十字相乘法因式分解-教学设计

(2) -m²+2mn-n²= -(m²-2mn+n²)= -(m-n)²
(3) ax2+4ax+3a=a(x²+4x+3)
提问：请问x²+4x+3还能再分解吗？
设计意图
复习旧知， 引入新知
同 伴互 助 答疑解惑
设计意图
十字相乘法因式分解
十字相乘法 =(x+1)(x+
x2 + 4x + 3=(x+1)(x+3) 步骤： ①竖分常数项与二次项; ②交叉相乘，积相加; ③检验确定，横写因式
试一试：把下列各式因式分解。
(1) x2 8x 7
(2)x2 2x 15
x -7
x
5
x -1
x
-3
x 7x 8x
3x 5x 2x
解:原式=(x-7)(x-1)
解:原式=(x+5)(x-3)
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，
因式的符号与一次项系数的符号相同.
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，
初步探究，总 结方法
十字相乘法因式分解 1. 概念：
借用一个十字叉帮助我们把二次三项式分解因式，这种 方法叫做十字相乘法。 2. 式子表示为：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
形成概念， 总结方法
3、步骤： （顺口溜）竖分常数交叉验，横写 因式不能乱。
１.因式分解与整式乘法的关系？
２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
x 1
x 6
小结：
1、十字相乘法因式分解概念： 2、因式分解的十字相乘法式子表示： x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 3、十字相乘法因式分解的步骤： 4、竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1) （4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x 2＋px ＋q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q ＞0时，a 、b 同号，且a 、b 的符号与p 的符号相同； 当q ＜0时，a 、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。

十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。

2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。

3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。

二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。

2. 学生准备：纸和笔。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。

b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。

2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。

b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。

c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。

3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。

b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。

4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。

b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。

5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。

b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。

6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。

b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。

四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。

2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。

五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。

2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。

六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。

然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。

此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。

第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。

教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。

二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。

3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。

二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。

2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。

关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。

分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。

例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。

分析：此例题中各式都有很大的相同之处。

只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
【答案】B
例8、把多项式 因式分解是 ，则m、n的值分别是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【试一试】整式 能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有（）
（A）4个.（B）5个.（C）6个.（D）8个.
【答案】C
课堂作业
1．若 能分解成两个一次因式的积，且m为整数，则m不可能是( )D
【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：1＝1×1；
分解常数项：6=1×6=6×1=(－1)×(－6)=(－6)×(－1) =2×3=3×2=(－2)×(－3)=(－3)×(－2).
【答案】（1）6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5)；（2）5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y)
（3）(x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y)2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
【说明】把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1×3+2×1=5
1×1+2×3=7
1×(－3)+2×(－1)=－5
1×(－1)+2×(－3)=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
【答案】2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).

十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。

2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。

3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。

教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。

2. 教学中使用的教材和习题。

3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。

4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。

教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。

2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。

讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。

2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。

3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。

b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。

c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。

d. 化简和测试分解因式的正确与否。

示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。

2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。

巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。

2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。

总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。

2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。

3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。

评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。

2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。

备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。

人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握用十字相乘法分解因式的方法。

教材通过实例引入，让学生理解并掌握十字相乘法的步骤和规律。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的练习来巩固。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、因式分解的基本方法，但对于用十字相乘法因式分解可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，通过大量的练习让学生熟练运用。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法，能够独立完成简单的题目。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法。

2.教学难点：如何引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，以及如何运用到实际问题中。

五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解十字相乘法的原理和方法。

2.案例分析法：教师通过分析具体案例，让学生掌握十字相乘法的运用。

3.小组合作法：学生通过小组合作、讨论，共同解决问题，培养合作意识。

4.练习法：学生通过大量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.课件：教师准备相关的课件，帮助学生直观地理解十字相乘法。

2.练习题：教师准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.小组合作学习材料：教师准备小组合作学习所需的材料，促进学生互动交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的例子，引导学生思考如何将一个多项式因式分解。

让学生尝试用已学的因式分解方法解决问题，从而引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示十字相乘法因式分解的步骤和规律，让学生初步了解并感知十字相乘法。

十字相乘法教学设计（多篇）篇：十字相乘法设计因式分解——十字相乘法东莞市可园中学教材与学情分析本课时属数学教材八年级上学期《分解因式》的补充内容，依据一是这一内容在九年级解一元二次方程中有很大的应用价值，二是学生的掌握难度并不大，增补此内容并不会增加学生负担，三是学习此内容可开阔学生视野，锻炼学生的思维，所以，我们也安排了课时讲解此内容。

教学目标：1、会用十字相乘法进行二次三项式（x2px q）的因式分解；2、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，在尝试中提高学生的观察能力和逆向思维能力。

教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（x2px q）的因式分解。

b，a b q。

教学难点：在x2px q分解因式时，准确地找出a、使ab p，教学过程：一、复习引入分解因式：把一个多项式分解成几个整式的_______的形式。

已学的因式分解方法有_______________和______________.思考：你知道x25x6怎样分解因式吗？二、探究(x2)(x3) = ____；(x2)(x4)= _。

填空：（1）（2）(x3)(x4)= ___；(x a)(x b)= _。

（3）（4）根据上面结果，你会对下列二次三项式进行因式分解？请试一下。

它们有什么共同的特点？(1)x25x 6 =____________ , (2) x22x8=_______________。

(3)x27x12 =____________ , (4)x2(a b)x ab =_______________。

共同特点：①二次项系数是_____；②常数项是两个数之_______；③一次项系数是常数项的两个因数之_______。

例题讲解例1.因式分解x25x 6十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

练习1 .因式分解（1）x27x 6 （2）x25x 6例2.因式分解x22x8练习2.因式分解（1）x22x8 （2）x27x8四、巩固练习练习3.因式分解（1）x27x10 （2）x27x10（3）x29x10 （4）x23x10练习4.若x2mx n(x4)(x9)，则m=______，n=________.五、拓展提升出题比赛练习5.在横线上填一个整数，然后因式分解（1）x2____x15 （2）x2____x 15练习6.若x2ax6在整数范围内可以因式分解，则a的值可能是_____________.六、小结七、教学反思在读书的时候学到十字相乘法时，曾经心里有这样一个疑惑，是不是所有的二次三项式都可以用十字相乘法进行因式分解呢？如果不是，那满足什么条件的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解呢？这留作我们今天这节课的第三个思考题。

“十字相乘法”教学设计(优秀3篇)“十字相乘法”教学设计篇一【教学内容】8．壹五十字相乘法（第一课时，课本P.49～P.51）【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质。

【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2+px+q的二次三项式分解因式。

【教学难点】把x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使a·b=q；a+b=p.【教学过程】一、复习导入1．口答计算结果：(1)(x+2)(x+1)(2)(x+2)(x－1)(3)(x－2)(x+1)(4)(x－2)(x－1)(5)(x+2)(x+3)(6)(x+2)(x－3)(7)(x－2)(x+3)(8)(x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢？[在多项式的乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab]二、探索新知1、观察与发现：等式的左边是两个一次二项式相乘，右边是二次三项式，这个过程将积的形式转化成和差形式，进行的是乘法计算。

反过来可得x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).等式的左边是二次三项式，右边是两个一次二项式相乘，这个过程将和差的形式转化成积的形式，进行的是因式分解。

2、体会与尝试：①试一试因式分解：x2+4x+3；x2－2x－3将二次三项式x2+4x+3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3+1=4，恰好等于一次项系数，所以用十字交叉线表示：x2+4｛WWW.JIAOXUELA｝x+3=(x+3)(x+1).x+3x+13x+“十字相乘法”教学设计篇二教学目标：1.使学生经历整十、整百数乘整十数的口算乘法的过程，能比较正确熟练地进行口算。

2学会运用整十、整百数乘整十数的口算乘法解决简单的实际问题。

人教版八年级上册9.15：因式分解十字相乘法教学设计
一、教学目标
1.知识目标：了解因式分解的定义和方法，掌握十字相乘法的运用。

2.能力目标：能够对简单的多项式进行因式分解。

3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。

二、教学重难点
1.教学重点：因式分解和十字相乘法的学习。

2.教学难点：多项式因式分解的学习。

三、教学过程
1. 导入环节
•介绍本次课将要学习的内容，引入因式分解和十字相乘法的概念。

2. 新课讲解
（1）因式分解的定义和方法
•通过示例引导学生了解因式分解的概念。

•教师讲解因式分解的方法：提取公因数法、分组法、十字相乘法。

（2）十字相乘法的运用
•具体讲解十字相乘法的步骤和运用。

3. 练习环节
•通过课堂练习节目，让学生掌握因式分解的方法。

•课堂分组，同学之间可以互相合作，相互交流，互相矫正。

4. 知识点总结和归纳
•总结本节课所学的知识点，让学生在脑海中形成对这些知识点的一个清晰的概念。

四、教学资源
•教学课件、白板、笔记本、教材、练习册。

五、教学反思
通过本节课，学生能够了解因式分解的定义和方法，掌握十字相乘法的运用。

在教学过程中，通过示例的引导，让学生更好地理解了因式分解的概念；并在练习环节中，让学生锻炼了自己的思维能力。

同时，也意识到在这个过程中，教师的引导作用是非常重要的。

在这个基础上，我们需要努力，使学生能够更好地掌握这个知识点。

微课设计方案
微课名称因式分解之
十字相乘法
教师姓名刘玉梅
所在单位武胜县中心镇小学
知识点来源□学科：初中数学□年级：八年级上册□教材版本：新人教版□所属章节：第十四章
录制工具和
方法
设计思路本节微课是在学生学习了因式分解中的提公因式法和公式法之后的一个补充。

所以我先通过复习前面知识来引入课题，接着就探索新知，学生通过练习掌握方法，紧跟着总结这节课的内容，最后布置作业。

最终达到灵活运用十字相乘法进行因式分解的目的。

教学设计
内容
教学目的1.熟练掌握因式分解的定义；
2.会用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解；
教学重点难
点能熟练运用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解；
教学过程一．复习引入
1.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
2.你能对进行因式分解吗？（设疑激趣）二．动手操作，探究新知
1.例题讲解，方法总结。

2.课堂练习。

三．知识小结
四．作业布置
应用说明
这节微课，我依据课程标准、教材特点、遵循学生的认知规律。

通过四个环节的教学设计，但主要是通过对具体例题的讲解，最后达到灵活运用十字相乘法进行因式分解的目的。

这就是我对本节课的理解和说明。

7
6
2-
+x
x。

分解因式－－十字相乘法教学目标：学会用十字相乘法分解二次三项式教学过程：一、引入：计算：⑴()()32++x x ⑵()()61++-x x ⑶()()32+-x x ⑷()()61-+x x ⑸()()b x a x ++对于上述第⑸题若反过来写便得：()()b x a x ab x b a x ++=+++)(2，一般地：对于二次三项式q px x ++2，当b a p ab q +==,时，有()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22，运用这个公式，可以把某些二次项系数化为1的二次三项式分解因式.例1：把下列各式分解因式：（1）6x 5x 2++； （2）6x 5x 2-+； （3）6x 5x 2+-； （4）6x 5x 2--巩固练习：（1）2x 3x 2++； （2）6x 7x 2+-； （3）21x 4x 2--； （4）15x 2x 2-+例2：分解因式：（1）8624++x x （2）()()342++-+b a b a练习：⑴8224--x x ； ⑵91024+-a a ； ⑶6327261a a -+； ⑷()()20n m 8n m 2-+-+例3：把下列各式分解因式：⑴3722+-x x ； ⑵5762--x x ； ⑶22865y xy x -+练习：把下列各式分解因式：（1）162--x x ； （2）1202+--x x ； （3）22914b ab a +-小结：作业：讲义家作：讲义命题人：吕永红 审核：缪月红 班级 姓名1.()()()___________2x x ab x b a x =++-；()()()16_____52+-=--x x x x ； ()()_________1522x x x x =--；2．如果ab kx x +-2可以分解因式为()()b x a x ++，那么k 是 .3.如果多项式a x x +-32可以分解为()()b x x +-5，则a= ，b= .4.如果()()()5332--=-++x x b x b a x ，则a= ，b= .5.下列分解因式正确的是（ ） A.()()b a b a b a 55522-+=-B.()()b a b a b ab a 22322--=--C.()()b a b ab a --=---111D.()12+--=-+-b ab a a ab b a6.已知452-+mx x 能够分解因式，那么m 等于（ ） A.44± B.12± C.4± D.以上都可以7.把下列各式分解因式：⑴1032--x x ； ⑵1032-+x x ； ⑶1072+-x x ； ⑷21102---x x ；⑸222411b ab a +- ⑹()()3222222----x x x x ； ⑺435261222x a x a ax -+；⑻221811y xy x ++； ⑼423512mab b ma ma --； ⑽()()22225646a a a a ----；⑾()()8323222----y y y y ⑿2522++x x ； ⒀51362++x x⒂22523y xy x --； ⒃2234y xy x -+ ⒄61362+-x x ⒅1202+--x x ；命题人：吕永红 审核：缪月红 班级 姓名一、 填空题：1.()()()_____x ______x ab x b a x 2=++-； ()()()1x 6x _____x 5x 2+-=--； ()()_____x ____x 15x 2x 2=--； ()()()2x 3x 6_____x 2++=++； ()()____x ____x 32x 31x 2=-+； ()()()_____2x 8x _____x 2+=++；()()()_____2x 8x ____x 2-=-+； ()()()______3x 111x ____x 2-=-+.2.下列二次三项式①4x 4x 2++②9x x 2--③6x 7x 2+-④3a 2a 2--中，能用十字相乘法分解因式的有 个.3.如果ab k x x 2+-可以分解因式为()()b x a x ++，那么k 是 .4.如果多项式a x 3x 2+-可以分解为()()b x 5x +-，则a= ，b= .5.如果()()()5x 3x b 3x b a x 2--=-++，则a= ，b= .6.在多项式①10x 3x 2--②60x 4x 2--③100x 20x 2+-④40x 13x 2++中，含有相同因式的是 .二、 选择题：1.下列分解因式正确的是（ ）A.()()b 5a b 5a b 5a 22-+=-B.()()b 2a b a b 2ab 3a 22--=--C.()()b 11a 1b ab a --=--- D.()1b ab a a ab b a 2+--=-+-2.已知45mx x 2-+能够分解因式，那么m 等于（ ）A.44±B.12±C.4±D.以上都可以三、 把下列各式分解因式：1.10x 3x 2--；2.10x 3x 2-+；3.10x 7x 2+-；4.21x 10x 2---；5.22b 24ab 11a +-6.2324a 6b a 5b a +-；7.22n 16mn 6m -+；8.6bm 5m b 22--；9.22q 24pq 10p -+10.322b 6ab 4b a 2++-； 11.14a 5a 24=-； 12. ()()2b a b a 24-+-+四、 解答题：1. 已知矩形的面积为()3x 12x 7x 2>++，其中一边长为3x +，求表示该矩形的另一边长的代数式。

十字相乘法教案教学目标：1.知识目标：使学生掌握通过代换方法，进行可以转化为x2＋(a＋b)x＋ab型的多项式因式分解，领会整体代换、字母表示式和化归等数学方法。

理解运用十字相乘法分解因式的关键。

2.能力目标：通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；训练学生思维的灵活性、层次性，逐步提高学生运用变量代换思想和化归思想解决问题的能力。

3.情感目标：通过问题解决，培养合作意识，激发成功体验，鼓励创新思维。

教学设计思想：本课是简单介绍十字相乘法后的第二节课，结合学生基础较好的特点，我改变教参中的处理方式，尝试以二期课改的理念为指导，帮助学生进行探索性地学习，更好地实现有效学习。

在设计上，希望使学生体会字母表示式的想法和数学题的演变，学会透过现象看本质，灵活运用十字相乘法分解因式，进一步理解运用十字相乘法分解因式的关键。

感悟，从整体上观察、思考和处理问题是一种重要的数学方法，也是解决数学问题、发展数学内容时常用技能和技巧。

化归思想是数学中解决问题的主要思想方法。

教学过程：一、复习引入1．回忆课本上十字相乘法分解因式的一般步骤例１：把多项式x2－3x + 2分解因式。

x －１x －２解：x2－3x + 2 ＝ (x－１) (x－２)像这种借助于画十字交叉线分解因式的方法叫做十字相乘法。

提问：是不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式？答：不是，（反例：x2 +３x－2）。

提问：形如x2＋px＋q的二次三项式满足什么条件时可以用十字相乘法分解因式？请同学总结：（板书）x2＋px＋q当q＝ab，p ＝a＋b时，x2＋px＋q = (x＋a) (x＋b) （*）再提问：在将首项系数为1的二次三项式因式分解时，你认为要注意什么？答：试分解后要及时检验，纵向相乘得首项，末项；交叉相乘得中间项。

应该注意的是一次项的系数和末项的系数都是包含了符号的。

如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数的积，它们的符号与一次项系数p的符号相同。

十字相乘法教学设计【使用说明与学法指导】1.在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。

训练案在自习或自主时间完成。

2.重点预习：十字相乘法教学设计【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如 x2 + px + q的二次三项式分解因式；2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质；【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如 x2 + px + q的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2+ px + q分解因式时，准确地找出a、b,使a - b = q；a + b = P.【教学过程】【探究案】合作探究(一)：探索十字相乘法的原理1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？(1)(x+2)(x+1) (2) (x+2)(x — 1) (3) (x—2)(x+1) (4) (x -2)(x-1)(5 ) (x + a)(x + b)=2.看谁算得又快又准确？(1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x -3) (3) (x -2)(x+3) (4) (x —2)(x — 3)3.能否把x2-x-6和x2+(a+b)x+ab分解成两个一次二项式相乘的形式？试一试，。

引例：因式分解：x 2 + 4x + 3将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项 x2分解为x - x,常数项3 分解为3X1,而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数，所以用十字交叉线表示：x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).x +3 ..x _+1 ______________________3x + x = 4x试一试：因式分解: x2— 2x -3推广：x2+ (a +b)x +ab =归纳：十字相乘法定义：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.合作探究(二) 用十字相乘法分解下列因式例1:将下列各数表示成两个整数的积的形式(尽所有可能)：6= ; 12= ; 24= ;-6= ; -12= " -24= .例2:将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) x 2—7x + 12; (2) x 2— 4x-12; (3) x 2 + 8x + 12 ;合作探究（三） 用十字相乘法分解下列因式 例3:将下列各式用十字相乘法进行因式分解:(4) x 2-11x-12;(5) x2+ 13x + 12 ;(6) x2-x- 12;(1) 6x 2 x-1 (2) 2x 2 +x-3(3) 3x 2 - 5x-122(4) 6x - 11x -10课堂小结：对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.2.符号规律：当q>0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q<0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与 p的符号相同.3.书写格式：竖分横积本节的困惑：__________________________________________________________________【训练案】1.多项式2x2-xy-15 y2的一个因式为( )(A) 2x-5y (B) x-3y (C) x+3y (D) x-5y2.(a+b)2 +8(a+b) —20 分解困式得( )(A) (a+b+10)(a+b-2) (B) (a+b+5)(a+b—4)(C) (a+b+2)(a+b —10) (D) (a +b+4)(a + b-5)3.若多项式x2 -3x+a可分解为(x -5)(x -b),则a + b =4.若 x2 +ax+b =(x+2)(x—4)贝(J a=, b=2 25.a -5ab 6b6.3a2-2b-8拓展练习先填空,再分解（尽可能多的）：x 2 C ）x + 60 =。

用十字相乘法分解因式教学设计【教学目标】知识目标：学会用十字相乘法分解二次三项式；注意分解因式的基本步骤。

能力目标：渗透待定系数的思想。

情感目标：感受数学的简洁之美。

【教学重点】：恰当将系数分解质因数，凑出符合的“十字”。

【教学难点】：二次项系数不为1的二次三项式的因式分解。

【课前准备】：学案，阅读教材P172.【教学课时】：1课时。

【教学过程】：一、课前阅读。

阅读教材P172，尝试解决下面的问题。

1、完成后面的四道练习。

2、能用十字相乘法分解的二次三项式有何特征？3、已知x2+mx-12可以分解为两个一次二项式之积，则整数m的值可能是多少？二、新课学习。

（一）引入。

解一元二次方程x2-2x-3=0.（二）阅读效果交流。

1、请学生订正课本上的练习。

【教师点拨】①可应用前面所学的配方思想来解决；②注意一次项系数的符合.③在此处教画十字。

2、请学生谈问题2.【教师点拨】即公式x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

概括：能够分解为（x＋p）（x＋q）的二次三项式满足以下条件：①二次项系数为____；②一次项系数等于_________；③常数项等于________.3、订正问题3.【教师点拨】因-12=-1×12=-12×1=-2×6=-6×2=-3×4=-4×3，故m应有六种可能的值。

4、预习检测：将下列各式因式分解。

（1）x2 —6x ＋8 （2）x2 —2x —15（3）x2 —8x +12（三）阅读中学习。

1、例1、解方程：x2 +6x－7＝0口诀：“竖分常数交叉验，横写因式不能乱。

阅读后反思：A、联系：本题与前面的因式分解题有什么相同之处？B、区别：本题与单纯的因式分解题有何区别？C、方法与思想：几个因式的积为0，则必有一个因式为0.【教师点拨】一元二次方程的标准形式为二次三项式的和为0，则只需将二次三项式分解为几个因式之积，就能应用“几个因式的积为0，则必有一个因式为0”求出未知数的值，可见，解方程与整式的变形是统一的。

十字相乘法1.二次三项式多项式ax2+ bx + c,称为字母x的二次三项式，其中ax 2称为二次项，bx为一次项，C为常数项.例如，x2 -2x-3和x2 + 5x + 6都是关于x的二次三项式.在多项式x2 -6xy + 8j2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式.在多项式2a2b2—7ab + 3中，把ab看作一个整体，即2(ab)2 -7(ab) + 3，就是关于ab的二次三项式.同样，多项式(x + y)2 + 7(x + y) +12，把x+y看作一个整体，就是关于x+y的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax+b)(cx+d)竖式乘法法则.它的一般规律是：31)对于二次项系数为1的二次三项式x2 + px + q ,如果能把常数项q分解成两个因数a,b的积，并且a+b为一次项系数p，那么它就可以运用公式x2 + (a + b)x + ab =(x + a)(x + b)3 •因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法.对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行.以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”.【典型热点考题】例1把下列各式分解因式:(1)x2 -2x-15 ；(2) x2 —5xy + 6y2.点悟：(1)常数项一15可分为3义(一5),且3 + (—5)=—2恰为一次项系数；(2)将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y2可分为(一2y)( —3y),而(一2 y ) + ( —3 y ) = (—5 y)恰为一次项系数.解：(1) x2 - 2x -15 =(x + 3)(x - 5)；(2)x2 -5xy + 6y2 =(x-2y)(x-3y).例2把下列各式分解因式：(3)2x2 -5x-3 ； (2) 3x2 + 8x-3 .点悟：我们要把多项式ax2 + bx + c分解成形如(ax1+ ,)(ax2 + c2)的形式，这里4a2 = a ,c c = c而a c + a c = b .解：(1) 2x2 - 5x - 3 =(2x +1)(x - 3)；(4)3x2 + 8x- 3 =(3x-1 )(x + 3).点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性.例3把下列各式分解因式：(1 ) x 4 -10 x 2 + 9 ；(5)7(x + y)3 -5(x + y)2 -2(x + y)；(6)(a2 + 8a)2 + 22(a2 + 8a) +120 .点悟：(1)把x2看作一整体，从而转化为关于x2的二次三项式；(2)提取公因式(x+y )后，原式可转化为关于(x+y )的二次三项式；。