最新中考专题复习-二次函数与方程(组)或不等式

2023人教版数学中考复习考点专练——二次函数与不等式（组）的综合应用一、单选题1．如图，一次函数y1=mx＋n（m≠0）与二次函数y2=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象相交于两点A（－1，5）、B（9，3），请你根据图象写出使y1≥y2成立的x的取值范围( )A．－1≤x≤9B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9D．x≤－1或x≥92．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是（）A．x＜-1B．-1＜x＜3C．x＜-1或x＞3D．x＜-1或x＞43．一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为()A．-4<x<3B．x<-4C．3-<<x<-4D．x>3或x<-44．二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线x ＝-2，图象经过（1，0），下列结论中，正确的一项（ ) A ．0c >B ．240ac b ->C ．93a c b+>D ．5a b >5．根据二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3的图像，判断下列说法中，错误的是（ ）A ．二次函数图象的对称轴是直线x ＝1B ．当x ＞0时，y ＜4C ．当x≤1时，函数值y 是随着x 的增大而增大D ．当y≥0时，x 的取值范围是－1≤x≤3时6．如图，已知抛物线 2y ax c =+ 与直线 y kx m =+ 交于 1(3)A y -， ， 2(1)B y ，两点，则关于 x 的不等式 2ax c kx m +≥-+ 的解集是（ ）A ．3x ≤- 或 1x ≥B ．1x ≤- 或 3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤7．若二次函数y=ax 2+bx+c （a ＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是（ ） A ．x ＜﹣4或x ＞2 B ．﹣4≤x≤2 C ．x≤﹣4或x≥2D ．﹣4＜x ＜28．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴两交点的横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜0＜x 2，则当ax 2+bx+c≤0时，x 的取值范围是（ ）A ．x 1＜x ＜x 2B ．x 1≤x≤x 2C ．﹣x 1≤x≤x 2D ．x≤x 1或x≥x 29．小明从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab ＞0；②a+b+c ＜0；③b+2c ＞0；④a ﹣2b+4c ＞0；⑤32a b =．你认为其中正确信息的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如表.下列结论：①0ac <；②当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小③3是方程2(1)0ax b x c +-+=的一个根；④当13x -<<时，2(1)0ax b x c +-+>.其中正确的个数为（ ）二、填空题11．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴的两个交点分别是A （﹣1，0），B （2，0）．当y ＞0时，x 的取值范围是 ．12．已知点A ，B 的坐标分别为（1，0），（2，0）.若二次函数y=x 2+（a ﹣3）x+3的图象与线段AB 只有一个交点，则a 的取值范围是 .13．如图是二次函数 ()210y ax bx c a =++≠ 和一次函数 ()20y mx n m =+≠ 的图象，当 21y y > ， x 的取值范围是 .14．抛物线 ()26y a x k =-+ 经过点 ()0,2 ，当 9x = 时2.43y > ，当 18x =时 0y < ，则k 的取值范围是 .15．对任意实数 a ，若多项式 22253b ab a +﹣ 的值总大于 3﹣，则实数 b 的取值范围是 ．三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y=-23x 2+bx+c 的图象经过B 、C 两点．（1）求b ，c 的值．（2）结合函数的图象探索：当y ＞0时x 的取值范围．17．我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件． （1）求y 与x 的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价﹣成本）18．已知关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都在－1和0之间(不包含－1和0)，求a 的取值范围．19．已知二次函数y ＝x 2﹣2mx+1．记当x ＝c 时，函数值为y c ，那么，是否存在实数m ，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a ，b ，总有y a +y b ≥1．20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2-2x （a≠0）与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）当a=-1时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点P （3，0）作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ． ①当a=2时，求PB+PC 的值；②若点B 在直线l 左侧，且PB+PC≥14，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】D 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C11．【答案】x ＜﹣1或x ＞212．【答案】﹣1≤a ＜﹣ 12或a=3﹣2 13．【答案】-2＜x ＜1 14．【答案】83k >15．【答案】66b <<﹣16．【答案】（1）∵正方形OABC 的边长为2，∴B （2，2），C （0，2）， 把B （2，2），C （0，2）代入y=-x 2+bx+c 得，解得；（2）二次函数解析式为y=-x 2+x+2，当y=0时，-x 2+x+2=0，解得x 1=-1，x 2=3，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当-1＜x ＜3时，y ＞0．17．【答案】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y=kx+b （k≠0），把x=22，y=780，x=25，y=750代入y=kx+b 得2278025750k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得101000k b =-⎧⎨=⎩∴函数的关系式为y=﹣10x+1000； （2）设该工艺品每天获得的利润为w 元，则w=y （x ﹣20）=（﹣10x+1000）（x ﹣20）=﹣10（x ﹣60）2+16000； ∵﹣10＜0，∴当20＜x≤30时，w 随x 的增大而增大，所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大． 即w 最大=﹣10（30﹣60）2+16000=7000元；答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元．18．【答案】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2－3x －1=0有两个不相等的实数根∴△= ()()234a 10--⨯⨯-> ，解得，a ＞ 94-令y=ax 2－3x －1，则该二次函数的图象与y 轴交于(0，－1)∵方程ax 2－3x －1=0的两个实数根都在－1和0之间∴二次函数y=ax 2－3x －1与x 轴两交点的横坐标都在－1和0之间 ∴a ＜0，其大致图象如图所示： 当x=－1时，y=ax 2－3x －1=a ＋2＜0 解得，a ＜－2 综上可得： 94-＜a ＜－2． 19．【答案】解：设y 在0≤x≤1的最小值为M ，原问题等价于2M≥1，M≥12， 二次函数y ＝x 2﹣2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线， ①当对称轴x ＝m≤0时，由图象可知，x ＝0时，y 最小＝1，这时1≥12成立； ②当对称轴x ＝m ，0＜m ＜1时，由图象可知x ＝m 时，y 最小且y 最小＝1﹣m 2，有1﹣m 2≥12 ，m 2≤ 12 ，故有0＜m≤ 2； ③当对称轴x ＝m ，m≥1时，由图象可知，x ＝1时，y 最小且y 最小＝2﹣2m ，这时有2﹣2m≥12 ，m≤ 34与m≥1矛盾．综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是m≤2． 20．【答案】（1）解：当a=-1时，有y=-x 2-2x ．令y=0，得：-x 2-2x=0． 解得x 1=0，x 2=-2． ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （-2，0），B （0，0）（2）解：①当a=2时，有y=2x 2-2x ． 令y=0，得2x 2-2x=0． 解得x 1=0，x 2=1． ∵点A 在点B 的左侧， ∴A （0，0），B （1，0）． ∴PB=2．当x=3时，y C =2×9-2×3=12． ∴PC=12． ∴PB+PC=14．②点B 在直线l 左侧，如图所示：∵PB+PC≥14，∴3-x+ax2-2x≥14，可得：a≤- 59或a≥2.。

中考数学压轴题---《方程（组）+不等式（组）二次函数模型》例题讲解【典例3】（2021•遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）设T恤的销售单价提高x元，由题意列方程得：（x+40﹣30）（300﹣10x）＝3360，解得：x1＝2或x2＝18，∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，应舍去．∴T恤的销售单价应提高2元，答：T恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M元，由题意可得：M＝（x+40﹣30）（300﹣10x），＝﹣10x2+200x+3000，＝﹣10（x﹣10）2+4000，∴当x＝10时，M最大值＝4000元，∴销售单价：40+10＝50（元），答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元．【变式3-1】（2023•蜀山区校级一模）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．（1）该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到96600元？（2）该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？【解答】解：（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到96600元，由题意得x[480﹣2（x﹣200）]＝96600，解得x2﹣440x+48300＝0，解得x＝230或x＝210，∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到96600元；（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，由题意得W＝m[480﹣2（m﹣200）]＝﹣2m2+880m＝﹣2（m﹣220）2+96800，∵﹣2＜0，∴当m＝220时，W最大，最大为96800，∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是96800元．【变式3-2】某文具店最近有A，B两款纪念册比较畅销．该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需156元，购进A款纪念册3本和B款纪念册5本共需130元．在销售中发现：A款纪念册售价为32元/本时，每天的销售量为40本，每降低1元可多售出2本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：（1）求A，B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本A款纪念册的利润，同时提高每本B款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设A款纪念册每本降价m元；①直接写出B款纪念册每天的销售量（用含m的代数式表示）；②当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？【解答】解：（1）设A款纪念册每本的进价为a元，B款纪念册每本的进价为b元，根据题意得：，解得，答：A款纪念册每本的进价为20元，B款纪念册每本的进价为14元；（2）①根据题意，A款纪念册每本降价m元，可多售出2m本A款纪念册，∵两款纪念册每天销售总数不变，∴B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本；②设B款纪念册每天的销售量与售价之间满足的一次函数关系是y＝kx+b'，根据表格可得：，解得，∴y＝﹣2x+124，当y＝80﹣2m时，x＝22+m，即B款纪念册每天的销售量为（80﹣2m）本时，每本售价是（22+m）元，设该店每天所获利润是w元，由已知可得w＝（32﹣m﹣20）（40+2m）+（22+m﹣14）（80﹣2m）＝﹣4m2+48m+1120＝﹣4（m﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴m＝6时，w取最大值，最大值为1264元，此时A款纪念册售价为32﹣m＝32﹣6＝26（元），答：当A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264元．【变式3-3】（2022秋•中原区校级期中）党的“二十大”期间，某网店直接从工厂购进A、B两款纪念“二十大”的钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润＝销售价﹣进货价）（1）网店第一次用8500元购进A、B两款钥匙扣共300件，求两款钥匙扣分别购进的件数；（2）第一次购进的两款钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款钥匙扣共800件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于22000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？（3）“二十大”临近结束时，B款钥匙扣还有大量剩余，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？【解答】解：（1）设购进A款钥匙扣x件，B款钥匙扣y件，根据题意得：，解得：．答：购进A款钥匙扣200件，B款钥匙扣100件．（2）设购进m件A款钥匙扣，则购进（800﹣m）件B款钥匙扣，根据题意得：30m+25（800﹣m）≤22000，解得：m≤400．设再次购进的A、B两款钥匙扣全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（45﹣30）m+（37﹣25）（800﹣m）＝3m+9600．∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝400时，w取得最大值，最大值＝3×400+9600＝10800，此时800﹣m＝800﹣400＝400．答：当购进400件A款钥匙扣，400件B款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是10800元．（3）设B款钥匙扣的售价定为a元，则每件的销售利润为（a﹣25）元，平均每天可售出4+2（37﹣a）＝（78﹣2a）件，根据题意得：（a﹣25）（78﹣2a）＝90，整理得：a2﹣64a+1020＝0，解得：a1＝30，a2＝34．又∵要尽快减少库存，∴a＝30．答：B款钥匙扣的售价应定为30元．【变式3-4】（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，且x为正整数∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．又∵x为整数，∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，∵1≤m≤6，∴2＜m≤6。

中考数学专题复习二次函数试题（无答案）二次函数专题考点一：二次函数的解析式及其求解一般的，形如),0(2是常数、、c b a a c bx ax y ≠++=的函数叫做二次函数，其中，x 是自变量，c b a 、、分别为二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2。

已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.（4）对称点式：已知图像上有两个关于y 轴对称的点()()k x k x ,,,21，那么函数的方程可以选用对称点式()()k x x x x a y +--=21，代入已知的另外的点就可以求出函数的方程来了。

例题1：根据题意，求解二次函数的解析式。

（1）求过点A(1,0)，B(2,3)，C(3,1)的抛物线的方程（2）已知抛物线与x 轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式．（3）已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

（4）已知二次方程32=++c bx ax 的两个根是-1和2，而且函数c bx ax y ++=2过点（3,4），求函数c bx ax y ++=2的解析式。

（5）已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.（6）已知二次函数当x ＝2时有最大值3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

变式1：（1）、已知二次函数的图像经过点A(2,1),B(3,4),且与y 轴交点为（0，7），则求函数的解析式（2）已知过点（2，0），（3，5）的抛物线c bx ax y ++=2与直线33+=x y 相交与x 轴上，求二次函数的解析式（3）已知二次函数c bx ax y ++=2，其顶点为（2,2)，图象在x 轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

专题16 二次函数与不等式（组）（基础）1．如图，直线y ＝x +m 和抛物线y ＝x 2+bx +c 都经过点A （1，0），B ，且当x ＝4时，二次函数的值为6．（1）求m 的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集．【分析】（1）直接把点A （1，0）代入直线y ＝x +m 即可得出m 的值；再把点A （1，0）与当x ＝4时，y ＝6代入抛物线y ＝x 2+bx +c 即可得出b 、c 的值，进而得出抛物线的解析式；（2）根据（1）中m 、b 、c 的值即可得出一次函数与二次函数的解析式，故可得出B 点坐标，根据函数的图象即可得出结论．【解答】解：（1）∵直线y ＝x +m 和经过点A （1，0），∴1+m ＝0，解得m ＝﹣1；∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （1，0），且当x ＝4时，二次函数的值为6，∴{1+b +c =016+4b +c =6，解得{b =−3c =2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +2；（2）∵由（1）知m ＝﹣1，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +2，∴直线的解析式为y ＝x ﹣1，∴{y =x −1y =x 2−3x +2，解得{x =3y =2或{x =1y =0， ∴B （3，2）．∵由函数图象可知，当x ＜1或x ＞3时，二次函数的值大于一次函数的值，∴不等式x 2+bx +c ＞x +m 的解集为x ＜1或x ＞3．【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．2．已知二次函数y 1＝x 2+mx +n 的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求m ，n 的值；（2）如图，一次函数y 2＝x +b 的图象经过点P ，与二次函数的图象相交于另一点B ，请求出点B 的坐标，并观察图象直接写出y 1≥y 2的x 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，从而得到m 、n 的值；（2）先把P 点坐标代入y ＝x +b 中求出b 得到一次函数解析式为y ＝x +4，再解方程组{y =x 2+2x −2y =x +4得B 点坐标，然后利用函数图象，写出抛物线不在一次函数图象下方所对应的自变量的范围．【解答】解：（1）根据题意得{9−3m +n =1−m 2=−1，解得{m =2n =−2， 抛物线解析式为y ＝x 2+2x ﹣2；（2）把P （﹣3，1）代入y ＝x +b 得﹣3+b ＝1，解得b ＝4，∴一次函数解析式为y ＝x +4，解方程组{y =x 2+2x −2y =x +4得{x =−3y =1或{x =2y =6， ∴B 点坐标为（2，6），当x ≤﹣3或x ≥2时，y 1≥y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，可利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，﹣1）和C （4，5）三点（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出不等式ax 2+bx +c ＜x +1的解集．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）先解方程12x 2−12x ﹣1＝x +1得抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝x +1的交点的横坐标分别为﹣1，4；如图，然后写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）根据题意得{4a +2b +c =0c =−116a +4b +c =5，解得{ a =12b =−12c =−1， 所以抛物线解析式为y =12x 2−12x ﹣1；（2）解方程12x 2−12x ﹣1＝x +1得x 1＝﹣1，x 2＝4， 即抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝x +1的交点的横坐标分别为﹣1，4；如图，所以当﹣1＜x ＜4时，ax 2+bx +c ＜x +1，即不等式ax 2+bx +c ＜x +1的解集为﹣1＜x ＜4．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．4．如图，抛物线y 1＝﹣x 2+2x +3与直线y 2＝4x 交于A ，B 两点．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）当x 取何值时，y 1＞y 2？【分析】（1）联立两函数解析式求解即可；（2）根据函数图象写出抛物线直线上方部分的x 的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意可得：{y 1=−x 2+2x +3y 2=4x， 解得：{x 1=1y 1=4，{x 2=−3y 2=−12， 所以A 点的坐标是（1，4），B 点的坐标是（﹣3，﹣12）；（2）由图可知，﹣3＜x ＜1时，y 1＞y 2．【点评】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标的方法，利用函数图象求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是更简便．5．如图，已知直线y 1=−12x +2与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交x 轴于点C （﹣1，0）．（1）求A 、B 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）并指出当y 2＞y 1时，x 的取值范围．【分析】（1）利用一次函数的解析式确定A 、B 的坐标；（2）利用待定系数法求抛物线解析式；（3）写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围．【解答】解：（1）当x ＝0时，y =−12x +2＝2，则B （0，2）；当y ＝0时，−12x +2＝0，解得x ＝4，则A （4，0）；（2）设抛物线解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），把B （0，2）代入得a （0+1）（0﹣4）＝2，解得a =−12，所以抛物线解析式为y =−12（x +1）（x ﹣4），即y =−12x 2+32x +2；（3）当y 2＞y 1时，x 的取值范围为0＜x ＜4．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x 轴的交点问题和二次函数的性质．6．已知抛物线y 1＝x 2与直线y 2=−12x +3相交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）点O 为坐标原点，△AOB 的面积等于 214； （3）当y 1＜y 2时，x 的取值范围是 ﹣2＜x ＜32 ．【分析】（1）通过解方程组{y =x 2y =−12x +3得A 点和B 点坐标； （2）先求出直线y =−12x +3与y 轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）写出一次函数图象在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）解方程组{y =x 2y =−12x +3得{x =−2y =4或{x =32y =94， 所以A 点坐标为（﹣2，4），B （32，94）； （2）当x ＝0时，y =−12x +3＝3，则直线y =−12x +3与y 轴的交点坐标为（0，3），所以，△AOB 的面积=12×3×（32+2）=214； （3）当﹣2＜x ＜32时，y 1＜y 2．故答案为214；﹣2＜x ＜32． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．7．如图，A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点在一次函数y 1＝﹣x +m 与二次函数y 2＝ax 2+bx ﹣3的图象上．（1）求m 的值和二次函数的解析式，（2）请直接写出使y 1≤y 2时自变量x 的取值范围．【分析】（1）因为点A （﹣1，0）、B （2，﹣3）都在一次函数和二次函数图象上，一次函数只有一个待定系数m ，所以将A （﹣1，0）、B （2，﹣3）中任意一点的坐标代入y 2＝﹣x +m 即可；二次函数y 1＝ax 2+bx ﹣3有两个待定系数a 、b ，所以需要A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点的坐标都代入y 1＝ax 2+bx ﹣3，用二元一次方程组解出a 、b 的值．（2）直接观察图象中同一个横坐标对应的y 1、y 2的值，直接得到答案．【解答】解：（1）把A （﹣1，0）代入y 2＝﹣x +m 得：0＝﹣（﹣1）+m ，∴m ＝﹣1．把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点代入y 1＝ax 2+bx ﹣3得：{a −b −3=04a +2b −3=−3， 解得：{a =1b =−2， ∴y 2＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y 1＝x 2﹣2x ﹣3＝（x +1）（x ﹣3），抛物线开口向上，∵A （﹣1，0），B （2，﹣3）∴当y 1≤y 2时，x ≤﹣1或x ≥2．【点评】此题考查了二次函数与不等式（组），熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法是解题的关键．8．如图，A （﹣1，0）、B （2，﹣3）两点在一次函数y 2＝﹣x +m 与二次函数y 1＝ax 2+bx ﹣3的图象上（1）求一次函数和二次函数的解析式；（2）请直接写出y 2＞y 1时，自变量x 的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数和抛物线解析式；（2）利用函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）把A （﹣1，0）代入y ＝﹣x +m 得1+m ＝0，解得m ＝﹣1，∴一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；把A （﹣1，0）、B （2，﹣3）代入y ＝ax 2+bx ﹣3得{a −b −3=04a +2b −3=−3，解得{a =1b =−2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当﹣1＜x＜2时，y2＞y1．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围或利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．9．已知二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2，其中a是常数．（1）求证：不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）若抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2的图象如图所示，请直接写出不等式x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＜0的解集；（3）在（2）的条件下，若关于x的方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，求k的值．【分析】（1）计算判别式得到△＝（a﹣3）2，则根据非负数的性质可判断△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用对称轴方程得到a＝4，则抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，再解方程x2﹣3x+2＝0得抛物线与x 轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围得到不等式x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＜0的解集；（3）方程整理为x2﹣3x+2﹣k＝0，然后利用判别式的意义得到△＝32﹣4（2﹣k）＝0，然后解关于k 的方程即可．【解答】（1）证明：△＝（a﹣1）2﹣4（a﹣2）＝a2﹣2a+1﹣4a+8＝（a﹣3）2，∵（a﹣3）2≥0，即△≥0，∴不论a为何值，抛物线y＝x2﹣（a﹣1）x+a﹣2与x轴一定有交点；（2）解：∵x=−−(a−1)2=32，∴a＝4，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x+2，当y＝0时，x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0），当1＜x＜2时，y＜0，即不等式x2﹣（a﹣l）x+a﹣2＜0的解集为1＜x＜2；（3）解：x2﹣3x+2＝k，即x2﹣3x+2﹣k＝0，∵方程x2﹣（a﹣1）x+a﹣2＝k恰有两个相等的实数根，∴△＝32﹣4（2﹣k）＝0，解得k=−1 4．【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了判别式的意义．10．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n交于A（0，1），B（3，0）．（1）当x＝0或3时，y1＝y2；（2）当0＜x＜3时，y1＞y2；（3）当x＜0或x＞3时，ax2+bx+c＜mx+n．【分析】（1）x取抛物线与直线的交点的横坐标即可；（2）利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可；（3）利用函数图象，写出直线在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）当x＝0或x＝3时，y1＝y2；（2）当0＜x＜3时，y1＞y2；（3）当x＜0或x＞3时，ax2+bx+c＜mx+n．故答案为0或3；0＜x＜3；x＜0或x＞3．【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．11．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＞mx+n的x的取值范围．【分析】（1）根据二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），可以求得二次函数的解析式，再根据点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数y ＝mx +n 的图象经过A ，C 两点，从而可以求得一次函数的解析式；（2）根据函数图象可以直接写出满足不等式x 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A （1，0），B （0，3），∴{1+b +c =0c =3，得{b =−4c =3， ∴y ＝x 2﹣4x +3＝（x ﹣2）2﹣1，∴二次函数的对称轴为直线x ＝2，∵B （0，3），点C 与点B 关于该二次函数图象的对称轴对称，∴点C （4，3），设∵一次函数y ＝mx +n 的图象经过A ，C 两点，∴{m +n =04m +n =3，得{m =1n =−1， ∴一次函数y ＝x ﹣1，即二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +3，一次函数的解析式为y ＝x ﹣1；（2）由图象可知，不等式x 2+bx +c ＞mx +n 的x 的取值范围：x ＜1或x ＞4．【点评】本题考查二次函数与不等式组、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．12．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝x +3分别交于x 轴和y 轴的同一点A 和C ，且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．（1）求抛物线与x 轴的两个交点A 和B 的坐标；（2）试确定抛物线的解析式；（3）观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据已知得出点A 、C 的坐标，再利用点A 与点B 关于直线x ＝﹣2对称，即可求出B 点坐标；（2）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得出答案；（3）由图象观察可知，二次函数值小于一次函数值时，得出x 的取值范围．【解答】解：（1）y ＝x +3中，当y ＝0时，x ＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，0），当x ＝0时，y ＝3，∴点C 坐标为（0，3），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2，∴点A 与点B 关于直线x ＝﹣2对称，∴点B 的坐标是（﹣1，0）；（2）设二次函数的解析式为y ＝ax 2+bx +c ，∵二次函数的图象经过点C （0，3）和点A （﹣3，0），且对称轴是直线x ＝﹣2，∴可列得方程组：{c =39a −3b +c =0−b 2a =−2， 解得：{a =1b =4c =3，∴二次函数的解析式为y ＝x 2+4x +3；（3）由图象观察可知，当﹣3＜x ＜0时，二次函数值小于一次函数值．【点评】此题主要考查了一次函数与交点坐标求法以及待定系数法求二次函数解析式和结合图象比较函数大小关系等知识，利用函数图象比较函数的大小关系是难点，同学们应重点掌握．13．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣1的图象经过点D （﹣1，0）和点C （4，5）．（1）求二次函数的解析式；（2）在同一坐标系中直接画出直线y ＝x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得二次函数的解析式；（2）直线y ＝x +1经过点D （﹣1，0）和点C （4，5），再根据图象直接得出答案．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣1的图象经过点D （﹣1，0）和点C （4，5）．∴{a −b −1=016a +4b −1=5，解得{a =12b =−12， ∴二次函数的解析式为y =12x 2−12x ﹣1；（2）∵直线y ＝x +1经过点点D （﹣1，0）和点C （4，5）．∴当一次函数的值大于二次函数的值时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜4．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为A，抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C（﹣1，0）和D两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）结合图象填空：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝0，x2＝2；②不等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．【分析】（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4），故设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，．代入点（0，3）即可求得a的值；（2）根据抛物线的对称性求得点（0，3），（﹣1，0）的对称点，然后根据图象即可求得．【解答】解：（1）由图象可知抛物线顶点为（1，4），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+4，∵抛物线与y轴交于点B（0，3），∴3＝a+4，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）①∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴（0，3）的对称点是（2，3），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3的解是x1＝0，x2＝2；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴（﹣1，0）的对称点是（3，0），∴等式ax2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞3，故答案为x＜﹣1或x＞3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与方程、二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．15．如图，二次函数y1=−25x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D ．（1）求二次函数的解析式y 1和一次函数的解析式y 2；（2）求点D 的坐标；（3）结合图象，请直接写出y 1≤y 2时，x 的取值范围： x ≤0或x ≥132 ．【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；（2）解析式联立，解方程组即可求得交点D 的坐标，（3）根据交点坐标，结合图象即可求得．【解答】解：（1）将点A （﹣1，0）和点B （0，2）代入y 1=−25x 2+bx +c ，得：{c =2−25−b +c =0， 解得：{b =85c =2， ∴二次函数的解析式为y 1=−25x 2+85x +2．∵二次函数的对称轴为直线x =−852×(−25)=2，∴C （2，0），∵一次函数y 2＝mx +n 的图象经过点B 、C ，∴{n =22m +n =0，解得{m =−1n =2， ∴一次函数的解析式为y 2＝﹣x +2；（2）解{y =−25x 2+85x +2y =−x +2得{x =0y =2或{x =132y =−92， ∴点D 为（132，−92）； （3）由图象可知，当x ≤0或x ≥132时，有y 1≤y 2．故答案为x ≤0或x ≥132．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．16．如图，二次函数y ＝（x +2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且点B 与点C 关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上点A （﹣1，0）及点B ．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围．【分析】（1）先利用待定系数法求出m，即可求得抛物线的解析式；（2）先求得C的坐标，然后根据对称性求出点B坐标，即可根据二次函数的图象在一次函数的图象下面即可写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴0＝1+m，∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣1；（2）令x＝0，则y＝（x+2）2﹣1＝3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴为直线x＝﹣2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（﹣4，3），由图象可知，满足kx+b≥（x+2）2+m的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定二次函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．17．如图，抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点．（1）分别求c，b的值．（2）求y1﹣y2的最大值．（3）求点A的坐标，并根据图象判断，当x取何值时，y1＞y2？【分析】（1）根据抛物线y1＝﹣x2﹣x+c与直线y2=12x+b交于A，B（1，0）两点，可以求得b、c的值；（2）根据（1）中b、c的值，可以写出y1和y2的解析式，然后作差，根据二次函数的性质，即可得到y1﹣y2的最大值；（3）将y1和y2的解析式联立方程组，求出x、y的值，即可得到点A的坐标，然后根据图象，可以写出当x取何值时，y1＞y2．【解答】解：（1）∵抛物线y 1＝﹣x 2﹣x +c 与直线y 2=12x +b 交于A ，B （1，0）两点，∴0＝﹣1﹣1+c ，0=12×1+b ， 解得，b =−12，c ＝2；（2）∵b =−12，c ＝2，∴抛物线y 1＝﹣x 2﹣x +2，直线y 2=12x −12，∴y 1﹣y 2＝（﹣x 2﹣x +2）﹣（12x −12） ＝﹣x 2−32x +52＝﹣（x +34）2+4916，即当x =−34时，y 1﹣y 2取得最大值4916， 即y 1﹣y 2的最大值是4916；（3）{y =−x 2−x +2y =12x −12， 解得，{x =−52y =−74或{x =1y =0， ∴点A 的坐标为（−52，−74），由图象可得，当−52＜x ＜1时，y 1＞y 2．【点评】本题考查二次函数与不等式组、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．如图，二次函数y ＝（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx +b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求B 点坐标与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx +b ≥（x ﹣2）2+m 的x 的取值范围．（3）求线段AB 的长度．【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，即可求得抛物线解析式，进而求得C的坐标，根据对称性求出点B坐标．（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象下面即可写出自变量x的取值范围；（3）利用勾股定理即可求得．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣2）2+m经过点A（1，0），∴0＝1+m，∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，∴点C坐标（0，3），∵对称轴为直线x＝2，B、C关于对称轴对称，∴点B坐标（4，3）；（2）由图象可知，满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围为1≤x≤4．（3）∵A（1，0），B（4，3），∴AB=√(4−1)2+(3−0)2=3√2．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出方程ax2+bx+c＜0时x的取值范围；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【分析】（1）根据图象可知x＝1和3是方程的两根；（2）找出函数值小于0时x的取值范围即可；（3）首先找出对称轴，然后根据图象写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，据此求出k的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，则方程ax2+bx+c＝0的两个根为1和3；（2）由图象可知当x＜1或x＞3时，不等式ax2+bx+c＜0；（3）由图象可知，y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x＝2，开口向下，即当x＞2时，y随x的增大而减小；（4）由图象可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则k必须小于y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值，则k＜2．【点评】本题主要考查了二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及图象的特点，此题难度不大．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y＝x+k（k≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c﹣x﹣k＜0的解集；（3）写出二次函数值y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；（4）若方程ax2+bx+c＝m有两个不等的实数根，求m的取值范围；【分析】观察函数图象即可求解．【解答】解：（1）从图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根为x＝﹣3或﹣1；（2）从图象看，﹣3＜x＜﹣0.5时，ax2+bx+c＜x+k，即ax2+bx+c﹣x﹣k＜0；（3）从图象看x＜﹣2时，y随x的增大而减小；（4）设y＝m，当m＞﹣2时，y＝m与y＝ax2+bx+c有两个交点，故m＞﹣2．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。

二次函数一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x23．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝24．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．35．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3 7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1 9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．310．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为元时, 该文具每天的销售利润最大．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．2023年中考数学专题复习--二次函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1, 2）B．（1, 2）C．（2, ﹣1）D．（2, 1）【分析】直接根据二次函数的顶点式可得出结论．【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2+2,∴其顶点坐标为（1, 2）．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数的性质, 熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．2．下列抛物线中, 在开口向下的抛物线中开口最大的是（）A．y＝x2B．C．D．y＝﹣3x2【分析】根据二次函数的性质, 开口向下, 二次项系数小于0, 二次项系数的绝对值越小, 开口越大解答．【解答】解：∵抛物线开口向下,∴二次项系数小于0,∵|﹣|＜|﹣3|,∴y＝﹣x2的开口更大．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质, 熟记二次项系数与二次函数的开口方向和开口大小的关系是解题的关键．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：对称轴为（）x﹣10123y51﹣1﹣11 A．y轴B．直线x＝C．直线x＝D．直线x＝2【分析】由于x＝1和2时的函数值相等, 然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵x＝1和2时的函数值都是﹣1,∴对称轴为直线x＝＝．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质, 主要利用了对称性, 掌握对称轴的求解方法是解题的关键．4．抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 那么a的值等于（）A．0B．1C．﹣1D．3【分析】根据抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点, 可以得到0＝﹣a﹣1, 然后求出a的值即可．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+（a﹣2）x﹣a﹣1经过原点,∴0＝﹣a﹣1,解得a＝﹣1,故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质解答．5．抛物线y＝﹣2（x+3）2+4的顶点坐标是（）A．（﹣3, 4）B．（3, 4）C．（﹣3, ﹣4）D．（3, ﹣4）【分析】根据二次函数的顶点式, 可以直接写出顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝﹣2（x+3）2+4,∴该函数的顶点坐标为（﹣3, 4）,故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质, 解答本题的关键是明确题意, 由顶点式可以写出顶点坐标．6．将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x+2）2﹣3C．y＝（x﹣2）2+3D．y＝（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位, 再向下平移3个单位, 得到的函数图象的表达式是：y＝（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1可由抛物线y＝﹣2x2平移得到, 则平移的方式是（）A．向右平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度B．向左平移1个单位长度, 再向上平移1个单位长度C．向右平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度, 再向下平移1个单位长度【分析】原抛物线顶点坐标为（0, 0）, 平移后抛物线顶点坐标为（1, ﹣1）, 由此确定平移的步骤．【解答】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2﹣1,∴该抛物线的顶点坐标是（1, ﹣1）,∵抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0, 0）,∴平移的方法可以是：将抛物线y＝2x2向右平移1个单位, 再向下平移1个单位．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移, 寻找平移方法．8．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2+2B．y＝（x+1）2+3C．y＝（x+1）2+1D．y＝（x﹣3）2+1【分析】直接根据“上加下减, 左加右减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移1个单位长度, 再向左平移2个单位长度后, 得到的抛物线表达式是y＝（x﹣1+2）2+2﹣1, 即y＝（x+1）2+1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．9．若函数是二次函数, 则m的值是（）A．2B．﹣1或3C．﹣1D．3【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：由题意得：m2﹣2m﹣1＝2, 且m2+m≠0,解得：m＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的定义, 正确把握定义是解题关键．10．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）的图象上有A（, y1）、B（, y2）两个点, 则（）A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定【分析】A、B的坐标两个点的横坐标离对称轴的距离, 二次函数图象上点的横坐标离对称轴越近, 对应的纵坐标越小；判断出y1、y2的大小关系．【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k（a＞0）∴抛物线开口向上, 对称轴为x＝1, 开口向上．∵点A横坐标到对称轴的距离是|﹣1|＝,点B到横坐标对称轴的距离是|1|,∴y1＞y2．故选：B．【点评】本题考查判断函数值大小, 正确掌握二次函数图象的性质是解题关键．二．填空题（共5小题）11．某商场要经营一种新上市的文具, 进价为20元, 试营销阶段发现：当销售单价是25元时, 每天的销售量为250件, 销售单价每上涨1元, 每天的销售量就减少10件, 当销售单价为35元时, 该文具每天的销售利润最大．【分析】设该文具定价为x元, 每天的利润为y元, 根据每天利润＝单件利润×销售量列出函数解析式, 用函数的性质求最值．【解答】解：设该文具定价为x元, 每天的利润为y元,根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250,∵﹣10＜0,∴当x＝35时, y最大, 最大值为2250,故答案为：35．【点评】本题考查二次函数的实际应用, 关键是找到等量关系列出函数解析式．12．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点, 则m的值为1．【分析】将原点坐标代入解析式求出m的值, 再由m+1≠0求解．【解答】解：将（0, 0）代入y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1得0＝m2﹣1,解得m＝1或m＝﹣1,∵m+1≠0,∴m≠﹣1, m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的性质, 解题关键是掌握二次函数与方程的关系．13．将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2+1．【分析】根据“左加右减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2+1向右平移2个单位长度后所得的抛物线的函数表达式为y ＝（x﹣2）2+1,故答案为：y＝（x﹣2）2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换, 熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．抛物线y＝x2+mx+4的图象与y轴的交点坐标是（0, 4）．【分析】根据题意得出x＝0, 然后求出y的值, 即可以得到与y轴的交点坐标．【解答】解：令x＝0, 得y＝4,故与y轴的交点坐标是：（0, 4）．故答案为：（0, 4）．【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识, 正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键, 此题难度不大．15．某二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线y2＝kx+m（k≠0）相交于点M、N, 则当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．【分析】根据抛物线与直线交点坐标, 结合图象求解．【解答】解：∵抛物线与直线交点坐标为M（﹣1, 4）, N（2, 1）,∴x＜﹣1或x＞2时, 抛物线在直线上方,∴当y1＞y2时, 自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故答案为：x＜﹣1或x＞2．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系, 解题关键是结合图象求解．三．解答题（共6小题）16．如图, 用一段长为28m的篱笆围出一个一边靠墙的矩形菜园, 墙长为18m．设矩形的一边长为xm, 面积为ym2．（1）求y与x的函数关系式；（2）写出此二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项；（3）写出二次函数图象的对称轴．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出函数解析式即可；（2）由函数解析式可得结论；（3）由函数解析式可得结论．【解答】解：（1）依题意得, 矩形的另一边长为m,则y＝x×＝﹣x2+14x,自变量x的取值范围是0＜x≤18,∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+14x（0＜x≤18）；（2）由（1）中解析式知, 二次项系数为, 一次项系数为14, 常数项为0；（3）对称轴为直线x＝﹣＝14．【点评】本题考查二次函数的应用, 关键是列出函数解析式．17．在平面直角坐标系xOy中, 二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）．求此二次函数的解析式及函数图象的对称轴．【分析】把A、B的坐标代入y＝x2+mx+n, 根据待定系数法即可求得一般式, 化成顶点式即可求得顶点坐标．【解答】解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点A（0, 1）, B（3, 4）；∴,解得：,∴y＝x2﹣2x+1,∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2,∴函数图象的对称轴为直线x＝1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式, 二次函数图象上点的坐标特征, 熟知待定系数法是解题的关键．18．学校附近顺天府超市销售一种进价为10元/双的手套, 经调查发现, 该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x（元）满足w＝﹣2x+40（10＜x＜20）, 设销售这种手套每天的利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数, 利用二次函数的性质, 可以求出最大利润以及销售单价．【解答】解：（1）y＝w（x﹣10）＝（﹣2x+40）（x﹣10）＝﹣2x2+60x﹣400；（2）y＝﹣2（x﹣15）2+50,∵10＜x＜20, a＝﹣2＜0,∴当x＝15时, y最大值＝50．答：当销售单价定为每双15元时, 每天的利润最大, 最大利润为50元．【点评】本题考查的是二次函数的应用, 解题的关键是（1）根据题意得到二次函数；（2）利用二次函数的性质求出最大值．19．已知二次函数顶点是（2, 3）且经过（0, 1）, 求此二次函数的解析式．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标, 则可设顶点式y＝a（x﹣2）2+3, 然后把（0, 1）代入求出a的值即可．【解答】解：设二次函数的解析式是y＝a（x﹣2）2+3,把（0, 1）代入, 得4a+3＝1, 即a＝﹣,∴该二次函数的解析式是y＝﹣（x﹣2）2+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地, 当已知抛物线上三点时, 常选择一般式, 用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时, 常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解．20．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙（墙长18m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的AB边长为xm, 绿化带的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时, 满足条件的绿化带的面积最大？【分析】（1）依题意易求得y与x的函数关系式以及x的取值范围．（2）根据函数的性质以及x的取值范围求最大值．【解答】解：（1）由题意得：x2+20x,自变量x的取值范围是0＜x≤18；∴y与x之间的函数关系式是y＝﹣x2+20x（0＜x≤18）；（2）y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣20）2+200,∵﹣＜0, 0＜x≤18,∴当x＝18时, y有最大值, 最大值为192,即当x＝18时, 满足条件的绿化带面积最大．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用．求二次函数的最大（小）值有三种方法, 第一种可由图象直接得出, 第二种是配方法, 第三种是公式法, 常用的是后两种方法．21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3, 0）, 与x轴的另一个交点为C．与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．（1）求抛物线的解析式及点B, C的坐标；（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；（3）在第一象限内的该抛物线有一点D, 且S△ABD＝S△ABC, 求点D的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得解析式, 令x＝0, 求得y的值, 即可求得B的坐标, 求得对称轴, 根据抛物线的对称性即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法即可求得直线AB的解析式, 把x＝1代入求得的直线解析式即可求得P的坐标；（3）过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E, 表示出DE, 然后根据三角形面积公式得到关于x的方程, 解方程求得x的值, 进而求得D的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3, 0）,∴﹣9+6+m＝0, 解得m＝3,∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3,令x＝0, 则y＝3,∴B（0, 3）,∵对称轴为直线x＝﹣＝1,∴点A（3, 0）关于对称轴的对称点为（﹣1, 0）, ∴C（﹣1, 0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b,把A（3, 0）, B（0, 3）代入得,解得,∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3,把x＝1代入y＝﹣x+3得, y＝2,∴P的坐标为（1, 2）；（3）∵抛物线有一点D（x．y）,∴D（x, ﹣x2+2x+3）,过D点作DE⊥x轴, 交直线AB与E,∴E（x, ﹣x+3）,∵A（3, 0）, B（0, 3）, C（﹣1, 0）,∴S△ABC＝×（3+1）×3＝6,∴S△ABD＝S△ABC＝3,∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE,∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝3,解得x1＝1, x2＝2,∴D（1, 4）或（2, 3）．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式, 函数图象上点的坐标特征, 二次函数的性质, 三角形的面积, 表示交点的坐标是解题的关键．。

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考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式 解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围． 解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式 已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集． 解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析 由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0， 又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析 由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________． 答案 {2}解析 原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________． 答案 {x |－4<x <1}解析 易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________． 答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集． 解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}． 由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0， 解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0， 若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)， 又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________． 答案 2≤a <3解析 若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0， 解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二 原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8， 整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解， 等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解． 由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立， 所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析 不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0， 即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0， 解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2， 故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析 解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0， 等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析 由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析 设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析 由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%， 解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析 根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )． 解 原不等式可化为x －a x ＋1<0， 即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1， 即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1， 解得0<x <13， 所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析 原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0， 可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ， 故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案 乙车解析 由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。

中考函数专题复习一. 本周教学内容： 函数专题复习 （一）一次函数1. 定义：在定义中应注意的问题y ＝kx ＋b 中，k 、b 为常数，且k ≠0，x 的指数一定为1。

2. 图象及其性质 （1）形状、直线（）时，随的增大而增大，直线一定过一、三象限时，随的增大而减小，直线一定过二、四象限200k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（）若直线：：3111222l y k x b l y k x b =+=+当时，；当时，与交于，点。

k k l l b b b l l b 121212120===//()（4）当b>0时直线与y 轴交于原点上方；当b<0时，直线与y 轴交于原点的下方。

（5）当b=0时，y ＝kx （k ≠0）为正比例函数，其图象是一过原点的直线。

（6）二元一次方程组与一次函数的关系：两一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。

3. 应用：要点是（1）会通过图象得信息；（2）能根据题目中所给的信息写出表达式。

（二）反比例函数 1. 定义：应注意的问题：中（）是不为的常数；（）的指数一定为“”y kxk x =-1021 2. 图象及其性质： （1）形状：双曲线（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线和212()()y x y x ==-⎧⎨⎪⎩⎪ （）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内随的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内随的增大而增大300k y x k y x ><⎧⎨⎪⎩⎪（4）过图象上任一点作x 轴与y 轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

3. 应用（）应用在上（）应用在上（）其它其要点是会进行“数形结合”来解决问题123P FS u S t==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪（三）二次函数1. 定义：应注意的问题（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）（2）二次项指数一定为22. 图象：抛物线3. 图象的性质：分五种情况可用表格来说明4. 应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它【例题分析】例1. 已知一次函数y＝kx＋2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若ΔAOB的面积为2，求此一次函数的表达式。