数值分析第三章小结

第3章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我知道了求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算的重要课题，在这一章，我了解到了直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法及MATLAB计算程序。

我了解到自己对数值分析及MATLAB的掌握还很肤浅，了解到了自己的不足,同时意识到自己知识点薄弱的地方，还有对知识的理解有偏差。

有的知识点理解的不透彻，自己可以动手做题，但编程实现还需要一定的编程语言知识以及数学知识和机器语言之间的转换。

四种方法各有其特点和适用范围。

幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。

此外，用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m文件。

二、本章知识梳理本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi 、QR 方法等。

本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。

以下是各种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量；2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；3、Jacobi 方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；4、QR 方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

3.1幂法与反幂法一、乘幂法1、基本思想])([2111101∑=-+===n i i k i i kk k k X X u A u A u λλααλ 2、一般算法1）任意给定初始向量;0n R u ∈2）对于k=1，2，...111---=k k k u u y 1-=k k y A u 1111X X y k αα→ 3）如果ε<--1k k u u ,则,,1,1m k m k u u -≈λk u X ≈13、三种迭代公式（1）使用范数2•（2）使用范数∞•（3）)max (k u 表示k u 的绝对值最大的分量。

数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。

第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。

其中，相对误差限是绝对误差的上界。

有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。

一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。

第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。

三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。

确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。

第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。

切比雪夫多项式也有其独特的性质。

用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。

最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。

第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。

勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。

中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。

第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。

相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。

第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。

对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。

简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。

第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。

例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。

科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。

由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|<E 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。

第一章绪论1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.避免误差的相关问题病态问题与条件数算法的数值稳定性数值运算中的若干原则第二章非线性方程求根1.不动点迭代格式不动点迭代格式的构造、计算全局收敛性判断局部收敛性与收敛阶判断（两个方法）2.Newton迭代格式、计算及几何意义局部收敛性及收敛阶（单、重根）非局部收敛性判断（两个方法）3.Steffensen迭代格式及计算（具有）二阶的局部收敛性4.Newton迭代的变形求重根的迭代法（三种方法）避免导数计算的弦割法（两种方法）Newton下山法*5.二分法计算预先估计对分次数第三章解线性方程组的直接法1.矩阵三角分解法及其方程组求解 直接三角分解法及其分解的条件平方根法（Cholesky 分解）追赶法列主元三角分解法* 2.Gauss 消去法Gauss 主元素消去法（列主元素消去法、全主元素消去法） Gauss 顺序消去法3.方程组的性态与误差分析 向量和矩阵的范数（基础知识） 方程组解的相对误差估计 矩阵的条件数 病态方程组的求解*第四章解线性代数方程组的迭代法1.迭代法的基本理论简单迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解Gauss—Seidel迭代法格式的构造、收敛性判断以及方程组的求解2.三种迭代法的构造、收敛性判断以及方程组的求解Jacobi迭代法基于Jacobi迭代法的Gauss—Seidel迭代法逐次超松弛迭代法①掌握简单迭代收敛性判断的方法。

设B为迭代矩阵，如果||B||<1，则用||B||判断迭代的收敛性比用ρ(B)<1更为方便，但此结论仅为充分条件。

如果||B||≥1，判断迭代的收敛性需考察ρ(B)<1是否成立。

如果需证明迭代发散，则需证明ρ(B)≥1。

②简单迭代法的收敛快慢，依赖于迭代矩阵谱半径的大小。

当ρ(B)<1，迭代次数k≥(mln10)/(-lnρ(B))，则迭代矩阵谱半径越小，收敛越快。

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章 数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。

有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。

即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。

其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。

例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。

2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。

对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。

（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

第三章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会本章我们学习了矩阵特征值与特征向量的计算方法即幂法、反幂法、Jacobi方法和QR方法。

下边介绍一下四种方法各自的特点和适用范围。

幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法：主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi法：用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR法：则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

归结起来，这四种方法有一个共同的特点，即都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。

还有利用用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量，其自带函数Eig即得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。

二、本章知识梳理在工程技术中，计算矩阵的特征值和特征向量主要使用数值解法。

本章将阐述幂法、反幂法、Jacobi 方法、和QR 方法，并且只限于讨论实矩阵的情况。

3.1 幂法和反幂法（1）幂法幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量，其思想是迭代。

设n ⨯n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量,,...,,321n x x x x 其相应的特征值n λλλ...21，，满足如下不等式 n λλλλ≥≥≥> (321)其中i i i x Ax λ= ）。

（n i ,...2,1=现在要求出1λ和相应的特征向量。

任取一n 维非零向量0u ，从0u 出发，按照如下的递推公式 1-=k k Au u ），，（...21=k 因n 维向量组n x x x ,...,21线性无关，故对于向量0u ，必存在唯一的不全为零的数组n ααα,...,21，使得n n x x x u ααα...22110++=n k n k k k k k k x A x A x A u A u A Au u ααα+++=====--......22110221=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n kn n k kn k n n k k x x x x x x 12122111222111......λλαλλααλλαλαλα 设01≠α。

第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组：10,(,......,)Tn Ax b x x x -== 将方程组变形为1,(,......,)T n x Bx f x x x =+= 的形式 移项法111213112122232231323333a a a x b a a a x b a a a x b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎥=⇒ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭131211111111123212222222223331323333333000a a b a a ax x a a b x x a a a x xaa b a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭很容易推广到n 阶简单迭代法（Jacobi 迭代法）1122(,,......,)nn D diag a a a =迭代：11100()1,2,...k k x B x f B I D A f D b k +--=+=--== 0x ：初值，任意。

分量式：(1)()11()nk k ii ij j j ii j ixb a x a +=≠=-∑ 1,2,...,i n = ,L U 分别表示A 的下三角和上三角部分（不含对角线）。

A=D+L+U10();0()ij n n ij ij ij L l l a i j l i j B D L U ⨯-==>=≤=-+迭代次数的控制：迭代到1*(1)k k k xx x x ε++-<≈ 取(1)()(1)1()1?()k k k k x x x I D A x D b ++---==-- (1)()1()1()()k k k k x x D Ax b D r +---=-=前述()*()()||||k k x x r cond A xb -≤，控制()()*,()k k rx x cond A - 与有关，对病态方程组，可能ε很小而解的精度不高。

第三章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结姓名班级学号一、本章学习体会在本章的学习中，主要学习了矩阵特征值与特征向量的数值计算方法。

在本章中主要学习了幂法和反幂法，Jacobi方法，QR方法。

这几种方法各有其使用范围：幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量，与此同时由于幂法和反幂法的迭代是否收敛依赖于特征值的分布情况，因此实际使用时很不方便特别不适合于自动计算。

只有在矩阵阶数非常高，无法利用其他更有效的算法时，才用幂法和反幂法计算。

Jacobi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。

其中Jacobi方法，它每次迭代都是把按模最大的非主对角线元素a作为消元对象。

不论实对称矩阵 A的特征pq值如何分布，它总是收敛的，而且当A的阶数不太高时，收敛速度还比较快。

此外这个方法具有较强的数值稳定性，求得的结果精度一般都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好，这是其他方法不具有的。

二、本章知识梳理注：此章选了最主要的算法进行了罗列 三、本章思考题经典Jacobi 方法的优缺点：优点是：它每次迭代都是把按模最大的非主对角线元素pq a 作为消元对象。

不论实对称矩阵 A 的特征值如何分布，它总是收敛的，而且当A 的阶数不太高时，收敛速度还比较快。

此外这个方法具有较强的数值稳定性，求得的结果精度一般都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好，这是其他方法不具有的。

缺点是：不能有效的利用矩阵的各种特殊形状（例如带状或者稀疏等）以节省工作量。

这是因为它的迭代过程中一班都会破坏原来矩阵的特殊形状。

还又其他一些缺点。

例如，绝对值较小的特征值精确度差一些；由于每次迭代一次都要在非主对角线元素中寻找模数最大的元素，因为比较费时间。

四、本章测验题利用初等旋转变换T )1,2,1(=α将向量化为与()T e 0,0,11=平行的向量 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1051211000515205251⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0061056506101061065。

矩阵的特征值和特征向量的计算线性代数中对于x Ax λ=,解该方程的特征值λ和特征向量x 的方法主要是使用数值解法,本章学习另外的方法用MATLAB 来编程解某个实矩阵的特征值和特征向量. 一、幂法和反幂法 1、乘幂法幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和对应的特征向量。

（1）思想为： ,2,1,1==-k u A u k kn n X X X u ααα+++= 22110])([2111101∑=-+===ni i ki i kkk k X X u A u A u λλααλ当k 取得足够大时，特征值向量得计算公式为：111X u kk αλ≈特征值为：111111111)()()()(λαλαλ=≈++ik i k ik i k X X u u迭代格式为之一⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∈-------- ,2,1111111110k u y y A u uy u u R u k Tk k k k k k k k Tk k n βηη任取初始向量迭代格式之二⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=======------≤≤- ,2,1)sgn(),,,(max ),,,(任取初始向量)()1()()(2)(11)1(11)1(1)1()0()0(2)0(10k h h h h h y A u h u y h h h h h u k r k r k Tk n k k k k k r k k k j nj k r Tn β两种迭代格式相比较，格式一编程容易，迭代一次所需时间也短，迭代格式二迭代时间长，但它在计算过程中舍入误差的影响较格式一小。

幂法的缺点是如果矩阵A 的特征根有重根时不能用。

2、反幂法目的同乘幂法，用于计算矩阵的按模为最大的特征值和对应的特征向量。

反幂法的迭代格式为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=====∈-------- ,2,1任取初始向量111111110k u y y A u uy u u R u k T k k k k k k k k Tk k n βηη3、带原点位移的反幂法迭代格式为 ,2,1)max(11=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===--k m y u y m u A y k kkk k k k三、Jacobi 方法和QR 方法Jacobi 方法主要用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的一种方法,所以个人觉得雅克比法更为现实更为有用。

姓名 班级 学号第三章 非线性方程的数值解法一、学习体会本章主要介绍了非线性方程组的方程根的解法，求方程根的步骤，由于非线性方程组只有少数类型能解出根的解析表达式，只能用数值方法求出它的近似值。

求解非线性方程组的方法有作图法等，求根的方法有二分法、迭代法、牛顿法、割线法等。

在学习过程当中，我们要注意各种方法的特点与使用范围，针对不同场合下的非线性方程组，选择合适的方法有利于我们快速准确的得到所要求的结果。

二、知识梳理非线性方程的迭代解法1、对分法对分法的算法步骤如下：对k=0，1……，M 执行（1）计算k 2a kk x b +=； （2）()k f x ε<或者2k k b a ε-<则停止计算。

取s=k x ，否则转（3）； （3）若f(k a )f (k x )〈0，令k+1k+1k k a =b =a x ，，；若f(k a )f (k x )〉0则有k+1k+1k k a =b =b x ，，； （4）若k=M ，则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。

2、简单迭代法及其收敛性定理1：设函数()[,]x C a b ϕ∈,在(a,b)内可导,且满足两个条件:（1）当[,]x a b ∈时, ()[,]x a b ϕ∈；（2）当(,)x a b ∈时, |'()|1x L ϕ≤<, 其中L 为一常数。

则有如下结论:（1）方程=()x x ϕ在区间[,]a b 上有唯一的根s ；（2）对任取0[,]x a b ∈，简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x a b ⊂且收敛于s ；（3）成立误差估计式101|-|||1|-|||1kk k k k L s x x x L L s x x x L-≤--≤-- 定理2 设=()s s ϕ，'()x ϕ在包含s 的某个开区间内连续。

如果|'()|<1s ϕ，则存在0δ>，当0[,]x s s δδ∈-+时，由简单迭代法1=()k k x x ϕ+产生的序列{}[,]k x s s δδ⊂-+且收敛于s 。

第1章绪论--------学习小结一、本章学习体会本章是对《数值分析》这本书的简单阐述和对入门基础的介绍，其中最大的收获就要是范数和算法了。

1.范数是进入研究生以来，学的一个新的数学概念，用于定义向量或者矩阵的大小即向量或者矩阵的模，又由于其正定性，可让我们联想到计算方阵大小的行列式的绝对值即）（A。

范数的其难点：①范数是一个比较抽象的概念，我们无法通过想象确定它是某一个确定的范畴；②范数存在的现实意义，由于我们所学所指的有限，我们无从知道范数的现实意义，无法加深对其的理解；③范数用于定义向量、矩阵的大小，有时是不固定的。

在解决问题时，如何找到恰当的范数是至关重要的。

2.数值计算的算法问题用数值计算方法求解数值问题是通过具体的算法实现的。

所谓算法就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题的解得一个有限的基本运算序列。

①“良态”问题和“病态”问题：在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化δX，对应的参数误差δy也很小，则称该数学问题是良态问题；若δy很大，则称为病态问题。

病态问题中解对于数据的变化率都很大，因此数据微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化。

数学问题的性态完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求解之前就存在，与数值方法无关。

②稳定算法和不稳定算法：如果用数值方法计算时,误差在计算过程中不扩散的算法称为稳定算法。

否则称为不稳定算法。

在遇到问题是，要尽量选择稳定算法进行计算。

③数值计算应注意的问题：避免相近二数相减；避免小分母；避免大数吃小数；选用稳定的算法。

二、 本章知识梳理三、 本章思考题1.对于范数的引入：方阵行列式的绝对值是一个范数。

范数 有绪论研究对象误差算法范数研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现误差算法 来源分类模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 绝对误差相对误差设计算法五原则1.避免相近两数相减2.防止大数吃小数3.减少计算次数，差积累4.避免绝对值小的数做除数5.设法控制误差的传播向量范数矩阵范数点儿类似于方阵行列式的绝对值，是否范数的引入来源于此，如果不是，它是如何引入的呢？2.矩阵的奇异与否与其范数有何关系？3.遇到数值问题时，具体的算法该如何选择？在没有精确值的情况、两个算法都得到收敛的、稳定的结果时，该如何判断哪一个值更准确、更接近于精确值？ 四、 本章测验题已知：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123654321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=456x 试求：),2,1(x p ∞=p 以及F A A A ∞，1。

数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。

观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。

解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。

已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。