专题21.17 一元二次方程的应用—数字问题（基础检测）一、单选题1．两个连续奇数的积为323，求这两个数.若设较小的奇数为x ，则根据题意列出的方程正确的是（ ） A ．()1323+=x xB ．()2323+=x xC ．()2323-=x xD ．()()2121323+-=x x【答案】B【分析】根据连续奇数的关系用x 表示出另一个奇数，然后根据乘积列方程即可．【详解】解：根据题意：另一个奇数为：x ＋2∴()2323+=x x故选B ．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握数字之间的关系是解决此题的关键．2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（ ）A ．3B ．﹣4C ．﹣3或4D ．﹣4或3 【答案】D【分析】设这两个整数中较小的一个是x ，则较大的一个是（x +1），根据两数之积为12，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设这两个整数中较小的一个是x ，则较大的一个是（x +1），根据题意得：x （x +1）＝12，解得：x 1＝3，x 2＝﹣4．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．(易错题)若两个连续整数的积是20,那么这两个整数的和是 ( )A ．9B ．-9C ．9或-9D ．12或-12 【答案】C【分析】设这两个连续整数分别是n ，n +1，根据两个连续整数的积是20列方程求解即可.【详解】设这两个连续整数分别是n ，n +1，由题意得，n (n +1)=20,解之得，n 1=4,n 2=-5,∴这两个连续整数分别是4,5或-5，-4，∴这两个整数的和是4+5=9或-5-4=-9.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据两个连续整数的积是20列出方程是解答本题的关键.本题的易错点是有些同学容易把负整数忽视了.4．一个两位数等于其各数位上数字的积的3倍，且个位上的数比十位上的数字大2，则这个两位数是（ ） A ．24B ．35C ．42D ．53 【答案】A【分析】设十位数字为x ，则个位数字为x+2，根据“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”列式即可求解．【详解】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为x+2，由“两位数等于其各数位上数字的积的3倍”得：10x+x+2=3x(x+2)，整理得：(x-2)(3x+1)=0， 解得12123x x ==-，(舍去)，∴这个两位数为24，故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是设出个位或十位数为x ，其他数位用x 的代数式表示，进而建立方程求解．5．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x 与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为( )A ．x (x +8)=225B ．x (x +16)=225C ．x (x ﹣16)=225D ．(x +8)(x ﹣8)=225【答案】C 【分析】最大数为x ，则我们只需要将最小数用x 表示出来即可列出方程．【详解】∵最大数为x ，∴最小数用x 表示为：x-16，∴列方程为：x (x ﹣16)=225，故选：C【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程．6．如图，是一张月历表，在此月历表上用一个长方形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为128，那么这四个数的和为( )A ．40B ．48C ．52D ．56【答案】B 【分析】根据题意，设最小数为x ，则另外三个数为x ＋1，x ＋7，x ＋8，根据题意可列方程x(x ＋8)＝128，结合月历表的数据情况选出合适的数.【详解】设最小数为x ，则另外三个数为x ＋1，x ＋7，x ＋8，根据题意可列方程x(x ＋8)＝128，解得x 1＝8，x 2＝－16(不符合题意，舍去)，∴x ＝8，x ＋1＝9，x ＋7＝15，x ＋8＝16，∴四个数分别为8，9，15，16.∵8＋9＋15＋16＝48，∴四个数的和为48.【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用.找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键.二、填空题7．已知3个连续整数的和为m ，它们的平方和是n ，且()118n m =-．则m =____．【答案】15或18【分析】设这3个连续整数为x ，x+1，x+2，则由题意可得33m x ，()()22212n x x x =++++，然后由()118n m =-可求解．【详解】解：设这3个连续整数为x ，x+1，x+2，由题意得： 33m x ，()()22212n x x x =++++， ∴33m x -=，2365n x x =++， ∵()118n m =-，∴()()23336511893m m m --⨯+⨯+=-，化简得：2332700m m -+=，解得：1215,18m m ==，故答案为15或18．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．8．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数的平方恰好等于这个两位数，这个两位数是____．【答案】25或36．【分析】设个位数字为x ，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．【详解】解：设个位数字为x ，那么十位数字是（x-3），这个两位数是10（x-3）+x ，依题意得：()2103,x x x =-+ ∴211300,x x -+=∴125,6,x x ==∴x-3=2或3．答：这个两位数是25或36．故答案为：25或36．【点睛】本题考查的是关于数字方面的一元二次方程的应用，掌握一个两位数的表示及根据题意列方程是解题的关键．9．三个连续偶数，平方和为56，则这三个数为______.【答案】2，4，6或6-，4-，2-【分析】设三个连续偶数分别为2n-2，2n ，2n+2根据题意列方程即可求解．【详解】解：设三个连续偶数分别为2n-2，2n ，2n+2，则()()()2222222256n n n -+++=21248n =解得：n=2±， 当n=-2时 ，三个连续偶数为6-，4-，2-，当n=2时 偶数为2，4，6．故答案为：2，4，6或6-，4-，2-．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键是掌握偶数的表示方法．10．如果一个数的相反数等于这个数的平方，这个数是______________.【答案】0或-1．【分析】根据题意得等量关系为：一个数的相反数=这个数的平方，列方程求解即可．【详解】解：设这个数为x ，-x = x 2x （x+1）=0，解得x 1=0，x 2=-1，故答案为：0或-1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键．11．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，这个两位数等于它的个位数字的平方，则这个两位数是__________．【答案】25或36【分析】设这个两位数字的个位数字是x ，则十位数字是（x-3），则这个两位数为[10（x-3）+x]，然后根据一个两位数等于它的个位数字的平方即可列出方程，解方程就可以解决问题．【详解】解：设这个两位数字的个位数字是x ，则十位数字是（x-3），根据题意得：10（x-3）+x=x 2原方程可化为：x 2-11x+30=0，∴x 1=5，x 2=6，当x=5时，x-3=2，两位数为25；当x=6时，x-3=3，两位数为36；答：这个两位数是25或36．故答案为：25或36．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．12．对于符号“∇”，我们作如下规定：221a b a b ∇=+-，如22454511625140∇=+-=+-=，因此，(1)(2)-∇-=________；若312x ∇=，则x =______.【答案】4 2±【分析】根据221a b a b ∇=+-可得22(1)(2)(1)(2)1-∇-=-+--，进而可得22331x x ∇=+-=12，再解方程即可；【详解】由题意得22(1)(2)(1)(2)14-∇-=-+--=；∵2233112x x ∇=+-=，∴29112x +-=.∴24x =，2x =±.故答案为：4；2±.【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确新定义计算公式，正确得到方程． 错因分析 中等题.失分的原因是：1.不能根据定义的式子，推导下面式子的运算；2.没有掌握解一元二次方程的方法.13．有三个连续的自然数，已知其中最大的一个数比另外两个数的积还大1，那么这个最大的数是___．【答案】3【解析】根据最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n ，根据题意可得等量关系：n 和n+1的积+1=n+2，根据等量关系列出方程，再解即可.解：最大的一个数为n+2，则另外两个数为n+1，n ，由题意得：n （n+1）+1=n+2，解得：n=±1， ∵自然数为非负数，∴n=1，n+1=2，n+2=3，最大的数是3.故答案为3.14．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x ，则方程可列为________．【答案】()()2210333x x x x ++=++【分析】如果设这个两位数的十位数字为x ，那么个位数字就应该是x 2+3，那么根据“这个两位数字等于其数字之和的3倍”可列出方程．【详解】设这个两位数的十位数字为x ，那么个位数字就应该是()23x +，依题意得()()2210333x x x x ++=++故答案为()()2210333x x x x ++=++.【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.三、解答题15．（1）解方程：2680x x -+=（2）一个两位数字，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，求这个两位数． 【答案】（1）2x =或4；（2）63【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）设个位数字为x ，则十位数字为(x +3)，根据这两个数字之积等于这个两位数的27列出一元二次方程，求解即可．【详解】解：（1）2680x x -+=，(2)(4)0x x --=，20x -=或40x -=，12x =，24x =；（2）设个位数字为x ，则十位数字为(x +3)，由题意得，()()231037x x x x +=++⎡⎤⎣⎦，即27600x x --=， 解得，13x =，2207x =-（不合题意，舍去）， ∴十位数字为x +3＝6，答：这个两位数为63．【点睛】本题考查解一元二次方程与一元二次方程的应用，熟练掌握因式分解法与正确理解题意是解题的关键，注意应用题中要检验一元二次方程的解是否符合题意．16．李先生乘出租车去某公司办事，下车时，打出的电子收费单为“里程11千米，应收29.10元”.该城市的出租车收费标准如下表所示，请求出起步价N(N 12)<．【答案】起步价是10元．【分析】根据收费标准,将11千米分段计费,列出方程即可.【详解】解：依题意，得()()2225N 6311629.10N N +-⨯+-⨯=， 整理，得2N 29.1N 1910-+=，解得1N 19.1=，2N 10=．由于N 12<，所以N 10=．答：起步价是10元．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,列方程是解题关键.17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个两位数．【答案】24【分析】设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x+2），根据十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为（x+2），根据题意得：3x （x+2）=10x+（x+2），整理得：3x 2-5x-2=0，解得：x 1=2，x 2=13-（不合题意，舍去），∴x+2=4，∴这个两位数为24．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．阅读探究有关个位数是5的整数的平方简便计算问题.观察下列算式：152=1×2×100＋25=225；252=2×3×100＋25=625；352=3×4×100＋25=1225……（1）请你写出952的简便计算过程及结果；（2） 其实这种方法也可以推广到个位数是5的三位数的平方，证明略.① 请你写出1152的简便计算过程及结果.② 用计算或说理的方式确定9852－8952的结果末两位数字是多少？（3）已知一个个位数是5的整数的平方是354025，请用方程的相关知识求这个数.【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②0；（3）595．【分析】（1）结果=十位数字×（十位数字+1）×100+25；（2）①结果=前两位数字×（前两位数字+1）×100+25；②末两位数字都是25，那么可得相减后的末两位数字；（3）可设未知数位上的数字为x，那么x（x+1）×100+25=354025，求得正整数x，进而加上最后一位上的5即可．【详解】解：（1）952=9×10×100+25=9025；（2）①1152=11×12×100+25=13225；②因为9852的末两位为25，而8952的末两位也为25，所以9852-8952的末两位数字都为零；（3）笼统地设未知数位上的数为x，由题意有x（x+1）×100+25=354025，x（x+1）×100=354000，x（x+1）=3540，左边为相邻两整数的积，把3540“分解”为两个相邻整数，即3540=59×60，故 x=59．所以这个三位数为595．【点睛】考查规律性的数字问题及一元二次方程的应用；得到末尾数字是5的数的平方的计算规律是解决本题的关键．。
