重庆中考2017-2018学年上期几何证明习题一 (1)

2015年重庆中考数学24题专题练习1、如图,等腰梯形ABCD中，AD∥BＣ,AB=DC，E为AD中点，连接ＢE,CE(1)求证:BＥ=CＥ；（2）若∠BEC=9０°，过点B作ＢF⊥CD，垂足为点F，交CE于点Ｇ,连接DG，求证:BG=DG+CD.2、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC=９０°,Ｅ为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为ＣD上的一点F，并与BC交于点Ｇ.已知G为CH的中点．（1）若HE＝ＨG,求证:△EＢＨ≌△GFＣ；（２)若ＣD＝４,BH＝1，求ＡD的长．3、如图，梯形ＡBＣD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DＡB=6０°，E是对角线AC延长线上一点,Ｆ是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AＦ.(1)当CE=1时,求△ＢCE的面积;（２）求证：BD＝EF+CE．4、如图.在平行四边形ABCD中，Ｏ为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点,且.过点E ＥF∥ＣA,交CＤ于点Ｆ，连接OF．（1)求证：OＦ∥BC；(２)如果梯形ＯBEF是等腰梯形，判断四边形ＡBCD的形状，并给出证明．5、如图,梯形ABCD中,AD∥BC，∠AＢC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BF交AD的延长线于E,延长CD交BA的延长线于G,且ＤG=DE，AB＝，CF=6．(1）求线段CＤ的长；（2)H在边BF上,且∠HＤＦ=∠E,连接CＨ，求证：∠BＣH=45°﹣∠EＢC.6、如图,直角梯形ABCＤ中，AＤ∥BC,∠Ｂ=9０°，∠Ｄ=45°．(１)若AB=6cm，,求梯形ABCD的面积;(2)若Ｅ、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、ＤＡ上一点,且满足ＥF=GH,∠EFH=∠FHG，求证：HD=BＥ+ＢF．7、已知：如图，AＢCD中,对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CＤ，连接BF交AD于点E．(１)求证:AＥ=ED；(2)若AB=ＢC,求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形AＢCＤ中,点Ｇ是BＣ延长线上一点，连接AG，分别交BＤ、CD于点E、Ｆ．(１)求证:∠ＤAＥ=∠DCE;（2）当CＧ＝CＥ时,试判断CＦ与EG之间有怎样的数量关系?并证明你的结论．９、如图,已知正方形ABCＤ,点E是BＣ上一点，点F是CD延长线上一点,连接ＥF,若ＢE=DF,点P是EF的中点.(1)求证:DＰ平分∠ＡDC;(2)若∠ＡEB＝７5°，AB=2,求△DFP的面积．10、如图,在直角梯形ＡBCD中，ＡD∥BＣ,∠ABC=90°,ＢD=BC，E为CＤ的中点，交BC的延长线于F；（1)证明:ＥＦ=ＥA;（2)过Ｄ作DG⊥BC于Ｇ，连接EG，试证明：EG⊥AF.11、如图,直角梯形AＢCD中,∠DＡB=90°，AB∥CD,AB=AD，∠ABC=60度．以ＡD为边在直角梯形ABＣD 外作等边三角形ADＦ,点E是直角梯形ABCＤ内一点,且∠EAＤ=∠ＥDA＝15°，连接EB、EF.（1)求证：ＥB=EF;（２)延长FE交BC于点G，点G恰好是ＢC的中点,若AＢ＝6，求ＢC的长.12、如图，在梯形ABＣD中，ＡD∥ＢC，ＡB=DC=AD,∠C=6０°,AE⊥BD于点E,F是CＤ的中点,DG是梯形ＡBＣD的高.（1)求证:ＡE=ＧＦ;(2)设AＥ=１，求四边形DEGF的面积．1３、已知，如图在直角梯形ABＣＤ中，ＡD∥ＢＣ,∠ABC=90°,DＥ⊥AC于点F,交BＣ于点Ｇ，交AB的延长线于点Ｅ，且ＡE＝AC,连AG．(1）求证:FＣ=BE;（2)若ＡD=DC=２,求AG的长．1４、如图,直角梯形AＢCＤ中,AＤ∥ＢＣ,∠ABＣ=90°，点Ｅ是ＡB边上一点,AE=BC，DＥ⊥EC,取DC的中点F,连接AF、ＢＦ.（1)求证：ＡD=BE;（２）试判断△ＡBF的形状,并说明理由.15、（２011•潼南县)如图，在直角梯形ABＣD中,AＢ∥ＣＤ，AＤ⊥DC,AB=BC，且AＥ⊥BＣ．(1)求证：AD=AE；(２)若AD=8,ＤC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形AＢCD中,ＡD∥CB，Ｅ，F分别是BＤ,AＣ的中点,ＢD平分∠ABC.(1)求证:AＥ⊥BD;（2)若AＤ=4，BＣ＝14，求EF的长.17、如图，在梯形ABCD中,AD∥BＣ,∠D=9０°,BE⊥ＡＣ,E为垂足,ＡC=BC.（1)求证：CＤ=BE;（2)若AD=３，DC＝4，求AE.１8、如图，在梯形ABCD中,ＡD∥BＣ,ＡB⊥AC，∠B＝4５°,AD＝1,BC=4,求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC,AＢ＝BＣ=DC，点Ｅ、Ｆ分别在AD、AB上，且.（1）求证:ＢF＝ＥF﹣EＤ；（2)连接ＡC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ＡＣF的度数.20、如图，梯形ABCD中，ＡＤ∥ＢＣ,点E在BC上，ＡＥ=BE，且AＦ⊥AＢ，连接EF．（1）若EF⊥AF,AF＝4，AB=6,求AE的长.(2）若点Ｆ是CD的中点，求证:ＣＥ＝BE﹣AD.21、如图,四边形ABCD为等腰梯形,AD∥BC,ＡＢ=CD，对角线AＣ、ＢＤ交于点Ｏ,且AＣ⊥ＢＤ,DH⊥ＢC．（１）求证:DＨ=（ＡＤ+BＣ）;（2)若AＣ=6,求梯形ＡＢCＤ的面积．２2、已知，如图,△AＢC是等边三角形,过AＣ边上的点D作DG∥BＣ,交ＡB于点G,在GD的延长线上取点Ｅ，使DE＝DＣ,连接AE,BD．（1)求证:△ＡＧE≌△ＤAB；（2）过点E作ＥＦ∥DB，交ＢC于点F，连AF,求∠AFE的度数.23、如图，梯形ABCＤ中,ＡD∥BＣ,DE＝ＥC，EF∥AB交ＢC于点Ｆ，EF=EC,连接ＤF．(１）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AＤ=１，BC=3，DＣ=，试判断△DＣF的形状；（3）在条件（２）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.24、如图，在梯形AＢＣD中,AD∥BC，∠ＡBC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分别在AＤ、DＣ的延长线上，且DE=CF．ＡF交BE于P．（1)证明:△ABE≌△DAF；(2)求∠BPF的度数．２5、如图,在梯形ABCD中，AD∥ＢＣ,ＡＢ=AD=ＤC，BD⊥DC，将BC延长至点Ｆ，使ＣF=CD．（1)求∠AＢC的度数;(2）如果BＣ=8,求△DBF的面积？26、如图,梯形ABＣD中,ＡD∥BC,AB＝DC=１0cｍ,AC交BD于G,且∠ＡGＤ=60°,Ｅ、F分别为CG、ＡB的中点．（1)求证：△AＧD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC,∠AＢC=９０°,AB=ＢC,点E是AＢ上的点，∠ECD=4５°,连接ED，过D作DF⊥B Ｃ于F.（１）若∠BEＣ=75°，FＣ=３,求梯形ＡBCD的周长．(2)求证:EＤ＝BＥ+ＦC．2８、(2０05•镇江)已知：如图，梯形AＢＣD中,AD∥BC,E是AＢ的中点，直线CE交ＤA的延长线于点F．（1）求证:△BCE≌△ＡFE；（2)若AB⊥BC且BＣ=4，AＢ＝6，求EF的长.2９、已知：如图,在梯形ＡBCD中,ＡD∥BC，BC＝DC,CF平分∠BCD,ＤF∥AＢ,BF的延长线交DC于点E. 求证：(1)△BＦC≌△DFC;（2）AD=DＥ;（3）若△DEF的周长为6,AD=2，BＣ＝５,求梯形AＢCD的面积．３0、如图,梯形ABＣＤ中,AD∥BC．∠Ｃ=90°，且AＢ＝ＡD．连接BD，过Ａ点作BＤ的垂线,交BC于E．(1)求证：四边形ABED是菱形；（2)如果EC＝3cm,ＣＤ=4ｃm,求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥ＢC,AB＝ＤＣ，E为AD中点,连接ＢＥ,ＣE(1)求证:ＢE＝CE；(2)若∠BＥC＝90°,过点B作ＢF⊥CD,垂足为点F,交CE于点G，连接DＧ,求证：BG＝ＤＧ+CＤ．证明：(1）已知等腰梯形ABCＤ中，ＡD∥ＢC,AＢ=DC，E为AＤ中点，∴AＢ=DC，∠ＢＡE=∠CDE,ＡE=ＤE,∴△BAE≌△CDE，∴ＢE＝CＥ;（2)延长CＤ和ＢE的延长线交于H,∵BF⊥ＣD,∠HEC=90°，∴∠EBＦ+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EＢF＝∠ECＨ,又∠BＥＣ=∠ＣEＨ=90°,BＥ=CＥ（已证),∴△BEＧ≌△ＣEH，∴EG=EＨ，ＢG=CH=DＨ+CD,∵△BAE≌△ＣDE(已证）,∴∠AEB=∠GEＤ，∠ＨED＝∠ＡEＢ,∴∠GED=∠HED,又ＥG=ＥＨ（已证),ED=ＥD,∴△ＧEＤ≌△HED,∴DG=DH,∴ＢG=DG+ＣD.2、如图，在直角梯形ＡBＣD中,ＡＤ∥BC,∠ABC=90°,Ｅ为AＢ延长线上一点,连接ED,与BＣ交于点H．过Ｅ作ＣD的垂线,垂足为CD上的一点F，并与BＣ交于点G.已知G为CH的中点.（1）若ＨE＝HＧ,求证:△EBＨ≌△GＦC;(2)若CD＝4,BH=1，求AD的长．(1）证明:∵HE＝HG,∵∠HGE＝∠FＧC,∠BＥH=∠HEG,∴∠BEH＝∠FGＣ，∵G是ＨC的中点，∴HG=ＧC，∴HE＝GＣ,∵∠HBE=∠CFＧ＝90°.∴△ＥBH≌△GFC；(2)解：∵EＤ平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°，∴AＤ=DF，∵DＦ＝DC﹣ＦＣ，∵△EＢH≌△ＧFC,∴FC＝BＨ=1,∴AD=4﹣1=3．３、如图，梯形ABCD中,AB∥CD，AD=DC=BＣ，∠DAB＝6０°,Ｅ是对角线AC延长线上一点,Ｆ是ＡD延长线上的一点，且EB⊥ＡB，ＥF⊥AF.（1）当CE＝１时,求△ＢCE的面积；(2)求证:BD=EＦ＋ＣE.(2)过E点作EM⊥ＤB于点Ｍ,四边形FＤME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE＝90°,∠BＥC＝∠ＭBＥ=６０°,△BME≌△EＣB，BM=CＥ，继而可证明BＤ=DM＋BM=EF+CＥ.（1)解:∵AD=CD，∴∠DAC=∠ＤＣA,∵DC∥AB,∴∠ＤCA=∠ＣAB,∴，∵DC∥AＢ，ＡＤ＝BC，∴∠ＤＡB=∠ＣBA＝6０°,∴∠ACＢ＝180°﹣（∠ＣAＢ+∠CＢA）＝９０°,∴∠BＣE=18０°﹣∠ACB=９０°,∵ＢE⊥AB,∴∠ABE=90°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC=30°,在Ｒt△BCE中，BE=2ＣＥ=2，,∴…(5分)(２）证明:过Ｅ点作ＥＭ⊥DＢ于点M，∴四边形FDMＥ是矩形,∴FE＝ＤM，∵∠BME=∠BCE=９0°,∠ＢEC=∠ＭBＥ=60°,∴△BME≌△EＣB，∴BM=CE,∴ＢＤ=DM+BＭ=ＥＦ+CE…（1０分)4、如图.在平行四边形ＡBCD中,O为对角线的交点,点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作ＥF∥CA,交CD于点Ｆ，连接OＦ.（1）求证:ＯF∥BC;（2)如果梯形OBＥＦ是等腰梯形,判断四边形ABCD的形状,并给出证明．解答：(1）证明：延长EF交AＤ于G（如图),在平行四边形ABＣD中，AD∥BC,AD=ＢC，∵EＦ∥CA，EG∥ＣＡ，∴四边形ＡＣEG是平行四边形，∴ＡG=ＣＥ,又∵,ＡD=BC，∴,∵ＡＤ∥BＣ，∴∠ADC=∠ECF,在△CEＦ和△DＧF中,∵∠CＦE=∠DFＧ,∠ＡDC＝∠ECF，CE=DG,∴△CEＦ≌△DGＦ(AＡＳ）,∴CF＝DＦ，∵四边形ABCＤ是平行四边形,∴ＯF∥BE．（2)解：如果梯形OBEＦ是等腰梯形，那么四边形ABCＤ是矩形.证明:∵OF∥CE，EF∥ＣO，∴四边形OCEＦ是平行四边形,∴ＥＦ=ＯC，又∵梯形ＯBＥＦ是等腰梯形，∴BO=ＥF,∴OB＝OC，∵四边形ABCD是平行四边形,∴ＡC=2ＯC,BD＝２BO.∴AＣ=BD，∴平行四边形AＢCD是矩形.５、如图,梯形AＢCD中,AＤ∥ＢC，∠ABC=９0°,BF⊥CＤ于F,延长BＦ交AD的延长线于Ｅ，延长CD交BＡ的延长线于G,且DG＝DE,ＡB=,ＣF＝6．(1)求线段CＤ的长；（2）H在边BF上，且∠HDF＝∠E,连接CＨ,求证：∠BCＨ=45°﹣∠EBＣ．(１）解:连接BD,由∠ＡＢC=９0°，AD∥BＣ得∠ＧAD=９0°,又∵BF⊥ＣD,∴∠DFＥ=90°又∵ＤG=DE，∠ＧＤA=∠EDF,∴△GAD≌△EFＤ,∴ＤＡ=DF,又∵ＢD=BD,∴Ｒt△BAD≌Rt△BFD（HL)，∴BF＝BＡ=，∠ADＢ=∠BＤF又∵CF=６，∴BC=,又∵AD∥BC,∴∠BD Ｆ=∠CBD ，∴C Ｄ=CB=8.(2）证明：∵AD ∥BC ，∴∠Ｅ=∠CBF ，∵∠ＨＤＦ=∠E,∴∠HDF=∠ＣBF,由（1)得,∠ADB=∠CBD ，∴∠ＨＤB=∠HB Ｄ,∴ＨD=H Ｂ，由（１）得CD ＝CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△C ＤH ≌△CB Ｈ，∴∠DCH ＝∠BCH ，∴∠BC Ｈ=∠BCD==．6、如图，直角梯形AB ＣD 中,AD ∥BC ，∠B=90°，∠D ＝45°．（１）若AB=6ｃm ，,求梯形ＡBC Ｄ的面积；（2）若E 、F 、G 、H 分别是梯形ＡＢＣD 的边AB 、BC 、ＣD 、ＤA 上一点,且满足E Ｆ=ＧＨ，∠E ＦH=∠F ＨG,求证：HD=ＢE+BF.解:(1)连AC ，过C 作CM ⊥ＡD 于M ，如图，在Rt △ABC 中,ＡB=6，ｓin ∠ACB==， ∴AC ＝10,∴BC ＝8,在Ｒt △C ＤＭ中，∠D=4５°,∴AD=6+８=14,∴梯形ＡBCD的面积=•（8+１４)•6=66(cm2);（2）证明：过Ｇ作GＮ⊥AD,如图，∵∠D=4５°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN＝ＧＮ，又∵ＡD∥BＣ,∴∠BＦH=∠ＦHＮ，而∠EFH＝∠FHG,∴∠BＦE＝∠ＧHN,∵EＦ=GH,∴Ｒt△BEＦ≌Rt△NGＨ,∴ＢE=ＧＮ，BF=ＨN，∴ＤA=AＮ+DN=AN+DG=BＦ+ＢE.7、已知：如图,▱ABCD中,对角线AC，BD相交于点O,延长ＣD至F，使DF=CD，连接ＢＦ交AD于点Ｅ．（1)求证:AE＝ＥD；(2）若AB＝ＢC,求∠CAＦ的度数.（1)证明：如图.∵四边形ＡBCD是平行四边形,∴ＡB∥ＣD，ＡB=CD.∵DF=CＤ，∴AB∥DＦ．∵ＤF=CD，∴ＡB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，(2）解:∵四边形ＡBＣD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ＡBCＤ是菱形．∴ＡC⊥BＤ.∴∠COＤ=90°.∵四边形ＡBDF是平行四边形,∴AF∥BD.∴∠CAF=∠ＣＯD=９0°．８、已知：如图,在正方形ＡBCD中,点G是BC延长线上一点，连接AＧ,分别交BD、CD于点E、F. (1）求证:∠DAＥ=∠ＤＣE；(2）当ＣG=CE时，试判断CＦ与EＧ之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.（1)证明：在△DAE和△DCＥ中，∠ADE=∠ＣDE（正方形的对角线平分对角）,ED=DE（公共边）,AＥ=CＥ（正方形的四条边长相等）,∴△ＤAE≌△ＤCE （ＳAS)，∴∠ＤAE=∠ＤCE（全等三角形的对应角相等）;（2）解:如图,由(1)知，△DAＥ≌△DCＥ,∴AE=EＣ，∴∠EAC=∠EＣA(等边对等角)；又∵CG=CE(已知）,∴∠Ｇ＝∠CEG（等边对等角);而∠CEＧ=2∠EＡC（外角定理),∠ＥＣB=2∠CＥG(外角定理），∴4∠EAＣ﹣∠ECA=∠ＡＣB=45°,∴∠G=∠ＣＥG=30°；过点Ｃ作ＣH⊥ＡG于点H,∴∠FCH＝30°,∴在直角△ＥCH中,EH=CH，EG＝２CH,在直角△ＦCH中,CH＝CF，∴ＥG=2×CF=３CF.9、如图,已知正方形AＢCD，点Ｅ是BC上一点，点F是CD延长线上一点,连接ＥF,若BE＝ＤF，点P是EＦ的中点．(1）求证:DP平分∠ADC;(2)若∠AＥＢ=7５°,ＡB=２，求△ＤFＰ的面积.(1）证明:连接ＰC．∵ABCD是正方形,∴∠ＡＢE＝∠AＤF=９0°，AB=AD．∵BＥ=ＤＦ，∴△ＡBＥ≌△AＤＦ.(ＳAS）∴∠BAE=∠DAＦ,AE=AF.∴∠EＡＦ=∠BＡD=９０°．∵P是ＥＦ的中点，∴PA＝EF，ＰＣ=ＥF,∴PＡ=PC．又AD=CD，ＰD公共，∴△ＰAD≌△PCD,（ＳSS)∴∠ADＰ＝∠ＣＤP,即DP平分∠ADC；（２)作PH⊥CF于Ｈ点.∵P是ＥF的中点，∴PH=EC.设EC=x．由(1)知△ＥAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC＝180°﹣4５°﹣75°=6０°,∴EF=2x，FC＝ｘ，BE=2﹣x．在Ｒｔ△ABE中，2２＋(2﹣x）2＝（x)２解得x1=﹣2﹣2（舍去）,ｘ２=﹣2+2.∴ＰH=﹣1+,FD=(﹣2＋2）﹣2＝﹣2+4．∴S△ＤPF=（﹣2+4）×＝3﹣5．10、如图，在直角梯形AＢＣD中，ＡＤ∥BC，∠AＢＣ＝9０°,BD=ＢC,E为CD的中点，交BC的延长线于F; （１）证明:EF=EＡ;（2)过Ｄ作DG⊥ＢＣ于G,连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AＤ∥BC,∴∠DAE=∠F，∠ＡDE=∠FＣE.∵E为CＤ的中点,∴ED=EＣ.∴△ADE≌△FＣE．∴ＥＦ=EA.（5分)(2）解：连接GＡ，∵AD∥BＣ，∠AＢC＝9０°,∴∠ＤAＢ=90°.∵DG⊥ＢC，∴四边形ＡBGＤ是矩形．∴BG=AD,GA=BD.∵BD=BC,∴GA=BC．由(1）得△ADE≌△FCE，∴AD＝FC．∴GF＝ＧC+FC=ＧC+AD＝GC+BG=BC=ＧA.∵由(1）得EF=ＥA，∴EG⊥AF.(5分)11、如图,直角梯形ABCD中,∠ＤAB=90°，ＡB∥CD,AＢ=AD，∠ＡBC=６0度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形AＤF,点E是直角梯形AＢCＤ内一点，且∠EＡD=∠EDA=15°,连接EＢ、ＥF.（１）求证：ＥＢ=EＦ;（2)延长FＥ交BC于点G,点Ｇ恰好是ＢC的中点，若AB=6,求BＣ的长．（１）证明：∵△ADＦ为等边三角形,∴ＡＦ=AD，∠FAD=60°(１分）∵∠DAB=９０°，∠EＡD＝15°,AＤ=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°,AＢ=ＡＦ,(３分)∵AE为公共边∴△FＡE≌△BAE(４分)∴ＥF＝EB（5分）（2)解:如图,连接EC.（6分）∵在等边三角形△ADＦ中,∴FD＝FA，∵∠EAＤ=∠ＥＤA=15°,∴ED=EA,∴EＦ是ＡD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°.（7分）由（1)△FＡE≌△BAE知∠EBA=∠ＥＦA=30°．∵∠ＦAE=∠ＢAE=75°，∴∠BEA＝∠BＡE＝∠ＦEA=75°,∴BE＝BＡ=6.∵∠FＥＡ+∠BEA+∠GＥＢ＝１80°,∴∠ＧEB=30°，∵∠ABC＝6０°，∴∠GBＥ=30°∴GE=GB．(8分)∵点Ｇ是BC的中点，∴ＥＧ=ＣG∵∠ＣGE=∠GEＢ＋∠GBＥ=６0°，∴△CEG为等边三角形，∴∠ＣＥG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEＢ=90°(9分)∴CE=，∴BＣ=(10分）;解法二：过Ｃ作ＣＱ⊥ＡB于Q，∵CQ=AB=ＡD=6，∵∠ＡBC＝6０°,∴BC＝6÷=4.1２、如图，在梯形ＡBCD中,AD∥BＣ,AＢ=DC=ＡD，∠C=60°，AE⊥ＢＤ于点E,F是CD的中点,DＧ是梯形ABCD的高．(１)求证：ＡE=GF；(2)设AＥ=1，求四边形DＥGF的面积.(1）证明：∵AB＝DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C＝60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ＡBD＝∠ADB=30°.∴∠ＤBC=∠ADB＝30°．∴∠ＢDC＝90°．（1分）由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高,∴E是BＤ的中点，∵F是DC的中点,∴ＥF∥BC．∴EF∥ＡD.∴四边形AEＦD是平行四边形.（3分)∴AE＝ＤＦ(４分）∵F是ＤＣ的中点,DG是梯形ＡBCD的高,∴GF=DF，(5分）∴AE=GF.（6分）（2)解:在Rｔ△AED中，∠ＡDB=3０°,∵ＡE=1,∴ＡD=2．在Rｔ△DGC中∠C＝60°，并且ＤC＝ＡD=２，∴DG＝．(８分）由（１)知:在平行四边形AEFD中EF=AＤ=2,又∵DＧ⊥BC，∴四边形DＥGF的面积=EＦ•DG=.（1０分）13、已知,如图在直角梯形AＢCＤ中,AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BＣ于点G,交AＢ的延长线于点E，且AE=AC，连ＡG.（1）求证：FC＝BＥ；（２）若AD=DC=2,求AG的长.解答:（1）证明：∵∠AＢC=90°，DE⊥AC于点Ｆ,∴∠ABC=∠AFE.∵AC=AE，∠ＥAF=∠CAB,∴△AＢＣ≌△AFE,∴AB=ＡF．∴ＡＥ﹣AＢ=AＣ﹣AF，即FC=BE;（2）解:∵AD=DC=２,ＤF⊥AＣ，∴ＡＦ=AC=AE．∴AG＝CG,∴∠E=３０°．∵∠ＥAD=90°,∴∠ADE＝60°，∴∠FAＤ＝∠Ｅ=3０°,∴FＣ=，∵AＤ∥BC，∴∠ACＧ＝∠FＡD=３0°，∴CG＝2，∴AG=2．14、如图,直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是ＡB边上一点，AＥ＝ＢＣ，ＤE⊥ＥC,取ＤC的中点F，连接AF、BF.(1）求证：AＤ=BE；（2)试判断△ABF的形状，并说明理由.∴∠BAＤ+∠ABＣ=180°,∵∠ABC=９０°,∴∠ＢＡD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEＣ=９0°∵∠ＡEＤ+∠ＡDＥ=90°,∴∠ＢEC＝∠ADE，∵∠ＤAE=∠EBC，AE=BC,∴△EAD≌△EBＣ,∴ＡD=BE．（２)答：△ＡBF是等腰直角三角形．理由是:延长AF交ＢC的延长线于M,∵AＤ∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠ＡFＤ=∠CFM，DF＝FC,∴△ADF≌△MFC，∴AＤ＝CＭ，∵ＡD=BE，∴BＥ=CＭ，∵AE=BC，∴AＢ=BM,∴△ABM是等腰直角三角形，∵△AＤF≌△MＦC，∴AF=FＭ，∴∠ABC＝90°,∴BF⊥AM，BF＝AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形．１５、（２011•潼南县)如图，在直角梯形ABＣＤ中，AＢ∥ＣD,ＡＤ⊥DＣ,AB=BＣ，且AE⊥BC．(1)求证:AＤ=AＥ;(2)若AD=8，ＤC＝4，求ＡＢ的长．解答：（１)证明：连接AＣ，∵ＡB∥CD，∴∠ACＤ＝∠ＢＡC，∵AB=BＣ,∴∠ACＢ＝∠ＢＡC,∴∠AＣＤ=∠ＡCＢ，∵AD⊥DC,AE⊥ＢC，∴∠D=∠AEＣ=9０°，∵AC＝AC,∴，∴△ADC≌△AEC,（AAS)∴AＤ=ＡE;（2）解:由（１)知：AD＝ＡE,DC=EC，设ＡB＝x，则ＢE＝x﹣4，ＡE＝8，在Rｔ△ABE中∠AEＢ=９０°，由勾股定理得:82+(ｘ﹣4）2=x２，解得:ｘ=1０，∴AB=１0．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥ＡB用来证明和计算均可得分．１６、如图,已知梯形ABCD中，ＡＤ∥CＢ,E，F分别是BＤ，AC的中点,BD平分∠ＡBC．（1)求证：AE⊥BＤ；(2）若AD=4,BＣ=１4，求EF的长.（１）证明:∵ＡＤ∥CＢ,∴∠ADB=∠CBＤ,又BD平分∠ABC,∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABＤ,∴ＡB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知Ｅ是BD的中点，∴AE⊥BＤ.(2)解:延长AE交ＢＣ于Ｇ,∵BD平分∠ABＣ，∴∠ABE＝∠GBE,又∵AE⊥BD(已证)，∴∠AEB＝∠GＥB,BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴ＡＥ=GE，BG＝ＡB＝ＡD，又F是AC的中点（已知)，所以由三角形中位线定理得：EF=ＣG＝(ＢC﹣BG)=（BC﹣ＡD)=×(14﹣4）=5．答：ＥF的长为5.17、如图，在梯形ABCD中,AD∥BC，∠D＝90°,ＢE⊥AＣ,Ｅ为垂足,AC=BC.(1)求证:ＣD=BE；(2)若AＤ＝3，DC=4,求ＡE.(1)证明：∵ＡD∥BC，∴∠ＤAＣ=∠BＣE，而BE⊥AＣ,∴∠D＝∠ＢEC=90°,AＣ=BC，∴△BCE≌△CAＤ.∴CD＝BE.(2）解：在Rt△ADC中,根据勾股定理得AＣ==5,∵△BＣE≌△CAD，∴CE＝AD=3.∴AE＝ＡC﹣ＣE=2．18、如图，在梯形ＡBCD中，AＤ∥ＢC，ＡB⊥AC，∠B=45°,ＡD=1，BC=4,求DC的长.解：如图,过点Ｄ作DF∥ＡB,分别交ＡＣ,BC于点E，F．（1分)∵ＡB⊥AC,∴∠AED=∠ＢＡC=９0度.∵AD∥ＢC,∴∠DAE=1８0°﹣∠B﹣∠ＢAC=4５度．在Rt△ABＣ中,∠BAC＝90°，∠B=４５°,BC=4,∴ＡＣ＝BC•ｓin4５°=4×=2（2分）在Rt△ADE中,∠ＡEＤ=90°，∠ＤAE=4５°，ＡD=1,∴DE=AE=.∴CＥ=AC﹣AＥ=．(4分）在Rｔ△DEC中，∠ＣED＝9０°,∴DC==.（5分）１９、已知梯形ABCＤ中，AＤ∥BC，AB=BC=DC,点Ｅ、F分别在ＡD、AＢ上,且.（１)求证:BF＝EF﹣ED;(2）连接ＡC,若∠Ｂ=80°,∠DEC＝７0°，求∠ＡCＦ的度数.证明：∵FC=F′C，EC＝EC,∠ECＦ'=∠BCF+∠DCE=∠ＥCF，∴△FCE≌△F′CE,∴EF′＝EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;(２)解：∵AＢ＝BC,∠Ｂ=8０°,∴∠AＣB=50°，由（1)得∠FＥＣ=∠ＤEC＝７０°,∴∠ＥCB=70°,而∠Ｂ=∠BCD=80°，∴∠DCE＝10°,∴∠BCF=3０°，∴∠ACＦ=∠ＢＣA﹣∠BＣＦ＝20°．20、如图，梯形ＡBCD中,AD∥BC,点E在BC上,AＥ=BE，且ＡF⊥AB,连接ＥF．(1）若EF⊥ＡF,ＡＦ=４,AB＝6,求ＡＥ的长．(2）若点F是ＣD的中点,求证：CE=BE﹣AD．解：（１）作ＥＭ⊥AB，交ＡB于点Ｍ．∵AE=BE,EＭ⊥ＡＢ，∴AＭ=BM=×6＝3；∵∠AＭE＝∠MAF＝∠AFＥ=90°,∴四边形AＭEＦ是矩形，∴EF=ＡＭ＝３;在Ｒt△AFE中，AE＝＝5；(2)延长AＦ、ＢＣ交于点N.∵ＡD∥EN，∴∠DAＦ=∠N;∵∠AFD＝∠NFC,ＤF＝FＣ,∴△ADF≌△NCＦ（AAS），∴AD＝CN；∵∠B＋∠N=90°,∠BAE+∠EAN=９0°,又AE=BE,∠B＝∠BAE，∴∠N=∠ＥAN，ＡE=EＮ,∴BE=EN=EC＋ＣN=ＥC＋AD,∴ＣＥ=BE﹣AD．.2１、如图，四边形ＡBCD为等腰梯形，AD∥BC,AB=ＣD,对角线AＣ、BD交于点Ｏ，且AC⊥BD,DH⊥BC.(1)求证:DH=(ＡD+BC);(2)若AC=6,求梯形AＢＣD的面积．解:(1）证明：过D作DE∥AＣ交ＢC延长线于Ｅ，(1分）∵AＤ∥BC,∴四边形AＣED为平行四边形.(2分)∴ＣＥ＝AＤ，DＥ=ＡＣ.∵四边形ＡBCＤ为等腰梯形，∴BD=AC＝DE.∵AC⊥BD,∴DE⊥ＢD．∴△DBE为等腰直角三角形．(4分）∵DH⊥BC，∴ＤＨ=BE=（CE＋BC）=(AD＋BC）．(5分）(2）∵AＤ=CＥ，∴．(7分)∵△DBE为等腰直角三角形BD=DE＝6，∴.∴梯形ABCＤ的面积为１8．(８分)注：此题解题方法并不唯一．22、已知,如图，△ABC是等边三角形,过AＣ边上的点D作DＧ∥BＣ，交AB于点G,在GD的延长线上取点Ｅ,使ＤE=DC,连接AE,BD．(1）求证:△AGＥ≌△ＤＡB;（２）过点E作EF∥ＤB，交BC于点F,连AF,求∠ＡFE的度数.（1）证明:∵△ＡBC是等边三角形，DG∥ＢC,∴∠AGＤ＝∠AＢC=60°,∠ADG＝∠ACＢ＝60°,且∠BAC=6０°,∴△AGD是等边三角形，AG=ＧＤ=ＡＤ,∠AGD=6０°.∵ＤＥ=DC，∴GE＝GD＋DE=AＤ＋DC=AC=ＡB，∵∠AＧD＝∠BＡD,AG=AD,∴△ＡGE≌△DAB;(2)解：由(1)知AＥ=BD，∠AＢＤ=∠ＡEG．∵ＥF∥ＤB，DG∥BC,∴四边形BFED是平行四边形.∴EF=BD，∴ＥF=AＥ.∵∠DＢC=∠ＤＥF,∴∠ABD＋∠ＤＢC＝∠AＥG＋∠ＤEF，即∠AEＦ=∠ＡBC=60°.∴△ＡFＥ是等边三角形,∠AＦＥ＝6０°．23、如图，梯形ABCD中,AD∥ＢＣ,ＤE=ＥＣ,ＥF∥AB交ＢＣ于点F,ＥＦ=ＥC，连接ＤF.（１）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2)若ＡD=１，BC=3,DC=，试判断△ＤＣF的形状；(3)在条件（2)下，射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出ＰB的长；若不存在,请说明理由.解:(1)证明：∵EF=ＥＣ，∴∠EFC=∠EＣF,∵EＦ∥ＡB,∴∠Ｂ=∠EＦC，∴∠B＝∠ECF,∴梯形ABＣＤ是等腰梯形；（2)△DCF是等腰直角三角形，证明：∵ＤE＝EC,EＦ＝EC，∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形)，∵梯形ABCＤ是等腰梯形,∴CF=(ＢC﹣AD）=1，∵ＤＣ=,∴由勾股定理得:ＤＦ＝1，∴△DCＦ是等腰直角三角形;（3）共四种情况：∵DF⊥BC,∴当PF=CF时，△PCＤ是等腰三角形，即PＦ＝1,∴PB=1；当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=２；当PC=CD=（P在点Ｃ的左侧)时，△ＰCD是等腰三角形，∴PＢ=３﹣；当PC=CD=(P在点C的右侧）时，△PCD是等腰三角形，∴PB=３+.故共四种情况：PＢ=1，PB＝2，ＰB=３﹣，PB＝３＋.（每个１分)24、如图，在梯形ＡBCD中,AD∥BC,∠ＡBＣ=∠ＢCD=６0°，ＡD=ＤC，E、F分别在ＡD、DＣ的延长线上，且DＥ=CＦ.AF交ＢE于Ｐ.(1）证明:△ABE≌△DAF;（2）求∠BPＦ的度数.解答:(1)证明：∵在梯形ABCＤ中,ＡD∥ＢC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB＝CＤ,∵AD=DC,∴ＢA=AD，∠BAＥ=∠ADF＝120°，∵ＤE=CＦ,∴ＡE=DF，在△ＢＡＥ和△ＡDF中，，∴△ABE≌△ＤAＦ（SAS)．(2)解：∵由(1)△BAE≌△ＡDF,∴∠ＡBＥ＝∠DAF.∴∠BPF=∠ABＥ+∠BAP=∠ＢAE．而AD∥BＣ,∠C=∠AＢC=60°，∴∠BPF＝1２０°．25、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC，ＡＢ=ＡD=DＣ，ＢＤ⊥DＣ,将BC延长至点F,使CF=CD．(1)求∠ABC的度数；(2)如果BC=8,求△DBＦ的面积？解答:解：（1）∵ＡD∥ＢC,∴∠ADB＝∠DＢC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ＡＢD,∴∠ＤＢC＝∠AＢＤ，∵在梯形ABCD中ＡB=DＣ,∴∠ＡBＣ=∠DＣB=2∠ＤBＣ，∵ＢＤ⊥DC，∴∠DBC+2∠ＤＢC=90°∴∠ＤBC＝30°∴∠AＢC=6０°（2)过点D作DＨ⊥BC,垂足为H,∵∠DBC=30°，BＣ=8,∴DＣ=4，∵ＣF=CD∴ＣＦ=4，∴BF=12,∵∠F+∠ＦＤＣ＝∠DCB=60°，∠F=∠FDC∴∠Ｆ=30°,∵∠ＤBC=30°,∴∠F＝∠DBC,∴DＢ=DF,∴，在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DＢF的面积为.26、如图，梯形ABCＤ中，AD∥BC,AB=DC=10ｃm,AC交BＤ于G，且∠AGD=６0°,E、F分别为CG、AB的中点.（1)求证：△AGD为正三角形；（2)求EF的长度．(1)证明：连接BE,∵梯形ＡＢＣD中,AB=DC,∴AC＝ＢＤ,可证△ABＣ≌△ＤCB,∴∠ＧCB=∠GＢC,又∵∠ＢGC＝∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形,(2)解：∵BE为△BＣG的中线,∴ＢE⊥AＣ,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,∴EF=AＢ=5cｍ.2７、已知,如图,ＡD∥ＢC,∠ＡBC=90°,ＡB=BC，点E是AB上的点,∠ＥCD=45°,连接ＥD，过Ｄ作DＦ⊥BC于F．(1）若∠BEＣ=7５°，ＦC=3,求梯形AＢCD的周长．（２)求证:ED＝BE＋FＣ．解：（1)∵∠BEＣ=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠ＤCF=60°,在Ｒt△DFC中:∠ＤCＦ=60°,FC=3,∴DF=３，DC=6,由题得,四边形ABFＤ是矩形,∴AＢ＝DF=3,∵AB＝BＣ,∴BC＝3,∴BF＝BC﹣ＦＣ＝3﹣3，∴AD=ＤF=３﹣3，∴C梯形ＡBCＤ=3×2+6+3﹣3=９+3,答:梯形ABCD的周长是9＋3．(2）过点C作CM垂直AD的延长线于Ｍ,再延长ＤＭ到N，使MN＝BE, ∴CＮ=CＥ，可证∠NＣD=∠ＤCE,∵CD=ＣD，∴△DEＣ≌△DＮC,∴ＥD=ＥN,∴EＤ=BＥ＋FC．2８、(２005•镇江）已知:如图,梯形ABＣＤ中，AD∥ＢC,Ｅ是AB的中点,直线CE交DA的延长线于点F. （１）求证:△ＢCE≌△AＦE；（2）若AB⊥ＢC且ＢC=4,AB＝6，求EF的长．（1）证明:∵ＡD∥ＢC,E是AB的中点,∴AE=BＥ,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F．∴△BCE≌△AＦＥ(AAS).(2)解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°.∵AE＝BＥ，∠ＡEF=∠BEC，∴△BCE≌△AＦE．∴AF=BＣ=４．∵EF2=AF2+AE２=9+16=25，∴EF=5.２9、已知：如图,在梯形ＡBＣD中,AD∥ＢC,BC=DC,CF平分∠BCD，ＤF∥ＡB，BF的延长线交DC于点E.求证:（1)△ＢFＣ≌△DFＣ;（2）ＡD＝DE；（3)若△DＥF的周长为6,ＡD=2,BC=5，求梯形ABCD的面积．（１）∵DC=ＢC,∠１＝∠2，CF=ＣF,∴△DCF≌△BCF．(2）延长DF交ＢC于G，∵ＡD∥BG，AB∥DＧ，∴四边形AＢGD为平行四边形．∴AＤ=ＢG．∵△DFＣ≌△BＦC，∴∠EＤF=∠GBＦ，DＦ=ＢF．又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFＧ．∴DE=ＢＧ,EＦ=ＧF.∴ＡD＝DＥ．(3）∵EF=GF，ＤF＝BF,∴EF＋ＢF＝GF＋ＤF，即:BE＝DG．∵ＤG=ＡＢ,∴ＢE=ＡＢ.∵Ｃ△ＤＦE=ＤF+FＥ+DＥ＝6，∴BF+FE＋DＥ＝6,即：EB+DE=６.∴AB+ＡD=6.又∵ＡD＝2,∴AB=4.∴DG=ＡB=4.∵BG＝AD=2，∴GC=BＣ﹣BG＝5﹣2＝3．又∵ＤC=BC=５，在△ＤGC中∵42+３2=5２∴DG２+GC2=DC2∴∠DGC=90°．∴S梯形ABCD=（AD＋BC)•ＤG=(2+５）×4=14.30、如图,梯形ABCD中，AD∥ＢC.∠C=90°，且ＡB=AＤ.连接BD,过A点作ＢD的垂线，交BＣ于Ｅ．（1）求证：四边形ABEＤ是菱形;(2）如果EC=３cm，ＣＤ＝4cm,求梯形ABＣD的面积.解答：解:(1）证明:∵AＤ∥BC，ＤE２＝CＤ２+CE2=4２+３２=25,∴∠OAD=∠OＥＢ，∴DE＝5又∵ＡB=ＡD，ＡＯ⊥BD，∴AD=ＢE=５，∴OＢ＝ＯD，∴S梯形ＡＢCＤ=．又∵∠AOD=∠ＥOＢ，∴△ADO≌△EBO(AAＳ),∴AＤ=ＥＢ,又∵ＡD∥ＢE,∴四边形AＢCＤ是平行四边形,又∵AＢ=ＡD∴四边形ＡBCＤ是菱形.(２)∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DＥ=BE,。

重庆中考几何题分类汇编（含答案）类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.(1)求证：MQ＝NP；(2)求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.2．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，E 为边AC 任意一点，连接BE.(1)如图①，若∠ABE＝15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO ＝1，求BC 的长；(2)如图②，F 也为AC 上一点，且满足AE ＝CF ，过A 作AD⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF 交BE于点G ，连接AG.若AG 平分∠CAD，求证：AH ＝12AC.3．在△ACB 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE⊥BD 于E ，交BC 于F.(1)如图①，若AB ＝4，CD ＝1，求AE 的长；(2)如图②，点G 是AE 上一点，连接CG ，若BE ＝AE ＋AG ，求证：CG ＝2AE.4．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD.(1)如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD ＝6时，求AE′的值．(2)如图②，在AC 上取一点E ，使得CE ＝13AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证：DF ＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.(1)若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；(2)求证：EG＝BG＋FC.2．如图，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF⊥CP 于点C ，交AB 于点F ，过点B 作BM⊥CF 于点N ，交AC 于点M.(1)若AP ＝78AC ，BC ＝4，求S △ACP ；(2)若CP －BM ＝2FN ，求证：BC ＝MC.3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为一边向外作菱形ABDE ，连接DC ，EB 并延长EB 交AC 于F ，且CB⊥AE 于G.(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；(2)试问线段AE ，AF ，CF 之间的数量关系并证明．类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.(1)求∠EBD的度数；(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.(1)求证：E是AD中点；(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z 3－12，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，连接AE ，AF ，DE 、EF ，∠DAE ＝∠BAF.(1)求证：CE ＝CF ；(2)若∠ABC＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠ADC ＞∠BAC，且DA ＝DC ，过点B 作BE∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连接MD ，ME.(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是________；(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当∠ADC＝α时，求ME MD的值．(3)如图③，把图3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 3，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM 的长；(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 3，∠BAD＝60°，且AB＞6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE 于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.(1)求证：BM是∠AMP的平分线；(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：________．②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考：如图Z 3－25②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图Z 3－25③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB＝2 2，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．针对训练：1．在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，对角线AC 平分∠BAD.(1)如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．(2)如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.(1)求证：∠EAF＝45°；(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.(1)请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；(2)如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例1. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠MBQ ＋∠ABC＝180°，∠ACB ＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧QB ＝PC ，∠MBQ ＝∠PCN，BM ＝CN ，∴△QBM ≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP.(2)过M 作MG∥AC 交BC 于G ，∵MG ∥AC ，∴∠MGB ＝∠ACB，∠MGC ＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABC ＝∠MGB，∴MB ＝MG ，∵MB ＝CN ，∴MG ＝CN.在△MGP 和△NCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPG＝∠CPN，∠MGC ＝∠PC N ，MG ＝NC ，∴△MGP ≌△NCP(AAS)．∴PG ＝CP ，∴CG ＝CP ＋PG ，即CG ＝2CP.∵CM 平分∠ACB，∴∠BCM ＝∠MCA，∵MG ∥AC ，∴∠MCA ＝∠GMC，∴∠BCM ＝∠GMC，∴MG ＝CG ，∵MG ＝CN ，∴CN ＝CG ，∴CN ＝2CP.针对训练1. 解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB ＝90°，又∵AC＝CF ，∴∠AFC ABC＝35°，∴∠EAF ＝10°；(2)证明：方法1：取CF 的中点M ，连接EM 、AM ，∵CE ⊥EF ，∴EM ＝CM ＝FM ＝12CF ， 又∵AC＝AE ，∴AM 为EC 的中垂线，∴∠CAM ＋∠ACE＝90°，又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM ＝∠FCE，又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM ∽△CEF ，∴AC CM ＝CE EF， 又∵CF＝AC ＝2CM ，∴AC CM ＝CE EF ＝21，即CE ＝2EF ； 方法2：延长FE 至M ，使EF ＝EM ，连接CM ，∵CE ⊥EF ，∴△CMF 为等腰三角形，又∵AC＝AE ＝CF ，且∠ACE＝∠CFE(易证)，∴△CMF ≌△CEA ，∴FM ＝CE ＝2EF.2. 解：(1)如图①，在AB 上取一点M ，使得BM ＝ME ，连接ME.在Rt △ABE 中，∵OB ＝OE ，∴BE ＝2OA ＝2，∵MB ＝ME ，∴∠MBE ＝∠MEB＝15°，∴∠AME ＝∠MBE＋∠MEB＝30°，设AE ＝x ，则ME ＝BM ＝2x ，AM ＝3x ，∵AB 2＋AE 2＝BE 2，∴(2x ＋3x)2＋x 2＝22，∴x ＝6－22(负根舍弃)，∴AB ＝AC ＝(2＋ 3)·6－22， ∴BC ＝2AB ＝3＋1.(2)证明：如图②，作CP⊥AC，交AD 的延长线于P ，GM ⊥AC 于M.∵BE ⊥AP ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＋∠BAH＝90°，∵∠BAH ＋∠PAC＝90°，∴∠ABE ＝∠PAC，∴△ABE ≌△CAP ，∴AE ＝CP ＝CF ，∠AEB ＝∠P，在△DCF 和△DCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，∠DCF ＝∠DCP，CF ＝CP ，∴△DCF ≌△DCP ，∴∠DFC ＝∠P，∴∠GFE ＝∠GEF，∴GE ＝GF ，∵GM ⊥EF ，∴FM ＝ME ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∴AM ＝CM ，在△GAH 和△GAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAH＝∠GAM，∠AHG ＝∠AMG，AG ＝AG ，∴△AGH ≌△AGM ，∴AH ＝AM ＝CM ＝12AC.3. 解：(1)∵AB＝4，∴AC ＝AB ＝4.∵CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.∵在Rt △ABD 中，∠BAC ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，∵S △ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD，∴AE ＝2.4. (2)证明：如图，在线段EB 上截取EH ＝AE ，并连接AH.∵AE ⊥BD ，EH ＝AE ，∴AH ＝2AE.∵BE ＝AE ＋AG ，∴BH ＝BE －HE ＝AG.∵∠BAD ＝∠BEA＝90°，∴∠ABE ＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°，∴∠ABE ＝∠CA G.∵BA ＝AC ，∴△ABH ≌△CAG ，∴CG ＝AH ＝2AE.4. 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴∠ADC ＝90°，∠ACD ＝45°.在Rt △ADC 中，AC ＝AD÷sin45°＝2 3.∵E 是AC 的中点，∴CE ＝12AC ＝ 3.∵将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝3，∠ACE ′＝90°.由勾股定理，得AE′＝CE′2＋AC 2＝15.(2)证明：如图，过B 作AE′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H.∵∠ABH ＋∠BAF＝90°，∠CAF ＋∠BAF＝90°，∴∠ABH ＝∠CAF.又∵AB＝AC ，∠BAH ＝∠ACE′＝90°，∴△ABH ≌△CAE ′.∴AH ＝CE′＝CE ，∵CE ＝13AC ，∴AH ＝HE ＝CE. ∵D 是BC 中点，∴DE ∥BH ，∴G 是AD 中点．在△ABG 和△CAF 中：AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACD＝45°，∠ABH ＝∠CAF，∴△ABG ≌△CAF.∴AG ＝CF.∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD.∴DF＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2：解：（1）3（2）证明：延长DN 到K ，使得NK ＝ME ，连接AK ，如图①，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠3.⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AN ，∠2＝∠3，ME ＝NK ，∴△AME ≌△ANK (SAS)．∴AE ＝AK ，∠4＝∠5，∴∠4＋∠EAC ＝90°，∴∠5＋∠EAC ＝90°，即∠EAK ＝90°，∵∠EAD ＝45°，∴∠KAD ＝∠EAK －∠EAD ＝90°－45°＝45°.∴∠EAD ＝∠KAD .在△EAD 和△KAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝KA ，∠EAD ＝∠KAD ，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△KAD (SAS)，∴ED ＝KD .∵DK ＝DN ＋KN ，∴ED ＝DN ＋KN ，又NK ＝ME ，∴ED ＝DN ＋ME .(3)证明：延长AE 到J ，使得EJ ＝AE ，连接JH ，JF.如图②，在△ABE 和△JHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝JE ，∠AEB ＝∠JEH，BE ＝HE ，∴△ABE ≌△JHE(SAS)，∴JH ＝AB ，∠1＝∠2，∵AB ＝AG ，∴JH ＝AG ，∵AE ＝EJ ，EF ⊥AJ ，∴AF ＝JF ，∴∠JAF ＝∠AJF＝45°，即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC ＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°，∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，在△JHF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧JH ＝AG ，∠3＝∠4，JF ＝AF ，∴△JHF ≌△AGF(SAS)，∴FH ＝FG.针对训练：1. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.∵BE ＝2EC ，设CE ＝x ，BE ＝2x ，∴BC ＝AD ＝AE ＝3x.又∵EG⊥AB，∴∠AEB ＝90°，∴AB 2＝AE 2＋BE 2，即13＝9x 2＋4x 2，∴x ＝1，∴AD ＝3x ＝3.(2)证明：如图，过C 作CH⊥AB 于H ，则四边形CHGF 为矩形．∴CF ＝HG ，∠CHB ＝90°，GF ＝CH.∵AE ⊥BC ，EG ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠CHB＝90°，∠BCH ＋∠B＝90°，∠BAE ＋∠B＝90°，∴∠BCH ＝∠BAE.又∵AE＝BC ，∴△AGE ≌△CHB ，∴GE ＝BH ，AG ＝GF ，∴GE ＝BH ＝BG ＋GH ＝BG ＋CF.2. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BC ＝4，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝4，∠ADC ＝∠ABC＝90°.∵在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4 2，∴AP ＝78AC ＝72 2， ∴S △ACP ＝12AP·CD＝7 2.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD ＝90°，CF ⊥CP ，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，∴∠1＝∠2，∵在△FBC 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBC＝∠3，BC ＝DC ，∠1＝∠2，∴△FBC ≌△PDC(ASA)，∴CF ＝CP ，∵CP －2FN ＝BM ，∴CF －FK ＝BM ，即CK ＝BM ，∵∠FBC ＝90°，BM ⊥CF ，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC＝90°，∴∠1＝∠4，∵在△ABM 和△BCK 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠4＝∠1，BM ＝CK ，∴△ABM ≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.∵BM ⊥CF ，NK ＝NF ，∴BF ＝BK ，∵BF ＝BK ，BM ⊥CF ，∴∠4＝∠5，∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC ＝解：方法二：如图②，延长BM 交AD 于点G ，过A 作AE⊥BG 于E先证△AEB ≌△BNC(AAS)，∴AE ＝BN ，又证△AEG ≌△BNF(AAS)，∴EG ＝NF ，再证四边形BCPG 为平行四边形，∴BG ＝CP ，∵CP －BM ＝2FN ，∴BG －BM ＝2EG ，∴MG ＝2EG ，∴点E 为MG 中点，∵AE ⊥MG ，EM ＝EG ，∴AM ＝AG ，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2，∴BC ＝MC.3. 解：(1)∵∠EBG＝20°，CB ⊥AE ，∴∠BEG ＝70o ，∠CBF ＝∠EBG＝20°，∵四边形ABDE 是菱形，∴∠ABE ＝∠BEG＝70°，∴∠ABG ＝50°，∵AB ＝BC ，∴∠FCB ＝25°，∴∠AFE ＝∠CBF＋∠FCB＝45°；(2)AE ，AF ，CF 之间的数量关系是AF 2＋CF 2＝2AE 2，证明如下：连接DF ，∵四边形ABDE 是菱形，∴AB ＝DB ，∠DBE ＝∠ABE，∴∠DBF ＝∠ABF，∵BF ＝BF ，∴△DBF ≌△ABF(SAS)，∴DF ＝AF ，∠BDF ＝∠BAF，∵∠BCF ＝∠BAF，∴∠BCF ＝∠BDF，∵CB ⊥AE ，AE ∥DB ，∴DB ⊥CB ，∵CB ＝AB ＝BD ，∴△DBC 是等腰直角三角形，∴DC ＝2BD ＝2AE ，∵∠DPB ＝∠CPF，∴∠CFP ＝∠DBP＝90°，∴DF 2＋CF 2＝DC 2，即有：AF 2＋CF 2＝2AE 2.类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3解：(1)设∠BEC ＝α，∠BDA ＝β，则∠C ＝180°－2α，∠A ＝180°－2β.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠C ＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，∴α＋β＝135°，∴∠EBD ＝45°.(2)证明：法一：如图①，延长BD 至点B′，使得DB′＝DB ，连接FB′、GB′.在△GDB′和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧GD ＝CD ，∠GDB ′＝∠CDB，B ′D ＝BD ，∴△GDB ′≌△CDB.∴GB ′＝BC ＝BH ，∠GB ′D ＝∠CBD.∵FD ⊥BD ，BD ＝DB′，∴FB ＝FB′.∵∠FB ′G ＝45°－∠GB′D，∠HBF ＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD，∴∠FB ′G ＝∠HBF.在△FHB 和△FGB′中，⎩⎪⎨⎪⎧HB ＝GB′，∠HBF ＝∠GB′F，BF ＝B′F，∴△FHB ≌△FGB ′，∴HF ＝GF.法二：如图②，延长FD 至点F ′，使得DF ′＝DF ，连接BF ′.先证△DGF ≌△DCF ′，再证△BHF ≌△BCF ′，∴HF ＝GF .针对训练1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C .又∵∠1＝∠2，∴△ABE ≌△CDG (ASA)，∴AE ＝CG .∵G 为BC 中点，∴CG ＝12BC ， ∴AE ＝CG ＝12BC ＝12AD ，∴E 是AD 中点．(2)如图，延长BE ，CD 交于点H.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD ，∴∠A ＝∠ADH，∠1＝∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH ＝FB.由(1)，E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DHE(AAS)，∴AB ＝DH ，∴CD ＝AB ＝DH ＝DF ＋FH ＝DF ＋BF ，即CD ＝BF ＋DF.2. 证明：(1)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ADF ＝∠ABE，∵∠DAE ＝∠BAF，∴∠DAE －∠EAF＝∠BAF－∠EAF，即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF ≌△BAE ，∴BE ＝DF.又∵BC＝CD ，∴CE ＝CF∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠GAH.∵G 为AF 中点，∴AG ＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH，∴△DGF ≌△HGA.∴DG ＝GH ，AH ＝DF.又∵AB＝CD ，∴BH ＝CF.又∵AB∥CD，∠ABC ＝120°，∴∠C ＝60°.又∵CE ＝CF ，∴△CEF 为等边三角形，∴CF ＝EF ，∠CFE ＝60°，∴EF ＝BH ，∠DFE ＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF ，∴△EFD ≌△HBE ，∴HE ＝ED ，又∵HG＝DG ，∴DG ⊥GE.3. 解：（1）MD=ME2)MD ＝3ME.理由如下：如图①，延长EM 交DA 于点F.∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM.又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.∵DA ＝DC ，∠ADC ＝60°，∴∠BED ＝∠ADC＝60°，∠ACD ＝60°.∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝30°，∴∠EBC ＝30°，∴CE ＝BE ，∴AF ＝EC ，∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∴∠MDE ＝30°.在Rt △MDE 中，tan ∠MDE ＝ME MD ＝33. ∴MD ＝3ME.(3)如图②，延长EM 交DA 于点F ，∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM，又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.延长BE 交AC 于点N ，∴∠BNC ＝∠DAC.∵DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC，∴∠BNC ＝∠DCA，∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝∠EBC，∴CE ＝BE ，∴AF ＝CE.∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∵∠ADC ＝α，∴∠MDE ＝α2. ∴在Rt △MDE 中，ME MD ＝tan ∠MDE ＝tan α2.4.解：(1)如图①，作EH ⊥BC 于点H .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ECH ＝12∠ACB ＝30°， ∵EC ＝4，∠ECH ＝30°，∴EH ＝2，HC ＝2 3.∵BC ＝6 3，∴BH ＝6 3－2 3＝4 3.在Rt △BHE 中，BE 2＝(4 3)2＋22＝52，∴BE ＝2 13.(2)如图②，延长DP 至M ，使DP ＝PM ，连接BM 、AM .在△PDE 和△PMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PM ，∠EPD ＝∠BPM ，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PMB (SAS)．∴BM ＝DE ，∠1＝∠2.∴BM ∥DE .∴∠MBD ＋∠BDE ＝180°.∵CE 平分∠ACB ，DE ＝CD ，∴∠BDE ＝30°＋30°＝60°.∴∠MBD ＝120°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∴∠3＝60°.∵BM ＝DE ，DE ＝CD ，∴BM ＝CD .在△ABM 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠ACD ，BM ＝CD ，∴△ABM ≌△ACD (SAS)．∴AD ＝AM ，∠4＝∠5.∵PD ＝PM ，∴AP ⊥PD .∵∠4＝∠5，∠BAD ＋∠5＝60°，∴∠4＋∠BAD ＝60°，即∠MAD ＝60°.∴∠PAD ＝12∠MAD ＝30°.∵在Rt △APD 中，tan30°＝PD AP，∴AP ＝3PD .(3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图③，延长DP 至N ，使DP ＝PN ，连接BN 、AN ，取BE 、AC 交于点O.在△PDE 和△PNB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PN ，∠EPD ＝∠BPN，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PNB(SAS)．∴BN ＝DE ，∠1＝∠2.∵DE ＝CD ，∴BN ＝CD.∵∠AOB ＝∠EOC，∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO ＝60°，∠DEC ＝∠DCE＝30°，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，∴∠3＝∠4.在△ABN 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠4，BN ＝CD ，∴△ABN ≌△ACD(SAS)．∴∠5＝∠6，AN ＝AD.∵PD ＝PN ，∴AP ⊥PD.∵∠NAC ＋∠5＝60°，∴∠NAC ＋∠6＝60°，即∠NAD＝60°.∴∠PAD ＝12∠NAD＝30°， ∵在Rt △APD 中，tan ∠PAD ＝PD AP，∴AP ＝3PD.5. 解：(1)∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AD ＝6 3，∴cos ∠BAD ＝AD AB ，∴32＝6 3AB，∴AB ＝12. 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝12，∴PM 为△ABC 的中位线，∴PM ＝12AC ＝6.(2)证明：方法一：如图①，在截取ED 上截取EQ ＝PD ，∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4.在△BDP 和△CEQ 中，PD ＝QE ，∠1＝∠4，BD ＝CE ，∴△BDP ≌△CEQ.∴BP ＝CQ ，∠DBP ＝∠QCE，又∵∠5＝∠1＋∠DBP，∠6＝∠4＋∠QCE，∴∠5＝∠6，∴PC ＝CQ ，∴BP ＝CP.方法二：如图②，过点B 作EP 的垂线交EP 的延长线于点M ，过C 点作EP EP 于点N.∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4，在△BMD 和△CNE 中，∠1＝∠4，∠BMD ＝∠CNE＝90°，BD ＝CE ，∴△BMD ≌△CNE.∴BM ＝CN.在△BMP 和△CNP 中，∠5＝∠6，∠BMP ＝∠CNP，BM ＝CN ，∴△BMP ≌△CNP，∴BP ＝CP.方法三：如图③，过点B 作BM ∥CE 交EP 的延长线于点M .略证△BMP ≌△CEP ，∴BP ＝CP .(3)BF 2＋FC 2＝2AD 2.类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例4: 解：（1）PM=PN;PM ⊥PN(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下：由题意知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE＝90°，∴∠BAD ＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAD ＝∠CAE，∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE，BD ＝CE.又∵M、P 、N 分别是DE 、CD 、BC 的中点，∴PM 是△CDE 的中位线，∴PM ∥CE 且PM ＝12CE ，∠MPD ＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE. 同理，PN ∥BD 且PN ＝12BD ，∠DBC ＝∠PNC， 又∵BD＝CE ，∠ABD ＝∠ACE，∴PM ＝PN ，∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD ＋∠DCN＋∠CNP＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°，∴PM ⊥PN ，∴△PMN 为等腰直角三角形；(3)△PMN 面积的最大值为492.提示：在旋转的过程中，由(2)中的结论知△PMN 为等腰直角三角形，S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2，当S △PMN 有最大值时，则BD 的值最大，由三角形三边关系可推断出当B 、A 、D 三点共线时，BD的值最大，其最大值为14，此时S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2＝18×14×14＝492.针对训练：1. 解：(1)证明：延长DA 交BE 于G 点．∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，即∠EAG ＋∠GAB ＋∠CAD ＝180°，∵∠GAB ＋∠BAC ＋∠CAD ＝180°，∴∠EAG ＝∠CAB .∵∠EAG ＝∠AED ＋∠ADE ，∴∠CAB ＝∠AED ＋∠ADE .(2)证明：如图①，过E 点作DA 延长线的垂线，垂足为H .∴∠AHE ＝∠ACB ＝90°，由(1)可知，∠EAH ＝∠BAC ，又∵AE ＝AB ，∴△AHE ≌△ACB ，∴EH ＝BC ，AH ＝AC .∵AC ＝AD ，∴AH ＝AD .∵∠EHA ＝∠FAD ＝90°，∴AF ∥EH .∵A 为DH 中点，∴AF 为△DHE 中位线，∴EH ＝2AF ，∴BC ＝2AF .(3)成立．证明如下：如图②，延长DA 至M 点，使AM ＝DA ，连接EM ，∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，∠CAD ＋∠CAM ＝180°，∴∠BAE ＝∠CAM ，∴∠BAE ＋∠CAC ＝∠CAM ＋∠EAC ，即∠BAC ＝∠CAM .∵AM ＝AD ，AD ＝AC ，∴AM ＝AC .又∵AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAM ，∴△BAC ≌△EAM ，∴BC ＝EM .∵F 、A 分别为DE 、DM 中点，∴AF 为△DEM 中位线，∴EM ＝2AF ，∴BC ＝2AF .2. 解：(1)证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAE ＝90°，∴∠DAC ＝90°，在△ABE 与△ACD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD＝90°，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴CD ＝BE ， ∵在Rt △ABE 中，F 为BE 的中点，∴BE ＝2AF ，∴CD ＝2AF.(2)成立，证明：如图，延长EA 交BC 于G ，在AG 上截取AH ＝AD ，∵∠BAC ＋∠EAD＝180°，∴∠EAB ＋∠DAC＝180°，∵∠EAB ＋∠BAH＝180°，∴∠DAC ＝∠BAH，在△ABH 与△ACD 中，AH ＝AD ，∠BAH ＝∠CAD，AB ＝AC ，∴△ABH ≌△ACD(SAS)，∴BH ＝DC ，∵AD ＝AE ，AH ＝AD ，∴AE ＝AH ，∵EF ＝FB ，∴BH ＝2AF ，∴CD ＝2AF.3. 解：(1)证明：∵AB＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD，∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED，∵∠BAD ＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC，∠EDC ＋∠ACD＝∠AED ，∴∠BAD ＝2∠EDC，∵∠ABF ＝2∠EDC，∴∠BAD ＝∠ABF，∴△ABF 是等腰三角形；(2)方法一：如图①，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，∵点N 是BG 的中点，∴AN ＝12BH ， ∵∠BAD ＝∠ABF，∠DAC ＝∠CBG，∴∠CAB ＝∠CBA，∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠BCA＝60°，∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠BAH ＝∠BCM＝120°，AH ＝CM ，∴△BAH ≌△BCM(SAS)，∴BH ＝BM ，∴AN ＝12BM ， 方法二：如图②，延长AN 至K ，使NK ＝AN ，连接KB ，同方法一，先证△ABC 是等边三角形，再证△ANG ≌△KNB (SAS)，所以BK ＝AG ＝CM ，然后可以证得∠ABK ＝∠BCN ＝120°，最后证△ABK ≌△BCN (SAS)，所以BM ＝AK ＝2AN .类型5 角的和差倍分例5：解：(1)如图，过点P 作PG⊥EF 于G.∵PE ＝PF ＝6，EF ＝6 3，∴FG ＝EG ＝3 3，∠FPG ＝∠EPG＝12∠EPF. 在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF ＝3 36＝32. ∴∠FPG ＝60°，∴∠EPF ＝2∠FPG＝120°.(2)如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N .∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴NF ＝ME .又∵AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP cos30°＝10×32＝5 3. ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝10 3.针对训练：1. 证明：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AC 于F ，∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ，∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD ，在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DB ，∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB .2. 解：(1)∵AC＝AB ＝4，且CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，∵S △ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD， ∴AE ＝2.4.(2)证明：如图，取BC 的中点M ，连接AM 交BD 于点N .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ＝BM ＝CM ，AM ⊥BC ，∠NAD ＝∠FCP ＝45°，∴∠AMF ＝∠BMN ＝90°.∵AE ⊥BD ，∴∠MAF ＋∠ANE ＝∠MBN ＋∠BNM ＝90°，又∠ANE ＝∠BNM ，∴∠MAF ＝∠MBN ，∴△AMF ≌△BMN ，∴MF ＝MN ，∴AM －MN ＝CM －MF ，即AN ＝CF .∵AP ＝CD ，∴AC －CD ＝AC －AP ，即AD ＝CP .∴△ADN ≌△CPF ，∴∠ADB ＝∠CPF .3. 解：(1)∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°，∴∠BDA ＝45°，即∠ABD ＝90°.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴当E 、C 重合时，BF ＝12BD ＝12AB . ∵在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，∴(2BF )2＋BF 2＝(5)2，∴BF ＝1，AB ＝2.在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝2AB 2＝2 2.(2)证明：如图，在AF 上截取AK ＝HD ，连接BK.∵∠AFD ＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°，∴∠2＝∠3.在△ABK 与△DBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BD ，∠2＝∠3，AK ＝HD ，∴△ABK ≌△DBH ，∴BK ＝BH ，∠6＝∠5.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠5＝∠4＝45°，∴∠6＝∠5＝45°，∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK 与△BFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BK ＝BH ，∠7＝∠5，BF ＝BF ，∴△BFK ≌△BFH.∴∠BFK ＝∠BFH，即∠AFB＝∠HFB.4. 解：(1)证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，BE ＝EM ，∴∠EMB ＝∠EBM，∴∠EMN －∠EMB＝∠ABC－∠EBM，即∠BMP＝∠MBC.∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠MBC，∴∠AMB ＝∠BMP，∴BM 是∠AMP 的平分线．(2)△PDM 的周长没有发生变化．证明如下：如图，过B 作BQ ⊥MP∵∠A ＝90°，且由(1)知BM 是∠AMP 的平分线，∴BA ＝BQ ，∵∠A ＝∠MQB ＝90°，∠AMB ＝∠BMP ，MB ＝MB ，∴△AMB ≌△QMB (AAS)．∴MA ＝MQ .∵BA ＝BC ，∴BQ ＝BC ，又∵∠BQP ＝90°＝∠C ，BP ＝BP ，∴Rt △BPC ≌Rt △BPQ (HL)．∴PC ＝PQ ，∴△PDM 的周长＝MD ＋MP ＋DP ＝MD ＋MQ ＋QP ＋PD＝MD ＋MA ＋PC ＋PD ＝AD ＋DC ＝2AD .∴△PDM 的周长没有发生变化．类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6：解：(1)①∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC ，∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠B ＝∠ACF，∴∠ACB ＋∠ACF＝90°，即CF⊥BC；②∵△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴BC ＝CF ＋CD.(2)结论①成立，结论②不成立．∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC.∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF，CF ＝BD ，∴∠BCF ＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，即CF⊥BC；∵BC＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝CH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，∴DH ＝3，同(2)证得△BAD ≌△CAF ， ∴∠ABD ＝∠ACF ＝45°，∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°，∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5.∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10.针对训练：1. 解：(1)AC ＝AD ＋AB .证明如下：∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ＝90°，∴∠D ＝90°.∵∠DAB ＝120°，AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°，∵∠B ＝90°，∴AB ＝12AC ， 同理AD ＝12AC . ∴AC ＝AD ＋AB .(2)(1)中的结论成立，理由如下：如图①，以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE＝60°，∠ACE 的另一边交AB 的延长线于点E ，∵∠BAC ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，∴AC ＝AE ＝CE ，∠E ＝60°，∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝120°，∴∠DCB ＝60°，∴∠DCA ＝∠ECB.在△DAC 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC＝∠E，AC ＝CE ，∠DCA ＝∠BCE，∴△DAC ≌△BEC ，∴AD ＝BE ，∴AC ＝AE ＝AD ＋AB.(3)AD ＋AB ＝2AC.理由如下：如图②，过点C 作CE⊥AC 交AB 的延长线于点E∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝90°，∴∠DCB ＝90°，∵∠ACE ＝90°，∴∠DCA ＝∠BCE，又∵AC 平分∠DAB，∴∠CAB ＝45°，∴∠E ＝45°，∴AC ＝CE.∴△CDA ≌△CBE ，∴AD ＝BE ，∴AD ＋AB ＝AE.∵在Rt △ACE 中，∠CAB ＝45°，∴AE ＝AC cos45°＝2AC ， ∴AD ＋AB ＝2AC.2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D＝∠BAD＝90°，AB ＝AD ，∵△ABE 沿AE 翻折得到△AHE，∴△ABE ≌△AHE ，∴AH ＝AB ＝AD ，BE ＝EH ，∠AHE ＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.在Rt △AHF 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，AH ＝AD ， ∴Rt △AHF ≌Rt △ADF(HL)，∴∠HAF ＝∠DAF，∴∠EAF ＝∠EAH＋∠FAH＝12∠BAH＋12∠HAD＝12∠BAD＝45°，(2)以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．证明如下：如图，过点A 作AH ⊥AN 并截取AH ＝AN ，连接BH 、HM ，∵∠1＋∠BAN ＝90°，∠3＋∠BAN ＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABH 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠1＝∠3，AH ＝AN ，∴△ABH ≌△ADN (SAS)，∴BH ＝DN ，∠HBA ＝∠NDA ＝135°，∵∠HAN ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠1＋∠2＝∠HAM ＝∠MAN ＝45°，在△AHM 和△ANM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AN ，∠HAM ＝∠MAN ，AM ＝AM ，∴△AHM ≌△ANM (SAS)，∴HM ＝NM ，∴∠HBP ＝180°－∠HBA ＝180°－135°＝45°，∴∠HBP ＋∠PBM ＝45°＋45°＝90°，∴△HBM 是直角三角形，∵HB ＝DN ，HM ＝MN ，∴以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．3. 解：(1)如图①，将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得△P ′BA ，连接PP ′，则△AP ′B ≌△CPB ， ∴P ′B ＝PB ＝2，P ′A ＝PC ＝1，∠1＝∠2，∠AP ′B ＝∠BPC .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，即∠P ′BP ＝90°，∴∠BP ′P ＝45°.在Rt △P ′BP 中，由勾股定理，得PP ′2＝4.∵P ′A ＝1，AP ＝5∴P ′A 2＝1，AP 2＝5，∴P ′A 2＋PP ′2＝AP 2，∴△P ′AP 是直角三角形，∴∠AP ′P ＝90°，∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°，∴∠BPC＝135°.(2)仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连接PP′，如图②.则△PBC≌△P′BA，∴P′B＝PB＝4，P′A＝PC＝2，∠BPC＝∠BP′A，∴△BPP′为等腰三角形，∵∠ABC ＝120°，∴∠PBP′＝120°，∴∠BP′P＝30°，过点B作BG⊥PP′于G，则∠P′GB＝90°，∴PP′＝2P′G.∵P′B＝PB＝4，∠BP′P＝30°，∴BG＝2，∴P′G＝2 3.∴PP′＝4 3，在△APP′中，∵PA＝2 13，P′A＝2，PP′＝4 3，∴P′A2＋P′P2＝PA2，∴△PP′A是直角三角形，∴∠AP′P＝90°，∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。

类型五构造直角三角形1. (2017重庆南开一模)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH.第1题图2. 已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.第2题图3. 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD.过点C作CE⊥AB于点E.(1)若AB＝10，BD＝2，求CE的长；(2)如图②，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE＋3 2DF；第3题图4. (2017重庆八中模拟)如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC上，AD＝AF，E为△ADC内一点，连接AE、BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE.(1)若∠EBD＝15°，求∠ADF；(2)求证：BE－AE＝DF.5. (2017重庆巴蜀一模)如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC 上一点，连接BD，过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BD 于点F ，连接CF .(1)若CE ＝2，AE ＝322，求BC 的长；(2)若点D 为AC 的中点，求证：CF ＝2CD .第5题图6. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接CE .(1)求证：△BCF≌△ACD；(2)猜想∠BEC的度数，并说明理由；(3)探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．第6题图答案1. (1)解：在Rt△EDC中，∵∠ECD ＝30°， ∴ED ＝12EC ＝12×4＝2，∴DC ＝EC ·cos 30°＝4×32＝23， ∴AE ＝2DC －ED ＝43－2，∴S △AEC ＝12×AE ×DC ＝12(43－2)×23＝12－23；(2)证明：如解图，过A 作AM ⊥AH ，交FG 于点M ， ∴∠MAH ＝∠MAD ＋∠DAH ＝90°，又∵∠FAD ＝∠MAD ＋∠FAM ＝90°，∴∠FAM ＝∠DAH ， ∵AF ∥CD ， ∴∠F ＝∠EGD ， ∵DH ⊥EG ，∴∠DHE ＝∠HDG ＋∠EGD ＝90°，∠EDG ＝∠EDH ＋∠HDG ＝90°， ∴∠EGD ＝∠EDH ， ∴∠F ＝∠EDH ， 又∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ， ∴AF ＝AD ，∴△AFM ≌△ADH (ASA )， ∴AM ＝AH ，FM ＝DH ， ∴△MAH 是等腰直角三角形， ∴MH ＝2AH ， ∵FH ＝MH ＋FM ， ∴FH ＝2AH ＋DH .第1题解图2. (1)解：设AC 与DE 交于点F ，如解图①所示： ∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12DE ＝1，AF ＝CF ，∴AF ＝AD 2－DF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝23， ∴BC ＝23；(2)证明：连接CE 、GF ，如解图②所示：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 在同一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝12CE ，∵点F 为线段BC 的中点，点G 为线段DC 的中点， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG ∥DE ，FG ＝DE ，∴四边形DFGE 是平行四边形， ∴DF ＝EG .第2题解图3. (1)解：设AC ＝CD ＝x .在Rt △ACB 中，AB ＝10，AC ＝x ，BC ＝CD ＋BD ＝x ＋2， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴102＝x 2＋(x ＋2)2， 解得x ＝6或－8(舍)， ∴AC ＝6，BC ＝8.∵12·AC ·BC ＝12·AB ·CE ， ∴CE ＝6×810＝245.(2)证明：如解图，过点D 作DH ⊥CF 于点H .第3题解图∵∠ACD ＝∠AEC ＝∠DHC ＝90°，∴∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∵∠ACE ＋∠BCE ＝90°， ∴∠CAE ＝∠DCH ，在△ACE 和△CDH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠DCH ∠AEC＝∠DHC，AC ＝CD∴△ACE ≌△CDH (AAS )， ∴AE ＝CH ， 在Rt △DHF 中，∵∠DHF ＝90°，∠F ＝30°，∴HF ＝DF ·cos 30°＝32DF ， ∴CF ＝CH ＋HF ＝AE ＋32DF . 4. (1)解：在△BGD 和△AGE 中， ∵∠BDG ＝∠AEG ＝90°， ∠BGD ＝∠AGE ， ∴∠DBG ＝∠EAG ，∵∠DBG ＝15°，AE 平分∠CAD ， ∴∠DAC ＝30°， ∵AD ＝AF ∴∠ADF ＝75°，(2)证明：如解图，过D 作DH ⊥DE ，交BE 于点H ，第4题解图∵∠BDA ＝∠EDH ＝90°， ∴∠BDH ＝∠ADE ，在△AED 和△BHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDH ＝∠ADE AD ＝BD ∠DBE＝∠DAE ，∴△AED ≌△BHD (ASA )， ∴DE ＝DH ，∴△DHE 为等腰直角三角形， ∴∠DEH ＝45°， ∴∠DEA ＝135°，在△DAE 和△FAE 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠DAE＝∠FAE AD ＝AF ，∴△DAE ≌△FAE (SAS )，∴∠AED ＝∠AEF ＝135°，DE ＝EF ， ∴DH ＝EF ，∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴四边形HDFE 为平行四边形， ∴HE ＝DF ，∵BE －BH ＝HE ，BH ＝AE ， ∴BE －AE ＝DF .5. (1)解：∵AB ＝AC ，AB ⊥AC ，BE ⊥CE ， ∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°， ∵∠ADB ＝∠CDE ， ∴∠ABF ＝∠ACE ， ∵∠BAC ＝∠FAE ＝90°，∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△AFB ≌△AEC (ASA )，∴BF ＝CE ，AE ＝AF ，又∵在Rt △FAE 中，AE ＝322， ∴EF ＝3，在Rt △BEC 中，BE ＝BF ＋EF ＝2＋3＝5，CE ＝2， ∴BC ＝52＋22＝29，(2)证明：如解图，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，连接CM .∴在Rt △ADM 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AMD＝∠CED＝90°AD ＝CD ∠ADM＝∠CDE，∴△ADM ≌△CDE (AAS )，∴CE ＝AM ，在Rt △AMF 中，∠AFD ＝45°，∠FAM ＝45°， ∴CE ＝AM ＝FM ＝ME ，∴∠EMC ＝45°，∴∠FMC ＝∠AMC ＝135°，CM ＝CM ，∴△FMC ≌△AMC (SAS )，∴CF ＝AC ＝2CD .第5题解图6. (1)证明：∵BE ⊥AD ，∠ACB ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝90°－∠D ，在△BCF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC ∠BCF＝∠ACD＝90°，∴△BCF ≌△ACD (ASA )；(2)解：∠BEC ＝45°，理由：如解图，取AB 的中点M ，连接CM ，EM ， ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，BE ⊥AD ，∴CM ＝EM ＝AM ＝BM ＝12AB ， ∴点A ，B ，C ，E 在同一个圆(⊙M )上， ∴∠BEC ＝∠BAC ＝45°；(3)解：BE ＝AE ＋2CE ，理由：作CG ⊥CE 交BE 于点G ，∵∠BEC ＝45°，则∠CGE ＝45°＝∠BEC ，CG ＝CE ，∴∠BGC ＝135°＝∠AEC ，EG ＝2CE ，在△BCG 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BGC ＝∠AEC ∠CBE＝∠CAD，BC ＝AC∴△BCG ≌△ACE (AAS )，∴BG ＝AE ，∴BE ＝BG ＋EG ＝AE ＋2CE .第6题解图。

重庆中考几何题分类汇编（含答案）类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM,连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ。

(1)求证:MQ＝NP；(2）求证：CN＝2CP。

针对训练:1．如图Z3－2，在▱ABCD中,AC⊥BC,点E、点F分别在AB、BC上,且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.(1）若∠ABC＝35°,求∠EAF的度数；(2）若CE⊥EF,求证：CE＝2EF。

2．已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE。

（1）如图①，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长;(2）如图②，F也为AC上一点,且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE 于点G，连接AG。

若AG平分∠CAD,求证：AH＝错误!AC.3．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°,点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F。

（1）如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；（2）如图②，点G是AE上一点,连接CG，若BE＝AE＋AG，求证：CG＝错误!AE。

4．在等腰直角三角形ABC 中,∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD.（1）如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′,连接AE′，当AD ＝错误!时,求AE′的值．(2)如图②，在AC 上取一点E,使得CE ＝13AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交BC 于点F ，求证:DF ＝CF 。

类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2 如图，在△ABC中,∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E。

重庆中考几何题分类汇编(含答案）类型1 线段的倍分:要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP,连接MQ。

(1)求证：MQ＝NP；(2）求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF。

(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；（2）若CE⊥EF,求证：CE＝2EF。

2．已知,在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE。

(1)如图①,若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO,且AO＝1，求BC的长;(2)如图②，F也为AC上一点,且满足AE＝CF,过A作AD⊥BE交BE于点H,交BC于点D,连接DF交BE于点G，连接AG。

若AG平分∠CAD，求证:AH＝错误!AC。

3．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°,点D是AC上一点,连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F。

（1）如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长;（2)如图②，点G是AE上一点，连接CG，若BE＝AE＋AG,求证：CG＝错误!AE。

4．在等腰直角三角形ABC中,∠BAC＝90°，AB＝AC,D是斜边BC的中点，连接AD。

(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′,当AD＝错误!时,求AE′的值．(2）如图②，在AC上取一点E，使得CE＝错误!AC,连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.例2 如图,在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.(1）若AC＝3，则CE＝________(直接写答案);（2)如图①,M、N分别为AB和AC上的点,且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；(3)如图②,过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE,连接FH，在AC上选取一点G,使得AG＝AB,连接BG、FG，求证:FH＝FG.针对训练:1．如图Z3－7，在▱ABCD中,AE⊥BC于E，AE＝AD,EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F,连接AF。

类型一倍长中线针对演练1. 已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点P不与点A、C重合)，分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点．(1)当点P与点O重合时如图①，求证OE＝OF；(2)直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况给予证明．第1题图2. 在等腰Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，在等腰Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°，DE ＝DC ，连接AD ，F 是线段AD 的中点．(1)如图①，连接BF ，当点D 和点E 分别在边BC 和AC 上时，若AB ＝3，CE ＝22，求BF 的长；(2)如图②，连接BE 、BD 、EF ，当∠DBE ＝45°时，求证：EF ＝12ED .第2题图3. 在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CF⊥AB交AB于点F，点D在AC上，连接BD，交CF于点G，过点C作BD的垂线交BD于点H，交AB于点E；(1)如图①，∠ABD＝∠CBD，CG＝1，求AB的长；(2)如图②，连接AH、FH，∠AHF＝90°，求证：HB＝2AH.第3题图4. 已知，在▱ABCD中，连接对角线AC，∠CAD的平分线AF交CD于点F，∠ACD的平分线CG交AD于点G，AF、CG交于点O，点E为BC上一点，且∠BAE＝∠GCD.(1)如图①，若△ACD是等边三角形，OC＝2，求▱ABCD的面积；(2)如图②，若△ACD是等腰直角三角形，∠CAD＝90°，求证：CE＋2OF＝AC.第4题图5. (2017重庆江北区模拟)如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB＝∠BDE ＝90°，AC＝BC，BD＝ED，连接AE，点F是AE的中点，连接DF.(1)如图①，若B、C、D共线，且AC＝CD＝2，求BF的长度；(2)如图②，若A、C、F、E共线，连接CD，求证：DC＝2DF.第5题图6. (2017重庆南岸区模拟)在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB ＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF.(1)如图①，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；(2)如图②，点D 不在AE 上，连接AD ，延长CF 至点G ，连接GD 且GD ＝AD ，若BC 平分∠ABE ，∠G ＝∠DAB .求证：DE ＝DF .第6题图答案1. 解：(1)∵AE ⊥PB ，CF ⊥BP ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°， 在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF，∠AEO ＝∠CFO，AO ＝OC∴△AOE ≌△COF (AAS )， ∴OE ＝OF ；(2)图②中的结论为：CF ＝ OE ＋AE ； 图③中的结论为：CF ＝OE －AE .选图②中的结论如下：如解图①，延长EO 交CF 于点G ，第1题解图①∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ， ∴AE ∥CF ， ∴∠EAO ＝∠GCO ，在△EOA 和△GOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAO ＝∠GCO AO ＝CO ∠AOE＝∠COG ，∴△EOA ≌△GOC (ASA )， ∴EO ＝GO ，AE ＝GC ， 在Rt △EFG 中， ∴EO ＝OG ， ∴OE ＝OF ＝GO ， ∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF ＝GF ， ∵OE ＝OF ， ∴OE ＝FG ，∵CF ＝FG ＋CG ，∴CF ＝OE ＋AE ； 选图③的结论证明如下：如解图②，延长EO 交FC 的延长线于点G ，∵AE ⊥BP ，CF ⊥BP ，第1题解图②∴AE ∥CF ， ∴∠AEO ＝∠G ，在△AOE 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEO＝∠G ∠AOE＝∠G OC OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COG (AAS )， ∴OE ＝OG ，AE ＝CG ，在Rt △EFG 中，∵OE ＝OG ，∴OE ＝OF ＝OG ， ∵∠OFE ＝30°，∴∠OFG ＝90°－30°＝60°， ∴△OFG 是等边三角形， ∴OF ＝FG ，∵OE ＝OF ，∴OE ＝FG ， ∵CF ＝FG －CG ， ∴CF ＝OE －AE .2. (1)解：在等腰Rt △CDE 中， ∵∠CDE ＝90°，DE ＝DC ，CE ＝22， ∴DE ＝DC ＝2. ∵AB ＝BC ＝3，∴BD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝32＋12＝10. ∵AF ＝DF ， ∴BF ＝12AD ＝102.(2)证明：如解图，延长EF 到点N ，使得FN ＝EF ，连接BN ，AN ，延长DE 交AB 于点M ，在△AFN 和△DFE 中⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DF ∠AFN＝∠DFE FN ＝EF ，∴△AFN ≌△DFE (SAS )， ∴AN ＝DE ＝DC ，∠FAN ＝∠FDE ， ∴DM ∥AN ， ∴∠OMB ＝∠BAN .∵∠MOB ＋∠OMB ＝90°，∠DOC ＋∠OCD ＝90°，∠MOB ＝∠DOC ， ∴∠OMB ＝∠OCD ， ∴∠BAN ＝∠BCD .在△BAN 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BA ＝BC ∠BAN＝∠BCD AN ＝CD ，∴△BAN ≌△BCD (SAS )， ∴∠ABN ＝∠CBD ，BN ＝BD ， ∴∠DBN ＝∠CBA ＝90°. ∵∠DBE ＝45°， ∴∠EBN ＝∠EBD . ∵BE ＝BE ，BN ＝BD ， ∴△BEN ≌△BED (SAS )， ∴DE ＝EN ＝2EF ，∴EF ＝12ED .第2题解图3.解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CF⊥AB，∴FC＝BF，又∵CE⊥BD，∴∠GCH＝∠GBF，∴△FCE≌△FBG(ASA)，∴GF＝EF，∵∠ABD＝∠CBD，BH＝BH，∠BHC＝∠BHE，∴△BHC≌△BHE(ASA)，∴BC＝BE，设GF＝x，则EF＝x，BF＝CF＝x＋1，∴BC＝EF＋BF＝2x＋1，∵CF2＋BF2＝BC2，∴2(x＋1)2＝(2x＋1)2，解得x1＝22，x2＝－22(舍去)．∴BC＝2x＋1＝2＋1，∴AB＝2BC＝2＋ 2.第3题解图(2)如解图，延长HF 至点M ，使HM ＝AH ，连接AM .∵∠AHF ＝90°，∴∠HAM ＝∠HMA ＝45°，AM ＝2AH .∵CE ⊥BD ，CF ⊥AB ，∠CGH ＝∠BGF ，∴∠CHG ＝∠BFG ，∴△CHG ∽△BFG ，∴GC BG ＝HG GF， ∵∠CGB ＝∠FGH ，∴△GBC ∽△GFH ，∴∠GHF ＝∠GCB ＝∠45°.∴∠GHF ＝∠FMA .∵AC ＝BC ，CF ⊥AB ，∴AF ＝BF ，∵∠HFB ＝∠AFM ，∴△HFB ≌△MFA (AAS )，∴BH ＝AM ，∴BH ＝2AH .4. 解：(1)∵△ACD 为等边三角形，∴∠CAD ＝∠ACD ＝60°.∵AF 、CG 分别平分∠CAD 、∠ACD ，∴∠CAF ＝12∠CAD ＝12×60°＝30°，∠ACG ＝∠DCG ＝12×60°＝30°，且AF ⊥CD ，CD ＝2CF ， ∴∠CAO ＝∠ACO ＝30°，∴AO ＝CO ＝2.在Rt △OCF 中，∵∠DCG ＝30°，∴OF ＝12OC ＝12×2＝1， ∴CF ＝OC 2－OF 2＝22－12＝3，∴AF ＝AO ＋OF ＝2＋1＝3，CD ＝2×3＝23，∴S 四边形ABCD ＝CD ·AF ＝23×3＝63；(2)如解图，延长OF 到H ，使FH ＝OF ，连接HD ，∴OH ＝OF ＋FH ＝2OF .第4题解图∵△ACD 为等腰直角三角形，AF 平分∠CAD ，∴CF ＝DF ，AF ⊥CD ，又∵∠CFO ＝∠DFH ，∴△CFO ≌ △DFH (SAS )，∴∠OCF ＝∠HDF ，∴ CG ∥HD ，∴∠AOG ＝∠H ，∠AGO ＝∠ADH .在Rt △OCF 中，∠OCF ＋∠COF ＝90°，在Rt △ACG 中，∠ACG ＋∠AGC ＝90°， ∵CG 平分∠ACD ，∴∠ACG ＝∠FCG ，∴∠COF ＝∠AGC ，∴∠AOG ＝∠AGC ，∴AO ＝AG ，∠H ＝∠ADH ，∴AH ＝AD ，∴AH －AO ＝AD －AG ，即OH ＝GD ，∴2OF ＝GD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAC ＝∠ACD .∵∠BAE ＝∠DCG ，∴∠BAC －∠BAE ＝∠ACD －∠DCG ，即∠EAC ＝∠ACG ，∴AE ∥CG ，∴四边形AECG 为平行四边形，∴EC ＝AG .在Rt △ACD 中，AC ＝AD ，∵AG ＋GD ＝AD ，∴CE ＋2OF ＝AC .5. 解：(1)∵AC ＝CD ＝2，∴DB ＝DE ＝4.如解图①，过A 点作AH ⊥DE ，垂足为H ，则四边形AHDC 是边长为2的正方形， ∴AH ＝2，HE ＝2＋4＝6，在Rt △AHE 中，AE 2＝AH 2＋HE 2＝22＋62＝40，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2＝22＋22＝8，在Rt △BDE 中，BE 2＝BD 2＋DE 2＝42＋42＝32，∴AB 2＋BE 2＝AE 2，∴∠ABE ＝90°，∵BF 是斜边中线，∴BF ＝12AE ＝10.第5题解图①(2)如解图②，延长DF至M，使MF＝DF，连接AM，CM.第5题解图②∵F是AE中点，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠DFE，∴△AMF≌△EDF(SAS)，∴AM＝DE＝BD，∠MAF＝∠DEF.又∵∠BCE＝∠BDE＝90°，∴∠CBD＝∠DEF，∴∠MAC＝∠CBD，∵AC＝BC, AM＝BD，∴△MAC≌△DBC(SAS)，∴CM＝CD，∠ACM＝∠BCD，∴∠MCD＝∠ACB＝90°，∴△DCM是等腰直角三角形，又∵DF＝FM，∴CF⊥DM，∴DF＝CF，∴DC2＝2DF2，∴DC＝2DF.6.证明：(1)∵D是BC中点，∴BD＝CD.∵CF⊥AE，∴∠CFA＝∠CFD＝90°.∵∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠CFD.在△BDE和△CDF中，∵∠E＝∠CFD，∠EDB＝∠FDC，BD＝CD，∴△BDE≌CDF(AAS)．∴CF＝BE.∵∠AEB＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，∴BE＝1，∴CF＝1.∵∠CFA＝90°，∠CAE＝45°，∴AC＝2CF＝ 2.第6题解图(2)如解图，∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2.∵∠CFE＝∠BEF＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3.在△ABD和△GCD中，∵∠4＝∠G，GD＝AD，∠1＝∠3，∴△ABD≌△GCD(AAS)．∴BD＝CD.延长FD交BE于点H.在△BDH和△CDF中，∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，∴△BDH ≌△CDF (ASA )，∴DH ＝DF ，∴DF ＝12HF . ∵∠HEF ＝90°，∴DE ＝12HF ＝DF . 即DE ＝DF .。

2018届重庆中考复习：重庆中考几何题分类汇编(含答案)D3．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；(2)如图②，点G是AE上一点，连接CG，若BE＝AE＋AG，求证：CG＝2AE.4．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝6时，求AE′的值．(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.类型 2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD ＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE＝DN ＋ME；(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC 上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG ⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.(1)若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；(2)求证：EG＝BG＋FC.2．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP于点C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M.(1)若AP＝78AC，BC＝4，求S△ACP；(2)若CP－BM＝2FN，求证：BC＝MC.3．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为一边向外作菱形ABDE，连接DC，EB并延长EB交AC于F，且CB⊥AE 于G.(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；(2)试问线段AE，AF，CF之间的数量关系并证明．类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.(1)求∠EBD的度数；(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E 在AD边上，且∠1＝∠2.(1)求证：E是AD中点；(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z3－12，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，连接AE，AF，DE、EF，∠DAE＝∠BAF.(1)求证：CE＝CF；(2)若∠ABC＝120°，点G是段AF的中点，连接DG，EG.DG⊥GE.3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠ADC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC 于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是________；(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当∠ADC＝α时，求MEMD的值．4．如图①，等边三角形ABC中，CE平分∠ACB，D为BC 边上一点，且DE＝CD，连接BE.(1)若CE＝4，BC＝6 3，求线段BE的长；(2)如图②，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD 且AP＝3PD；(3)如图③，把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 3，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC 为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC ＝2AF；(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC ＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB连接BM，点N是BG的中点，连AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．类型5 角的和差倍分图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF ＝6 3，∠BAD＝60°，且AB＞6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.2．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC 上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E 为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C 落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.(1)求证：BM是∠AMP的平分线；(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．类型 6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验例6．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC 上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________．②BC，CD，CF之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)(2)数学思考：如图Z3－25②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸：如图Z3－25③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB＝2 2，CD＝14BC，请求出GE的长．针对训练：1．在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD.(1)如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．(2)如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．(3)如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△AB E沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.(1)求证：∠EAF＝45°；(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.(1)请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；(2)如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．重庆中考几何题分类汇编答案例 1. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠MBQ ＋∠ABC＝180°，∠ACB ＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧QB ＝PC ，∠MBQ ＝∠PCN，BM ＝CN ，∴△QBM ≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP. (2)过M 作MG∥AC 交BC 于G ，∵MG ∥AC ，∴∠MGB ＝∠ACB，∠MGC ＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABC ＝∠MGB，∴MB ＝MG ，∵MB ＝CN ，∴MG ＝CN.在△MGP 和△NCP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPG＝∠CPN，∠MGC ＝∠PCN，MG ＝NC ，∴△MGP ≌△NCP(AAS)． ∴PG ＝CP ，∴CG ＝CP ＋PG ，即CG ＝2CP.∵CM 平分∠ACB， ∴∠BCM ＝∠MCA，∵MG ∥AC ，∴∠MCA ＝∠GMC，∴∠BCM ＝∠GMC，∴MG ＝CG ，∵MG ＝CN ，∴CN ＝CG ，∴CN ＝2CP. 针对训练1. 解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB ＝90°，又∵AC＝CF ，∴∠AFC ＝45°，∵∠ABC ＝35°，∴∠EAF ＝10°；(2)证明：方法1：取CF的中点M，连接EM、AM，∵CE⊥EF，∴EM＝CM＝FM＝12 CF，又∵AC＝AE，∴AM为EC的中垂线，∴∠CAM＋∠ACE＝90°，又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM＝∠FCE，又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM∽△CEF，∴ACCM＝CEEF，又∵CF＝AC＝2CM，∴ACCM＝CEEF＝2，即CE＝2EF；方法2：延长FE至M，使EF＝EM，连接CM，∵CE⊥EF，∴△CMF为等腰三角形，又∵AC＝AE＝CF，且∠ACE＝∠CFE(易证)，∴△CMF≌△CEA，∴FM＝CE＝2EF.2. 解：(1)如图①，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME.在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝15°，∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝3x，∵AB2＋AE2＝BE2，∴(2x＋3x)2＋x2＝22，∴x ＝6－22(负根舍弃)， ∴AB ＝AC ＝(2＋ 3)·6－22， ∴BC ＝2AB ＝3＋1.(2)证明：如图②，作CP⊥AC，交AD 的延长线于P ，GM ⊥AC 于M.∵BE ⊥AP ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＋∠BAH＝90°， ∵∠BAH ＋∠PAC＝90°，∴∠ABE ＝∠PAC， 又∵AB＝AC ，∠BAE ＝∠ACP＝90°，∴△ABE ≌△CAP ，∴AE ＝CP ＝CF ，∠AEB ＝∠P， 在△DCF 和△DC P 中，⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，∠DCF ＝∠DCP，CF ＝CP ，∴△DCF ≌△DCP ，∴∠DFC ＝∠P，∴∠GFE ＝∠GEF，∴GE ＝GF ，∵GM ⊥EF ，∴FM ＝ME ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∴AM ＝CM ， 在△GAH 和△GAM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAH＝∠GAM，∠AHG ＝∠AMG，AG ＝AG ，∴△AGH ≌△AGM ，∴AH ＝AM ＝CM ＝12AC.3. 解：(1)∵AB＝4，∴AC ＝AB ＝4.∵CD＝1，∴AD＝AC－CD＝3.∵在Rt△ABD中，∠BAC＝90°，∴BD＝AB2＋AD2＝5，∵S△ABD ＝12AB·AD＝12AE·BD，∴＝2.4.(2)证明：如图，在线段EB上截取EH＝AE，并连接AH.∵AE⊥BD，EH＝AE，∴AH＝2AE.∵BE＝AE＋AG，∴BH＝BE－HE＝AG.∵∠BAD＝∠BEA＝90°，∴∠ABE＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠CAG.∵BA＝AC，∴△ABH≌△CAG，∴CG＝AH＝2AE.4. 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°.在Rt△ADC中，AC＝AD÷sin45°＝2 3.∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝ 3.∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE′＝CE＝3，∠ACE′＝90°.由勾股定理，得AE′＝CE′2＋AC2＝15.(2)证明：如图，过B 作AE′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H.∵∠ABH ＋∠BAF＝90°，∠CAF ＋∠BAF＝90°，∴∠ABH ＝∠CAF.又∵AB＝AC ，∠BAH ＝∠ACE′＝90°，∴△ABH ≌△CAE ′.∴AH ＝CE′＝CE ，∵CE ＝13AC ，∴AH ＝HE ＝CE. ∵D 是BC 中点，∴DE ∥BH ，∴G 是AD 中点．在△ABG 和△CAF 中：AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACD＝45°，∠ABH ＝∠CAF，∴△ABG ≌△CAF.∴AG ＝CF.∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD.∴DF＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2：解：（1）3（2）证明：延长DN 到K ，使得NK ＝ME ，连接AK ，如图①，因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠3. 在△AME 和△ANK 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AN ，∠2＝∠3，ME ＝NK ，∴△AME ≌△ANK (SAS)．∴AE ＝AK ，∠4＝∠5，∴∠4＋∠EAC ＝90°，∴∠5＋∠EAC ＝90°，即∠EAK ＝90°，∵∠EAD ＝45°，∴∠KAD ＝∠EAK －∠EAD ＝90°－45°＝45°.∴∠EAD ＝∠KAD .在△EAD 和△KAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝KA ，∠EAD ＝∠KAD ，AD ＝AD ，∴△EAD ≌△KAD (SAS)， ∴ED ＝KD .∵DK ＝DN ＋KN ，∴ED ＝DN ＋KN ，又NK ＝ME ，∴ED ＝DN ＋ME .(3)证明：延长AE 到J ，使得EJ ＝AE ，连接JH ，JF.如图②，在△ABE 和△JHE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝JE ，∠AEB ＝∠JEH，BE ＝HE ，∴△ABE ≌△JHE(SAS)，∴JH ＝AB ，∠1＝∠2，∵AB ＝AG ，∴JH ＝AG ，∵AE ＝EJ ，EF ⊥AJ ，∴AF ＝JF ，∴∠JAF ＝∠AJF＝45°， 即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC ＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°，∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°， ∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，在△JHF 和△AGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧JH ＝AG ，∠3＝∠4，JF ＝AF ，∴△JHF ≌△AGF(SAS)，∴FH ＝FG.针对训练：1. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.∵BE ＝2EC ，设CE ＝x ，BE ＝2x ，∴BC ＝AD ＝AE ＝3x.又∵EG⊥AB，∴∠AEB ＝90°，∴AB＝AE 2＋BE 2，即13＝9x 2＋4x 2，∴x ＝1，∴AD ＝3x ＝3.(2)证明：如图，过C 作CH⊥AB 于H ，则四边形CHGF 为矩形．∴CF ＝HG ，∠CHB ＝90°，GF ＝CH.∵AE ⊥BC ，EG ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠CHB＝90°，∠BCH ＋∠B＝90°，∠BAE ＋∠B＝90°，∴∠BCH ＝∠BAE.又∵AE＝BC ，∴△AGE ≌△CHB ，∴GE ＝BH ，AG ＝GF ， ∴GE ＝BH ＝BG ＋GH ＝BG ＋CF.2. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BC ＝4， ∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝4，∠ADC ＝∠ABC＝90°.∵在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4 2，∴AP ＝78AC ＝72 2，∴S △ACP ＝12AP·CD＝7 2.(2)证明：方法一：如图①，在NC 上截取NK ＝NF ，连接BK.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝∠ADC＝90°.∵∠BCD ＝90°，CF ⊥CP ，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，∴∠1＝∠2，∵在△FBC 和△PDC 中，错误! ∴△FBC ≌△PDC(ASA)，∴CF ＝CP ，∵CP －2FN ＝BM ，∴CF －FK ＝BM ，即CK ＝BM ，∵∠FBC ＝90°，BM ⊥CF ，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC ＝90°，∴∠1＝∠4，∵在△ABM 和△BCK 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠4＝∠1，BM ＝CK ，∴△ABM ≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.∵BM ⊥CF ，NK ＝NF ，∴BF ＝BK ，∵BF ＝BK ，BM ⊥CF ，∴∠4＝∠5，∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC ＝MC.解：方法二：如图②，延长BM 交AD 于点G ，过A 作AE ⊥BG 于E先证△AEB≌△BNC(AAS)，∴AE＝BN，又证△AEG≌△BNF(AAS)，∴EG＝NF，再证四边形BCPG为平行四边形，∴BG＝CP，∵CP－BM＝2FN，∴BG－BM＝2EG，∴MG＝2EG，∴点E 为MG中点，∵AE⊥MG，EM＝EG，∴AM＝AG，∴∠3＝∠4，∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2，∴BC＝MC.3. 解：(1)∵∠EBG＝20°，CB⊥AE，∴∠BEG＝70o，∠CBF＝∠EBG＝20°，∵四边形ABDE是菱形，∴∠ABE＝∠BEG＝70°，∴∠ABG＝50°，∵AB＝BC，∴∠FCB＝25°，∴∠AFE＝∠CBF＋∠FCB＝45°；(2)AE，AF，CF之间的数量关系是AF2＋CF2＝2AE2，证明如下：连接DF，∵四边形ABDE是菱形，∴AB＝DB，∠DBE＝∠ABE，∴∠DBF＝∠ABF，∵BF＝BF，∴△DBF≌△ABF(SAS)，∴DF＝AF，∠BDF＝∠BAF，∵∠BCF＝∠BAF，∴∠BCF ＝∠BDF，∵CB⊥AE，AE∥DB，∴DB⊥CB，∵CB＝AB＝BD，∴△DBC是等腰直角三角形，∴DC＝2BD＝2AE，∵∠DPB ＝∠CPF，∴∠CFP ＝∠DBP＝90°，∴DF 2＋CF 2＝DC 2，即有：AF 2＋CF 2＝2AE 2.类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线 例3解：(1)设∠BEC ＝α，∠BDA ＝β，则∠C ＝180°－2α，∠A ＝180°－2β.∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠C ＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，∴α＋β＝135°，∴∠EBD ＝45°.(2)证明：法一：如图①，延长BD 至点B′，使得DB′＝DB ，连接GB′.在△GDB′和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧GD ＝CD ，∠GDB ′＝∠CDB，B ′D ＝BD ，∴△GDB ′≌△CDB.∴GB ′＝BC ＝BH ，∠GB ′D ＝∠CBD. ∵FD ⊥BD ，BD ＝DB′，∴FB ＝FB′.∵∠FB ′G ＝45°－∠GB′D，∠HBF ＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD，∴∠FB ′G ＝∠HBF.在△FHB 和△FGB′中，⎩⎪⎨⎪⎧HB ＝GB′，∠HBF ＝∠GB′F，BF ＝B′F，∴△FHB ≌△FGB ′，∴HF ＝GF.法二：如图②，延长FD 至点F ′，使得DF ′＝DF ，连接CF ′、BF ′.先证△DGF ≌△DCF ′，再证△BHF ≌△BCF ′，∴HF ＝GF .针对训练1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C .又∵∠1＝∠2，∴△ABE ≌△CDG (ASA)，∴AE ＝CG .∵G 为BC 中点，∴CG ＝12BC ， ∴AE ＝CG ＝12BC ＝12AD ， ∴E 是AD 中点．(2)如图，延长BE ，CD 交于点H.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD ，∴∠A ＝∠ADH，∠1＝∠4，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH＝FB.由(1)，E是AD中点，∴AE＝DE，∴△ABE≌△DHE(AAS)，∴AB＝DH，∴CD＝AB＝DH＝DF＋FH＝DF＋BF，即CD＝BF＋DF.2. 证明：(1)在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF ＝∠ABE，∵∠DAE＝∠BAF，∴∠DAE－∠EAF＝∠BA F－∠EAF，即∠DAF＝∠BAE.∴△DAF≌△BAE，∴BE＝DF.又∵BC＝CD，∴CE＝CF(2)如图，延长DG交AB于H，连接EH，∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠DFA＝∠GAH.∵G为AF中点，∴AG＝GF.又∵∠DGF＝∠AGH，∴△DGF≌△HGA.∴DG＝GH，AH＝DF.又∵AB＝CD，∴BH＝CF.又∵AB∥CD，∠ABC＝120°，∴∠C＝60°.又∵CE＝CF，∴△CEF为等边三角形，∴CF＝EF，∠CFE＝60°，∴EF＝BH，∠DFE＝∠ABC＝120°.又∵BE＝DF，∴△EFD≌△HBE，∴HE＝ED，又∵HG＝DG，∴DG⊥GE.3. 解：（1）MD=ME2)MD＝3ME.理由如下：如图①，延长EM交DA于点F.∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM.又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME.∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝30°，∴CE＝BE，∴AF＝EC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝30°.在Rt△MDE中，tan∠MDE＝MEMD＝33.∴MD＝3ME.(3)如图②，延长交DA于点F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，又∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME.延长BE交AC于点N，∴∠BNC＝∠DAC.∵DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC，∴∠BNC＝∠DCA，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠EBC，∴CE ＝BE ，∴AF ＝CE.∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∵∠ADC ＝α，∴∠MDE ＝α2. ∴在Rt △MDE 中，ME MD ＝tan ∠MDE ＝tan α2.4.解：(1)如图①，作EH ⊥BC 于点H .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ECH ＝12∠ACB ＝30°， ∵EC ＝4，∠ECH ＝30°，∴EH ＝2，HC ＝2 3.∵BC ＝6 3，∴BH ＝6 3－2 3＝43.在Rt △BHE 中，BE 2＝(4 3)2＋22＝52，∴BE ＝2 13.(2)如图②，延长DP 至M ，使DP ＝PM ，连接BM 、AM .在△PDE 和△PMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PM ，∠EPD ＝∠BPM ，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PMB (SAS)．∴BM ＝DE ，∠1＝∠2. ∴BM ∥DE .∴∠MBD ＋∠BDE ＝180°.∵CE 平分∠ACB ，DE ＝CD ，∴∠BDE ＝30°＋30°＝60°.∴∠MBD ＝120°.∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∴∠3＝60°. ∵BM ＝DE ，DE ＝CD ，∴BM ＝CD .在△ABM 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠ACD ，BM ＝CD ，∴△ABM ≌△ACD (SAS)．∴AD ＝AM ，∠4＝∠5. ∵PD ＝PM ，∴AP ⊥PD .∵∠4＝∠5，∠BAD ＋∠5＝60°，∴∠4＋∠BAD ＝60°，即∠MAD ＝60°.∴∠PAD ＝12∠MAD ＝30°. ∵在Rt △APD 中，tan30°＝PD AP ，∴AP ＝3PD .(3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图③，延长DP 至N ，使DP ＝PN ，连接BN 、AN ，取BE 、AC 交于点O.在△PDE 和△PNB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PN ，∠EPD ＝∠BPN，PE ＝PB ，∴△PDE ≌△PNB(SAS)．∴BN ＝DE ，∠1＝∠2.∵DE ＝CD ，∴BN ＝CD.∵∠AOB ＝∠EOC，∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.∵∠BAO ＝60°，∠DEC ＝∠DCE＝30°，∴∠1＋∠3＝。

2018重庆中考数学25题⼏何证明2０17年12⽉04⽇⽉之恒的初中数学组卷⼀.解答题（共23⼩题）１.（201７?贵港)已知:△ABC是等腰直⾓三⾓形,动点P在斜边AＢ所在的直线上,以PＣ为直⾓边作等腰直⾓三⾓形PCQ，其中∠PCQ=９０°，探究并解决下列问题:(1）如图①,若点Ｐ在线段AB上,且AC=1+,PA=,则:①线段PＢ= ,PC= ；②猜想:PA2，PB2,ＰQ２三者之间的数量关系为;（2）如图②,若点Ｐ在ＡB的延长线上,在(1)中所猜想的结论仍然成⽴,请你利⽤图②给出证明过程;(3)若动点P满⾜=，求的值.（提⽰：请利⽤备⽤图进⾏探求）2．（20１7?保亭县模拟)如图1,在△ABC和△EＤＣ中，AＣ＝ＣE＝CＢ=CD,∠ＡCB＝∠ＥCD=9０°,AB与ＣＥ交于F,ＥD与AB、ＢＣ分别交于Ｍ、H.（1)试说明CＦ=CＨ;（2）如图2,△ＡＢC不动,将△EDＣ从△ABＣ的位置绕点C顺时针旋转,当旋转⾓∠ＢＣD 为多少度时，四边形AＣＤM是平⾏四边形,请说明理由;（3）当ＡC＝时,在(2)的条件下,求四边形ACＤM的⾯积．3．(20１７春?嘉兴期末）如图,菱形ＡBCD中,∠ABC＝6０°,有⼀度数为60°的∠MＡＮ绕点A旋转．（1）如图①,若∠ＭＡN的两边AM，AN分别交ＢC，CD于点Ｅ，F，则线段ＣE,ＤＦ的⼤⼩关系如何?请证明你的结论；(2)如图②,若∠ＭAN的两边AM,ＡＮ分别交ＢＣ,CD的延长线于点E，F,则线段CE,ＤＦ还有（1)中的结论吗？请说明你的理由.４．(201７?营⼝)【问题探究】（１）如图1,锐⾓△ＡBC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ＡCＤ，使AE=ＡB,AＤ=AC,∠BAE=∠CAD，连接B Ｄ,CE，试猜想ＢD与CE的⼤⼩关系，并说明理由．【深⼊探究】（2）如图2，四边形AＢCD中，ＡB=7cm,ＢC=３ｃm,∠ABC=∠ACD＝∠ADC=45°,求BD 的长．(３)如图3，在(2）的条件下，当△ＡCD在线段AC的左侧时，求BD的长.5.（2０17?菏泽)如图,已知∠ＡＢC=90°，Ｄ是直线AB上的点，AD＝BC．(１)如图1，过点A作AF⊥ＡB，并截取ＡF=BD，连接ＤC、DF、ＣＦ，判断△ＣDF的形状并证明；(2）如图2，E是直线ＢC上⼀点,且CE=BD，直线AＥ、CD相交于点P,∠APD的度数是⼀个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是，请说明理由．6.（20１7春?重庆校级期末）如图1，△AＢC中,BE⊥AＣ于点Ｅ,AD⊥BC于点D,连接DE.(1)若AB=BＣ，DＥ＝１,ＢE=3,求△ＡBＣ的周长;（2）如图2，若ＡB＝BC,AD=BD,∠ADＢ的⾓平分线DF交ＢE于点F，求证:ＢF=DＥ;(3)如图3,若ＡB≠BC,AD=ＢD，将△AＤC沿着ＡC翻折得到△ＡGＣ,连接DG、EＧ,请猜想线段AＥ、BＥ、DG之间的数量关系,并证明你的结论.7．（20１7?于洪区⼀模）如图1,在△ABC中，∠ＡCB为锐⾓，点D为射线BC上⼀点,连接ＡD,以AD为⼀边且在AD的右侧作正⽅形ADEF.(1)如果ＡB＝AC，∠BＡC＝９0°,①当点D在线段BＣ上时(与点B不重合),如图2,线段CF、BD所在直线的位置关系为,线段CＦ、BＤ的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时,如图3,①中的结论是否仍然成⽴,并说明理由;(2）如果AB≠ＡＣ，∠BAC是锐⾓,点D在线段ＢC上,当∠AＣＢ满⾜什么条件时,ＣF⊥BC(点C、F不重合），并说明理由．8．（20１7?绍兴)（1)如图1,正⽅形ABＣD中，点E，F分别在边ＢC,CＤ上,∠ＥAF=45°,延长CD到点Ｇ,使ＤＧ=BE，连结EF，AG．求证：ＥＦ=FG.（2）如图，等腰直⾓三⾓形ABC中，∠BAC=9０°,AB＝AC,点M,N在边BC上,且∠ＭＡN ＝45°,若BM=1，ＣN=3,求ＭN的长．9.（2０17?东营）（1)如图(１）,已知:在△ABC中,∠BAC=9０°,AB=AＣ,直线ｍ经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂⾜分别为点D、Ｅ.证明：DE=BD+CE.（2)如图(2）,将(1)中的条件改为:在△ABＣ中，AB=AC，Ｄ、A、Ｅ三点都在直线m上，并且有∠BＤA=∠AEC=∠ＢＡC=α,其中α为任意锐⾓或钝⾓.请问结论DE=BD+CE是否成⽴?如成⽴，请你给出证明；若不成⽴，请说明理由.(３）拓展与应⽤：如图（３)，D、E是Ｄ、A、Ｅ三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合)，点F为∠ＢAC平分线上的⼀点，且△ＡBF和△ACF均为等边三⾓形,连接ＢD、CE,若∠ＢDA＝∠ＡEC=∠BAC,试判断△DEＦ的形状．10.(2017?昭通）已知△ABC为等边三⾓形,点D为直线BＣ上的⼀动点（点D不与Ｂ、Ｃ重合），以AD为边作菱形ADEＦ(A、D、Ｅ、F按逆时针排列),使∠DＡＦ=6０°，连接CＦ.(1)如图１，当点D在边BC上时,求证：①BＤ＝CＦ；②AC=ＣF+ＣＤ;(２）如图2,当点D在边ＢＣ的延长线上且其他条件不变时,结论AＣ=ＣF+CＤ是否成⽴?若不成⽴,请写出ＡC、CＦ、ＣD之间存在的数量关系，并说明理由；（3)如图3,当点D在边ＣB的延长线上且其他条件不变时，补全图形,并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.11.（2０１7?常德）已知两个共⼀个顶点的等腰Rt△ABＣ，Rt△CEF,∠ＡBC=∠ＣEＦ=９0°,连接AF,M是ＡＦ的中点,连接ＭB、ME．（1)如图1,当CＢ与CＥ在同⼀直线上时，求证：ＭB∥CＦ；(２)如图１,若CB＝a,CE＝2a，求BＭ,ME的长;(3)如图2，当∠BＣE=４5°时,求证：BM=ME.１２．(２017?庐阳区校级模拟)如图，将两个全等的直⾓三⾓形△AＢD、△ACE拼在⼀起（图1)．△AＢＤ不动，（１）若将△ACＥ绕点A逆时针旋转，连接ＤE，M是DE的中点，连接MB、MC(图2）,证明:MB＝MC.（2)若将图1中的CE向上平移,∠CAE不变,连接ＤＥ,M是ＤE的中点,连接MB、MC（图３），判断并直接写出MＢ、MC的数量关系．(３)在（2)中,若∠CＡE的⼤⼩改变(图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MＣ的数量关系还成⽴吗？说明理由. 13．(2017?武汉模拟)已知△ＡBC中，ＡＢ＝ＡＣ.（1)如图1，在△AＤE中,若AD=AE,且∠DAＥ=∠BAC，求证：CD=BE；（2)如图2,在△ADＥ中,若∠DＡE=∠BAC=60°,且CＤ垂直平分AＥ,AD=３，CＤ＝4,求BD 的长；（３)如图3，在△ＡDＥ中，当BD垂直平分AＥ于H，且∠ＢAＣ=2∠AＤＢ时，试探究CD２，ＢD2,AH2之间的数量关系,并证明．１4．(２017?长春)感知:如图①，点Ｅ在正⽅形ABＣD的边BＣ上,ＢＦ⊥AE于点Ｆ，DG⊥AE于点G，可知△AＤG≌△ＢAF.（不要求证明)拓展:如图②,点B、Ｃ分别在∠ＭAN的边ＡM、AN上,点E、F在∠MＡＮ内部的射线AD 上,∠1、∠2分别是△ABＥ、△ＣＡF的外⾓．已知AB=AC,∠１=∠2＝∠BAC,求证：△ＡＢＥ≌△CAF．应⽤:如图③,在等腰三⾓形ABC中，AB=ＡC,ＡB＞BＣ.点D在边BＣ上,CD=２BD,点Ｅ、F在线段AＤ上，∠1=∠2=∠BＡC.若△ABC的⾯积为9,则△ABE与△ＣDF的⾯积之和为.15．（20１7?昌平区模拟）（１）如图，在四边形ABCD中,AB=AＤ,∠B=∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAＦ=∠BＡD.求证：EF=BE＋ＦD;(2)如图，在四边形ABCD中,AB=AD，∠B＋∠D=１80°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EＡF＝∠BAD,(1）中的结论是否仍然成⽴？(3)如图,在四边形ABCD中，ＡB＝ＡD，∠B+∠ＡDＣ=180°,E、Ｆ分别是边ＢC、CD延长线上的点，且∠ＥAF=∠BAＤ,(１)中的结论是否仍然成⽴?若成⽴，请证明;若不成⽴，请写出它们之间的数量关系,并证明.1６.(201７?哈尔滨模拟)已知△ABC是等腰三⾓形,AB=AC,Ｄ为边BC上任意⼀点,DE⊥AB 于E,DF⊥AC于Ｆ,且E,Ｆ分别在边ＡB,AＣ上．(1）如图a，当△AＢC是等边三⾓形时,证明:AＥ+AF=BC．(2）如图b,若△ＡBＣ中,∠ＢAＣ=120°,探究线段AＥ,ＡF,AB之间的数量关系,并对你的猜想加以证明.(3)如图c，若△ABＣ中,AB=１0，ＢＣ＝16,EＦ=6,利⽤你对（1），（２）两题的解题思路计算出线段CD（BD＞CD)的长．17.（2０17?绍兴）数学课上，李⽼师出⽰了如下框中的题⽬.⼩敏与同桌⼩聪讨论后,进⾏了如下解答:（1)特殊情况?探索结论当点E为AB的中点时，如图１,确定线段AE与的DB⼤⼩关系．请你直接写出结论：AE ＤB(填“＞"，“＜"或“=”）.（2)特例启发,解答题⽬解:题⽬中，AE与DB的⼤⼩关系是：ＡE DB（填“＞”,“<”或“=”).理由如下：如图2，过点E作ＥF∥ＢC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程)(3)拓展结论，设计新题在等边三⾓形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ＥD=EC.若△ＡBC的边长为1，AE＝２，求CＤ的长（请你直接写出结果).18．(２017?沈阳)已知,△AＢC为等边三⾓形，点D为直线BC上⼀动点(点D不与B、C重合）.以AD为边作菱形ＡDEF,使∠DＡＦ=6０°,连接ＣＦ.(1)如图1,当点D在边ＢＣ上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFＣ=∠ＡCB+∠DAC是否成⽴；(2）如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,结论∠ＡＦC=∠ACB+∠ＤAC是否成⽴?请写出∠ＡFＣ、∠ＡＣB、∠DAC之间存在的数量关系,并写出证明过程;（3)如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧,其他条件不变,请补全图形，并直接写出∠AFＣ、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．19.（20１７?梅州)如图1,已知线段ＡB的长为2a，点P是AB上的动点(P不与Ａ,B重合),分别以AP、PB为边向线段AB的同⼀侧作正△APC和正△PBD.（1)当△ＡPＣ与△PBＤ的⾯积之和取最⼩值时,AP= ;(直接写结果)（2）连接AＤ、ＢC，相交于点Q,设∠ＡQＣ=α,那么α的⼤⼩是否会随点P的移动⾯变化?请说明理由;（3）如图2,若点P固定,将△PBD绕点Ｐ按顺时针⽅向旋转(旋转⾓⼩于180°),此时α的⼤⼩是否发⽣变化?(只需直接写出你的猜想,不必证明)2０．（20１７?抚顺）如图1,在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BＣ，BD为斜边ＡC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α(0°<α＜18０°）,得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CＦ．（１)判断BE与ＣF的位置、数量关系，并说明理由;(2)若连接BF、CE,请直接写出在旋转过程中四边形BCＥF能形成哪些特殊四边形；（3）如图2,将△AＢＣ中AB=BC改成AＢ≠ＢC时，其他条件不变,直接写出α为多少度时(1）中的两个结论同时成⽴.２１.（2017?安徽模拟）如图，在△AＢC中,AB=AＣ＝a，ＢC＝b,且2a>ｂ,BG⊥AC于G，DE⊥AB于E,DF⊥ＡC于F.（1）在图(1）中，D是BC边上的中点,计算ＤE+DF和BG的长(⽤a,b表⽰),并判断DＥ＋DF与ＢG的关系.(2)在图(2)中，D是线段BC上的任意⼀点,ＤE+ＤＦ与ＢＧ的关系是否仍然成⽴?如果成⽴,证明你的结论;如果不成⽴,请说明理由．（３）在图(3）中,D是线段BC延长线上的点，探究DE、ＤF与ＢG的关系．（不要求证明)2２．(２01７?丹东）如图,已知等边三⾓形AＢC中,点D，Ｅ，Ｆ分别为边AB,AC，BC的中点,M为直线BC上⼀动点,△DMN为等边三⾓形(点Ｍ的位置改变时,△DMＮ也随之整体移动）．(1)如图1,当点M在点B左侧时,请你判断EN与MＦ有怎样的数量关系？点F是否在直线N Ｅ上?都请直接写出结论，不必证明或说明理由;(2）如图2,当点M在BC上时,其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成⽴?若成⽴，请利⽤图２证明;若不成⽴,请说明理由；(３）若点M在点Ｃ右侧时,请你在图３中画出相应的图形,并判断（１）的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成⽴？若成⽴，请直接写出结论,不必证明或说明理由．23．(２0１7?铁岭）△ABＣ是等边三⾓形,点Ｄ是射线BC上的⼀个动点（点D不与点B、C重合)，△AＤE是以AD为边的等边三⾓形，过点E作ＢC的平⾏线，分别交射线ＡB、ＡC于点F、G,连接BＥ.（1）如图(ａ）所⽰,当点Ｄ在线段ＢC上时．①求证:△AＥB≌△ADC;②探究四边形BＣGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；(2)如图(b)所⽰，当点Ｄ在ＢC的延长线上时，直接写出（１)中的两个结论是否成⽴；(3)在(２)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGＥ是菱形？并说明理由．。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，列出方程（ ） A ．10%x ＝330B ．（1﹣10%）x ＝330C ．（1﹣10%）2x ＝330D ．（1+10%）x ＝330【答案】D【解析】解：设上个月卖出x 双，根据题意得：（1+10%）x=1．故选D ．2．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ） A ．5.6×10﹣1B ．5.6×10﹣2C ．5.6×10﹣3D ．0.56×10﹣1 【答案】B【解析】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610 ，故选B.3．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）A ．84B ．336C ．510D ．1326【答案】C 【解析】由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为：1×73+3×72+2×7+6=510， 故选：C ．点睛：本题考查记数的方法，注意运用七进制转化为十进制，考查运算能力，属于基础题.4．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α的余角等于（ ）A ．19°B ．38°C ．42°D ．52°【答案】D 【解析】试题分析：过C 作CD ∥直线m ，∵m ∥n ，∴CD ∥m ∥n ，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB ，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a 的余角是52°．故选D ．考点：平行线的性质；余角和补角．5．如图，∠ACB=90°，D 为AB 的中点，连接DC 并延长到E ，使CE=13CD ，过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F ，若AB=6，则BF 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．10 【答案】C【解析】 ∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点，AB=6，∴CD=12AB=1．又CE=13CD ，∴CE=1，∴ED=CE+CD=2．又∵BF ∥DE ，点D 是AB 的中点，∴ED 是△AFB 的中位线，∴BF=2ED=3．故选C ．6．在下列二次函数中，其图象的对称轴为2x =-的是A ．()22y x =+B ．222y x =-C ．222y x =--D ．()222y x =-【答案】A【解析】y=（x+2）2的对称轴为x=–2，A 正确；y=2x 2–2的对称轴为x=0，B 错误；y=–2x 2–2的对称轴为x=0，C 错误；y=2（x –2）2的对称轴为x=2，D 错误．故选A ．1．7．若关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，则m的取值范围是（）A．m＜92B．m＜92且m≠32C．m＞﹣94D．m＞﹣94且m≠﹣34【答案】B【解析】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m-+，已知关于x的方程333x m mx x++--=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m＜92，当x=3时，x=292m-+=3，解得：m=32，所以m的取值范围是：m＜92且m≠32．故答案选B．8．点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），这种图形变化可以是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．绕原点逆时针旋转90D．绕原点顺时针旋转90【答案】C【解析】分析：根据旋转的定义得到即可．详解：因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（-3，4），所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，故选C．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．9．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】由抛物线的开口向下知a<0，与y 轴的交点为在y 轴的正半轴上，得c>0，对称轴为x=2b a- <1，∵a<0，∴2a+b<0， 而抛物线与x 轴有两个交点,∴2b −4ac>0，当x=2时，y=4a+2b+c<0，当x=1时，a+b+c=2. ∵244ac b a- >2，∴4ac−2b <8a ，∴2b +8a>4ac ， ∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c<0，③a−b+c<0.由①，③得到2a+2c<2，由①，②得到2a−c<−4，4a−2c<−8，上面两个相加得到6a<−6，∴a<−1.故选D.点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠ 中，a 的符号由抛物线的开口方向决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；b 的符号由对称轴位置与a 的符号决定；抛物线与x 轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.10．利用运算律简便计算52×（–999）+49×（–999）+999正确的是A ．–999×（52+49）=–999×101=–100899B ．–999×（52+49–1）=–999×100=–99900C ．–999×（52+49+1）=–999×102=–101898D ．–999×（52+49–99）=–999×2=–1998【答案】B【解析】根据乘法分配律和有理数的混合运算法则可以解答本题．【详解】原式=－999×（52+49-1）=－999×100=－1．故选B ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．二、填空题（本题包括8个小题）11．将一些形状相同的小五角星如图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有_______个五角星.【答案】1．【解析】寻找规律：不难发现，第1个图形有3=22－1个小五角星；第2个图形有8=32－1个小五角星；第3个图形有15=42－1个小五角星；…第n 个图形有（n ＋1）2－1个小五角星．∴第10个图形有112－1=1个小五角星．12．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则第n 次的运算结果是____________(用含字母x 和n 的代数式表示)． 【答案】2(21)1n n x x -+ 【解析】试题分析：根据题意得121x y x =+；2431x y x =+；3871x y x =+；根据以上规律可得：n y =2(21)1n n x x -+. 考点：规律题.13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元（20≤x≤30，且x 为整数）出售，可卖出（30﹣x ）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．【答案】3【解析】试题分析：设最大利润为w 元，则w=（x ﹣30）（30﹣x ）=﹣（x ﹣3）3+3，∵30≤x≤30，∴当x=3时，二次函数有最大值3，故答案为3．考点：3．二次函数的应用；3．销售问题．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，0）、B （0，3），对△AOB 连续作旋转变换依次得到三角形（1）、（2）、（3）、（4）、…，则第（5）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是______．【答案】（1645，125）（806845，125）【解析】利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第（5）个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2018除以3，根据商和余数的情况确定出第（2018）个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．【详解】∵点A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=2243=5，∴第（2）个三角形的直角顶点的坐标是（445，125）；∵5÷3=1余2，∴第（5）个三角形的直角顶点的坐标是（1645，125），∵2018÷3=672余2，∴第（2018）个三角形是第672组的第二个直角三角形，其直角顶点与第672组的第二个直角三角形顶点重合，∴第（2018）个三角形的直角顶点的坐标是（806845，125）．故答案为：（1645，125）；（806845，125）【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是根据题意找出每3个三角形为一个循环组依次循环. 15．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为【答案】7 2°或144°【解析】∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144°16．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD,则∠ABD= ___________°．【答案】1【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=1°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=1°；故答案是1．17．⊙O的半径为10cm，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB=16cm,CD=12cm．则AB与CD之间的距离是cm．【答案】2或14【解析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可.【详解】①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF−OE=2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，∵OA=OC=10cm，∴OF=6cm，OE=8cm，∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.故答案为：2或14.18．如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是▲（结果保留π）．【答案】1 33π-【解析】过D点作DF⊥AB于点F．∵AD=1，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB﹣AE=1．∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积－扇形ADE面积－三角形CBE的面积=230211 4121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-.故答案为：133π-.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．若⊙O的半径R=5，tanA=34，求线段CD的长．【答案】（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）92．【解析】（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．【详解】解：（1）直线DE与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵OA=OD∴∠ODA=∠A又∵∠BDE=∠A∴∠ODA=∠BDE∵AB 是⊙O 直径∴∠ADB=90°即∠ODA+∠ODB=90°∴∠BDE+∠ODB=90°∴∠ODE=90°∴OD ⊥DE∴DE 与⊙O 相切；（2）∵R=5，∴AB=10，在Rt △ABC 中∵tanA=34BC AB = ∴BC=AB•tanA=10×31542=， ∴AC=2222152510()22AB BC +=+=， ∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB∴△BCD ∽△ACB∴CD CB CB CA= ∴CD=2215()922522CB CA ==． 【点睛】本题考查切线的判定、勾股定理及相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理灵活应用是本题的解题关键．20．如图，已知反比例函数1k y x=和一次函数21y ax =+的图象相交于第一象限内的点A ，且点A 的横坐标为1.过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为1.求反比例函数和一次函数的解析式.若一次函数21y ax =+的图象与x轴相交于点C，求∠ACO的度数.结合图象直接写出：当1y＞2y＞0时，x的取值范围.【答案】（1）y1=2x；y2=x+1；（2）∠ACO=45°；（3）0<x<1.【解析】（1）根据△AOB的面积可求AB，得A点坐标．从而易求两个函数的解析式；（2）求出C点坐标，在△ABC中运用三角函数可求∠ACO的度数；（3）观察第一象限内的图形，反比例函数的图象在一次函数的图象的上面部分对应的x的值即为取值范围．【详解】(1)∵△AOB的面积为1，并且点A在第一象限，∴k=2,∴y1=2x；∵点A的横坐标为1，∴A(1,2).把A(1,2)代入y2=ax+1得，a=1.∴y2=x+1.(2)令y2=0，0=x+1，∴x=−1,∴C(−1,0).∴OC=1，BC=OB+OC=2.∴AB=CB,∴∠ACO=45°.(3)由图象可知,在第一象限,当y1>y2>0时,0<x<1.在第三象限,当y1>y2>0时,−1<x<0(舍去).【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于结合函数图象进行解答.21．我市计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合做10天，那么余下的工程由乙队单独完成还需5天．这项工程的规定时间是多少天？已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？【答案】（1）这项工程规定的时间是20天；（2）该工程施工费用是120000元【解析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【详解】解：（1）设这项工程规定的时间是x天根据题意，得1010511.5x x++=解得x＝20经检验，x＝20是原方程的根答：这项工程规定的时间是20天（2）合作完成所需时间111()1220 1.520÷+=⨯（天）（6500＋3500）×12＝120000（元）答：该工程施工费用是120000元【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．22．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．【答案】(1)见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【解析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．23．如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝34，∠B＝30°；求AC和AB的长．【答案】8+63．【解析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△BHC求出CH、BH，在Rt△ACH中求出AH、AC即可解决问题；【详解】解：如图作CH⊥AB于H．在Rt△BCH中，∵BC＝12，∠B＝30°，∴CH＝12BC＝6，BH＝22BC CH-＝63，在Rt△ACH中，tanA＝34＝CHAH，∴AH＝8，∴AC＝22AH CH+＝10，【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．【答案】20°【解析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB=55°-35°=20°．【详解】∵∠EFG=90°，∠E=35°，∴∠FGH=55°，∵GE 平分∠FGD ，AB ∥CD ，∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°，∵∠FHG 是△EFH 的外角，∴∠EFB=55°﹣35°=20°．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．25．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x 3+x 2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x 2+x-2)=0，解方程x=0和x 2+x-2=0，可得方程x 3+x 2-2x=0的解．问题：方程x 3+x 2-2x=0的解是x 1=0,x 2= ，x 3= ；拓展：用“转化”思想求方程23x x +=的解；应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．【答案】 (1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.【解析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP 的长为xm ，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【详解】解：（1）3220x x x +-=，()220x x x +-=， ()()210x x x +-=所以0x =或20x +=或10x -=10x ∴=，22x =-，31x =；故答案为2-，1；（2）x =，方程的两边平方，得223x x +=即2230x x --=()()310x x -+=30x ∴-=或10x +=13x ∴=，21x =-，当1x =-11==≠-，所以1-不是原方程的解．x =的解是3x =；（3）因为四边形ABCD 是矩形，所以90A D ∠=∠=︒，3AB CD m ==设AP xm =，则()8PD x m =-因为10BP CP +=，BP =CP∴ 10=∴ 10=两边平方，得()22891009x x -+=-+整理，得49x =+两边平方并整理，得28160x x -+=即()240x -=所以4x =．经检验，4x =是方程的解．答：AP 的长为4m ．【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．26．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索长和竿长．【答案】绳索长为20尺，竿长为15尺.【解析】设索长为x 尺，竿子长为y 尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】设绳索长、竿长分别为x 尺，y 尺， 依题意得：552x y x y =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得：20x =，15y =.答：绳索长为20尺，竿长为15尺.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．学完分式运算后，老师出了一道题“计算：23224x x x x +-++-”. 小明的做法：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----； 小亮的做法：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-； 小芳的做法：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++． 其中正确的是（ ）A ．小明B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的【答案】C 【解析】试题解析：23224x x x x +-++- =()()32222x x x x x +--++- =3122x x x +-++ =3-12x x ++ =22x x ++ =1．所以正确的应是小芳．故选C ．2．一、单选题小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x 个/分钟，则列方程正确的是（ ）A ．1201806x x =+B ．1201806x x =-C ．1201806x x =+D ．1201806x x=- 【答案】C【解析】解：因为设小明打字速度为x 个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等， 可列方程得1201806x x =+， 故选C ．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．3．我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据俯视图即从物体的上面观察得得到的视图，进而得出答案．【详解】该几何体的俯视图是：．故选A．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握俯视图是从几何体上面看得到的平面图形是解决本题的关键．4．如图是由长方体和圆柱组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】分析：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上边看外面是正方形，里面是没有圆心的圆，故选A．点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．5．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A．33B5C．33D25【答案】D【解析】过B点作BD⊥AC，如图，由勾股定理得，AB=221310+=，AD=222222+=，cosA=ADAB=2210=255，故选D．6．4-的相反数是()A．4 B．4-C．14-D．14【答案】A【解析】直接利用相反数的定义结合绝对值的定义分析得出答案．【详解】-1的相反数为1，则1的绝对值是1．故选A．【点睛】本题考查了绝对值和相反数，正确把握相关定义是解题的关键．7．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（）A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2 C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2【答案】C【解析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2=cx图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=cx（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，故选C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．8．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．2mn B．（m+n）2C．（m-n）2D．m2-n2【答案】C【解析】解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），故正方形的面积为（m+n）1．又∵原矩形的面积为4mn，∴中间空的部分的面积=（m+n）1-4mn=（m-n）1．故选C．9．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【答案】D【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．10．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）A．1201806x x=+B．1201806x x=-C．1201806x x=+D．1201806x x=-【答案】C【解析】解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列方程得1201806x x =+， 故选C ． 【点睛】本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大． 二、填空题（本题包括8个小题）11．已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与x 的部分对应值如下： ... -1 0 1 2 3 ......105212...则当5y <时，x 的取值范围是_________. 【答案】0<x<4【解析】根据二次函数的对称性及已知数据可知该二次函数的对称轴为x=2，结合表格中所给数据可得出答案．【详解】由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2， 所以，x=4时，y=5，所以，y<5时，x 的取值范围为0<x<4. 故答案为0<x<4. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，利用图表得出二次函数的图象即可得出函数值得取值范围，同学们应熟练掌握．12．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要_____cm ．【答案】1【解析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：将长方体展开，连接A 、B′， ∵AA′=1+3+1+3=8（cm ），A′B′=6cm ，根据两点之间线段最短，2286+． 故答案为1．考点：平面展开-最短路径问题．13．对于二次函数y ＝x 2﹣4x+4，当自变量x 满足a≤x≤3时，函数值y 的取值范围为0≤y≤1，则a 的取值范围为__． 【答案】1≤a≤1【解析】根据y 的取值范围可以求得相应的x 的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y ＝x 1﹣4x+4＝（x ﹣1）1， ∴该函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为：x ＝﹣4222b a -=-=， 把y ＝0代入解析式可得：x ＝1， 把y ＝1代入解析式可得：x 1＝3，x 1＝1，所以函数值y 的取值范围为0≤y≤1时，自变量x 的范围为1≤x≤3， 故可得：1≤a≤1， 故答案为：1≤a≤1． 【点睛】此题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 14．若m 2﹣2m ﹣1=0，则代数式2m 2﹣4m+3的值为 ． 【答案】1【解析】试题分析：先求出m 2﹣2m 的值，然后把所求代数式整理出已知条件的形式并代入进行计算即可得解．解：由m 2﹣2m ﹣1=0得m 2﹣2m=1，所以，2m 2﹣4m+3=2（m 2﹣2m ）+3=2×1+3=1． 故答案为1． 考点：代数式求值．15．方程22310x x +-=的两个根为1x 、2x ，则1211+x x 的值等于______． 【答案】1．【解析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可. 【详解】解：根据题意得1232x x +=-，1212x x =-， 所以1211+x x =1212x x x x +=3212--=1．故答案为1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若1x 、2x 是一元二次方程20ax bx c ++=（a≠0）的两根时，12b x x a+=-，12cx x a=． 16．如图，正方形ABCD 的边长为6，E ，F 是对角线BD 上的两个动点，且EF ＝12x x ，连接CE ，CF ，则△CEF 周长的最小值为_____．【答案】22+45【解析】如图作CH ∥BD ，使得CH ＝EF ＝22，连接AH 交BD 由F ，则△CEF 的周长最小． 【详解】如图作CH ∥BD ，使得CH ＝EF ＝22，连接AH 交BD 由F ，则△CEF 的周长最小． ∵CH ＝EF ，CH ∥EF ，∴四边形EFHC 是平行四边形， ∴EC ＝FH ， ∵FA ＝FC ，∴EC+CF ＝FH+AF ＝AH ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，∵CH ∥DB ， ∴AC ⊥CH ， ∴∠ACH ＝90°， 在Rt △ACH 中，AH ＝22AC CH +＝45，∴△EFC 的周长的最小值＝22+45， 故答案为：22+45．【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点P、Q分别在边BC、AC上，PQ∥AB，把△PCQ绕点P旋转得到△PDE（点C、Q分别与点D、E对应），点D落在线段PQ上，若AD平分∠BAC，则CP的长为_________．【答案】1【解析】连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=11-4x，故可得出x的值，进而得出结论.【详解】连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB，∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ，在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，∴AC=4，∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CBA，∴CP：CQ=BC：AC=3：4，设PC=3x，CQ=4x，在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=1x，∵AQ=4-4x，∴4-4x=1x，解得x=2，3∴CP=3x=1；故答案为：1．【点睛】本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．18．如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则正六边形的边心距是__________cm．【答案】3【解析】连接OA，作OM⊥AB于点M，∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm∴正六边形的半径为2 cm，即OA＝2cm在正六边形ABCDEF中，∠AOM=30°，∴正六边形的边心距是OM= cos30°×OA=323⨯=(cm)故答案为3.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．求证：DE是⊙O的切线；若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）阴影部分的面积为8833π-． 【解析】（1）连接OC ，先证明∠OAC=∠OCA ，进而得到OC ∥AE ，于是得到OC ⊥CD ，进而证明DE 是⊙O 的切线；（2）分别求出△OCD 的面积和扇形OBC 的面积，利用S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC 即可得到答案． 【详解】解：（1）连接OC ， ∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ， ∵AC 平分∠BAE ， ∴∠OAC=∠CAE ，∴∠OCA=∠CAE ， ∴OC ∥AE ， ∴∠OCD=∠E ， ∵AE ⊥DE ， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC ⊥CD ， ∵点C 在圆O 上，OC 为圆O 的半径， ∴CD 是圆O 的切线； （2）在Rt △AED 中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在Rt △OCD 中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC ， ∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8， ∴CD=22228443-=-=DO OC∴S △OCD =43422⋅⨯=CD OC =83， ∵∠D=30°，∠OCD=90°， ∴∠DOC=60°， ∴S 扇形OBC =16×π×OC 2=83π，∵S 阴影=S △COD ﹣S 扇形OBC ∴S 阴影=83﹣83π，∴阴影部分的面积为83﹣83π．20．凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？求写出该文具店一次销售x （x ＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】（1）1；（3）；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解析】试题分析：（1）设一次购买x只，由于凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，而最低价为每只16元，因此得到30﹣0.1（x﹣10）=16，解方程即可求解；（3）由于根据（1）得到x≤1，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x的取值范围，然后根据已知条件可以得到y与x的函数关系式；（3）首先把函数变为y==，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．试题解析：（1）设一次购买x只，则30﹣0.1（x﹣10）=16，解得：x=1．答：一次至少买1只，才能以最低价购买；（3）当10＜x≤1时，y=[30﹣0.1（x﹣10）﹣13]x=，当x＞1时，y=（16﹣13）x=4x；综上所述：；（3）y==，①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当45＜x≤1时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当x=46时，y1=303.4，当x=1时，y3=3．∴y1＞y3．即出现了卖46只赚的钱比卖1只赚的钱多的现象．当x=45时，最低售价为30﹣0.1（45﹣10）=16.5（元），此时利润最大．故店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；分类讨论．21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；△A2B2C2的面积是平方单位．。

2015年重庆中考数学24题专题练习1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、已知：如图，ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系并证明你的结论．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD 的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC 于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．20、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求 AE的长．（2）若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．21、如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，DH⊥BC．（1）求证：DH=（AD+BC）；（2）若AC=6，求梯形ABCD的面积．22、已知，如图，△ABC是等边三角形，过AC边上的点D作DG∥BC，交AB于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=DC，连接AE，BD．（1）求证：△AGE≌△DAB；（2）过点E作EF∥DB，交BC于点F，连AF，求∠AFE的度数．23、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于点F，EF=EC，连接DF．（1）试说明梯形ABCD是等腰梯形；（2）若AD=1，BC=3，DC=，试判断△DCF的形状；（3）在条件（2）下，射线BC上是否存在一点P，使△PCD是等腰三角形，若存在，请直接写出PB的长；若不存在，请说明理由．24、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF．AF交BE于P．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）求∠BPF的度数．25、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，将BC延长至点F，使CF=CD．（1）求∠ABC的度数；（2）如果BC=8，求△DBF的面积26、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分别为CG、AB的中点．（1）求证：△AGD为正三角形；（2）求EF的长度．27、已知，如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F．（1）若∠BEC=75°，FC=3，求梯形ABCD的周长．（2）求证：ED=BE+FC．28、（2005•镇江）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．29、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：（1）△BFC≌△DFC；（2）AD=DE；（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．连接BD，过A点作BD的垂线，交BC于E．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面积．参考答案1、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．证明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；（2）延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已证），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已证），∴∠AEB=∠G ED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已证），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．2、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．（1）证明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中点，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．∴△EBH≌△GFC；（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．3、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．（2）过E点作EM⊥DB于点M，四边形FDME是矩形，FE=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，继而可证明BD=DM+BM=EF+CE．（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，，∴…（5分）（2）证明：过E点作EM⊥DB于点M，∴四边形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）4、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．解答：（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BE．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延长BF交AD的延长线于E，延长CD交BA的延长线于G，且DG=DE，AB=，CF=6．（1）求线段CD的长；（2）H在边BF上，且∠HDF=∠E，连接CH，求证：∠BCH=45°﹣∠EBC．（1）解：连接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．（2）证明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB ，CBD CDBCBD HDF CDB CBH∴∠=∠∴∠-∠=∠-∠∠∠∴即BDH=HBDHB=HD∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH， ∴∠BCH=∠BCD==．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．解：（1）连AC，过C作CM⊥AD于M，如图，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面积=•（8+14）•6=66（cm2）；（2）证明：过G作GN⊥AD，如图，∵∠D=45°，∴△DNG为等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．7、已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（1）证明：如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∵DF=CD，∴AB∥DF．∵DF=CD，∴AB=DF．∴四边形ABDF是平行四边形，∴AE=DE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形．∴AC⊥BD．∴∠COD=90°．∵四边形ABDF是平行四边形，∴AF∥BD．∴∠CAF=∠COD=90°．8、已知：如图，在正方形ABCD中，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F．（1）求证：∠DAE=∠DCE；（2）当CG=CE时，试判断CF与EG之间有怎样的数量关系并证明你的结论．（1）证明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），ED=DE（公共边），AE=CE（正方形的四条边长相等），∴△DAE≌△DCE （SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等边对等角）；又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等边对等角）；而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；过点C作CH⊥AG于点H，∴∠FCH=30°，∴在直角△E CH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．9、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．（1）证明：连接PC．∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．∴∠EAF=∠BAD=90°．∵P是EF的中点，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．又 AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；（2）作PH⊥CF于H点．∵P是EF的中点，∴PH=EC．设EC=x．由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，FC=x，BE=2﹣x．在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得 x 1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．∴PH=﹣1+，FD=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．∴S △DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．10、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E为CD的中点，交BC的延长线于F；（1）证明：EF=EA；（2）过D作DG⊥BC于G，连接EG，试证明：EG⊥AF．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．∵E为CD的中点，∴ED=EC．∴△ADE≌△FCE．∴EF=EA．（5分）（2）解：连接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．∵DG⊥BC，∴四边形ABGD是矩形．∴BG=AD，GA=BD．∵BD=BC，∴GA=BC．由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）11、如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF，点E是直角梯形ABCD内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB、EF．（1）求证：EB=EF；（2）延长FE交BC于点G，点G恰好是BC的中点，若AB=6，求BC的长．（1）证明：∵△ADF为等边三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）∵AE为公共边∴△FAE≌△BAE（4分）∴EF=EB（5分）（2）解：如图，连接EC．（6分）∵在等边三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分线，则∠EFA=∠EFD=30°．（7分）由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°∴GE=GB．（8分）∵点G是BC的中点，∴EG=CG∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG为等边三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2∴CE=，∴BC=（10分）；解法二：过C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．12、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于点E，F是CD的中点，DG是梯形ABCD的高．（1）求证：AE=GF；（2）设AE=1，求四边形DEGF的面积．（1）证明：∵AB=DC，∴梯形ABCD为等腰梯形．∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．∴∠DBC=∠ADB=30°．∴∠BDC=90°．（1分）由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）又∵AE为等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中点，∵F是DC的中点，∴EF∥BC．∴EF∥AD．∴四边形AEFD是平行四边形．（3分）∴AE=DF（4分）∵F是DC的中点，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）∴AE=GF．（6分）（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．在Rt△D GC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）由（1）知：在平行四边形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四边形DEGF的面积=EF•DG=．（10分）13、已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，∴∠ABC=∠AFE．∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．∴AG=CG，∴∠E=30°．∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．14、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，点E是AB边上一点，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中点F，连接AF、BF．（1）求证：AD=BE；（2）试判断△ABF的形状，并说明理由．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∴∠AED+∠BEC=90°∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．（2）答：△ABF是等腰直角三角形．理由是：延长AF交BC的延长线于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．15、（2011•潼南县）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．（1）求证：AD=AE；（2）若AD=8，DC=4，求AB的长．解答：（1）证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BA C，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）∴AD=AE；（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，设AB=x，则BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．说明：依据此评分标准，其它方法如：过点C作CF⊥AB用来证明和计算均可得分．16、如图，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F分别是BD，AC的中点，BD平分∠ABC．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AD=4，BC=14，求EF的长．（1）证明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中点，∴AE⊥BD．（2）解：延长AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已证），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中点（已知），所以由三角形中位线定理得：EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）=×（14﹣4）=5．答：EF的长为5．17、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E为垂足，AC=BC．（1）求证：CD=BE；（2）若AD=3，DC=4，求AE．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．∴CD=BE．（2）解：在Rt△ADC中，根据勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．∴AE=AC﹣CE=2．18、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．（1分）∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2（2分）在R t△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且．（1）求证：BF=EF﹣ED；（2）连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．证明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，。

重庆近八年中考平面几何大题1. （10分）如图，在梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BCD=90︒，且AB=1，BC=2，ta n ∠ADC=2.⑴求证：DC=BC ；⑵E 是梯形内的一点，F 是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；⑶在⑵的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135︒时，求sin ∠BFE 的值。

2．（10分）已知，如图：△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝900，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，边结AD 、BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于E 。

（1）若△ABD 是等边三角形，求DE 的长；（2）若BD ＝AB ，且43tan =∠HDB ，求DE 的长。

HEDCBA26 题图EB FC D A3.（10分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。

求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE4．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC 。

（1）求证：BG=FG ；（2）若AD=DC=2，求AB 的长。

26题图 F B E C D G AE M FDC B A5． 已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF ＝AD ，MF ＝MA ．（1）若∠MFC ＝120°，求证：AM ＝2MB ；（2）求证：∠MPB ＝90°－ 12∠FCM ．6．已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。