3.3.1二次根式的加减

初中数学试讲
初中数学试讲
一、教学目标
初中数学试讲的教学目标是使学生在短时间内理解和掌握二次根式的运算方法，充分发挥学生思维能力和逻辑推理能力，提高学生综合解决问题的能力。

二、教学内容
1. 二次根式的定义和基本性质
2. 二次根式的四则运算
3. 二次根式的应用
三、教学过程
1. 二次根式的定义和基本性质
1.1 二次根式的定义
1.2 二次根式的基本性质
2. 二次根式的四则运算
2.1 二次根式的加减运算
2.2 二次根式的乘法运算
2.3 二次根式的除法运算
3. 二次根式的应用
3.1 认识二次根式在几何图形中的应用
3.2 认识二次根式在计算中的应用
3.3 实际问题中的应用
四、教学方法
1. 解析法
2. 演示法
3. 实验法
4. 讨论法
5. 案例法
6. 练习法
7. 活动法
五、教学评价
通过对教学内容的重点讲解和学生的实践操作，学生应能完成以下几点：
1. 理解二次根式的定义和基本性质
2. 掌握二次根式的四则运算方法
3. 能够将二次根式运用到实际问题中去
4. 具有较强的解决数学问题的能力
六、教学反思
1. 教学中学生缺乏独立思考，需要加强课前预习和课后复习。

2. 教学方法上应该更注重实用性，运用更多的案例和活动来增加学生参与度。

3. 教学过程中要注意及时进行学生的错误矫正和答疑解惑，及时给学生反馈。

3.3二次根式的加减(1) 教案备课时间: 主备人:【学习目标】：1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法2、能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算【重点难点】：重点：同类二次根式的概念及掌握合并同类二次根式的方法难点：同类二次根式的概念【预习指导】1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x （2）2223a b ba ab +- 4、下列3组二次根式，各有什么共同特征？（1）2，23，22 ，215，232…… （2）3，35 ，36，317，3132…… （3）2，8，18，32，21…… ，称为同类二次根式。

思考：（1）要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？（2）怎样合并同类二次根式：（3）二次根式加减运算的步骤:【典型例题】例1 ：计算：1、23 + 32 － 22 + 32、12 + 18 － 8 － 323、40 － 1015 + 10例2：如图，两个圆的圆心相同，面积分别为8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度（两圆半径之差）【课堂练习】1、计算：（1）36-5-216+25+2； （2）27-45-20+75；（3）4ab +5ab -23ab -ab 4（a ≥0，b ≥0）（4）2a a 2-323a 8+6a 52a2（a ＞0）2、（1）两个正方形的面积分别为22cm 、82cm ，求这两个正方形边长的和；（2）两个正方形的面积分别为s 2cm 、4s 2cm （s ＞0），求这两个正方形边长的和；【课外练习】1、计算：（1）23-35-5+55+73；（2）12-27-20+50；（3）x 4+2x 2-21x 8-4x （x ≥0）；（4）21-8+21-81；2、计算： （1）50511221313832++--；（2）（3118-2112）-（331-221）；。

3.3 二次根式的加减细品书中知识 关键词：同类二次根式、二次根式加减运算、二次根式混合运算、有理化因式025-1同类二次根式同类二次根式是指经过化简后，被开方数相同的二次根式．如8、18、21经过化简后，分别是22,23,22，被开方数都是2，所以8、18、21是同类二次根式．推敲＆引申 （1）同类二次根式是本节中最为重要的知识点，能找出一些根式中的同类二次根式是进行二次根式加减法的基础，对于一个最简二次根式，我们可以找出无数个它的同类二次根式；（2）判定一组二次根式中，哪些根式是同类二次根式，关键是“一化二比”，“ 化”是按化简要求化简，“比”是比较化简后的被开方数，如果某几个二次根式的被开方数相同，则这几个根式是同类二次根式． 026-2二次根式的加减运算◆同类二次根式例1 下列各式中与327x --是同类二次根式的是（ ）．A ．327x B ．273x -C ．2391x -- D ．3x 分析：Ａ中,327x x x 33=;Ｂ预习﹠听课点＊同类二次根式＊二次根式的加减运算 ＊二次根式的混合运算状元心得笔记＊识别同类二次根式是进行加减运算的关键＊二次根式的加减是化简后合并同类二次根式，与整式加减合并同类项类似＊二次根式的混合运算可以类比整式的混合运算进行学习目标：1.能够先化简，再运用加减法合并同类二次根式；2.能够类比整式的运算进行二次根式的运算；3.能够运用二次根式的混合运算解决一些简单的实际问题中,x x x 39273--=-;Ｃ是错误的根式;Ｄ中,333xx=，而题中的327x --x x 33--=.解：Ｂ．反思：判断同类二次根式，首先需要对二次根式化简，再观察被开方数是否相同，另外还需注意被开方数的隐含条件．◆二次根式的加减运算二次根式的加减实质上是合并同类二次根式，它与合并同类项类似．如-+32334()3421-+=3-=．二次根式加减运算可归纳为：“一化二找三合并”，意思是第一步先化简二次根式，第二步找出其中的同类二次根式，第三步是合并同类二次根式．在进行二次根式的加减运算时应注意：①整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用；②不是同类二次根式的根式不好合并，合并同类同类二次根式时，根指数和被开方数不变，只将根式前的数或式进行合并；③最后的结果应写成最简结果或几个非同类二次根式的和．027-3 二次根式的混合运算二次根式的混合运算实际上就是对二次根式进行加减乘除等运算．二次根式的混合运算与整式的混合运算类似．运算顺序也是先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．实数运算中的运算律，所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用．如：计算：） 可运用平方差公式得()()2225-=5-2=3．（1）二次根式的混合运算，要注意运算顺序不能颠倒，运算法则不能搞错；（2）在进行二次根式的混合运算时，整式运算中的运算率、运算法则及我们过去学过的各种乘法公式等均适用；（3）结果一定要化简．028-4 有理化因式若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．如5与5相乘，23+与23-相乘，积都不含有二次根式，则5与5、23+与23-互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以去分母中的根号．如：633323321=⨯=，=-+1212()()()=+-+1212122例2计算：分析：先化简式中的各个二次根式，310325125=⨯=，=31933339=⨯， 34214821⨯=32=，再合并同类项．解：＝393233310=+-．反思：进行二次根式加减运算时应以“一化二找三合并”为指导方法，针对具体题目灵活运用．◆二次根式的混合运算例3 计算下列各式：()()()2123527527---+分析：先对二次根式化简，并注意类比整式进行运算．解：()()()2123527527---+•+=-+--=-+--=2610126182049126)23()52(7222反思：对于复杂的二次根式可将其中的某些整式看成一个整体，并观察式子的特征，利用乘法公式简化解题．◆有理化因式例4已知x y ==则代数式22353x xy y -+的值为（ ）． A ．144 B ．225 C ．289 D ．121 分析：此题需先对x, y 进行化简，再运算． 解：()6252323232+=+=-+=x ，()6252323232-=-=+-=y ．()12+都通过分子、分母同时乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号． 分母有理化可以将分母中的二次根式去掉，简便了计算，一情况下，a b a 与互为有理化因式（0,0≠>b a ），)()(b a b a -+与互为有理化因式（0,0>>b a ）．()()23232-•+=xy ()()[]22323-+=1=，()2222333y x y x +=+=3×（25+24+25+24）=3×49×2=294．所以289529435322=-=+-y xy x ． 反思：对于此类题目可先对x, y 化简，再根据整式的特征进运算．多角度推敲试题（一）紧扣教材试题研究例5．计算：()225+ = .分析：经过观察，不难发现此题符合完全平方公式的特征，可直接利用完全平方公式进行计算． 解：549+． 例6．的结果是（ ）．A ．6B．C．6D ．12分析： 123232)34335(32=⨯=-+=原式．解：Ｄ．（二）综合拔高试题研究例7．观察下列各式：===请你将发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来 ． 分析：观察式子的特征，类比写出结论． 解：21)1(21++=++n n n n ． 例8．已知x=2，求xxx x x xx x +---++-+-+22222222的值．分析：本题将x=2代入求值，相当繁，若用方程思想设所求代数式为y ，进行一些变换，易求值，即原代数式可求.解：设y=x xx x x x x x +---++-+-+22222222，则y+1=x xx x x x+---+-+2222222，y-1=x xx x x x+---++-2222222，∴11-+y y =x x -+22，∴y=x 2，又x=2，∴y=22=2． 知识规律总结数学思维体操例9．有一道题：“先化简，再求值：22361()399x x x xx -+÷+--，其中“x=．小亮同学做题时把“x= ，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么,回事．分析：先对分式进行化简，根据式子特征即可获得信息．解：22361()399x x x x x -+÷+--()()99]9693[22222+=-⨯-+--=x x x xx x ．∵()()2220072007=-，∴式子的值不变．反思：若直接将x= 此类问题时，定要先化简，后再计算．题海轻舟(计划练习时间 45分钟)一、选择题1．下列二次根式：4、12、50、21中与2是同类二次根式的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．计算28-的结果是（ ）．A．6 B ．2 C ．2 D ．1.4 3(5-+( )．A ．2B ．－2C ．－2－D ．－2＋4．已知等腰三角形的两边长为，则此等腰三角形的周长为（ ）． A ．B ．C ．D ．或二、填空题5．已知231-=a ，则aa 1+=__________． 6. 先阅读理解，再回答问题：2,<1；3,<2；4,3；n 为正整数）的整数部分为___________． 7.计算：3=__________；4)=__________．8. 已知5的整数部分是a ，小数部分是b ，则ba 1-的值为__________． 三、解答题9. 计算： （1）50214- （2）23133+-（3）()()5225105-+ （4）556053÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10. 当102-=x 时，求642--x x 的值．11. 已知2x =，y =112()x y x y+⋅+的值．12. 已知：2323-+=a ，2323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值.题海轻舟参考答案 1.B 分析：与2是同类二次根式的有2550=，2221=． 点拨：同类二次根式必须先将二次根式化成最简二次根式，再判断二次根式是否同类． 2.Ｃ 分析：222228=-=-，点拨：二次根式计算前需将二次根式化成最简二次根式，再进行合并，另外，如题目没强调精确，结果就以根式形式写出． 3.Ｂ 分析：()()2)75(73732)75(73222-=+--+=+-- ．点拨：化简分母上的根式，需分子分母同乘有理化因式．4.Ｂ 分析：因为25343232<=+，因此腰长只能为25，周长为． 点拨：此题的关键是检验三角形的三边关系． 5.－4 分析：23231--=-=a ，231-=a ，故41-=+aa ． 点拨：此题先将a 进行化简，计算更简便．6.n 分析：根据规律可得．点拨：解决此类题目，需先观察得出规律，根据规律即可解答． 7.１ 分析：1313133133=⨯⨯=⨯÷，()()4432432-=+-．点拨：（1）注意混合运算的顺序；（2）类比整式的平方差公式． 8.5- 分析：由题可知：25,2-==b a ，由此可得：51-=-ba ． 点拨：确定小数部位b 的值，这是解题的关键． 9. 分析：（3）利用乘法公式,此外注意结果的化简.解：（1）=-=-25225021423-, （2）()=--=+-233231332,（3）()()()()=-+=-+10510525225105215,（4）=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-515251555605339-． 点拨：混合运算的顺序，以及类比整式的乘法进行运算．10. 分析：先对代数式化简()226422--=--x x x ，再计算． 解：()8210226422=-=--=--x x x .点拨：先对代数式进行适当变形，再代入求值即可． 11. 分析：先化简代数式xy y x xy y x y x y x 22211=+•+=+•⎪⎪⎭⎫⎝⎛+． 解：3332222211=⨯==+•+=+•⎪⎪⎭⎫⎝⎛+xy y x xy y x y x y x . 点拨：先化简，再代入求值，减少计算量．12. 分析:先将字母a,b 的值进行化简,代入代数式.解: 625,625-=+=b a ,则1,62049,6204922=-=+=ab b a ,原式=9534949=-+.点拨:此题不可以对代数式进行因式分解,但需要对字母值进行化简.教材课后习题解答练一练(第70页)1.（1）25625++（2）5538-（3）ab 211（4）a a223 2.（1）394-（2）1515256+（3）b a a 512- 3.（1）23㎝（2）s 3㎝练一练(第72页)常做自我测查你有没有发现，我们在复习时常陷入一种知识点太多，一时无法理清哪是重点，哪是难点的尴尬境地中。

重点难点二次根式的教案设计——轻松掌握冲刺高考的技巧一、教学目标1.知识目标：掌握二次根式的化简方法，熟练计算二次根式相关题目。

2.技能目标：能够熟练运用二次根式相关知识解决实际问题。

3.情感目标：培养学生耐心细心的学习态度，学生间相互配合、协作的意识和团队合作精神。

二、教学重点难点1.教学重点：二次根式的化简方法和计算。

2.教学难点：（1）二次根式的加减运算。

（2）二次根式的分式运算。

三、教学方法1.经验教学法：通过讲述和演示，使学生在实践中掌握二次根式的化简方法和计算。

2.合作学习法：通过小组合作学习，培养学生的相互合作意识和团队意识。

3.情景模拟法：通过模拟实际问题，让学生感受到二次根式在实际问题中的应用。

四、教学过程1.课前预习学生预习二次根式的相关知识，重点预习二次根式的化简方法和加减、分式运算。

2.导入教师带领学生回顾二次根式的相关知识，让学生了解二次根式在数学中的重要作用。

3.正式学习3.1.二次根式的化简方法3.1.1.平方公式的应用：给出一个二次根式的例子，如√(2+3√5)，通过平方公式求解，将其化简为a+b√5的形式。

3.1.2.有理化分母法：给出一个含有分母且分母为二次根式的例子，如(3+2√2)/(1-√2)，通过有理化分母的方法，将其化简为a+b√2的形式。

3.2.二次根式的加减运算3.2.1.同类项合并：给出两个同类项的二次根式，如√5和2√5，让学生将其合并为3√5的形式。

3.2.2.无理数的加减：给出两个不同类的二次根式，如√6和√2，让学生将其加减运算得出结果。

3.3.二次根式的分式运算3.3.1.基本分式的变形：给出一组基本分式的例子，如1/√2和√2/2，让学生熟练掌握二次根式分式的基本变形方式。

3.3.2.分式的通分：给出两个分母不同的二次根式分式，如(2+√3)/√2和(√2-√3)/√6，让学生将其通分运算得出结果。

4.实际应用在以上知识点学习完成后，让学生通过实际问题的解决，进一步理解二次根式的应用。

二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。

在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。

下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。

一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。

例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。

2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。

3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。

例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。

4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。

例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。

二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。

例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。

2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。

有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。

例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。

二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。

掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。

一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。

例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。

需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。

例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。

例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。

例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。

常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。

例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。

例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。

一般按照先乘除后加减的原则进行。

二次根式运算法则1.二次根式的加减法则：当二次根式的根数和被开方数相同时，可以直接合并同类项。

例如：√2+√2=2√22.二次根式的乘法法则：当相同根数的二次根式相乘时，可以将根号内的被开方数相乘，并保留相同的根号。

例如：√2*√3=√(2*3)=√63.二次根式的除法法则：当相同根数的二次根式相除时，可以将根号内的被开方数相除，并保留相同的根号。

例如：√6/√2=√(6/2)=√34.二次根式的乘方法则：当一个二次根式乘以它自身时，可以将根号内的被开方数进行乘方运算，并保留相同的根号。

例如：(√2)²=25.二次根式的化简法则：当一个二次根式的被开方数是一个完全平方数时，可以将二次根式化简为一个整数。

例如：√4=2当一个二次根式与一个无理数相乘或相除时，无法进行化简。

例如：√2*π或(√2)/π通过以上的二次根式运算法则，我们可以更方便地进行复杂二次根式的计算。

下面通过例题来进一步说明二次根式运算法则的应用。

例题1：计算√5+√5+2√5解：根据二次根式的加减法则，合并同类项得到4√5例题2：计算(√3+1)(√3-1)解：根据二次根式的乘法法则，将根号内的被开方数相乘得到3-1=2例题3：计算√18/√6解：根据二次根式的除法法则，将根号内的被开方数相除得到√(18/6)=√3例题4：计算(√2+√3)²解：根据二次根式的乘方法则，将根号内的被开方数进行乘方运算得到2+2√6+3=5+2√6例题5：将√50化简解：根据二次根式的化简法则，将被开方数50化简为25*2，然后提取出完全平方数得到5√2通过以上的例题，我们可以看到二次根式运算法则的应用，能够帮助我们简化计算，使二次根式的运算更加方便快捷。

二次根式的加减运算一、教材分析1、内容分析：本节内容共一课时。

主要内容是学习二次根式的加减运算。

2、地位与作用：二次根式属于“数与代数”领域的内容，它是在学生在学习了勾股定理、平方根、立方根、实数等概念的基础上进行的，是对“实数”“代数式”内容的延伸和补充。

在进行二次根式的加减时，所采用的方法与合并同类项类似；这说明了前后知识之间的内在联系。

同时本部分内容还是后面学习“锐角三角函数”、“一元二次方程”和“二次函数”的基础.二、学情分析学生已经学习了二次根式的概念及性质等知识，已具备了学习二次根式加减运算的知识基础和心理基础，本节课主要是采用类比的思想来学习二次根式的加减运算，难度不大。

班级学生课堂上能积极参与、有一定的自学能力，好奇心、求知欲、表现欲都非常强；在前面学习的基础上，他们具有一定的观察能力、分析能力、归纳能力，学习新知识速度快模仿能力强，具备一定的探索知识自主创新的能力，但经常因为粗心而出错，同时课后复习巩固的效果较差。

结合以上分析，为了加强他们的自学能力，提高课堂学习效率，根据他们的特点，本节课采用启发引导，讲练结合的方式完成学习,选择联系生活中的实际问题，适合学生的习题，由浅入深的引导，注重培养学生的自学能力，通过一定练习，激发学生的求知欲和提高学生的自信心。

三、目标分析1、了解同类二次根式的概念，会辨别同类二次根式。

2、经历探索二次根式的加法和减法运算法则的过程，理解二次根式的加法和减法算理，进一步发展学生的类比推理能力。

3、能熟练地进行二次根式的加法和减法运算。

四、教学重难点【重点】会辨别同类二次根式，熟练掌握二次根式的加减运算。

【难点】探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式的加减运算。

五、教具准备多媒体投影、实物展台、课件、学案、六、活动流程《数学课程标准》明确指出：“数学教学是数学活动的教学，学生是数学学习的主人。

”为了向学生提供更多从事数学活动的机会，我将本节课的教学过程设定为以下六个环节：活动3：探索交流活动4：例题分析活动5：随堂练习活动6：课堂小结，活动7：达标测试先独立完成，再探索交流，得出新的概念和法则运用法则进行计算，加深对运算法则的理解通过练习，巩固所学知识学生归纳小结，教师评价，形成系统学生测试，检验本节课的掌握情况教学过程问题与情境师生行为设计意图【活动一】情境引入如图，两个长方形的宽都是a m，它们的长分别是2 m和3 m，用不同的方法求这两个长方形的面积的和。

3.3 二次根式的加减(2) (教案)备课时间: 主备人:【学习目标】：1、掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用2、正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算【重点难点】：重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

【知识回顾】填空 ：（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）回顾整式的乘法公式：多项式乘法公式：平方差公式：完全平方公式：注：在进行二次根式的混合运算时，我们曾学过的整式运算的运算律和乘法公式仍然适用。

【典型例题】例1、计算：（1）（125+23）×15； （2）（3+10）（2-5）；例2、计算：（1）（3+2）（3-2）；（2）2523）（【课堂练习】1、计算：（1）（3+22）×6； （2）5×（10-5）；（3）（6-3+1）×232、计算：（1）（3-22）（23-2）；（2）（22-3）（3+2）；（3）（5-6）（3+2）；（4）（a+ab +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；3、计算：（1）（5+1）（5-1）；（2）（a +b ）（a -b ）（a ≥0，b ≥0）；（3）223）（-； （4）2b a ）（+（a ≥0，b ≥0）；点拨、二次根式在进行运算时要注意：1、二次根式四则混合运算的顺序和整式的四则混合运算的顺序是一样的，含相同二次根式的项要合并2、运算律同样适用于二次根式的运算3、计算结果要最简【课外练习】1、计算：（1）（23-6）×12； （2）（18-12+2）×26；（3）（23-52）（3-22）；（4）（215+）（215-）；（5）（a2ac 4bb2-+-）+（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；（6）（a2ac 4bb2-+-）（a2ac 4bb2---）（2b-4ac≥0，a≠0）；。

二次根式基本运算、分母有理化中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根化简和运算式的混合运算（不要求分母有理化）例题精讲板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶ 分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的除法法则： a a（ a 0 ，b 0 ）b b利用这两个法则时注意a 、 b 的取值范围，对于aba b ， a 、 b 都非负，否则不成立，如 (7)(5)(7) ( 5)一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．【例 1】若最简二次根式3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。

【例 2】下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（）A ．2a B．3a 2C．a3D． a 4【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴2x3 y和 2x3 yz ⑵2b和aa 2b⑶27 x和 3xy ⑷ 4 a3 b2 和 a2 b34 y85 5【例 3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127 ；48 ；20；1125；1y； y x ．5 2 x x y【例 4】若最简二次根式 a b 2a b与 a 2b 是同类根式，求a2b的值．【巩固】若 a ，b 为非负数， a b 4b 与3a b 是可以合并的二次根式，则 a ，b 的值是（）A ． a 0 ，b 2 B． a 1，b 1 C． a 0，b 2 或 a 1，b 1 D． a 2 ，b 0【例 5】已知最简根式 a2a b与a b 7 是同类二次根式，则满足条件的a ,b 的值（）A ．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a b4与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a，b为整数，则a ______，b________；b【例 6】方程x y 1998 的整数解有组 .【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ，⋯，1999 这 1999 个式子中，与2000 是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例 7】化简：a26a 9a210a 25【例 8】计算：48 1 2 17527 81 1【巩固】 (3 0.5 4 1.5)( 0.24 4 )2 2【例 9】3x y y x x3 yxy3x y【例 10】计算： 5 2 8 7 18【巩固】计算：1 1 2 12315348 3 3【巩固】计算：2 1 240.5 2 63 8【例 11】计算：8 2 0.251150 2 728 31 1【巩固】(27) (12 45)3 5【例 12】先化简后求值。

第11课 二次根式的加减法（1）一、目的要求：1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否同类二次根式。

2、使学生通过辨别同类二次根式，培养从特殊中找出一般、从个性中找出共性的对立统一观点。

二、内容分析：1、从科学思想方法上来说，分类和归类正好是对立统一的，相辅相成的种互逆的研究过程，在学习教学时、既要重视分类，也要重视归类，两者缺一不可。

例如，对于“项”这一研究对象，在我们分析了它的特点后，把“整式”这一概念按照项的多少进行了分类（即分为单项式和多项式）；反过来，又把“单项式”这一概念按照项中除系数外其余部分完全相同这一性质进行了归类（即归为同类项）。

对于“方程”这一研究对象，在我们分析了它垢特点后，把它分为有理方程、无理方程、超越方程等；反过来，又把形式上完全不同的方程2x=2，01=-x 等归为同解方程。

分类越细，我们对整体的结构就越清晰；归类越明确，我们对整体中部分的认识就越深入。

例如，经过归类，我们知道同类项可以相加减；“同解”是一种等价关系，因而具有自反性、对称性和传递性等等。

2、在二次根式的四则运算中，加法与减法要在同类二次根式的概念引入后进行，而同类二次根式的概念是以最简二次根式的概念为基础的，这就是说，学习最简二次根式与同类二次根式，是学习二次根式的加减运算的必要准备。

由此可见，先学二次根式的乘除，后学二次根式的加减，这是有原因的。

3、同类二次根式的概念中，最关键的是“被开方数相同”这六个字，根据这六个字，5353与⋅52531与等等，都不是同类二次根式，这是因为在53⋅中，有两具被开方数，而在53中，只有一个被开方数；同理，在52531与中的个数也不同。

另外，“化成最简二次根式以后”这十字也是很重要的，由上所述，由上所述，我们可以体会到上一课中我们强调把二次根式化成最简二次根式时，应该注意分母有理化的道理，如果不强调这一点，那么在a a a )231(231+=+ a a a a a 2332353231+=+⋅=+ 这两个运算式子中，就不知道该以哪一个式子为标准解答了。

二次根式深度理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都有广泛的应用。

它由一个数与一个根号组成，常见的形式为√a，其中a是一个非负实数。

二次根式的特点之一是它可以表示正数、负数以及零。

二次根式的重要性在于它能够描述许多自然现象和数学问题。

例如，在几何学中，二次根式可以用来求解直角三角形中的斜边长；在物理学中，它可以表示物体的加速度、速度等；在代数学中，二次根式是许多方程的解。

本文的目的是帮助读者深入理解二次根式的概念、性质和运算，并探索二次根式在数学中的更多应用。

在接下来的部分，我们将首先介绍什么是二次根式，包括它的定义和一些基本性质。

然后，我们将进一步探讨二次根式的运算，包括加减乘除等操作。

最后，我们将总结二次根式的重要性，并深入思考二次根式在数学中的意义，以及对其进行进一步的探索和研究的可能性。

通过对二次根式的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题，提高数学能力，培养逻辑思维和创造力。

二次根式是数学中的一个精彩且复杂的主题，希望这篇文章能够帮助读者更好地理解和应用二次根式，在数学学习中取得更好的成绩。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和探讨二次根式的深度理解：1. 引言：在本部分将对本文的主题进行概述，说明文章的目的以及结构安排。

2. 正文：本部分将详细介绍二次根式的相关内容，包括二次根式的定义、性质和运算。

具体来说，将从以下几个方面进行阐述：2.1 什么是二次根式：本节将对二次根式的概念进行解释和说明，包括二次根式的定义和基本形式。

2.2 二次根式的性质：本节将介绍二次根式的一些重要性质，如二次根式的非负性、分离性、加减性等，通过理解这些性质可以更好地掌握和运用二次根式。

2.3 二次根式的运算：本节将详细介绍二次根式的运算方法，包括二次根式的加减乘除以及乘法公式和除法公式的推导和应用。

二次根式的运算规则二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着重要的作用。

二次根式即指的是含有根号的数，如√2、√3等。

在进行二次根式的运算时，我们需要遵循一定的规则，下面将详细介绍二次根式的运算规则。

首先，我们来讨论二次根式的加减运算。

对于同类项的二次根式，我们可以直接进行加减运算。

例如，√2 + √3可以简化为√2 + √3。

但是对于不同类项的二次根式，我们无法进行直接的加减运算，需要通过合并同类项的方式进行简化。

例如，√2 + 2√3不能直接进行加减运算，我们可以将其简化为√2 + 2√3= √2 + √2√3 = √2(1 + √3)。

接下来，我们来讨论二次根式的乘法运算。

对于二次根式的乘法运算，我们可以利用分配律进行简化。

例如，(√2 + √3)(√2 - √3) = (√2)^2 - (√3)^2 = 2 - 3 = -1。

在进行乘法运算时，我们需要注意一些特殊情况。

例如，√2 * √2 = (√2)^2 = 2，即同类项的平方根可以简化为原来的数。

除了加减乘法运算，我们还需要了解二次根式的除法运算规则。

对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数都进行有理化处理。

有理化处理是指将含有根号的数进行合理的变形，使得分母中不再含有根号。

例如，将√2除以√3，我们可以进行有理化处理得到√2/√3 = (√2/√3) * (√3/√3) = (√6)/3。

此外，我们还需要了解二次根式的化简规则。

对于含有二次根式的复合表达式，我们可以通过合并同类项、分解因式等方式进行化简。

例如，√2 + √8可以化简为√2 + 2√2 = 3√2。

在进行化简时，我们需要注意一些常见的二次根式的简化公式。

例如，√4 = 2，√9 = 3等。

最后，我们需要注意二次根式的乘方运算规则。

对于含有二次根式的乘方运算，我们可以将其转化为含有整数指数的乘方运算。

例如，(√2)^2 = 2，(√3)^3 = 3√3等。