【全国省级联考word】湖北省2018届高三4月调研考试理数试题

武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC二、填空题13. 25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A BT ∆≅∆，于是111AA E A BT ∠=∠.由111190A BT ATB ∠+∠=，知11190AA E ATB ∠+∠=，∴11A E BT ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ，∴1M T A E ⊥，又1B T M T T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D AC ⊥. 又111D M AC ⊥，1111BD D M D =，∴11AC ⊥面11MD B ，∴111ACMB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E AC A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF . 易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=. 对于11A EC ∆，11AC =，1A E =1EC =11cos EAC∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S A C A E EA C =⋅∠12=⨯=.由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin θ===.19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩.∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =.∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==.设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =∴0)AB k CD λ==≠. ∴2241312kk kλ=++-41132k k=++-.令13t k k =+，则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt ≤<或1()2g t <≤故221λ<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点；③在0a >时，由'()0t g t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-.若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>，由于ln ()xf x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--.其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M .。

2018届湖北省宜昌市高三4月调研考试数学（理）试题一、单选题1．设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，∴，∴．选C．2．若复数是纯虚数，其中是实数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∴复数是纯虚数，∴，解得，∴，∴．选B．3．下列命题正确的是（）A. 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；B. 命题“若，则”的逆否命题为真命题；C. “”是“”成立的必要不充分条件；D. 命题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”.【答案】B【解析】选项A中，若“”为假命题，则命题与命题中至少有一个是假命题，故A不正确．选项B中，由于“若，则”为真命题，故其逆否命题为真命题，所以B正确．选项C中，“”是“”成立的充分不必要条件，故C不正确．选项D中，所给命题的否定为：“对任意，均有”，故D正确．故选B．4．已知随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）注：，.A. 6038B. 6587C. 7028D. 7539【答案】B【解析】∵随机变量，∴，∴，∴落入阴影部分的点的个数的估计值为个．选B．5．已知数列满足，且，则（）A. -3B. 3C.D.【答案】A【解析】∵，∴，∴数列是等差数列，且公差为2．∵，∴，.∴∴．选A．6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知“堑堵”的所有顶点都在球的球面上，且，若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】设球半径为，则，故．由题意得三棱柱的底面为等腰直角三角形，故底面三角形的外接圆的圆心为直角三角形斜边的中点，即如图中的点，所以外接球的球心为的中点．设三棱柱的高为，如图，在中，有，即，解得．所以三棱柱的体积是．选C．7．偶函数和奇函数的图象如图所示，若关于的方程，的实根个数分别为、，则（）A. 16B. 14C. 12D. 10【答案】D【解析】由，得，结合函数的图象可得有6个实根， 故； 同理，由得或，结合函数的图象可得，有4个实根，故． 所以．选D ．8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】第一次循环： 221120log log ,2123S n +=+==+ ，不满足3S <-；第二次循环： 22log ,34S n == ，不满足3S <-；第三次循环： 22log ,45S n == ，不满足3S <-；第一次循环： 22log ,56S n == ，不满足3S <-； ⋅⋅⋅ ；第十五次循环： 22log ,1617S n == ，满足3S <-； 16n = 。

2018年湖北省高三4月调考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则( )A． B． C． D．2.欧拉公式为虚数单位)是由著名数学家欧拉发明的，她将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则的值为( )A． B． C． D．3.记不等式组的解集为，若,则实数的最小值是( ) A．0 B．1 C．2 D．44.已知,则的值等于( )A． B． C. D．5.函数的图像大致为( )A． B． C. D．6.已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且,则( )A．1 B．3 C.1或9 D．3或77.执行如图所示的程序框图，若输出的值为6，且判断框内填入的条件是,则的取值范围是( )A． B． C. D．8.党的十九打报告指出，建设教育强国是中华民族伟大复兴的基础工程，必须把教育事业放在优先位置，深化教育资源的均衡发展.现有4名男生和2名女生主动申请毕业后到两所偏远山区小学任教.将这6名毕业生全部进行安排，每所学校至少安排2名毕业生，则每所学校男女毕业至少安排一名的概率为( )A． B． C. D．9.已知，则( )A． B． C. D．10.锐角中，角所对的边为的面积,给出以下结论：①；②；③；④有最小值8.其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C. 3 D．411.已知正三棱锥的顶点均在球的球面上，过侧棱及球心的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示，已知三棱锥的体积为，则球的表面积为( )A． B． C. D．12.设,其中，则的最小值为( )A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在的展开式中，常数项为．（用数字填写答案）14.已知向量与的夹角为30°，，则的最大值为．15.已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是．16.点是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，则三角形面积的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列，其中，且满足,.(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.18. 如图，在平行四边形中，°，四边形是矩形，，平面平面.(1)若，求证：；(2)(2)若二面角的正弦值为，求的值.19.随着网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中无现金支付是一个显著特征，某评估机构对无现金支付的人群进行网络问卷调查，并从参与调查的数万名受访者中随机选取了300人，把这300人分为三类，即使用支付宝用户、使用微信用户、使用银行卡用户，各类用户的人数如图所示，同时把这300人按年龄分为青年人组与中年人组，制成如图所示的列联表：(1)完成列联表,并判断是否有99%的把握认为使用支付宝用户与年龄有关系?(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户中(人数很多)随机抽取3人，用表示所选3人中使用支付宝用户的人数，求的分布列与数学期望.附:，其中.20.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当时，内切圆的半径为.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线与椭圆相较于两点，且，当直线的斜率之和为2时，问：点到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.21. 已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)求函数的极值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线,曲线为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程；(2)已知射线与曲线分别交于点（异于原点），当时，求的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为3.(1)求的值；(2)若，求证：.2018年湖北省高三4月调考理科数学参考答案一、选择题1-5:BACCC 6-10:CCCBD 11、12：AC二、填空题13. 112 14. 15. 16.三、解答题17.解：(1),又，所以是首项为4，公比为2的等比数列(2)由(1)知，①又又，所以为常数数列，)②联立①②得：,所以18.解：(1)连接，在中，由，由余弦定理易得，又，则；同理由余弦定理易得：，由四边形是矩形，则，又平面平面，所以平面，所以，同理，由勾股定理易求得，,显然,故；由，所以面，所以，所以面，所以；(2)以点为原点，所在的直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线轴建立空间直角坐标系，则设平面的法向量为，则,即,取，则，即,同理可求得平面的法向量为设二面角的平面角为，则则，即，解之得或，又,所以或19.(1)列联表补充如下,故有99%的把握认为支付宝用户与年龄有关系.(2)把频率作为概率，从所有无现金支付用户（人数最多）中抽取3人，可以近似看作3次独立重复实验，所以的取值依次为0,1,2,3，且服从二项分布所以的分布列为20.(1)依题意：,则，即又,联立解得：，故，所以椭圆的方程为(2)设,联立直线和椭圆的方程得：,当时有：由得：,即,整理得：,所以,化简整理得：，代入得：,解之得：或,点到直线的距离,设，易得或，则,当时；当时，,若，则；若，则，当时，综上所述：，故点到直线的距离没有最大值.21.解：(1)函数的定义域为，其导数为.当时，设，则，显然时递增；时，递减，故，于是，所以时，递减；时，递增；(2)由(1)知，函数在递增，在递减，所以又当时，,讨论：①当时，，此时：因为时，递增；时，递减；所以，无极小值；②当时，，此时：因为时，递减；时，递增；所以，无极大值；③当时，又在递增，所以在上有唯一零点,且,易证：时，，所以,所以又在递减，所以在上有唯一零点，且，故：当时，递减；当，递增；当时，递减；当，递增；所以，，,.22.解：(1)因为，所以曲线的普通方程为：，由，得曲线的极坐标方程，对于曲线,,则曲线的极坐标方程为(2)由(1)得,，因为，则23.(1)解：所以,即(2)由，则原式等价为：，即,而,故原不等式成立。

武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（ ）A ．2i +B ．2i -+C ．2i --D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A C ．． 5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25 B ．310 C ．15 D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >> 7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．(0,2 B ．[1,]2C ．(22-D ．(1,2 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ）A ．6B ．6-C ．24D ．24- 10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ）A ．2-B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）AC ．12D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）记ABCDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )xf x xe a x x =-+，a R ∈.（1）当a e =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC二、填空题13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A B T ∆≅∆，于是111AA E A B T ∠=∠.由111190A B T ATB ∠+∠=，知11190AAE ATB ∠+∠=，∴11A E B T ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1AE ⊂面11AA B B ，∴1M T A E ⊥，又1B T MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D AC ⊥.又111D M A C ⊥，1111B D D M D =，∴11A C ⊥面11MD B ，∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E A C A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF .易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---==11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E =1EC =，由余弦定理可知11cos EAC ∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S AC A E EAC =⋅∠12=⨯=.由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC =，设1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin 95θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩.∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =.∴0)ABk CD λ==≠.∴2241312k k k λ=++-41132k k=++-.令13t k k =+，则4()12g t t =+-，(,[23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1gt ≤<或1()2g t<≤+故221λ≤<或212λ<≤.即6(1,λ+∈. 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a =-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-. 若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>，由于ln ()x f x x =在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤.综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤.（2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+， 故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。

湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学2018.4、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的A- [-4,2]B . [-2,2]C • [-4. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，A. 2 iB .-2 i C . -2-iD.2-i2.已知集合 2M 二{x|x =1}，N={x| ax =1}，若N M ，则实数a 的取值集合为（)A. {1} B{-1,1}C . {1,0}D.{1,-1,0}取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过 106.若实数a ，b 满足 a b 1，m Hog a (log a b)，= (log a b)2，l Tog a b 2， 则m ，n ，l 的大小关系为（）A. m l n B . I n m7.已知直线y =kx -1与双曲线2 2x -y的取值范围为（）A (0,于)B. [1,£2 25 55（-丁三）D.（1三）51.复数一二的共轭复数是（）i —23. 执行如图所示的程序框图，如果输入的[-2,2]，则输出的S 属于（）止视图 侧视图=4的右支有两个交点，则kK —1—H俯视图它们之间距离的最大值为（）A. .3 B . 、、6 C . 2 .3 D . 2.65. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0L 9中任选一个，某人在银行自动提款机上2次就按对的概率为（）丄10b + cB + C8.在 ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a , b , c ,条件p : a 岂仝上，条件q : A 空B-C 2 2那么条件p 是条件q 成立的（ ） A.充分而不必要条件B•必要而不充分条件16 59.在（X ，—-1）的展开式中，含x 项的系数为（）x A. 6B.-6C.24D. -2410.若 x ,y 满足 X —+2 y+1 兰 2, 则M 2 2=2x + y -2x 的最小值为（）H 兀15.已知 x ，(, ) , y = f(x)-1 为奇函数，f'(x)，f(x)ta nx • 0 ,则不等式 f (x) cosx 的2 2解集为 __________ .16.在四面体 ABCD 中，AD 二DB 二AC =CB =1,则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ________ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题〜第21题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.C.充要条件 •既不充分也不必要条件11.函数f （x ） =2sin （ •，x0）的图象在［0,1］上恰有两个最大值点,3则」的取值范围为（）A. [2 二，4二]9兀13兀25兀.5 C UT )25兀.[2r )B , PA , PB 分别交x 轴于E , F两点，0为坐标原点，贝y PEF 与丄OAB 的面积之比为（)A.乜BVC1 D23• 213. 已知 sin ： =2cos ：，贝U sin ： cos ：二 ____ . 14. 已知向量 a , b , c 满足 a +b +2c =0 ,且 a =1, b =3 ,c -2，则A12.过点P （2, -1）作抛物线x 2 =4y 的两条切线,切点分别为A ,、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.a b 2a c 2b c =2n —117.已知正数数列｛a n｝满足：a^i =2, a n■ a nJ2(n_2).a n _a nj_(1)求a2, a3 ；（2）设数列｛b n｝满足b n =（a n -1）2 3- n2，证明：数列｛b n｝是等差数列，并求数列｛a.｝的通项a n.18.如图，在棱长为3的正方体ABCD - A1B1C1D1中，E , F分别在棱AB , CD（2）求直线FC1与平面AEC1所成角的正弦值上，且AE = CF = 1.（1）已知M为棱DD1上一点，且D1M =1，求证：BM _平面A1EC1.2 219. 已知椭圆:::•才“，过点P（1,1）作倾斜角互补的两条不同直线h , J，设h与椭圆丨交于A、B两点，J与椭圆丨交于C，D 两点.（1）若P（1,1）为线段AB的中点，求直线AB的方程；、AB（2）记扎=----- ，求丸的取值范围.CD20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示1 求这4000名考生的竞赛平均成绩X （同一组中数据用该组区间中点作代表）；2 由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布N（」f2），其中」，二2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差s2，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？3 如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过.84.81分的考生人数为©，求P（©兰3）.（精确到0.001）附：① s2=204.75，204.75 =14.31 ；②z|_ N（・\ 二2），则P（」一；「：：：z ：：：」；「）=0.6826，P（」一2二：:：z ：：」2二）=0.9544 ；③0.84134 =0.501 .21.已知函数f（x）=xe x-a（ln x x），a R.（1）当a =e时，求f （x）的单调区间；（2）若f （x）有两个零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点0为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，I的极坐标方、x =3cos J程为r（cosr 2sin R =10，C的参数方程为（二为参数，“ R）.』=2si n日（1）写出I和C的普通方程；（2）在C上求点M，使点M到I的距离最小，并求出最小值.23. ［选修4-5 :不等式选讲］已知f （x） = ax -2 - x +2 .（1）在a = 2时，解不等式f （x）乞1 ；（2）若关于x的不等式-4 <f（x）空4对R恒成立，求实数a的取值范围.理科数学参考答案、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11 、12: CC二 _ 、填空题13. 214. -13 15. (0,) 16. 155 26 三、解答题17. (1)由已知a2 - a1 = 32，而a1 = 2,2 o2• • a?2二3 2(a? - 2),即a? - 2a? - 3 = 0a2 _ a1而a i2• 0 ,则a2=3 .又由a + a - 5—2, a2 = 3 ,•a3 —'9 = 5 ■ 2@3 —3),即a3 一a22 a3 -2a3 -8=0.而a3贝U a3 =4. •'• a2 =3 , a3 = 4.(2)由已知条件可知: a：-a；」=2(a n-a n」)2n -1 (a n-1)4-(a n」-1)2二n2-(n-1)2,2 2 2 2 2 2 2 24 2 2 2而b n =(a n -1) -n ,••• b n =0，数列｛b n｝为等差数列.••• (a n -1) = n •而a n• 0 ,故a n= n T .18.解：(1 )过M 作MT _ AA 于点T，连BJ，则AT =1.易证：「：AAE 二A1B1T，于是AAE =/A B1T.由ABT ATB1 = 90；，知AA1E ATB^ 90 , • AE _ B1T .显然MT _ 面AA1B1B，而A,E 面AA1B1B , • MT JAE1，又BT (MlT T 二，•A,E _ 面MTB ,• AE _ MB1.连B1D1,则BD1 SG .又DM _ A1C1, B1D^1 D1M = D1,• AG _ 面MD^ , •- AC^ MB1.由AE _ MB1, AC^ MB1, A E PI AG = A , • B1^ _ 面AEC「(2)在DQ1 上取一点N，使ND1 =1，连接EF .易知AjEgFN . •. V A^_EFC1二V N^EF G -V^NFC11 1弓1 2 3) 3 ".对于• AEG ,则(a n -1) -n =(a n 」-1) -(n-1)「=皑-1) -2 =@-1) -1 =0，1 -S NFC 1 3AE=V10，而 EG =辰,由余弦定理可知cos 匕 EAC10 18 222 103 21 .——.•- -A 1EC 1的面积 ' 201 i /ip 3 S AC , AEsin EAC3^2 1019.2220 2由等体积法可知 F 到平面AEC i 之距离h 满足19.解：(1)设直线AB 的斜率为k = tan ：•，方程为y -1 = k(x -1)，代入x 2 2y 2 = 4中,•- x 2 2[kx -(k -1)]2 -4 =0. • (1 2k 2)x 2 -4k(k -1)x - 2(k -1)2 -4 =0.判别式厶=[4( k —1)k]2 _4(2k 21)[2(k -1)2 -4] =8(3k 2 2k 1).设 A(x 1,y 1), B(x 2, y 2)，则1•直线的AB 方程为y -1(x -1)，即x-2y • 1 = 0. 2(2)由(1)知 |AB =A ^7|X _X2 =J (X1+X 2)2-4X 1X 2 J 8严+2k+1).2k +1则g (t )"‘，t (「ZUzWwt)在(」o 3], M r 分别单调递减,• 2 mg(t) ：：1 或 1 < g(t)乞2 X.故 2 — G 「2 ：： 1 或 1 < .3.即「[乜 2,1)u (1込!].2 21 _3S 4EC 1 h 二V “ _EF5，贝U 1 3 .19 h =3 ,••• h 二一6「, 3 2 、、19又FG — 10，设FC 1与平面AEC 1所sin^6J9 .10.1903预954k(k -1) 22k 211.••• AB 中点为(1,1)?(x 1x 2)二 2k(k -1)2k 21=1 , 设直线的CD 方程为y-1二-k(x-1)(k =0).同理可得AB CDCD 移21心).• 2=1亠1 k2 .8(3k 2 -2k 1)2k 2 +1=13k - - 2kx 2 -22(k -1) -42k 2 120.解：(1)由题意知:••• x =45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.1 = 70.5,•••4000名考生的竞赛平均成绩X为70.5分•(2)依题意z 服从正态分布N(~；「2)，其中- X =70.5 ,匚2 = D = 204.75，二=14.31 ,•z服从正态分布N(叫二2) = N(70.5,14.312)，而P(」z =P(56.19 ：：：z ：：84.81) =0.6826 , • P(z _ 84.81)」一0.6826 =0.1587.2•竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.1587 4000 = 634.8人” 634人.(3)全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率1 -0.1587=0.8413.而LI B(4,0.8413),•P(乞3) =1 -P( =4) =1 -C： 0.84134=1 -0.501=0.499.21.解：(1)定义域为：(0, •：：)，当a = e时，f'(x)二(1 x)(xe Y).x•f (x)在(0,1)时为减函数；在(1,：：)时为增函数.(2)记t =1 n x • x，则t = In x • x 在(0,=)上单增，且L R .(3)「. f (x) = xe X—a(ln x x) = e t—at = g(t).•f (x)在x 0上有两个零点等价于g(t)二at在t R上有两个零点.①在a =0时，g(t) =£在R上单增，且g(t) 0，故g(t)无零点；②在a ：：：0时，g'(t)二J-a在R上单增，又g(0) =1 0 ,1 ag(_)二e a -1 ：：：0，故g(t)在R上只有一个零点；a③在a 0时，由g'(t)=et-a=0可知g(t)在t=l na时有唯一的一个极小值g(l na)=a(1-l n a). 若0 a ：e, g 最小=a(1-ln a) 0 , g(t)无零点；若a二e, g最小=0, g(t)只有一个零点;若a e时，g最小工a(1 -1na) ：：：0，而g(0) =1 .0 ,ln x由于f(x) 在x e时为减函数，可知：a e时，e a a e a2.x从而g(a) =e a -a20，二g(x)在(0,ln a)和(In a,二)上各有一个零点综上讨论可知：a - e时f (x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e, •：：).22.解：(1)由I :『cos v 『sin f0 = 0，及x=『cosv，y =『sin v .2 2••• I 的方程为x 2y -10 =0.由x=3cos r , y =2sin v，消去二得—•匕=1.9 43cos ® +4sin 申_10 1(2)在C 上取点M(3cos®,2sin 申)，则d =------------------- 严------- =〒，5cos(® —%) —10 .V5 V5① 3cos 0 : 其中5，当二0时，d取最小值.5.sin °=4L 59 8 9 8此时3sin = 3cos 0二一 ,2sin 0 = 2cos 0二一 ,M (-,-).5 5 5 523.解：(1 )在a=2 时，2x—2 —x + 2 兰1.在x -1 时，(2x -2) —(x 2)乞1,.・.1 < 5;在x 一-2时，-(2x -2) • (x• 2) _1 , x _3 , • x无解;1 1在-2 一x 一1 时，一(2 X—'2)—'(x 2)-1 , X-- —,•• - — _x_1.3 31 综上可知：不等式f (x)乞1的解集为{x| x乞5}.3(2)v 収+2 —ax—2| 兰4恒成立，而||x+2 - ax-马兰|(1+ a)x , 或|x +2 — ax —2||勻(1—a)x+4，故只需(1+a)x兰4恒成立，或(1 — a)x + 4兰4恒成立,• a - -1或a =1. • a的取值为1或-1.第一页共一页。

武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简复数，再求其共轭复数.【详解】由题得，所以其共轭复数为2-i.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查复数的计算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 复数的共轭复数2.已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，由N⊆M，得或=1．由此能求出实数a的取值集合．【详解】∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1，综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选：D．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据程序框图的功能进行求解即可．【详解】本程序为条件结果对应的表达式为S=，则当输入的t∈[﹣2，2]，则当t∈[﹣2，0）时，S=2t∈[﹣4，0），当t∈[0，2]时，如右图，S=﹣3t+t3=t（t﹣）（t）∈[﹣2，2]，综上S∈[﹣4，2]，故选：A．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件结构，结合分段函数的表达式是解决本题的关键．4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，进而得到答案．【详解】由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的直四棱柱，在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离取最大值时，最大距离相当于一个长宽高分别为2，1，1的长方体的体对角线，故d==，故选：B．【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.5.一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解．【详解】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：p==．故选：C．【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出0=log a1＜log a b＜log a a=1，由此利用对数函数的单调性能比较m，n，l的大小．【详解】∵实数a，b满足a＞b＞1，m=log a（log a b），，，∴0=log a1＜log a b＜log a a=1，∴m=log a（log a b）＜log a1=0，0＜＜1，1＞=2log a b＞．∴m，n，l的大小关系为l＞n＞m．故选：B．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围．【详解】双曲线的渐近线方程为y=±x，∴当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx﹣1代入x2﹣y2=4得：（1﹣k2）x+2kx﹣5=0，令△=4k2+20（1﹣k2）=0，解得k=或k=﹣（舍）．∴1＜k＜．故选：D．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线相切的等价条件，属于中档题．8.在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件p：a≤，利用余弦定理与基本不等式的性质可得：cosA=≥，当且仅当b=c=a时取等号．又A∈（0，π），可得．由条件q：A，B，C∈（0，π），A≤．取，C=，B=满足上述条件，但是a．即可判断出结论．【详解】由条件p：a≤，则cosA=≥=≥=，当且仅当b=c=a时取等号．又A∈（0，π），∴．由条件q：A，B，C∈（0，π），A≤．取，C=，B=满足上述条件，但是a．∴条件p是条件q成立的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查了余弦定理与基本不等式的性质、倍角公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.在的展开式中，含项的系数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把x+看作一项，写出的展开式的通项，再写出的展开式的通项，由x的指数为5求得r、s的值，则答案可求．【详解】的展开式的通项为．的展开式的通项为=．由6﹣r﹣2s=5，得r+2s=1，∵r，s∈N，∴r=1，s=0．∴在的展开式中，含x5项的系数为．故选：B．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.10.若，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出约束条件表示的可行域，通过表达式的几何意义，求出表达式的最小值．【详解】令，，作出可行域，如图所示：，表示可行域上的动点到定点距离的平方，然后减去，故其最小值为定点到直线AB的距离的平方减去。

2017-2018学年数学（理）试题一、选择题：（每小题5分，共50分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知集合{}{}R x x B A x∈<≤=-=,421,1,1,则A B ⋂等于（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．{}0,12. 复数z 满足i z i +-=+3)2(，则=z （ ） A ．i +2B ．i -2C ．i +-1D ．i --13. 已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若b a m 4+与b a 2-共线，则m 的值为( ) A.12 B. 2 C.12- D.2- 4. 设已知数列{}n a 对任意的N n m ∈,，满足n m n m a a a +=+，且12=a ，那么10a 等于（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 5. 已知函数()sin 2f x x =向左平移6π个单位后，得到函数()y g x =，下列关于()y g x =的说法正确的是（ ） A.图象关于点(,0)3π-中心对称 B.图象关于6x π=-轴对称C.在区间5[,]126ππ--单调递增 D.在[,]63ππ-单调递减 6. 下列说法中，正确的是（ ）A ．“若22bm am <，则b a <”的逆是真B ．“存在0,0200>-∈x x R x ”的否定是：“任意0,2≤-∈x x R x ”C ．“p 或q ”为真，则“p ”和“q ”均为真D ．已知,,R n m ∈则“n m ln ln <”是“nme e <”的必要不充分条件7. 函数()2, 0,2,x x f x x -≤⎧=<≤，则()22f x dx -⎰的值为 ( )A. 6π+B.2π-C.2πD. 88. 已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是( ).9. 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O 为中心﹐其中,,分别为原点O 到两个顶点的向量﹒若将原点O 到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a x b y +的形式﹐则a b +的最大值为（ ）。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1} B ．{1,1}- C ．{1,0} D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A ．[4,2]- B ．[2,2]- C ．[2,4]- D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．23D ．26 5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25 B ．310 C ．15 D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >>7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ） A ．5(0,)2 B ．5[1,]2C ．55(,)22-D ．5(1,)2 8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B C A +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24- 10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ） A ．2- B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2,4]ππB ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ） A ．32 B ．33C ．12D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++=，且1a =，3b =，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==. （1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC . （2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y +=，过点(1,1)P 作倾斜角互补的两条不同直线1l ，2l ，设1l 与椭圆Γ交于A 、B 两点，2l 与椭圆Γ交于C ，D 两点.（1）若(1,1)P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程； （2）记AB CDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？ （3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =，204.7514.31=； ②2(,)zN μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，a R ∈. （1）当a e =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）.（1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值. 23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11、12：CC二、填空题13.25 14. 13- 15. (0,)2π 16. 156三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+. 18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A BT ∆≅∆，于是111AA E A BT ∠=∠.由111190A BT ATB ∠+∠=，知11190AA E ATB ∠+∠=，∴11AE BT ⊥. 显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ，∴1MT A E ⊥，又1BT MT T =，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D AC ⊥.又111D M AC ⊥，1111B D D M D =，∴11AC ⊥面11MD B ，∴111AC MB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A EAC A =，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF .易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---== 11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，1132AC =，110A E =，而122EC =， 由余弦定理可知111018221cos 2103220EAC ++∠==⋅⋅.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S A C A E EA C =⋅∠11933210192220=⨯⨯⋅=. 由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则1319332h ⨯⋅=，∴619h =，又110FC =，设1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴61963190sin 9510190θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中，∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩.∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知2121AB k x x =+-21212()4x x x x =+-22218(321)21k k k k +⋅++=+.设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得22218(321)21k k k CD k +⋅-+=+. ∴22321(0)321ABk k k CD k k λ++==≠-+.∴2241312k k kλ=++-41132k k=++-.令13t k k =+， 则4()12g t t =+-，(,23][23,)t ∈-∞-+∞.()g t 在(,23]-∞-，[23,)+∞分别单调递减， ∴23()1g t -≤<或1()23g t <≤+.故2231λ-≤<或2123λ<≤+. 即6262[,1)(1,]22λ-+∈. 20.解：（1）由题意知：中间值 45 55 65 75 85 95 概率0.10.150.20.30.150.1∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=， ∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==. ∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞，当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x+-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈. （3）∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()tg t e at =-在t R ∈上有两个零点. ①在0a =时，()tg t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，'()tg t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-.若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点； 若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>， 由于ln ()x f x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>. 从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点. 综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞. 22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则3cos 4sin 105d ϕϕ+-=015cos()105ϕϕ=⋅--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d 取最小值5.此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M . 23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解； 在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试4月调研测试卷 理科数学理科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设全集U R =，集合{1012}A =-， ， ， ，2{|log 1}B x x =<，则()U A B =I （A ）{12}，（B ）{102}-， ，（C ）{2}（D ）{10}-，（2）复数z 满足(12i)3i z +=+，则=z（A ）1i - （B ）1i +（C ）1i 5- （D ）1i 5+ （3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73=a ，123=S ，则=10a（A ）10 （B ）28（C ）30（D ）145（4）“1cos 22α=”是“ππ()6k k Z α=+∈”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知定义域为I 的偶函数()f x 在(0)+∞， 上单调递增，且0x I ∃∈，0()0f x <，则下列函数中符合上述条件的是（A ）2()||f x x x =+（B ）()22x xf x -=-（C ）2()log ||f x x =（D ）43()f x x-=（6）已知向量a r ，b r 满足||3a b -=r r 且(01)b =-r ， ，若向量a r 在向量b r 方向上的投影为2-，则||a =r（A ）2 （B）（C ）4（D ）12（7）中国古代名著《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”即“有数被三除余二，被五除余三，被七除余二，问该数为多少？”为解决此问题，现有同学设计如图所示的程序框图，则框图中的“ ”处应填入 （A ）221a Z -∈ （B ）215a Z -∈ （C ）27a Z -∈（D ）23a Z -∈C（8）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，两个圆的半径都是1，且圆心12O O ，均在对方的圆周上，在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 （A（B（C）10π36-（D）8π36（9）设函数6cos y x =与5tan y x =的图象在y 轴右侧的第一个交点为A ，过点A 作y 轴的平行线交函数sin 2y x =的图象于点B ，则线段AB 的长度为（A（B（C（D）（10）某几何体的三视图如图所示，其正视图为等腰梯形，则该几何体的表面积是 （A ）18 （B）8+（C ）24（D）12+（11）已知双曲线22221(00)x ya b a b-=>>， 的左右焦点分别为12F F ， ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线 的右支交于点Q ，若1PF Q ∆为等边三角形，则该双曲线的离心率是 （A（B ）2（C（D（12）已知函数()ln f x x a =+，()1g x ax b =++，若0x ∀>，()()f x g x ≤，则ba的最小值是 （A ）1e +（B ）1e -（C ）1e -（D ）12e -第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。