a ＝c （此时零点x 0∈（c ，b ））．第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a —b |＜ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复第二、三、四步．１．在以下区间中，存在函数f （x ）＝x ３＋３x —３的零点的是（ ）． Ａ．[—１,0]Ｂ．[１,２]Ｃ．[0,１]Ｄ．[２,３]２．如果二次函数y ＝x ２＋mx ＋（m ＋３）有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ）． Ａ．（—２,6） Ｂ．[—２,6]Ｃ．{—２,6}Ｄ．（—∞，—２）∪（6，＋∞）３．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（ ）．４．（２0１２北京高考）函数f （x ）＝12x —错误!x 的零点个数为（ ）． Ａ．0Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３５．用二分法求函数f （x ）＝３x —x —４的一个零点，其参考数据如下：f （１．600 0）＝0．２f （１．５87 ５）＝0．１f （１．５7５ 0）＝0．067．一、函数零点的求解与判定【例１—１】（２0１２湖北高考）函数f（x）＝x cos ２x在区间[0,２π]上的零点的个数为（）．Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．５【例１—２】已知函数f（x）＝x２＋（１—k）x—k的一个零点在（２,３）内，则实数k的取值范围是__________．方法提炼１．判断函数y＝f（x）在某个区间上是否存在零点，常用以下方法：（１）解方程：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；（２）利用函数零点的存在性定理进行判断；（３）通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．２．函数零点个数的判断方法：（１）直接求零点：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（２）零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）＜0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；（３）利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．注意：函数的零点不是函数y＝f（x）与x轴的交点，而是y＝f（x）与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f（x）＝0有根的函数y＝f（x）才有零点．请做演练巩固提升１二、二分法的应用【例２】在用二分法求方程x３—２x—１＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间（１,２）内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．方法提炼利用二分法求近似解需注意的问题：（１）第一步中：１区间长度尽量小；２f（a），f（b）的值比较容易计算且f（a）·f（b）＜0；（２）根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与相应方程的根是等价的．提醒：（１）对于方程f（x）＝g（x）的根，可以构造函数F（x）＝f（x）—g（x），函数F（x）的零点即为方程f（x）＝g（x）的根．（２）若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，则y＝f（x）在区间[a，b]上的图象不一定是连续不断的图象，也不一定总有f（a）·f（b）＜0成立，如下图（１）（２）所示：请做演练巩固提升２三、函数零点的综合应用【例３—１】是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x２＋（３a—２）x＋a—１在区间[—１,３]上恒有一个零点，且只有一个零点．若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．【例３—２】设f（x）＝log２（２x＋１），g（x）＝log２（２x—１），若关于x的函数F（x）＝g（x）—f（x）—m在[１,２]上有零点，求m的取值范围．方法提炼已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法和思路：（１）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（２）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（３）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．请做演练巩固提升３函数零点命题的新考向【典例】已知函数f（x）＝log a x＋x—b（a＞0，且a≠１）．当２＜a＜３＜b＜４时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋１），n∈N*，则n＝__________.解析：∵a＞２，∴f（x）＝log a x＋x—b在（0，＋∞）上为增函数，且f（２）＝log a２＋２—b，f （３）＝log a３＋３—b，∵２＜a＜３＜b＜４，∴0＜log a２＜１，—２＜２—b＜—１．∴—２＜log a２＋２—b＜0．又１＜log a３＜２，—１＜３—b＜0，∴0＜log a３＋３—b＜２，即f（２）＜0，f（３）＞0．又∵f（x）在（0，＋∞）上是单调函数，∴f（x）在（２,３）必存在唯一零点．答案：２答题指导：（１）改变了考查单一零点知识点的命题方式，而是与函数的单调性相结合命题．（２）改变了常规的考查方式，需要利用对数的运算性质及对数函数的单调性去探究零点所在区间．２．对函数的零点除掌握好常规的考向外，在复习中还应关注以下几个问题：（１）与函数的单调性、奇偶性、周期性、值域等性质的综合问题．（２）与指数、对数及三角函数图象与性质的综合问题．（３）与导数的应用综合在一起的解答题．１．（２0１２湖北高考）函数f（x）＝x cos x２在区间[0,４]上的零点个数为（）．Ａ．４Ｂ．５Ｃ．6 Ｄ．7２．在下列区间中，函数f（x）＝e x＋４x—３的零点所在的区间为（）．Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!３．若f（x）＝（m—２）x２＋mx＋（２m＋１）的两个零点分别在区间（—１,0）和区间（１,２）内，则m的取值范围是（）．Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!４．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋２）＝f（x），且当x∈[0,１]时，f（x）＝x２，则函数y ＝f（x）—log５|x—１|的零点个数是（）．Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．１0 Ｄ．１１参考答案基础梳理自测知识梳理１．（１）f（x）＝0 （２）x轴零点（３）f（a）·f（b）＜0 （a，b）f（c）＝0 c２．（x１,0）（x２,0）（x１,0）２１0３．（１）f（a）·f（b）＜0 一分为二零点（２）f（a）·f（b）＜0 f（c）f（c）＝0 f（a）·f（c）＜0 f（c）·f（b）＜0基础自测１．C 解析：注意到f（—１）＝—7＜0，f（0）＝—３＜0，f（１）＝１＞0，f（２）＝１１＞0，f（３）＝３３＞0，结合各选项知，选Ｃ．２．D 解析：依题意，有Δ＝m２—４（m＋３）＞0，即（m—6）（m＋２）＞0，解得m＞6或m＜—２，选Ｄ．３．C 解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a）·f（b）＜0．A，B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续，故选Ｃ．４．B 解析：函数f（x）＝12x—错误!x的零点个数即为方程12x＝错误!x的根的个数，因此可以利用数形结合，在同一坐标系内画出函数y＝12x和函数y＝错误!x的图象，两图象的交点个数即为f（x）＝12x—错误!x的零点个数，如图所示，其零点个数为１．５．１．５6 解析：由表中f（１．５6２５）＝0．00３，f（１．５５6 ２）＝—0．0２9，可知零点近似值为１．５6．考点探究突破【例１—１】D 解析：令f（x）＝x cos ２x＝0，得x＝0或cos ２x＝0，故x＝0或２x＝kπ＋错误!，k∈Z，即x＝0或x＝错误!＋错误!，k∈Z.又x∈[0,２π]，故k可取0,１,２,３，故零点的个数为５．【例１—２】（２,３）解析：∵Δ＝（１—k）２＋４k＝（１＋k）２≥0对一切k∈R恒成立，又k ＝—１时，f（x）的零点x＝—１ （２,３），∴要使函数f（x）＝x２＋（１—k）x—k的一个零点在（２,３）内，则必有f（２）·f（３）＜0，即（6—３k）·（１２—４k）＜0，∴２＜k＜３．∴实数k的取值范围为（２,３）．【例２】错误!解析：区间（１,２）的中点x0＝错误!，令f（x）＝x３—２x—１，f错误!＝错误!—４＜0，f（２）＝8—４—１＞0，则根所在区间为错误!.【例３—１】解：∵Δ＝（３a—２）２—４（a—１）＞0，∴若实数a满足条件．则只需f（—１）·f（３）≤0即可．f（—１）·f（３）＝（１—３a＋２＋a—１）·（9＋9a—6＋a—１）＝４（１—a）（５a＋１）≤0．所以a≤—错误!或a≥１．检验：（１）当f（—１）＝0时，a＝１．所以f（x）＝x２＋x.令f（x）＝0，即x２＋x＝0，得x＝0或x＝—１．方程在[—１,３]上有两根，不合题意，故a≠１．（２）当f（３）＝0时，a＝—错误!，此时f（x）＝x２—错误!x—错误!.令f（x）＝0，即x２—错误!x—错误!＝0，解之得x＝—错误!或x＝３．方程在[—１,３]上有两根，不合题意，故a≠—错误!.综上所述，a＜—错误!或a＞１．【例３—２】解：令F（x）＝0，即log２（２x—１）—log２（２x＋１）—m＝0，∴m＝log２（２x—１）—log２（２x＋１）＝log２错误!＝log２错误!.∵１≤x≤２，∴３≤２x＋１≤５．∴错误!≤错误!≤错误!.∴错误!≤１—错误!≤错误!.∴log２错误!≤log２错误!≤log２错误!，即log２错误!≤m≤log２错误!.演练巩固提升１．C 解析：令f（x）＝x cos x２＝0可得，x＝0或cos x２＝0，故x＝0或x２＝kπ＋错误!，k∈Z.又x∈[0,４]，则x２∈[0,１6]，则k＝0,１,２,３,４符合题意，故在区间[0,４]上的零点个数为6．２．C 解析：∵f（x）是R上的增函数且图象是连续的，且f错误!＝14e＋４×错误!—３＝14e—２＜0，f错误!＝12e＋４×错误!—３＝12e—１＞0，∴f（x）在错误!内存在唯一零点．３．C 解析：由题意得错误!得错误!＜m＜错误!.４．C 解析：由题意知偶函数f（x）的周期T＝２．在同一坐标系下作出函数f（x）及函数φ（x）＝log５|x—１|的图象如图所示，结合图象可知函数零点的个数为１0，故选Ｃ．。

函数单调性的应用与最值【学习目标】 1. 理解函数最值的定义，能用函数的单调性求一些简单函数的最值；2. 利用函数的单调性解不等式；预 习 案（一）函数的单调性的几条性质(1)f (x )在区间D 上为增函数，x 1，x 2∈D ，则①x 1＜x 2⇔f (x 1)＜f (x 2)； ② (x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0；③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0. 即x 与y 的变化趋势相同，荣辱与共．(2)f (x )在区间D 上为减函数，x 1，x 2∈D ，则①x 1＜x 2⇔f (x 1)＞f (x 2)； ②(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0. 即x 与y 的变化趋势相反，此消彼长．(3)如果f (x )在区间D 上为单调函数，且区间A ⊆D ，那么f (x )在A 上具有相同的单调性．（二）最值：（1）函数的最大值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 .那么称M 是函数y ＝f (x )的最大值．（2）函数的最小值：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有 ； ②存在x 0∈I ，使得 .那么称M 是函数y ＝f (x )的最小值．（三）思考：1.在函数的最大值定义的两个条件中，能否去掉其中的一条？2．一个函数是否一定有最值？若有最值，它与值域什么关系？探 究 案例1．（1） 函数f (x )在[－2,2]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，2（2）画出函数y ＝1x的图像，并求函数在以下区间上的值域． (1)[1,7]； (2)[－7，－1]； (3)[－5,0)∪(0,5]．例2．（1）求函数f (x )＝x x －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．（2）求函数y＝|x＋1|＋(x－2)2的最小值．探究（一）求函数f(x)＝x＋4x在x∈[1,3]上的最大值与最小值．例3.已知函数f (x)是定义在(－3,3)上的减函数，若f(2x－3)＞f(x＋1)，求x的取值范围．探究（二）已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(0)＝1，求不等式f(2x－1)－1＞0的解集．能力提升：1.已知g(x)是[m，n]上的减函数，且a≤g(x)≤b，f(x)是[a，b]上的增函数，求证：f[g(x)]在[m，n]上也是减函数．探究1复合函数的单调性的判定见下表：注意(1)(2)上述表格可以总结成一句话：“同增异减”．练习：1.求函数y＝1－2x的单调区间．2.写出函数y＝3x＋2的单调区间．。