山东省临清市高一数学教学案2.3.1抛物线及其标准方程新人教版选修11

2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)[自主预习·探新知]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．[基础自测]1．思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线．()(2)抛物线是双曲线的一支．( )(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上．”( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)B [抛物线y 2＝－8x 的焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]3．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8C [由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4.] 4．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( )【导学号：97792096】A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18C [由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116.][合 作 探 究·攻 重 难](1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． [思路探究] (1)(2)由题意可确定方程形式→求出p →写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数 →写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . ．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 把握开口方向与方程间的对应关系．当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x －2y －4＝0上．[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将点(－1，－3)代入方程， 得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .(2)法一：设所求抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，将点(4，－8)代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .法二：当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2＝16x .综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.【导学号：97792097】(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[思路探究] (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程． (2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离． (3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解．[解] (1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±2 6.(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF | ＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得， ∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A (0,2)在抛物线y 2＝2x 的外部， 连接AF ，交y 2＝2x 于点P ′，欲使所求距离之和最小，只需A ，P ′，F 共线， ∴其最小值为|AF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172.] (2)若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程．[解] 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M到F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0).已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意，将B (4，－5)代入方程得p ＝85，∴抛物线方程为x 2＝－165y .∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h ，则h＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．3．如图2­3­1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为( )图2­3­1A ．2.2米B ．4.4米C ．2.4米D ．4米B [如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为x 2＝my ，将A (2，－2)代入x 2＝my ， 得m ＝－2∴x 2＝－2y ，代入B (x 0，－2.42)得x 0＝2.2， 故水面宽为4.4 m ，故选B.][当 堂 达 标·固 双 基]1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83xB [由准线方程为y ＝23知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .]2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116B.⎝⎛⎭⎪⎫116，0C ．(0,1)D ．(1,0)C [抛物线的标准方程为x 2＝4y ，从而焦点坐标为(0,1)．]3．抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20xA [由题意知6a ＋3＝5，解得a ＝13，因此抛物线方程为y 2＝8x .]4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________.【导学号：97792098】4 [把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.]5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．[解] 由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2.设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y2＝－4x .由点M (－9，y )在抛物线上，得y ＝±6，故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

说课教案课题：抛物线及其标准方程教材：全日制普通高级中学教科书（选修1-1）人民教育出版社一、教材内容和地位：圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。

同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

本节内容是在学习了椭圆、双曲线的基础上又一种圆锥曲线，它是以圆锥曲线统一定义（即第二定义）进行展开学习的。

本章对抛物线的安排篇幅不多，但与椭圆、双曲线的地位是一样的。

利用抛物线定义推出抛物线标准方程，为以后用代数方法研究抛物线的几何性质打下基础，本节起到一个承上启下的作用。

二、教学目标：根据教学大纲的要求以及本教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点确定教学目标如下：知识目标：理解并掌握抛物线的定义及抛物线标准方程。

能力目标：通过对抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析和概括的能力，提高建立坐标系的能力，由圆锥曲线的统一定义，形成学生对事物运动变化、对立、统一的辨证唯物主义观点。

情感目标：通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生勇于探索、严密细致的科学态度，通过提问、讨论、思考等教学活动，调动学生积极参与教学，培养良好的学习习惯。

三、教学重点：（1）抛物线的定义及焦点、准线；（2）利用坐标法求出抛物线的四种标准方程；（3）会根据抛物线的焦点坐标，准线方程求抛物线的标准方程。

四、教学难点：（1）抛物线的四种图形及标准方程的区分；（2）抛物线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

五、教学方法与手段为了充分调动学生的积极性，使学生变被动学习为主动学习，我采用了“引导探究”式的教学模式，在课堂教学过程中，我始终贯彻“教师为主导，学生为主体，探究为主线，思维为核心”的教学思想，通过引导学生实验、观察、比较、分析和概括，使学生充分地动手、动口、动脑，参与教学的全过程。

动手演示与多媒体教学六、学情分析我校学生基础中上，学习依赖性重，缺乏学习主动性；缺乏主动归纳、类比知识的能力；缺乏分析、抽象和概括等逻辑思维能力；部分学生缺乏学习数学的信心和毅力；所以教师要起到的是穿针引线、衔接过渡、点拨启发的作用，使学生真正成为学习的主人，让他们在主动探索、寻求、发现、研究、讨论、对比、联想等活动中感知数学，建构数学，使数学知识真正成为他们的心中之物。

2.3.2抛物线的简单几何性质（一）学习目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . （二）学习重点：抛物线的几何性质及其运用 （三）学习难点：抛物线几何性质的运用 （四）学习过程： 一、复习引入：（回顾并填表格） 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做 . 定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 .相同点：不同点：二、讲解新课：类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质： 1．范围2．对称性3．顶点4．离心率对于其它几种形式的方程，列表如下：（通过对照完成下表）思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别） 三、例题讲解：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．例2斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长. （思考用不同方法求解）变式训练：过抛物线24y x =的焦点F 作直线，交抛物线于11(,)P x y ,22(,)Q x y 两点，若126y y +=，求PQ 。

点评：由以上例2以及变式训练可总结出焦点弦弦长：四、达标练习：1．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）42．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______4.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标. 参考答案：1. B 2. B 3.()122-=x y 4.⎪⎪⎭⎫⎝⎛±22,45M , M 到y 轴距离的最小值为45. 五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等.六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8． （2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2、B 2，则∠A 2FB 2等于 . 3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522=+y x 的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？ 习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y （3）x 2＝－8y 2．90° 3．x 2＝±16 y 4．54 5．520米七、板书设计（略）学校： 临清一中 学科：数学 编写人：赵春燕 审稿人：张林2.3.2抛物线的简单几何性质（一）教学目标：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . （二）教学重点：抛物线的几何性质及其运用 （三）教学难点：抛物线几何性质的运用 （四）教学过程： 一、复习引入：（学生回顾并填表格） 1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线.2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p =. 不同点：(1)图形关于x 轴对称时，x 为一次项，y 为二次项，方程右端为px 2±、左端为2y ；图形关于y 轴对称时，x 为二次项，y 为一次项，方程右端为py 2±，左端为2x . （2）开口方向在x 轴（或y 轴）正向时，焦点在x 轴（或y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在x 轴（或y 轴）负向时，焦点在x 轴（或y 轴）负半轴时，方程右端取负号.二、讲解新课：类似研究双曲线的性质的过程，我们以()022>=p px y 为例来研究一下抛物线的简单几何性质： 1．范围因为p ＞0，由方程()022>=p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程()022>=p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程()022>=p px y 中，当y=0时，x=0，因此抛物线()022>=p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．思考：抛物线有没有渐近线？（体会抛物线与双曲线的区别） 三、例题讲解：例1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．解：由题意，可设抛物线方程为px y 22=，因为它过点)22,2(-M ， 所以 22)22(2⋅=-p ，即 2=p 因此，所求的抛物线方程为x y 42=．将已知方程变形为x y 2±=，根据x y 2=计算抛物线在0≥x 的范围内几个点的坐标，得描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例2斜率为1的直线经过抛物线y 2=4x 的焦点，与抛物线交于两点A 、B ，求线段AB 的长.解法1：如图所示，由抛物线的标准方程可知，焦点F （1，0），准线方程x =—1. 由题可知，直线AB 的方程为y =x —1代入抛物线方程y 2=4x ，整理得：x 2—6x +1=0解上述方程得x 1x 2=3—分别代入直线方程得y 1y 2=2—即A 、B 的坐标分别为（，（3—2— ∴|AB |=864)222222(2)223223(22==+-+++-+ 解法2：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=6,x 1·x 2=1∴|AB x 1—x 2|84624)(2221221=-=-+=x x x x解法3：设A （x 1,y 1)、B (x 2,y 2),由抛物线定义可知， |AF |等于点A 到准线x =—1的距离|AA ′| 即|AF |=|AA ′|=x 1+1 同理|BF |=|BB ′|=x 2+1 ∴|AB |=|AF |+|BF |=x 1+x 2+2=8点评：解法2是利用韦达定理根与系数的关系，设而不求，是解析几何中求弦长的一种普遍适用的方法；解法3充分利用了抛物线的定义，解法简洁，值得引起重视。

青岛市公开课抛物线及其标准方程(第一课时)人教A版高中数学课题：<选修1-1> 2.3.1《抛物线及其标准方程》教学设计一.课程介绍平面解析几何中的圆锥曲线是一个重要的数学模型，它具有很多非常好的几何性质，在日常生活、社会生产及科学技术中都有着重要而广泛的应用。

圆锥曲线主要包括椭圆、双曲线和抛物线。

本节“抛物线及其标准方程”主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用。

根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础。

因此，它是圆锥曲线这章的重要知识点。

二.学习者分析学生在初中的二次函数中，已经初步接触过抛物线这种曲线，通过本节的学习，可以让学生进一步了解它形成的几何本质。

在研究了椭圆和双曲线的基础上，通过类比来研究抛物线的定义和标准方程，能让学生进一步掌握研究曲线的基本方法，并为他们今后学习解析几何奠定良好的基础。

授课对象为文科普通班学生，基础普遍较低，这又是新课的第一节，故此借助几何画板课件，从形象、动态的演示入手，使学生对抛物线有一个较为深刻的认识。

学习方法以协作、讨论为主，放手让学生去讲，去做，去总结。

三.教学目标1.知识与技能：（1）掌握抛物线的定义、标准方程及几何图形（2）能根据抛物线方程求焦点坐标和准线方程．（3）能解决简单的求抛物线标准方程的问题．2、情感、态度与价值观：（1）提高感性认识到理性认识的能力。

（2）启发调动学生积极参与教学活动，培养良好的学习习惯与思维品质。

（3）通过概念和标准方程的学习，体会数形结合思想。

四．教学重点、难点1、教学重点：抛物线定义、标准方程的有关应用2、教学难点：抛物线标准方程形式的推导及几种形式的比较。

五、教学方法1、启发引导法（通过作图引出抛物线定义）2、依据建构主义教学原理，通过观察、类比、分析、归纳把新知识化归到原有的认知结构中去（类比椭圆、双曲线的标准方程的推导，得到抛物线的标准方程）．3、利用多媒体教学．五、板书设计。

牛刀小试
1．抛物线y2＝4x的准线方程(fāngchéng)为( )
A．x＝－2
B．x＝2
C．x＝－1
D．x＝1
[答案] C
[解析] ∵2p＝4，p＝2，∴p2＝1， ∴抛物线 y2＝4x 的准线方程为 x＝－1.
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2．已知抛物线的准线(zhǔn xiàn)方程为x＝－7，则抛物线的
__F_(_－__p2_，__0_) __x_＝__p2_____ y_2_＝_－__2_p_x_(_p_>_0)__
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图形
焦点
准线
方程
___F_(_0_，__p2_) _
___y_＝__－__p2__
x2＝2py(p>0) ____________
__F__(0_，__－__p2_) __y_＝__p2_____ x_2＝__－__2_p_y_(_p_>_0)_
[答案] (6，±6 2) [解析] 设抛物线的焦点 F(3,0)，准线 x＝－3，抛物线上 的点 P，满足|PF|＝9，设 P(x0，y0)， 则|PF|＝x0＋p2＝x0＋3＝9， ∴x0＝6，∴y0＝±6 2.
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4．分别(fēnbié)求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y＋4＝0，________. (2)过点(3，－4)，________. (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上，________.
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[方法规律总结] 抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标 系，将题目中的已知条件(tiáojiàn)转化为抛物线上点的坐标，从 而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．
第三十四页，共45页。

2.1.6 抛物线及其标准方程一、教学目标：1.知识与技能：（1）了解抛物线的定义，几何图形和标准方程（2）会利用定义和标准方程求焦点坐标和准线方程（3）理解P的意义2、过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

3.情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点.难点重点：抛物线定义的灵活应用以及抛物线标准方程的求法.难点：抛物线定义的灵活应用以及抛物线标准方程的求法.三、学情分析对于高二的学生，在初中已经学过二次函数的图像是抛物线，研究过抛物线的顶点坐标、对称轴等问题，而我们现在学的圆锥曲线是要从最基本的图形入手来研究抛物线的特征，学生有了对抛物线的简单认识，所以学习这节课是对以前所学内容的进一步加深，符合我们的教育思路“由浅入深，步步深入”。

四、教学方法本节课主要通过数形结合，类比的思想，运用现代化教学手段，通过观察，分析，归纳出双曲线的几何性质，在教学过程中可采取设疑提问，重点讲解，归纳总结，引导学生积极思考，鼓励学生合作交流。

五、教学过程新课引入1.创设情境，引入课题教师导语：我们之前学习了圆锥曲线中的椭圆，双曲线，今天我们开始学习第四节第一小节：抛物线及其标准方程.六、自主学习1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.抛物线的定义可以从以下几个方面理解、掌握：（1）抛物线的定义还可叙述为“平面内与一个定点F和一条直线l的距离的比等于1的点的轨迹叫做抛物线（2）定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，叫做抛物线的焦点；一条定直线l，叫做抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1，为离心率2.抛物线的标准方程其特点是：等号一边是某变元的完全平方，等号另一边是另一变元的一次项，这个形式与位置特征相对应当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向右，为负时开口向左；当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指示了抛物线的开口方向，为正时开口向上，为负时开口向下.3.抛物线的四种标准形式方程的区别与联系（1）相同点：①原点在抛物线上；②对称轴为坐标轴；③焦点的非零坐标（指2p 或2p -）是一次项系数的41；④准线与对称轴垂直且垂足与焦点关于坐标原点对称；⑤p 都是代表焦点到准线的距离（称p 为焦参数），∴p ＞（2）不同点；对称轴为x 轴时，方程的右端为±2px ，左端为y 2；对称轴为y 轴时，方程的右端为±2py ，左端为x 2，即方程右端一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.典型例题：例1、已知抛物线的标准方程是26y x =，求它的焦点坐标和准线方程；例2、已知抛物线的焦点是(0,2)F -，求它的标准方程.例3、求过点(3,2)A -的抛物线的标准方程.五、当堂检测1、已知抛物线的标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程。

§2.3抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一抛物线的定义1．定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹．2．焦点：定点F.3．准线：定直线l.思考抛物线的定义中的定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线而是________________．[答案]过点F与l垂直的一条直线知识点二抛物线标准方程的几种形式特别提醒：(1)方程特点：焦点在x轴上，x是一次项，y是平方项；焦点在y轴上，y是一次项，x是平方项．(2)一次项表明焦点所在轴，它的符号表明开口方向，有如下口诀：焦点轴一次项，符号确定开口向；若y是一次项，负时向下正向上；若x是一次项，负时向左正向右．1．到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)2．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×)3．方程x2＝2ay(a≠0)是表示开口向上的抛物线．(×)题型一求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程．(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．考点抛物线的标准方程题点求抛物线的方程解(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，；则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝16若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝92.故所求抛物线的标准方程为y2＝－12＝－9y.3x或x(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，所以p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ； 当焦点为(4,0)时，p2＝4，所以p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . 反思感悟 求抛物线的标准方程的方法定义法 根据定义求p ，最后写标准方程 待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程注意：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y 2＝ax 或x 2＝ay (a ≠0)的形式，以简化讨论过程．跟踪训练1 根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5. 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线的方程解 (1)易知抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .题型二 抛物线定义的应用命题角度1 利用抛物线定义求轨迹(方程)例2 若位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12.求点M 的轨迹方程． 考点 题点解 由于位于y 轴右侧的动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y 2＝2px (p >0)的形式，而p 2＝12，所以p ＝1,2p ＝2，故点M 的轨迹方程为y 2＝2x (x ≠0)． 反思感悟 解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题，既可以用轨迹法直接求解，也可以先将条件转化，再利用抛物线的定义求解．后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件，有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件．跟踪训练2 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用解 设动点M (x ，y )，⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ， 则|MA |＝|MN |，即动点M 到定点A 和定直线l ：x ＝－3的距离相等，∴点M 的轨迹是抛物线，且以A (3,0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线， ∴p2＝3，∴p ＝6， 故动圆圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .命题角度2 利用抛物线定义求最值或点的坐标例3 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P (x 0，y 0)是抛物线上一点．(1)若|PF|＝54x0，求x0；(2)已知点A(3,2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求此时P点坐标．考点求抛物线的最值问题题点根据抛物线定义转换求最值解(1)由题意知抛物线的准线为x＝－12，根据抛物线的定义可得，x0＋12＝|PF|＝54x0，解得x0＝2.(2)如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|P A|＋|PF|的最小值的问题可转化为求|P A|＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72.即|P A |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x 0＝2. ∴点P 坐标为(2,2)． 引申探究若将本例中的点A (3,2)改为点(0,2)，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．解 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，P 点，(0,2)点和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小，所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.反思感悟 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训练3 抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M 的横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M 点的坐标．考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的直接应用解 设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，M 点到准线的距离为d ， 则d ＝|MF |＝10， 即9＋p2＝10，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线的方程，得y ＝±6. ∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．抛物线的实际应用问题典例 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高0.75m ，问：水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m 时，小船开始不能通航？ 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上， 故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船开始不能通航， 设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )， 由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为0.75m ， 所以h ＝|y A |＋0.75＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．[素养评析] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为： (1)建系：建立适当的坐标系． (2)假设：设出合适的抛物线标准方程． (3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－2考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质[答案] A[解析] 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p 2＝－1. 2．已知抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，则抛物线的焦点坐标为( )A ．(1,0) B.⎝⎛⎭⎫116，0C.⎝⎛⎭⎫0，116D ．(0,1) 考点 求抛物线的焦点坐标及准线方程题点 求抛物线的焦点坐标[答案] C[解析] 由抛物线y ＝2px 2过点(1,4)，可得p ＝2，∴抛物线的标准方程为x 2＝14y ， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，故选C. 3．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．12考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质[答案] B[解析] 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6.4．若点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，则动点P 的轨迹方程是________． 考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程[答案] y 2＝16x[解析] ∵点P 到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离少1，∴点P 到直线x ＝－4的距离和它到点(4,0)的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹是以点(4,0)为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，∴p 2＝4，∴动点P 的轨迹方程为y 2＝16x . 5．若抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点的横坐标是________．考点题点[答案] 2[解析] 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知点A 到焦点F 的距离等于点A 到准线的距离，即|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋12. 同理|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋12. 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋1＝5，即x 1＋x 2＝4，得x 1＋x 22＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便，要注意运用定义解题．2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线焦点位置)→定量(参数p的值)”的程序求解.。

二、由抛物线方程求焦点坐标、准线方程
活动与探究 2 已知下列抛物线的方程,分别求其焦点坐标和准线方程: (1)y2=8x;(2)2x2+5y=0;(3)y2=ax(a>0). 思路分析:解答本题可先把原方程转化为标准方程,求得参 数 p,再求焦点坐标和准线方程. 解:(1)∵p=4,∴所求抛物线的焦点坐标为(2,0),准线方程是 x=-2. (2)2x2+5y=0 化为 x2=-2y,且抛物线开口向下,
由抛物线的定义可知:|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|≥|AQ|≥|AB|,当且 仅当 P,Q,A 三点共线时,|PF|+|PA|取得最小值,即为|AB|.
∵A(-2,4),∴不妨设|PF|+|PA|的值最小时,点 P 的坐标为(-2,y0),
1 代入 x =8y,得 y0=2.
2
故使|PF|+|PA|的值最小的抛物线上的点 P 的坐标为 -2, 2 .
2 2
物线的标准方程是 x2=-y 或 y2=-8x. y= .
1 4
1 把 P(-2,-4)代入 x =-2py 或 y =-2px 得 p=2或 p=4,故所求的抛
当抛物线方程是 x2=-y 时,焦点坐标是 F 0,-
1 ,准线方程是 4
当抛物线方程是 y2=-8x 时,焦点坐标是 F(-2,0),准线方程是
p p 提示:以 y =2px(p>0)为例,焦点是 2 ,0 ,准线方程是 x=-2,所
课堂合作探究
问题导学
一、求抛物线的标准方程
活动与探究 1 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)经过点(-3,-1); (2)焦点为直线 3x-4y-12=0 与坐标轴的交点. 思路分析:(1)点在第三象限,则抛物线的焦点可能在 x 轴的负 半轴上,也可能在 y 轴的负半轴上,按这两种情况进行讨论;(2)直 线与坐标轴的交点有两个,分情况讨论焦点的位置,从而确定抛 物线的标准方程.

2.3.1 抛物线及其标准方程学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F 在直线l 上，那么点的轨迹是什么？ [提示] 点的轨迹是过点F 且垂直于直线l 的直线． 2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)F ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，0x ＝p2x 2＝2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p2x 2＝－2py (p >0)F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p2(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示] (1)p 的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px ，±2py 来确定焦点位置，“x ，y ”表示焦点在x 轴或y 轴上，系数“±2p ”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．[基础自测]1．思考辨析(1)并非所有二次函数的图象都是抛物线． ( ) (2)抛物线是双曲线的一支．( )(3)抛物线的标准方程有四种不同的形式，它们的共同点为“顶点在原点，焦点在坐标轴上．”( )[答案] (1)× (2)× (3)√2．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)B [抛物线y 2＝－8x 的焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]3．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8C [由y 2＝8x 得p ＝4，即焦点到准线的距离为4.] 4．抛物线x ＝4y 2的准线方程是( )【导学号：97792096】A ．y ＝12B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．x ＝18C [由x ＝4y 2得y 2＝14x ，故准线方程为x ＝－116.][合 作 探 究·攻 重 难]求抛物线的标准方程(1)准线方程为y ＝23；(2)焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为5； (3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x －4y －12＝0与坐标轴的交点． [思路探究] (1)(2)由题意可确定方程形式→求出p →写出抛物线的标准方程(3)设出抛物线的标准方程→代入点的坐标求参数 →写出抛物线的标准方程(4)写出焦点坐标→分情况讨论焦点的位置→写出抛物线的标准方程[解] (1)因为抛物线的准线交y 轴于正半轴，且p 2＝23，则p ＝43，所以所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .(2)已知抛物线的焦点在y 轴上，可设方程为x 2＝2my (m ≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m |＝5，m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x 2＝10y 和x 2＝－10y .(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．若抛物线的标准方程为y 2＝－2px (p >0)，则由(－1)2＝－2p ×(－3)，解得p ＝16；若抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，则由(－3)2＝－2p ×(－1)，解得p ＝92.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－13x 或x 2＝－9y .(4)对于直线方程3x －4y －12＝0，令x ＝0，得y ＝－3；令y ＝0，得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，p2＝3，∴p ＝6，此时抛物线的标准方程为x 2＝－12y ；当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x . [规律方法] 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p 与p2的几何意义．1．根据下列条件确定抛物线的标准方程．(1)关于y 轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x －2y －4＝0上．[解] (1)法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，将点(－1，－3)代入方程， 得(－1)2＝－2p ·(－3)，解得p ＝16，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .法二：由已知，抛物线的焦点在y 轴上，因此设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)．又抛物线过点(－1，－3)，所以1＝m ·(－3)，即m ＝－13，所以所求抛物线方程为x 2＝－13y .(2)法一：设所求抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)或x 2＝－2p ′y (p ′＞0)，将点(4，－8)代入y 2＝2px ，得p ＝8；将点(4，－8)代入x 2＝－2p ′y ，得p ′＝1.所以所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .法二：当焦点在x 轴上时，设抛物线的方程为y 2＝nx (n ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以64＝4n ，即n ＝16，抛物线的方程为y 2＝16x ；当焦点在y 轴上时，设抛物线的方程为x 2＝my (m ≠0)，又抛物线过点(4，－8)，所以16＝－8m ，即m ＝－2，抛物线的方程为x 2＝－2y .综上，抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－2y .(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＝4.所以所求抛物线的焦点坐标为(0，－2)或(4,0)．当焦点为(0，－2)时，由p2＝2，得p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4,0)时，由p2＝4，得p ＝8，所以所求抛物线方程为y 2＝16x .综上所述，所求抛物线方程为x 2＝－8y 或y 2＝16x .抛物线的定义的应用的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．(2)已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，对于定点A (4,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时的P 点坐标.【导学号：97792097】(3)已知动圆M 与直线y ＝2相切，且与定圆C ：x 2＋(y ＋3)2＝1外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[思路探究] (1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m 和准线方程． (2)利用抛物线的定义，把|PF |转化为到准线的距离． (3)利用|MC |的长度比点M 到直线y ＝2的距离大1求解．[解] (1)设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由p2＋3＝5得p ＝4，因此抛物线方程为x 2＝－8y ，其准线方程为y ＝2，由m 2＝24得m ＝±2 6.(2)如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ， 则|PA |＋|PF | ＝|PA |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AB | ＝4＋1＝5.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝1， ∴P (1,2)．(3)设动圆圆心为M (x ，y )，半径为r ，则由题意可得M 到圆心C (0，－3)的距离与直线y ＝3的距离相等．由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0，－3)为焦点，以y ＝3为准线的一条抛物线，其方程为x 2＝－12y .[规律方法] 抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．2．(1)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92A [由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可得， ∴点P 到准线x ＝－12的距离d ＝|PF |，易知点A(0,2)在抛物线y2＝2x的外部，连接AF，交y2＝2x于点P′，欲使所求距离之和最小，只需A，P′，F共线，∴其最小值为|AF|＝⎝⎛⎭⎪⎫0－122＋2－02＝172.](2)若位于y轴右侧的动点M到F⎝⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y轴的距离大12.求点M的轨迹方程．[解]由于位于y轴右侧的动点M到F⎝⎛⎭⎪⎫12，0的距离比它到y轴的距离大12，所以动点M 到F⎝⎛⎭⎪⎫12，0的距离与它到直线l：x＝－12的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而p2＝12，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0).抛物线的实际应用[探究问题]已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？提示：以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高34米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？[思路探究] 建系→设方程→解方程→求出相关量→解决问题[解] 如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝85，∴抛物线方程为x2＝－165y.∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．设此时船面宽为AA′，则A(2，y A)，由22＝－165y A，得y A＝－54.又知船露出水面上部分为34米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|y A |＋34＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．[规律方法] 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量．(5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [跟踪训练]3．如图2­3­1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，若水面下降0.42米后，则水面宽为( )图2­3­1A ．2.2米B ．4.4米C ．2.4米D ．4米B [如图建立直角坐标系， 设抛物线方程为x 2＝my ， 将A (2，－2)代入x 2＝my ， 得m ＝－2∴x 2＝－2y ，代入B (x 0，－2.42)得x 0＝2.2， 故水面宽为4.4 m ，故选B.][当 堂 达 标·固 双 基]1．准线方程为y ＝23的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝83yB ．x 2＝－83yC ．y 2＝－83xD ．y 2＝83xB [由准线方程为y ＝23知抛物线焦点在y 轴负半轴上，且p 2＝23，则p ＝43.故所求抛物线的标准方程为x 2＝－83y .]2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116B.⎝⎛⎭⎪⎫116，0C ．(0,1)D ．(1,0)C [抛物线的标准方程为x 2＝4y ，从而焦点坐标为(0,1)．]3．抛物线y 2＝24ax (a >0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝12x C ．y 2＝16xD ．y 2＝20xA [由题意知6a ＋3＝5，解得a ＝13，因此抛物线方程为y 2＝8x .]4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 1，若点A (2，－4)在抛物线上，则点A 到焦点的距离为________.【导学号：97792098】4 [把点(2，－4)代入抛物线y 2＝2px ，得16＝4p ，即p ＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A 到焦点的距离为4.]5．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M 的坐标．[解] 由抛物线方程y 2＝－2px (p ＞0)，得其焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，准线方程为x ＝p 2.设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10，即p2－(－9)＝10，得p ＝2，故抛物线方程为y2＝－4x .由点M (－9，y )在抛物线上，得y ＝±6，故点M 的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．。

2．3.1 抛物线及其标准方程[学习目标] 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线的方程．[知识链接]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF 上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．画出的曲线是什么形状？点D在移动过程中，满足什么条件？答案抛物线|DA|＝|DC|[预习导引]1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2要点一 求抛物线的标准方程例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为(－2,0)； (2)准线为y ＝－1； (3)过点A (2,3)； (4)焦点到准线的距离为52.解 (1)由于焦点在x 轴的负半轴上，且p2＝2，∴p ＝4，∴抛物线标准方程为y 2＝－8x .(2)∵焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，∴p ＝2，∴抛物线标准方程为x 2＝4y .(3)由题意，抛物线方程可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝ny (n ≠0)， 将点A (2,3)的坐标代入，得32＝m ·2,22＝n ·3，∴m ＝92，n ＝43.∴所求抛物线方程为y 2＝92x 或x 2＝43y .(4)由焦点到准线的距离为52，可知p ＝52.∴所求抛物线方程为y 2＝5x 或y 2＝－5x 或x 2＝5y 或x 2＝－5y .规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x 轴上的抛物线方程可设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可设为x 2＝ay (a ≠0)． 跟踪演练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1) 过点(3，－4)；(2) 焦点在直线x ＋3y ＋15＝0上．解 (1)方法一 ∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)或x2＝－2p 1y (p 1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y 2＝2px 和x 2＝－2p 1y ，得(－4)2＝2p ·3,32＝－2p 1·(－4)，即2p ＝163，2p 1＝94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .方法二 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝by (b ≠0)． 把点(3，－4)分别代入，可得a ＝163，b ＝－94.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝163x 或x 2＝－94y .(2)令x ＝0得y ＝－5；令y ＝0得x ＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x 2＝－20y 或y 2＝－60x . 要点二 抛物线定义的应用例2 如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．解 如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，由图可知，求|PA |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ， 得y ＝±6.∵6>2， ∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72.即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ， 得x ＝2.∴点P 坐标为(2,2)．规律方法 要注意抛物线的定义在解题中的作用，灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪演练2 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．2C.5D.92答案 A解析 如图，由抛物线定义知|PA |＋|PQ |＝|PA |＋|PF |，则所求距离之和的最小值转化为求|PA |＋|PF |的最小值，则当点P 在第一象限且A 、P 、F 三点共线时，|PA |＋|PF |取得最小值．又A (0,2)，F (12，0)，∴(|PA |＋|PF |)min ＝|AF |＝－122＋－2＝172.要点三 抛物线的实际应用例3 喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？ 解 如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)， 因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8 (m)．所以管柱OA 的长为1.8m.规律方法 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用．跟踪演练3 某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，一木船宽4m ，高2m ，载货的木船露在水面上的部分高为0.75m ，货物的宽与木船相同，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(如图)设抛物线的方程是x 2＝－2py (p >0)， 由题意知A (4，－5)在抛物线上，故：16＝－2p ×(－5)⇒p ＝85，则抛物线的方程是x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨，木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于B 、B ′时，木船开始不能通航．设B (2，y ′)，∴22＝－165y ′⇒y ′＝－54.∴54＋0.75＝2.故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2m 时，木船开始不能通航.1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y 答案 B解析 抛物线开口向右，方程为y 2＝2px (p >0)的形式，又p2＝7，所以2p ＝28，方程为y 2＝28x .2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y 2＝±8x 答案 D解析 由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3 C.115D.3716 答案 A解析 如图所示，动点P 到l 2：x ＝－1的距离可转化为到点F 的距离，由图可知，距离和的最小值，即F 到直线l 1的距离d ＝|4＋6|42＋－2＝2.4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0等于( )A ．4B ．2C ．1D ．8 答案 C解析 如图，F (14，0)，过A 作AA ′⊥准线l ， ∴|AF |＝|AA ′|， ∴54x 0＝x 0＋p 2＝x 0＋14， ∴x 0＝1.1.抛物线的定义中不可忽略条件：点F 不在直线l 上．2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．为避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m ≠0)．。

人教版高中选修2-1《抛物线及其标准方程》教学设计《人教版高中选修2-1《抛物线及其标准方程》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！2.4.1抛物线及其标准方程一、三维目标(一)知识与技能(1)掌握抛物线的定义、几何图形(2)会推导抛物线的标准方程(3)能够利用给定条件求抛物线的标准方程(二)过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。

并进一步感受坐标法及数形结合的思想。

(三)情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度;激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯;同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。

二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择)四、教学过程1.课题引入在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：(1)，(2)的图象(展示两个函数图象)：师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗?它具有怎样的几何特征?它的方程是什么呢?这就是我们今天要研究的内容。

(板书课题：2.4.1抛物线及其标准方程)2.抛物线的定义P(课堂中几何画板演示画图过程)先看一个实验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。

拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗?(学生观察画图过程，并讨论)可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点M与定点F和定直线的距离相等。

(演示)我们把平面内与一个定点F和一条定直线(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

2.3.1抛物线及标准方程（张远建）一、教学目标1 .核心素养发展数学抽象、直观想象素养，培养分析归纳能力，提高数学运算素养2.学习目标（1）掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其中p 的几何意义，会推导抛物线的标准方程.（2）能根据条件熟练求出抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程．（3）能运用抛物线解决简单实际应用问题.3.学习重点抛物线的定义及标准方程．4.学习难点建立标准方程时坐标系的选取．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 预习教材5659P P -，理解抛物线的定义，思考推导抛物线的标准方程时如何选择坐标系?任务2 完成教材59P 相应练习题2.预习自测1.抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ．()0,1B ．()0,16C ．1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭答案：D解析：考查抛物线的定义2.顶点在原点，对称轴是轴，且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程是（ ）A ．23x y =±B ．26y x =±C ．212x y =±D ．26x y =±答案：C解析：考查抛物线的标准方程3. 若动点M 与点(1,1)F 和直线l ：340x y +-=的距离相等，则点M 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线答案：C解析：考查抛物线的定义（二）课堂设计1.知识回顾函数()20y ax bx c a =++≠的图象是抛物线，抛物线的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a =-.当抛物线的顶点在原点，且以y 轴为对称轴时，函数的解析式为2y ax =,也可写成21x y a =的形式 2.问题探究。