圆锥曲线的相关结论

圆锥曲线常用结论1.圆锥曲线的定义：（1）定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。

若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

抛物线定义中，定点和定直线是焦点和准线，要注意定点不在定直线上，否则轨迹为过定点且和定直线垂直的直线.（2）抛物线定义给出了抛物线上的点到焦点距离与此点到准线距离间的关系，要善于运用定义对它们进行相互转化。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在轴上： =1，焦点在轴上：＝1（）。

方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由,项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F，F的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

⾼中数学有关圆锥曲线的经典结论有关解析⼏何的经典结论⼀、椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线⽅程是00221x x y ya b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意⼀点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点⾓形的⾯积为122tan 2F PF S b γ=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆⼀个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a=-，即0202y a x b K AB-=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的⽅程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹⽅程是22002222x x y yx y a b a b+=+. ⼆、双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内⾓，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右⽀；外切：P 在左⽀）00022a b 0线的切线⽅程是00221x x y ya b -=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线⽅程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点⾓形的⾯积为122t 2F PF S b co γ=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - ,2(,0)F c当00(,)M x y 在右⽀上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左⽀上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上⼀个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线⼀个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平⾏于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =?，即0202y a x b K AB =。

高中数学圆锥曲线常用98条结论1.椭圆的离心率小于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。

2. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则椭圆的标准方程为(x/a)+(y/b)=1。

3. 椭圆的焦距为c=√(a-b)。

4. 椭圆的面积为πab。

5. 椭圆的周长近似为2π√((a+b)/2)。

6. 椭圆的离心率为e=c/a。

7. 双曲线的离心率大于1，且焦点在中心到长轴的垂线上。

8. 长轴和短轴的长度分别为2a和2b，则双曲线的标准方程为(x/a)-(y/b)=1。

9. 双曲线的焦距为c=√(a+b)。

10. 双曲线的面积为πab。

11. 双曲线的渐近线方程为y=±(b/a)x。

12. 双曲线的离心率为e=c/a。

13. 抛物线的离心率等于1，且焦点在抛物线的顶点上。

14. 抛物线的标准方程为y=4ax。

15. 抛物线的焦距等于a。

16. 抛物线的面积为2/3×a×(4a/3)。

17. 抛物线的顶点坐标为(0,0)。

18. 抛物线的准线方程为y=-a。

19. 圆的标准方程为(x-a)+(y-b)=r。

20. 圆的直径为圆心的两倍半径。

21. 圆的周长为2πr。

22. 圆的面积为πr。

23. 直线与圆相交，切点到圆心的距离垂直于直线。

24. 切线方程为y-y=k(x-x)，其中k为切线斜率。

25. 直线与圆相切，切点坐标为(x,y)，则切线方程为(y-y)=k(x-x)，其中k为直线斜率。

26. 椭圆的切线方程为(ay/b)+(x/a)=1。

27. 双曲线的切线方程为(ay/b)-(x/a)=1。

28. 抛物线的切线方程为y=2ax。

29. 椭圆的法线方程为(by/a)+(x/a)=1。

30. 双曲线的法线方程为(by/a)-(x/a)=1。

31. 抛物线的法线方程为y=-x/(2a)。

32. 椭圆的两条直径的交点在椭圆的中心点上。

33. 椭圆的两条直径的长度之和为2a。

34. 椭圆的两条直径的中垂线交于椭圆的中心点。

圆锥曲线常用结论一.椭 圆1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.2.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.3.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 4.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过P 0作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的方程是00221x x y ya b+=.5.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.6.椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-.7.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交焦点F 对应的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=.10.椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者.二.双曲线1.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.2.以焦半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支).3.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 4.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)外 ，则过P 0作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 5.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.6.双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的焦半径公式：|MF 1|=|a+ex 0|,|MF 2|=|a-ex 0|.7.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.8.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.9.AB 是双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =.10.双曲线焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.11.由焦点向渐近线作垂线，其垂足比在对应的准线上；反之，过渐近线与准线的交点与对应焦点的连线比垂直于过此点的渐近线.三.椭圆与双曲线的对偶结论1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=. ①双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则2020BC b x k a y =(常数).②过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则2020BC b x k a y =-(常数).3.点A 1，A 2是椭圆上关于原点对称的两点，点P 为椭圆上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=-22ab .③点A 1，A 2双曲线上关于原点对称的两点，点P 为双曲线上任意一点，直线P A 1，P A 2的斜率分别为K 1，K 2，则K 1·K 2=22ab ；4.若P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=,21PF F β∠=，则tan t 22a c co a c αβ-=+.④若P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=，则tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+). 5.设椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin sin sin ce aαβγ==+.⑤设双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在△PF 1F 2中，记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=，则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.6.P 为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时，等号成立.⑥P 为双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)上任一点,F 1,F 2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时，等号成立. 7.过椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF eMN =.⑦过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ，则||||2PF e MN =.8.已知椭圆22221x y a b+=( a ＞b ＞0),A 、B 、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则22220a b a b x a a---<<. ⑧已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a+≥或220a b x a +≤-. 9.已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC x ⊥轴，则直线AC 经过线段EF 的中点.⑨已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0,b ＞0)的右准线l 与x 轴相交于点E ，过右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上，且BC ⊥x 轴，则直线AC 经过线段EF 的中点. 10.椭圆、双曲线、抛物线的所有焦点弦中，通径最短.11.求过二次曲线Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0上一点P(x 0，y 0)的切线方程时，只需将x 2→xx 0,y 2→yy 0,x →20x x +, y →20y y +,xy →xy 0+yx 0.四.抛物线1.以弦AB 为直径的圆与准线x=-2p 相切.2.以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切.3.点A,B 在准线上的射影分别为A 1,B 1,则∠A 1FB 1=900.4.直线AB 与抛物线的方程为y 2=2px(p >0)交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M(x 0,y 0),则直线AB 的斜率k=y p . 5.设抛物线的方程为y 2=2px(p >0),过焦点F(2p,0)的直线AB 的方程为x=ty+2p ,设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2),则 ①x 1· x 2=42P , y 1·y 2=-P 2. ②243p OB OA -=⋅.③|AB|= =α2sin 2p(α为AB 的倾角). ④FB FA 11+=P2. 6.设AB 为焦点弦， M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF.7.设AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为A 1，B 1，若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB. 8.若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线.9.若OA 、OB 是过抛物线22(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p .反之亦成立.。

圆锥曲线的一些重要结论：1. 以椭圆的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相离。

2. 以双曲线的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相交。

3. 以抛物线的的焦点弦为直径的圆与其相应的准线相切。

4. 以椭圆上的任一点为顶点的焦点三角形中，过任一焦点作其外角平分线的垂线，垂足的轨迹必为一圆（除开两点）。

5. 双曲线上不同于顶点的任一点与两焦点所构成的三角形的内切圆必切于与该点同侧的双曲线顶点。

6. 抛物线的焦点弦，被焦点所分两线段长的倒数和为定值。

7. 椭圆上到一焦点的距离最值点必为长轴两顶点。

8. 椭圆上短轴顶点对两焦点所张的角是椭圆上任一点对两焦点所张角的最大者。

椭圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角。

2.若PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴两个端点。

3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离。

4.以焦半径PF 1为直径的圆必与长轴为直径的圆内切。

5.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 上，则过0P 的切线方程是12020=+b y y a x x 。

6. 若),(000y x P 在椭圆12222=+by a x 外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为21,P P ,则切点弦21P P 所在的直线方程是12020=+b yy a x x 。

7. 椭圆12222=+b y a x 上任一点P ，若θ=∠21PF F ，则θcos 12||||221+=b PF PF ;2tan 221θb S PF F =∆。

8. 椭圆12222=+by a x 的焦半径公式：01||ex a MF +=，02||ex a MF -=。

其中)0,(),0,(21c F c F -。

9.设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 是椭圆长轴的一个端点，连接AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆的准线于M,N ，则MF ⊥NF.10. 设过椭圆的焦点F 作直线与椭圆交于P,Q 两点，A 1,A 2是椭圆长轴的端点，A 1P 与A 2Q 相交于点M ，A 2P 和A 1Q 相交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆12222=+b y a x 的不平行于对称轴的弦),(00y x M 是弦AB 的中点，则22ab k k OM AB -=；AB 是椭圆12222=+b y a x 的长轴的端点,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22a b k k PB PA -=; AB 是椭圆12222=+by a x 的关于原点对称的两点,,P 是椭圆上不同于A,B 的任一点,则22ab k k PBPA -=.12.若),(000y x P 在椭圆12222=+b y a x 内，则被),(000y x P 平分的弦的方程是：=+2020by y a x x 220220b y a x +。

高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
一、圆锥曲线的标准方程
圆锥曲线的标准方程为：
$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a与b分别是椭圆的两个半径，且ab，a与b是正实数。

二、圆锥曲线的性质
1. 圆锥曲线的概念
圆锥曲线是由两个椭圆及其余部分所构成的四边形的边界线，是圆锥曲线的概念。

2. 圆锥曲线的对称性
由于圆锥曲线是由两个椭圆所构成，因此它具有x轴对称性和y 轴对称性，即曲线的俩边彼此对称。

3. 圆锥曲线的四个焦点
圆锥曲线的四个焦点分别位于椭圆的两个长轴端点，称为四个焦点。

4. 圆锥曲线的两个长轴
圆锥曲线的两个长轴是两个椭圆的长轴，它们的长度分别是a和b，两轴相交处的位置是圆锥曲线的中心点。

5. 圆锥曲线的弧长
圆锥曲线的弧长为：
$$mathcal{L}=2aarcsinfrac{b}{a}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。

6. 圆锥曲线的曲率
圆锥曲线的曲率为：
$$K=frac{a}{b}$$
其中，a与b是椭圆的两个半径，且ab。

有关圆锥曲线的四组结论及其应用
1、圆锥曲线结论：一条圆锥曲线都可以表示为与轴成一定余角的
正弦曲线，它的焦点和轴向量成正比。

2、平面上的圆锥曲线有两个焦点。

在平面内，它的曲线的几何形状是
自相似的。

3、空间上的圆锥曲线也有两个焦点，它的曲线的几何形状不是自相似的，它的曲线会发生波动。

4、应用：圆锥曲线用于许多工程领域，如机械设计、结构设计和航空
航天等，也常用于几何学和动力学中。

例如，它用于圆锥组件的设计，如螺旋桨叶片、火花塞等，以及高速旋转盘、高精度机械装置、海上
风机等。

圆锥曲线也可以用于工作介质管道结构件的设计，如水管、
燃气管、液压系统等。

1 / 24圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，2 / 24即0202y a x b K AB-=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.3 / 2411. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

圆锥曲线中的一些定点、定值、定比等结论结论1：设椭圆221122111(0)xya b a b +=>>和双曲线222222221(0,0)xya b a b -=>>共焦点1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是两曲线的一个交点，经过点P 的椭圆和双曲线的斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-. 结论2：设抛物线22(0)y px p =>和椭圆22221(0)x y a b ab+=>>共焦点(,0)(0)F c c >，P 是两曲线的一个交点，椭圆的离心率是e ，经过点P 的两曲线切线的斜率为1k 和2k ，则2121(1)2k k e =-.（试选此题证明）结论3：设抛物线22(0)y px p =>和双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>共焦点(,0)(0)F c c >，P 是两曲线的一个交点，双曲线的离心率是e ，经过点P 的两曲线切线的斜率为1k 和2k ，则2121(1)2k k e =-.结论4：抛物线的两条弦平行的充要条件是这两条弦的中点连线平行（或重合）于该抛物线对称轴.（试证明）结论5：椭圆与双曲线的两条平行弦的中点连线经过椭圆的中心.（试证明） 结论6：过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的右顶点M (a ,0)作直线MA 与直线MB 交该椭圆于A ，B 两点，若MA ⊥MB ，则直线必过定点2222()(,0)a a b a b-+.（试证明）结论7：过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上的任意定点M (x 0, y 0)作直线MA 与直线MB 交椭圆于A ，B 两点，若MA ⊥MB ，则直线必过定点2222002222(,)a b b a x y a ba b--++.结论8：过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上的任意定点M (x 0, y 0)作直线MA 与直线MB 交椭圆于A ，B 两点，若k M A ·k MB =m 22()b m a≠，则直线必过定点2222002222(,)a b b a x y a ba b--++.结论9：直线AB 与抛物线22(0)y px p =>相交于点A 和B ，若OA ⊥OB ，则此直线必过定点(2,0)p . 结论10：直线与抛物线22(0)y px p =>交于A ，B 两点，M 是其顶点，当k M A ·k MB =m (0)m ≠时，直线恒过定点2(,0)p m -.（试用三种方法证明）结论11：过抛物线22(0)y px p =>的任意定点M (x 0, y 0)作直线AM 与MB 交双曲线于A ，B 两点，当k M A ·k MB =m (0)m ≠时，直线AB 恒过定点002(,)p x y m-+-.结论12：已知抛物线22(0)y px p =>过点F (m ,0) (0)m ≠的直线交抛物线于点M 、N ，交y 轴于点P ，若,PM M F PN N Fλμ== ，则1λμ+=-.（试用三种方法证明）结论13：已知抛物线y 2=2px (p >0),过点M (0, m )(m ≠0)的直线与抛物线相交于不同的两点A 、B ,与x 轴相交于C (c ,0), 求证:|MC |2=|MA |·|MB |.结论14：已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>，过点F (m ,0)的直线交椭圆于点M 、N ，交y 轴于点P ，若,P M M F λ=PN NFμ= ，则2222am aλμ+=-.特别地，当F 为焦点时，222a bλμ+=-.（试证明）结论15：已知双曲线22221(0,0)xya b a b-=>>，过点F (m ,0)的直线交椭圆于点M 、N ，交y 轴于点P ，若,PM MF λ= PN N F μ=，则2222am aλμ+=-.特别地，当F 为焦点时，222a b λμ+=.结论16：A 、B 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上的两点，且OA ⊥OB ，则22221111||||O A O B ab +=+.(试证明)结论17：A 、B 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上的两点，且OA ⊥OB ，则22221111||||O A O B ab+=-.结论18：设12,,,n P P P 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上的n 个点,且122311n n n P OP P OP P OP P OP -∠=∠==∠=∠ ,则222221211111()2nnO P O PO Pab+++=+.(试用极坐标方法证明)结论19：若M 、N 是椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上关于原点对称的两点，P 是椭圆上不同于M 、N 的任意一点，且,PM PN k k 存在，则22PM PN b k k a⋅=-.(试用点差法证明和函数与方程思想证明)结论20：若M 、N 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上关于原点对称的两点，P 是双曲线上不同于M 、N 的任意一点，且,PM PN k k 存在，则22PM PN b k k a⋅=.结论21：直线AB 与椭圆22221(0)x y a b ab+=>>交于A 、B 两点，M 是AB 的中点，且直线AB 、OM 的斜率存在，证明：22O M AB b k k a⋅=-.结论22：直线AB 与双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>交于A 、B 两点，M 是AB 的中点，且直线AB 、OM 的斜率存在，证明：22O M AB b k k a⋅=.结论23：过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上任意一点P 作双曲线的渐近线的平行线，分别交渐近线于点M 、N ，则224a b PM PN -⋅= .(试证明)结论24：设双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP (O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点.若,O R O P O Q O Pλμ==,则1λμ=.结论25：设双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右顶点为A ，P 是双曲线上异于顶点的一个动点，从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP (O 为坐标原点)分别交于Q 和R 两点.则2OR OQ OP ⋅= .(试证明23条) 结论26：过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上任意一点P 作双曲线的渐近线的垂线，垂足分别为M 、N ，则22224()a b b a PM PN c-⋅= . 结论27：过双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于M 、N ，O 为坐标原点，则22OM ON a b ⋅=-.结论28：过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作一直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则2||A OB S A B ∆=38p.结论29：过x 轴上一点A (-m ,0)(m >0)引动直线与抛物线22(0)y px p =>相交于M 、N 两点，过点M 、N分别作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程是x =m (y y ><.(试证明)结论30：过x 轴上一点2(,0)(0)aA a m m>>引一条动直线与椭圆22221(0)x y a b ab+=>>相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作椭圆的切线，则两条切线的交点轨迹方程是x =m (y y aa><.结论31：过x 轴上一点2(,0)()aA m a m>引一条动直线与双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>相交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作双曲线的切线，则两条切线的交点轨迹方程是x =m (y y aa><-.结论32：过直线x =m (y y ><上一点引抛物线22(0)ypx p =>的两条切线，切点分别为M 、N ，则M 、N 的连线过定点(-m ,0). (试证明)结论33：过直线x =m (y y aa ><-(a >m >0)上一点引椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的两条切线，切点分别为M 、N ，则M 、N 的连线过定点2(,0)am.结论34：过直线x =m (y y aa><-()m a >上一点引双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条切线，切点分别为M 、N ，则M 、N 的连线过定点2(,0)am.结论35：抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M 、N ，则线段MN 恒过定点3(,0)2p T ，且以AB ，CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是以OT为直径的圆. (试证明) 结论36：椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的焦点F (c ,0)(或F (-c ,0))，过焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为M 、N ，则线段MN 恒过定点222(,0)a c T a b+或(222(,0)a c T a b-+)，且以AB ，CD 为直径的两圆公共弦中点的轨迹是过定点为T 的圆.。

圆锥曲线的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.（椭圆的光学性质）2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.（中位线）3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.（第二定义）4. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.（求导）5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.（结合4）6. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.（余弦定理+面积公式+半角公式）7. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).（第二定义）8. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF9. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. MN 其实就在准线上，下面证明他在准线上根据第8条，证毕10. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。

高中圆锥曲线结论总结
高中圆锥曲线结论总结
1. 圆锥曲线的四个结论
（1）射线定理：从一点到圆锥曲线的任意一点所经过的射线的数量等于该点到曲线的曲线线切线的数量。

（2）弦定理：任意一点到圆锥曲线的弦的长度大于等于这个点到曲线的曲线线切线的长度。

（3）指数定理：圆锥曲线的指数为1/2。

（4）矩定理：圆锥曲线的曲线线切线的长度等于任意一点到圆锥曲线的弦的弧长的平方。

2. 圆锥曲线的曲线线切线
圆锥曲线的曲线线切线的斜率大于等于0，且圆锥曲线的曲线线切线的斜率没有上限。

3. 圆锥曲线的曲线长
圆锥曲线的曲线长是指从曲线的一端到另一端的距离，它等于圆锥曲线的椭圆长度加上圆锥曲线的半径长度。

标准文档圆锥曲线重要结论椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF⊥NF.标准文档10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b-=.6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.标准文档8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。

★说明:圆锥曲线我们并未学完，有些内容（如焦半径公式），将此资料发到群里是想让大家在日常学习过程中自我感悟使用，不要过分纠结于此！有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x ya b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+. 二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。