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5.1.2 导数的概念及其几何意义学习目标核心素养1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．2．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)4．正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．(易混点)1.通过导数概念和导数几何意义的学习，培养学生数学抽象及直观想象的核心素养．2．借助切线方程的求解，提升学生的数学运算核心素养.巍峨的珠穆朗玛峰，攀登珠峰的队员在陡峭程度不同时，运动员的感受是不一样的，如何用数学反映山势的陡峭程度，给登山运动员一些有益的技术参考？思考：什么是平均变化率？如何理解瞬时变化率？1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率ΔyΔx无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y′|x＝x0，即f ′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx.思考：f ′(x0)＞0和f ′(x0)＜0反映了怎样的意义？[提示] f ′(x0)＞0反映了瞬时变化率呈增长趋势，f ′(x0)＜0反映了瞬时变化率呈下降趋势．2．导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝f x－f x0x－x0.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝limΔx→0 f x0＋Δx－f x0Δx＝f ′(x0)．(2)切线方程曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．3．导函数对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f ′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f (x)的导函数(简称为导数)，即f ′(x)＝y′＝limΔx→0 f x＋Δx－f xΔx.思考：f ′(x0)与f ′(x)有什么区别？[提示] f ′(x0)是一个确定的数，而f ′(x)是一个函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f ′(x0)．( )(2)f ′(x1)＞f ′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大． ( )(3)f ′(x0)就是导函数y＝f ′(x)在x0处的函数值．( )(4)若f ′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在．( )[提示](1)根据导数的几何意义知正确．(2)若|f (x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．(3)根据导函数的定义知正确．(4)若f ′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处切线平行于x轴，不能说不存在．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．f ′(x0)＞0 B．f ′(x0)＝0C．f ′(x0)＜0 D．f ′(x0)不存在C[由题意可知，f ′(x0)＝－2＜0，故选C.]3．(教材P70习题T6改编)函数y＝f (x)的图象如图所示，下列描述错误的是( )A．x＝－5处比x＝－2处变化快B．x＝－4处呈上升趋势C．x＝1和x＝2处增减趋势相反D．x＝0处呈上升趋势D[根据导数的几何意义：f ′(－5)＞0，f ′(－4)＞0，f ′(－2)＝0，f ′(0)＜0，f ′(1)f ′(2)＜0，故D错误，故选D.]4．已知函数f (x)在x0处的导数为f ′(x0)＝1，则函数f (x)在x0处切线的倾斜角为________．45°[设切线的倾斜角为α，则tan α＝f ′(x0) ＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.]5．若函数f (x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．x＋y－3＝0[切线的斜率为k＝－1.∴点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.]求函数在某点处的导数【例1】(1)若函数y＝f (x)在x＝x0处可导，则limh→000h等于( )A．f ′(x0) B．2f ′(x0) C．－2f ′(x0) D．0(2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数． (1)B [∵Δx ＝(x 0＋h )－(x 0－h )＝2h . ∴lim h →0f x 0＋h －f x 0－h h ＝2lim h →0f x 0＋h －f x 0－h2h ＝2f ′(x 0)．故选B.](2)解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2，∴Δy Δx ＝6＋3Δx ，∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.利用导数定义求导数 1取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使Δx →0时分母不为0. 2函数在x 0处的导数f ′x 0只与x 0有关，与Δx 无关.3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.[跟进训练]1．建造一栋面积为x m 2的房屋需要成本y 万元，y 是x 的函数，y ＝f (x )＝x 10＋x10＋0.3，求f ′(100)，并解释它的实际意义．[解] 根据导数的定义，得f ′(100)＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0f 100＋Δx －f 100Δx＝lim Δx →0100＋Δx ＋100＋Δx ＋3－100＋100＋310Δx＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋100＋Δx －1010Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤110＋110×100＋Δx ＋10＝110＋110×10＋10＝0.105.f ′(100)＝0.105表示当建筑面积为100 m 2时，成本增加的速度为1 050元/m 2.导数几何意义的应用y f x y f x是( )A B C D(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是( )A B C D[思路探究](1)切线斜率大于零，则f ′(x)＞0；切线斜率小于零，则f ′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B(2)B[(1)由y＝f (x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f ′(x)＞0；当x＝0时，f ′(x)＝0；当x＞0时，f ′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝f x在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f ′x0＞0；k＜0⇔f ′x0＜0；k＝0⇔f ′x0＝0.关键点二：|f ′x0|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f ′x0|越小⇔在x0处瞬时变化越慢.[跟进训练]2．(1)已知y＝f (x)的图象如图所示，则f ′(x A)与f ′(x B)的大小关系是( )A．f ′(x A)＞f ′(x B) B．f ′(x A)＜f ′(x B)C．f ′(x A)＝f ′(x B) D．不能确定(2)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1(1)B(2)A[(1)由导数的几何意义，f ′(x A)，f ′(x B)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f ′(x A)＜f ′(x B)．(2)由题意，知k＝y′|x＝0＝limΔx→00＋Δx2＋a0＋Δx＋b－bΔx＝1，∴a＝1.又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.]求切线方程1．如何求曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线方程？[提示]y－y0＝k(x－x0)．即根据导数的几何意义，求出函数y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程．2．曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？[提示]曲线f (x)在点(x0，f (x0))处的切线，点(x0，f (x0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f (x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点．3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]不一定．曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f (x)的交点个数不一定只有一个，如图所示．【例3】已知曲线C：y＝x3.(1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程；(2)求曲线C 过点(1，1)的切线方程．[思路探究] (1)求y ′|x ＝1―→求切点―→点斜式方程求切线 (2)设切点x 0，y 0―→求y ′|x ＝x 0―→由y ′|x ＝x 0＝y 0－1x 0－1求x 0，y 0―→写切线方程[解] (1)将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，∴切点P (1，1)． y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →01＋Δx3－1Δx＝lim Δx →0[3＋3Δx ＋(Δx )2]＝3. ∴k ＝y ′|x ＝1＝3.∴曲线在点P (1，1)处的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.(2)设切点为Q (x 0，y 0)，由(1)可知y ′|x ＝x 0＝3x 20，由题意可知k PQ ＝y ′|x ＝x 0，即y 0－1x 0－1＝3x 20，又y 0＝x 30，所以x 30－1x 0－1＝3x 20，即2x 30－3x 20＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12. ①当x 0＝1时，切点坐标为(1，1)，相应的切线方程为3x －y －2＝0.②当x 0＝－12时，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，相应的切线方程为y ＋18＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即3x －4y＋1＝0.1．(变条件)把题中条件“y ＝x 3”改成“y ＝x 2”，求曲线在x ＝1点处的切线方程 [解] 把x ＝1代入y ＝x 2得y ＝12＝1.即切点P (1，1)， y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →01＋Δx2－1Δx＝lim Δx →0(Δx ＋2)＝2，∴k ＝y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x 2在P (1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.2．(变条件、变结论)求曲线y ＝x 2＋1过点P (1，0)的切线方程．[解]设切点为Q()a，a2＋1，k＝limΔx→0f a＋Δx－f aΔx＝limΔx→0(2a＋Δx)＝2a.∴在Q点处的切线方程为y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)把点(1，0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．解的a＝1± 2.再把a＝1±2代入到(*)式中．即得y＝(2＋22)x－(2＋22)或y＝(2－22)x－(2－22)．这就是所求的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f (x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．1．函数f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)＝0并不能说明函数图象的上升与下降发生了转变，若函数在x＝x0左右的导数都大于0，或者都小于0，则函数图象的走势并没有发生转变．如函数f (x)＝x3在x＝0处的导数等于0，但f (x)＝x3的图象一直上升．2．求切线方程时，不仅要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解．(1)若“在”，则该点为切点．(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过”曲线外的一点，则该点一定不是切点．3．曲线在某点处切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．1．下面说法正确的是( )A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处没有切线B．若曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处有切线，则f ′(x0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在C [根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0，y 0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A ，B ，D 错误．]2．已知函数y ＝f (x )是可导函数，且f ′(1)＝2，则lim Δx →0f 1＋Δx －f 12Δx＝( )A ．12 B ．2 C ．1 D ．－1 C [由题意可得：lim Δx →0f 1＋Δx －f 12Δx＝12lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx ＝12f ′(1)，即：lim Δx →0f 1＋Δx －f 12Δx ＝12×2＝1.故应选C.]3．设曲线f (x )＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12 D ．－1A [因为f ′(1)＝lim Δx →0a 1＋Δx2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a Δx2Δx ＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，所以2a ＝2，所以a ＝1.]4．曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为________．x ＋2y ＋4＝0 [f ′(－2)＝lim Δx →0f －2＋Δx －f －2Δx＝lim Δx →0 2－2＋Δx ＋1Δx ＝lim Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.]5．已知曲线y ＝2x 2－7在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标． [解] 设切点P (m ，n )，切线斜率为k ， 由y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0[2x ＋Δx2－7]－2x 2－7Δx＝lim(4x＋2Δx)＝4x，Δx→0得k＝y′|x＝m＝4m.由题意可知4m＝8，∴m＝2. 代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切点P为(2，1)．。
5.3.2 函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值与导数学习目标核心素养1.了解极大值、极小值的概念．(难点)2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．(重点、易混点)3．会用导数求函数的极大值、极小值．(重点)1.通过极值点与极值概念的学习，体现了数学抽象的核心素养．2．借助函数极值的求法，提升学生的逻辑推理、数学运算的核心素养.“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．请同学们思考：“山势有什么特点？”由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．思考：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f (x)＝x3，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．所以，当f ′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f (x)的极值点，还要看f ′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．求可导函数y＝f (x)的极值的方法解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极大值一定比极小值大．( )(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值．( )(3)若f ′(x0)＝0，则x0一定是极值点．( )(4)单调函数不存在极值．( )[提示](1)极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；(2)有的函数可能没有极值．∴(2)错；(3)若f ′(x0)＝0，只有导函数的变号零点，x0才是极值点，故(3)错误；(4)正确．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)( )A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]3．(多选题)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是( )A．y＝x3B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2xBC[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C 符合；对于D ，y ＝2x单调递增，无极值．故选BC.]4．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2B [f ′(x )＝1－2sin x ．令f ′(x )＝0，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＝π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2时f ′(x )＜0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )＞0.∴x ＝π6是f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值点．]不含参数的函数求极值(1)y ＝x 3－3x 2－9x ＋5； (2)y ＝x 3(x －5)2.[解] (1)∵y ′＝3x 2－6x －9，令y ′＝0，即3x 2－6x －9＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1，3) 3 (3，＋∞)y ′ ＋ 0 － 0 ＋ y↗极大值↘极小值↗当x ＝3时，函数y ＝f (x )有极小值，且f (3)＝－22. (2)y ′＝3x 2(x －5)2＋2x 3(x －5) ＝5x 2(x －3)(x －5)．令y ′＝0，即5x 2(x －3)(x －5)＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，x 3＝5.当x 变化时，y ′与y 的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0，3) 3 (3，5) 5 (5，＋∞)y ′ ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ y↗无极↗极大值↘极小值0↗值108∴x ＝0不是y 的极值点；x ＝3是y 的极大值点，y 极大值＝f (3)＝108； x ＝5是y 的极小值点，y 极小值＝f (5)＝0.一般地，求函数y ＝fx 的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f ′x ； 2解方程f ′x ＝0，得方程的根x 0可能不止一个；3用方程f ′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x ，f ′x ，f x 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f ′x 在各个开区间内的符号，判断f x在f ′x ＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f x 在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么函数fx 在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.[跟进训练]1．求函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极值． [解] f ′(x )＝9x 2－3， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－33，x 2＝33. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33－33⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗根据上表可知x 1＝－33为函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极大值点，极大值为f ⎛⎪⎫－3＝1＋233； x 2＝33为函数f (x )＝3x 3－3x ＋1的极小值点，极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝1－233.含参数的函数求极值【例2】 已知函数f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，求f (x )的极值． [思路探究] 求导―→解f ′x ＝0―→比较极值点大小 ―→进行讨论求极值[解] ∵f (x )＝16x 3－20ax 2＋8a 2x －a 3，其中a ≠0，∴f ′(x )＝48x 2－40ax ＋8a 2＝8(6x 2－5ax ＋a 2)＝8(2x －a )(3x －a )， 令f ′(x )＝0，得x 1＝a 2，x 2＝a3.①当a ＞0时，a 3＜a2，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3 a3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 2a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，＋∞f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝a3时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327；当x ＝a2时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0. ②当a ＜0时，a 2＜a3，则随着x 的变化，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2 a2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 3a3⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗∴当x ＝a2时，函数f (x )取得极大值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0；当x ＝a3时，函数f (x )取得极小值，为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝a327.综上，当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值a 327，在x ＝a2处取得极小值0；当a ＜0时，函数f (x )在x ＝a 2处取得极大值0，在x ＝a 3处取得极小值a 327.函数极值的注意点1求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点.2求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题.讨论的依据有两种：一是看参数是否对f ′x 的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f ′x 在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.[跟进训练]2．若函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )，求函数f (x )的极值． [解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax.(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )无极值． (2)当a ＞0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝a .当0＜x ＜a 时，f ′(x )＜0；当x ＞a 时，f ′(x )＞0.∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．由极值求参数的值或取值范围322A ．4或－3B ．4或－11C ．4D ．－3(2)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 没有极值，则( )A ．a ＝－1B ．a ≥0C ．a ＜－1D ．－1＜a ＜0[思路探究] (1)由f ′(1)＝0且f (1)＝10.求解a ，b ，注意检验极值的存在条件． (2)求导分解因式主要对参数分类讨论．(按根的大小)(1)C (2)A [(1)∵f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3＋2a ＋b ＝0，f 1＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，a ＋b ＋a 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3，时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，故函数f (x )单调递增，无极值，不符合题意．∴a ＝4.故选C.(2)f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x＋1，x ＞0，当a ≥0时，a x＋1＞0，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1； 令f ′(x )＞0，得x ＞1.f (x )在x ＝1处取极小值． 当a ＜0时，方程a x＋1＝0必有一个正数解x ＝－a ，①若a ＝－1，此正数解为x ＝1，此时f ′(x )＝x －12x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值．②若a ≠－1，此正数解为x ≠1，f ′(x )＝0必有2个不同的正数解，f (x )存在2个极值．综上，a ＝－1.故选A.]已知函数极值求参数的方法对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号.1已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数f ′x ；②由极值点的导数值为0，列出方程组，求解参数. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. 2对于函数无极值的问题，往往转化为f ′x ≥0或f ′x ≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立.[跟进训练]3．若x ＝2是函数f (x )＝x (x －m )2的极大值点，求函数f (x )的极大值．[解] ∵f ′(x )＝(x －m )(3x －m )，且f ′(2)＝0， ∴(m －2)(m －6)＝0，即m ＝2或m ＝6. (1)当m ＝2时，f ′(x )＝(x －2)(3x －2)， 由f ′(x )＞0得x ＜23或x ＞2；由f ′(x )＜0得23＜x ＜2.∴x ＝2是f (x )的极小值点，不合题意，故m ＝2舍去． (2)当m ＝6时，f ′(x )＝(x －6)(3x －6)， 由f ′(x )＞0得x ＜2或x ＞6； 由f ′(x )＜0得2＜x ＜6.∴x ＝2是f (x )的极大值，∴f (2)＝2×(2－6)2＝32. 即函数f (x )的极大值为32.极值问题的综合应用1．如何画出函数f (x )＝2x 3－3x 2－36x ＋16的大致图象．[提示] f ′(x )＝6x 2－6x －36＝6(x 2－x －6)＝6(x －3)(x ＋2)． 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞3，∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞)． 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜3， ∴函数f (x )的递减区间是(－2，3)．由已知得f (－2)＝60，f (3)＝－65，f (0)＝16.∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f (x )大致图象如图所示． 2．当a 变化时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有几解？[提示] 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 解的个数问题可转化为函数y ＝a 与y ＝2x 3－3x 2－36x ＋16的图象有几个交点的问题，结合探究点1可知：(1)当a ＞60或a ＜－65时， 方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有且只有一解； (2)当a ＝60或a ＝－65时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有两解； (3)当－65＜a ＜60时，方程2x 3－3x 2－36x ＋16＝a 有三解．【例4】 已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，求实数a 的取值范围．[思路探究] 求出函数的极值，要使f (x )＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a 的取值范围．[解] 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋a . 因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图．由已知应有⎩⎪⎨⎪⎧2＋a >0，－2＋a <0，解得－2<a <2，故实数a 的取值范围是(－2，2)．1．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0恰有两个根，则实数a 的值如何求解？ [解] 由例题知，函数的极大值f (－1)＝2＋a ，极小值f (1)＝－2＋a ， 若f (x )＝0恰有两个根，则有2＋a ＝0，或－2＋a ＝0， 所以a ＝－2或a ＝2.2．(改变条件)本例中，若方程f (x )＝0有且只有一个实根，求实数a 的范围． [解] 由例题可知，要使方程f (x )＝0有且只有一个实根， 只需2＋a ＜0或－2＋a ＞0， 即a ＜－2或a ＞2.3．(变条件、变结论)讨论方程ln xx＝a 的根的情况．[解] 令f (x )＝ln x x ，则定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ln xx2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0，e) e (e ，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗1e↘因此，x ＝e 是函数f (x )的极大值点，极大值为f (e)＝1e ，函数f (x )没有极小值点．其图象如图．∴当0＜a ＜1e 时，ln xx ＝a 有两个不同的根；当a ＝1e 或a ≤0时，ln xx ＝a 只有一个根；当a ＞1e 时，ln x x＝a 没有实数根．利用导数求函数零点的个数1利用导数可以判断函数的单调性； 2研究函数的极值情况；3在上述研究的基础上突出函数的大致图象；4直观上判断函数的图象与x 轴的交点或两个图象的交点的个数.若含有参数，则需要讨论极值的正负.1．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．2．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极值点的合理性．3．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题．1．函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是( )A．在(1，2)上函数f (x)为增函数B．在(3，4)上函数f (x)为减函数C．在(1，3)上函数f (x)有极大值D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，∴x＝2是函数f (x)的极大值点，x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D 错误．]2．设函数f (x)＝x e x，则( )A．x＝1为f (x)的极大值点B．x＝1为f (x)的极小值点C．x＝－1为f (x)的极大值点D．x＝－1为f (x)的极小值点D [令f ′(x )＝e x ＋x ·e x ＝(1＋x )e x ＝0，得x ＝－1.当x ＜－1时，f ′(x )＜0；当x ＞－1时，f ′(x )＞0.故当x ＝－1时，f (x )取得极小值．]3．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，∵函数f (x )既有极大值又有极小值，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0，即a 2－a －2＞0，解得a ＞2或a ＜－1.]4．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则函数f (x )的极大值为________． 2ln 2 [f ′(x )＝2e f ′e x －1e ，故f ′(e)＝2e f ′e e －1e， 解得f ′(e)＝1e ，所以f (x )＝2ln x －x e ，f ′(x )＝2x －1e. 由f ′(x )＞0得0＜x ＜2e ，f ′(x )＜0得x ＞2e.所以函数f (x )在(0，2e)单调递增，在(2e ，＋∞)单调递减，故f (x )的极大值为f (2e)＝2ln 2e －2＝2ln 2.]。
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1)求出函数f (x)的定义域；(2)求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点；(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值；(4)确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f (x)的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用导数研究实际问题要先求定义域． ( ) (2)方程x e x＝2有两个不相等的实数根．( )(3)做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m ． ( ) [提示] (2)令y ＝x e x，，则y ′＝e x(x ＋1)．由于x ＞－1时，y ′＞0，x ＜－1时，y ′＜0.∴x ＝－1时y ＝x e x取到最小值－1e.结合单调性及变化趋势画出如图所示，由图可以看出y ＝x e x 与y ＝2只有一个交点，故方程只有一个解．(3)设底的边长为x m ，则高为256x 2.那么需材料的面积为x 2＋4x ×256x 2＝x 2＋4×256x.令y＝x 2＋4×256x ，∴y ′＝2x －4×256x2.令y ′＝0得x ＝8.又x ＞8时y ′＞0，x ＜8时y ′＜0，∴x ＝8时用料最省，这时高h ＝25682＝4(m)．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203 C ．－1 D ．－8C [由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0≤x ≤5，∴x ＝1时，f ′(x )的最小值为－1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [由题意得，y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0. 故当x ＝9时，y 取得极大值，也是最大值．]4．某产品的销售收入y 1(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 2＝2x 3－x 2，已知x ＞0，为使利润最大，应生产该产品________千台．6 [由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)．y ′＝36x －6x 2，由y ′＝36x －6x 2＝6x (6－x )＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)， 当x ∈(0，6)时，y ′＞0，当x ∈(6，＋∞)时，y ′＜0， ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数． 则当x ＝6时，y 有最大值．]利用导数研究函数的图象【例1】 函数y ＝x 3ex (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )B [法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x ex 2＝x 23－xex， 当x ＜3时，y ′＞0，当x ＞3时，y ′＜0， ∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B.]由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.[跟进训练]1．函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为( )A [∵f (x )＝f (－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝e x 2·2x －4x ，令f ′(x )＝0，则2x (e x 2－2)＝0⇒x ＝ln 2∈(0，1)，且f (ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴当x ＞0时，f (x )＞0，且只有一个极值点，∴排除B ，C ，D.故选A.]用导数研究方程的根【例2】 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[思路探究] (1)对函数f (x )求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值； (2)根据(1)中函数的单调性和极值分析函数图象，得出最值，进而得出函数存在零点时k 的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx，由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞)f ′(x ) － 0＋f (x )↘k 1－ln k2↗所以f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．与函数零点有关的问题与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x 轴的位置关系.或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题确定参数的取值范围.[跟进训练]2．若方程a x＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，求实数a 的取值范围．[解] 由a x＝x 知x ＞0，故x ·ln a －ln x ＝0⇒ln a ＝ln x x，令f (x )＝ln x x(x ＞0)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e)＝1e ，即ln a ＜1e，即a ＜e 1e .画出函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)与y ＝x 的图象(图略)，结合图象可知，若方程a x ＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，则a ＞1.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 1e .导数在生活实际问题中应用【例3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． [思路探究] (1)由C (0)＝8可求k 的值从而求出f (x )的表达式． (2)求函数式f (x )的最小值．[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52，令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．求解优化问题中的最小值问题的思路在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值.[跟进训练]3．已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水航行到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v ≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v ＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v 应为多少？[解] 设船每小时航行所需的燃料费为y 1元，比例系数为k (k ＞0)，则y 1＝kv 2.∵当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5，则y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000vv －82.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.若v 0≥16，当v ∈(8，16)时，y ′＜0，y 为减函数；当v ∈(16，v 0]时，y ′＞0，y 为增函数．故当v ＝16千米/时时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v 0＜16，则v ∈(8，v 0]，且y ′＜0，y 在(8，v 0]上为减函数．故当v ＝v 0时，y 取得最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v 0≥16，则当v ＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32 000元；若v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．角度2 利润最大、效率最高问题 [探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ [提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？ [提示] (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路探究] (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值． [解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值42↘由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．[跟进训练]4．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．[解] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)y ′＝5a (4－2x －12x 2)，令y ′＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时，y ′＜0，∴函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12时取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时， 该电子公司销售该配件的月平均利润最大．1．运用零点存在性定理求解零点存在或者零点个数问题的关键是寻找合适的零点区间．本题还可以采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题．2．利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题． 解题的一般方法如下：(1)设出变量找出函数关系式，确定定义域；(2)若函数f (x )在定义域内只有一个极值点x 0，则不需与端点处函数值比较，f (x 0)即是所求的最大值或最小值．3．“恒成立”问题的解决往往要转化为函数的最值问题．1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60 B [V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)，因为0＜x ＜60，所以当0＜x ＜40时，V ′(x )>0， 此时V (x )单调递增；当40<x <60时，V ′(x )<0，此时V (x )单调递减，所以V (40)是V (x )的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )C[根据题意，f (x)为偶函数，则其导数f ′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D.又由于函数f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C.]3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A[方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故选A.]4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．40[由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝13x3－392x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.]。
第五章一元函数的导数及其应用（公式、定理、结论图表）一.导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000二.导数的几何意义函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。
于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。
注意两种情况：1.曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。
相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-2.曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。
三.常见函数的导数公式:①'0C =；②'1()n n x nx -=；③'(sin )cos x x =；④'(cos )sin x x =-；⑤'()ln x x a a a =；⑥x x e e =')(；⑦'1(log )ln a x x a =；⑧xx 1)(ln '=。
四.导数的四则运算和复合函数的求导法则：（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±(2))()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f （3）2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（4）'⋅'='x u u f x u f ))((五.导数的应用：1.利用导数判断函数单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数；②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=. 4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
掌门1对1教育 高中数学第五讲 导数及其应用1．导数的几何意义(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)． (2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为 y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)导数的物理意义：s ′(t )＝v (t )，v ′(t )＝a (t )． 2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x . 3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y ＝|x |在x ＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件． 4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小值．1．(2013·广东)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.答案 －1解析 ∵y ′＝k ＋1x，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1.2．(2013·福建)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．－x 0是f (－x )的极小值点C ．－x 0是－f (x )的极小值点D ．－x 0是－f (－x )的极小值点 答案 D解析 A 错，因为极大值未必是最大值．B 错，因为函数y ＝f (x )与函数y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点．C 错，函数y ＝f (x )与函数y ＝－f (x )的图象关于x 轴对称，x 0应为－f (x )的极小值点．D 对，函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，－x 0应为y ＝－f(－x)的极小值点．3．(2013·浙江)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案 B解析从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C 项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．4．(2012·重庆)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案 D解析利用极值的存在条件判定．当x<－2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)>0；当－2<x<1时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)<0；当1<x<2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)<0；当x>2时，y＝(1－x)f′(x)<0，得f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．5．(2013·安徽)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3 B．4 C．5 D．6答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知得x 1≠x 2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋2ax 1＋b ＝0，3x 22＋2ax 2＋b ＝0，若x 1<x 2，y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根． 若x 1>x 2，如图，同理得方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．题型一 导数意义及应用例1 (1)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．(2)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．审题破题 (1)利用导数的几何意义，列方程求交点P 的坐标．(2)本题是导数和数列的综合，可先从函数图象的切线方程出发，确定a k ＋1和a k 的关系． 答案 (1)(－2,15) (2)21解析 (1)因为y ′＝3x 2－10，设P (x ，y )， 则由已知有3x 2－10＝2，即x 2＝4，∴x ＝±2， 又∵点P 在第二象限，∴x ＝－2. 则y ＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15， ∴点P 坐标为(－2,15)． (2)对函数y ＝x 2，y ′＝2x ，∴函数y ＝x 2(x >0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，令y ＝0得a k ＋1＝12a k . 又∵a 1＝16，∴a 3＝12a 2＝14a 1＝4，a 5＝14a 3＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.反思归纳 在求曲线的切线方程时，注意两点：①求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 的切线，一定是以点P 为切点；过点P 的切线不管点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解．变式训练1直线y ＝2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________.答案 －ln 2－1解析 切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b 的值．y ′＝1x ，令1x ＝2，得x ＝12，故切点为⎝⎛⎭⎫12，ln 12，代入直线方程，得ln 12＝2×12＋b ，所以b ＝－ln 2－1.题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．审题破题 (1)直接根据f ′(x )<0确定单调递减区间；(2)g (x )在[1，＋∞)上单调，则g ′(x )≥0或g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2 x ＋1 x －1 x，故f (x )的单调递减区间是(0,1)． (2)由题意得g ′(x )＝2x ＋a x －2x 2，函数g (x )在[1，＋∞)上是单调函数．①若g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2，∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0.②若g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数， 则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)．反思归纳 利用导数研究函数单调性的一般步骤： (1)确定函数的定义域； (2)求导数f ′(x )；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f (x )的定义域内解(或证明)不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0.②若已知f (x )的单调性，则转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题求解． 变式训练2 设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)若a ＝0，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解 (1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立， 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)．∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增． 而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0.由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，令e －x (e x －1)(e x －2a )<0得1<e x <2a ，∴0<x <ln 2a .故当x ∈(0，ln 2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln 2a )上单调递减．而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln 2a )时，f (x )<0.不符合要求．综上可得a 的取值范围为(－∞，12]．题型三 利用导数研究函数的极值(最值)例3 已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．审题破题 (1)f (x )在闭区间[1，e]上的最大值、最小值要么在端点处取得，要么在极值点处取得．所以首先要研究f (x )在[1，e]上的单调性．(2)f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方，即g (x )－f (x )在(1，＋∞)上恒大于0.(1)解 当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝x ＋1x >0，所以f (x )在区间[1，e]上为增函数．所以当x ＝1时，f (x )取得最小值12；当x ＝e 时，f (x )取得最大值12e 2＋1.(2)证明 设h (x )＝g (x )－f (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝2x 2－x －1x ＝2x 3－x 2－1x＝ x －1 2x 2＋x ＋1x.当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以h (x )>h (1)＝16>0.所以对于x ∈(1，＋∞)，g (x )>f (x )成立，即f (x )的图象在g (x )的图象的下方．反思归纳 (1)求函数的最值可结合函数的单调性、极值，有时也可以和图象联系；(2)用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h (x )>0，其中一个重要技巧就是找到函数h (x )在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口． 变式训练3 (2013·广东)设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．(1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M . 解 (1)当k ＝1时，f (x )＝(x －1)e x －x 2， ∴f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2x ＝x (e x －2)． 令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝ln 2. 列表如下：x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值↘极小值↗(2)f ′(x )＝e x ＋(x －1)e x －2kx ＝x (e x －2k )， ∵12<k ≤1，∴1<2k ≤2， 由(1)可知f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，＋∞)上单调递增．设g (x )＝x －ln 2x ⎝⎛⎭⎫12<x ≤1， 则g ′(x )＝1－22x ＝1－1x，∵12<x ≤1，∴1≤1x <2，∴－1<1－1x ≤0， ∴g (x )＝x －ln 2x 在⎝⎛⎦⎤12，1上单调递减， ∴g (x )>g (1)＝1－ln 2>0， ∵12<k ≤1，∴k －ln 2k >0即k >ln 2k ， ∴f (x )在(0，ln 2k )上单调递减，在(ln 2k ，k )上单调递增， ∴f (x )在[0，k ]上的最大值应在端点处取得． 而f (0)＝－1，f (k )＝(k －1)e k －k 3， 下面比较f (0)与f (k )的大小． 令h (k )＝f (k )－f (0)＝(k －1)e k －k 3＋1， 则h ′(k )＝k (e k －3k )，再令φ(k )＝e k －3k ，则φ′(k )＝e k －3<e －3<0，∴φ(k )在⎝⎛⎦⎤12，1上递减，而φ⎝⎛⎭⎫12·φ(1)＝⎝⎛⎭⎫e －32(e －3)<0， ∴存在x 0∈⎝⎛⎦⎤12，1使得φ(x 0)＝0，且当k ∈⎝⎛⎭⎫12，x 0时，φ(k )>0，当k ∈(x 0,1)时，φ(k )<0， ∴h (k )在⎝⎛⎭⎫12，x 0上单调递增，在(x 0,1)上单调递减． 又h ⎝⎛⎭⎫12＝－12e ＋78>0，h (1)＝0. ∴h (k )≥0在⎝⎛⎦⎤12，1上恒成立，当且仅当k ＝1时取“＝”． 综上，函数f (x )在[0，k ]上的最大值M ＝(k －1)e k －k 3.题型四 导数的综合应用例4 已知函数f (x )＝ax ·sin x －32(a >0)，且f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为π－32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断函数f (x )在(0，π)内零点个数，并加以证明．审题破题 (1)通过求最值可确定a 的值；(2)函数f (x )的零点个数可以利用函数单调性、极值结合函数草图确定．解 (1)f ′(x )＝a ·sin x ＋ax ·cos x ＝a (sin x ＋x cos x )．∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋x cos x >0. 又a >0，∴f ′(x )>0，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． 则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2a －32＝π－32，∴a ＝1， 所以f (x )＝x sin x －32.(2)函数f (x )在区间(0，π)内有且只有两个零点． 证明如下：由(1)知，f (x )＝x sin x －32，从而f (0)＝－32<0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2－32>0. 由(1)知，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，且f (x )的图象连续不间断， ∴f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上有唯一零点； 当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，令g (x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由g ⎝⎛⎭⎫π2＝1>0，g (π)＝－π<0，且g (x )在⎣⎡⎦⎤π2，π上的图象是连续不断的，故存在m ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得g (m )＝0.由g ′(x )＝2cos x －x sin x ，知x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，有g ′(x )<0，从而g (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递减． 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，m 时，g (x )>g (m )＝0，即f ′(x )>0， 从而f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，m 内单调递增， 故当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，m 时，f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫π2＝π－32>0. 故f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，m 上无零点； 当x ∈(m ，π)时，有g (x )<g (m )＝0，即f ′(x )<0，从而f (x )在(m ，π)内单调递减，又f (m )>0，f (π)<0，且f (x )在[m ，π]上的图象是连续不断的，从而f (x )在(m ，π)内有且仅有一个零点．综上所述，f (x )在(0，π)内有且只有两个零点．反思归纳 利用导数解决不等式恒成立，函数零点个数，证明不等式问题，可以利用求函数的单调性、极值、最值确定函数的草图，数形结合求解一些综合性问题． 变式训练4 (2013·辽宁)(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ； (2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 记F (x )＝sin x －22x ， 则F ′(x )＝cos x －22. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，F ′(x )＞0，F (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，1时，F ′(x )＜0，F (x )在⎣⎡⎦⎤π4，1上是减函数． 又F (0)＝0，F (1)＞0，所以当x ∈[0,1]时，F (x )≥0，即sin x ≥22x . 记H (x )＝sin x －x ，则当x ∈(0,1)时，H ′(x )＝cos x －1＜0，所以，H (x )在[0,1]上是减函数，则H (x )≤H (0)＝0，即sin x ≤x . 综上，22x ≤sin x ≤x ，x ∈[0,1]． (2)解 方法一 因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x 2≤(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫24x 2＝(a ＋2)x .所以，当a ≤－2时， 不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立．下面证明，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立．因为当x ∈[0,1]时，ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4＝(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)sin 2x2≥(a ＋2)x ＋x 2＋x 32－4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫x 22 ＝(a ＋2)x －x 2－x 32≥(a ＋2)x －32x 2＝－32x ⎣⎡⎦⎤x －23 a ＋2 . 所以存在x 0∈(0,1)⎝⎛⎭⎫例如x 0取a ＋23和12中的较小值满足ax 0＋x 20＋x 302＋2(x 0＋2)cos x 0－4＞0.即当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4≤4对x ∈[0,1]不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．方法二 记f (x )＝ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x －4，则f ′(x )＝a ＋2x ＋3x 22＋2cos x －2(x ＋2)sin x .记G (x )＝f ′(x )，则G ′(x )＝2＋3x －4sin x －2(x ＋2)cos x .当x ∈(0,1)时，cos x ＞12，因此G ′(x )＜2＋3x －4×22x －(x ＋2)＝(2－22)x ＜0.于是f ′(x )在[0,1]上是减函数，因此，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜f ′(0)＝a ＋2.故当a ≤－2时，f ′(x )＜0，从而f (x )在[0,1]上是减函数，所以f (x )≤f (0)＝0.即当a ≤－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]恒成立． 下面证明：当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4，对x ∈[0,1]不恒成立． 由于f ′(x )在[0,1]上是减函数，且f ′(0)＝a ＋2＞0，f ′(1)＝a ＋72＋2cos 1－6sin 1.当a ≥6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)≥0，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0.因此f (x )在[0,1]上是增函数，故f (1)＞f (0)＝0；当－2＜a ＜6sin 1－2cos 1－72时，f ′(1)＜0.又f ′(0)＞0.故存在x 0∈(0,1)，使f ′(x 0)＝0，则当0＜x ＜x 0时，f ′(x )＞f ′(x 0)＝0，所以f (x )在[0，x 0]上是增函数，所以当x ∈(0，x 0)时，f (x )＞f (0)＝0.所以，当a ＞－2时，不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]不恒成立． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．典例 (12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求函数g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)求实数a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．规范解答解 (1)由题意，g (x )＝ln x ＋1x ，x >0，∴g ′(x )＝x －1x 2，且x >0， 令g ′(x )＝0，得x ＝1，[2分] 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0， 故(0,1)是g (x )的单调减区间， 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0. 故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点． 所以最小值为g (1)＝1.[4分](2)由(1)知g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ， 设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ， 则h ′(x )＝－ x －1 2x 2，且x >0.[6分]当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ； 当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0， 因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减， 当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ， 当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .[9分] (3)由(1)知，g (x )的最小值为g (1)＝1，∴g (a )－g (x )<1a 对∀x >0成立⇔g (a )－1<1a .则ln a ＋1a －1<1a ，即ln a <1，∴0<a <e.故实数a 的取值范围是(0，e)．[12分]评分细则 (1)g (x )的单调区间写成(0,1]，[1，＋∞)的不扣分；只求出极值没有写出最值的扣1分；(2)a 的取值范围写成不等式的不扣分；没有下结论的扣1分． 阅卷老师提醒 (1)研究函数相关问题，树立定义域优先意识．(2)树立分类讨论，转化化归的思想意识，善于根据条件特征构造函数，重视函数、不等式(方程)间的转化．(3)对于不等式恒成立问题，善于转化为g (a )－1a <g (x )min ，分离参数或构造关于参数的不等式，达到求解目的．1．(2013·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0 答案 C解析 A 项，因为函数f (x )的值域为R ，所以一定存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，A 正确．B 项，假设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(m ，n )，按向量a ＝(－m ，－n )将函数的图象平移，则所得函数y ＝f (x ＋m )－n 是奇函数．所以f (x ＋m )＋f (－x ＋m )－2n ＝0，化简得(3m ＋a )x 2＋m 3＋am 2＋bm ＋c －n ＝0.上式对x ∈R 恒成立，故3m ＋a ＝0，得m ＝－a3，n ＝m 3＋am 2＋bm ＋c ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 3，所以函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为⎝⎛⎭⎫－a3，f ⎝⎛⎭⎫－a 3，故y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确．C 项，由于f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 是二次函数，f (x )有极小值点x 0，必定有一个极大值点x 1，若x 1<x 0，则f (x )在区间(－∞，x 0)上不单调递减，C 错误．D 项，若x 0是极值点，则一定有f ′(x 0)＝0.故选C.2．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋ln x 是单调递增函数，则m 的取值范围是( )A ．m >－2 2B ．m ≥－2 2C ．m <2 2D ．m ≤2 2答案 B解析 依题意知，x >0，f ′(x )＝2x 2＋mx ＋1x ，令g (x )＝2x 2＋mx ＋1，x ∈(0，＋∞)，当－m4≤0时，g (0)＝1>0恒成立，∴m ≥0成立，当－m4>0时，则Δ＝m 2－8≤0，∴－22≤m <0，综上，m 的取值范围是m ≥－2 2.3．已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [1，＋∞)解析 f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x >0恒成立，m ≥－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，则当1x＝1时，函数g (x )取最大值1，故m ≥1. 4．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19. 所以当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．5．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1x ＋1 2>0，因此函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1,2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1,2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94. 专题限时规范训练一、选择题1．已知函数y ＝－xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，下面四个图象中，y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 由函数y ＝－xf ′(x )的图象知x <－1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；0<x <1时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；x >1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是 ( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3D ．不确定答案 C解析 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝⎛⎭⎫π6， f ′⎝⎛⎭⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1≥0， 故f (x )＝cos x ＋x 是R 上的增函数，又－π3<π3，所以有f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3. 3．(2012·辽宁)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)答案 B解析 根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解． 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．4．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于( )A ．1B ．2C ．0D. 2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －ax ，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1,2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1,2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.5．(2012·陕西)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析∵f(x)＝x e x，∴f′(x)＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即e x(1＋x)≥0，即x≥－1，∴x≥－1时函数y＝f(x)为增函数．同理可求，x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．6．(2012·大纲全国)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于() A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1答案 A解析∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋y ↗c＋2↘c－2↗c＝2.7．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥32B ．m >32C ．m ≤32D ．m <32答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，所以f ′(x )＝2x 3－6x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝3，经检验知x ＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f (3)＝3m －272，不等式f (x )＋9≥0恒成立，即f (x )≥－9恒成立，所以3m －272≥－9，解得m ≥32.8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′ x －f xx 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)答案 D 解析 x >0时⎣⎡⎦⎤f x x ′<0，∴φ(x )＝f xx为减函数， 又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )>0的解集为(0,2)∪(－∞，－2)． 二、填空题9．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________． 答案 40解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0.即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)． 当x >40时，y ′>0，当0<x <40时，y ′<0，所以当x ＝40时，y 最小．10．函数f (x )＝2m cos 2x2＋1的导函数的最大值等于1，则实数m 的值为________．答案 ±1解析 显然m ≠0，所以f (x )＝2m cos 2x 2＋1＝m (2cos 2x2－1)＋m ＋1＝m cos x ＋m ＋1，因此f ′(x )＝－m sin x ，其最大值为1，故有m ＝±1.11．已知函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，2ln 2－2]解析 函数f (x )＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g ′(x )＝2－e x ，易知函数g (x )＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g (x )＝2x －e x 的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g (x )＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a ≤2ln 2－2即可．12．函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________． 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 (利用换元法)将x 2换元成t ，则原式化为f (t )<t 2＋12，当t ＝1时，f (t )＝1，且t 2＋12＝1，又由f ′(t )<12，可知当t >1时，f (t )<t 2＋12；当t <1时，f (t )>t 2＋12.故f (t )<t 2＋12的解集为t >1，即x 2>1，因此x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 三、解答题13．(2013·福建)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 14．(2013·山东)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ，b ∈R )．(1)设a ≥0，求f (x )的单调区间；(2)设a >0，且对任意x >0，f (x )≥f (1)．试比较ln a 与－2b 的大小． 解 (1)f (x )的定义域为x ∈(0，＋∞)， f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x .当a ＝0时，f ′(x )＝bx －1x.①若b ≤0，当x >0时，f ′(x )<0恒成立，所以函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．②若b >0，当0<x <1b 时，f ′(x )<0，当x >1b 时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，由f ′(x )＝0得2ax 2＋bx －1＝0.解得x 1＝－b －b 2＋8a 4a ，x 2＝－b ＋b 2＋8a4a ，此时x 1<0，x 2>0.当0<x <x 2时，f ′(x )<0，当x >x 2时，f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.综上所述：当a ＝0，b ≤0时，函数f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)．当a ＝0，b >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1b ，单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1b ，＋∞. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b ＋b 2＋8a 4a ，单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋b 2＋8a 4a ，＋∞.(2)由题意知：函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由(1)知，－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的惟一极小值点，故－b ＋b 2＋8a4a ＝1，整理得b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx， 令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；所以g (x )≤g ⎝⎛⎭⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4<0. 故g (a )<0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a <0， 即ln a <－2b .。
