天津市南开中学2020学年高二数学上学期第三周周练试题 理(无答案)新人教A版

天津市南开中学2020届高三数学上学期统练试题（5）（含解析）一、选择题1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2.设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A. 2x <3y <5z B. 5z <2x <3y C. 3y <5z <2x D. 3y <2x <5z【答案】D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.3.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A. ax by cz ++B. az by cx ++C. ay bz cx ++D.ay bx cz ++【答案】B 【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++ ()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.4.已知函数32()1f x x ax bx =+++，函数(1)1y f x =+-为奇函数，则函数()f x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 试题分析：32(1)1(3)(32)1f x x a x a b x a b +-=++++++++为奇函数，3a ∴=-，2b =，32()321f x x x x ∴=-++，2()362f x x x '∴=-+，则()0f x '=的两根为131x =-，231x =+，所以，()f x 的极小值为2()0f x >．又(0)10f =>，(1)50f -=-<，∴存在0(1,0)x ∈-，使0()0f x =．综上，函数()f x 的零点个数为1,故应选B ．考点：函数的零点和导数的有关知识的运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具，也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，先求出函数的解析表达式，运用题设中的(1)1y f x =+-是奇函数，求出函数解析式中的参数的值，进而运用导数求得函数的两个极值点，通过计算分析算得2()0f x >和，(1)50f -=-<，从而判定函数的零点在区间内．从而使得问题获解，本题具有一定的难度，难点在于如何判定函数的图象的走向，这里求导计算分析函数的极值起到的重要作用．5.设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A. 3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C. 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】 【分析】 设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x ex =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当21x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ， 故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D. 【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.6.设函数()f x 满足()()()222,2,8x e e x f x xf x f x +=='则0x >时，()f x ( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值【答案】D 【解析】【详解】函数()f x 满足2'()2()xex f x xf x x+=，()2'x e x f x x⎡⎤∴=⎣⎦，令()()2F x x f x =， 则()()()2',24?22x e e F x F f x ===，由()()2'2x e x f x xf x x +=，得()()32'x e F x f x x-=，令()()2xx e F x ϕ=-， 则()()()2'2',x xe x x e F x xϕ-=-=()x ϕ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()x ϕ∴的最小值为()()()22220,0e F x ϕϕ=-=∴≥.又()()0,'0,x f x f x >∴≥∴在()0,∞+单调递增，()f x ∴既无极大值也无极小值，故选D.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值及函数的求导法则. 【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题通过观察导函数的“形状”，联想到函数()()2F x x f x =，再结合条件判断出其单调性，进而得出正确结论.7.若函数()22log 2axf x x x +=---为奇函数，则使不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭成立的m 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()(),00,1-∞D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】利用()22log 2axf x x x+=---为奇函数，求出a ，由此求出该函数的定义域，不等式21log 60f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()11f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，由()22log 2x f x x x +=---在区间()2,2-s 递减，可得m 的取值范围.【详解】由函数()22log 2axf x x x+=---为奇函数，可得()()f x f x =--. 即：2222log log 22ax ax x x x x+---=-+-+，2222log log 22x ax ax x --∴=++，则2222x axax x --=++，所以，22244x a x -=-，得21a =，解得1a =±.①当1a =-时，函数()y f x =的定义域为{}2x x ≠，定义域不关于原点对称，不合乎题意； ②当1a =时，()22log 2x f x x x+=---，由202xx +>-，解得22x -<<，该函数的定义域为()2,2-，定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，函数()y f x =为奇函数.对于函数22log 2x y x +=-，内层函数24121x u x x +==----在()2,2-上单调递增，外层函数2log y u =在()0,∞+上单调递增，所以，函数22log 2xy x+=-在()2,2-上单调递增. 所以，函数()22log 2xf x x x+=---在()2,2-上单调递减，且()()22211log 31log 3log 6f =--=-+=-，由21log 60f m ⎛⎫+<⎪⎝⎭得()21log 61f f m ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭，112m ∴<<，解得112m <<.故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性、奇偶性及利用函数单调性解不等式，综合性大，属于中档题型.8.定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有A. 18个B. 16个C. 14个D. 12个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个【点睛】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果．9.已知f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，满足不等式()10f x -<的x 取值范围是（ ） A. ()1,3- B. ()3,1-C. ()(),13,-∞-+∞D. ()(),31,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式()10f x -<转化为()1(2)f x f -<，即可得到结论.【详解】解：由题意：f (x )为偶函数，且在(],0-∞上为增函数，()20f =，可得f (x ) 在(0,)+∞上为减函数，且()20f -=，()10f x -<等价于()10f x -<，即()1(2)f x f -<， 则12x -＞，解得：3x ＞或1x <-， 故选：C.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质及奇偶性与单调性的综合,注意灵活运用函数性质解题.二、填空题（共6小题：共30分） 10.对于复数()i ,z a b a b =+∈R ，若2ii 12iz -+=+，则b =__________． 【答案】2- 【解析】()()2i 12i 2i i i 12i 5z ---+===-+，2i=z ∴=- a bi +，2b ⇒=-故答案为2-. 11.在二项式5(x -的展开式中，2x 的系数为__________．【答案】52.【解析】 【分析】由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r 的值，然后求解2x 的系数即可.【详解】结合二项式定理的通项公式有：355215512rrr r r r r T C x C x --+⎛⎛⎫==-⎪ ⎝⎭⎝， 令3522r -=可得：2r，则2x 的系数为：22511510242C ⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n 、r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 12.已知()331f x x x =+-，()33f a -=-，()31f b -=，则+a b 的值为______.【答案】6. 【解析】 【分析】令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数, ()()1f x h x =-,且()()330h a h b -+-=，可得+a b 的值.【详解】解：令()33h x x x =+，可得()h x 为奇函数，且()()1f x h x =-， 由()33f a -=-，可得()3(3)12h a f a -=-+=-，()31f b -=，可得()3(3)12h b f b -=-+=，可得()()330h a h b -+-=，由()h x 为奇函数，可得330a b -+-=，故6a b +=， 故答案为：6.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的综合应用问题，相对不难.13.已知函数()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，若函数f (x )在1x =处取得极大值，则实数a 的取值范围是______.【答案】,2+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】求出函数的导数，讨论a 的取值范围，得到函数()f x 的单调区间，结合函数的最大值，可得a 的取值范围.【详解】解：由()()2ln 21f x x x ax a x =-+-，可得'()22f x Inx ax a =-+，设()22()g x Inx ax a x =-+＜0，'112()2ax g x a x x-=-=， 当0a ≤，(0,)x ∈+∞，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增， 当0a ＞，1(0,)2x a∈，'()0g x ＞，函数()g x 单调递增； 1(,)2x a∈+∞，'()0g x ＜，函数()g x 单调递减； 由f (x )在1x =处取得极大值，可得'(1)0f =，当0a ≤时，'()f x 单调递增，当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，()f x 单调递减；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＞，()f x 单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符；当1a 20＜＜时，即12a1＞，可得：'()f x 在1(0,)2x a ∈单调递增，所以当(0,1)x ∈，'()0f x ＜，当1(1)2x a∈，，'()0f x ＞，即f (x )在(0,1)x ∈单调递减，在1(1,)2x a ∈单调递增，所以f (x )在1x =处取得极小值，与题意不符； 当1a=2时，即1=2a1，'()f x 在(0,1)x ∈单调递增，在(1,+)x ∈∞单调递减， 所以当(0,+)x ∈∞，'()0f x ≤，()f x 单调递减，与题意不符；当12a ＞，即可1012a＜＜，当1(,1)2x a ∈，'()0f x ＞，函数()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞，'()0f x ＜，函数()f x 单调递减，所以f (x )在1x =处取得极大值，符合题意，故答案为：,2+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的参数及含参函数的极值问题，综合性大，属于难题.14.给出下列结论：①已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()()12,31f f -=-=-，则()()31f f <-； ②函数()212log 2y x x =-的单调递减区间是(,0)-∞；③已知函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，()2f x x =，则当0x <时，()2f x x =-；④若函数()y f x =的图象与函数xy e =的图象关于直线y x =对称，则对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+.则正确结论的序号是_______________________（请将所有正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③ 【解析】①正确，根据函数是奇函数，可得()()331f f =--= ，而()12f -=，所以()()31f f <- ；②错，根据复合函数的单调性可知函数的单调递减区间为()2,+∞；③ 正确，奇函数关于原点对称，所以可根据0x >的解析式，求得0x < 的解析式；④()ln f x x =，根据对数函数的定义域，不能是任意实数，而需,0x y >，由()()()f xy f x f y =+，所以正确的序号是①③.【点睛】本题以多项选择题的形式考查函数的某些性质，综合性比较高，选项②错的比较多，涉及复合函数单调区间的问题，谨记“同增异减”，同时函数的定义域，定义域是比较容易忽视的问题，做题时要重视.15.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()222(2)()2(2)(2)2234{}2]6f t f t a t t t t a t t +-=•[++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需11133a -≤-≤，即2433a ≤≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三、解答题（共5小题：共65分）16.设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）29(,]28. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴20sin 2A <<，因此221992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是29(,]28． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.17.如图,ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，//AF DE ，AD DE ⊥,26AF =,36DE =.（1）求证：面ACE ⊥面BED ；（2）求直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）在线段AF 上是否存在点M ，使得二面角M BE D --的大小为60？若存在，求出AMAF的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）1313；（3）14.【解析】【详解】试题分析：（1）由平面ADEF ⊥平面ABCD ，AD DE ⊥可推出DE ABCD ⊥面，再根据ABCD 是正方形，可推出AC ⊥平面BDE ，从而可证AC ⊥平面BDE ；（2）根据题设条件建立空间直角坐标系，求出平面BEF 的法向量，即可求出直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值；（3）点M 在线段AF 上，设()3,0,M t ，026t ≤≤，求出平面MBE 的法向量，根据二面角M BE D --的大小为60，即可求出t .试题解析：(1)证明：∵ADEF ABCD ⊥面面，ADEF ABCD AD 面面⋂=，DE ADEF ⊂面，DE AD ⊥∴DE ABCD ⊥面. ∵AC ABCD ⊂面 ∴DE AC ⊥ 又∵ABCD 是正方形 ∴AC BD ⊥∵DE BD D ⋂=，DE BED ⊂面，BD BED ⊂面 ∴AC ⊥平面BDE . 又∵AC ACE ⊂面 ∴A CE BED 面面⊥ .(2)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，则()3,0,0A ，(3,0,26F ，(0,0,36E ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，()3,3,0CA =-，(3,3,36BE =--，(3,0,6EF =-设平面BEF 的法向量为()222,,n x y z =，00n BE n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111133360360x y z x z ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，1116,263x y z 则，===,则()6263n =，，∴-3cos ,32CA nCA n CA n⋅===⨯. ∴直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为13. (3)解：点M 在线段AF上，设()3,0,M t ，0t ≤≤，则()0,3,BM t =-，(3,BE =--设平面MBE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m BM m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即1111130330y tz x y -+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令111,3y t z x t ===则，则()36,,3m t t =-，)1cos ,23236m CA m CA m CAt⋅===-+ ，整理得：22150t -+= 解得：()65622t t ==，舍， 此时14AM AF =. 18.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233=+nn S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）13,1,{3,1,n n n a n -==>; （Ⅱ）13631243n nn T +=-⨯. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解；（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n 项和n T .【详解】（Ⅰ）因为233=+nn S ，所以，1233a =+，故13,a =当1n >时，11233,n n S --=+此时，1122233,n n n n n a S S --=-=-即13,n n a -=所以，13,1,{3,1,n n n a n -==>（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =， 当1n >时，()11133log 313nn n n b n ---==-⋅所以1113T b ==， 当1n >时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-，所以()01231132313n n T n --⎡⎤=+⨯+⨯++-⎣⎦，两式相减，得()()01212233+3133nnn T n ---=+++--⋅()11121313313n n n ----=+--⋅-1363623n n +=-⨯ 所以13631243n nn T +=-⨯， 经检验，1n =时也适合， 综上可得：13631243n nn T +=-⨯. 【点睛】本题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑1n =的情况，属于中档题. 19.已知函数1()ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对a 进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据()f x 存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定2a >，令'()0f x =，得到两个极值点12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222111a x ax f x x x x-+=--+-'=. （i ）若2a ≤，则()0f x '≤，当且仅当2a =，1x =时()0f x '=，所以()f x 在()0,+∞单调递减.（ii ）若2a >，令()0f x '=得，x =或x =.当0,22a a x ⎛⎛⎫∈⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '<；当22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>.所以()f x在,⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递减，在⎝⎭单调递增.（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax -+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >.由于()()12121221212121222ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a ax x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----， 所以()()12122f x f x a x x -<--等价于22212ln 0x x x -+<.设函数()12ln g x x x x=-+，由（1）知，()g x 在()0,+∞单调递减，又()10g =，从而当()1,x ∈+∞时，()0g x <.所以22212ln 0x x x -+<，即()()12122f x f x a x x -<--. 点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.20.设函数3()(1)f x x ax b =---，x∈R，其中a,b∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间； （Ⅱ）若f （x ）存极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3；（Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a af f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或313ax =-.当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a -∞-313a - 33(1,1)33a a -+ 313a + 3(1,)3a++∞＋－＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a -∞-，3(1,)3a++∞. （Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x 满足，且，因此，所以. （Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论： （1）当时，33102133a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max (2),(0)max 12,1M f f a b b==----，所以.（2）当时，2333231011213333a a a a-≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a af f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a<-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)33a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)33a af f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；（2）求导函数f ′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集；（4）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。

南开中学高三数学模拟试卷(理科)参考答案一、选择题:二、填空题:三、解答题：15.甲、乙两人参加某种选拔测试.规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道 题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是2,乙只能答对其中的3道题.答对一题加10分，答错一•题(不答视为答错)得0分.(I) 求乙的得分X 的分布列和数学期望E(X )；(II) 规定：每个人至少得2()分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过 测试的概率.16.【解】设乙的得分为X, X 的可能值有0,10, 20,30 (1)分 ~\ cJ 1~ \ C/C? 9 玖X = 0)= —= —P{X = 10)= '・•=— C/20 C;20VvP(X = 20) == — Pjx = 30)=空=丄 ......................... 5 分 20 C/ 20VV乙得分的分布列为：1 99 £Y = 0x — +10x — +20x —20 20 20+ 30 x A = 1520所以乙得分的数学期望为15 ............................................ 8分⑵乙通过测试的概率为刃...................................... 9分甲通过测试的概率为刁+訂(尹；=善1A分1 212。

甲、乙都没通过测试的概率为(1 - 1) . (1 -—)=—2 125 125因此甲、乙两人中至少4人通过测试的概率为】-总=豈………“16.已知函数/(x) = 2A /3sin x cos x-2cos 2x + 1. (I )求函数/(兀)的最小正周期及单调递增区间；A(II)在\ABC 中，d,b,c 分别为角A 9B,C 所对的边，若/(y) = 2, fe = l, c = 2,求 a 的值. 16.解：(I ) fix)=羽 sin lx 一 cos 2x............. 2 分rr TT rr由 2k;r - - < 2x - - < 2心T + 二得,2 6 271x < kz + —(keZ h ........... 了分3rr故f(x)的单调超増区间为；后-二k7l6&分A jr jr(II) /(-) = 2,则2sin(A 一一) = 2 => sin(A 一一) = 1 ....................... 9 分 2 6 6 71 7T 2/r/. A-- = -+ 2kg A = — + 2kgk G Z ............. 10^ 6 2 3 乂0 v A <%,・•• A =互 ................. 11 分3a 2 =b 2 +c 2 -2hc cos A = 7 ..................... 12 分a =.................. 13 分17.如图，在三棱柱ABC-A.B, G 中，AA.C.C 是边t 为4的正方形，.平丄平面 AA|C]C, AB — 3 , BC = 5 .(I) 求证：AA 丄平面ABC ； (II) 求二面角A - BG- 的余弦值；(III) 证明:在线段BC X 存在点D ，使得AD 丄A.B , 并求竺的值. BC.解：(I )因为AAiCjC 为正方形，所以AA|丄AC.因为平面ABC 丄平面AA.CjC,且AAj 垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 】丄平面ABC. (II)由(I)知 AAI 丄AC, AAi 丄AB.由题知 AB=3, BC=5, AC=4,所以 AB 丄AC. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A —兀yz,则 B(0, 3, 0),A|(0, 0, 4),B ((0, 3, 4),C )(4, 0, 4), 设平面A 】BC]的法向量为n = (x,y,z),则＜ 皿3 = 0 n • A l C [ = 0 3y-4z = 0 4x = 0令 z = 3,则兀=0, y = 4,所以n - (0,4,3). 同理可得,平而BB,C 1的法向量为皿=(3,4,0).,所以cos(/z,m} = n m=—.由题知二面角Aj —BCj —Bj 为锐角,' '\n\\m\ 25 ...................................................所以二而角A| —BC| —B|的余弦值为一.25(III)设 D(x,y,z)是直线 BC1 ± 一点，且=所以 g-3,z) = 2(4,-3,4) •解得x = 42 f y = 3 — 3A f z = 4A.所以 而= (42,3 - 3入 4/1).由X5•丽=0,即9一252 = 0.解得2 = 2.125 9因为—6[0,1],所以在线段BC 】上存在点D,25使得AD 丄A|B.此时，丝=1BC, 252 218-如图’已知椭圆吟+斧1心＞。

2020届天津市南开中学高三数学统练（三）试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =I A ．{0,1} B ．{0,1,2} C ．{1,0,1}- D ．{1,0,1,2}-【答案】C【解析】试题分析：由，得，选C.【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．2．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】“a ＞1”⇒“11a ＜”，“11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”，由此能求出结果． 【详解】a ∈R ，则“a ＞1”⇒“11a＜”， “11a＜”⇒“a ＞1或a ＜0”， ∴“a ＞1”是“11a＜”的充分非必要条件．故选A ． 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．3．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为（ ）A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]UD ．(1,3)(3,6]-U【答案】C【解析】函数表达式中含有绝对值及对数，分别求出满足的条件 【详解】要使函数()f x 有意义，应满足2405603x x x x ⎧-≥⎪⎨-+>⎪-⎩ 4203x x x ⎧≤∴⎨->≠⎩且则24x <≤，且3x ≠ 所以()f x 的定义域为()(]2334⋃，， 故选C 【点睛】本题主要考查了函数的定义域及其求法，找出题目中的限制条件，有根号的要满足根号内大于或等于零，有对数的要满足真数位置大于零． 4．函数()14xf x lg x --＝的定义域为( ) A ．(1，4)B ．[1，4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)【答案】A【解析】由题意，104xx ->-，则1040x x ->⎧⎨->⎩或1040x x -<⎧⎨-<⎩，当1040x x ->⎧⎨->⎩，无解；当1040x x -<⎧⎨-<⎩，14x <<， 则定义域为()1,4，故选A ．5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．已知当[0,1]x ∈ 时，函数2(1)y mx =- 的图象与y x m =+ 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A ．(0,1][23,)⋃+∞ B ． (0,1][3,)⋃+∞ C ． (0,2][23,)⋃+∞ D ． (0,2][3,)⋃+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，y x m =+单调递增，且[,1]y x m m m =+∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m << ，2(1)y mx =-在1[,1]m上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥ 选B. 【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．7．设函数2()2()g x x x R =-∈，()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是（ ）A ．9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦B ．[0,)+∞C ．9[,)4-+∞ D ．9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【详解】 当,即,时,或,,其最小值为无最大值为,因此这个区间的值域为:.当时,,其最小值为 其最大值为因此这区间的值域为:9[,0]4-. 综合得:函数值域为:9[,0](2,)4-⋃+∞ ，故选D. 8．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】C【解析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 9．已知函数22,2(){(2),2x x f x x x -≤=->，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【详解】试题分析：由22,2(){(2),2x x f x x x -≤=->，()3(2)g x f x =--所以2222231,0()(){231,0244155,2x x x x x y f x g x x x x x x x x x x +-+=+-≤=-=--+=-<≤-+-+=-+>所以当0x ≤时，零点为x =一个，当02x <≤时，无零点，当2x >时，零点为52+2个，故选A ． 【考点】函数的零点个数的判断． 【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数()f x 的解析式求得函数()g x 的解析式，从而得到()()f x g x -关于x 的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案．二、填空题 10．函数y =________.【答案】(1,2]【解析】根据对数函数的真数大于0，二次根号下被开方数大于等于0，即可求出答案. 【详解】11221log (1)log 1112110x x x x x -⎧-≤⎧⎪⇒⇒<≤⎨⎨>⎩⎪->⎩… 故答案为：(1,2] 【点睛】本题主要考查了函数定义域的求法，属于基础题.11．已知集合{}1,2A =，{}2,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．点睛:（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关,A B A B ⋂=∅⊆等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑∅时是否成立，以防漏解．12．已知0,0,8,a b ab >>=则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 【答案】4【解析】试题分析：由题意得，当()22log log 2a b ⋅取得最大值时，2log a 和()2log 2b 都是正数，所以1a >，再利用基本不等式可得()()222222222log log 2log (2)log 16log log 2()()()4222a b ab a b +⋅≤===，当且仅当24a b ==时，等号成立，即当4a =时，()22log log 2a b ⋅取得最大值.【考点】基本不等式求最值．13．若函数()ln(f x x x =为偶函数，则a = ． 【答案】1【解析】试题分析：由函数()ln(f x x x =为偶函数⇒函数()ln(g x x =为奇函数，(0)ln 01g a a ==⇒=．【考点】函数的奇偶性．【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数()ln(f x x x =为偶函数转化为 函数()ln(g x x =为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取(0)ln 01g a a ==⇒=．14．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （），则a 的取值范围是______.【答案】13(,)22【解析】【详解】由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数， 则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322a <<． 15．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【答案】1(0,)2【解析】作出函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[3,4]x ∈-上有10个零点，即函数()y f x =和图象与直线y a =在[3,4]-上有10个交点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()2,[0,3)2f x x x x =-+∈的应该是4个交点，则有1(0,)2a ∈．【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．三、解答题16．ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知63,cos 2a A B A π===+，(1)求b 的值；(2)求ABC ∆的面积. 【答案】（1）32（2）322【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用正弦定理及同角三角函数之间的关系求解；（2）借助题设运用诱导公式及三角变换公式求解. 试题解析：（1）因0A π<<，故2263sin 1cos 13A A ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭……1分 因2B A π=+，故6sin sin cos 2B A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.……3分 由正弦定理sin sin a bA B=，得63sin 332sin 3a B A b ⨯===.……6分 （2）3cos cos sin 23B A A π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭……8分 ()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin =+A B A B3366133333⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭……10分 ABC ∆的面积为11132sin 3322232ab C =⨯⨯⨯=.……12分 【考点】诱导公式、三角变换公式及正弦定理等有关知识的综合运用.17．如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ︒∠=.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =.（1）求证：MN ∥平面BDE ； （2）求二面角C-EM-N 的正弦值.（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为3721，求线段AH 的长.【答案】（1）见解析（2）105；（3）AH 的长为4. 【解析】（1）利用面面平行的判定定理证明平面MFN P 平面BDE ，再由面面平行的性质定理得出MN ∥平面BDE ；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；（3）建立空间直角坐标系，设出点H 的坐标，利用向量法求解即可得出线段AH 的长. 【详解】（1）取AB 中点F ，连接MF ，NF ，因为M 为AD 中点， 所以MF BD P ，因为BD ⊂平面BDE ，MF ⊂/平面BDE ， 所以MF P 平面BDE. 因为N 为BC 中点 所以NF AC P ，又D ，E 分别为AP ，PC 的中点， 所以DE AC P ，则NF DE P .因为DE ⊂平面BDE ，NF ⊄平面BDE ， 所以NF P 平面BDE.又MF NF F =I ，,MF NF ⊂平面MFN 所以平面MFN P 平面BDEMN ⊂平面MFN则MN ∥平面BDE ；（2）因为PA ⊥底面ABC ，90BAC ︒∠=.所以以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系因为4PA AC ==，2AB =，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)C ，(0,0,1)M ，(1,2,0)N ，(0,2,2)E ，则(1,2,1)MN =-u u u u r ，(0,2,1)ME =u u u r，设平面MEN 的一个法向量为(,,)m x y z =r，由00m MN m ME ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v r u u u v r ，得2020x y z y z +-=⎧⎨+=⎩，取2z =，得(4,1,2)m =-r.由图可得平面CME 的一个法向量为(1,0,0)n =r.所以421cos ,||||21211m n m n m n ⋅〈〉===⨯r r r rr r . 所以二面角C-EM-N 的余弦值为2121，则正弦值为10521； （3）设AH t =，则(0,0,)H t ，(1,2,)NH t =--u u u u r ，(2,2,2)BE =-u u u r.因为直线MH 与直线BE 37， 所以2||37|cos ,||||523NH BE NH BE NH BE t ⋅〈〉===+⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ，解得：4t =.所以当H 与P 重合时直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为3721，此时线段AH 的长为4. 【点睛】本题主要考查了由面面平行的性质定理证明线面平行以及利用向量法求面面角，由线线角求其他，属于中档题.18．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()*n S n N∈，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.【答案】（1）32n a n =-，2nn b =，*n N ∈；（2）()143283n n +-+，*n N ∈.【解析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】（1）数列{}n b 公比为q ，则2232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，∴2nn b =，{}n a 的公差为d ，首项是1a ，则41328a a b ==-，411411112176S b ==⨯=，∴1113281110111762a d a a d +-=⎧⎪⎨⨯+⨯=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．（2）21221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②①－②得：35212138626262(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L 1218(14)86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，∴14(32)83n n n T +-+=．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等． 19．已知函数()(1e 2-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭x f x x x（I ）求()f x 的导函数（II ）求()f x 在区间1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上的取值范围 【答案】（I ）()()121)2x x e f x x --=>'；（II ）1210,2e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查函数的最大（小）值，导数的运算及其应用，同时考查分析问题和解决问题的能力．（Ⅰ）利用求导法则及求导公式，可求得()f x 的导数；（Ⅱ）令'()0f x =，解得1x =或52，进而判断函数()f x 的单调区间，结合区间端点值求解函数()f x 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）因为(1x =，()'x xe e --=-，所以'()(1(x xf x e x e --=--1)2x =>．（Ⅱ）由'()0xf x -==，解得1x =或52x =． 因为又21()1)02x f x e -=≥， 所以f （x ）在区间1[,)2+∞上的取值范围是121[0,]2e -．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出'()f x ，由'()f x 的正负，得出函数()f x 的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值． 20．已知函数32()2f x x ax b =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2) 01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a 的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a ,b 的值. 【详解】(1)对32()2f x x ax b =-+求导得2'()626()3af x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增.(2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以若0a <，(,)3a-∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得1b =-，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立.若0a =，(,)-∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-，(1)1f =代入解得 01a b =⎧⎨=-⎩. 若02a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增.即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧-+=-⎪⎨⎪-+=⎩相减得32227a a -+=，即(0a a a -+=，又因为02a <≤，所以无解.若23a <≤，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增.即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧-+=-⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得x =23a <≤，所以无解.若3a >，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121ba b=⎧⎨-+=-⎩解得41ab=⎧⎨=⎩.综上得1ab=⎧⎨=-⎩或41ab=⎧⎨=⎩.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学试卷理科高考模拟卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1.（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i2.（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A. B. C. D.3.（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4.（5分）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数6.（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f （10x）＞0的解集为（）A.{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B.{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C.{x|x＞﹣lg2}D.{x|x＜﹣lg2}7.（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=18.（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A.{3，4}B.{2，3，4}C.{3，4，5}D.{2，3}9.（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A. B. C. D.10.（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11.（5分）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=.12.（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=.13.（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为.14.（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是.15.（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）.①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性.17.（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值.18.（12分）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上.19.（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD.20.（13分）设函数f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（1）对每个n∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜.（2）对于任意p∈N+21.（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m.参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1.（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（z•）i+2=2z，则z=（）A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求.【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，由，得（a+bi）（a﹣bi）i+2=2（a+bi），整理得2+（a2+b2）i=2a+2bi.则，解得.所以z=1+i.故选：A.【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题.2.（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A. B. C. D.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，分析可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值，并输出.【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=.故选：D.【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模.3.（5分）在下列命题中，不是公理的是（）A.平行于同一个平面的两个平面平行B.过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【分析】根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理就是公理.【解答】解：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.故选：A.【点评】本题考查了公理的意义，比较简单.4.（5分）“a≤0”是“函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】对a分类讨论，利用二次函数的图象与单调性、充要条件即可判断出.【解答】解：当a=0时，f（x）=|x|，在区间（0，+∞）内单调递增.当a＜0时，，结合二次函数图象可知函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增.若a＞0，则函数f（x）=|（ax﹣1）x|，其图象如图它在区间（0，+∞）内有增有减，从而若函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增则a≤0.∴a≤0是”函数f（x）=|（ax﹣1）x|在区间（0，+∞）内单调递增”的充要条件.故选：C.【点评】本题考查了二次函数的图象与单调性、充要条件，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.5.（5分）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是（）A.这种抽样方法是一种分层抽样B.这种抽样方法是一种系统抽样C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D.该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数【分析】根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差公式：s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]求解即可.【解答】解：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.五名男生这组数据的平均数=（86+94+88+92+90）÷5=90，方差=×[（86﹣90）2+（94﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2+（90﹣90）2]=8.五名女生这组数据的平均数=（88+93+93+88+93）÷5=91，方差=×[（88﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（88﹣91）2+（93﹣91）2]=6.故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.故选：C.【点评】本题考查了抽样方法、平均数以及方差的求法，要想求方差，必须先求出这组数据的平均数，然后再根据方差公式求解.6.（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f （10x）＞0的解集为（）A.{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B.{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C.{x|x＞﹣lg2}D.{x|x＜﹣lg2}【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集.【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D.【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及对数函数的单调性及对数的运算，属中档题.7.（5分）在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2B.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C.θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1D.θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1【分析】利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出.【解答】解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆.故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2.故选：B.【点评】正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》8.（5分）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A.{3，4}B.{2，3，4}C.{3，4，5}D.{2，3}【分析】由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案.【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x＞0）可分别有2，3，4个解.故n的取值范围为2，3，4.故选：B.【点评】本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键.9.（5分）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=•=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）A. B. C. D.【分析】由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积.【解答】解：由两定点A，B满足==2，=﹣，则||2=（﹣）2=﹣2•+=4，则||=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形.不妨设A（），B（）.再设P（x，y）.由，得：.所以，解得①.由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于或或或.可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为.故选：D.【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题.10.（5分）若函数f（x）=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f（x1）=x1，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同实根个数是（）A.3B.4C.5D.6【分析】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案.【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，得x=x1，或x=x2，即3（f（x））2+2af（x）+b=0的根为f（x）=x1或f（x2）=x2的解.如图所示，由图象可知f（x）=x1有2个解，f（x）=x2有1个解，因此3（f（x））2+2af （x）+b=0的不同实根个数为3.故选：A.【点评】考查函数零点的概念、以及对嵌套型函数的理解，考查数形结合思想.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上11.（5分）若的展开式中x4的系数为7，则实数a=.【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出.【解答】解：由通项公式T r==，+1∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得.故答案为.【点评】熟练掌握二项式定理的通项公式是解题的关键.12.（5分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=.【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C.【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题.13.（5分）已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞）.【分析】如图所示，可知A，B，设C（m，m2），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得=0.即可得到a的取值范围.【解答】解：如图所示，可知A，B，设C（m，m2），，.∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=.化为m2﹣a+（m2﹣a）2=0.∵m，∴m2=a﹣1≥0，解得a≥1.∴a 的取值范围为[1，+∞）.故答案为[1，+∞）.【点评】本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力.14.（5分）如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是.【分析】设，利用已知可得A 1B1是三角形OA2B2的中位线，得到==，梯形A1B1B2A2的面积=3S.由已知可得梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S.利用相似三角形的性质面积的比等于相似比的平方可得：，，，…，已知，，可得，….因此数列{}是一个首项为1，公差为3等差数列，即可得到a n.【解答】解：设，∵OA 1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S.故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S.∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n（n∈N*）都相似，∴，，，…，∵，∴，，….∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+（n﹣1）×3=3n﹣2.∴.因此数列{a n}的通项公式是.故答案为.【点评】本题综合考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、等差数列的通项公式等基础知识和基本技能，考查了推理能力和计算能力.15.（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）.①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为.【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误.【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确.故答案为：①②③⑤.【点评】本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.（12分）已知函数f（x）=4cosωx•sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）讨论f（x）在区间[0，]上的单调性.【分析】（1）先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；（2）由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f（x）在区间[0，]上的单调性.【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）=2sinωx•cosωx+2cos2ωx=（sin2ωx+cos2ωx）+=2sin（2ωx+）+，所以 T==π，∴ω=1.（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+）+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f（x）是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f（x）是减函数，所以f（x）在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减.【点评】本题考查三角函数的化简求值，恒等关系的应用，注意三角函数值的变换，考查计算能力，常考题型.17.（12分）设函数f（x）=ax﹣（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β﹣α）；（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1﹣k≤a≤1+k时，求I长度的最小值.【分析】（Ⅰ）解不等式f（x）＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；（Ⅱ）由（Ⅰ）构造函数d（a）=，利用导数可判断d（a）的单调性，由单调性可判断d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案.【解答】解：（Ⅰ）因为方程ax﹣（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，＞0，故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=（0，），区间长度为；（Ⅱ）设d（a）=，则d′（a）=，令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1﹣k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，因此当1﹣k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1﹣k或a=1+k处取得，而=＜1，故d（1﹣k）＜d（1+k），因此当a=1﹣k时，d（a）在区间[1﹣k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为.【点评】本题考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合运用数学知识解决问题的能力.18.（12分）设椭圆E：的焦点在x轴上（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上.【分析】（1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中.利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F 1P的斜率=，直线F2P的方程为.即可得出Q.得到直线F 1Q的斜率=.利用F 1Q⊥F1P，可得=.化为.与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标.【解答】解：（1）∵椭圆E的焦距为1，∴，解得.故椭圆E的方程为.（2）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），其中.由题设可知：x 0≠c.则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为.令x=0，解得.即点Q.因此直线F 1Q的斜率=.∵F 1Q⊥F1P，∴=.化为.联立，及x0＞0，y0＞0，解得，.即点P在定直线x+y=1上.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程及其几何性质，直线和直线、直线和椭圆的位置关系等基础知识和基本技能，考查了数形结合的思想、推理能力和计算能力，属于难题.19.（13分）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，（1）证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）求cos∠COD.【分析】（1）利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；（2）先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD.【解答】（1）证明：设平面PAB与平面PCD的交线为l，则∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l∵AB在底面上，l在底面外∴l与底面平行；（2）解：设CD的中点为F，连接OF，PF由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD∵OP∩OF=O∴CD⊥平面OPF∵CD⊂平面PCD∴平面OPF⊥平面PCD∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角由题设，∠OPF=60°设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=∵∠OCP=22.5°，∴∵tan45°==1∴tan22.5°=∴OC==在Rt△OCF中，cos∠COF===∴cos∠COD=cos（2∠COF）=2cos2∠COF﹣1=17﹣12【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查空间角，考查学生的计算能力，正确找出线面角是关键.21.（13分）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m.【分析】（I）由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；（II）由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P（X=m），再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可.【解答】解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P （B）==，故P（）=P（）=1﹣，因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和n中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P（X=m）==当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）⇔（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）⇔m≤2k﹣假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和m=2k+1﹣处达到最大值；当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然2k﹣＜2k因此k≤2k﹣＜t综上得，符合条件的m=2k﹣[]【点评】本题主要考查古典概率模型，计数原理，分类讨论思想等基础知识和基本技能，考查抽象的思想，逻辑推理能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析解决实际问题的能力，本题易因为审题时不明白事件的情形而导致无法下手，或者因为分类不清未能正确分类导致失分20.（13分）设函数f n（x）=﹣1+x+++…+（x∈R，n∈N+），证明：，存在唯一的x∈[，1]，满足f n（x n）=0；（1）对每个n∈N+，由（1）中x n构成数列{x n}满足0＜x n﹣x n+p＜.（2）对于任意p∈N+【分析】（1）由题意可得f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数.求得f n（1）＞0，f n（）＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立.（x n）＞f n（x n）=f n+1（x n+1）=0，由 f n+1（x）在（0，+∞）（2）由题意可得f n+1＜x n，故x n﹣x n+p＞0.用f n（x）的解析式减去f n+p（x n+p）上单调递增，可得x n+1的解析式，变形可得x n﹣x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立.，当x＞0时，由函数f n（x）=﹣【解答】证明：（1）对每个n∈N+1+x+），可得f′（x）=1+++…＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上是增函数.由于f1（x1）=0，当n≥2时，f n（1）=++…+＞0，即f n（1）＞0.创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 又f n （ ）=﹣1++[+++…+]≤﹣+• =﹣+×=﹣•＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n （x n ）=0. （2）对于任意p ∈N +，由（1）中x n 构成数列{x n }，当x ＞0时，∵f n +1（x ）=f n （x ）+＞f n （x ），∴f n +1（x n ）＞f n （x n ）=f n +1（x n +1）=0.由 f n +1（x ） 在（0，+∞）上单调递增，可得 x n +1＜x n ，即 x n ﹣x n +1＞0，故数列{x n }为减数列，即对任意的 n 、p ∈N +，x n ﹣x n +p ＞0.由于 f n （x n ）=﹣1+x n +++…+=0 ①，f n +p （x n +p ）=﹣1+x n +p +++…++[++…+]②， 用①减去②并移项，利用 0＜x n +p ≤1，可得x n ﹣x n +p =+≤≤＜=＜.综上可得，对于任意p ∈N +，由（1）中x n 构成数列{x n }满足0＜x n ﹣x n +p ＜.【点评】本题主要考查函数的导数及应用，函数的零点的判定，等比数列求和以及用放缩法证明不等式，还考查推理以及运算求解能力，属于难题. 创作人：百里公地创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校。

南开中学高二上学期数学周练14及答案一、选择题（本题每小题5分，共50分）1．双曲线2239y x -=的渐近线方程是 （ ）（A ）3y x =± （B ）13y x=± （C）y = （D）y x =2．设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+22为椭圆”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件3．已知P 是椭圆2214520x y +=第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直，若点P 到直线43210x y m --+=的距离不大于3，则实数m 的取值范围是 （ ）（A ） [－7，8] （B ）921[,]22- （C ） [－2，2] （D ）(,7][8,)-∞-⋃+∞4．已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）（A ） 30o （B ）45o （C ） 60o （D ）90o5．若椭圆181222=+y x 上有两点P 、Q 关于直线l ：0166=--y x 对称，则PQ 的中点M的坐标是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛61 , 31 （B ）⎪⎭⎫⎝⎛31 , 21 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--21 , 31 （D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛--31 , 216．过点P （1，1）且与双曲线322=-y x 只有一个公共点的直线的条数是 （ ）（A ）l （B ） 2 （C ） 3 （D ）47．已知双曲线13622=-y x 的焦点为F1、F2，点M 在双曲线上且MF1⊥x 轴，则F1到直线F2M 的距离为（ ）（A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）658．若直线1+=kx y 与焦点在x 轴上的椭圆1522=+m y x 总有公共点，则m 的取值范围是（ ）（A ）（1，5） （B ）（0，l ） （C ）[1，5） （D ）［l ，5］9．双曲线122=-y x 的左焦点为F ，点M 为左支下半支上任一点（异于顶点），则直线MF 的斜率的变化范围是（ ）（A ）（0,∞-） （B ）（1 ，+∞）（C ）),1()0,(∞+-∞Y （D ）),1()1,(∞+--∞Y10．双曲线222a y x =-截直线054=+y x 的弦长为41，则此双曲线的实轴长为（ ）（A ）3 （B ）23 （C ）512 （D ）56二、填空题（本大题有5小题，每小题4分，共20分）11．双曲线的焦距等于双曲线的两条准线间距离的2倍，则双曲线的离心率是________.12．椭圆14822=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值为______________.13. 双曲线221()24tan 16cot x y αααα-=为锐角过定点（4），则=-___________.14．已知A （2，l ），B （3，2），若线段AB （不含端点A 、B ）与椭圆()1122=+-my x m 总有交点，则m 的取值范围是______________15．直线m x y +=与曲线221x y -=有两个交点，则实数m 的取值范围是______________三、解答题（每题10分）16．已知双曲线的一条渐近线方程为037=+y x ，两准线的距离为29，求双曲线的标准方程 .17. 双曲线22169144x y -=，求（1）双曲线的焦点坐标，离心率和渐进线方程； （2）设12F F 、是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且1232PF PF ⋅=，求12F PF ∠的大小.18、已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249-=y ，且离心率e 满足32，e ，34成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线21-=x 平分？若存在，求出l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由南开中学高二上学期数学周练14答案选择题：CB ADB BCCCA 填空题：、 13、45° 14、(1,)+∞ 15、2三、解答题：16、2222118172997749x y y x -=-=或17、（1）221916x y -=，焦点54(5,0),,33e y x±==±渐进线； （2）22121212321006PF PF PF PF PF PF ⎧⋅=⎪⇒+=⎨-=±⎪⎩ 222121212124cos 0902PF PF c F PF F PF PF PF +-∠==⇒∠=⋅o18、（1）∵34,,32e 成等比数列 ∴34322⨯=e 232=e设),(y x p 是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得99,322249)22(2222=+=+++y x y y x 化简得即1922=+y x 为所求的椭圆方程.（2）假设l 存在，因l 与直线21-=x 相交，不可能垂直x 轴因此可设l 的方程为：m kx y +=由整理得得消去9)(9,992222=++⎩⎨⎧=++=m kx x y y x mkx y0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ①方程①有两个不等的实数根∴090)9)(9(44222222<-->-+-=∆k m m k m k 即 ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x∴92221+-=+k kmx x∵线段MN 恰被直线21-=x 平分∴192221221-=+-+=-k km x x 即 ∵0≠k ∴k k m 292+=③ 把③代入②得 0)9()29(222<+-+k k k∵092>+k ∴229104k k +-<∴32>k 解得3>k 或3-<k。

天津南开中学高二数学第三周周练一、选择题：1．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( ).A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．450x y +-=D ．450x y --= 2．函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数（ ）.A ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(),2ππC ．35,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()2,3ππ 3．若函数b bx x x f 36)(3+-=在)1,0(内有极小值，则实数b 的取值范围是( )．A ．)1,0(B ．)1,(-∞C ．),0(∞+D ．)21,0(4．函数()2cos f x x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦在0,2上的最大值为（ ）. A ．2π B ．２ C．6π+．13π+5．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数'()y f x =的A 6．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）.A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-H7.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x =( ).A.在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点B.在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 C.在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点D.在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点w ．w ．w ．k ．s ．5．u ．c ．o ．m8．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是( )．DCBAtHO3t HO3t HO33OHt9.已知函数()()y f x y g x ==’、’的图象如下图，那么()()y f x y g x ==、的图象可能是( ).10．已知函数32()()f x x bx cx d b c d =+++、、为常数，当(,0)(4,)k ∈-∞+∞U 时，0)(=-k x f 只有一个实数根；当有时0)(,)4,0(=-∈k x f k 3个相异实根，现给出下列4个命题：①函数)(x f 有2个极值点； ②函数)(x f 有3个极值点；③)(x f =4与)(x f '=0有一个相同的实根； ④)(x f =0与)(x f '=0有一个相同的实根其中正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：11．设x x x f 1)(-=，则它与x 轴交点处的切线的方程为 ．12．函数2()xf x x e =⋅的单调递增区间是 .13．曲线x x x y -+-=21ln 2在点M （1，0）处的切线方程是 ．14．已知函数()()cos sin ,4f x f x x π=+’则()4f π的值为 ． 15．水以203m /分的速度流入一圆锥容器，设容器深30m ，上底直径12m ．当水深10m 时水面上升的速度为 ．三、解答题：16．已知32()f x ax x cx d =+++是定义在R 上的函数，其图象与x 轴的一个交点为()2,0．若()f x 在[]1,0-上是减函数，在[]0,2上是增函数，在[]4,5上是减函数．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求d 的取值范围；（Ⅲ）在函数()y f x =的图象上是否存在一点00(,)M x y ，使得曲线()y f x =在点M 处的切线斜率为3？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．17．把边长为acm 的正六边形板材剪去六个相同的四边形（如图中的阴影部分）后，用剩余部分做成一个无盖的正六棱柱形容器（不计接缝）．如果容器容积的最大值为33000cm ，求正六边形板材边长a 的值．18.已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++⋅.(Ⅰ)如3a b ==-，求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()f x 在(,)(2,)αβ-∞、单增，在(,2)(,)αβ+∞、单减，证明:6βα->． w ．w19.已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x=++-的一个极值点．（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个公共点，求b 的取值范围．。

2022-2023学年天津市南开中学高二上学期期末结课练习数学试题一、单选题1．在数列中，，若为等差数列，则（ ）{}n a 732,1a a ==1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5a =A ．B ．C ．D ．43322334【答案】A【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由为等差数列得，解得.1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭53721113122a a a =+=+=543a =故选：A 2．已知空间向量，，，若，则（ ）()2,3,4a =-()4,,b m n =-,R m n ∈//a bm n -=A ．2B ．C ．14D ．2-14-【答案】C【分析】利用空间向量平行的性质即可.【详解】因为空间向量，，，()2,3,4a =-()4,,b m n =-,R m n ∈如果，则，//a b a b λ =所以，2434m n λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩解得，1268m n λ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩所以，6(8)14m n -=--=故选：C.3．两个正数 ）3A ．B ．C ．D ．22-2±12±【答案】C【解析】根据等比中项的定义，即求出结果．【详解】设它们等比中项为，则，所以．G 2(34G ==2G =±故选：C【点睛】本题主要考查等比中项公式的应用，属于基础题．4．在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是221616x y +=（ ）A ．B ．22196x y -=22169x y -=C ．D ．22196y x -=22169y x -=【答案】B【分析】将椭圆方程化成标准方程求出其焦点坐标，再根据双曲线虚轴长度为6，即可求得双曲线的标准方程.【详解】椭圆的标准方程为；221616x y +=22116x y +=易得椭圆焦点坐标为，()又因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以双曲线的焦点在轴上，且，x c =由双曲线虚轴长为6可知，所以；3b =2226a c b =-=所以，双曲线的标准方程为.22169x y -=故选：B.5．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，且点到双曲220y x =F ()222210,0x y a b a b -=>>F 线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为（ ）A ．B ．2214116x y -=2214125x y -=C ．D ．221916x y -=221169x y -=【答案】C【分析】由题易得，知，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，又由点到(5,0)F 5c =x b y xa =±F 双曲线的渐近线的距离为4，得，即可解决.4b =【详解】由题知，抛物线开口向右，，220y x =10p =所以焦点为，(5,0)F 因为焦点与双曲线的一个焦点重合，F ()222210,0x y a b a b -=>>所以，且双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，5c =x b y xa =±0bx ay ±=因为点到双曲线的渐近线的距离为4，F 4b ==所以，4,3b a ==所以双曲线的方程为，221916x y -=故选：C 6．在等差数列中，若，则的值为（ ）{}n a 681072a a a ++=10122a a -A ．6B ．16C ．24D ．60【答案】C【分析】根据等差数列下标和的性质即可求的值,根据通项公式计算即可得出结果.8a 【详解】由等差数列的性质：,68108837224a a a a a ++==⇒=而.()()1012111822911724a a a d a d a d a -=+-+=+==故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查计算能力，属于简单题.7．在数列中，，，则前2022项和的值为（ ）{}n a 113a =()111*n n a n N a +=-∈A ．B ．C ．D ．112-6836-3373-3373【答案】C【分析】根据题意得到该数列周期，根据进行转化即可求和.20226743=⨯【详解】因为，()111*n na n N a +=-∈所以，，，，，…，113a =22a =-332a =413a =52a =-所以该数列的周期是3，又因为，，12316a a a ++=-20226743=⨯所以.2022133767463S ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭故选：C8．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，，，分别是棱111ABC A B C -ABC 1AA AB =D E F ，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）1AA 1BB BC DF 1C EA B C D 【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得异面直线与所成角的余弦值.DF 1C E 【详解】设分别是的中点，连接，则，1,O O 11,AC A C 111,,OO OB O B 11//OO AA 由于是等边三角形，所以，ABC OB AC ⊥根据直三棱柱的性质可知，平面平面，且交线为，11ACC A ⊥ABC AC 平面，所以平面，OB ⊂ABC OB ⊥11ACC A 由于平面，所以.1OO ⊂11ACC A 1OB OO ⊥根据根据直三棱柱的性质可知，平面，所以平面，1AA ⊥ABC 1OO ⊥ABC 平面，所以，,AC OB ⊂ABC 11,OO AC OO OB ⊥⊥由此以为原点，建立空间直角坐标系如下图所示，O 设，12AB AC BC AA ====则，()())110,1,1,,0,0,1,2,2D F C E⎫-⎪⎪⎭所以，)13,1,1,12DF C E ⎫=-=--⎪⎪⎭ 设异面直线与所成角为，DF 1C E θ则.cos θ=故选：A9．唐代诗人李欣的是古从军行开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个《》有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将221x y +≤军从出发，河岸线所在直线方程，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军()2,0A 40x y +-=营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）AB ．C ．D11【答案】B【分析】利用点关于直线对称点的求解方法可求得点关于直线的对称点，将问A 4x y +=()4,2A '题转化为点和圆上的点连线的最小值的求解，利用点和圆心之间的距离减圆的半径可得结果.A 'A '【详解】设点关于直线的对称点为，则，的中点为，A 4x y +=(),A a b 'AA b k a 2'=-AA '2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，解得：，，122422b a a b ⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪+=⎪⎩4a =2b =要使从点到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，即为点和圆上的点连线的最小值，A A 'A '从点到军营最短总路程为点和圆心之间的距离减圆的半径，∴A A '“将军饮马”.∴11-=-故选：B.10．已知点是抛物线与双曲线的一个交点，若抛物线的焦点为，且A 24y x =()222103x y b b -=>F ，则点到双曲线两条渐近线的距离之和为（ ）4AF =A A ．B ．4C ．D ．2【答案】A【分析】求出的坐标，代入双曲线方程求出，然后求解双曲线的渐近线方程．A b 【详解】解：抛物线的焦点为，且，24y x =F 4AF =可得，则，()1,0F (3,A ±点是抛物线与双曲线一个交点，A 24y x =()222103x y bb -=>a=可得，解得：291213b -=b =则渐近线方程为：，y =不妨令，(3,A 则点到这两条渐近线的距离之和为：Ad 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题11．若抛物线经过点，则其准线方程是___________.2x ay =()2,1-【答案】1y =【分析】把已知点坐标代入求得后可得准线方程．a 【详解】由抛物线经过点，则，即，又抛物线的焦点在轴负半轴，故2x ay =()2,1-4a =-4a =-y 准线方程为．1y =故答案为：．1y =12．已知倾斜角为的直线l 经过抛物线的焦点交抛物线于A 、B 两点，并且α24y x =F ，则______．4AF BF=sin α=【答案】##450.8【分析】根据抛物线的定义，结合正弦函数的定义进行求解即可.【详解】若角为锐角，如图，α设A 、B 两点在准线上的射影分别为C 、D ．过B 作于则有，BM AC ⊥.M AC AF =BD BF =设，则44AF BF m==3.5AM m AB m ==4m=则．4sin sin 5BM MAB AB α=∠==若角为钝角，由对称性可知，α4sin 5α=故答案为：．4513．在和之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的这个正数的积为_____.1100n ()2+n n 【答案】10n【分析】结合等比数列的性质直接求解即可.【详解】由题意得，等比数列由项，且.2n +121,100n a a +==根据等比数列性质有，()22212212...10n n n n a a a a a ++++==所以插入的这个正数的积为.n 10n故答案为:10n14．已知直线与圆：交于、两点，则的面积为______.1y x =+C 22230x y y ++-=A B ABC 【答案】2【分析】用已知直线方程和圆方程联立，可以求出交点，再分析三角形的形状，即可求出三角形的面积.【详解】由圆C 方程：可得：；22230x y y ++-=()2214x y ++=即圆心C 的坐标为（0，-1），半径r =2；联立方程得交点，如下图：()22114y x x y =+⎧⎪⎨++=⎪⎩()()0,1,2,1A B --可知轴，∴是以为直角的直角三角形，，BC x ∥ABC C ∠211222ABC S BC AC r === 故答案为：2.15．在正方体中，点为线段的中点．设点在线段不与重合）上，1111ABCD A B C D -O BD P 1(BB P B 直线与平面所成的角为，则的最大值是______．OP 1A BDαsin α【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算直线与平面成角正弦值，根据sin α的表达式判断最大值即可．sin α【详解】解：如图建系，不妨设正方体的棱长，,0,，,0,，,2,，2AB =1(0A 2)(2B 0)(0D 0),0,，,2,，设平面的法向量为，1(2A B =2)-(2BD =- 0)1A BD (),,m x y z = 所以，令，所以，102202200A B m x z z x x y y x BD m ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩1x =()1,1,1m = 又,1,，设,0,，则,，所以,,，(1O 0)(2P )t (0t ∈2](1OP =1-)t 故，当时，等号成立，sin m OP m OP α⋅===≤⋅ 2t =所以.sinα．16．已知正项等比数列，其前项和为，满足，．若不等式{}n a n nT11a =27T =对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为__________．()()2log 112n n T n nλ+-++≥n λ【答案】1λ≤【分析】根据题意，求出等比数列的通项公式，进而得到该等比数列的前项和，把不等式{}n a n nT整理成，根据，分离参数，可得()()2log 112n n T n nλ+-++≥()221n n n λ-+≥+10n +>对一切正整数成立，然后研究的最小值，即可得到答案.221n n n λ-+≤+n 22()1n n g n n -+=+【详解】因为，，设等比数列公比为，可得，所以．11a =37T =q 2q =122112nn n T -==--不等式化为，()()2log 112n n T n nλ+-++≥()221n n n λ-+≥+所以对一切正整数成立，221n n n λ-+≤+n ，()()()221314241331111n n n n n n n n +-++-+==++-≥-=+++当且仅当，即时等号成立，所以．411n n +=+1n =1λ≤故答案为：1λ≤三、解答题17．已知椭圆的右焦点为，上顶点为且与轴22221(0)x y a b a b +=>>F B F x 垂直的直线被椭圆截得的线段长为.83(1)求椭圆的标准方程；(2)直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线:l y kx m =+M y N N BF 交轴于点.若，求直线的方程.x P 458MP BF m ⋅=l 【答案】(1)22194x y +=(2)y x =【分析】（1）通过通径和离心率联立方程可得；（2）分别计算出的坐标，再根据直线与,,,M P B F 椭圆相切求出之间的关系式，代入可求得,进而求出直线方程.,m k 458MP BF m ⋅=,k m 【详解】（1），则过的垂线为，联立椭圆方程得：(),0F c F x c =22222222221,,c y b c b y b y a b aa+=∴=-∴=±弦长=又，联立解之得：282,3b a =ce a ==222a b c =+3,2,ab c ===所以，椭圆的标准方程为22194xy +=（2）由（1）知，())()0,2,,0,(0)BFNP B Fkk N m m ∴=∴=>:,,0NP l y m P ⎛⎫∴=+∴ ⎪⎝⎭将直线与椭圆联立()222214936094x y x kx m y kx m⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩整理得：()22294189360k x kmx m +++-=相切()()()22222184949360,9 4.km k m m k ∴-+-=∴=+代入解得：()22294189360k x kmx m +++-=9M kx m=-299,k k M m mm ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭)2992,,k k BF MP m m m ⎛⎫∴=-=+- ⎪⎝⎭2299182458k k k MP BF m m m m m ⎛⎫⎫∴=+--=- ⎪⎪⎭⎝⋅=⎭解之：:k m l y ==∴=+【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．18．已知数列中，，，，数列的前n 项和为Sn .{}n a 11a =22a =*24()n n a a n +-=∈N {}n a (1)求的通项公式；{}n a (2)已知，215n n b S n =+124n n n n n b c b b ++=（i ）求数列前n 项和Tn ；{}n b （ii ）证明：当时，.2n≥11346822n n n k n n --=++-<<-【答案】(1)21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数(2)（i ）Tn ；（ii ）证明见解析4(1)n n =+【分析】（1）由已知得出数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数项{}n a 构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.分别求出通项公式，合并可得的通项公式；{}n a （2）（i ）由奇数项和偶数项分别求和可得，从而得出，由裂项相消法求得和；2n S n b n T （ii ）求出，由不等式的性质放缩为（时等号成立），时，对这个n c 111222n n n n --++≤<1n =2n ≥n 不等式求和，对新不等式两侧一个用错位相减法求得和，另一侧利用此和得出，即可证得不等式成立．【详解】（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，偶数{}n a 项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.当n 为奇数时，；∴2114(1)4321n k a a k k n -==+-=-=-当n 为偶数时，224(1)4222n k a a k k n ==+-=-=-21,22,n n n a n n -⎧∴=⎨-⎩为奇数为偶数（2）（i ），21321242()()n n n S a a a a a a -=++⋯++++⋯+12122()2(2)n n a a n a a n -++=+24n n =-，211111()444(1)41n b n n n n n n ∴===-+++；12n n T b b b ∴=++⋯+111111(1)42231n n =-+-+⋯+-+11(141n =-+4(1)n n =+（ii ）， 124n n n n n b c b b ++= ，则；112(3)44n n n n n n b n n c b b +-++∴==2211(1)(2)44n n n n n c --++≤<（时等号成立）111222n n n n --++∴≤<1n =当时，∴2n ≥11111222n n n k k k k k k k --===++<<∑∑设，1122nn k k k S '-=+=∑1112n n k k k T '-=+=∑11123422122nn k n k k n S '--=++∴==++⋯+∑213422222n n n S +'∴=++⋯+12111(1)121112422334122222221()2n n n n n n n n n S ---+++'∴=-+++⋯+=-+=--；1482n n n S -+'∴=-11111111112114281222212n n n n n n k k k n k k k k k n T S ----===-++-+''===-=---∑∑∑114138212)22(6n n n n n --++=---=-综上，当时，.2n≥111346822n n n k n n --=++-<<-。

南开中学高二上学期数学周练191. 已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于（ ）A ．627 B ．637 C ．647 D ．6572. 已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53. 已知AB u u u r =(1, 5, －2)，BC uuu r =(3, 1, z )，若AB u u u r ⊥BC uuu r ，BP u u u r =(x －1, y , －3)且BP u u u r⊥平面ABC ，则BP u u u r =（A ）(407, －157, －4) （B ）(407, －157, －3) （C ）(337, －157, 4) （D ）(337, －157, －3)4. 已知A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C 为线段AB 上一点，且13ACAB =，则点C 的坐标为 A ．715(,,)222- B. 8(,3,2)3- C 107(,1,)33- D 573(,,)222- 5. A (2，-4，-1)，B (-1，5，1)，C (3，-4，1)，令a ＝CA ，b ＝CB ，则a +b 对应的点为 ( )A.(5，-9，2)B.(-5，9，-2)C.(5，9，-2)D.(5，-9，2)6. 已知a =(3，－2，－3)，b =（－1，x －1，1），且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ）A ．（－2，+∞）B ．（－2，53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2）D ．（53，+∞） 7. m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( )A.0B.25 C.221 D.88. 若A(m ＋1，n －1,3)，B(2m ,n ,m －2n )，C(m ＋3,n －3,9)三点共线，则m +n = ． 9. 已知空间三点A 、B 、C 坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P 在xOy 平面上且P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，则P 点坐标为 .xyzHG FE A BCDA 1B 1C 1D 1z yXEPDCB A 10. 在棱长为1的正方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1CD/4，H 为C 1G 的中点， ⑴求证：EF ⊥B 1C ；⑵求EF 与C 1G 所成角的余弦值； ⑶求FH 的长。

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷模拟统考数学理试卷创作人：百里公地 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂址重 创作单位： 博恒中英学校第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数313ii+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则(2)f -=（A ）1 （B ）1- （C ）14 （D ）114- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63 （4）已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3,sin cos 2R ααα∃∈+=③1,sin cos 2R ααα∀∈≤④3,sin cos 4R ααα∃∈= 其中正确命题的序号是①②③④（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④ （6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12（7）已知椭圆221:12x y C m n +=+与双曲线222:1x y C m n-=共焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为（A） （B） （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组3103010x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则tan AOB ∠的最大值等于（A ）12 （B ）34 （C ）47 （D ）94（9）设函数())sin(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则（A ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 （B ）()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 （C ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 （D ）()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB 的面积是（A（B ）2 （C（D（11）根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，则输出m 的值为 （A ）1 （B ）37 （C ）148 （D ）333（12）已知函数|21|,2()3,21x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

天津市南开中学2020-2021学年度高二上学期期中检测试卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l 在x 轴上的截距是5-，在y 轴上的截距是6，则直线l 的方程是（ ） A ．65300x y -+=B ．65300x y +-=C ．65300x y --=D ．65300x y ++=2．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．23．“8m =”是“椭圆2214x y m +=的离心率为2”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．过点()0,1P 作圆22210x y x ++-=的切线，则切线方程为（ ）A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =+5．已知P 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上一点，1F ，2F 分别为C 的左、右焦点，且12PF PF ⊥，若21tan 7PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）A ．8B ．7C ．5D ．3 6．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD 的距离是（ ）A ．3B C ．3 D ．3 7．已知圆()222x a y a -+=平分圆()()22121x y ++-=的周长，则a 的值是（ ）A ．0B ．3-C ．25-D ．528．已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（ ） A ．23k ≤-或0k ≥ B ．38k ≤-C ．38k ≤-或0k ≥D ．23k ≤-二、填空题 9．直线13kx y k -+=,当k 变动时,所有直线都通过定点______.10．在正四面体P ABC -中，M 是PA 上的点，且2PM MA =，N 是BC 的中点，若MN xPA yPB zPC =++，则x y z ++的值为__________．11．若椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，且与直线l ：20x -+=交于P ，Q 两点，则PQF △的周长为_______________.12．设圆222:()0O x y r r +=>，定点(3,4)A ，若圆O 上存在两点到A 的距离为2，则r 的取值范围是________．13．光线沿直线30x y -+=入射到直线220x y -+= 后反射，则反射光线所在直线的方程为___________________.14．在直角坐标系xoy 中，已知圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，则直线l 方程为______.三、解答题15．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △是正三角形，CD ⊥平面P AD ，E,F ,G,O 分别是PC,PD,BC,AD 的中点．（Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．16．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0)， 直线0x -=经过椭圆的上顶点和右焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点.若OAB ，求直线l 的方程.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知以点()21,C a a -（0a >）为圆心的圆过原点O ，不过圆心C 的直线20x y m ++=（m ∈R ）与圆C 交于M ，N 两点，且点26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点.（1）求m 的值和圆C 的方程；（2）若Q 是直线2y =-上的动点，直线QA ，QB 分别切圆C 于A ，B 两点，求证：直线AB 恒过定点；（3）若过点()0,P t （01t ≤<）的直线L 与圆C 交于D ，E 两点，对于每一个确定的t ，当CDE △的面积最大时，记直线l 的斜率的平方为u ，试用含t 的代数式表示u ，并求u 的最大值.参考答案1．A【分析】由直线的截距式方程直接得出答案.【详解】直线l 在x 轴上的截距是5-，在y 轴上的截距是6所以直线l 的方程为156x y +=-，即65300x y -+= 故选：A【点睛】本题考查直线的截距式方程，属于基础题.2．B【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果．【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //．当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行， ∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =，故选：B ．【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题．3．A【分析】椭圆2214x y m +=离心率为2，可得：4m >=04m <<时，2=，解得m 即可判断出结论． 【详解】椭圆2214x y m +=，可得：4m >2=8m ∴=；04m <<2=，2m ∴=总之8m =或2．∴“8m =”是“椭圆2214x y m +=离心率为2”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．B【分析】先判断点()0,1P 在圆上，可知点()0,1P 即是切点，圆心与切点的连线与切线垂直，可得切线的斜率，点斜式即可得切线方程.【详解】因为()0,1P 满足22210x y x ++-=， 所以点()0,1P 在圆上，点()0,1P 即是切点，由22210x y x ++-=知，圆心为()1,0-，设()1,0M -， 1010(1)MP k -==--， 圆心与切点的连线与切线垂直，所以切线斜率为1-，所以切线方程为：10y x -=- ，即1y x =+，故选：B【点睛】本题主要考查了求解圆的切线方程，涉及由圆的方程求圆心，先判断点与圆的位置关系最关键，属于基础题.5．A【分析】根据焦点三角形（直角三角形）的已知角的正切可得斜边与两条直角边的比，从而得到椭圆的离心率.【详解】 设2PF m =，因为12PF PF ⊥，21tan 7PF F ∠=，所以17PF m =，12F F =，故1212228F F c c e a a PF PF ====+． 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算，与焦点三角形有关的计算问题，注意利用椭圆的几何性质来处理，本题属于基础题．6．A【分析】求出平面ACD 的一个法向量n ，再求出BD 在n 方向上的投影的绝对值即可．【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)AD CD BD ===,设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则2200n AD x y n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，则(1,1,1)n =--，∴23BD nn ⋅-==，即B 到平面ACD ． 故选：A.【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n 是平面α的一个法向量，Q 是平面α内任一点，则P 到平面α的距离是PQ nn ⋅．7．B【分析】由题可知，两圆的公共直线必过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-，然后求出公共直线的方程，列式计算即可得解.【详解】圆222()x a y a -+=平分()()22121x y ++-=的周长， 所以两圆的公共直线过()()22121x y ++-=的圆心()1,2-， 两圆方程相减，可得两圆的公共直线()1220a x y +-+=，将()1,2-代入可得()1420a -+-+=，解得3a =-.故选：B .【点睛】两圆的公共弦方程过已知圆心是解题关键.8．A【分析】直接利用直线与圆的位置关系，由于存在点P 使圆的两条切线垂直，得到四边形为正方形，进一步利用点到直线的距离公式求出k 的取值范围.【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B ,因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -，解得23k ≤-或0k ≥，故选：A【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.9．(3,1)【分析】将直线方程变形为(3)1k x y -=-,得到3010x y -=⎧⎨-=⎩,解出,x y ,即可得到定点坐标. 【详解】由13kx y k -+=,得(3)1k x y -=-, 对于任意k ∈R ,式子恒成立,则有3010x y -=⎧⎨-=⎩, 解出3,1x y ==,故答案为:(3,1).【点睛】 本题考查直线过定点问题,直线111222()0k A x B y C A x B y C +++++=一定过两直线1110A x B y C ++=､2220A x B y C ++=的交点.10．13【分析】根据向量的线性运算再结合空间向量的基本定理即可得到答案.【详解】如图所示：()2121132322MN MP PN PA PB PC PA PB PC =+=-++=-++. 由空间向量基本定理得：23x =-，12y =，12z =. 故13x y z ++=. 故答案为：13 【点睛】本题主要考查空间向量的线性运算，同时考查空间向量的基本定理，属于简单题.11．【分析】求出左焦点坐标，利用直线经过椭圆的左焦点，结合椭圆的定义求三角形的周长即可．【详解】由题得椭圆C 的左焦点(2,0)F '-，所以直线:20l x -+=经过左焦点F '，PQF ∴的周长||||||PQ PF QF ++||||||||PF PF QF QF ''=+++4a ==故答案为：【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的问题时，如果遇到了焦半径，要联想到圆锥曲线的定义，利用定义优化解题.12．()3,7【分析】将问题转化为以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A 与圆O 相交问题，再根据圆与圆的位置关系求解即可得答案.【详解】解：根据题意设以(3,4)A 为圆心，2为半径的圆为圆A ， 所以圆222:()0O x y r r +=>，圆心为()0,0O ，半径为r ，则两圆圆心距为：5OA =，因为圆O 上存在两点到A 的距离为2， 所以圆O 与圆A 相交，所以252r r -<<+，解得：37r <<. 所以r 的取值范围是：()3,7. 故答案为：()3,7 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查回归转化思想，是中档题. 13．730x y --= 【分析】求得直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点A 的坐标，然后求出直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点C 的坐标，进而可求得直线AC 的方程，即为反射光线所在直线的方程. 【详解】联立30220x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，则直线30x y -+=与直线220x y -+=的交点为()1,4A .设直线30x y -+=上的点()3,0B -关于直线220x y -+=的对称点为(),C a b ， 线段BC 的中点3(,)22a b M -在直线220x y -+=上，则322022a b-⨯-+=，整理得220a b --=.直线220x y -+=的斜率为2，直线BC 与直线220x y -+=垂直，则213ba ⋅=-+，整理得230ab ++=.所以，220230a b a b --=⎧⎨++=⎩，解得1585a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即点1(,55)8C -.所以，反射光线所在直线的斜率为8457115ACk +==-， 因此，反射光线所在直线的方程为()471y x -=-，即730x y --=. 故答案为：730x y --=. 【点睛】运用点关于直线的对称点的坐标的求解是解题关键. 14．25x y += 【分析】先将圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，通过分析可以看出，圆心在一条直线上，若对于任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值，可得直线l 与圆心所在的直线平行，即可得出结论. 【详解】圆C ：()222824580x y m x my m m +---+-=化为标准形式可得：()()224216x m y m --+-=⎡⎤⎣⎦ ，所以圆心()4,2C m m - ，半径4r =， 令4,2x m y m =-= ，可得28x y += ，所以圆心在28x y +=上，又因为直线l 经过点()2,1，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得弦长为定值， 所以直线l 与圆心所在的直线平行，， 所以设直线l 的方程为：2x y c +=， 将()2,1代入得：5c =， 所以则直线l 方程为：25x y +=. 故答案为：25x y +=【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线和圆的位置关系，考查分析解决问题的能力，属于基础题.15．（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π3（Ⅲ）不存在，见解析 【分析】（Ⅰ）正三角形PAD 中PO ⊥AD ，由CD ⊥平面PAD 得到PO ⊥CD ，所以得到PO ⊥面ABCD ；（Ⅱ）以O 点为原点建立空间直角坐标系，根据平面EFG 的法向量，和平面ABCD 的法向量，从而得到平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值，再得到所求的角；（Ⅲ）线段PA 上存在满足题意的点M ，直线GM 与平面EFG 法向量的夹角为3π，设PM PA λ=，[]0,1λ∈，利用向量的夹角公式，得到关于λ的方程，证明方程无解，从而得到不存在满足要求的点M . 【详解】（Ⅰ）证明:因为△PAD 是正三角形，O 是AD 的中点，所以 PO ⊥AD .又因为CD ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥CD .AD CD D =，AD CD ⊂，平面ABCD ，所以PO ⊥面ABCD .（Ⅱ）如图，以O 点为原点分别以OA 、OG 、OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,O A B C D G P --，(1,(E F --，(0,2,0),(1,2,EF EG =-=，设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =所以00EF m EG m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20,20,y x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，则 (3,01)m =，， 又平面ABCD 的法向量(0,0,1)n =，设平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为θ， 所以(1cos 2m n m nθ⋅===.所以平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角为π3. （Ⅲ）假设线段PA 上存在点M ， 使得直线GM 与平面EFG 所成角为6π， 即直线GM 与平面EFG 法向量m所成的角为3π， 设PM PA λ=，[]0,1λ∈，,GM GP PM GP PA λ=+=+，所以)()2,1GM λλ=-- 所以coscos ,324GM m πλ==整理得22320λλ-+=，∆<0，方程无解，所以，不存在这样的点M . 【点睛】本题考查线面垂直的性质和判定，利用空间向量求二面角，利用空间向量证明存在性问题.16．（1）2214x y +=；（2）0x y --=或0x y +-=或20x -=或20x +-=.【分析】（1）由直线方程，求出椭圆的上顶点和右焦点，可得出a 、b 的值，进而可求出椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为x my =()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出OAB 的面积为1212OABSOF y y =⋅-，将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，将韦达定理代入OAB 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由0x +=，令0x =可得1y =；令0y =可得x =因为直线0x +=经过椭圆的上顶点和右焦点，所以半焦距为c =1b =，因此2a ==，所以，椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）由（1）可得)2F ，设过)2F 的直线方程为x my =由2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，整理得()22410m y ++-=，显然22124164280m m ∆=++=+>. 设12(,)A x x ，12(,)B x x，则1224y y m +=-+，12214y y m -=+，从而12y y -=所以121122OABSOF y y =⋅-==，解得1m =±或2m =± 所以直线l的方程为0x y --=或0x y +=，20x --=或20x +-=.【点睛】 思路点睛：求解椭圆中三角形（或四边形）面积相关问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，以及弦长公式等，表示出三角形（或）四边形的面积，结合题中条件列出方程求解即可.17．（1）2m =-，圆C 的方程为()2211x y +-=；（2）证明见解析；（3）2241,0,10,12t t t u t ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，最大值为1.【分析】（1）由CF 垂直于直线NM 得出12CF k =，利用斜率公式可求出a 的值，可得出圆C 的方程，再将点F 的坐标代入直线NM 的方程可求出m 的值；（2）设点(),2Q t -，可得出以QC 为直径的圆的方程，直线AB 是以QC 为直径的圆和圆C 的公共弦，将两圆方程作差可得出直线AB 的方程，根据直线AB 的方程得出该直线所过的定点；（3）设直线l 的方程为y kx t =+ ，CDE △的面积为S ，则1sin 2S DCE =∠，当2DCE π∠=时，S 取到最大值，此时点C 到直线l的距离为2，由点到直线的距离公式得出()222110k t =--≥，解得1t ≤- 【详解】（1）解：由题意，26152215CFa k a -==--，即2210a a --=，解得1a =（0a >）.∴圆心坐标为()0,1，半径为1，由圆心到直线20x y m ++=的距离d ===，可得0m =或2m =-，点26,55F ⎛⎫⎪⎝⎭在直线20x y m ++=上，2m ∴=-. 故2m =-，圆C 的方程为()2211x y +-=； （2）证明：设(),2Q t -，则QC 的中点坐标为1,22t ⎛⎫-⎪⎝⎭， 以QC 为直径的圆的方程为22219224t t x y +⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2220x y tx y +-+-=.联立()22221120x y x y tx y ⎧+-=⎪⎨+-+-=⎪⎩，可得AB 所在直线方程为：320tx y -+=. ∴直线AB 恒过定点20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）解：由题意可设直线l 的方程为y kx t =+，CDE △的面积为S ， 则11sin sin 22S CD CE DCE DCE =⋅⋅∠=∠，∴当sin DCE ∠最大时,S 取得最大值.当2DCE π∠=时，点C 到直线l2=，整理得：()222110k t =--≥，解得12t ≤-.①当0,12t ⎡∈-⎢⎣⎦时，sin DCE ∠最大值是1，此时22241k t t =-+，即2241u t t =-+.②当12t ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，,2DCE ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭. sin y x ∴=是,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数，.当DCE ∠最小时，sin DCE ∠最大. 过C 作CF DE ⊥于F ，则12DCF DCE ∠=∠，∴当CDF ∠最大时，DCE ∠最小. sin CF CDF CF CD ∠==，且0,2CDF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， ∴当CF 最大时，sin CDF ∠取得最大值，即CDF ∠最大.CF CP ≤，∴当CP l ⊥时，CF 取得最大值CP .∴当三角形CDE 的面积最大时，直线l 的斜率0k =，0u ∴=.综上所述，2241,0,1t t t u t ⎧⎡-+∈⎪⎢⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩当0,12t ⎡∈-⎢⎣⎦时，0t =时u 取得最大值1；当1,12t ⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭时，0u =. 所以u 的最大值是1.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查了点到直线距离公式的应用，考查分类讨论数学思想，在求解直线与圆的综合问题时，应将问题转化为圆心到直线的距离，结合图象进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题．。

天津南开中学高二上数学周练10一、选择题 (每题4分,共40分)1. 22530x x --<成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．132x -<<B ．102x -<<C ．132x -<< D ．16x -<< 2. 在ABC 中，条件甲：A B <，条件乙：sin sin A B <，那么甲是乙的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又没必要要条件3. >|x ||y |<”的（ ）A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件4. 设0,h >命题甲:实数a b 、知足2a b h -<,命题乙：1,1a h b h -<-<，那么（ ）A ．甲是乙的充分没必要要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.5. 下面各组方程表示同一曲线的是（ ）.A 2y x =与y = .B y x =与1y x=.C 22log y x =与22log y x = .D 221x y +=与y =6. 已知A ()11,x y ，B ()22,x y 别离是直线l 上和l 外的点，假设直线l 的方程为(),0f x y =，那么方程()()11,,f x y f x y =表示（ ）.A 直线l .B 过点,A B 的直线.C 过点B 与l 垂直的直线 .D 过点B 与l 平行的直线7. 设命题甲为：点P 的坐标适合方程(),0f x y =；命题乙：点P 在曲线C 上；命题丙：点Q 坐标不适合(),0f x y =；命题丁：点Q 不在曲线C 上．已知甲是乙的必要不充分条件，那么丙是丁的（ ）条件.A 充分没必要要 .B 必要不充分 .C 充要 .D 既不充分也没必要要8. 若是方程222x ky +=表示核心在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） .A ()0,+∞ .B ()0,2 .C ()1,+∞ .D ()0,19. 椭圆的两条准线间的距离是该椭圆的焦距的2倍，那么该椭圆的离心率为（ ）.A 14 .B 256 .C 92 .D 15810. 设椭圆的两个核心别离为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，假设12F PF 为等腰直角三角线，那么椭圆的离心率为（ ）.A 2 .B 12 .C 2 .D 1二、填充题(每题4分,共24分)11. 已知命题:211p x -≥，命题21:045q x x >+-，那么p ⌝是q ⌝的______________条件. 12. 已知命题p ：不等式25x x m -++>的解集为R ,命题q ：函数()(52)x f x m =--是减函数,若p 或q 为真，p 且q 为假,那么实数m 的取值范围是 _____________.13. 过()2,4P 作两条相互垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，那么线段AB 的中点M 的轨迹方程为_______________． ()2501x y x +-=≠14. 已知k R ∈，那么两条动直线()210kx y k -++=与()210x ky k ++-=的交点P 的轨迹方程为__________________.15. 椭圆2255x ky -=的一个核心为()0,2，那么k =__________.16. 椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且通过两点)1P ，(2P ，那么椭圆方程为______________．三、解答题(共4大题，共36分) 17. 已知,A B 为两个定点，动点M 到A 与B 的距离比为常数λ，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．18. 已知点P 是圆224x y +=上的一动点，定点()4,0Q ()1求线段PQ 中点的轨迹方程；()2设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求点R 的轨迹方程。

天津南开中学高二第一学期数学周练4本周涉及知识点:平面概念,与平面有关的表示法,三个公理及其推论,空间直线位置关系,直线和平面平行判定和性质考试重点异面直线成角,直线和平面平行性质定理的应用难点几何体中截面的画法能力要求:明白得空间直线、平面位置关系的概念，并了解如下能够作为推理依据的公理和定理.◆公理1：若是一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.◆公理3：若是两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.◆公理4：平行于同一条直线的两条直线相互平行.◆定理：空间中若是一个角的两边与另一个角的两边别离平行，那么这两个角相等或互补明白得以下判定定理.◆若是平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.有关问题平面与平面图形是不是一样？如何证明三点共线或三线共点？两个平面的公共点可否只有一个？空间三条直线两两相交有几种情形，空间四条直线两两相交有几种情形？三个平面能够把空间分为几部份，最多能够把空间分为几部份？空间中同垂直于一条直线的两条直线必然平行吗？异面直线成角如何计算？直线在平面外有几种情形，若是线//面,能够推出线//面内所有直线吗?空间中//,////a b b c a c ⇒能够吗？//,////a b a b αα⇒能够吗？试题训练：应知应会：一、四条直线相交于一点，它们能确信的平面的个数为_________二、空间四点，没有三点共线，可确信平面的个数为_____________3、依照以下图，写出图中的元素应知足的条件 ____,____,_____,___,____A A αββγαγαβ=== 关于图（1），_______,_______,______,______PQ B C A ====关于图（2），4、证明：不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内五、如图，已知ABC 的各个极点都在平面α外，直线AB ，AC ，BC 别离交平面α于点P ，Q ，R ，求证：P ，Q ，R 三点共线六、三个平面两两相交，所得的三条交线____________________7、连结空间四边形各边中点取得的四边形是_________8、如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，那么在以下命题中，错误的为 A . AC BD ⊥ B . AC ∥截面PQMNC . AC BD = D . 异面直线PM 与BD 所成的角为45 9、假设直线a 与平面α内的无数条直线平行，那么a 与α的位置关系为______________10、在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，1A B 与1AD 所成角为多少异面直线BC 与AA1的距离为___________________;异面直线BA1与CC1的距离为___________________1一、A 是△BCD 平面外的一点,E 、F 别离是BC 、AD 的中点，假设AC ⊥BD,AC=BD,求EF 与BD 所成的角 已知平面,//,//l a a αβαβ=，求证：//a lPQ M N A B CD能力提高：空间四边形ABCD 中，假设1AB BC CD DA BD =====，且AB C D ，，，不在同一平面内，那么AC 的取值范围是14、将无盖正方体各面展开，直线AB CD ，在原正方体的位置关系 是（ ）Ａ．平行 Ｂ．垂直Ｃ．异面 Ｄ．相交成6015、画出以下几何体中由MNP 确信的截面。

天津南开中学高二上数学周练10一、选择题 (每题4分,共40分)1. 22530x x --<成立的一个必要不充分条件是 （ ）A ．132x -<<B ．102x -<<C ．132x -<< D ．16x -<< 2. 在ABC V 中，条件甲：A B <，条件乙：sin sin A B <，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3. >|x||y |<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 设0,h >命题甲:实数a b 、满足2a b h -<,命题乙：1,1a h b h -<-<，那么（ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.5. 下面各组方程表示同一曲线的是（ ）.A 2y x =与y =.B y x =与1y x=.C 22log y x =与22log y x = .D 221x y +=与y =6. 已知A ()11,x y ，B ()22,x y 分别是直线l 上和l 外的点，若直线l 的方程为(),0f x y =，则方程()()11,,f x y f x y =表示（ ）.A 直线l .B 过点,A B 的直线.C 过点B 与l 垂直的直线 .D 过点B 与l 平行的直线7. 设命题甲为：点P 的坐标适合方程(),0f x y =；命题乙：点P 在曲线C 上；命题丙：点Q 坐标不适合(),0f x y =；命题丁：点Q 不在曲线C 上．已知甲是乙的必要不充分条件，那么丙是丁的（ ）条件.A 充分不必要 .B 必要不充分 .C 充要 .D 既不充分也不必要8. 如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） .A ()0,+∞ .B ()0,2 .C ()1,+∞ .D ()0,19. 椭圆的两条准线间的距离是该椭圆的焦距的2倍，则该椭圆的离心率为（ ）.A 14 .B 256.C 92 .D 158 10. 设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF V 为等腰直角三角线，则椭圆的离心率为（ ）.A 2 .B 12.C 2.D 1 二、填充题(每题4分,共24分)11. 已知命题:211p x -≥，命题21:045q x x >+-，则p ⌝是q ⌝的______________条件. 12. 已知命题p ：不等式25x x m -++>的解集为R ,命题q ：函数()(52)x f x m =--是减函数,若p 或q 为真，p 且q 为假,则实数m 的取值范围是 _____________.13. 过()2,4P 作两条互相垂直的直线12,l l ，1l 交x 轴于A 点，2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的中点M的轨迹方程为_______________． ()2501x y x +-=≠14. 已知k R ∈，则两条动直线()210kx y k -++=与()210x ky k ++-=的交点P 的轨迹方程为__________________.15. 椭圆2255x ky -=的一个焦点为()0,2，则k =__________.16. 椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ，则椭圆方程为______________．三、解答题(共4大题，共36分) 17. 已知,A B 为两个定点，动点M 到A 与B 的距离比为常数λ，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．18. 已知点P 是圆224x y +=上的一动点，定点()4,0Q ()1求线段PQ 中点的轨迹方程；()2设POQ ∠的平分线交PQ 于R ，求点R 的轨迹方程。

南开中学高二第一学期数学周练3制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一．选择题：1．将正三棱柱截去三个角〔如图1所示，A、B、C分别是GHI∆三边的中点〕得到的几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图(或者称左视图)为( )．2．一空间几何体的三视图如右图所示,那么该几何体的体积为( )．A．223π+ B．423π+ C．2323π+D．2343π+3．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是〔〕．A．1：3 B．()1:31-C．1：9 D．3:24．圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240︒，那么该圆锥的体积为〔〕．A2281πB．881πC4581πD．1081π5．正四面体ABCD的外表积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，四面体EFGH的外表积为T,那么TS=〔〕．A．19 B．14 C．13 D．49俯视图2侧(左)视图22正(主)视制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日HGFEDCBAOD1C 1B 1A 1DC6．棱台的两个底面面积分别是2280245cm cm 和，截得这个棱台的棱锥的高为35cm ，那么这个棱台的高为〔 〕．A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．25cm7．αβγ、、为三个不重合的平面，a b c 、、为三条不同直线，以下命题中不正确的选项是〔 〕．①a c a b b c ⎧⇒⎨⎩； ②a a b b γγ⎧⇒⎨⎩； ③cc ααββ⎧⇒⎨⎩； ④αγαββγ⎧⇒⎨⎩； ⑤a c a c αα⎧⇒⎨⎩； ⑥a a γααγ⎧⇒⎨⎩A ．④，⑥B ．②，③，⑥C ．②，③，⑤，⑥D ．②，③ 8．以下图是一个正方体的展开图，那么在原正方体中〔 〕．A ．AB CD B ．AB EFC ．CD GH D ．AB GH9．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，那么所得的两条直线互相平行的概率等于〔 〕．A ．751B ．752C ．753D ．754第8题图 第9题图10．在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =,那么1AB 与1C B所成的角的大小为〔 〕．A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒二．填空题： 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为11B D 的中点，那么AC 与1DD 所成的角制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日GJI HFEDBA为 ,AC 与11D C 所成的角为 ,AC 与11B D 所成的角为 ,AC 与1A B 所成的角为 ,111A B B D 与所成的角为 ，AC 与BO所成的角为 ．12．如图，在正三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，将ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥后， GH 与IJ 所成角的度数为 ．13．A 、B 、C 、D 四点不一共面，那么与这四点间隔 相等的平面一共有 个．14．以下结论中，正确结论的序号为 ．①过平面α外一点P ，有且仅有一条直线与α平行；②过平面α外一点P ，有且仅有一个平面与α平行；③过直线l 外一点P ，有且仅有一条直线与l 平行；④过直线l 外一点P ，有且仅有一个平面与l 平行；⑤与两个相交平面的交线平行的直线必与两相交平面都平行； ⑥过空间内任意一点有且仅有一个平面与两条异面直线都平行； ⑦过空间内任意一点有且仅有一条直线与两条异面直线都相交． 三．解答题(见答题纸)制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

天津市南开中学2021届高三年级第三次月考数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题纸上。

答题时，务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{|||2}A x x =<，集合{|31}B x x =-≤≤，则A B =（ ） A.{1,0,1}-B.(2,1]-C.[3,1]-D.[3,2]-（2）下列函数中，在区间(0,)+∞内单调递增的是（ ） A.2xy -= B.12y x =C.12log y x =D.1y x=（3）函数sin 31cos xy x=+，(,)x ππ∈-的图象大致为（ ）ABCD（4）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项13a =，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a的前5项之和为（ ） A.23-B.25-C.43-D.45-（5）设3log 52a =，5log 23b =，2log 35c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<（6）椭圆221162x y m m +=--的焦距为4，则m 的值为（ ） A.1 B.7 C.1或17 D.7或11（7）以下命题正确的是（ ）A.命题“任意0x >，sin x x >”的否定为“存在0x ≤，sin x x ≤”B.设等比数列0q <的前n 项和为n S ，则“10n n S S +<”是“公比0q <”的充要条件C.若对于任意实数λ，有a b λ≠，则向量a ，b 不共线D.“直线30kx y ++=与2(1)60x k y +++=平行”是直线(1)230k x y -++=与(1)60kx k y +-+=垂直”的充分非必要条件（8）已知函数()cos()3f x x π=-.给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②点(,0)3π是曲线()y f x =的对称中心；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是（ ） A.①B.①③C.②③D.①②③（9）已知函数3()||f x x a a x=--+（a ∈R ），若方程()2f x =有且只有三个不同的实数解，则a 的取值范围为（ ）A.()1+B.((),113,3-∞+C.(,1-∞D. (()1,113,--++∞第II 卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.（10）i 是虚数单位，纯虚数z 满足(1i)2i z m -=+，则实数m 的值为________.（11）在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是________.（12）已知点(2,2)P -和圆C ：22(1)(2)16x y ++-=，则P 在圆C________（填内、外或上），以P 为圆心且和圆C 内切的圆的方程为________________.（13）已知向量a 和b 的夹角为60︒，13(,)22a =，()2a a b ⋅+=，则a b +的值为________.（14）已知0a >，0b >，且22a b +=，则2121a b +++的最小值为________. （15）已知a ∈R .设函数1, 11,()ln , 1.a ax x f x x a x x +--≤≤⎧=⎨->⎩若关于x 的不等式(())0f f x ≥恒成立，则a 的取值范围为________. 三、解答题：本大题共5个小题，共75分.（16）（本小题满分14分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知23a =，5b =，7c =.（I ）求角C 的大小； （II ）求sin A 的值； （III ）求sin(2)6A π+的值.（17）（本小题满分15分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ABCD ⊥底面，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，AB AD ⊥，2SA AD CD ===，1AB =.（I ）设点M 为棱SD 的中点，求证：AM SBC ∥平面； （II ）求异面直线SD 和BC 所成角的余弦值；（III ）棱SB 上的是否存在点N ，使得平面ANC SBC ⊥平面？若存在，求出AN 的长；若不存在，说明理由.（18）（本小题满分15分）设数列{}n a 是公比为正整数的等比数列，满足1310a a +=，2238a a -=.设数列{}n b 满足11b =，113n n n b b b +-=+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求证：数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求{}n b 的通项公式；（III ）记1n nn a b c n =-，2n ≥.求证：1224n nk k c n +==-∑.（19）（本小题满分15分）已知椭圆C ： 22221x y a b+=（0a b >>）的离心率2e =，且点P 在椭圆上. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）若椭圆C 的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆位于x 轴上方的部分，直线AB 与y 轴交于点D ，点E 是y 轴上一点，满足FF DF ⊥，直线AE 与椭圆C 交于点G.若ABG △的面积为AB 的方程.（20）（本小题满分16分）已知函数()ln 1f x ax x =++，()e x g x x =. （I ）若1a =-，求函数()f x 的最大值； （II ）若0a =，（i ）求过原点且与曲线()()y g x f x =-相切的直线方程；（ii ）设1x ，2x 为方程()()g x f x t -=（t ∈R ）的解，求证：12||x x t -<.天津市南开中学2021届高三年级第三次月考数 学 参考答案一、选择题：BBDDBDDBB二、填空题：（10）2 （11）60 （12）外 22(2)(2)81x y -++= （13（14）43（15）2a e -≤≤ 三、解答题：（16）（I）解：由余弦定理，得222cos 22a b c C ab +-===，所以30C =︒.（II）解：由（I），有1sin2C=，由正弦定理，得1sinsincA ac=⋅==.（III）解：由a b<，知A为锐角，故cos A===，进而sin22sin cos27A A A===，241cos22cos12177A A=-=⋅-=，所以1113sin2sin2cos cos2sin6667214A A Aπππ⎛⎫+=+=+⋅=⎪⎝⎭.（17）证明：（I）以点A为坐标原点，向量AB，AD，AS的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系.易知，(0,0,0)A，(1,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)S，(0,1,1)M.设点P为SC中点，则有(1,1,1)P，(0,1,1)BP AM==，因此BP AM，又因为BP SBC⊄平面，AM SBC⊄平面，所以AM SBC平面.解：（II）由(0,2,2)SD=-，(1,2,0)BC =，得cos,5SD BCSD BCSD BC⋅===⋅.所以，异面直线SD 和BC.（III）由（I）中知，(1,0,2)SB=-.设平面SBC的法向量为(,,)n x y z=，有,,n SBn BC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩进而20,20,x zx y-=⎧⎨+=⎩不妨设1z=，得(2,1,1)n=-.依题意，设SN SBλ=，（01λ≤≤），可得(,0,22)Nλλ-.设平面ANC的法向量为(,,)m x y z=，有,,m ANm AC⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩进而(22)0,220,x zx yλλ+-=⎧⎨+=⎩不妨设1x=，得(1,1,)22mλλ=--.由题意知，m n⊥，有12(1)(1)1022m nλλ⋅=⨯+-⨯-+⨯=-，解得67λ=.此时，2||AN AN ⎛=== （18）解：（I ）设数列{}n a 的公比为q ，有2112221110,8,a a q a q a q ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得12,2,a q =⎧⎨=⎩所以2nn a =. 证明：（II ）1111131321111122122213n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++--=+=-==-++++++++，又因为11112b =+，所以数列11n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，其通项公式为1112n b =+.进而，21n b n=-. （III ）12222(1)1n n nn n c n n n n +-=⋅=---，所以23341122222222412231n n n nk k cn n n++==-+-++-=--∑. （19）解：（I ）由已知，有222222,211,c e a a b c a b ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得2,ab c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （II ）由（I ）知，)F，(2,0)A .设直线AB 的方程为(2)y k x =-（0k <），其与椭圆C的交点(,)B B B x y 满足方程组221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得到2222(12)8840k x k x k +-+-=，解得224221B k x k -=+.在直线AB 的方程中，令0x =，解得2y k =-，即得(0,2)D k -.设(0,)E F x ，由题意，有())2,220E E EF DF x k kx ⋅=-⋅=-=，解得1E x k=.进而得到直线AE 的方程为12x ky +=，其与椭圆C 的交点(,)G G G x y 满足方程组221,421,2x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x 得到22(21)40k y ky +-=，解得2421G ky k =+，进而222421G k x k -=+.由上述过程可得，||||B A AB x x =-=，点G 到直线AB=.因此，12ABGS ==△2210k ++=，解得k =，所以直线AM的方程为20x +-=. （20）解：（I ）()ln 1f x x x =-++，1()1f x x'=-+.当01x <<时，有()0f x '>，则()f x 单调递增；当1x >时，有()0f x '<，则()f x 单调递减.因此，存在极大值(1)0f =，也即函数的最大值.（II ）记()()()e ln 1x h x g x f x x x =-=--.取曲线()y h x =上一点00(,())P x h x ，则P 处的切线方程为000()()()y h x x x h x ='-+.由题意，有0000()()()h x x h x ='-+，即200e ln x x x =-，变形后得到方程01ln 0000ln 1e ln e x x x x x x =-=⋅.记函数e (0)x y x x =>，由(1)e 0x y x '=+>，知e (0)x y x x =>为增函数，故001lnx x =.将其代入切线方程，得所求切线方程为y x =.（III ）构造函数()()H x h x x =-，则1()(1)e 1x H x x x '=+--，21()(2)e x H x x x''=++.显然()0H x ''>，故()H x '单调递增.又由前问知，0()0H x '=，因此当00x x <<时，()0H x '<，()H x 单调递减；当0x x >时，()0H x '>，()H x 单调递增.所以，0()()0H x H x ≥=.由题意，12()()h x h x t ==.不妨设12x x <，由前述知，2()0H x ≥，即22()x h x t ≤=.所以12||0x x t t -<-=.。