指数函数图象的翻折平移.ppt

(C)向左平移1个单位长度 (D)向右平移1个单位长度
分析
∵
y3(1)x (1)x1 33，∴可以把函数yFra bibliotek (1)x 3
的图像向右平移1个单位长度，得到
函数 y (1 ) x1的图像，故选(D). 3
例2：函数 y a x 2 1 (a 0 且 a 1 ) 的图像必经过点 （2，2）
分析：令 y a x 必过点（0，1）
y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称
y=-f(x)
y轴右边图像保持不变，左边图像与右边图像关于y轴对称
y=f(|x|)
x轴上方图像保持不变，下方图像翻折到x轴上方
y=|f(x)|
例1 为了得到函数 y 3(1)x 的图像，可以把函数
3
y
(1) x 3
的图像(
D
)
(A)向左平移3个单位长度 (B)向右平移3个单位长度
a>0时，向左平移a个单位，a<0时，向右平移|a|个单位
y=f(x)
y=f(x+a)(a≠0)
b>0时，向上平移b个单位，b<0时，向下平移|b|个单位
y=f(x)
y=f(x)+b(b≠0)
y=f(x) y=f(x) y=f(x) y=f(x)
y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称
y=f(-x)
∴f(0)=g(2)即 a0 a2a
∴a=2
y a x 右移2个单位 y ax2上移1个单位 yax2 1
（0，1）
（2，1）
（2，2）
变换作图法：
移动向量a=(2,1)
选基函数
写变换过程
画图像
例3：若 f (x) ax 与 g (x ) a x a(a 0 且 a 1 ) 的图像关于直线x=1对称，则a= 2

y2
x (1 (2 (3 (m
x
y 2 x
y 2) 4) 8) 2m ) x ( -1 ? ( -2 ? ( -3 ? ( -m ? y 2) 4) 8) 2m )
, , , ,
, , , ,
当自变量取值是一对相反数时，函数值是相等。 y=2 图像上任意一点P（x,y）关于y轴的对称 点P1(-x,y)都在y=2-x的图像上；反之亦然。
6
8
比较函数y=
2 、y=
x1
2 与y=
x2
2 x的关系：
将指数函数y=
2
x
的图象向右平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2x1 的图象， 将指数函数y= 的图象向右 平行移动2 8 个单位长度， 7 就得到函数 6 y= 2x2 5
9 8 7 6 5
2
x
的图象。
4 3 2 1
-6 -4 -2
一﹑平移变换
2
2
yx
左右平移: y=f(x)
平 平移|h|个单位 移 变 换 上下平移:
y=f(x)
上正下负 平移|k|个单位
左正右负
y=f(x+h)
-1 0
2 1 1
y(x 1 )
x
2
y=f(x)+k
3、如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和 y=（a-1)x2的图象只可能是( D )
y
4
3
2
1
-3 -2 -1 0
1 2 3 4 5
2 4
6
8
练习.已知函数y=|2x-2| （1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。

x x ( 2 ) 当 x 0 时，总有 a b 1 ;
x x ( 3 ) 当 x 0 时，总有 0 a b 1 ;
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 0 . 2,y 0 . 3 与 y 0 . 5 图像， 画出 y 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
综上总结， ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
f( x m ) )与 y 推广:比较函数 y f (x 的关系
向左平行移动m个单位长度 y f ( x ) 当m>0时,
yf( x m )
) 向右平行移动|m|个单位长度 yf( x m ) 当m<0时, y fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(x
作业：
P A 组第 3 题， B 组第 2 题 77
ya中 ,指数 x 与底数 a 满足以下规律
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x x
同一 x 下，比较 y a与 y b的大小方法
x
x 正半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值
x x 负半轴（即 x 0 ），同一 x 下， a 越大， y a 的值 .

.
二 对称问题 例1 说出下列函数的图象与指数函数 y=2x 的图象的关系,并画出它们的示意图.
(1) y 2
y
x
(2) y 2
（ x ,y ) 和 ( - x y,-y)关 于原点对称！
x
(3) y 2
y
x
o
x
o
x
o
x
（x,y)和(-x,y) 关于y轴对称！
（ x ,y ) 和 ( x , - y ) 关 于x轴对称！
x x
(3) y 2 1, y 2 1. y
x x
比较函数
y2
x
x
9 8 7 6 5 4 3 2
y 2 1
y 2 1
x
的图象关系 .
-4 -2
1 O
2 4
x
(3) y 2 1, y 2 1. y
x x
比较函数
y2
x
x
9 8 7 6 5 4 3 2
y 2 1
例4、画出下列函数的图像： 1 (1) y | x |, y | x |, y 2 | x | 2 (2) y 1 x, y 1 | x | (3) y x 1, y | x 1|
2 2
函数图象的变换
小结 (翻折变换） ：
1.将函数y=f(x)图像保留x轴上方的部 分并且把x轴下方的部分关于x轴作对 称就得到函数y=|f(x)|的图像
函数图象的变换 小结 (对称变换） ： 1.函数y=f(-x)与函数y=f(x)的图像关于y轴对称 2.函数y=-f(x)与函数y=f(x)的图像关于x轴对称 3.函数y=-f(-x)与函数y=f(x)的图像关于原点对 称

∴f(0)=g(2)即 a0 a 2a
∴a=2
y a x 右移2个单位 y a x2 上移1个单位 y ax2 1
（0，1）
（2，1）
（2，2）
变换作图法：
移动向量a=(2,1)
选基函数
写变换过程
画图像
例3：若 f ( x) a x 与 g(x) a xa (a 0且a 1) 的图像关于直线x=1对称，则a= 2
解：∵f(x)与g(x)图像关于x=1对称，
(C)向左平移1个单位长度 (D)向右平移1个单位长度
分析
∵
y 3 (1) x (1) x1 33
，∴可以把函数 y (1) x
3
的图像向右平移1个单位长度，得到
函数 y (1)x1的图像，故选(D). 3
例2：函数 y ax2 1(a 0且a 1) 的图像必经过点 （2，2）
分析：令 y ax 必过点（0，1）
y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称
y=-f(x)
y轴右边图像保持不变，左边图像与右边图像关于y轴对称
y=f(|x|)
x轴上方图像保持不变，下方图像翻折到x轴上方
y=|f(x)|
例1 为了得到函数 y 3 (1)x 的图像，可以把函数
3
y
(1) x 3
的图像(
D
)
(A)向左平移3个单位长度 (B)向右平移3个单位长度
a>0时，向左平移a个单位，a<0时，向右平移|a|个单位
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=f(x)
y=f(x+a)(a≠0)
b>0时，向上平移b个单位，b<0时，向下平移|b|个单位
y=f(x)
y=f(x)+b(b≠0)

∴ ＝在［-1，1］上单调递增，
∴
1
0< ≤≤.

由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3

1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3

1
2
2 −2−3

1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1

欢迎走进数学天地
2020年10月2日
1
2020年10月2日
2
平移、旋转、翻折 (一)
2020年10月2日
3
平移： 在平面内，将一个图形沿某一个 方向移动一定的距离，这样的图 形运动叫做平移。
旋转：在平面内，将一个图形绕一个定 点沿某一个方向转动一定 角度， 这样的图形运动叫旋转。
翻折：把一个图形沿某条直线翻折180
后所形成的新的图形的变化，这
2020年10月2日 样的图形运动叫翻折。
4
活动一
如图：在平面直角坐标系中，已知△ABC
（1）将△ABC向x轴负方向平移四个单位得 A1B1C1，画出图形并写
出A1 的坐标；
（2）将△ABC沿y轴翻折，得 A2B2C2，画出图形并写出A2的坐标。
（3）以O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得
，画
出图形并写A 的坐标；
A3B3C3
3
y
2020年10月2日
A
B
C
O
x
5
活动二
• 如图所示，正△ABC的中心O恰好为扇形ODE的圆心， 且△形点圆AB心BC在角与扇应扇形为形内多重，少叠要度部使？分扇请面形说积O明总D你等E绕的于点理△O由A无B。C论面怎积样的运13动，。扇Aຫໍສະໝຸດ F DBO
M
C
E
2020年10月2日
D
C
FE a
GA b
B
图2
9
(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在
旋转过程中, SDBF 是否存在最大值或最小
值,如存在,试求最大值或最小值,若不存在,
请说明理由. D
C
D
E a

y=f(x+1)
1 -1 O 1 y=f(x)-1 -1
y=f(x-1)
x
函数图象的平移变换：
y=f(x)
y=f(x+a)左右平移
a>0,向左平移a个单位 a<0,向右平移|a|个单位
b>0,向上平移b个单位 y=f(x) y=f(x)+b 上下平移 b<0,向下平移|b|个单位
比较函数y= 2 x、1 y= 2 x2 与y= 2 x 的关系：
一﹑平移变换
1.讨论函数 y x 2 与 y x 2 2 ,y (x 1)2
的图象之间的关系.
y
y x2 2
归纳：
y x2
左右平移:
左正右负
平 移
y=f(x) 平移|h|个单位 y=f(x+h)
2
1 y (x 1)2
变
-1 0
1
x
换 上下平移:
上正下负
y=f(x)
的图象向左 9
平行移动2
88
个单位长度，
77
就得到函数
66
y= 2 x2
55
的图象。
44
33
22
11
-6
-4 -3 -2-2 -1 0 1 22 3 4
6
8
对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法 作出：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图 等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，这种方法我们 遇到的有以下几种形式：
将指数函数y= 2 x 的图象向左平行移动1个单位长度，
就得到函数y= 2 x1 的图象， 将指数函数y= 2 x
的图象向左 9

y
y 1 x 2
底 大 图 低
y 1 x 3
在第一象限沿 箭头方向底增
大
y 3x y 2x
底 大 图 高
1
y 1 x
2
0 y 1 x
x
3
函数图象的变换
本节课主要研究函数图象的变换，得出y=f(x)与 y=f(-x), y=-f(x), y=f(|x|), y=|f(x)|的图象关系；并能 够通过y=f(x)图象的对称和翻折得出其余四个函数 图象。
（1）作出函数的图象； （2）指出函数 的单调区间； （3）指出x取何值时，函数有最值。
y
y=2x
y=2x-2
y=|2x-2|
1
y=|2x-2|
O 1 23 x -1
x
y=a(a=0) 有两个交点
-4
课堂训练
f ( x) x2 4x 3 函数的单调增区间 为
问题1：如何由f(x)=x2的图象得到下列各函
数的图象？
y y=f(x)+1
（1）f(x-1)=(x-1)2 （2）f(x+1)=(x+1)2
（3）f(x)+1=x2+1 （4）f(x) -1=x2-1
y=f(|x|) y=|f(x)|
f
(|
x
|)


f (x),(x 0) f (x),(x 0)
y
f (x)

f
(x), f (x) f (x), f (x)
0； 0.
y f 1(x) 与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
翻折变换
小结：
1、y=f(x)y=f(|x|)，将y=f(x)图象 在y轴右侧部分沿y轴翻折到y轴左 侧，并保留y轴右侧部分。 2、 y=f(x)y=|f(x)|，将y=f(x)图象 在x轴下侧部分沿x轴翻折到x轴上 侧，并保留x轴上侧部分。

课堂小结
(1) 本节学习了指数函数图像的平移，并拓展到 一般函数图像平移的情形；
(2) 掌握平移方法，利用平移画出相关函数图像， 理解平移方向与正负号的关系.
2 21
（2）类似可比较函数y=2x-2与y=2x的关系：
∵y=2-1-2与y=2-3 相等 y=20-2与y=2-2 相等
y y 2x y=2x-2
y=2…3-2 与…y=21 相等
∴y=2(t+2)-2与y=2t 相等
两个函数图像上纵坐标相等
1
的点的横坐标恰好相差 2
O
x
点(t, 2t) 右移2 点(t+2, 2t)
不再是指数函数了.
比较函数y 2 x、y 2x1与 y 2x2 的关系
y 2x
向左平行移动1个单位长度 x2
y
8
● ● y＝2x
7
6 y＝2x＋1
5
y＝ 2x +2
4 3
●●
2● ●
1 ● ●
●●
-5 -4 -3 -2-1O 1 2 3 4 5 x
y y=f(x)
y=f(x+m) 左移m 右移m y=f(x-m)
O
x
注意: 数与形变化的变化规律
（2） 沿y 轴上下平移 (n>0)
y
上移n O 下移n
y=f(x)+n y=f(x)
y=f(x)-
n x
（3）函数f (x) 平移的一般规律 y= f(x- m)
左右移
y=f(x)
上下移
y = f(x)+n
1. 实例 说明下列函数图像与指数函数y=2x
图像的关系, 并画出它们的示意图：

05
总结与展望
Hale Waihona Puke 结平移与反折的性质及变换关系平移性质
函数图像在平移过程中，其形状 和大小保持不变，只是位置发生 改变。平移变换可以通过在函数 表达式中加上或减去一个常数来
实现。
反折性质
函数图像在反折过程中，其形状 发生改变，但大小保持不变。反 折变换可以通过将函数表达式中
的x替换为-x来实现。
变换关系
平移的数学表达
x轴方向平移
$y=f(x-h)$（向右平移）和$y=f(x+h)$（向左平移）。
y轴方向平移
$y=f(x)+k$（向上平移）和$y=f(x)-k$（向下平移）。
03
函数图象反折
反折定义与性质
反折定义
将函数图像沿着垂直于x轴的直线进行 对称翻转，得到反折后的图像。
性质
反折后的图像与原图像在x轴上具有相 同的函数值，但在y轴上互为相反数。
探索变换在实际问题中的应用
函数图像变换在许多实际问题中有着广泛的应用，如物理学、工程学、 经济学等。未来可以探索如何将变换应用于实际问题中，以提高解决问 题的效率和质量。
完善变换的理论体系
虽然平移和反折是两种基本的函数图像变换，但目前关于变换的理论体 系还不够完善。未来可以进一步完善变换的理论体系，为研究其他类型 的函数图像变换提供基础和指导。
性质
平移不改变函数的值域、定义域和对应法则，只改变函数图象的位置。
平移的种类
x轴方向平移
函数图象沿x轴方向移动，对应函数解析式中的x替换为$x+h$ （向右平移）或$x-h$（向左平移），其中h为平移的距离。
y轴方向平移
函数图象沿y轴方向移动，对应函数解析式中的y替换为$y+k$ （向上平移）或$y-k$（向下平移），其中k为平移的距离。

1：在同一坐标系中，画出下列函数的图象。
1 : y 3x
2 : y (1)x 3
思考：y ax与y ax的图象有什么关系？
函数图象的变换
思考：y ax与y ax的图象有什么关系？
观察它们的图象
令f (x) ax ,则ax f (x) f (x) 图象关于y轴对称 f (x)
观察它们的图象
小结：
小结：
练习1：已知f (x) 2x , 作出| f (x) 1| 和f (| x 1|)的图象
练习2：方程2|x| x 2的实根的个数
(2)
f (x) 沿x轴负方向平移a个单位 f (x a), (a 0)
(3)
f (x) 沿y轴正方向平移b个单位 f (x) b, (b 0)
(4)
f (x) 沿y轴负方向平移b个单位 f (x) b, (b 0)
练习：利用函数y 2 作出函数y x 1的图象
f (x) 图象关于原点对称 f (x)
1、图象的对称变换
(1)
f (x) 图象关于y轴对称 f (x)
(2)
f (x) 图象关于x轴对称 f (x)
(3)
f (x) 图象关于原点对称 f (x)
例2、作出下列函数的图象， 说明它们与y 2x的图象的关系
x
x 1
y x 1 1 2 x 1 x 1
y 2 向左 平移1 y 2
y
x
x 1
y 1 2 向上平移1 x 1
1
2 1 0 1 2
x
3、图象的翻折变换
已知f (x) x2 2x 1， 如何作出 f (| x |) x2 2 | x | 1 和 | f (x) || x2 2x 1|

3
保留y轴右侧图像，再将y轴 右方图像对称翻折到y轴左方
y
x2
4x
3
y
4 y x2 4x 3
注意区分
y x2 4x 3
y
4
0,3 3
y f ( x )与
0,3 3
-4 -3 -2 -1
2
2,1
1
1,0 3,0
y f (x) 的表
现形式哦!
3,0
2
1,0 1 1,0 3,0
01 2 3 4 x
-3 -2 -1
01 2 3 x -1
-2 y=a(a=0) -3 有两个交点
-4
七、抽像概括
1、图像变换法：
（1）对称变换法
（2）翻折变换法
y f (x)
关于y轴对称
y f (x)
关于x y
轴对称
f (x)
关于直线 y f 1(x)
y＝x对称
关于原点对称
y f (x)
y f(x)
保留y轴右侧图像， 再将y轴右方图像对 称翻折到y轴左方
2、 f (x) 2x1 与g(x) 21x 的图像关于___y__轴________对称；
3、如何由函数 y 3x 的图像得到函数 y 3 (1)x
解：
y 3 (1)x 3 3x 3x1
3
3
y 3x 向左移1个单位 y 3x1 关于y轴对称
的图像？
y 3 x1
或：y 3x 关于y轴对称 y 3 x 向右移1个单位 y 3(x1) 3x1
y
4 3
y 2x
2
y 2x
1
-2 -1 0 1 2 x
-1
-2
-3

函数图象的变换
小结 (翻折变换） ：
1.将函数y=f(x)图像保留x轴上方的部 分并且把x轴下方的部分关于x轴作对 称就得到函数y=|f(x)|的图像
2.将函数y=f(x)图像去掉y轴左方的部 分，保留y轴右方的部分并且把它关于 y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图像
练习：(1) y x2 7x 12 (2) y | x2 7x 12 | (3) y x2 7 | x | 12
函数图象的变换
例3. 设f(x)= x 2 2 x 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)
的解 析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
y y=f(x)
O 12
x
Y
y f (x)
O
X
Y
yf(|x|)
O
X
菜单
翻折
Y
小结 (对称变换） ：
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