浙江省2020年高考数学第二轮复习 第2讲 填空题技法指导 文

第2讲填空题技法指导填空题是高考三大题型之一，主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查．该题型的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方式比较灵活．(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型，即要求考生填写数值、数集或数量关系，由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型，即要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等．近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题．1．直接法与定义法数学中的填空题，绝大多数都能直接利用有关定义、性质、定理、公式和一些规律性的结论，经过变形、计算得出结论．使用直接法和定义法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的变换．解题时，对概念要有合理的分析和判断；计算时，要求推理、运算的每一步骤都应正确无误，还要求将答案书写准确、完整．少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过点F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，则动圆的圆心P的轨迹方程是__________．变式训练1 已知a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j为互相垂直的单位向量，且(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝__________.2．特殊化法当题目中暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{a n}满足a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝__________.变式训练2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝__________.3．数形结合法依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解填空题，称为数形结合型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观的分析，加上简单的运算，便可得出正确的答案．曲线方程|x2－1|＝x＋k的实根随k的变化而变化，那么方程的实根的个数最多为__________．变式训练3 若方程2x－x2＝kx－2k＋2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为__________．4．构造法构造法就是通过对已知的条件和结论进行深入、细致的分析，抓住问题的本质特征，再联想与之有关的数学模型，恰当地构造辅助元素，将待证(求)问题进行等价转化，从而架起已知与未知的桥梁，使问题得以解决．构造法在函数、方程、不等式等方面有着广泛的应用，特别是与数列、三角函数、空间几何体、复数等知识密不可分．若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为__________．变式训练4 如果sin 3θ－cos 3θ＞cos θ－sin θ，且θ∈(0,2π)，那么角θ的取值范围是__________．5．等价转化法从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的或未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的或已知的问题来解决，从而得出正确的结果．已知函数f (x )＝x 3＋x －6，若不等式f (x )≤m 2－2m ＋3对于所有x ∈[－2,2]恒成立，则实数m 的取值范围是__________．变式训练5 对于任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 的值恒为负，则实数x 的取值范围为__________．参考答案方法例析【例1】x 216＋y 28＝1 解析：∵△ABF 2的周长为16， ∴4a ＝16，解得a ＝4.∵离心率e ＝22，∴c ＝22.∴b 2＝8. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1. 【例2】y 2＝－8x 解析：利用抛物线的定义，先判断出点P 的轨迹再求方程．由题意可知，点P 到直线x ＝1的距离比它到点A 的距离小1，即点P 到直线x ＝2的距离与到点A 的距离相等，所以点P 的轨迹是以A 为焦点，直线x ＝2为准线的抛物线，其方程为y 2＝－8x .【变式训练1】－2 解析：a ＋b ＝(m ＋2)i ＋(m －4)j ，a －b ＝m i －(m ＋2)j ，∵(a ＋b )⊥(a －b )，∴(a ＋b )·(a －b )＝0.∴m (m ＋2)i 2＋[－(m ＋2)2＋m (m －4)]i ·j －(m ＋2)(m －4)j 2＝0.∵i ，j 为互相垂直的单位向量，∴i ·j ＝0，i 2＝1，j 2＝1.从而可得m (m ＋2)－(m ＋2)(m －4)＝0，解得m ＝－2.【例3】n ·2n 解析：根据数列满足的关系式，进行恰当的赋值．∵a 1＝2，∴2＝f (21)＝f (2)．令x ＝2n ，y ＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n ＋1.∴f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n )2n ＋1，f (2n ＋1)2n ＋1－f (2n )2n ＝1. ∴f (2n )2n ＝f (2)2＋(n －1)×1＝n .∴a n ＝n ·2n . 【变式训练2】45解析：令a ＝3，b ＝4，c ＝5， 则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45＋01＋45×0＝45. 【例4】4 解析：如图所示，参数k 是直线y ＝x ＋k 在y 轴上的截距，通过观察直线y＝x ＋k 与y ＝|x 2－1|的公共点的变化情况，并通过计算可知，当k ＜－1时，曲线方程有0个实根；当k ＝－1时，有1个实根；当－1＜k ＜1时，有2个实根；当k ＝1时，有3个实根；当1＜k ＜54时，有4个实根；当k ＝54时，有3个实根；当k ＞54时，有2个实根．综上所述，可知实根的个数最多为4.【变式训练3】⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 解析：方程2x －x 2＝kx －2k ＋2有两个不同的实数根，就是y ＝2x －x 2与y ＝kx －2k ＋2有两个不同的交点．由y ＝2x －x 2得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，所以曲线y ＝2x －x 2是以(1,0)为圆心，以1为半径的位于x 轴上方的半圆．由y ＝kx －2k ＋2，得y－2＝k (x －2)，它是经过点P (2,2)，斜率为k 的直线．如图，连接PO ，k OP ＝2－02－0＝1.过P 作圆的切线PQ ，由|－k ＋2|1＋k 2＝1，得k PQ ＝34，所以34＜k ≤1. 【例5】2 2 解析：如图，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，令α，β，γ分别为∠BAC 1，∠C 1AD ，∠C 1AA 1，从而有tan α·tan β·tan γ＝b 2＋c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c ≥2bc ·2ac ·2ababc ＝2 2.当且仅当a ＝b ＝c 时，tan α·tan β·tan γ取最小值2 2.【变式训练4】⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 解析：不等式sin 3θ－cos 3θ＞cos θ－sin θ⇔sin 3θ＋sin θ＞cos 3θ＋cos θ.构造函数f (x )＝x 3＋x ，∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0，∴函数f (x )在R 上是增函数，故当sin θ＞cos θ时，sin 3θ＋sin θ＞cos 3θ＋cos θ成立．又θ∈(0,2π)，∴π4＜θ＜5π4.【例6】(－∞，1－2]∪[1＋2，＋∞) 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋1＞0， ∴f (x )在x ∈[－2,2]内是增函数．∴f (x )在[－2,2]上的最大值是f (2)＝4.∴m 2－2m ＋3≥4，解得m ≤1－2或m ≥1＋ 2.【变式训练5】⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 解析：对于任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即当|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立．设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2,2])．∴⎩⎪⎨⎪⎧ g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2＋2x －3>0，2x 2－2x －1<0.解得7－12＜x ＜3＋12. 即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12.。

姓名，年级：时间：专题强化训练1．(2019·宁波模拟）在△ABC 中，角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ,且错误!＋1＝错误!。

（1)求B ；（2）若cos 错误!＝错误!,求sin A 的值．解:（1）由错误!＋1＝错误!及正弦定理，得错误!＋1＝错误!, 所以sin B cos A ＋cos B sin Acos B sin A＝错误!，即错误!＝错误!，则错误!＝错误!。

因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝错误!.因为B ∈（0,π)，所以B ＝错误!. (2）因为0＜C ＜2π3， 所以错误!＜C ＋错误!＜错误!. 又cos 错误!＝错误!, 所以sin 错误!＝错误!。

所以sin A ＝sin （B ＋C )＝sin 错误! ＝sin 错误!＝sin 错误!cos 错误!＋cos 错误!sin 错误!＝错误!。

2。

如图所示，在三棱柱ABC .A 1B 1C 1中，AA 1B 1B 为正方形，BB 1C 1C 是菱形，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(1)求证：BC ∥平面AB 1C 1； (2)求证:B 1C ⊥AC 1;(3）设点E ,F ，H ,G 分别是B 1C ，AA 1，A 1B 1，B 1C 1的中点，试判断E ,F ，H ，G 四点是否共面，并说明理由．解：(1）证明：在菱形BB 1C 1C 中，BC ∥B 1C 1. 因为BC ⊄平面AB 1C 1,B 1C 1⊂平面AB 1C 1， 所以BC ∥平面AB 1C 1.（2）证明：连接BC 1。

在正方形ABB 1A 1中,AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C 。

因为B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1C . 在菱形BB 1C 1C 中,BC 1⊥B 1C .因为BC 1⊂平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，BC 1∩AB ＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1.因为AC 1⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥AC 1. （3)E ,F ,H ,G 四点不共面. 理由如下: 因为E ，G 分别是B 1C ，B 1C 1的中点， 所以GE ∥CC 1。

填空题的特征：填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则：解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．【方法要点展示】方法一直接法：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1【2015高考湖南】已知32,(),x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .思路分析：本题是一道函数的零点问题，可转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，解不等式可求出参数的取值范围.【答案】),1()0,(+∞-∞.无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ . 点评：本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.例2【2015高考山东】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .思路分析：本题求出双曲线的渐进线方程，与抛物线结合可得A 点坐标，利用垂心可得1OB AF k k ⋅=-，从而建立等式，可求出双曲线的离心率. 【答案】32点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.【举一反三】1. 【2015高考天津】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】82. 【2015江苏高考】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例3【如东中学2015届高三周练】若函数12()21x x m f x ++=-是奇函数，则m = .思路分析：根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出m 的值. 解析：显然)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，∴令1,1x x ==-，则021122(1)(1)02121m m f f -++-+=+=--， 则2m =.点评： 特例法的巧妙运用，能大大减少一些复杂的运算．【举一反三】1.如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→·AC→＝________.【答案】18【解析】把平行四边形ABCD看成正方形，则P点为对角线的交点，AC＝6，则AP→·AC→＝18.方法三数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例1【2015高考新课标1】在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是.思路分析：本题是一道解三角形题，作出图像，结合图像利用正弦定理可得AB的取值范围．）【答案】点评：本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.【举一反三】1. 【2015高考天津】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ== 则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918B A方法四 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 例5【江西省五校2015届高三第二次联考】D C B A ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形,AD ⊥平面ABC ，4=AD ，32=AB ,则该球的表面积为_________. 思路分析：本题是一道几何体的结合问题，由所给三棱锥的特征，不难想到是正三棱柱的一部分，而球与正三棱柱的组合是立几考查中常考常新的问题．解析：由题意画出几何体的图形如图，把D C B A ,,,扩展为三棱柱，上下底面的中心连线的中点与A 距离为球的半径，4=AD ，32=AB ，ABC ∆是正三角形，所以22,2==AO AE ，所以球的表面积()ππ322242=.点评：简单几何体与球的组合问题是高考中最常见的问题．通常情况下要去转化构造成常考的、熟悉的做法.【举一反三】1. 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【答案】a >b >c方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例6【2015届安徽省蚌埠三中月考卷】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n n＋12＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n ………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________. 思路分析：本题中如何求出N(n，k)是解题的一个关键，也是一个难点，观察所给条件不难发现运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解．点评：归纳推理法在填空题中的运用不是十分严格的，但在本题中不失是一种行之有效的方法，如在解答题中运用是要加以证明的．【举一反三】1. 【2015高考陕西】观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+ 1－1111111123456456+-+-=++ …………据此规律，第n 个等式可为______________________. 【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++.故答案为111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++。

第2讲 计数原理、概率1．(2019·余姚中学模拟)浙江新高考方案正式实施，一名同学要从物理、化学、生物、政治、地理、历史、技术七门功课中选取三门功课作为自己的选考科目，假设每门功课被选到的概率相等，则该同学选到物理、地理两门功课的概率为( ) A.17 B.110 C.320 D.310答案 A解析 由题意可知总共情况为C 37＝35，满足情况为C 15C 22＝5，所以该同学选到物理、地理两门功课的概率为P ＝535＝17.2．随机变量X 的分布列如下表所示，则D (X )等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由题意，14＋a ＋14＝1，∴a ＝12，∴E (X )＝ 0×14＋2×12＋4×14＝2，∴D (X )＝(0－2)2×14＋(2－2)2×12＋(4－2)2×14＝2，故选B.3．将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是( ) A.536 B.14 C.23 D.15答案 A解析 基本事件总数为6×6＝36，点数之和是6的情况包括()1，5，()2，4，()3，3，()4，2，()5，1共5种情况，则所求概率是536. 4．在一个箱子中装有大小形状完全相同的4个白球和3个黑球，现从中有放回的摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则( ) A ．E (X )>E (Y )，D (X )>D (Y ) B ．E (X )＝E (Y )，D (X )>D (Y ) C ．E (X )>E (Y )，D (X )＝D (Y ) D ．E (X )＝E (Y )，D (X )＝D (Y ) 答案 C解析 由题意得X ～B ⎝⎛⎭⎫5，47，Y ～B ⎝⎛⎭⎫5，37， 则E (X )＝5×47＝207，E (Y )＝5×37＝157，D (X )＝5×47×⎝⎛⎭⎫1－47＝6049， D (Y )＝5×37×⎝⎛⎭⎫1－37＝6049， 所以E (X )>E (Y )，D (X )＝D (Y )，故选C.5．(2019·浙江)设0＜a ＜1.随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，( ) A ．D (X )增大 B ．D (X )减小 C ．D (X )先增大后减小 D ．D (X )先减小后增大 答案 D解析 由题意可知，E (X )＝13(a ＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝6a 2－6a ＋627＝29⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．6．若⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是( ) A ．－462 B ．462 C ．792 D ．－792答案 D解析 ∵⎝⎛⎭⎫x －1x n 的展开式中只有第7项的二项式系数最大， ∴n 为偶数，展开式共有13项，则n ＝12.⎝⎛⎭⎫x －1x 12的展开式的通项公式为T k ＋1＝(－1)k C k 12x12－2k ，令12－2k ＝2，即k ＝5. ∴展开式中含x 2项的系数是(－1)5C 512＝－792. 故选D.7．(2018·浙江)设0<p <1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，( ) A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大 C ．D (ξ)先减小后增大 D ．D (ξ)先增大后减小 答案 D解析 由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，D (ξ)＝⎣⎡⎦⎤0－⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫p ＋122×12＋⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫p ＋122×p 2 ＝⎝⎛⎭⎫p ＋122×1－p 2＋⎝⎛⎭⎫p －122×12＋⎝⎛⎭⎫32－p 2×p 2＝12⎝⎛⎭⎫p ＋122＋12⎝⎛⎭⎫p －122－p2⎝⎛⎭⎫p ＋122＋ p 2⎝⎛⎭⎫32－p 2＝12⎝⎛⎭⎫2p 2＋12－p 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫p ＋122－⎝⎛⎭⎫p －322 ＝p 2＋14－p (2p －1)＝－p 2＋p ＋14＝－⎝⎛⎭⎫p －122＋12， ∴D (ξ)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小． 故选D.8．已知5辆不同的白颜色汽车和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有( ) A ．1 880种 B ．1 440种 C ．720种 D ．256种答案 B解析 由题意知，白颜色汽车按3,2分两组，先从5辆白色汽车中选3辆全排列共A 35种排法，再将剩余2辆白色汽车全排列共A 22种排法，再将这两个整体全排列，共A 22种排法，排完后有3个空，3辆不同的红颜色汽车插空共A 33种排法，由分步乘法计数原理得共A 35A 22A 22A 33＝1440(种)． 故选B.9．条件p ：将1,2,3,4四个数字随机填入下图四个方格中，每个方格填一个数字，但数字可以重复使用，记方格A 中的数字为x 1，方格B 中的数字为x 2.命题1：若p ，则E (2x 1)＝2E (x 1)，且E (x 1＋x 2)＝E (x 1)＋E (x 2)；命题2：若p ，则D (2x 1)＝4D (x 1)，且D (x 1＋x 2)＝D (x 1)＋D (x 2)．则( ) A ．命题1是真命题，命题2是假命题 B ．命题1和命题2都是假命题 C ．命题1是假命题，命题2是真命题 D ．命题1和命题2都是真命题 答案 D解析 由期望公式性质E (2x 1)＝2E (x 1)，D (2x 1)＝4D (x 1)，此两个结论正确，根据公式可求得E (x 1)＝E (x 2)＝52，D (x 1)＝D (x 2)＝54，E (x 1＋x 2)＝5＝E (x 1)＋E (x 2)，D (x 1＋x 2)＝52＝D (x 1)＋D (x 2)，故答案选D.10．从3,4,5,6这四个数字中，随机抽取两至四个数字，组成有重复数字的五位数，其中数字3恰好出现2次的偶数共有( ) A ．48个 B ．72个 C ．90个 D ．108个答案 D解析 当取出两个数字时，则五位数只能由两个3、三个4或两个3、三个6组成，此时满足条件的五位数共有2×A 44A 22A 22＝12(个)；当取出三个数字时，若取出的数字为3,4,5，当五位数由两个3、两个4、一个5组成时，此时满足条件的五位数共有A 44A 22＝12(个)，当五位数由两个3、一个4，两个5组成时，此时满足条件的五位数共有A 44A 22A 22＝6(个)，同理，若取出的数字为3,5,6时，此时满足条件的五位数共有12＋6＝18(个)；当取出的数字为3,4,6时，此时满足条件的五位数共有2×C 13A 44A 22A 22＝36(个)；当取出四个数字时，则五位数由两个3、一个4、一个5、一个6组成，此时满足条件的五位数共有C 12A 44A 22＝24(个)．综上所述，数字3恰好出现2次的偶数共有12＋12＋6＋18＋36＋24＝108(个)，故选D.11．(2018·浙江)二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋12x 8的展开式的常数项是 ．答案 7解析 由题意，得T k ＋1＝C k 8·(3x )8－k ·⎝⎛⎭⎫12x k＝C k 8·⎝⎛⎭⎫12k ·83kx -·x －k ＝C k 8·⎝⎛⎭⎫12k ·843kx -.令8－4k3＝0，得k ＝2. 因此T 3＝C 28×⎝⎛⎭⎫122＝8×72×14＝7. 12．(2018·浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数．(用数字作答) 答案 1 260解析 不含有0的四位数有C 25×C 23×A 44＝720(个)． 含有0的四位数有C 25×C 13×C 13×A 33＝540(个)．综上，四位数的个数为720＋540＝1 260. 13．(2019·浙江三校联考)已知二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n的展开式中，第5项是常数项，则n ＝ ，二项式系数最大的项的系数是 ． 答案 6 160 解析 二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋1x n展开式的通项为 T k ＋1＝C k n (2x )n －k ⎝⎛⎭⎫1x k＝2n －k C k n32n k x -， 因为第5项是常数项， 所以n －32×4＝0，即n ＝6.当k ＝3时，二项式系数C 36最大，故二项式系数最大的项的系数是23·C 36＝160.14．(2019·金华十校模拟)5位同学分成3组，参加3个不同的志愿者活动，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，则不同的分配方案有 种．(用数字作答) 答案 114解析 根据题意，分2步进行分析：①将5位同学分成3组，要求甲、乙2人不能分在同一组，若分成1,2,2的三组，有C 15C 24C 22A 22＝15(种)，其中甲、乙分在同一组的情况有C 23＝3(种)， 此时有15－3＝12(种)分组方法；若分成3,1,1的三组，有C 35C 12C 11A 22＝10(种)，其中甲、乙分在同一组的情况有C 13＝3(种)， 此时有10－3＝7(种)分组方法； 则符合题意的分法有12＋7＝19(种)；②将分好的3组全排列，对应3个不同的志愿者活动，有A 33＝6(种)情况， 则有19×6＝114(种)不同的分配方案．15．某袋中装有大小相同质地均匀的5个球，其中3个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X ，则P (X >0)＝ ，E (X )＝ . 答案710 45解析 由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2， 因为P (X ＝0)＝C 23C 25＝310，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 22C 25＝110，所以P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝35＋110＝710，E (X )＝0×310＋1×35＋2×110＝45.16．(2019·金华十校模拟)已知(2＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋…＋a 8＝ ，a 3＝ . 答案 －5 －476解析 因为(2＋x )(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝(2＋1)(1－2×1)7＝－3， 令x ＝0得a 0＝2，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝－5，由(1－2x )7展开式的通项为T k ＋1＝C k 7(－2)k x k， 则a 3＝2×C 37(－2)3＋C 27(－2)2＝－476. 17．以正六边形的各边向上作六个正三角形，使得各正三角形所在的面垂直六边形所在的面，则这18条边所在的直线形成 对异面直线．答案78解析由题意得这18条边所在的直线形成的异面直线的对数等于在这18条边所在的直线中选取两条，使得这两条直线为异面直线的不同选法种数．当选出的两条直线都在底面正六边形内时，则它们一定为共面直线，不符合题意；当选出的两条直线一条在底面正六边形内，一条为正六边形上方的直线时，任意选取正六边形上方的一条直线，在六边形内不与其相交的直线都与其异面，此时有C112C14种选法；当选出的两条直线都为正六边形上方的直线时，任取一条直线，不妨以直线AM为例，不与其共面的直线有BN，CO，DP，EQ，FR，共5条，则此时有C112C152种选法，所以不同的选法种数共有C112C14＋C112C152＝78，即这18条边所在的直线形成78对异面直线．。

高考解答题的审题与答题示范(二)数列类解答题[思维流程]——数列问题重在“归”——化归[审题方法]——审结构结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．典例(本题满分12分)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *).审题路线(1)要求{a n }和{b n }的通项公式⇒需求{a n }的首项a 1和公差d ；{b n }的首项b 1和公比q .(2)由(1)知a 2n b 2n －1＝(3n －1)4n ⇒分析a 2n b 2n －1的结构：{3n －1}是等差数列，{4n }是等比数列⇒符合错位相减法求和的特点.标准答案阅卷现场(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0.①又因为q ＞0，解得q ＝2，所以b n ＝2n .②由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8(ⅰ)化归成基本量.由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16(ⅱ).联立(ⅰ)(ⅱ)，解得a 1＝1，d ＝3，③由此可得a n ＝3n －2.④所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n .(2)设数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b 2n －1＝2×4n －1，得a 2nb 2n －1＝(3n －1)×4n ，⑤故T n＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n ，(*)⑥4T n ＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n －4)×4n ＋(3n －1)×4n ＋1，(**)⑦(*)－(**)得－3T n ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n 化归成等比数列－(3n －1)×4n ＋1＝－(3n －2)×4n ＋1－8.⑧得T n ＝×4n ＋1＋.⑨3n －2383所以数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和为×4n ＋1＋.3n －2383第(1)问第(2)问①②③④⑤⑥⑦⑧⑨212111121得分点6分6分第(1)问踩点得分说明①正确求出q 2＋q －6＝0得2分；②根据等比数列的通项公式求出通项公式b n ＝2n 得1分，通项公式使用错误不得分；③求出a 1＝1，d ＝3得2分；④根据等差数列的通项公式求出通项公式a n ＝3n －2得1分，通项公式使用错误不得分.第(2)问踩点得分说明⑤正确写出a 2n b 2n －1＝(3n －1)×4n 得1分；⑥正确写出T n ＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n －1)×4n 得1分；⑦正确写出4T n 得1分；⑧由两式相减得出－3T n ＝－(3n －2)×4n ＋1－8正确得2分，错误不得分；⑨正确计算出T n ＝×4n ＋1＋得1分.3n －2383。

第2讲 解答题审题技巧方法概述审题是解题的第一步，细致深入的审题是解题成功的必要前提．审题即审清题意，通常它包含三个环节，即解题前对已知与未知事项的初步分析与观察(通常意义下的审题)，解题过程中对题意的进一步分析，以及解题后的检验与反思．其具体内容是：已知什么？结论是什么？隐含什么？需做什么？得出什么？注意什么？等等；明确这些是正确解题的关键，下面浅谈一下如何学会审题．一 审条件条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．[典型例题]设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围．[审题路线图]f (x )在(1，＋∞)上递减→f ′(x )<0→a 的范围；求g ′(x )→g (x )在(1，＋∞)上有最小值→a 的范围→结果． [规范解答] 令f ′(x )＝1x －a ＝1－axx＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0， 进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数． 同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1. 令g ′(x )＝e x－a ＝0，得x ＝ln a . 当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0； 当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0. 又g (x )在(1，＋∞)上有最小值， 所以ln a ＞1，即a ＞e. 综上可知，a ∈(e ，＋∞)．二 审结论问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．[典型例题](2019·杭州模拟)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2，BC ＝3.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ； (2)求四棱锥B ­AA 1C 1D 的体积． [审题路线图](1)要证AB 1∥平面BC 1D →只需证AB 1与平面BC 1D 内的一条直线平行即可→只需连接B 1C 交BC 1于点O ，则DO 为所需直线．(2)求B ­AA 1C 1D 的体积→求底面积和高→底面AA 1C 1D 为直角梯形，图中无高→应用底面和侧面垂直作高．[规范解答] (1)证明：如图，连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD .因为四边形BCC 1B 1是平行四边形， 所以点O 为B 1C 的中点． 因为D 为AC 的中点，所以OD 为△AB 1C 的中位线，所以OD ∥AB 1， 因为OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， 所以AB 1∥平面BC 1D .(2)因为AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， 作BE ⊥AC ，垂足为E ， 则BE ⊥平面AA 1C 1C .在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，BE ＝AB ·BC AC ＝613，所以四棱锥B ­AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·AA 1·BE ＝16×3213×2×613＝3.三 审结构结构是数学问题的搭配形式，某些问题在已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．[典型例题](2019·台州调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． [审题路线图](1)条件边、角共存，而结论求边→将角的余弦化为边→求出a ，c . (2)条件→求出角A 的三角函数→sin(A －B )的值． [规范解答] (1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.四 审范围范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件．审视范围要适时利用相关量的约束范围，从整体上把握问题的解决方向．[典型例题]在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，求cos C 的值．[审题路线图]⎭⎪⎬⎪⎫sin A ＝513<12→0<A <π6或5π6<A <πcos B ＝35<22→B >π4→0<A <π6. [规范解答] 在△ABC 中，sin A ＝513<12，cos B ＝35<22，所以0<A <π6或56π<A <π，B >π4，所以0<A <π6，所以cos A ＝1213，sin B ＝45，所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－1665.五 审图形图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴涵的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键. 对图形或者图象的独特理解很多时候能成为解决问题的亮点．[典型例题]如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，判断直线EF与正方体的六个面所在的平面中的几个相交？[审题路线图]图形→理解AB 和CD 平行→EF 与左右侧面平行→结论．[规范解答] 取CD 的中点H ，连接EH 、FH (图略)．在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，EH ∩HF ＝H ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交．六 审图表、数据题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．[典型例题]为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药，B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.32.43.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.60.51.80.62.11.12.51.22.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？ (2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？[审题路线图](1)数据→A 、B 两种药20位患者日平均增加睡眠时间→比较平均数→结论． (2)数据→完成茎叶图→识图→结论．[规范解答] (1)设A 药观测数据的平均数为x －，B 药观测数据的平均数为y －. 由观测结果可得 x －＝120(0.6＋1.2＋1.2＋1.5＋1.5＋1.8＋2.2＋2.3＋2.3＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2.8＋2.9＋3.0＋3.1＋3.2＋3.5)＝2.3， y －＝120(0.5＋0.5＋0.6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1.6＋1.7＋1.8＋1.9＋2.1＋2.4＋2.5＋2.6＋2.7＋3.2)＝1.6.由以上计算结果可得x －>y －，因此可以看出A 药的疗效更好． (2)由观测结果可绘制茎叶图如图：从以上茎叶图可以看出，A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“2.”“3.”上，而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎“0.”“1.”上，由此可以看出A 药的疗效更好．七 审方法方法是解题的手段，数学思想方法是问题的主线．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．[典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，求满足条件的实数a 的所有值．[审题路线图]设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x →PA 2关于x 的函数――→换元法PA 2关于新元t 的函数――→分类讨论表示最值→a 的值．[规范解答] 依题意可设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，1x (x >0)，则PA 2＝(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2.令x ＋1x＝t ，则t ≥2且PA 2＝t 2－2－2at ＋2a 2＝(t －a )2＋a 2－2.若a ≥2，则当t ＝a 时，PA 2取最小值a 2－2， 令a 2－2＝(22)2，解得a ＝10(a ＝－10舍去)；若a <2，则当t ＝2时，PA 2取最小值2a 2－4a ＋2， 令2a 2－4a ＋2＝(22)2， 解得a ＝－1(a ＝3舍去)．综上得，满足条件的所有a 的值为－1和10. 审 题 归 纳(1)审题要慢、答题要快．审题速度不宜太快，而且最好采取二次读题的方法，第一次为泛读，大致了解题目的条件和要求；第二次为精读，根据要求找出题目的关键词语并挖掘题目的隐含条件．(2)要善于变换．当明确已知条件和求解对象后，如果尚不能生发解题思路，必须变换已知条件或结论的形式，使它们产生有机的联系．(3)要善于联想．联想是接通思路的桥梁，如果我们在审题中无法套用现成解题模式，必须进行广泛的联想．(4)要善于挖掘隐含条件．审题的一个关键在于：发现题材中的“机关”——题目中的一些隐含条件，往往是该题“价值”之所在，也是我们失分的“隐患”．(5)要善于启动逆向与创新思维．当解一个数学问题的思维受阻时，适当改变思维角度，适时启动逆向思维与创新思维，往往能跳出常规思维的框框，突破思维障碍．专题强化训练1．(2019·宁波模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2ca .(1)求B ；(2)若cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值．解：(1)由tan B tan A ＋1＝2c a 及正弦定理，得sin B cos A cos B sin A ＋1＝2sin Csin A ，所以sin B cos A ＋cos B sin A cos B sin A ＝2sin Csin A ，即sin （A ＋B ）cos B sin A ＝2sin C sin A ，则sin C cos B sin A ＝2sin C sin A.因为在△ABC 中，sin A ≠0，sin C ≠0， 所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)因为0＜C ＜2π3，所以π6＜C ＋π6＜5π6.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝223.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6sin π6＝26＋16.2.如图所示，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AA 1B 1B 为正方形，BB 1C 1C 是菱形，平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C .(1)求证：BC ∥平面AB 1C 1；(2)求证：B 1C ⊥AC 1；(3)设点E ，F ，H ，G 分别是B 1C ，AA 1，A 1B 1，B 1C 1的中点，试判断E ，F ，H ，G 四点是否共面，并说明理由．解：(1)证明：在菱形BB 1C 1C 中，BC ∥B 1C 1. 因为BC ⊄平面AB 1C 1，B 1C 1⊂平面AB 1C 1， 所以BC ∥平面AB 1C 1. (2)证明：连接BC 1. 在正方形ABB 1A 1中，AB ⊥BB 1.因为平面AA 1B 1B ⊥平面BB 1C 1C ，平面AA 1B 1B ∩平面BB 1C 1C ＝BB 1，AB ⊂平面ABB 1A 1， 所以AB ⊥平面BB 1C 1C .因为B 1C ⊂平面BB 1C 1C ，所以AB ⊥B 1C . 在菱形BB 1C 1C 中，BC 1⊥B 1C .因为BC 1⊂平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，BC 1∩AB ＝B ， 所以B 1C ⊥平面ABC 1.因为AC 1⊂平面ABC 1，所以B 1C ⊥AC 1. (3)E ，F ，H ，G 四点不共面. 理由如下： 因为E ，G 分别是B 1C ，B 1C 1的中点， 所以GE ∥CC 1. 同理可证：GH ∥C 1A 1.因为GE ⊂平面EHG ，GH ⊂平面EHG ，GE ∩GH ＝G ，CC 1⊂平面AA 1C 1C ，A 1C 1⊂平面AA 1C 1C ，所以平面EHG ∥平面AA 1C 1C . 因为F ∈平面AA 1C 1C ， 所以F ∉平面EHG ， 即E ，F ，H ，G 四点不共面．3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，32，右焦点为F ，点N (2，0)．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动弦AB 与x 轴垂直，求证：直线AF 与直线BN 的交点M 仍在椭圆E 上． 解：(1)因为e ＝22，所以a ＝2c ，b ＝c ， 即椭圆E 的方程可以设为x 22b 2＋y 2b2＝1.将点P 的坐标代入得：b 2＝14＋34＝1，所以，椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：右焦点为F (1，0)，设A (x 0，y 0)， 由题意得B (x 0，－y 0)． 所以直线AF 的方程为：y ＝y 0x 0－1(x －1)，①直线BN 的方程为：y ＝－y 0x 0－2(x －2)，② ①②联立得，y 0x 0－1(x －1)＝－y 0x 0－2(x －2)， 即x ＝3x 0－42x 0－3，再代入①得，y ＝y 0x 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－42x 0－3－1， 即y ＝y 02x 0－3.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－42x 0－3，y 02x 0－3.又因为x 2M2＋y 2M＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－42x 0－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02x 0－32 ＝（3x 0－4）2＋2y 202（2x 0－3）2，③ 将y 20＝1－x 202代入③得，x 2M2＋y 2M ＝（3x 0－4）2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2022（2x 0－3）2＝8x 20－24x 0＋182（2x 0－3）2 ＝2（2x 0－3）22（2x 0－3）2＝1. 所以点M 在椭圆E 上．4．(2019·杭州模拟)已知函数f (x )＝exx.(1)若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为ax －y ＝0，求x 0的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )＞x ；(3)设函数F (x )＝f (x )－bx (x ＞0)，其中b 为实常数，试讨论函数F (x )的零点个数，并证明你的结论．解：(1)f ′(x )＝e xx －exx2. 因为切线ax －y ＝0过原点(0，0)，所以e x0x 0－e x0x 20＝ex 0x 0x 0，解得：x 0＝2. (2)证明：设g (x )＝f （x ）x ＝e x x2(x ＞0)，则g ′(x )＝e x（x 2－2x ）x 4. 令g ′(x )＝e x （x 2－2x ）x4＝0，解得x ＝2. x 在(0，＋∞)上变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：所以当x ＝2时，g (x )取得最小值4.所以当x ＞0时，g (x )≥e24＞1，即f (x )＞x .(3)F (x )＝0等价于f (x )－bx ＝0，等价于exx2－b ＝0.注意x ≠0.令H (x )＝e xx 2－b ，所以H ′(x )＝e x（x －2）x3(x ≠0)． ①当b ≤0时，H (x )＞0 ，所以H (x )无零点，即F (x )在定义域内无零点． ②当b ＞0时，当0＜x ＜2时，H ′(x )＜0，H (x )单调递减； 当x ＞2时，H ′(x )＞0，H (x )单调递增．所以当x ＝2时，H (x )有极小值也是最小值，H (2)＝e24－b .当H (2)＝e 24－b ＞0，即0＜b ＜e24时，H (x )在(0，＋∞)上不存在零点；当H (2)＝e 24－b ＝0，即b ＝e24时，H (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点2；当H (2)＝e 24－b ＜0，即b ＞e 24时，由e 1b ＞1有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＝b e 1b －b ＝b (e 1b －1)＞0，而H (2)＜0，所以H (x )在(0，2)上存在唯一零点； 又因为2b ＞3，H (2b )＝e 2b4b 2－b ＝e 2b－4b34b2. 令h (t )＝e t －12t 3，其中t ＝2b ＞2，h ′(t )＝e t－32t 2，h ″(t )＝e t －3t ，h(t )＝e t－3，所以h (t )＞e 2－3＞0，因此h ″(t )在(2，＋∞)上单调递增，从而h ″(t )＞h ″(2)＝e 2－6＞0，所以h ′(t )在(2，＋∞)上单调递增，因此h ′(t )＞h ′(2)＝e 2－6＞0， 故h (t )在(2，＋∞)上单调递增，所以h (t )＞h (2)＝e 2－4＞0.由上得H (2b )＞0，由零点存在定理知，H (x )在(2，2b )上存在唯一零点，即在(2，＋∞)上存在唯一零点．综上所述：当b ＜e24时，函数F (x )的零点个数为0；当b ＝e24时，函数F (x )的零点个数为1；当b ＞e24时，函数F (x )的零点个数为2.5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，2a n ＋1＝2a n ＋p (p 为常数，n ＝1，2，3，…)． (1)若S 3＝12，求S n ；(2)若数列{a n }是等比数列，求实数p 的值．(3)是否存在实数p ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为a 1＝1，2a n ＋1＝2a n ＋p ，所以2a 2＝2a 1＋p ＝2＋p ，2a 3＝2a 2＋p ＝2＋2p . 因为S 3＝12，所以2＋2＋p ＋2＋2p ＝6＋3p ＝24，即p ＝6. 所以a n ＋1－a n ＝3(n ＝1，2，3，…)．所以数列{a n }是以1为首项，3为公差的等差数列． 所以S n ＝1×n ＋n （n －1）2×3＝3n 2－n 2.(2)若数列{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3.由(1)可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 22＝1×(1＋p )．解得p ＝0. 当p ＝0时，由2a n ＋1＝2a n ＋p ，得：a n ＋1＝a n ＝…＝1. 显然，数列{a n }是以1为首项，1为公比的等比数列． 所以p ＝0.(3)当p ＝0时，由(2)知：a n ＝1(n ＝1，2，3，…)． 所以1a n＝1(n ＝1，2，3，…)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 就是一个无穷等差数列．所以当p ＝0时，可以得到满足题意的等差数列． 当p ≠0时，因为a 1＝1，2a n ＋1＝2a n ＋p ，即a n ＋1－a n ＝p2，所以数列{a n }是以1为首项，p2为公差的等差数列．所以a n ＝p 2n ＋1－p2.下面用反证法证明：当p ≠0时，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中不能取出无限多项并按原来次序排列成等差数列．假设存在p 0≠0，从数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 中可以取得满足题意的无穷等差数列，不妨记为{b n }．设数列{b n }的公差为d .①当p 0＞0时，a n ＞0(n ＝1，2，3，…)． 所以数列{b n }是各项均为正数的递减数列． 所以d ＜0.因为b n ＝b 1＋(n －1)d (n ＝1，2，3，…)，所以当n ＞1－b 1d 时，b n ＝b 1＋(n －1)d ＜b 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－b 1d－1d ＝0，这与b n ＞0矛盾．②当p 0＜0时，令p 02n ＋1－p 02＜0，解得：n ＞1－2p 0.所以当n ＞1－2p 0时，a n ＜0恒成立．所以数列{b n }必然是各项均为负数的递增数列． 所以d ＞0.因为b n ＝b 1＋(n －1)d (n ＝1，2，3，…)，所以当n ＞1－b 1d 时，b n ＝b 1＋(n －1)d ＞b 1＋⎝⎛⎭⎪⎫1－b 1d－1d ＝0，这与b n ＜0矛盾．综上所述，p ＝0是唯一满足条件的p 的值．。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程[核心提炼]1．圆锥曲线的定义、标准方程 名称 椭圆双曲线 抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M 标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2＝2px (p >0)所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[典型例题](1)(2019·杭州市高考二模)设倾斜角为α的直线l 经过抛物线Г：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线Г交于A ，B 两点，设点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方．若|AF ||BF |＝m ，则cos α的值为( )A.m －1m ＋1 B.mm ＋1C.m －1mD .2mm ＋1(2)椭圆x 24＋y 2＝1上到点C (1，0)的距离最小的点P 的坐标为________．(3)(2019·高考浙江卷)已知椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是________．【解析】 (1)设抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为l ：x ＝－p2.如图所示，分别过点A ，B 作AM ⊥l ，BN ⊥l ，垂足分别为M ，N .在三角形ABC 中，∠BAC 等于直线AB 的倾斜角α， 由|AF ||BF |＝m ，|AF |＝m |BF |，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(m ＋1)|BF |， 根据抛物线的定义得：|AM |＝|AF |＝m |BF |，|BN |＝|BF |， 所以|AC |＝|AM |－|MC |＝m |BF |－|BF |＝(m －1)|BF |，在直角三角形ABC 中，cos α＝cos ∠BAC ＝|AC ||AB |＝（m －1）|BF |（m ＋1）|BF |＝m －1m ＋1，故选A.(2)设点P (x ，y )，则|PC |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24 ＝34x 2－2x ＋2＝34⎝⎛⎭⎪⎫x －432＋23.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝43时，|PC |min ＝63，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53.(3)通解：依题意，设点P (m ，n )(n >0)，由题意知F (－2，0)，所以线段FP 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋m 2，n 2在圆x 2＋y 2＝4上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 22＝4，又点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 25＝1上，所以m 29＋n 25＝1，所以4m 2－36m －63＝0，所以m ＝－32或m ＝212(舍去)，n ＝152，所以k PF ＝152－0－32－（－2）＝15.优解：如图，取PF 的中点M ，连接OM ，由题意知|OM |＝|OF |＝2，设椭圆的右焦点为F 1，连接PF 1.在△PFF 1中，OM 为中位线，所以|PF 1|＝4，由椭圆的定义知|PF |＋|PF 1|＝6，所以|PF |＝2，因为M 为PF 的中点，所以|MF |＝1.在等腰三角形OMF 中，过O 作OH ⊥MF 于点H ，所以|OH |＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝152，所以k PF ＝tan ∠HFO ＝15212＝15.【答案】 (1)A (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53或⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－53 (3)15(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[对点训练]1．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆上，且点(－1，0)到直线PF 2的距离为455，其中点P (－1，－4)，则椭圆的标准方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C ．x 2＋y 22＝1D.x 22＋y 2＝1 解析：选D.设F 2的坐标为(c ，0)(c >0)，则kPF 2＝4c ＋1，故直线PF 2的方程为y ＝4c ＋1(x －c )，即4c ＋1x －y －4cc ＋1＝0，点(－1，0)到直线PF 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4c ＋1－4c c ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＋1＝455，即⎝ ⎛⎭⎪⎫4c ＋12＝4，解得c ＝1或c ＝－3(舍去)，所以a 2－b 2＝1.①又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆E 上， 所以1a 2＋12b 2＝1，② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.故选D.2．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．解析：因为右焦点到渐近线的距离为b ，若右焦点到渐近线的距离等于焦距的34倍， 所以b ＝34·2c ＝32c ， 平方得b 2＝34c 2＝c 2－a 2，即a 2＝14c 2，则c ＝2a ，则离心率e ＝c a＝2，因为双曲线上存在一点P 到双曲线的左右焦点的距离之差为4， 所以2a ＝4，则a ＝2， 从而b ＝16－4＝2 3. 答案：2 4 3圆锥曲线的几何性质[核心提炼]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系(1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．2 (2)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2【解析】 (1)因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝ 2.故选C.(2)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.【答案】 (1)C (2)D圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[对点训练]1．(2019·绍兴诸暨高考二模)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2＝60°，则此双曲线的离心率等于( )A ．23－2 B.3＋12C.3＋1D ．23＋2解析：选C.设双曲线的焦距长为2c ，因为点P 为双曲线上一点，且∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°， 所以P 在右支上，∠F 2PF 1＝90°， 即PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝2c sin 60°＝3c ， |PF 2|＝2c cos 60°＝c ，所以由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝(3－1)c ＝2a ， 所以e ＝c a＝23－1＝3＋1.故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，－32c ， 代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e 2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1， 则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.直线与圆锥曲线 [核心提炼]1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A ≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2. 考向1 位置关系的判断[典型例题]在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px ，整理得px2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t2p .因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点． 理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．考向2 弦长问题[典型例题]已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10【解析】 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝2＋4k 2＋2＝4＋4k2.同理得|DE |＝4＋4k 2，所以|AB |＋|DE |＝4＋4k2＋4＋4k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋k 2≥8＋8＝16，当且仅当1k2＝k 2，即k ＝±1时取等号，故|AB |＋|DE |的最小值为16，故选A.【答案】 A考向3 分点(中点)问题[典型例题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且经过点P (2，53)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 经过M (0，1)，且与C 交于A ，B 两点，MA →＝－23MB →，求l 的方程．【解】 (1)依题意知，2c ＝4，则椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝（2＋2）2＋（53）2＋（2－2）2＋（53）2＝6，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.(2)当l 的斜率不存在时，l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝0，A ，B 为椭圆短轴上的两点，不符合题意．当l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 25＝1，y ＝kx ＋1，得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－18k 9k 2＋5，x 1·x 2＝－369k 2＋5，由MA →＝－23MB →得，(x 1，y 1－1)＝－23(x 2，y 2－1)，则x 1＝－23x 2，所以13x 2＝－18k 9k 2＋5，－23x 22＝－369k 2＋5，所以(－54k 9k 2＋5)2＝549k 2＋5，解得k ＝±13，故直线l 的方程为y ＝±13x ＋1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解．[对点训练]1．(2018·高考浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2 PB →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2.答案：52．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若a b －a ＝－2a a ＋b ，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 1专题强化训练1．(2018·高考浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2，0)，(2，0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0，2)解析：选B.由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为c 2＝a 2＋b 2＝3＋1＝4，所以c ＝2，故焦点坐标为(－2，0)，(2，0)．故选B.2．已知圆M ：(x －1)2＋y 2＝38，椭圆C ：x 23＋y 2＝1，若直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与圆M 相切于点P ，且P 为AB 的中点，则这样的直线l 有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条解析：选C.当直线AB 斜率不存在时且与圆M 相切时，P 在x 轴上，故满足条件的直线有2条；当直线AB 斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)， 由x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1，两式相减，整理得：y 1－y 2x 1－x 2＝－13·x 1＋x 2y 1＋y 2， 则k AB ＝－x 03y 0，k MP ＝y 0x 0－1，k MP ·k AB ＝－1，k MP ·k AB ＝－x 03y 0·y 0x 0－1＝－1，解得x 0＝32， 由32<3，可得P 在椭圆内部， 则这样的P 点有2个，即直线AB 斜率存在时，也有2条． 综上可得，所示直线l 有4条．故选C.3．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝(b2＋c )2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．(55，35) B ．(0，25) C ．(25，35) D ．(35，55) 解析：选 A.由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a >b2＋c ，b <b2＋c⇒⎩⎪⎨⎪⎧（a －c ）2>14（a 2－c 2），a 2－c 2<2c⇒55<e <35.4．(2019·学军中学质检)双曲线M ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则点P 的横坐标为( )A.3＋12 B.3＋22 C.3＋32D.332解析：选A.由点P 在双曲线的第一象限可得|PF 1|－|PF 2|＝2，则|PF 2|＝|PF 1|－2＝c ，又|OP |＝c ，∠F 1PF 2＝90°，由勾股定理可得(c ＋2)2＋c 2＝(2c )2，解得c ＝1＋ 3.易知△POF 2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12. 5．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5 解析：选C.因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4，故选C.6．(2019·宁波市诺丁汉大学附中高三期末考试)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，双曲线左顶点为M ，若∠AMB ＝120°，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．3 D ．2解析：选D.依题意，作图如图所示： 因为OA ⊥FA ，∠AMO ＝60°，OM ＝OA ， 所以△AMO 为等边三角形， 所以OA ＝OM ＝a ，在直角三角形OAF 中，OF ＝c ，所以该双曲线的离心率e ＝c a ＝OF OA ＝1sin 30°＝2，故选D.7．(2019·杭州高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C的离心率为( )A.213 B ．2 C.72D ．3 解析：选A.由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 中点是H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A. 8.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A.由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.因为点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，所以 |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.9．(2019·温州高考模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝8|OF |(O 为坐标原点)，则|AF ||BF |＝________．解析：由题意，|AF |＝4p ，设|BF |＝x ，由抛物线的定义，可得p －x 4p －x ＝x x ＋4p ，解得x ＝47p ，所以|AF ||BF |＝7，故答案为7.答案：710．(2019·浙江名校协作体高三期末考试)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →＝λOA →＋μOB →，λμ＝425(λ，μ∈R )，则双曲线的离心率e 的值是________．解析：由题意可知，双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，右焦点为F (c ，0)，则点A ，B ，P 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，所以OA →，OB →，OP →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，又OP →＝λOA →＋μOB →，则⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1b a＝λc a －μc a ，又λμ＝425，解得λ＝45，μ＝15，所以b a ＝4c 5a －c 5a ⇒e 2－1＝35e ⇒e ＝54. 答案：5411.(2019·台州市高考一模)如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC →＝4FB →，则|AB →|＝________．解析：分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，则DF ＝p ＝2，由抛物线的定义可知FB ＝BB 1，AF ＝AA 1，因为FC →＝4FB →，所以DF BB 1＝FC BC ＝43，所以FB ＝BB 1＝32.所以FC ＝4FB ＝6，所以cos ∠DFC ＝DF FC ＝13，所以cos ∠A 1AC ＝AA 1AC ＝AF AF ＋6＝13，解得AF ＝3， 所以AB ＝AF ＋BF ＝3＋32＝92.答案：9212．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)13.(2019·浙江新高考冲刺卷)如图，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b >0)左焦点F 1的直线交双曲线左支于A ，B 两点，C 是双曲线右支上一点，且A ，C 在x 轴的异侧，若满足|OA |＝|OF 1|＝|OC |，|CF 1|＝2|BF 1|，则双曲线的离心率为________．解析：取双曲线的右焦点F 2，连接CF 2，延长交双曲线于D ，连接AF 2，DF 1， 由|OA |＝|OF 1|＝|OC |＝|OF 2|＝c ， 可得四边形F 1AF 2C 为矩形， 设|CF 1|＝2|BF 1|＝2m ， 由对称性可得|DF 2|＝m ， |AF 1|＝4c 2－4m 2， 即有|CF 2|＝4c 2－4m 2，由双曲线的定义可得2a ＝|CF 1|－|CF 2|＝2m －4c 2－4m 2，① 在直角三角形DCF 1中，|DC |＝m ＋4c 2－4m 2，|CF 1|＝2m ，|DF 1|＝2a ＋m ， 可得(2a ＋m )2＝(2m )2＋(m ＋4c 2－4m 2)2，② 由①②可得3m ＝4a ，即m ＝4a 3， 代入①可得，2a ＝8a3－4c 2－64a 29，化简可得c 2＝179a 2，即有e ＝c a ＝173. 故答案为173. 答案：17314．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (c ，0)关于直线y ＝bcx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c ，0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与直线y ＝b cx 交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ ， 又O 为线段F 1F 的中点， 所以F 1Q ∥OM ，所以F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |. 在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝bc， |OF |＝c ，可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bca，故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c2a.由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c2a＝2a ，整理得b ＝c ，所以a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：2215.(2019·温州模拟)已知直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)有且只有一个公共点P (2，1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ′：y ＝－x ＋b 交C 于A ，B 两点，且PA ⊥PB ，求b 的值．解：(1)联立直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆C ：mx 2＋ny 2＝1(n >m >0)， 可得(m ＋n )x 2－6nx ＋9n －1＝0，由题意可得Δ＝36n 2－4(m ＋n )(9n －1)＝0，即为9mn ＝m ＋n ， 又P 在椭圆上，可得4m ＋n ＝1， 解方程可得m ＝16，n ＝13，即有椭圆方程为x 26＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线y ＝b －x 和椭圆方程，可得3x 2－4bx ＋2b 2－6＝0， 判别式Δ＝16b 2－12(2b 2－6)>0， x 1＋x 2＝4b 3，x 1x 2＝2b 2－63，y 1＋y 2＝2b －(x 1＋x 2)＝2b 3，y 1y 2＝(b －x 1)·(b －x 2)＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－63，由PA ⊥PB ，即为PA →·PB →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1) ＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1 ＝2b 2－63－2·4b 3＋b 2－63－2b 3＋5＝0，解得b ＝3或13，代入判别式，则b ＝13成立．故b 为13.16.(2019·浙江金华十校高考模拟)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 的坐标为(1，0)，P ，Q 为椭圆上位于y 轴右侧的两个动点，使PF ⊥QF ，C 为PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交x 轴，y 轴于点A ，B (线段PQ 不垂直x 轴)，当Q 运动到椭圆的右顶点时，|PF |＝22. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)若S △ABO ∶S △BCF ＝3∶5，求直线PQ 的方程． 解：(1)当Q 运动到椭圆的右顶点时，PF ⊥x 轴，所以|PF |＝b 2a ＝22，又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1. 椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ′，显然k ≠0， 联立椭圆方程得：(2k 2＋1)x 2＋4kb ′x ＋2(b ′2－1)＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2＝2（b ′2－1）2k 2＋1>0，①x 1＋x 2＝－4kb ′2k 2＋1>0，②Δ＝8（2k 2－b ′2＋1）>0，③由PF →·QF →＝0⇒(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝0得：3b ′2－1＋4kb ′＝0，④点C ⎝⎛⎭⎪⎫－2kb ′2k 2＋1，b ′2k 2＋1，所以线段PQ 的中垂线AB 方程为：y －b ′2k 2＋1＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2kb ′2k 2＋1， 令y ＝0可得：A ⎝⎛⎭⎪⎫－kb ′2k 2＋1，0；令x ＝0可得 B ⎝⎛⎭⎪⎫0，－b ′2k 2＋1，则A 为BC 中点， 故S △BCF S △ABO ＝2S △ABF S △ABO ＝2|AF ||AO |＝2（1－x A ）x A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1， 由④式得：k ＝1－3b ′24b ′，则x A ＝－kb ′2k 2＋1＝6b ′4－2b ′29b ′4＋2b ′2＋1， S △BCF S △ABO ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x A －1＝6b ′4＋8b ′2＋26b ′4－2b ′2＝53，得b ′2＝3. 所以b ′＝3，k ＝－233或b ′＝－3，k ＝233.经检验，满足条件①②③，故直线PQ 的方程为：y ＝233x －3，y ＝－233x ＋ 3.17.(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)P 是线段AB 上的点，直线y ＝12x ＋m (m ≥0)交椭圆C 于M ，N 两点．若△MNP 是斜边长为10的直角三角形，求直线MN 的方程．解：(1)因为点A (－2，0)，B (0，1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1上，所以a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m x24＋y 2＝1消去y ，得12x 2＋mx ＋m 2－1＝0，则Δ＝2－m 2>0，x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，|MN |＝52|x 1－x 2|＝10－5m 2. ①当MN 为斜边时， 10－5m 2＝10，解得m ＝0，满足Δ>0， 此时以MN 为直径的圆方程为x 2＋y 2＝52.点A (－2，0)，B (0，1)分别在圆外和圆内， 即在线段AB 上存在点P ，此时直线MN 的方程y ＝12x ，满足题意．②当MN 为直角边时，两平行直线AB 与MN 的距离d ＝255|m －1|， 所以d 2＋|MN |2＝45|m －1|2＋(10－5m 2)＝10，即21m 2＋8m －4＝0，解得m ＝27或m ＝－23(舍)，又Δ>0，所以m ＝27.过点A 作直线MN ：y ＝12x ＋27的垂线，可得垂足坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－127，－47，垂足在椭圆外，即在线段AB 上存在点P ，所以直线MN 的方程y ＝12x ＋27，符合题意．综上所述，直线MN 的方程为y ＝12x 或y ＝12x ＋27.18．(2019·杭州市高考数学二模)设抛物线Γ：y 2＝2px (p ＞0)上的点M (x 0，4)到焦点F 的距离|MF |＝54x 0.(1)求抛物线Γ的方程；(2)过点F 的直线l 与抛物线Γ相交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线l ′与抛物线Γ相交于C ，D 两点，若AC →·AD →＝0，求直线l 的方程．解：(1)因为|MF |＝x 0＋p 2＝54x 0，所以x 0＝2p .即M (2p ，4)．把M (2p ，4)代入抛物线方程得4p 2＝16，解得p ＝2. 所以抛物线Γ的方程为y 2＝4x .(2)易知直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝k （x －1），消元得：k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，y 1＋y 2＝4k.设AB 的中点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋2k2，2k ，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4（k 2＋1）k2. 所以直线l ′的方程为y －2k ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k 2＋2k 2，即x ＝－ky ＋2k2＋3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝－ky ＋2k 2＋3， 消元得：y 2＋4ky －4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k2＝0.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4k ，y 3y 4＝－4⎝⎛⎭⎪⎫3＋2k 2.所以x 3＋x 4＝4k 4＋6k 2＋4k2， 所以CD 的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 4＋3k 2＋2k 2，－2k . 所以|CD |＝1＋k2（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝4（k 2＋1）k 2＋2|k |，|PQ |＝2（k 2＋1）k 2＋1|k |，因为AC →·AD →＝0，所以AC ⊥AD .所以|AQ |＝12|CD |.因为AB ⊥CD ，所以|AP |2＋|PQ |2＝|AQ |2， 即14|AB |2＋|PQ |2＝14|CD |2， 所以16（k 2＋1）2k 4＋16（k 2＋1）3k 2＝16（k 2＋1）2（k 2＋2）k2， 解得k ＝±1，所以直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。

第 2 讲函数图象与性质函数及其表示[ 核心提炼 ]1．函数的三因素定义域、值域和对应关系是确立函数的三因素，是一个整体，研究函数问题务必按照“定义域优先”的原则．2．分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不一样取值区间，有着不一样的对应关系，这样的函数往常叫做分段函数．分段函数固然由几部分构成，但它表示的是一个函数．[ 典型例题 ]x， 0<x<1，若 f(a)＝ f(a＋ 1)，则 f 1＝ ( )(1) 设 f(x) ＝2（ x－1）， x≥ 1， aA ． 2 B． 4 C． 6 D ． 8m＋x2， |x|≥ 1，的图象过点 (1， 1)，函数 g( x)是二次函数，若函数 f(g(x))(2)设函数 f(x) ＝x， |x|<1的值域是 [0，＋∞ )，则函数 g(x)的值域是 ( )A ． (－∞，－ 1]∪ [1，＋∞ ) B． (－∞，－ 1]∪ [0 ，＋∞ )C． [0，＋∞ ) D． [1，＋∞ )【分析】(1)当 0<a<1 时， a＋ 1>1 ，f(a)＝a， f(a＋ 1)＝ 2(a＋ 1－ 1)＝ 2a，因为 f(a)＝ f(a＋ 1)，所以a＝2a，1解得 a＝4或 a＝ 0(舍去 )．1所以 f a＝ f(4) ＝ 2× (4－ 1)＝ 6.当 a>1 时， a＋ 1>2，所以 f(a)＝ 2(a－ 1)， f(a＋ 1)＝2(a＋1－ 1)＝ 2a，所以 2(a－ 1)＝ 2a，无解．当 a＝ 1 时， a＋ 1＝ 2， f(1)＝ 0，f(2) ＝ 2，不切合题意．1综上， f a＝ 6.应选 C.m＋ x2， |x|≥ 1，(2)因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋ 1＝ 1，x， |x|<1x2， |x|≥ 1，解得m＝ 0，所以f(x)＝画出函数y＝ f(x)的图象(以下图)，x， |x|<1.A，B ，易知，当g(x)的值域是[0，＋∞ )时， f(g(x)) 因为函数g(x)是二次函数，值域不会是选项的值域是 [0，＋∞ )．应选 C.【答案】(1)C(2)C(1)在求分段函数的函数值时，必定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的分析式求解．当自变量的值不确准时，要分类议论．(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应依据每一段的解析式分别求解，但要注意查验所求自变量的值或范围能否切合相应段的自变量的取值范围．[ 对点训练 ]ln （x＋ 1）的定义域是 ( )1．函数 f(x)＝x－ 2A．(－ 1，＋∞ )B． [－ 1，＋∞ )C． [－ 1， 2)∪ (2，＋∞ )D． (－ 1，2)∪(2，＋∞ )ln（ x＋ 1）x＋ 1>0，x>－ 1，分析：选 D.要使 f(x)＝存心义，需使即x－ 2 x－ 2≠0，x≠2，所以函数f(x) 的定义域为 (－ 1， 2)∪ (2，＋∞)．应选 D.2．(2019 ·波市九校期末联考宁)已知以下各式：①f(|x|＋ 1)＝ x2＋ 1；1②f(x2＋1)＝x；③f(x2－ 2x)＝ |x|；④f(|x|)＝ 3x＋ 3－x.此中存在函数f(x)对随意的 x∈ R 都建立的是 ( )A ．①④B．③④C．①②D．①③分析： 选 A. ① f(|x|＋ 1)＝ x 2＋1，由 t ＝ |x|＋ 1(t ≥ 1)，可得 |x|＝ t － 1，则 f(t)＝ (t － 1)2＋ 1，即有 f(x)＝ (x － 1)2＋ 1 对 x ∈ R 均建立；111－ 1， ②f()＝ x ，令 t ＝x 2 (0＜ t ≤1)， x ＝ ±t x 2＋ 1＋1对 0＜ t ≤ 1， y ＝ f(t)不可以构成函数，故不建立；③f(x 2－ 2x)＝ |x|，令 t ＝ x 2－ 2x ，若 t ＜－ 1时，x ∈ ?；t ≥ － 1，可得 x ＝ 1 ± 1＋ t(t ≥ － 1)，y ＝ f(t) 不可以构成函数； ④ f(|x|)＝3x＋ 3－x ，当 x ≥0时，f(x)＝ 3x ＋ 3－x；当 x ＜ 0 时，f(－ x)＝ 3x ＋ 3－x；将 x 换为－ x 可得 f(x)＝ 3x ＋ 3－x；故恒建立． 综上可得 ①④ 切合条件．函数的图象及应用[ 核心提炼 ]图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．特别注意y ＝f(x)与 y ＝ f(－ x)， y ＝－ f( x)， y ＝－ f(－ x)， y ＝ f(|x|)， y ＝ |f(x)|及 y ＝ af(x)＋ b 的互相关系．考向 1 函数图象的变换与辨别[ 典型例题 ](1) 函数 y ＝ sin x 2 的图象是 ()1(2)(2019 宁·波九校模拟 )已知函数 f(x)＝，则 y ＝ f(x)的图象大概为 ()x － ln x － 1【分析 】 (1)因为函数 y ＝sin x 2 是一个偶函数，选项A 、C 的图象都对于原点对称，所π选项 B 与选项 D 的图象都对于y 轴对称，在选项 B 中，当 x ＝ ± 时，函数 y ＝ sin x 2<1， 2ππ π明显不正确，当 x＝±2时， y＝ sin x2＝1，而2< 2，应选 D.1 1 1(2)因为 f(e)＝e－2 ＞ 0，清除 D. 因为 f(e) ＝ e＞0，清除 B. 因为 f(e2)＝e2－3 ＜ f(e)，故函数在(1，＋∞ )为减函数，清除 C，所以选 A.【答案】 (1)D (2)A考向 2 函数图象的应用[ 典型例题 ]已知 f(x)＝ 2x－ 1，g(x)＝ 1－ x2，规定：当 |f(x)|≥ g(x)时， h( x)＝ |f(x)|；当 |f(x)|<g(x) 时，h(x) ＝－ g(x)，则 h(x)( )A ．有最小值－ 1，最大值 1B．有最大值 1，无最小值C．有最小值－ 1，无最大值D．有最大值－ 1，无最小值【分析】由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图，而 h(x)＝|f（ x） |， |f（ x） |≥ g（ x），－g（ x）， |f（ x） |<g（x），故 h(x)有最小值－ 1，无最大值．【答案】 C(2)函数图象的应用①判断函数的性质．②判断方程根的个数及不等式的解．[ 对点训练 ]1．(2019 绍·兴一中模拟 )函数 y ＝x 3的图象大概是 ()3x 4－1分析： 选 A. 因为 y ＝x 3，所以函数 y ＝x 3是奇函数，图象对于原点对称，故排3 434x － 1x － 1除 C ；当 x ＜－ 1 时，恒有 y ＜ 0，故清除 D ；－ 1＜ x ＜ 0 时， y ＞ 0，故可清除 B ；应选 A.2．(2019 鄞·州高级中学月考 )已知函数 f(x)＝ e|x －1|，x>0，若对于 f(x)的方程 [f(x)] 2－ x 2－ 2x ＋ 1， x ≤ 0－ 3f(x)＋ a ＝ 0(a ∈ R)有 8 个不等的实数根，则a 的取值范围是 ()11 A. 0，4 B. 3，3C ． (1， 2)D. 2，94分析： 选 D.作出函数 f( x)＝ e|x－1|，x>0的图象，以下图：－ x 2－ 2x ＋ 1，x ≤ 0对于 f(x)的方程 [f(x)] 2－ 3f(x) ＋a ＝ 0 有 8 个不等的实数根，故＝ 9－ 4a>0 ， a< 94，由函数f(x)图象可知 f(x)∈ (1，2) ，令 t ＝ f(x)，则方程 [f(x)] 2－3f(x)＋ a ＝0 可化为 a ＝－ t 2＋ 3t ， t ∈ (1， 2)．a＝－ t2＋ 3t 表示张口向下，对称轴为直线3t＝的抛物线，23 2 3 9可知 a 的最大值为－ 2 ＋ 3×2＝4，9 9a 的最小值为 2，故 a∈2，4 .综上可知a∈ 2，4 .应选 D.函数的性质及应用[ 核心提炼 ]1．函数的单一性单一性是函数的一个局部性质，一个函数在不一样的区间上能够有不一样的单一性．判断函数单一性常用定义法、图象法及导数法．2．函数的奇偶性函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象对于y 轴对称，在对于坐标原点对称的定义区间上拥有相反的单一性；奇函数的图象对于坐标原点对称，在对于坐标原点对称的定义区间上拥有同样的单一性．判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．[ 典型例题 ](1)(2019 浙·江吴越结盟)已知函数f(x)是 R 上的奇函数，当 x＞ 0 时为减函数，且 f(2) ＝ 0，则会合 { x|f(x－ 2)＞ 0} ＝ ()A ． { x|0＜ x＜ 2 或 x＞ 4}B． { x|x＜ 0 或 x＞ 4}C． { x|0＜ x＜ 2 或 x＞ 2}D． { x|x＜ 0 或 2＜ x＜ 4}（x＋1）2＋ sinx(2)设函数 f(x)＝的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋ m＝ ________．x2＋ 1【分析】(1)因为奇函数知足f(2)＝ 0，所以 f(－ 2)＝－ f(2)＝ 0.对于 { x|f(x－ 2)＞ 0} ，当 x－ 2＞ 0 时， f(x－2)＞ 0＝ f(2)，因为当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)为减函数，所以0＜ x－2＜ 2，所以 2＜ x＜ 4；当 x－ 2＜ 0 时，不等式可化为f(x－ 2)>0 ＝ f(－ 2)，因为当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)为减函数，所以函数f(x) 在(－∞， 0)上单一递减，所以 x － 2＜－ 2，所以 x ＜ 0.综上可得，不等式的解集为{ x|x ＜ 0 或 2＜x ＜ 4} ，应选 D.2x ＋ sin x2x ＋sin x (2)f(x)＝ 1＋ ，令 g(x)＝ x 2 ，则 g(x)为奇函数，对于一个奇函数，其最大值x 2 ＋1＋ 1与最小值之和为 0，即 g(x)max ＋ g(x)min ＝ 0，而 f(x)max ＝ 1＋ g(x)max ，f(x)min ＝ 1＋ g(x) min ，所以 f(x)max＋ f( x)min ＝ M ＋ m ＝ 2.【答案 】 (1)D (2)2(1)四招破解函数的单一性①对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形联合法；②对于由基本初等函数经过加、减运算或复合而成的函数，常转变为基本初等函数的单调性问题来解决；③对于分析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法；④对于抽象函数一般用定义法．(2)判断函数奇偶性的三个技巧①奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．②确立函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域能否对于原点对称．③对于偶函数而言，有f(－ x)＝ f(x)＝ f(|x|)．[ 对点训练 ]1．(2019 ·波诺丁汉大学附中高三调研宁 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞ )单一递减，若实数 a 知足 f(log 3a)＋ f(log 1a) ≥2f(1)，则 a 的取值范围是 ()31A ． (0， 3]B ． (0， 3]1 C ． [3， 3]D ． [1， 3]分析： 选 C.因为函数f(x)是定义在 R 上的偶函数，则 f(－ x)＝ f(x)，即有 f( x)＝f(|x|)，由实数 a 知足 f(log 3a)＋ f(log 1a)≥ 2f(1) ，3则有 f(log 3a)＋ f(－ log 3a)≥ 2f(1)，即 2f(log 3a)≥ 2f(1)即 f(log 3a) ≥f(1) ，即有 f(|log3a|)≥ f(1) ，因为 f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递减，则|log 3a|≤ 1，即有－ 1≤log 3a≤1，解得13≤ a≤ 3.2．(2019 ·兴、绍诸暨高考二模 )已知 f( x)是定义在R 上的单一递加函数，则以下四个命题：①若 f(x0)＞ x0，则 f[f(x0)] ＞ x0；②若 f[f(x0)] ＞x0，则 f(x0)＞ x0；③若 f(x)是奇函数，则f[f(x)] 也是奇函数；④若f(x)是奇函数，则f(x1)＋ f(x2)＝0? x1＋ x2＝ 0，此中正确的有 ()A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个分析：选 A. 对于①，因为 f(x)是定义在R 上的单一递加函数，若f(x0)＞x0，则f[f(x0)]＞f(x0)＞x0，故①正确；对于②，当 f[f(x0)] ＞ x0时，若 f( x0)≤ x0，由 f(x)是定义在 R 上的单一递加函数得f[f(x0)] ≤ f(x0)≤ x0与已知矛盾，故②正确；对于③，若 f(x)是奇函数，则 f[f(－ x)] ＝ f[－ f(x)]＝－ f[f(x)] ，所以 f[f(x)] 也是奇函数，故③正确；对于④，当 f(x)是奇函数，且是定义在R 上的单一递加函数时，若f(x )＋ f(x )＝ 0，则 f(x )＝－ f(x )? x ＝－ x ? x ＋x ＝0；若 x ＋x ＝ 0? x11 2 1 2 1 2 1 2 1 2＝－ x ? f(x )＝ f(－ x )＝－ f(x )? f(x )＋ f(x )＝ 0，故④正确；应选 A.2 1 2 2 1 2专题加强训练1．(2019 金·华十校调研)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2C．－ 1 D．－ 31 1 1分析：选 A. 因为 f(x)＝x＋－ 1，所以 f( a)＝ a＋－ 1＝ 2，所以 a＋＝ 3，所以 f(－ a)＝－ ax a a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是()1A ． y ＝ xB ． y ＝ |x|－ 11 |x|C ． y ＝ lg xD ． y ＝ 2分析： 选 B.A 中函数 y ＝1A 错误；B 中函数满x 不是偶函数且在 (0，＋ ∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋ ∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x －a4．已知函数 f(x)＝ 2x 的图象对于原点对称， g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b＝ ()A ． 1B ．－ 1 1 1C ．－ 2D.4分析： 选 B.由题意得 f(0) ＝ 0，所以 a ＝ 2.1因为 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e ＋ 1)－ b ＝ ln e ＋ 1 ＋ b ，1 1 所以 b ＝ 2，所以 log a b ＝ log 22＝－ 1.5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x 2＋ a(a ∈ R )的图象不行能是 ()|x|分析： 选 A. 直接利用清除法： ① 当 a ＝ 0 时，选项 B 建立；1 D ；②当 a ＝ 1 时， f(x)＝ x 2＋ ，函数的图象近似|x|③当 a ＝－ 1 时， f(x)＝ x 2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x在区间 [3，4] 上的最大值和最小值分别为M ，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝ x － 2m 2＝()m ，则 M23 A. 3 B.8 38C.2D.3分析： 选 D. 易知 f(x)＝2x＝ 2＋ 4，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M ＝ f(3)x － 2 x － 244m 216 8＝ 2＋ 3－ 2＝ 6，m ＝ f(4)＝ 2＋ 4－2＝ 4，所以 M ＝ 6 ＝ 3.7．(2018·考全国卷高 Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y ＝ ln x 的图象对于直线x ＝ 1 对称的是 ()A ． y ＝ ln(1 － x)C ． y ＝ ln(1＋ x)分析： 选 B. 法一： 设所求函数图象上任一点的坐标为B ． y ＝ ln(2 － x)D ． y ＝ ln(2 ＋ x)(x ， y)，则其对于直线x ＝ 1的对称点的坐标为 (2－ x ，y)，由对称性知点 (2－x ，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上， 所以 y ＝ ln(2 － x)．故选 B.法二： 由题意知，对称轴上的点 (1，0)既在函数 y ＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除 A ，C ， D ，选 B.8．(2019 ·江台州市书生中学高三月考浙 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）≥ 0.又因 f(x)在 (0， 分析：选 D. 因为函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?5xx＋ ∞ )上为单一递减函数，且 f(2)＝ 0，所以得，函数 f(x)在 ( －∞ ， 0)上单一递减且 f(－ 2)＝0.所以， x ∈(－∞ ，－ 2)∪(0， 2)时， f(x)>0 ； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f(x)<0，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. － 1， 1B. － 6， 66 6 6 6 C. － 1，1D.－3，33 3331 2|－ 3a2) ，所以当 0≤ x≤ a2 1 (a2分析：选 B. 因为当 x≥ 0 时，f(x) ＝ (|x－ a2|＋ |x－ 2a 时，f(x)＝2 2 －x＋ 2a2－ x－ 3a2) ＝－ x；当 a2＜ x＜ 2a2时， f(x)＝1(x－ a2＋ 2a2－x－ 3a2)＝－ a2；2当 x≥ 2a2时， f(x)＝12(x－ a2＋ x－ 2a2－ 3a2)＝ x－ 3a2.综上，函数f(x) ＝1(|x － a2| ＋ |x － 2a2 | － 3a2) 在 x≥ 0 时的解析式等价于 f(x) ＝2－x， 0≤ x≤a2，－a2， a2＜ x＜ 2a2，x－ 3a2， x≥ 2a2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，2 2 6≤a≤6 察看图象可知，要使 ? x∈ R，f(x－ 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－ t18 t恒建立，则实数t 的取值范围是( )A ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3] B． (－∞，－3]∪ (0，3] C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞) D． [－3， 0)∪ [3，＋∞) 分析：选 C.因为 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，因为 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1故 f(x)＝ (x2＋ 6x＋ 8)，9因为1 3x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥ 18 t －t 恒建立，所以－11 39＝f(x)min≥ 18 t － t ，解得t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝ 2 则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (1)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0. 2若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (1)x－ 2≥ 2 得 (1)x≥ 4，则 2－x≥ 4，22得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：因为 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，因为 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3， 5]．11答案：1[－ ， ]14．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时， a ⊕ b ＝ a ；当 a<b 时， a ⊕ b ＝b 2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x－ (2⊕ x)， x ∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x － 2， x ∈ [－2， 1]，分析： 由题意知 f(x)＝x 3 － 2， x ∈（ 1，2]，当 x ∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x ∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x ∈ [－ 2， 2]时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]－ x 2， 0<x ≤ 4，15．已知函数 h(x)(x ≠ 0)为偶函数，且当x>0 时， h(x)＝4若 h(t)>h(2)，则4－ 2x ， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x 2－ 4 ，0<x ≤ 4，分析： 因为 x>0 时， h(x)＝4－ 2x ， x>4.易知函数 h(x)在 (0，＋ ∞)上单一递减，因为函数 h(x)(x ≠ 0)为偶函数，且 h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以 0<|t|<2，t ≠0， t ≠0，所以 即 解得－ 2< t<0 或 0<t<2.|t|<2， － 2<t<2，综上，所务实数 t 的取值范围为 (－ 2，0) ∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的 x ≥ 2，都有 (x ＋ a)|x ＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析： 对随意的 x ≥ 2，都有 (x ＋ a)|x ＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x ≥ 2 时， (x ＋a)|x ＋a|＋ (ax)x ≤0恒建立 .①若 x ＋ a ≥ 0，即 a ≥ －2 时，则有 (x ＋ a)2 ＋ax 2≤ 0,所以 ( a ＋ 1)x 2＋2ax ＋ a 2≤ 0.a ＋ 1＜ 022或 －2a ＜ 2 ，令 f(x)＝ (a ＋ 1)x ＋ 2ax ＋ a ，则有 a ＋1＝ 0 2（ a ＋1）f （ 2）＝ 4（ a ＋1）＋ 4a ＋ a 2≤ 0求得 a ＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a ＜－ 1，综合可得－ 2≤ a ≤ － 1；②若 x ＋ a ＜ 0，即 a ＜－ 2 时，则有－ (x ＋ a)2＋ ax 2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为 a ＜－ 2；③若 x ＋ a ＝ 0，即 a ＝－ x ≤ － 2 时，则由题意可得 ax 2≤0，知足条件 .综合 ①②③ 可得， a ≤－ 2 或－ 2≤ a ≤ －1，故 a 的最大值为－ 1. 答案： －117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x ，y} ＝ x （ x<y ），则不等式 min{ x ＋ 4，4} ≥ 8min{ x ， 1 }y （ x ≥ y ）x x 的解集是 ________．44 分析： ① 当 x>0 时，由基本不等式可知x ＋ x ≥ 2x ＋ x ＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.1 1x ≤ 2x ≥2 或，1x ≥ 12 1x ≤ 12②当 x<0 时，14 8 ，(ⅰ )当－ 1<x<0 时， <x ，原不等式化为x ＋ ≥ xx x即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．(－ ∞， 0)∪ (0，1综上不等式的解集为 2]∪ [2，＋ ∞ )． 答案： (－∞， 0)∪ 1(0， ]∪ [2，＋∞ )218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直 线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 因为函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3 所以b ，－2＝ 1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3， 所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m ＜ 1 时， f(x)min ＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max ＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3， 所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m ＜－ 1 时， f(x)min ＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max ＝ f(m)＝m 2－ 2m ，所以 f(x)的值域为 [－ 1， m 2－ 2m] ．x 2－ 2ax ＋ a 2 ＋ 1， x ≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考 ) 已知函数 f(x)＝2－ a ，x ＞ 0.x 2＋x(1)若对于随意的 x ∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为 M(a)，解对于实数 a 的不等式 M(a － 2)＜M(a)．解： (1) 当 x ≤ 0 时， f(x)＝ (x － a)2＋ 1，因为 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞ ， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在 (1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，因为 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为 f(a)＝ 1，f(0) ＝ a2＋1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得0≤ a≤1，a≥ 0解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0， 1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，因为 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。

第二讲填空题解题4技法1．数学填空题的特点填空题缺少可选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．2．数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度和角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少可选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等．近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题．3．解数学填空题的原则解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．此类填空题的特点是必须根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案．解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程．解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件．[例1] 若△ABC 的三个内角满足sin 2A ＝sin 2B ＋sin B ·sin C ＋sin 2C ，则∠A ＝________.[思维流程][解析] 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C， sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C 可化为a 2＝b 2＋bc ＋c 2，即b 2＋c 2－a 2＝－bc ，故cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12， 又因为∠A ∈(0，π)，所以∠A ＝2π3. [答案] 2π3——————————规律·总结——————————————————直接法的运用技巧直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，并注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，通过合理转化将计算过程简化，从而得到结果．1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ，则f (2 013)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数可知，f (1)＝－f (－1)＝－2－1＝－12.由f (x )＝f (x ＋4)可知，函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 013)＝f (503×4＋1)＝f (1)＝－12. 答案：－12当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当的特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程和特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在运用此方法时，一般应多取几个特例．[例2] 如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP ＝λAB ，AQ ＝μAC ，则1λ＋1μ＝________. [思维流程][解析] 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2. [答案] 2——————————规律·总结—————————————————————应用特殊值法的注意事项求值或比较大小关系等问题均可运用特殊值法求解，但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ·AC ＝________.解析：法一：∵AP ·AC ＝AP ·(AB ＋BC )＝AP ·AB ＋AP ·BC ＝AP ·AB ＋AP ·(BD ＋DC )＝AP ·BD ＋2AP ·AB .又AP ⊥BD ，∴AP ·BD ＝0. 又∵AP ·AB ＝|AP ||AB |cos ∠BAP ＝|AP |2，∴AP ·AC ＝2|AP |2＝2×9＝18.法二：把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP ·AC＝18.答案：18对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．[例3] 不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________．[思维流程][解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，显然函数f (x )和g (x )的定义域都为[－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f (x )的图像是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．而函数g (x )的图像是直线l ：y ＝kx －1在[－2,2]内的部分，该直线过点C (0，－1)，斜率为k .如图，作出函数f (x )，g (x )的图像，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C (0，－1)连线的斜率．由图可知A (－2,0)，B (2,0)，故k AC ＝0－(－1)－2－0＝－12，k BC ＝0－(－1)2－0＝12. 要使直线和半圆有公共点，则k ≥12或k ≤－12. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. [答案] ⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ ——————————规律·总结——————————————————利用图解法解决问题的步骤图解法就是将不等式变形转化为两个函数图像的相对位置关系，直接根据图形求解不等式的方法，主要应用于求解不等式中含有两类不同性质的函数解析式的不等式问题．利用图解法解决此类问题的基本步骤如下：第一步：归类变形．根据不等式的结构特征进行归类，将不等式变形为f (x )>(<)g (x )或f(x)≥(≤)g(x)的形式．第二步：构造函数．根据变形后的不等式构造相应的函数y＝f(x)与y＝g(x)．第三步：作图转化．根据函数的性质分别作出两个函数的图像．第四步：写出结论．第五步：回顾反思．准确画出函数图像是解题的关键，作函数图像时，要注意函数的定义域、单调性、奇偶性和周期性等性质的应用，此类问题多与解析几何中的直线、圆、椭圆等相联系，灵活利用几何意义确定不等式的解集．3．若直线y＝x＋m与曲线y＝－x2－4有且仅有一个公共点，则实数m的取值范围为________．解析：由y＝－x2－4，得x2－y2＝4(y≤0)，它是双曲线x2－y2＝4在x轴下方的部分曲线(包括与x轴的交点)，如图所示，它的渐近线方程为y＝±x(图中虚线)，直线y＝x＋m与之平行，要使直线y＝x＋m与曲线y＝－x2－4有一个交点，把直线y＝x＋m由下向上平移，容易得m∈(－∞，－2]∪(0,2]．答案：(－∞，－2]∪(0,2]用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式)形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景)，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．[例4](20xx·济南模拟)已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是________．[思维流程][解析]构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n ⊂γ且n ∥β，故可取直线n 为直线A ′B ′.则直线AD 与直线A ′B ′为异面直线，故m 与n 不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC ′B ′，可取直线n 为直线BC ，故可推得m ∥n ；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB ′C ′D ，取值线n 为直线B ′C ′故可推得结论．[答案] ①或③——————————规律·总结———————————————————构造法的应用构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．4.如图，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π. 答案：6π1．填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简． 2．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．3．填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不必担心“上当受骗”而误入歧途．但填空题最容易犯的错误，要么答案不当，要么答案不全．[填空题技法专练]1．(20xx·海口模拟)在△ABC 中，若|AB |＝1，|AC |＝3，|AB ＋AC |＝|BC |，则|AC －AB |＝________.解析：依题意得|AB ＋AC |2＝|AC －AB |2，(AB ＋AC )2－(AC －AB )2＝4AC ·AB ＝0，AC ⊥AB ，|AC －AB |＝|BC |＝|AB |2＋|AC |2＝2.答案：22．已知函数f (x )＝(1＋tan x )cos 2x 的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数f (x )的值域为________． 解析：f (x )＝(1＋tan x )cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12，因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，所以f (x )的值域为⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋22. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤0，1＋22 3．(20xx·济南模拟)复数2i 31－i 的虚部为________． 解析：∵2i 31－i＝－2i (1＋i )2＝1－i ， ∴复数2i 31－i的虚部为－1. 答案：－14．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋142＝12的切线，则此切线段的长度为________． 解析：由基本不等式得2x ＋4y ≥22x ×4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时取得最小值，即P ⎝⎛⎭⎫32，34.由于点P 与圆心C 之间的距离|PC |＝2，故切线长＝|PC |2－R 2＝2－12＝62. 答案：625．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱．已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱柱的体积的最大值为________．解析：设棱柱高为2x (0<x <3)，则底面积S ＝6×34×(9－x 2)2，则V ＝Sh ＝6×34(9－x 2)2×2x ＝33(9－x 2)x ＝－33x 3＋273x ，令V ′＝－93x 2＋273＝0，解得x ＝±3，则V max ＝V (3)＝－33×33＋273×3＝54.答案：546．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点F 到一条渐近线的距离为32|OF |，点O 为坐标原点，则此双曲线的离心率为________．解析：由题意知一焦点F (c,0)到直线y ＝b a x 的距离为32c ，即bc a 2＋b 2＝b ＝32c ，整理得b 2＝c 2－a 2＝⎝⎛⎭⎫32c 2，解得e ＝c a ＝2. 答案：27．在三棱锥A -BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为________． 解析：设AB 、AC 、AD 的长分别为x 、y 、z ，则xy ＝2，yz ＝3，xz ＝6，解得x ＝2，y ＝1，z ＝3，把这个三棱锥补成一个长方体，这个三棱锥和补成的长方体具有共同的外接球，这个球的半径等于121＋2＋3＝62，故这个球的体积是43π⎝⎛⎭⎫623＝6π. 答案：6π8．若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为________． 解析：如图，构造长方体ABCD -A1B 1C 1D 1.设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，∠C 1AB ＝α，∠C 1AD ＝β，∠C 1AA 1＝γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.从而有tan α·tan β·tan γ＝b 2＋c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝2 2.当且仅当a ＝b ＝c 时，tan α·tan β·tan γ有最小值2 2.答案：2 29．(20xx·朝阳区统考)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．解析：由条件可知，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m 2＝1，解之得m ＝±33. 答案：±3310．若直线x ＝my －1与圆C ：x 2＋y 2＋mx ＋ny ＋p ＝0交于A ，B 两点，且A ，B 两点关于直线y ＝x 对称，则实数p 的取值范围为________．解析：依题意，直线x ＝my －1与直线y ＝x 垂直，则m ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋1＝0，y ＝x ，得弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x 2＋y 2－x ＋ny ＋p ＝0，得2x 2＋(1－n )x ＋p －n ＋1＝0，则x 1＋x 2＝－1－n 2＝－12×2＝－1，即n ＝－1.从而有2x 2＋2x ＋p ＋2＝0，令Δ＝4－8(p ＋2)>0，得p <－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－32 11．(20xx·南昌模拟)下列命题中真命题的序号是________(填上所有正确的序号)． ①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R )；②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<θ≤π； ③A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，若AB ·AC ＝0，AC ·AD ＝0，AB ·AD ＝0，则△BCD 一定是锐角三角形；④向量AB ，AC ，BC 满足|AB |＝|AC |＋|BC |，则AC 与BC 同向；⑤若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解析：①错误，若b ＝0，a ≠0结论不成立；②正确，因为|a －b |2＝2－2cos θ>1，即cos θ<12，解得π3<θ≤π；③正确，由已知可得四面体三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则底面BCD 易由三垂线定理证明三条高均在三角形内部，即三角形BCD 为锐角三角形；④错误，应共线且反向；⑤错误，当向量b ＝0时结论不成立，因为零向量的方向是任意的，综上可知，命题②③为真命题．答案：②③12.如图，在三棱锥O -ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA >OB >OC ，分别经过三条棱OA ，OB ，OC 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S 1，S 2，S 3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________．解析：令OA ＝6，OB ＝4，OC ＝2，分别取BC ，CA ，AB 边的中点D ，E ，F ，则△OAD ，△OBE ，△OCF 分别是满足条件的截面三角形，且它们均为直角三角形，所以S 1＝12×6×202＝45，S 2＝12×4×402＝40， S 3＝12×2×522＝13，满足S 3<S 2<S 1. 答案：S 3<S 2<S 113．定义在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图像与y ＝5tan x 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图像交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．解析：如图所示，线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tanx ，解得sin x ＝23，即线段P 1P 2的长为23. 答案：2314．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33.所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x ＋x －1(x >0)，令f ′(x )＝－33x 2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f (x )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212， 所以a n n 的最小值为a 66＝212. 答案：21215．定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )＝f (2－x )，在区间[1,2]上是单调递减函数．关于函数f (x )有下列结论：①图像关于直线x ＝1对称；②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数；④在区间[－1,0]上是增函数．其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．解析：由f (x )＝f (2－x )可知函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，故结论①正确；因为函数f (x )为奇函数，其图像关于坐标原点对称，图像又关于直线x ＝1对称，故函数f (x )必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故结论②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f (x )在区间[1,2]上是单调递减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是单调递减函数，故结论③正确；因为函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，在区间[1,2]上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数f (x )在区间[0,1]上是单调递增函数，又由奇函数的性质可得，函数f (x )在区间[－1,0]上是单调递增函数，故结论④正确．答案：①③④16．(20xx·深圳模拟)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆内运动，设AP ＝αAD ＋βAB (α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．解析：以A 为坐标原点，以AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设P (x ，y )，则AP ＝(x ，y )＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，故有3β＝x ，y ＝α，因此z ＝β＋α＝x 3＋y ，又由题意圆C 的圆心坐标为(1,1)，且直线BD 的方程为x ＋3y －3＝0，则圆心到直线的距离即为半径R ＝1010，因此圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝110，当直线z ＝x 3＋y 与圆相切时，可得z ＝1或z ＝53，又因点P 在圆的内部，故z ＝β＋α＝x 3＋y 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，53. 答案：⎝⎛⎭⎫1，53。

第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题)热点一 等差、等比数列基本量的计算解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量，充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量．解决综合问题的关键在于审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略．例1 已知正项数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是公差为2的等差数列，且a 1,9，a 2成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是公差为2的等差数列， 所以a 232－a 13＝2， 所以a 2＝3a 1＋18，又a 1,9，a 2成等比数列，所以a 1a 2＝a 1(3a 1＋18)＝92，解得a 1＝3或a 1＝－9，又因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 为正项数列， 所以a 1＝3，所以a n 3n ＝33＋2(n －1)＝2n －1， 故a n ＝(2n －1)·3n .(2)由(1)得S n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ，所以3S n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1，所以S n －3S n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1，即－2S n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1 ＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，故S n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.跟踪演练1 (2019·乐山调研)已知等差数列{a n }中，a 2＝5，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＝5－d ，a 4＝5＋2d ，a 13＝5＋11d ，因为a 1，a 4，a 13成等比数列，所以(5＋2d )2＝(5－d )(5＋11d )，化简得d 2＝2d ，则d ＝0或d ＝2，当d ＝0时，a n ＝5.当d ＝2时，a 1＝5－d ＝3，a n ＝3＋(n －1)×2 ＝2n ＋1(n ∈N *)．所以，当d ＝0时，a n ＝5(n ∈N *)；当d ＝2时，a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．(2)由(1)知，当a n ＝5时，S n ＝5n .当a n ＝2n ＋1时，a 1＝3，则S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n (n ∈N *)． 热点二 数列的证明问题判断数列是否为等差或等比数列的策略(1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行判断；(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可．例2 已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项． (1)求证：数列{S 2n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝(－1)na n，求{b n }的前n 项和T n . (1)证明 由题意知2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，① 当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1，代入①式得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1(n ≥2)．又当n ＝1时，由①式可得a 1＝S 1＝1(负值舍去)，∴数列{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解 由(1)可得S 2n ＝1＋n －1＝n ，∵数列{a n }的各项都为正数，∴S n ＝n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n －n －1， 又a 1＝S 1＝1满足上式，∴a n ＝n －n －1(n ∈N *)．(3)解 由(2)得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)nn －n －1 ＝(－1)n (n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ； 当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n ，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝(－1)n n (n ∈N *)．跟踪演练2 已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .(1)证明 原式可转化为S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]．由S 1－2a 1＝1－4，得S 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，所以T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 热点三 数列的求和问题1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项消，有的是间隔项消．常见的裂项方式有：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1；14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. 2．如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么求数列{a n ·b n }的前n 项和S n 时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：①等比数列的公比为负数的情形；②在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“S n －qS n ”的表达式．例3 (2019·菏泽模拟)已知正项等比数列{a n }中，a 1＝12，且a 2，a 3，a 4－1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a 2n ＋4，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 2，a 3，a 4－1成等差数列，所以2a 3＝a 2＋a 4－1，得2a 1q 2＝a 1q ＋a 1q 3－1，又a 1＝12，则2×12q 2＝12q ＋12q 3－1， 即q 2＝12q ＋12q 3－1， 所以2q 2＝q ＋q 3－2，所以2q 2＋2＝q ＋q 3， 所以2(q 2＋1)＝q (q 2＋1)，所以(q 2＋1)(2－q )＝0，显然q 2＋1≠0，所以2－q ＝0，解得q ＝2，故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝12·2n －1＝2n －2. (2)由(1)知，b n ＝log 2a 2n ＋4＝log 2(2n －2)2＋4 ＝2log 22n －2＋4＝2(n －2)＋4＝2n ，所以1b n b n ＋1＝12n ·2(n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 则T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝14⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1). 跟踪演练3 (2019·龙岩模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n ·a n ，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a 2＝3，∴a 1＋d ＝3，∵S 6＝36，∴6a 1＋15d ＝36，则a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)可知，b n ＝2n (2n －1)，T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，① ①×2，得2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1，② ①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋2×24＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2＋2×4(1－2n －1)1－2－(2n －1)·2n ＋1 ＝－6＋2n ＋2－(2n －1)·2n ＋1＝－6＋2n ＋1(3－2n )，∴T n ＝6＋(2n －3)·2n ＋1.真题体验(2019·全国Ⅰ，文，18)记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{a n}的通项公式；(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围．解(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5，即9a5＝－a5，所以a5＝0，得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n，n∈N*.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n ＝n (n －9)d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n (n －9)d 2≥(n －5)d ，化简得n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．押题预测已知在等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝1a n＋2log 2a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，a 2，a 3－2成等差数列，∴2a 2＝a 1＋(a 3－2)＝2＋(a 3－2)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2⇒a n ＝a 1q n －1＝2n (n ∈N *)． (2)∵b n ＝1a n＋2log 2a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2log 22n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋2n －1，∴S n ＝⎝⎛⎭⎫12＋1＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋3＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫123＋5＋…＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1) ＝⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)] ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋n ·[1＋(2n －1)]2 ＝n 2－⎝⎛⎭⎫12n ＋1(n ∈N *)．A 组 专题通关1．(2019·全国Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设{a n }的公比为q ， 由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0， 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4. 因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝log 222n －1＝(2n －1)log 22＝2n －1， 因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋2n －1＝n 2.2．(2019·荆州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)，设b n ＝a n n ＋1. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由；(3)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)将n ＝1代入(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)， 得3a 1＝2a 2－12，又a 1＝2，所以a 2＝9， 将n ＝2代入(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)， 得4a 2＝3a 3－24，所以a 3＝20；从而b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5.(2)数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． 由条件得(n ＋2)a n(n ＋1)(n ＋2)＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)(n ＋1)(n ＋2)， 化简得a n ＋1n ＋2－a n n ＋1＝2， 即b n ＋1－b n ＝2，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(3)由(2)可得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 则a n ＝(n ＋1)b n ＝(n ＋1)(2n －1)＝2n 2＋n －1.3．(2019·江南十校模拟)已知数列{a n }中，a 2a 6＝64，且log 2a n ，12log 2a n ＋1,1(n ∈N *)成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解 (1)∵log 2a n ，12log 2a n ＋1,1成等差数列， ∴2×12log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1 即log 2a n ＋1＝log 2(2a n )，∴a n ＋1＝2a n 且a n >0，∴数列{a n }是等比数列，且公比q ＝2.由a 2a 6＝64得a 24＝64，解得a 4＝8，∴a n ＝a 4q n －4＝8×2n －4＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝2n －1(2n －1＋1)(2n ＋1)＝12n －1＋1－12n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1－123＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋1－12n －1＋1＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1. B 组 能力提高4．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)，令b n ＝a n ＋1.(1)求证：{b n }是等比数列；(2)记数列{nb n }的前n 项和为T n ，求T n ；(3)求证：12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116. (1)证明 a 1＝2，a 2＝2(a 1＋1＋1)＝2×(2＋2)＝8，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)，①a n ＝2(S n －1＋n )(n ≥2)，②①－②，得a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．经检验，当n ＝1时上式也成立，即a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即b n ＋1＝3b n ，且b 1＝3.所以{b n }是首项为3，公比为3的等比数列．(2)解 由(1)得b n ＝3n ，nb n ＝n ·3n .所以T n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，两式相减，得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1， 化简得T n ＝⎝⎛⎭⎫32n －34×3n ＋34. (3)证明 由(1)知，a n ＝b n －1＝3n －1，所以1a k ＝13k －1>13k ， 得1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >13＋132＋…＋13n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12－12×13n . 又1a k ＝13k －1＝3k ＋1－1(3k －1)(3k ＋1－1)<3k ＋1(3k －1)(3k ＋1－1)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13k －1－13k ＋1－1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n<12＋32⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133－1－134－1＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1 ＝12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－13n ＋1－1 ＝12＋316－32×13n ＋1－1<1116， 故12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116. 5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1(n ∈N *)，数列{b n }满足nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)，且b 1＝1.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为等差数列，并求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若c n ＝(－1)n －14(n ＋1)(3＋2log 2a n )(3＋2log 2a n ＋1)，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ； (3)若d n ＝a n ·b n ，数列{d n }的前n 项和为D n ，对任意的n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ，求实数a 的取值范围．解 (1)由nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n (n ＋1)，两边同除以n (n ＋1)， 得b n ＋1n ＋1－b n n ＝1， 从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 为首项b 11＝1，公差d ＝1的等差数列， 所以b n n＝n (n ∈N *)， 数列{b n }的通项公式为b n ＝n 2.当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝2a n －1，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －1，又a 1＝1≠0，所以a n a n －1＝2， 从而数列{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列，从而数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)c n ＝(－1)n －1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3， T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝13＋15－15－17＋…－14n ＋1－14n ＋3 ＝13－14n ＋3(n ∈N *)． (3)由(1)得d n ＝a n b n ＝n ·2n －1， D n ＝1×1＋2×2＋3×22＋…＋(n －1)·2n －2＋n ·2n －1，① ①×2得，2D n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n .② ①－②得－D n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ， 所以D n ＝(n －1)·2n ＋1， 由(1)得S n ＝2a n －1＝2n －1， 因为∀n ∈N *，都有D n ≤nS n －a ， 即(n －1)·2n ＋1≤n (2n －1)－a 恒成立， 所以a ≤2n －n －1恒成立， 记e n ＝2n －n －1，所以a ≤(e n )min ， 因为e n ＋1－e n ＝[2n ＋1－(n ＋1)－1]－(2n －n －1) ＝2n －1>0，从而数列{e n }为递增数列， 所以当n ＝1时，e n 取最小值e 1＝0，于是a ≤0.。

方法02 填空题解法与技巧（一）研究近几年浙江省高考命题情况看,浙江高考数学试卷逐步呈现如下特点：1.稳中求新,在保持结构总体稳定的基础上,科学灵活地确定试题的内容和顺序.2.更加强调数学运用,考查数学思维,减少繁杂的运算3.加大应用性考查4.体现对数学文化的考查5.加强对数学核心素养的考查（二）浙江高考数学试卷的风格：1.体现背景公平模糊性的概念一般不考2.多个命题的判断或选择问题一般不考3.流行题,陈题肯定不考4.简单套用公式的排列组合题一般不考5.抽象函数一般不做要求6.答案不唯一的题目不考7.控制单个小题的知识点8.大题设置力求体现梯度9.陷阱题尽量少考或不考10.平面向量、数列、不等式题尽量控制难度,特别是数列与不等式相结合的题目.（三）命题的特点1.小题简单问题：集合、复数、充要条件、函数的定义域与值域、函数的图象、对数与指数、幂函数、双曲线、古典概型、线性规划、期望与方差、二项式系数、2.小题中档问题：分段函数、基本函数I的函数图像与性质、三角函数基本关系与诱导公式、三角函数图象与性质、数列的性质与基本运算、基本不等式、向量坐标运算、数量积的几何意义、直线与圆、椭圆、三视图与面积体积；3.小题难题问题：主要考查数学学科能力,特别注意空间的动态问题（角）、函数的性质（分段函数要特别注意）与不等式为背景的问题、向量基本定理与基本运算为背景的新定义问题、解析几何有关的动态问题、排列组合、围绕平面向量的模与数量积设计的综合问题等.一、考向分析：二、经典考题典例1. （2018·浙江高考真题）若,x y 满足约束条件0,26,2,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则3z x y =+的最小值是___________,最大值是___________．典例2．（2019·浙江高考真题）在ABC △中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____；cos ABD ∠=________.典例3.（2017·浙江高考真题）已知向量,a b 满足1,2a b ==,则++-a b a b 的最小值是___________,最大值是______.典例4.（2016·浙江高考真题（文））如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=5,∠ADC=90°.沿直线AC 将V ACD 翻折成V ACD',直线AC 与BD' 所成角的余弦的最大值是______.典例5.（2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是_______.典例6.（2018·浙江高考真题）从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)典例7. （2018·天津高考真题（文））已知a R ∈,函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3,+∞）,f (x )≤x 恒成立,则a 的取值范围是__________．讲方法1．直接法直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,通过巧妙地变形、严密地推理和准确地运算,直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质,有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．例1. （2020·北京高三期末）春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ,各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设X 为其中成活的株数,若X 的方差 2.1DX =,(3)(7)P X P X =<=,则p =________． 例2.（安徽省安庆市2019届高三上期末）在中,,,所对的角为,,,且,的面积为,则的最小值等于__________．2．特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性,在利用此方法时,一般应多取几个特例.例3. （浙江省七彩联盟2019届高三上期中）已知量面,满足,,若对任意实数x 都有,则的最小值为______例4.（2018届二轮复习）设F 1,F 2分别是双曲线的左,右焦点,若双曲线右支上存在一点P ,使,O 为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为________．3．构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型,从而简化推导与运算过程,构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首先应观察题目,观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题的目的.例5.（2020·湖南高三期末（理））已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为______．例6.（中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月）若对任意的,均有成立,则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数,,,且是和在区间上的“函数”,则实数的取值范围是__________．4．数形结合法一些含有几何背景的填空题,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果,Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例7.（浙江省三校2019年5月份第二次联考）定义,已知函数,,,则的取值范围是__________,若有四个不同的实根,则的取值范围是__________．例8.（2020·广东高三（理））在平面直角坐标系xOy中,对曲线C上任意一点P,P到直线10x+=的距离与该点到点O的距离之和等于2,则曲线C与y轴的交点坐标是______；设点5,04A⎛⎫- ⎪⎝⎭,则PO PA+的最小值为______.例9.（福建省三明市2019届高三上期末）在平面直角坐标系中,点,动点满足以为直径的圆与轴相切.过作直线的垂线,垂足为,则的最小值为__________．。