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高等数学(第五版)10-3格林公式及其应用

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103格林公式及其应用

103格林公式及其应用

由 于 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 ， 故 y N(x,y) B(x,y)
A M B
(x,y)
u (x,y) P (x,y)d x Q (x,y)dy (x ,y)
x xP(x,y)d xyyQ (x,y)d.yoA(x,y)
M(x,y)
x
A N B
(x,y)
u (x,y) P (x,y)d x Q (x,y)dy (x,y)
W C F d s C rk 3d x xk(1 r 3y)dA(y 0,1y)
M(x,y)
其 中 C ： y 2 x x 2 ， x : 2 0 。 o B(2,0) x
∵ P r k 3 ， Q k ( 1 r x 3 y ) ， P y 3 k r ( 5 1 y ) Q x x ， ∴ 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 ， 取 直 线 段 B 为 积 O 分 路 径 ，
2
2
例 7 ． 设 位 于 点 ( 0 ,1 )的 质 点 A 对 质 点 M 的 引 力 大 小 为 r k 2（ k 为 常 数 ， r为A 质 与 M 之 点 间 ） ， 质 的 点 沿 距 曲 线 y 2 x x 2 自 B ( 2 , 0 ) 运 动 到 O ( 0 , 0 ) ， 求 在 此 运 动
C (A )P B Q d x u d (x 2 ,y y 2 ) u (x 1 ,y 1 ) u (x ,y )( ( x x 2 1 ,,y y 2 1 ) ).
例 8 ． 验 证 ： x x 2 d y y 2d 在 y右 x 半 平 面 (x 0 )内 是 某 个 函 数 的 全 微 分 ， 并 求 出 一 个 这 样 的 函 数 。
∵ P , Q 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， 即 2 u , 2 u 连 续 ， x y y x
D10_3格林公式

D10_3格林公式


添线段 L1 , 它与L 所围区域为D , 则
I

L L1
L1
12xd xd y
D
1
(e1 12x1)d x 1
A
yL1
DB
L
1 o 1 x
D 的 边 1界1d为xL1x(2取12正x d向y)2e 2e

L
Pd
x

Qd
y


D
(
Q x

P y
里面顺时针方向.
D
负向
L
L的正向: 当观察者沿该方向行走时，D内在 他近处的那部分总在他的左边.
3、格林公式
定理1.设区域 D 由分段光滑正向闭曲线 L 围成 ,
函数
在 D 上有连续偏导数 , 则
L Pd x
Qd y


D
(
Q x

P )dxd y y
(格林公式)
注1 关键条件（1） L 是正向闭曲线；

3
xy
2
)d
y
P dx Q3dxy2 y2d[ux(yx3, y)] 的条件：P Q y x
此时：u( x, y) ( x, y) P( x, y)dx Q( x, y)d y ( x0 , y0 )
x
y
x0 P( x, y0 )dx y0 Q( x, y)d y
, y1 ) P
y0 )dx
(x, y)
d
x
yQy01 (Qx(,x1y,)yd)dyy
( x0 , y0 )
()
注3 若P (x,y)d x + Q (x,y)d y d u(x, y)，
人大微积分课件10-3格林公式及其应用

人大微积分课件10-3格林公式及其应用

格林公式在化学反应动力学、物质输运和化学平衡等方面起着重要作用。
人大微积分课件10-3 格林公式及其应用
格林公式是微积分中的重要定理，它可以将曲面积分转化为曲线积分，为我 们解决多种实际问题提供了便利。本课件将分享格林公式的定义、应用和拓 展领域。
什么是格林公式
格林公式是微积分中的重要定理，它关联了平面上的曲线积分和曲面积分， 将两者之间的转化建立起来。
格林公的一般形式
格林公式的应用
工程设计
格林公式可用于计算工程中的流线和闭合曲线。
流体动力学模拟
格林公式有助于建立流体的速度场与表面流量 之间的关系。
环境保护
通过格林公式，我们可以分析环境中的污染扩 散和物质传输。
天气模式分析
格林公式在气象学中有助于解析大气动力学和 风场变化。
利用格林公式求面积
格林公式广泛用于计算封闭曲线所围成的面积，例如在地图测绘和建筑设计 中的应用。
格林公式在物理学中的应用
电磁场
格林公式可以描述电场和磁场的关系，并用 于求解电荷和电流的分布。
热力学
格林公式可用于研究热量传递和能量转化的 过程。
量子力学
在量子力学中，格林公式有助于描述粒子的 波函数和能量分布。
相对论
相对论中的运动方程和能量守恒定律可由格 林公式推导得到。
格林公式在化学中的应用
定义
格林公式描述了环流和变量在平面上的积分 关系。
二维情况
在二维情况下，格林公式将曲面积分转化为 曲线积分。
一维情况
在一维情况下，格林公式就是格林定理。
三维情况
在三维情况下，格林公式的变量包括x、y、z 三个方向。
斯托克斯定理与格林公式的关系
斯托克斯定理是格林公式在三维情况下的推广，它将曲线积分与曲面积分联系在一起，并扩展了格林公 式的应用范围。
高等数学 格林公式及其应用

高等数学 格林公式及其应用


再将线积分化为定积分计算, 则过程较麻烦.
y
用格林公式易求.
解 设P ( x y), Q 3x y
D
由格林公式 P 1, Q 3
y
x
O
x
L (3x y)dy ( x y)dx 2dxdy 18π.
D
15
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
(Q P )dxdy
r2
sin2
d
2π.
x r cos
y
r
sin
对复连通区域D, 格林积分, 且边界的方向
对区域D来说都是正向.
24
10.3 格林公式及其应用
例
设L为圆周 x2 y2 4的正向. 求I
L
ydx xdy 4x2 y2
.
解 在L内部作有向椭圆l: 4x2 y2 2, l的方向为
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的 直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
解 由格林公式 Q P m
x y
(e
x
sin
y
my
)dx
(e x
cos
y
O
m)dy
AOOA
•
A(a,0) x
D
mdxdy
1 8
m πa 2
OA的方程为y 0, 0 x a 0
( 0, 0)
AB BA CE EC
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
10
10.3 格林公式及其应用
D
(Q x
P y
)dxdy
L
格林公式及其应用

格林公式及其应用

高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
13格林公式及其应用

13格林公式及其应用

§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。

无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。

1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。

通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。

2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。

简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。

3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。

公式(1)叫做格林(green)公式。

【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。

D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。

第三节_格林公式及其应用

第三节_格林公式及其应用

第三节_格林公式及其应用
格林公式是一个重要的微积分计算工具，用于计算微分方程在给定边
界条件下的解。

它可以用来解决一类非常有用的问题，例如求解复杂的微
分方程组、积分变分形式的物理问题。

此外，格林公式还可以应用于计算
微分函数在任意区间上的有限性以及在一些特定情况下的无穷性。

格林公式的主要思想是，给定边界以及满足一些条件的控制变量，可
以将一个微分方程组的解表示为不同常量的线性组合。

因此，可以通过解
决有限个简单的常系数非齐次线性微分方程来求解更复杂的微分方程组。

其中，常系数非齐次线性微分对应的格林公式是：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(βt)
其中，A、B是常数，α、β是解的根。

这个公式可以用来求解不同
类型的微分方程，包括拉普拉斯方程、伯努利方程、线性齐次微分方程组等。

应用：
1、求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一类重要的常微分方程，它可以用来描述物理系统的
传播过程以及电、热等物理场的扩散等现象。

拉普拉斯方程的一般形式为：y"+αy'+βy=f(t)
这里，α、β是常数，f(t)是一个任意函数。

可以用格林公式来求
解这个方程的解：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(-αt) + [1/α]*∫exp(-αt)f(t)dt
其中，A、B是常数，α是解的根。

2、求解伯努利方程。

第三节 格林公式及其应用

第三节 格林公式及其应用

第三节 格林公式及其应用 ㈠．本课的基本要求掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 ㈡．本课的重点、难点格林公式、平面上的曲线积分与路径无关的条件为本课重点，求全微分为难点 ㈢．教学内容一．格林公式及其应用微积分基本定理——牛顿-莱布尼兹公式确立了函数f(x)在闭区间上的定积分与它的原函数F(x)在这个区间的端点上的值之间的关系。

相仿的，在平面闭区域D 上的二重积分与沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分之间也有类似的关系。

格林（Green ）公式就是阐明它们之间关系的一个重要公式。

定义（单连通域） 一个平面区域D ，如果全落在此区域内的任何一条封闭曲线都可以不经过D 以外的点而连续地收缩为一点，则称此区域D 为单连通的，否则为复连通的。

（如图） 我们首先规定区域D 的边界曲线L 的正向：当观察者沿L 的某个方向行走时，区域D 总在它的左边（如图），则该方向即为L 的正方向。

定理1（格林定理） 设D 是以分段光滑曲线L 为边界的平面有界闭区域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D 上具有一阶连续的偏导数，则⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂LQdy Pdx d yPx Q σ)(⑴其中符号⎰L表示沿L 正方向的曲线积分。

公式⑴称为格林公式。

证 先假设穿过区域D 内部且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点，即区域D 既是X ─型又是Y ─型的情形。

设}),()(|),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ。

因为yP∂∂连续，所以由二重积分的计算法有 ⎰⎰⎰⎰⎰-=∂∂=∂∂b a x x b a Ddx x x P x x P dy y y x P dx dxdy y P))}(,())(,({),(12)()(21ϕϕϕϕ 另一方向，由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰⎰⎰⎰⎰+=+=abbaL L Ldx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx ))(,())(,(2121ϕϕ⎰⎰-=babadx x x P dx x x P ))(,())(,(21ϕϕ因此，=∂∂-⎰⎰Ddxdy y P⎰L Pdx ⑵ 设}),()(|),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ，类似地可证=∂∂⎰⎰Ddxdy x Q⎰LQdy ⑶由于D 既是X ─型又是Y ─型的，⑵、⑶同时成立，合并后即得公式⑴。

格林公式及其应用格林公式

格林公式及其应用格林公式

格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。

它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。

格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。

下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。

1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。

下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。

1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。

1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。

2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。

下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。

2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。

例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。

高等数学B：10_3格林公式及其应用

高等数学B：10_3格林公式及其应用

§10.3格林公式及其应用10.3.1格林公式1．单连通区域与复连通区域若平面区域D 内任一封闭曲线围成的部分都D 属于，则称为 D 单连通区域，否则称为复连通区域。

例如：圆形区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+1),(22y x y x 、上半平面{}0),(>y y x 是单连通区域；圆环区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<41),(22y x y x 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20),(22y x y x 是复连通区域。

通俗地说，单连通域就是不含有“洞”（包括点“洞” ）的区域。

2．区域D 的边界曲线C 的正向规定的 C 正向如下：当观察者沿的 C 此方向行走时，靠近 D 他的部分总在他的左侧。

例如是 D 由边界曲线1C 和2C 所围成的复连通区域，的 1C 正向是逆时针方向，的 2C 正向是顺时针方向。

3．定理1设是 D 以逐段光滑曲线为C 边界的平面闭区域，函数),(y x P 、),(y x Q 在上 D 具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q Qdy Pdx DC ⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(—格林（Green ）公式 其中的取正向的边界曲线是D C 。

公式（1）称为格林（Green ）公式。

证明：先假设穿过区域内部 D 且平行坐标轴的直线与的 D 边界曲线的 C 交点恰好为两点。

即D 既是型的区域型的又是 Y X 。

设}),()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=，∵yP ∂∂连续， ∴=σ∂∂⎰⎰d y P D⎰⎰∂∂bax y x y dy yPdx )(2)(1dx x y x P x y x P b a)]}( ,[)]( ,[{ 12⎰-=另一方面，有⎰⎰⎰⋂⋂+=BNAAMB C dx y x P ),(dx x y x P dx x y x P abb a)]( ,[ )]( ,[ 2 1⎰⎰+=dx x y x P x y x P ba)]}( ,[)]( ,[{ 21⎰-=，∴σ∂∂-=⎰⎰⎰d yPdx y x P DC),(。

10.3 格林公式及其应用

10.3 格林公式及其应用

解
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0

ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故

L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8

1103格林公式及其应用(1)


当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
L
L1
L2
◆边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
二、格林公式
定理1 设闭区域D由光滑或分段光滑的曲线L围成.
函数P( x, y)、Q ( x, y)在D上具有一阶连续偏导数,
则有 : 注:
L Pdx Qdy
(
Q x
P y
)dxdy.
L是上半圆周( x a)2 y2 a2, y 0,沿逆时针方向.
解 如图,记L OA 围成的闭区域为D. y 记 P( x, y) e x sin y my k,
Q( x, y) e x cos y e y2 sin y n, o
L D
a Ax
由格林公式, 得 :
Pdx
LOA
一方面， D
Q
x dxdy
d
dy
2 ( y)Qdx
c
1 ( y ) x
d
c [Q( 2( y), y) Q( 1( y), y)]dy
另一方面，
Q( x, y)dy L
y
d
⌒CBE Q( x, y)dy ⌒ EAC Q( x, y)dy x 1( y)
⌒ CBE
Q(
x,
y)dy
◆格林公式：L
Pdx
Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy.
• 取 P y, Q x,得 :
L xdy ydx 2 dxdy 2A, A D的面积, D
A
1 2
L
xdy
ydx;
例3
计算椭圆 x2 a2
y2 b2
1所围成的平面图形的面积A.

10-3格林公式

( L1, L2 , L3对D来说 为正方向 )
10
L3
D3
D2
L2
D1
L1
L
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.
11
3. 简单应用
(1) 简化曲线积分的计算
例1 设L是一条分段光滑的闭曲线， 证明
2 xydx x dy 0.
2 L
12
证:令 P 2 x y , Q x , 则
1 2 2 2 (ab cos ab sin )d 2 0
ab
21
例5 计算 e sin y x y dx e cos y 1 dy
x x L
其中L：x y x( y 0)从O 0,0 到A1,0
2 2




的上半圆周.
解 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L所围区域为D , 则 原式
其中L为一条无重点,分段光滑且不经过 原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方
向.
16
xdy ydx L x 2 y 2
解 记L所围成的闭区域为D, y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 则当 x y 0 时, 有 2 2 Q y x P 2 2 2 x ( x y ) y
(3)
即
在D内是某一函数
的全微分,
du( x , y ) P d x Q d y
P Q . y x
(4)在D 内每一点都有
30
Q P 时， 由定理2知：当满足 x y 积分与路径无关，可以取路径为平行于
坐标轴的折线，即 x0 , y0 x, y0 x, y

10-3格林定理


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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L 例1 求椭圆x=acosθ, y=bsinθ 所围成图形的面积A.
解 设L是由椭圆曲线, 则
x =ψ1( y)
E D
x =ψ2 ( y)
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy
= ∫CBE Q ( x , y )dy + ∫EAC Q ( x , y )dy
= ∫L Q ( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
⇔ ∫ Pdx + Qdy + ∫
L1
Jlin Institute of Chemical Technology
L2
−
Pdx + Qdy = 0 ⇔ ∫
L1 + ( L2 )
−
Pdx + Qdy = 0 .
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
2
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) = ∫L Pdx + Qdy
2 3 1
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
Jlin Institute of Chemical Technology

10[1]3格林公式及其应用2010423

的三角形闭区域.
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
xe y2 dy
D
OA AB BO
xe y2dy
OA
1 xe x2 dx
0
1 (1 e1 ). 2
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1.曲线积分与路径无关的定义
D2
x
y
)dxdy
(
D3
x
y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
( L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1 D1
D2 L2
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲
L3
线所围成.添加直线段 AB,CE.
E
则D 的边界曲线由 AB,L2 ,BA, AFC,CE, L3 , EC 及 CGA 构成.
L
(2)在G内存在u(x,y),使得 称为Pdx+Qdy的原函数
du P(x, y)dx Q(x, y)dy
(3) (x,y) G, P Q ; y x
(4) 对G 内任意闭曲线C: Pdx Qdy 0 .
C
证明 (1)
(2)
在D内取定点
与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
P Q y x
证明 (3)
(4)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
P Q
D
y x
利用格林公式 , 得
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向为逆时针方向.
解: 记 L所围成的闭区域为 D , x y 令P 2 , Q 2 2 2 x y x y P Q y2 x2 2 ( x 2 y 2 0) x ( x y 2 ) 2 y y (1) 当(0, 0) D 时,
Q P )dxdy 0. 原式 ( x y D
一、格林公式
定理 : 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L围成， 函数P ( x , y )和Q ( x , y )在D上具有一阶连续偏 Q P 导数，则 Pdx Qdy ( )dxdy , L x y D 其中L取正向。
D
L
意义: 把二元函数在平面区域边界上的曲线积分 与其偏导函数在整个区域上的二重积分联系起来. 思考：如果L 取负向呢?
如果积分与路径无关，可选择特殊的积分路径 计算。
u ( x, y)
( x, y) ( x0 , y0 )
x
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y
y y0
P ( x , y0 ) d x Q ( x , y ) d y
x0
或 u ( x , y ) Q( x0 , y) d y P ( x , y ) d x y x
L
物理背景
研究力场所作的功与路径无关 的条件，如重力场。
定义：如果对于区域D内的任意两点A,B以及 D内从点A到点B的任意两条曲线，都有

L1
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
L
y
L1
B
L2
D
则称曲线积分 Pdx Qdy在 D内与路径无关.
o
A
x
定理 : 设D是平面单连通域，函数 ( x , y )、Q( x , y ) P 在D内具有一阶连续偏导数 ，则在D内以下命题 等价： 1. 沿任何闭曲线C，有 Pdx Qdy 0.
b
L1 y ( x ) 2
L2 L4 L3 y 1 ( x )
P ( x , 2 ( x ))dx P ( x, 1 ( x ))dx
a
D
P ( x , y ) [ dy]dx （把P ( x , y )看作y的函数 a 1 ( x ) y 用牛顿 莱布尼兹公式） P dxdy . y D
P( x x, y)x
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
du P dx Qd y u u 则 P ( x , y ), Q( x , y ) x y
Q 2u , x y x
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 Q P . x y
C
2.

L
Pdx Qdy与路径无关.
3. Pdx Qdy是某一函数u( x , y )的全微分，即 du Pdx Qdy. Q P 4. 在D内恒有 . x y
证明 (1) (2) 设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
L

1
Pd x Qd y
D
L
o
x
(2) 当(0,0) D 时,
P、Q在点(0,0)不具有连续偏导数， y 不能在D上运用格林公式 . 作位于 D 内圆周 l : x 2 y 2 r 2 ,
记 D1 由 L和 l 所围成,
o
L
l
r
D1
x
在D1上运用格林公式，得 xdy ydx L l Ll x 2 y 2 0
b
[ P ( x, 2 ( x )) P ( x, 1 ( x ))]dx
a
2 ( x )
a
x b
同理，如果 D 是 Y-型区域,则
Q( x, y )dy L L L L Q( x, y)dy
L
1 2 3 4
Qdy Qdy ( L1 , L3上 dy 0) Q(1 ( y ), y )dy Q( 2 ( y ), y )dy
o
x
x a cos t L: , t 从 0 变到 2， y b sint
1 2 原式 (ab cos 2 t ab sin 2 t ) d t 2 0
ab.
例2. 计算 ( x 2 y )dx (4 x 3 y )dy
3 2 L
x y 其中L是椭圆 2 2 1取正向。 a b y
解：P x 2 y, Q 4 x 3 y
3 2
2
2
L
Q P 原式 ( )dxdy x y D
(4 2) dxdy
D
o
x
2ab .
求对坐标的平面闭曲线积分的方法：
(1)利用曲线的方程化为直线积分(一元积分),
(2)利用格林公式化为平面区域积分(二重积分). 如果曲线不是封闭呢？
D
L
术语：
1.平面单连通域：设D为平面区域, 如果 D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连 通区域. D 单连通区域 D
复连通区域
2.边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走 时，区域D总在他的左边.
L1 L1
D
L2 L2
D
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
第十章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、 平面曲线积分与路径无关的 等价条件
F 牛顿-莱布尼兹公式： (b) F (a ) F ( x )dx
b a
把一元函数在区间端点的值与其导函数在 整个区间上的积分联系起来.
a
b
x
本节要介绍的格林公式则把二元函数在平 面区域边界上的曲线积分与其偏导函数在 整个区域上的二重积分联系起来.
Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy D
如果D是复连通域，则
Q P L1 Pdx Qdy ( x y )dxdy D1
Q P L2 Pdx Qdy ( x y )dxdy D2
Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy D
取 Q x, P 0, 得 A xd y
L
取 Q 0, P y, 得 A yd x
L
1 取 Q x, P y, 得 A ( x d y y d x ) 2 L
x2 y2 例1 计算椭圆 2 2 1所围的面积 . a b
y
1 解： A ( xd y y d x ) 2 L
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x, y) a x b,1 ( x) y 2 ( x)}

L
P ( x , y )dx P ( x, y )dx
L1 L2 L3 L4 L3
Pdx Pdx
L1 a b b
( L2 , L4上 dx 0)
2 ( y )
如果D既是X型又是Y 型，则
P L P( x, y)dx y dxdy D Q L Q( x, y)dy x dxdy D
皆成立，
相加得格林公式
Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy D
如果D不是X型或Y 型，
D
L1
D1
D2
L2
相加即得(注意D1、D2公共边界上的曲线积分 互相抵消 )
（注意此时D的边界有两条：外边界和内边界）
格林公式的一个小应用： 计算平面区域的面积
Q P ( x y )dxdy L Pdx Qdy D
Q P 若 1，则左式表示区域 D的面积A. x y
x

L OA



OA
a2 . 8
Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy D
注意格林公式成立的条件:
(1) 积分曲线L是正向的闭曲线； (2) P、Q在D上具有连续偏导数。
xdy ydx 例 4 计算 ,其中 L为一条无重点, L x2 y2 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方
则
( x, y) ( x 0 , y0 )
P d x Qd y
C ( x x, y )
x u u( x x, y) u ( x, y )

( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
P ( x, y) d x
xu u lim P( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y), 因此有 d u P d x Q d y y
证明 (4)
(1)
设C为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在D上
Q P x y
D D C
利用格林公式 , 得
Q P C P d x Q d y D ( x y )d xd y
0
证毕.
Q P 注： )由定理可知如果在单连 (1 通域内 ， x y 则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
xdy ydx 前例， 不一定与路径无关。 L x 2 y 2 . ( 3)由定理的证明过程可知
u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
Q P ( 2)如果 在复连通域内成立，则 曲线积分 x y
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
（其中l 的方向 取顺时针方向）