青海省青海师范大学附属第二中学高中数学人教版选修2-1导学案 3.2.3 直线与平面的夹角

3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示学案编号：GEXX2-1T3-2-2【学习要求】1．理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量．2．会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直．3．理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．【学法指导】在证明过程中，体会向量法与几何法证明的不同之处．从不同的角度阐明数学证明的原理，培养我们善于探索、独立思考、集体交流的好习惯.1．平面的法向量：已知平面α，如果________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．2．平面的向量表示：设A是空间任一点，n为空间内任一向量，则适合__________的点M构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为平面的向量表示式．3．设n1，n2分别是平面α、β的法向量，则α∥β或α与β重合⇔________________.α⊥β⇔________⇔__________. 4．三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.探究点一平面的法向量问题1平面的法向量有何作用？是否唯一．问题2怎样求一个平面的法向量？例1已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．跟踪1已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．探究点二利用平面的法向量判断平面与平面平行、垂直问题1设n1，n2分别是平面α，β的法向量，如何利用法向量来判断α，β的关系？问题2根据下列条件，判断相应的直线与平面、平面与平面的位置关系．(1)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是a＝(3,2,1)，n＝(－1,2，－1)；(2)平面α、β的法向量分别是n1＝(1,3,0)，n2＝(－3，－9,0)；(3)平面α、β的法向量分别是n1＝(1，－3，－1)，n2＝(8,2,2)．例1 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥平面ABC.跟踪2已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.探究点三三垂线定理及应用问题1如图，AB，AC分别是平面α的垂线和斜线，BC是AC在α内的射影，a⊂α，试用三垂线定理或其逆定理说明在上述条件下a ⊥BC 和a ⊥AC 的关系．如何证明？问题2 三垂线定理中，把a ⊂α，改为a ∥α，其他条件不变，三垂线定理仍然成立吗？ 例3 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点．求证：EO ⊥平面A 1DB .跟踪3 如图，已知PO ⊥平面ABC ，且O 为△ABC 的垂心，求证：AB ⊥PC .【达标检测】1．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是 ( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则 ( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确3．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，则m ＝________. 4．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，证明：平面A 1BD ∥平面CB 1D 1.【课堂小结】1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜率的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果.3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示一、基础过关1．若平面α、β的法向量分别为u ＝(2，－3,5)，v ＝(－3，1，－4)，则( ) A ．α∥βB ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上均不正确2．若直线l 的一个方向向量为a ＝(2,5,7)，平面α的一个法向量为u ＝(1,1，－1)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．A 、C 都有可能3．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1,1)B.⎝⎛⎭⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎫1，－3，32D.⎝⎛⎭⎫－1，3，－32 4．若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，n 1＝(1,2，x )，n 2＝(x ，x ＋1，x )，则x 的值为( )A ．1或2B ．－1或－2C ．－1D ．－2 5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k 等于( )A ．2B ．－4C ．4D ．－26．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛⎭⎫33，33，－33 B.⎝⎛⎭⎫33，－33，33 C.⎝⎛⎭⎫－33，33，33 D.⎝⎛⎭⎫－33，－33，－33 7．已知平面α和平面β的法向量分别为a ＝(1,1,2)，b ＝(x ，－2，3)，且α⊥β，则x ＝________.8．下列命题中：①若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v ＝0；②若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u·a ＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________．(填序号)二、能力提升10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，试在棱BB 1上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.11.如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC＝60°，P A ＝AB ＝BC ，AD ＝233AB ，E 是PC 的中点． 证明：PD ⊥平面ABE .三、探究与拓展13.如图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ＝2CD ，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且△P AD 为等腰直角三角形，∠APD ＝90°，M 为AP 的中点． 求证：DM ∥平面PCB .。

3.1.4 空间向量的直角坐标运算 学案编号：GEXX2-1T3-1-4【学习要求】1．了解空间向量坐标的定义．2．掌握空间向量运算的坐标表示．3．能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．【学法指导】通过类比平面向量的坐标运算，掌握空间向量运算的坐标表示．空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，可以使一些问题简单化，培养从复杂问题中抽象出简单问题的能力.1．空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量i 、j 、k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做______________；单位向量i 、j 、k 都叫做____________．(2)空间向量的坐标：已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝____________. 23. 123123(1)a ∥b (b ≠0)⇔________⇔⎩⎪⎨⎪⎧当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔__________________(2)a ⊥b ⇔________________⇔________________________. 4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝________________，|b |＝________________. cos 〈a ，b 〉＝___________________________________________. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________，|AB →|＝________________________________________.探究点一 空间向量的坐标表示及运算问题1 如何确定向量的坐标？ 问题2 向量的坐标和点的坐标有什么联系？例1 设正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→、P 2P 3→的坐标．跟踪1 (1)已知向量a ，b ，c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？(2)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标． 探究点二 垂直与平行问题问题1 已知a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，a 、b 共线的充要条件为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，对吗？问题2 a 与b 垂直的充要条件是什么？例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．跟踪2 将本例中“若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直”改为“若向量ka ＋b 与a ＋kb 互相平行”其他条件不变，求k 的值．探究点三 向量的夹角与长度计算例3 已知在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)，求顶点B 、C 的坐标，向量AC →及∠A 的余弦值．跟踪3 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求EF 与C 1G 所成的角的余弦值； (2)求FH 的长． 【达标检测】1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，则5a 与3b 的数量积等于 ( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 3．若ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (－3,7，－5)，则顶点D 的坐标为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，4，－1B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(－1,13，－3)4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为______．【课堂小结】1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决.3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．。

2. 3 .2等差数列的前n 项和（二）[学习目标]1．掌握等差数列前n 项和公式及其推导过程和思想方法．2．会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题 [自主学习]1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．等差数列前n 项和公式 S n ＝ ＝ .3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________． 探究点一 数列{a n }的前n 项和S n 与a n 的关系问题 我们已经知道，如果通项公式a n 已知，就能求出S n ；反过来，如果已知数列{a n }的前n 项和S n ，能否求出它的通项公式a n?探究 如果数列{a n }的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，求通项公式a n ，并判断这个数列一定是等差数列吗？探究 按要求，把下列表格填充完整，并观察使等差数列前n 项 n 序号 等差数列 基本量 前n 项和S nS n 的最值1 1,3,5,7,9，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝(S n )min ＝1，此时n ＝ .2 －5,－3，－1,1,3， …， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝(S n )min ＝ ，此时n ＝ 3 4,2,0,－2， －4，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝ ， 此时n ＝ 4－1,－2，－3,－4，－5，…， a 1＝ ， d ＝ . S n ＝ (S n )max ＝ ， 此时n ＝通过上面的例子，我们看到等差数列前n 项和的最值在项的符号分界点处取到，据此完善下列结论：(1)若a 1＞0，d ＜0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值． (2)若a 1＜0，d ＞0，则数列的前面若干项为 项(或0)，所以将这些项相加即得{S n }的最 值； 特别地，若a 1＞0，d ＞0，则S 1是{S n }的最 值;若a 1＜0，d ＜0，则S 1是{S n }的最 值． 【典型例题】例 1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2－3n ，求通项公式a n .跟踪训练1 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n，求a n.例2 在等差数列{a n}中，a n＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和S n的最小值．跟踪训练2 在等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，求S n的最大值例3 若等差数列{a n}的首项a1＝13，d＝－4，记T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n.跟踪训练3 已知等差数列{a n}中，记S n是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|a n|} 的前n项和T n.[达标检测]1．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a n等于( )A．n B．n2C．2n＋1 D．2n－12．数列{a n}为等差数列，它的前n项和为S n，若S n＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是( )A．－2 B．－1 C．0 D．13．设数列{a n}的通项为a n＝2n－7(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝________.4．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．2.3.2 等差数列的前n 项和(二) 练习题一、基础过关1．若数列{an}的前n 项和Sn ＝n2－1，则a4等于( )A ．7B ．8C ．9D ．17 2．已知数列{an}的前n 项和Sn ＝n3，则a5＋a6的值为 ( )A ．91B ．152C ．218D ．279 3．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( ) A ．1B ．－1C ．2D.12 4．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( ) A.310B.13C.18D.195．数列{an}的前n 项和为Sn ，且Sn ＝n2－n(n ∈N*)，则通项an ＝________. 6．设Sn 为等差数列{an}的前n 项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn 取得最大值时，n 的值为________．7．已知数列{an}的前n 项和公式为Sn ＝2n2－30n. (1)求数列{an}的通项公式an ； (2)求Sn 的最小值及对应的n 值．8．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．二、能力提升9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5<ak<8，则k为( )A．9 B．8 C．7 D．610．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论错误的是( ) A．d<0 B．a7＝0C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值11．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．12．数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.三、探究与拓展13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．。

第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算学案编号：GEXX2-1T3-1-1【学习要求】1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律,能借助图形理解空间向量及其运算的意义,掌握空间向量数乘运算的定义和运算律．【学法指导】把平面向量的有关概念和运算推广到空间，空间向量的概念运算与平面向量类似，学习中要结合直观图形，培养空间想象能力. 1．空间向量的概念2．空间向量的运算法则 如图已知两个不平行的向量a ，b ，作向量OA →＝a ，OB →＝b .这时，O ，A ，B 三点不共线，于是这三点确定一个平面．有以下结论：(1)a ＋b ＝OA →＋OB →＝OA →＋AC →＝________；(2)a －b ＝a ＋(－b )＝OA →＋AD →＝OD →＝BA →＝_______________；(3)当λ>0时，λa ＝QP →＝λOA →；当λ＝0时，λa ＝0；当λ<0时，λa ＝MN →＝λOA →.所以，平面向量求和的__________法则和______________法则，对空间向量同样成立．3．空间向量的运算律 (1)加法交换律：________________；(2)加法结合律：________________________；(3)分配律：___________________，____________________. 探究点一 空间向量的概念问题1 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？问题2 向量可以用有向线段表示，是否可以说向量就是有向线段？ 问题3 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，这个结论对吗？例1 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同；②若空间向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中不正确的命题的个数是 ( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 跟踪训练1 下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →探究点二 空间向量的加减运算问题1 怎样计算空间两个向量的和与差？问题2 使用三角形法则和平行四边形法则有哪些要求？例2 如图,已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →； (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′.跟踪训练2 化简：(1)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)；(2)(AB →＋CD →)－ (AC →＋BD →)． 探究点三 空间向量的数乘运算问题 思考实数λ和空间向量a 的乘积λa 的意义？例3设A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心．求证：AG →＝13(AB →＋AC →＋AD →)．跟踪3 如图空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点．证明：EF → ＝12(AB →＋DC →)．【达标检测】1．已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，则AB →＋BC →＋CD →为( ) A. AD →B. BD →C. AC →D ．02.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心为O ，则在 下列各结论中正确的共有 ( ) ①OA →＋OD →与OB 1→＋OC 1→是一对相反向量；②OB →－OC →与OA 1→－OD 1→是一对相反向量； ③OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA 1→＋OB 1→＋OC 1→＋OD 1→是一对相反向量； ④OA 1→－OA →与OC →－OC 1→是一对相反向量．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与向量AD →相等的向量共有________个． 4. 12(2a －2b ＋c )－13(a ＋3b －c )＝____________. 5．已知点O 是平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线的交点，点P 是空间任一点． 证明：P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝8PO →.【课堂小结】1．空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解．2．向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，利用平行四边形法则和三角形法则进行．3．空间加法和数乘运算和平面向量一样，满足交换律、结合律、分配律．第三章 空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算一、基础过关 1．下列说法正确的是( )A ．在平面内共线的向量在空间不一定共线B ．在空间共线的向量在平面内不一定共线C ．在平面内共线的向量在空间一定不共线D ．在空间共线的向量在平面内一定共线 2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．空间四边形B ．平行四边形C ．等腰梯形D ．矩形3．已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、MG ，则AB →＋12(BD→＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC →4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．如图，空间四边形OABC ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 是BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 6．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A.AB →＝AC →＋BC →B.AB →＝－AC →－BC →C.AC →与BC →同向D.AC →与CB →同向7．化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________.8．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →＝____________.9.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点． 若AE →＝12OD →＋xOB →－32OA →，则x ＝________.二、能力提升10.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是CC 1的中点，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c .试用a ，b ，c 表示AE →.11．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 1为A 1B 1C 1D 1的中心．化简：A 1D 1→＋CC 1→－CD →＋12(CB →＋B 1A 1→)．12.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1且以八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．三、探究与拓展13．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简 (1)AB →＋BC →＋CD →； (2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．。

青海师范大学附属第二中学高中数学 3. 3.1 利用导数判断函数的单调性导学案导学案新人教A版选修1-1【学习要求】1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递f′(x)<0单调递f′(x)＝0常函数探究点一函数的单调性与导函数正负的关系问题1 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？问题2 若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？问题 3 (1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间.(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1 已知导函数f′(x)的下列信息：当1<x<4时，f′(x)>0；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状.跟踪训练1 函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f′(x)图象的大致形状.例2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝2x(e x－1)－x2； (2)f(x)＝3x2－2ln x. 跟踪训练2 求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x2－ln x； (2)f(x)＝e xx－2； (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0≤x<2π).探究点二函数的变化快慢与导数的关系问题我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3 如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.跟踪训练3已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是( )【达标检测】1.函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是 ( )A.单调增函数B.单调减函数C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是增函数D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，6上是减函数 2. f ′(x )是函数y ＝f (x )的导函数，若y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 ( )3.函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ C.(0，＋∞)D.(0，a ) 4.(1)函数y ＝x 2－4x ＋a 的增区间为______，减区间为______.(2)函数f (x )＝x 3－x 的增区间为______，减区间为______.。

3.2.3导数的四则运算法则学案编号：GEXX1-1T3-2-3【学习要求】1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数.【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题.要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.导数的运算法则探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：(1)y＝3x－lg x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)f(x)＝x·tan x；(2)f(x)＝2－2sin2x2；(3)f(x)＝x－1x＋1；(4)f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2(1)曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________.(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________.(3)已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s时物体的瞬时速度.跟踪训练2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A.－12B.12C.－22D.22(2)设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值.【达标检测】1.设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A.－2e x cos xB.－2e x sin xC.2e x sin xD.－2e x (sin x ＋cos x )2.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋2 3.已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( ) A.193B.163C.133D.1034.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.5.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值.【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.3.2. 3 导数的四则运算法则 练习题一、基础过关1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x2．函数y ＝x1－cos x 的导数是( )A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x (1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )23．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于 ( )A ．2 B.12 C ．－12 D ．－25．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2.二、能力提升8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－129．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2] 10．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．12．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．。

2. 1 数列的概念与简单表示方法（2）[学习目标]了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与 的关系。

经历数列知识的感受及理解运用的过程。

[自主学习]1．如果数列{a n }的第1项或前几项已知，并且数列{a n }的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的 公式．2．数列可以看作是一个定义域为 (或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列 ．3．一般地，一个数列{a n }，如果从 起，每一项都大于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，那么这个数列叫做 数列．如果数列{a n }的各项都 ，那么这个数列叫做常数列．4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝1，则a n ＝ ，从单调性来看，数列是单调 数列． 数列的表示方法：通项公式法、图象法、递推公式法（递推公式也是给出数列的一种方法）、列表法。

探究点一 数列的函数特性问题 数列是一种特殊的函数，与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的认识．探究1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试根据这一结论，求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，试求通项a n .探究点二 由简单的递推公式求通项公式探究2 若数列{a n }中各项均不为零，则有：a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n 成立．试根据这一结论求解下列问题．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n(n≥2)，试求通项a n.例1 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．(n≥2)，试求通项a n .n a跟踪训练1 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1.求证：数列{a n }为递增数列．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝anbn ＋1，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．与n 的取值相关例3 已知a n ＝9nn ＋110n(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．[达标检测]1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是 ( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不能确定 2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是 ( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥23．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．1094．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于 ( )A ．n 2＋1 B ．n ＋1 C ．1－n D ．3－n2. 1 数列的概念与简单表示方法（2）一、基础过关1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项是( )A ．1B.12C.34D.58 2．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于 ( )A.259B.2516C.6116D.31153．若a 1＝1，a n ＋1＝a n3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第7项是 ( )A .116B.117C.119D.1254．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1， 则b 6的值是 ( )A ．9B ．17C ．33D ．655．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，n ∈N *，则使a n >100的n 的最小值是________． 6．已知数列{a n }满足a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1nn ＋1，n ∈N *，则通项公式a n ＝________. 7．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．8．已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．二、能力提升9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n⎝⎛⎭⎪⎫0≤a n<12，2a n－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 012的值为 ( )A.67B.57C.37 D.1710．已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )A ．a 1，a 30B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 3011．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．12．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．三、探究与拓展13．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，求{a n }的通项公式．。

"青海省青海师范大学附属第二中学2014高中数学 3.2.2 复数代数形式的乘除运算导学案 理 新人教A 版选修2 "_______________ 学习目标 1. 理解共轭复数的概念；2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.学习过程一、课前准备68~ P 70，找出疑惑之处）复习1：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[复习2：计算：2()a b ±=(32)(32)a b a b +-=(32)(3)a b a b +--=二、新课导学学习探究探究任务一：复数代数形式的乘法运算规定，复数的乘法法则如下：设12,z a bi z c di =+=+，是任意两个复数，那么2()()a bi c di ac bci adi bdi ++=+++=()()ac bd ad bc i -++ 即：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并即可.问题：复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？试试：计算（1）(14)(72)i i +⨯- （2）(72)(14)i i -⨯+（3）[(32)(43)](5)i i i -⨯-+⨯+ （4）(32)(43)(5)]i i i -⨯-+⨯+[新知：对于任意123,,z z z C ∈，有1221z z z z ⋅=⋅123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅1231213())z z z z z z z +=+反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，也满足其在实数集上的运算律.探究任务二：共轭复数新知：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。

虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.试试：34i +的共轭复数为 a bi +的共轭复数为bi 的共轭复数为问：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系为：（2）12z z ⋅是一个怎样的数？探究任务三：复数的除法法则2222()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad a bi c di i c di c di c di c d c d ++-+-+÷+===+++-++(0)c di +≠典型例题例1 计算：（1）(34)(34)i i +-； （2）2(1)i +变式：计算：（1）(32)(32)i i +-+； （2）2(1)i -；（3）(2)(12)i i i --小结：复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算. 例2 计算（1）(12)(34)i i +÷-；（21996+变式：计算（1）232(12)i i -+，（2）23(1)1ii -+-小结：复数的除法运算类似于实数集上的除法运算。

3.1.3 两个向量的数量积 学案编号：GEXX2-1T3-1-3【学习要求】1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律．2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题．【学法指导】数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积，通过向量积的运用，培养数学应用意识．1想一想:〈a ，b 〉与〈b ，a 〉相等吗?〈a ,b 〉与〈a ,－b 〉呢? 2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则____________________叫做a ，b 的数量积，记作a·b . (2)(3)3. 异面直线(1)异面直线的定义 ________________________的两条直线叫做异面直线． (2)两条异面直线所成的角把异面直线________________________，这时两条直线的夹角(________________)叫做两条异面直线所成的角．如果所成的角是________，则称两条异面直线互相垂直．探究点一 空间向量的数量积运算问题1 空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？问题2 类比平面向量的数量积，说出空间向量的数量积a·b 的定义？问题3 请你类比平面向量说出a·b 的几何意义． 例1 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.跟踪1 已知正四面体OABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．探究点二 利用数量积求夹角问题1 怎样利用数量积求直线夹角或余弦值？ 问题2 利用数量积怎样证明两个向量垂直？例2在正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，求异面直线AC 和MN 所成的角．跟踪2 如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝∠BCD ＝60°.求证：CC 1⊥BD .探究点三 利用数量积求向量的模问题 类比平面向量，说出利用数量积求长度或距离的方法．例3 已知a ，b ，c 中每两个的夹角都是π3，且|a |＝4，|b |＝6，|c |＝2，试计算|a ＋b ＋c |.跟踪3 如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，线段DD ′⊥α于D ′，如果∠DBD ′＝30°，AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求CD 的长．【达标检测】1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a·b )·c －(c·a )·b ＝0；②|a |－|b |<|a －b |；③(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④2．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |等于 ( ) A. 7 B. 10 C. 13 D ．43．如图所示，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．144【课堂小结】空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的数量积．3.1.3 两个向量的数量积一、基础过关1．若a ，b 均为非零向量，则a·b ＝|a||b |是a 与b 共线的( )A ．充分不必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 2．在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·CF →等于( ) A ．0 B.12C ．－34D ．－123．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( )A.97 B ．97 C.61D ．614．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.二、能力提升6．已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 、F 分别是AB 、A 1C 1的中点，则EF 的长是( ) A ．2B. 3C. 5D.78．如果e 1，e 2是两个夹角为60°的单位向量，则a ＝e 1＋e 2与b ＝e 1－2e 2的夹角为________． 9．向量(a ＋3b )⊥(7a －5b )，(a －4b )⊥(7a －2b )，则a 与b 的夹角是________． 三、解答题10.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，AB ⊥AD ，且P A ＝AB ＝BC ＝12AD ＝1，求PB 与CD 所成的角．11．在平行四边形ABCD 中，AD ＝4，CD ＝3，∠D ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝6，求PC 的长．12.已知在空间四边形OACB中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.三、探究与拓展13.如图所示，如果直线AB与平面α交于点B，且与平面α内的经过点B的三条直线BC、BD、BE所成的角相等．求证：AB⊥平面α.。

2.1.3 分层抽样【学习目标】1．正确理解分层抽样的概念；2．掌握分层抽样的一般步骤；3．区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样．【学法指导】通过对现实生活中的实际问题进行分层抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法；通过对统计学知识的研究，感知数学知识中“估计”与“精确”性的矛盾统一，培养辩证唯物主义的世界观与价值观．1．分层抽样的概念在抽样时,将总体分成的层,然后按照 ,从各层地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.2．分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持与的一致性，这对提高样本的代表性非常重要．当总体是由的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．[问题情境] 中国共产党第十八次代表大会2 270名代表是从40个单位中产生的，这40个单位分别是：1─31为省(自治区、直辖市)、32中央直属机关、33中央国家机关、34全国台联、35解放军、36武警部队、37中央金融系统、38中央企业系统、39中央香港工委、40中央澳门工委．代表的选举原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的.这种产生代表的方法与我们今天要学的分层抽样很相似.探究点一分层抽样的基本思想导引某地区有高中生2 400人,初中生10 900人,小学生11 000人.当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率及其形成原因，要从本地区的中小学生抽取1%的学生进行调查，你认为应当怎样抽取样本？问题1 为了抽样方便，能不能只从小学生或初中生或高中生中抽取中小学生总数的1%？为什么？问题2 在高中，初中和小学三部分学生中都按1%的比例抽取，那么各抽取多少人？问题3 具体在三类学生中抽取样本时(如在10 800名初中生中抽取108人)，可以用哪种抽样方法进行抽样？问题4 上述抽样方法保证了抽样的公平性，并且样本具有较好的代表性，从而是一种科学、合理的抽样方法，这种抽样方法称为分层抽样．你能归纳出分层抽样的概念吗？问题5 适合用分层抽样的方法抽取样本的问题有什么特点？例1某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7探究点二分层抽样的一般步骤导引某单位有职工500人,其中35岁以下的有125人,35岁～49岁的有280人，50岁以上的有95人．为了调查职工的身体状况，要从中抽取一个容量为100的样本，如何进行抽取？问题1 该项调查应采用哪种抽样方法进行？问题2 不同年龄段的职工中，按什么比例抽取人数？问题3按比例，三个年龄层次的职工分别抽取多少人？问题4 在分层抽样中，如果总体的个体数为N，样本容量为n，第i层的个体数为k，则在第i 层应抽取的个体数如何算？问题5 在各年龄段具体如何抽样？怎样获得所需样本？问题6 一般地，分层抽样的操作步骤如何？问题7 样本容量与总体的个体数之比是分层抽样的比例常数，按这个比例可以确定各层应抽取的个体数，如果各层应抽取的个体数不都是整数该如何处理？例2 写出导引中的解题步骤．探究点三三种抽样方法的比较问题简单随机抽样、系统抽样和分层抽样既有其共性,又有其个性,根据下表,你能对三种抽样例3 某高级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②③都不能为系统抽样B．②④都不能为分层抽样C．①④都可能为系统抽样D．①③都可能为分层抽样达标训练：1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A.7B.15C.25D.352．某林场有树苗30 000棵，其中松树苗4 000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ( )A.30B.25C.20D.153．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为________．课堂小结：1．用分层抽样从个体为N的总体中抽取一个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相等．2．分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样基础上的，由于它充分利用了已知信息，考虑了保持样本结构与总体结构的一致性，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛．3．简单随机抽样是基础，系统抽样与分层抽样是补充和发展，三者相辅相成，对立统一．2.1.3 分层抽样练习题一、基础过关1．某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所．现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取中学数为( )A．70 B．20 C．48 D．22．具有A、B、C三种性质的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种元素分别抽取 ( ) A．12、6、3 B．12、3、6 C．3、6、12 D． 3、12、63．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生( )A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人D．30人，50人，10人4．某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000家，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户．现要从中抽取容量为40的样本，调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法( )①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样．A．②③B．①③C．③D．①②③5．某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．7．某学校高一年级有x个学生，高二年级有y个学生，高三年级有z个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则此学校共有高中学生多少人？8．某工厂有3条生产同一产品的流水线，每天生产的产品件数分别是3 000件，4 000件，8 000件.若要用分层抽样的方法从中抽取一个容量为150件产品的样本，应该如何抽样？二、能力提升9．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合抽样本的方法是 ( ) A．简单随机抽样 B．系统抽样C．先从中年人中剔除1人，再用分层抽样 D．先从老年人中剔除1人，再用分层抽样10．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号有16件，那么此样本的容量n为________．11．一批产品有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别采用系统抽样和分层抽样，从这批产品中抽取一个容量为20的样本．三、探究与拓展12．某单位有技师18人，技术员12人，工程师6人，需要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，都不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除1个个体，求样本容量n.跟踪训练1 某校有学生2 000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本，则样本中高三学生的人数为_______．跟踪训练2 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．跟踪训练3 一个总体中的80个个体编号为0,1,2,…,79,并依次将其分为8个组,组号为0,1,…,7,要用下述抽样方法抽取一个容量为8的样本:即在第0组先随机抽取一个号码i ,则第k组抽取的号码为10k ＋j ,其中j ＝⎩⎪⎨⎪⎧ i ＋k i ＋k ＜10i ＋k －10i ＋k ≥10,若先在0组抽取的号码为6,则所抽到的8个号码依次为____________________.。