最新中考专题复习——方程与不等式(最全面的考点)

初中数学方程与不等式知识点总结方程和不等式是初中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和数学运算中都有着广泛的应用。

接下来，让我们一起系统地梳理一下这部分的知识点。

一、方程（一）一元一次方程1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。

一般形式为：＄ax ＋ b ＝ 0$（＄a ＼neq 0$，＄a$，＄b$为常数）。

2、解法：（1）移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边。

（2）合并同类项：将同类项进行合并，化简方程。

（3）系数化为 1：方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。

例如：解方程$3x ＋ 5 ＝ 14$移项得：＄3x ＝ 14 5$合并同类项得：＄3x ＝ 9$系数化为 1 得：＄x ＝ 3$（二）二元一次方程组1、定义：由两个含有两个未知数，且未知数的次数都是 1 的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

2、解法：（1）代入消元法：将一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。

例如：解方程组$＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄由第一个方程得：＄x ＝ 5 y$，将其代入第二个方程得：＄5 y y ＝ 1$＄5 2y ＝ 1$＄－2y ＝－4$＄y ＝ 2$将$y ＝ 2$代入$x ＝ 5 y$得：＄x ＝ 3$所以方程组的解为$＼begin{cases}x ＝ 3 ＼＼ y ＝ 2\end{cases}＄（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去这个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，再将其代入原方程组中的一个方程，求得另一个未知数的值。

方程与不等式的解法例题和知识点总结在数学的学习中，方程与不等式是非常重要的内容，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些具体的例题来深入理解方程与不等式的解法，并对相关知识点进行总结。

一、方程的解法方程是含有未知数的等式，求解方程的目的就是找出未知数的值，使得等式成立。

1、一元一次方程形如 ax ＋ b ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元一次方程。

例：解方程 3x ＋ 5 ＝ 14解：首先，将常数项移到等号右边：3x ＝ 14 5，即 3x ＝ 9然后，将系数化为 1：x ＝ 9 ÷ 3，解得 x ＝ 3知识点总结：解一元一次方程的一般步骤为：去分母（若有）、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。

2、二元一次方程组由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。

例：解方程组x ＋ y ＝ 5 ①2x y ＝ 1 ②解：①＋②得：3x ＝ 6，解得 x ＝ 2将 x ＝ 2 代入①得：2 ＋ y ＝ 5，解得 y ＝ 3所以方程组的解为 x ＝ 2，y ＝ 3知识点总结：解二元一次方程组的基本思想是消元，常用方法有代入消元法和加减消元法。

3、一元二次方程形如 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的方程叫做一元二次方程。

例：解方程 x² 4x ＋ 3 ＝ 0解：因式分解得：（x 1)（x 3) ＝ 0所以 x 1 ＝ 0 或 x 3 ＝ 0解得 x₁＝ 1，x₂＝ 3知识点总结：一元二次方程的解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

求根公式为 x ＝b ± √（b² 4ac) ／（2a）。

二、不等式的解法不等式是用不等号表示两个数或表达式之间关系的式子。

1、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0（a ≠ 0）的不等式叫做一元一次不等式。

例：解不等式 2x 1 ＜ 5解：移项得：2x ＜ 5 ＋ 1，即 2x ＜ 6系数化为 1 得：x ＜ 3知识点总结：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式两边乘或除以同一个负数时，不等号的方向要改变。

中考数学专题复习：方程与不等式一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。

4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。

二、一元一次方程1、一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）2、一元一次方程的最简形式：ax=b （其中x 是未知数，a 、b 是已知数，a ≠0）3、解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。

4、一元一次方程有唯一的一个解。

三、一元二次方程1、一元二次方程的一般形式：02=++c bx ax （其中x 是未知数，a 、b 、c 是已知数，a ≠0）2、一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法3、一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。

（4）一元二次方程的根的判别式：ac b 42-=∆当Δ＞0时⇔方程有两个不相等的实数根； 当Δ=0时⇔方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时⇔方程没有实数根，无解；当Δ≥0时⇔方程有两个实数根 5、一元二次方程根与系数的关系：若21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两个根，那么：a b x x -=+21，ac x x =⋅21 6、以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x 三、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解法： 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。

特殊方法：换元法。

3、检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结一、方程基础概念方程是数学中用于描述两个数学表达式之间相等关系的一种形式。

它通常由未知数、已知数和运算符号组成。

在中考数学中，方程是解决问题的重要工具之一。

理解方程的定义、解的概念以及方程解的性质是后续学习的基础。

二、一元一次方程解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。

其一般形式为`ax + b = 0`（其中`a ≠0`）。

解一元一次方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

掌握这些步骤，能够高效地求解一元一次方程。

三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的一次方程组成的方程组。

解二元一次方程组的基本思想是通过消元法（代入消元法或加减消元法）将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。

掌握二元一次方程组的解法，对于解决实际问题具有重要意义。

四、一元二次方程公式法一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。

其一般形式为`ax^2 + bx + c = 0`（其中`a ≠0`）。

对于一元二次方程的求解，当判别式`Δ= b^2 - 4ac`大于或等于0时，可以使用公式法求解。

公式法求解一元二次方程的公式为`x = [-b ±√(Δ)] / (2a)`。

掌握公式法，能够准确地求解一元二次方程的根。

五、不等式与解集不等式是表示两个数学表达式之间不等关系的一种形式。

它通常用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示。

不等式的解集是指满足不等式的所有未知数的值的集合。

理解不等式的性质，掌握不等式解集的表示方法，是求解不等式的基础。

六、一元一次不等式解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。

解一元一次不等式的基本步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等。

但需要注意的是，在解不等式时，当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。

方程与不等式知识点一、方程的概念与性质方程是将含有未知数的等式称为方程。

一般形式为：P(x)=0，其中P(x)为多项式函数，x为未知数。

方程的次数是多项式中各项次数的最大值。

方程的性质有以下几个方面：1.方程的根：方程P(x)=0的解称为方程的根。

方程的根可以是实数也可以是复数。

2.方程的根与系数的关系：设方程P(x)=0的根为a，则P(a)=0，反之，如果P(a)=0，那么a就是方程P(x)=0的根。

3.方程的解的性质：若a是方程P(x)=0的根，则(x-a)是P(x)的一个因式。

4.方程的根的个数：n次方程P(x)=0的解的个数至多为n个。

二、方程的解法1.一次方程的解法：设方程a1x+a0=0，其中a1≠0，则方程的解为x=-a0/a12.二次方程的解法：设方程ax^2 + bx + c = 0，其中a ≠ 0，则方程的解公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。

3.高次方程的解法：对于高次方程，一般采用因式分解、配方法、卡尔丹法等方法求解。

三、不等式的概念与性质不等式是使用不等号连接的数学关系，在不等式中，未知数的取值满足特定的条件。

常见的不等式有大于等于（≥）、小于等于（≤）、大于（>）、小于（<）等。

不等式的性质有以下几个方面：1.不等式的解集：满足不等式所有条件的数值的集合称为不等式的解集。

2.在不等关系中，可以在两边同加或者同减一个数，可以在两边同乘或者同除正数，但是如果两边同乘或者同除负数的话，应该将不等号翻转。

3.对于不等式组的解集，满足所有不等式的解的交集称为不等式组的解集。

四、不等式的解法1.一次不等式的解法：将不等式变形，找到未知数的取值范围，得到的范围即是不等式的解。

2.二次不等式的解法：将二次不等式化为零，找到对应的方程，并求出方程的解，然后根据二次不等式表示的形式将解的范围确定下来。

3.绝对值不等式的解法：对于绝对值不等式，根据绝对值的性质，将不等式分成正负两种情况进行求解。

知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。

（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。

因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。

（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。

知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

知识必备02方程与不等式（公式、定理、结论图表）考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础.列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题：距离=速度×时间；(2)工程问题：工作量=工效×工时；(3)比率问题：部分=全体×比率；(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；(5)商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，；(6)周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，S正方形=a2，S环形=π(R2-r2)，V长方体=abh ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.考点二、一元二次方程1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程的求根公式：（4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即.5.一元二次方程根与系数的关系如果方程的两个实数根是，那么，.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.典例1：已知关于的一元二次方程．（1）求证：不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若直线与函数的图象的一个交点的横坐标为2，求关于的一元二次方程的解．【答案】（1）证明：∵不论取何值时，∴，即∴不论取何值时，方程总有两个不相等的实数根..（2）将代入方程，得再将代入，原方程化为，解得．考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.典例2：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程.【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得，整理，得．解这个方程，得x1＝4.8，x2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x2＝-3不符合实际意义，故舍去．【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a ≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．典例3：如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象、，设，，则方程组的解是( )A． B． C． D．【思路点拨】图象、的交点的坐标就是方程组的解.【答案】B；【解析】由图可知图象、的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组的解为【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x 项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.不等式组（其中a ＞b ）图示解集口诀（同大取大）（同小取小）（大小取中间）无解（空集） （大大、小小找不到）（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a， 则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或，则a、b同号；⑥若ab＜0或，则a、b异号.（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O a＞b；②a-b=O a=b；③a-b＜O a＜b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.典例4：解不等式组并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】此题考查一元一次不等式组的解法，解出不等式组中的每个不等式，根据不等式组解的四种情况，看看属于哪种情况．【答案与解析】解不等式①得：．解不等式②得：x≥-1．所以不等式组的解集为-1≤x＜．其解在数轴上表示为如图所示：【总结升华】注意解不等式组的解题步骤.典例5：为了美化家园，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需花卉的情况如下表所示；造型甲乙A90盆30盆B40盆100盆综合上述信息，解答下列问题：(1)符合题意的搭配方案有哪儿种?(2)若搭配一个A种造型的成本为1000元，搭配一个B种选型的成本为1200元，试说明选用(1)中哪种方案成本最低?【思路点拨】本题首先需要从文字和表格中获取信息，建立不等式(组)，然后求出其解集，根据实际问题的意义，再求出正整数解，从而确定搭配方案．【答案与解析】解：(1)设搭配x个A种造型，则需要搭配(50-x)个B种造型，由题意，得解得30≤x≤32．所以x的正整数解为30，31，32．所以符合题意的方案有3种，分别为：A种造型30个，B种造型20个；A种造型31个，B种造型19个；A种造型32个，B种造型18个．(2)由题意易知，三种方案的成本分别为：第一种方案：30×1000+20×1200＝54000；第二种办案：31×1000+19×1200＝53800；第三种方案：32×1000+18×1200＝53600.所以第三种方案成本最低．【总结升华】实际问题的“最值问题”一般是指“成本最低”、“利润最高”、“支出最少”等问题．。

方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。

解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。

那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。

也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。

在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。

中考复习三 方程（组）与不等式（组）【一次方程及方程】一、等式与方程的有关概念1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程 的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系 数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 二、二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析：（1）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘 以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏 乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.（2）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（3）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （4）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.1.（2009年，3分）如图9加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是 cm ．2.（2010年，2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．48)12(5=-+x x B ．48)12(5=-+x x C ．48)5(12=-+x x D ．48)12(5=-+x x 【一元二次方程及其应用】1.一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项， 右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。

方程（组）和不等式（组）专题第一节 方程（组）一、相关概念1、解（或根）的概念：使得方程等号左右两边式子的值相等的未知数的值，譬如：2x+1=0这个方程的解或者根就是-0.5。

2、一元一次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数最高次数为1（一次）的整式方程，一般形式为：ax+b=0（a ≠0），譬如：5x+4=0。

3、二元一次方程的概念：含有两个未知数（二元），且未知数最高次数为1（一次）的整式方程，一般形式为：ax+by=0（a ≠0且b ≠0），譬如：3x+4y=0。

4、一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数最高次数为2（二次）的整式方程，一般形式为：ax 2+bx+c=0（a ≠0），譬如：2x 2+4x+4=0。

5、分式方程的概念：指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程。

譬如：2x 41x 2+=-。

二、方程（组）解法1、等式的基本性质：（1）等式两边同时加上相等的数或式子，两边依然相等；（2）等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等；（3）等式两边同时乘方（或开方），两边依然相等。

（1）有括号的先去括号；（2）移项：含未知数的式子全移到同一边，常数式子移到另一边；（3）合并同类项；（4）将未知数的系数化为1；看例子：(5x 3-5)-(4x 3+4)=0 去括号：5x 3-5-4x 3-4=0 （去括号变符号有疑问请告诉我） 移项：5x 3-4x 3-=9 合并同类项：(53-43)x=9，得到-203x=9 （通分有疑问请告诉我） 系数化为1：x=9÷(-203)=-603、二元一次方程组的解法：消元法打通关，将方程组化成一元一次方程来解。

解题步骤：把①②两个方程中的同一个未知数（如x ）的系数化成一样→将①②两个方程直接相减，化简成一个方程例题：⎩⎨⎧=+-=-②①5y 2x 55y 3x 2把x 系数化成一样：⎩⎨⎧=+-=-②①10y 4x 1025y 15x 10①②两个方程直接相减：①-②得，(10x-15y)-(10x+4y)=-35 消去x 之后，得到：-19y=-35，y=1935（1）直接开平法：(x+3)2=16,两边同时开平方，得到(x+3)=±4，x=1或x=-7（2）配方法：把方程的左边化成完全平方式，然后再利用开平方法来解。

中考总复习方程与不等式综合复习--知识讲解方程和不等式是数学中的重要内容，也是中考数学考试中经常出现的题型。

掌握方程和不等式的解法和应用，对于提高中考数学成绩至关重要。

下面将对方程和不等式的知识进行讲解，帮助同学们更好地复习和理解。

一、一元一次方程一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a和b是已知数，x是未知数。

解一元一次方程的基本步骤如下：1. 移项：将方程中的常数项移到方程的另一侧，得到ax = -b。

2.化简：将方程中的系数和常数进行运算和化简，得到x的系数为1，b的相反数为其常数项。

3.消元：将方程两边同时除以系数a，得到x=-b/a。

二、一元二次方程一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b 和 c 是已知数，x 是未知数。

解一元二次方程的基本步骤如下：1. 判别式：计算判别式D = b² - 4ac。

2.判断解的情况：a.当D>0时，方程有两个不相等的实根。

b.当D=0时，方程有两个相等的实根。

c.当D<0时，方程没有实数解。

3.求解实根：根据判别式的情况，应用二次根式公式x=(-b±√D)/2a求得方程的实根。

三、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a、b 是已知数，x 是未知数。

解一元一次不等式的基本步骤如下：1.移项：根据不等式的符号，将常数项移到不等式的另一侧。

2.化简：将不等式中的系数进行运算和化简。

3.计算不等号的符号：根据不等式的规则，计算出x的取值范围。

四、一元一次不等式组一元一次不等式组是形如{ax + by > 0, cx + dy < 0}的不等式组，其中a、b、c、d 是已知数，x、y 是未知数。

解一元一次不等式组的基本步骤如下：1.分别解出两个不等式的解集。

2.将解集进行交集操作，得到不等式组的解集。

中考方程与不等式知识点汇总方程与不等式是中考数学中非常重要的知识点，以下是方程（组）与不等式（组）知识点的汇总及相关解题方法。

方程的基本概念：方程是一个等式，有一个或多个未知数，通过求解方程可以确定未知数的值。

一元一次方程：一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，形如ax+b=0（a≠0）。

求解一元一次方程的基本思路是将方程两边进行运算，将未知数的系数移到一边，常数移到另一边，然后化简得到未知数的值。

一元一次方程的解：1. 如果a≠0，方程ax+b=0有唯一解x=-b/a；2.如果a=0，b≠0，方程0x+b=0无解；3.如果a=0，b=0，方程0x+0=0有无数解。

一元二次方程：一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，形如ax²+bx+c=0（a≠0）。

求解一元二次方程的常用方法有公式法、因式分解法、配方法。

一元二次方程的解：根据一元二次方程的求解公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)，可以求解一元二次方程的解。

1. 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；2. 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；3. 当b²-4ac<0时，方程没有实数根，有两个共轭复数根。

方程组的基本概念：方程组是由多个方程组成的集合，方程组中的所有方程要同时满足。

二元一次方程组：二元一次方程组是指只有两个未知数的一次方程组。

求解二元一次方程组的基本思路是通过消元法或代入法将方程组化简成一个一元一次方程，然后求解未知数的值。

二元一次方程组的解：1.如果方程组有唯一解，那么方程组中的两个方程的解是一组有序实数组成的；2.如果方程组有无数解，那么方程组中的两个方程是等价的；3.如果方程组无解，那么方程组中的两个方程是矛盾的。

二元二次方程组：二元二次方程组是指只有两个未知数的二次方程组。

求解二元二次方程组的基本思路是将一个未知数用另一个未知数的值代入方程组中，然后化简方程组并求解未知数的值。

初中数学方程与不等式之不等式与不等式组知识点总复
习
不等式是数学中常见的一种关系式，用来表示数之间的大小关系。

它们在方程和不等式组的解集中起着重要的作用。

在初中数学中，学生需要掌握不等式的基本概念、解法以及不等式组的性质和解法。

一、基本概念
1.不等式的定义：不等式是用不等号表示的数之间的大小关系。

2.不等式的解集：解集是使不等式成立的所有实数的集合。

3.不等式的性质：加减相等的实数可以相互替换，不等号的方向可以改变，乘除正负数时需要改变不等号的方向。

二、一元一次不等式
1.一元一次不等式的解法：可以通过减项、加项和乘除法的逆运算来求解。

2.不等式的解集表示：可以用图形法、列举法或数值法来表示。

三、一元一次不等式组
1.一元一次不等式组的定义：一元一次不等式组是由两个或多个一元一次不等式组成的系统。

2.一元一次不等式组的解法：可以通过解组合（即求每个不等式的解然后取交集或并集）或图解法（即将每个不等式的解表示在数轴上，通过区间的交集或并集来确定解）来求解。

四、二元一次不等式组
1.二元一次不等式组的定义：二元一次不等式组是由两个或多个二元一次不等式组成的系统。

2.二元一次不等式组的解法：可以通过解组合来求解。

五、综合应用
1.不等式的实际应用：可以用来解决实际问题，如优化问题、约束条件等。

2.应用题的解法：可以通过列方程或列不等式来解决应用题。

总结：不等式与不等式组是初中数学中重要的概念，学生需要了解它们的基本概念、解法以及实际应用。

掌握不等式与不等式组的知识点，可以帮助学生提高解决实际问题的能力和综合运用数学知识的能力。

1、方程含有未知数的等式叫做方程。

2、方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

4、一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项。

. 已知方程（m ＋1）x ︱m ︱＋3＝0是关于x 的一元一次方程，则m 的值是（ ）A 、1B 、1C 、－1D 、0或1.已知关于x 的方程432x m -=的解是x m =，则m 的值是________ .41x 5+－612-x =1－123x - 二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（2、二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

4二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方正组的解法（1）代入法（2）加减法.若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+k y x ,k y x 95的解也是二元一次方程632=+y x 的解，则k 的值为A ．43-B ．43C ． 34D ．34- ．若方程6=+ny mx 的两个解为 11x y =⎧⎨=⎩ 21x y =⎧⎨=-⎩，则m =__________. ．在一本书上写着方程组21x py x y +=⎧⎨+=⎩ 的解是 0.5x y =⎧⎨=⎩口,其中y 的值被墨渍盖住了,不过,我们可解得出p =___________.．32522(32)28x y xx y x+=+⎧⎨+=+⎩．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+244263nmnm不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

中考总复习：方程与不等式综合复习知识讲解方程与不等式综合复考纲要求：1.判断方程（组）类型，解方程（组），研究分式方程的增根情况。

2.掌握解方程（组）的方法，实质是“消元降次”，“化分式方程为整式方程”，“化无理式为有理式”。

3.理解不等式的性质，掌握一元一次不等式（组）的解法，在数轴上表示解集，求特殊解集。

4.列方程（组），列不等式（组）解决社会关注的热点问题。

5.解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式（组）解决实际问题是中考的难点和热点。

知识网络：考点一、一元一次方程1.方程是含有未知数的等式。

2.方程的解是能使方程两边相等的未知数的值。

3.等式有两个重要性质：两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，仍是等式；两边乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），仍是等式。

4.一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程，标准形式为ax + b = 0（a ≠ 0），其中a是未知数x的系数，b是常数项。

5.一元一次方程解法的一般步骤为整理方程，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验方程的解。

6.列一元一次方程解应用题有两种方法：读题分析法和画图分析法。

其中，读题分析法多用于“和，差，倍，分问题”，画图分析法多用于“行程问题”。

要点诠释：列方程解应用题的常用公式：1.行程问题：距离 = 速度 ×时间，速度 = 距离 ÷时间。

2.工程问题：工作量 = 工效 ×工时，工效 = 工作量 ÷工时。

3.比率问题：部分 = 全体 ×比率，比率 = 部分 ÷全体。

任何一个有实数根的一元二次方程，其两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。

虽然直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，但并不是所有的一元二次方程都能用这两种方法解决。

普通方法包括配方法和公式法，适用于所有的一元二次方程。

考点1：等式与不等式性质 1．等式的基本性质.性质①：若a =b ,则a ±m =b ±m ; 性质②：若a =b ,则am =bm ; 若a =b ,则dbd a =(d ≠0). 2．不等式的基本性质（1）不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变. （2）不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. （3）不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.【例1】宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ） A ．左盘上加2克砝码 B ．右盘上加2克砝码C ．左盘上加5克砝码D ．右盘上加5克砝码【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：①2饼干＝3糖果，1饼干＝1.5糖果， ②1饼干+1糖果＝10砝码，把1饼干＝1.5糖果代入，得 1.5糖果+1糖果＝10砝码， 1糖果＝4砝码，1饼干＝1.5糖果＝1.5×4＝6砝码， 4砝码+2砝码＝6砝码， ∴1糖果+2砝码＝1饼干， 故选：A ．【例2】（2021·湖南常德市）若a b >，下列不等式不一定成立的是（）专题05 方程与不等式概念与相关计算A ．55a b ->-B ．55a b -<-C ．a b c c> D ．a c b c +>+【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A .在不等式a b >两边同时减去5，不等式仍然成立，即55a b ->-，故选项A 不符合题意；B . 在不等式a b >两边同时除以-5，不等号方向改变，即55a b -<-，故选项B 不符合题意；C .当c ≤0时，不等得到a bc c>，故选项C 符合题意； D . 在不等式a b >两边同时加上c ，不等式仍然成立，即a c b c +>+，故选项D 不符合题意； 故选：C ．1．运用等式的性质的注意事项（1）等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算.（2）等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子. （3）等式两边不能同时除以0，即0不能作除数或分母. 2．运用不等式的性质注意以下要点：（1）“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱.（2）不等式的基本性质：① 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变; ② 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变; ③ 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.1．（2021·山东临沂市）已知a b >，下列结论：①2a ab >；②22a b >；③若0b <，则2a b b +<；④若>0b ，则11<a b，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据不等式的性质分别判断即可． 【详解】 解：∵a ＞b ，则①当a =0时，2a ab =，故错误；②当a ＜0，b ＜0时，22a b <，故错误；③若0b <，则b b a b +<+，即2a b b +>，故错误； ④若>0b ，则0a b >>，则11<a b，故正确；故选A ．2．下列判断错误的是（ ）A ．如果a ＝b ，那么ac ﹣d ＝bc ﹣dB ．如果a ＝b ，那么a c 2+1=bc 2+1C ．如果x ＝3，那么x 2＝3xD ．如果ax ＝bx ，那么a ＝b【分析】根据等式的性质一一判断即可．【详解】解：A 、如果a ＝b ，那么ac ﹣d ＝bc ﹣d ，正确，故选项不符合题意； B 、如果a ＝b ，那么ac 2+1=bc 2+1，正确，故选项不符合题意； C 、如果x ＝3，那么x 2＝3x ，正确，故选项不符合题意； D 、当x ＝0时，不一定成立，故选项符合题意； 故选：D ．考点2：一次方程（组）概念与解法 1．一元一次方程的有关概念（1）只含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的整式方程,叫做一元一次方程.其一般形式是ax +b =0(a,b 为常数,且a ≠0).（2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.方程的解又叫做方程的根. 2．一元一次方程解法的一般步骤:①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1.3．二元一次方程组的定义:形如⎩⎨⎧=+=21y x x 和⎪⎩⎪⎨⎧==-=63021y y x x 都是4．二元一次方程组的解法:① 用代入法解二元一次方程组的一般步骤:a . 从方程组中任选一个方程,将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来;b . 将这个代数式代入另一个方程,消去一个未知数,得到含有一个未知数的一元一次方程;c . 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;d . 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中,求出另一个未知数的值,从而得到方程组的解.② 用加减法解二元一次方程组的一般步骤:a . 方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等,就用适当的数去乘方程的两边,使它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数;b . 把两个方程的两边分别相减或相加,消去一个未知数,得到一个一元一次方程; c. 解这个一元一次方程;d. 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中,求出另一个未知数,从而得到方程组的解.【例3】（2021·浙江温州市）解方程()221x x -+=，以下去括号正确的是（ ） A ．41x x -+=-B ．42x x -+=-C ．41x x --=D ．42x x --=【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号． 【详解】解：()221x x -+=42x x --=，故选：D ．【例4】（2021·天津）方程组234x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是（ ）A ．02x y =⎧⎨=⎩B ．11x y =⎧⎨=⎩C ．22x y =⎧⎨=-⎩D ．33x y =⎧⎨=-⎩【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．【详解】234x y x y +=⎧⎨+=⎩ ①②， ②-①得：32x y x y +--=，即22x =， ∴1x =．将1x =代入①得：12y +=， ∴1y =．故原二元一次方程组的解为11x y =⎧⎨=⎩．故选B ．1．解一元一次方程的基本步骤.①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1. 2．解二元一次方程组关键在于熟练掌握用消元法和代入法1．（2021·广东）二元一次方程组2222x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解为___．【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解． 【详解】 解：2222x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②，由①式得：22x y =-- ，代入②式， 得：2(22)2y y --+= ， 解得2y =- ， 再将2y =-代入①式，222x -´=- ，解得2x = ， ∴22x y =⎧⎨=-⎩，故填：22x y =⎧⎨=-⎩．2．（2021·重庆）方程2(3)6x -=的解是__________． 【分析】按照解一元一次方程的方法和步骤解方程即可． 【详解】解：2(3)6x -=， 去括号得，266x -=， 移项得，212x =， 系数化为1得，6x =， 故答案为：6x =．考点3：分式方程概念与解法1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.（2）常用方法：①去分母；②换元法.（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.【例5】（2021·广东）方程123x x=-的解为（ ） A ．6x =-B ．2x =-C ．2x =D ．6x =【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解即得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：123x x=- 去分母得：26x x =-， 移项合并得：6x -=-， 化系数为“1”得：6x =，检验，当6x =时，()3180x x -=≠， ∴6x =是原分式方程的解． 故选：D ．【例6】（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x-． 【分析】先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可． 【详解】解：（1）原式=x （x 2-9）=x （x +3）（x -3）， （2）等式两边同时乘以（x -2）得2x +x -2=-5， 移项合并同类项得3x =-3， 系数化为1得x =-1检验：当x =-1时，x -20≠， ∴x =-1是原分式方程的解．解分式方程的有关要点（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.1．（2021·湖北黄石市）分式方程的解是______． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】 解：去分母得：， 去括号化简得：， 解得：，经检验是分式方程的根， 故填：．2．（2021·江苏南通市）解方程2303x x-=-． 【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可． 【详解】， 去分母得：， 解得：，经检验，是原方程的解． 则原方程的解为：． 考点4：一元二次方程概念与解法 1．一元二次方程（1）概念:只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次,且系数不为0的整式方程,叫做一元113-+=x 11322-+=--xx x()()1132x x --=-26x =3x =3x =3x =2303x x-=-23(3)0x x --=9x =9x =9x =二次方程.（2）一元二次方程的一般形式：ax 2+bx +c =0（a ≠0），其中ax 2叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项，a 是二次项的系数，b 是一次项的系数，注意a ≠0. 2．一元二次方程的解法 （1）基本思路:降次. （2）方法:① 直接开平方法:(x +m )2=n (n ≥0)的根是n m x ±-=;② 配方法:将ax 2+bx +c =0(a ≠0)化成222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+的形式,当b 2-4ac ≥0时,用直接开平方法求解; ③公式法:ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ;④ 因式分解法:将方程右边化为0,左边化为两个一次因式的积,令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程就得到原方程的解.【例7】（2021·浙江丽水市）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可． 【详解】解：，， ，，故选：D ．【例8】（2021·湖北十堰市）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：，若，则x 的值为________．【分析】根据新定义的运算得到，整理并求解一元二次方程即可． 【详解】解：根据新定义内容可得：，2410x x ++=2(2)5x -=2(2)3x -=2(2)5x +=2(2)3x +=2410x x ++= 241x x ∴+=-24414x x ∴++=-+2(2)3x ∴+=22a b a b ab ⊗=+-()13x x ⊗-=()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=()()()221113x x x x x x ⊗-=+---=整理可得， 解得，， 故答案为：或2．解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程的基本思路和步骤。

中考数学基础知识复习-----方程与不等式一、一次方程1.方程的分类2.方程的有关概念（1）方程：含有 的等式叫方程。

（2）有理方程：_________________________________________统称为有理方程。

（3）无理方程：__________ 叫做无理方程。

（4）整式方程：___________________________________________叫做整式方程。

（5）分式方程：___________________________________________叫做分式方程。

（6）方程的解： 叫做方程的解。

（7）解方程： _叫做解方程。

（8）一元一次方程：___________________________________叫做一元一次方程。

（9）二元一次方程：___________________________________叫做二元一次方程 3．①解方程的理论根据是：_________________________②解方程（组）的基本思想是：多元方程要_________,高次方程要__________. ③在解_____方程，必须验根.要把所求得的解代入______进行检验； 4．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：5. 二元一次方程组的解法． （1）代人消元法： （2）减消元法： 6．整体思想解方程组．（1）整体代入． （2）整体加减， 二、一元二次方程1. 一元二次方程：只含有一个 ，且未知数的指数为 的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是 （其中 、 ）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有 实数；当△=0时，方程有 实数根；当△＜0时，方程有 实数根； 一元二次方程根的求根公式是 、（其中 ） 2．一元二次方程的解法：⑴ 配方法：配方法是一种以 为手段，以 为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为 ，即方程两边同除以 ；② ，即使方程的左边为 和 ，右边为 ；③ ，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用 开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程 ．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。