2020高三数学教师用书第九章 9.7

&# 已知点 %$#""%是圆0'$!/&!&-$&!&%"内的一点"那 么过点 % 的最短弦所在直线的方程是""""""""(
二解答题
'# 在平面直角坐标系$9&中"已知圆: 在$ 轴上截得的线段
长为!槡!"在& 轴上截得的线段长为!槡,( $#%求圆心: 的轨迹方程(
$!%若: 点到直线&%$ 的距离为槡!!"求圆: 的方程(
!$,槡,"!%的入射光线<#被直线<'&%槡,,$ 反射"反射光线 <!交&轴于" 点"圆0 过点! 且与<#"<!都相切"求<!所在 直线的方程和圆0 的方程(
第*题
* )" *
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 第九章"解析几何
第&)讲"圆的方程
""应知应会
二解答题 )# 已知圆0 截& 轴 所 得 的 弦 长 为 !"圆 心 0 到 直 线<'$&
&# !"#$漳州质检若点:$$"&%在直线$/&&-%"上"则 $!/&!的最小值是""""(
二解答题 '# 已知点:#$!",%":!$&-".%和!$&#"!%"求过点! 且与点
:#":!距离相等的直线方程(

【训练 2】 (1)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l 于点 C， 若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为________.
(2)已知点 A(3，0)，过抛物线 y2＝4x 上一点 P 的直线与直线 x＝－1 垂直相交于点 B，若|PB|＝|PA|，则 P 的横坐标为( )
y＝ax2(a≠0)可化为
x2＝1y，是焦点在 a
y
轴上的抛物线，且其焦点坐标是
0， 1 4a
，准线方程是
y
＝－41a.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(选修 2－1P72A1 改编)顶点在原点，且过点 P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x2 ＝－2ay(a>0)的通径长为 2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程
A.1
B.32
C.2
D.52
解析 (1)设 A，B 在准线上的射影分别为 A1，B1，
由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线的斜率为 3，
故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，
故 p ＝|CF|＝1，即 p＝3，从而抛物线的方程为 y2＝3x.

阶段强化练(七)一、选择题1．(2019·成都诊断)已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( )A ．长轴长为12B ．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32 答案 D解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得x 2116＋y 214＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32.故选D. 2．双曲线x 23－y 29＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3xB ．y ＝±13xC ．y ＝±3xD ．y ＝±33x 答案 C解析 因为x 23－y 29＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b ax ， 即为y ＝±3x ，故选C.3．(2019·河北衡水中学调研)已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±3xC ．y ＝±13x D ．y ＝±33x 答案 A解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A.4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( )A.45B.35C.34D.15答案 A解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34， 又b 2＋c 2＝a 2⇒⎝⎛⎭⎫34c 2＋c 2＝a 2⇒2516c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝45，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．[2，＋∞)C ．(1，3]D ．[3，＋∞)答案 A解析 双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A.6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( )A.13B.23C.23D.223答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0<k <1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝8k 2－4， ①x 1x 2＝4， ②根据抛物线定义及|F A |＝2|FB |得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2， ③且x 1>0，x 2>0，由②③解得x 1＝4，x 2＝1，代入①得k 2＝89， ∵0<k <1，∴k ＝223.故选D. 7．(2019·唐山模拟)双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，则E 的离心率为( )A ．2 B.2147 C ．2 2 D ．2 3 答案 C解析 由题意，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±7x ，即b a＝7，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝22，故选C.8．(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x答案 A解析 如图，作OA ⊥F 1M 于点A ，F 2B ⊥F 1M 于点B .因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a .整理，得b ＝2a .所以b a ＝ 2. 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.9．(2019·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，直线MN 与x 轴交于点R ，若∠NFR ＝60°，则|FR |等于( )A ．2 B. 3 C ．2 3 D ．3答案 A解析 由抛物线C ：y 2＝4x ，得焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥QF ，所以四边形QMRF 为平行四边形，|FR |＝|QM |，又由PQ 垂直l 于点Q ，可知|PQ |＝|PF |，因为∠NFR ＝60°，所以△PQF 为等边三角形，所以FM ⊥PQ ，所以|FR |＝2，故选A.10．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A. 2 B.32C. 3 D ．2 答案 A解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 11．(2019·湖南长沙长郡中学调研)已知点P (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与抛物线y 2＝2x 交于不同的两点A ，B ，若x 轴是∠APB 的角平分线，则直线l 一定过点( )A.⎝⎛⎭⎫12，0 B ．(1,0) C ．(2,0) D ．(－2,0)答案 B解析 根据题意，直线的斜率存在且不等于零，设直线的方程为x ＝ty ＋m (t ≠0)，与抛物线方程联立，消元得y 2－2ty －2m ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为x 轴是∠APB 的角平分线，所以AP ，BP 的斜率互为相反数，所以y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝0， 所以2ty 1y 2＋(m ＋1)(y 1＋y 2)＝0，结合根与系数之间的关系，整理得出2t (－2m )＋2tm ＋2t ＝0,2t (m －1)＝0，因为t ≠0，所以m ＝1，所以过定点(1,0)，故选B.12．(2019·陕西四校联考)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22等于( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D ．3答案 A解析 如图所示，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3， 则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos2π3， 化简得3a 21＋a 22＝4c 2， 该式可变成3e 21＋1e 22＝4.故选A. 二、填空题13．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为________．答案 2 2解析 双曲线C ：x 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，点(4,0)到C 的渐近线的距离为|±4|2＝2 2. 14．(2019·新乡模拟)设P 为曲线2x ＝4＋y 2上一点，A (－5，0)，B (5，0)，若|PB |＝2，则|P A |＝________.答案 4解析 由2x ＝4＋y 2，得4x 2＝4＋y 2(x >0)， 即x 2－y 24＝1(x >0)， 故P 为双曲线x 2－y 24＝1右支上一点， 且A ，B 分别为该双曲线的左、右焦点，则|P A |－|PB |＝2a ＝2，|P A |＝2＋2＝4.15．已知抛物线y 2＝4x ，圆F ：(x －1)2＋y 2＝1，直线y ＝k (x －1)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A ，B ，C ，D ，则|AB |·|CD |的值是________．答案 1解析 设A (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则|AB |·|CD |＝(|AF |－1)(|DF |－1)＝(x 1＋1－1)(x 2＋1－1)＝x 1x 2，由y ＝k (x －1)与y 2＝4x 联立方程消y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，x 1x 2＝1，因此|AB |·|CD |＝1.16．(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|P A ||PB |＝λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|P A ||PB |＝2，△P AB 的面积最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则椭圆的离心率为________． 答案 32解析 依题意A (－a ,0)，B (a ,0)，设P (x ，y )，依题意得|P A |＝2|PB |，(x ＋a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，两边平方化简得⎝⎛⎭⎫x －53a 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫43a 2， 故圆心为⎝⎛⎭⎫5a 3，0，半径r ＝4a 3. 所以△P AB 的最大面积为12·2a ·43a ＝163，解得a ＝2， △PCD 的最小面积为12·2b ·⎝⎛⎭⎫5a 3－4a 3＝b ·a 3＝23， 解得b ＝1.故椭圆的离心率为e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝1－14＝32. 三、解答题17．(2019·湖南长沙长郡中学调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －3)2＋(y －b )2＝r2(r为正数，b∈R)．(1)若对任意给定的r∈(0，＋∞)，直线l：y＝－x＋r＋4总能把圆M的周长分成3∶1的两部分，求圆M的标准方程；(2)已知点A(0,3)，B(1,0)，且r＝103，若线段AB上存在一点P，使得过点P的某条直线与圆M交于点S，T(其中|PS|<|PT|)，且|PS|＝|ST|，求实数b的取值范围．解(1)根据题意可得，圆心到直线的距离为22r恒成立，即|3＋b－r－4|2＝22r，整理得|b－1－r|＝r，去绝对值符号可得b－1－r＝r或b－1－r＝－r，根据恒成立，可得b＝1，所以圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝r2.(2)根据题意，如果存在满足条件的点，对应的边界值为过圆心的弦，而从另一个角度，即为线段端点值满足条件即可，先考虑点A，即为|AM|≤3r，即(0－3)2＋(b－3)2≤9×109，解得2≤b≤4，再考虑点B，即为|BM|≤3r，即(1－3)2＋b2≤10，解得－6≤b≤6，两者取并集，得到b的取值范围是[－6，4]．18.(2019·陕西四校联考)已知抛物线C：y2＝2px过点A(1,1)．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3，－1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．(1)解由题意得2p＝1，所以抛物线方程为y2＝x.(2)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN 的方程为x ＝t (y ＋1)＋3， 代入抛物线方程得y 2－ty －t －3＝0. 所以Δ＝(t ＋2)2＋8>0，y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝－t －3.所以k 1·k 2＝y 1－1x 1－1·y 2－1x 2－1＝y 1－1y 21－1·y 2－1y 22－1＝1(y 1＋1)(y 2＋1)＝1y 1y 2＋y 1＋y 2＋1 ＝1－t －3＋t ＋1＝－12， 所以k 1·k 2是定值．。

§9.8 曲线与方程1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1．f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件吗？提示 是．如果曲线C 的方程是f (x ，y )＝0，则曲线C 上的点的坐标满足f (x ，y )＝0，以f (x ，y )＝0的解为坐标的点也都在曲线C 上，故f (x 0，y 0)＝0是点P (x 0，y 0)在曲线f (x ，y )＝0上的充要条件． 2．方程y ＝x 与x ＝y 2表示同一曲线吗？ 提示 不是同一曲线．3．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹是什么图形？ 提示 依题意知，点P 到直线x ＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P 的轨迹是抛物线． 4．曲线的交点与方程组的关系是怎样的？ 提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解； (2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋xy ＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x 2＝y 2.( × ) (3)y ＝kx 与x ＝1ky 表示同一直线．( × )(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．( × ) 题组二 教材改编2．已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点，若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线答案 D解析 由已知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知， 点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线． 3．曲线C ：xy ＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______． 答案 2解析 在曲线xy ＝2上任取一点(x 0，y 0)，则x 0y 0＝2， 该点到两坐标轴的距离之积为|x 0||y 0|＝|x 0y 0|＝2.4．若过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1，l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，则AB 中点M 的轨迹方程为__________．答案 x ＋y －1＝0解析 设M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM ，∵l 1⊥l 2. ∴|PM |＝|OM |，而|PM |＝(x －1)2＋(y －1)2，|OM |＝x 2＋y 2. ∴(x －1)2＋(y －1)2＝x 2＋y 2， 化简，得x ＋y －1＝0， 即为所求的轨迹方程． 题组三 易错自纠5．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线．6．已知M (－1,0)，N (1,0)，|PM |－|PN |＝2，则动点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线左支 C ．一条射线 D ．双曲线右支答案 C解析 由于|PM |－|PN |＝|MN |，所以D 不正确，应为以N 为端点，沿x 轴正向的一条射线． 7．已知M (－2,0)，N (2,0)，则以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝4(x ≠±2) 解析 连接OP ，则|OP |＝2，∴P 点的轨迹是去掉M ，N 两点的圆， ∴方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．题型一 定义法求轨迹方程例1 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程．解 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4>2＝|MN |.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．跟踪训练1 在△ABC 中，|BC |＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD |－|CD |＝22，则顶点A 的轨迹方程为______________． 答案 x 22－y 22＝1(x >2)解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |， |AE |＝|AF |.所以|AB |－|AC |＝22<4，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支(y ≠0)，且a ＝2，c ＝2，所以b ＝2， 所以轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．题型二 直接法求轨迹方程例2 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． (1)证明 由题意知，F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)解 设过AB 的直线为l ， 设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝1或x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)．而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合， 此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．跟踪训练2 (2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )为动点，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)． 由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|， 即(a －c )2＋b 2＝2c ， 整理得2⎝⎛⎭⎫c a 2＋ca －1＝0，得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12，所以e ＝12. (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c )，消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝85c ，代入直线方程得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝⎛⎭⎫85c ，335c ，B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝⎛⎭⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y . 于是AM →＝⎝⎛⎭⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2， 即⎝⎛⎭⎫8315y －35x ·x ＋⎝⎛⎭⎫85y －335x ·3x ＝－2. 化简得18x 2－163xy －15＝0. 将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x>0.所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)． 题型三 相关点法求轨迹方程例3 如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p >0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．解 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2,2)， 代入y 2＝2px ，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，D ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝⎛⎭⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1，∴l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎨⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2,22]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y22，可得M (x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝－8x 0，y ＝－y0x 0，可得⎩⎨⎧x 0＝－8x，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2,22]，知x ∈[－4，－22]，∴动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y )，主动点坐标为(x 1，y 1)； (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝f (x ，y )，y 1＝g (x ，y )； (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程． (4)检验：注意检验方程是否符合题意．跟踪训练3 (2018·包头调研)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点．点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点，求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线的对称性， 得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )，直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．②由①②相乘得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对答案 C解析 由(x －y )2＋(xy －1)2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.故选C. 2．已知点O (0,0)，A (1,2)，动点P 满足|OP →＋AP →|＝2，则P 点的轨迹方程是( ) A ．4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0 B ．4x 2＋4y 2－4x －8y －1＝0 C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0 D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0 答案 A解析 设P 点的坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，AP →＝(x －1，y －2)，OP →＋AP →＝(2x －1,2y －2)．所以(2x －1)2＋(2y －2)2＝4，整理得4x 2＋4y 2－4x －8y ＋1＝0.故选A.3．在平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．双曲线 答案 A解析 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)，∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x ＋2y －5＝0，表示一条直线．4．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( ) A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)答案 A解析 设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(a －x )，y －b ＝－2y ，即a ＝32x >0，b ＝3y >0.由题意得，点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ，b 代入ax ＋by ＝1得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．故选A.5．在△ABC 中，B (－2,0)，C (2,0)，A (x ，y )，给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程．下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为( ) A ．C 3，C 1，C 2 B ．C 1，C 2，C 3 C ．C 3，C 2，C 1 D ．C 1，C 3，C 2答案 A解析 ①△ABC 的周长为10，即|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，又|BC |＝4，所以|AB |＋|AC |＝6>|BC |，此时动点A 的轨迹为椭圆，与C 3对应；②ABC 的面积为10，所以12|BC |·|y |＝10，即|y |＝5，与C 1对应；③因为∠A ＝90°，所以AB →·AC →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2＋y 2－4＝0，与C 2对应．故选A. 6．(2018·抚顺模拟)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠P AB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支答案 C解析 可构造如图所示的圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB 与平面α的夹角为60°，则截口为P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆．故选C.7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2，∴3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0.∴P 的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆．即轨迹所包围的图形的面积等于4π.8．直线x a ＋y 2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是______________． 答案 x ＋y ＝1(x ≠0且x ≠1)解析 直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴的交点为A (a,0)，B (0，2－a )，设AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a 2，消去a ，得x ＋y ＝1.因为a ≠0且a ≠2，所以x ≠0且x ≠1. 9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是______________．答案 x 24＋y 23＝1(y ≠0) 解析 设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，所以|F A |＋|FB |＝4>2，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．10.如图，P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，且OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是____________．答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1 解析 由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1. 11．已知定圆M ：(x －3)2＋y 2＝16和圆M 所在平面内一定点A ，点P 是圆M 上一动点，线段P A 的垂直平分线l 交直线PM 于点Q .(1)讨论Q 点的轨迹可能是下面的情形中的哪几种：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点．(2)若定点A (5,0)，试求△QMA 的面积的最大值．解 (1)由题意知|QP |＝|QA |，①当A 在圆M 外时，|MA |>4，且||QA |－|QM ||＝|PM |＝4<|MA |，所以Q 点的轨迹是以M ，A 为焦点的双曲线，见图(1)．②当A 在圆M 内，且与M 不重合时，|MA |<4，且|QA |＋|QM |＝|MP |＝4>|MA |，所以Q 点的轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆，见图(2)．③当A 在圆M 上时，l 过定点M ，l 与PM 的交点Q 就是点M ，所以点Q 的轨迹就是一个点，见图(3)．④当A 与M 重合时，l 与PM 的交点Q 就是PM 的中点，所以点Q 的轨迹就是圆，见图(4)． 综上所述，Q 点的轨迹可能是①②④⑥四种．(2)因为A (5,0)在圆M 内，由(1)知，点Q 的轨迹是以M ，A 为焦点的椭圆，且|MA |＝2＝2c ，|MP |＝4＝2a ，所以b ＝3，由椭圆的几何性质可知，Q 为短轴端点时，S △MQA 最大，所以S △MQA 的最大值为12·2c ·b ＝ 3. 12.如图，P 是圆x 2＋y 2＝4上的动点，点P 在x 轴上的射影是点D ，点M 满足DM →＝12DP →.(1)求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N (3,0)的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．解 (1)设M (x ，y )，则D (x,0)，由DM →＝12DP →知，P (x,2y )， ∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋4y 2＝4，故动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1，且轨迹C 为椭圆． (2)设E (x ，y )，由题意知l 的斜率存在，设l ：y ＝k (x －3)，代入x 24＋y 2＝1， 得(1＋4k 2)x 2－24k 2x ＋36k 2－4＝0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝24k 21＋4k 2， ∴y 1＋y 2＝k (x 1－3)＋k (x 2－3)＝k (x 1＋x 2)－6k＝24k 31＋4k 2－6k ＝－6k 1＋4k 2. ∵四边形OAEB 为平行四边形，∴OE →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24k 21＋4k 2，－6k 1＋4k 2， 又OE →＝(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝24k 21＋4k 2，y ＝－6k 1＋4k 2，消去k ，得x 2＋4y 2－6x ＝0，由(*)中Δ＝(－24k 2)2－4(1＋4k 2)(36k 2－4)>0，得k 2<15，∴0<x <83. ∴顶点E 的轨迹方程为x 2＋4y 2－6x ＝0⎝⎛⎭⎫0<x <83.13．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y答案 B解析 ∵M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，∴M 的轨迹是以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1. A 项，直线x ＋y ＝5过点(5,0)，故直线与M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5,0)，故椭圆x 225＋y 29＝1与M 的轨迹有交点，满足题意； D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，∴Δ>0，满足题意． 14．设点P (x ，y )是曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)上的动点，且满足x 2＋y 2＋2y ＋1＋x 2＋y 2－2y ＋1≤22，则a ＋2b 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．(0,2] 答案 A解析 设F 1(0，－1)，F 2(0,1)， 则满足x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2＝22的点P 的轨迹是以F 1(0，－1)，F 2(0,1)为焦点的椭圆，其方程为x 21＋y 22＝1.曲线a |x |＋b |y |＝1(a >0，b >0)为如图所示的菱形ABCD ，C ⎝⎛⎭⎫1a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，1b . 由于x 2＋(y ＋1)2＋x 2＋(y －1)2≤22，所以菱形ABCD 在椭圆上或其内部，所以1a ≤1，1b ≤2，即a ≥1，b ≥22. 所以a ＋2b ≥1＋2×22＝2.故选A.15．已知过点A (－3,0)的直线与x ＝3相交于点C ，过点B (3，0)的直线与x ＝－3相交于点D ，若直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为______________．答案 x 29＋y 294＝1(y ≠0) 解析 设点M (x ，y )，C (3，m )，D (－3，n )，则直线CD 的方程为(m －n )x －6y ＋3(m ＋n )＝0，因为直线CD 与圆x 2＋y 2＝9相切，所以3|m ＋n |(m －n )2＋36＝3，所以mn ＝9，又直线AC 与BD 的交点为M ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ y x ＋3＝y －m x －3，y x －3＝y －n x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6y x ＋3，n ＝－6y x －3，所以－36y 2x 2－9＝9， 所以点M 的轨迹方程为x 29＋y 294＝1(y ≠0)． 16．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离的积等于常数a 2(a 2>4)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是________．答案 ②③解析 因为原点O 到两个定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)的距离的积是4，又a 2>4，所以曲线C 不过原点，即①错误；设动点P 在曲线C 上，因为F 1(－2,0)，F 2(2,0)关于原点对称，所以|PF 1|·|PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确； 因为12F PF S ＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2 ≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2， 即△F 1PF 2的面积不大于12a 2，即③正确．。