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生物统计学XI协方差分析

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生物统计第六章方差分析PPT课件

生物统计第六章方差分析PPT课件


这里所测验的统计假设是H0：σt2σe2或μA=μB=μC=μD对HA： σt2＞σe2或μA、μB、μC和μD间存在差异（不一定μA、μB、μC和 μD间均不等，可能部分不等。）
不同药剂处理水稻苗高的方差分析表
变异来源 df
药剂处理间 3 药剂处理内 12
总变异 15
SS
504 98 602
MS F
为此D.B.Duncan提出了新复极差法，又称最小显著极差法 （shortest significant ranges,SSR） 。
第二节 多重比较
其方法是把多个样本中两个极端平均数的差数当作极差对待，如 果极差不显著，则包括在这两个极端处理平均数间的各处理平均 数的任何成对比较，其差异也是不显著的。极差是否显著用极差 相当于均数标准差的倍数：SSR=R/S 式中R为y 极差，SSR为极 差相当于均数标准差的倍数 。
第一节 方差分析的基本原理
2、求均方,进行F测验,列方差分析表
求均方
MSt
SSt dft
504168 3
MSe
SSe dfe
988.17 12
第一节 方差分析的基本原理
F分布与F测验
从一个正态总体N (μ，σ2）中，分别随机抽取两个 独立样本，分别求得其均方S21和S22 ，将S21和S22 的比值定义为F：
F ( 1 , 2 )
s 12
s
2 2
第一节 方差分析的基本原理
不同自由度下的F分布曲线
第一节 方差分析的基本原理
F分布的特点：
1、是平均数 F 1 ，取值区间为[0，∞）的一组曲线；
2、在 11和2 2F分布是反向J型，在 1 3 时，曲线转为偏态；
3、F分布下一定区间的概率可以通过书中的附表5查得。
生物统计-方差分析

生物统计-方差分析

• F检验 FA=
FB=
s /s
A
2
2 e
s /s
B
2
2 e
无重复观测值的二因素方差分析—多重比较
• 多重比较 对达到显著差异的因素的平均数进行多重比较 以SSR检验为例，
设因素A、B的水平数分别a、b，
LSR0.05=SSR0.05* s x 当检验因素A各水平平均数之间的差异显著性时，
s
x
= s
（Excel 文件）
二因素方差分析
无重复观测值的二因素方差分析—方差
• 平方和与自由度的分解 SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe
• 各项的方差
s SS / df
2 A A
A
s SS / df
2 B B
BБайду номын сангаас
s SS / df
2 e e
e
无重复观测值的二因素方差分析—F检验
x
= s
an
具有重复观测值的二因素方差分析—多重比较
当检验AxB各水平平均数之间的差异显著性时，
s
x
=
s
2 e
n
例6.5
• 为了研究某种昆虫滞育期长短与环境的关系，在给定的温 度和光照条件下进行实验室培养，每一处理记录4只昆虫的 滞育天数（数据见Excel文件）。试作方差分析，并进行多 重比较。 本例是一个固定模型的方差分析 （Excel 文件）
• F检验 （2）随机模型：A和B均为随机因素
s /s F = s /s
FA=
B
2
2 AB
A
2
2 AB 2 e
B 2
第四章协方差分析

第四章协方差分析


MSe
1 n
xi• x•• E XX
2
(4 18)
即：各处理的方差应具备齐性，它们都是从具有 同一方差的正态总体中的来的；个处理的回归系
数i均等于以及反应变量与协变量之间的回归 系数≠0。因此，在对一组数据做协方差分析时，
首先要对以上各个条件做检验。只有以上条件得 到满足时，才能做协方差分析。
yij i (xij x•• ) ij
i 1,2,, a
j
1,2,, n
(4 1)
其中yij是第 i 次处理所得到的反应变量的第 j 次
观察值。cij是相当于yij的协变量值。c··是cij的 平均数，是总平均数，i是第i次处理效应， 是yij在cij上的线性回归系数，ij是随机误差成份。 做协方差分析，需要满足以下几个条件：ij是 服从正态分布的独立随机变量；≠0，即yij与cij
变差来源
平方 和
回归 处理
误差 总和
S2XY／SXX SS’e－SSe＝(SYY－S2XY／SXX)
－(EYY－E2XY／EXX) SSe＝EYY－E2XY／EXX
SYY
自由度 1
a－１
a(n－1)－1 an－1
均方 (SS’e－SSe)／(a－1)
F (SS’e－SSe)／ (a-1)／MSe
MSe＝SSe／[a(n－1)－1]
2
a i1
n j 1
yi2j
y•2• an
SXX
a i 1
n j 1
xij
x••
2
a i 1
n j 1
xi2j
x•2• an
a n
S XY
xij x••
i1 j1
yij y••
生物统计附试验设计第九章协方差分析ppt课件

生物统计附试验设计第九章协方差分析ppt课件

生物试验目的是验证处理效应是否真 实存在，所以应对试验误差进行控制，并 对变异来源进行刨析。其中试验条件的影 响是最大因素。
协方差分析有二个意义 ， 一是对试 验进行统计控制，二是对协方差组分进行 估计。
一、对试验进行统计控制
为了提高试验的精确性和准确性 ，对 处理以外的一切条件都需要采取有效措施严 加控制，使它们在各处理间尽量一致，这叫 试验控制。但在有些情况下，即使作出很大 努力也难以使试验控制达到预期目的。例如： 研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试 验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不 同，将影响到猪的增重。
统计学已证明：两个变量的总乘积和与自 由度也可按变异来源进行剖分而获得相应的 均积。这种把两个变量的总乘积和与自由度 按变异来源进行剖分并获得获得相应均积的 方法亦称为协方差分析。
在随机模型的方差分析中，根据均方MS 和期望均方 EMS的关系， 可以得到不同变 异来源的方差组分的估计值。同样，在随机 模型的协方差分析中，根据均积 MP 和期望 均积 EMP 的关系，可 得 到 不同变异来源 的协方差组分的估计值。有了这些估计值， 就可进行相应的总体相关分析。这些分析在 遗传、育种和生态、环保的研究上是很有用 处的。
12
4 12
=1.64
dft(x,y) =k-1=4-1=3
3、处理内乘积和与自由度
SPe SPT SPt 8.25 1.64 6.61
dfe(x,y) dfT (xv) dft(xv) 47 3 44
平方和、乘积和与自由度的计算结果列 于表10-3。
表10-3 x与y的平方和与乘积和表
732.50 63.15 550.50 8.25 412
dfT ( x, y) =kn-1=4×12-1=47
生物统计课件第9章 协方差分析

生物统计课件第9章 协方差分析


P195 习题3
三种日投饵量，测定初始体长（x，cm）与试验结束 时体长（Y，cm），作协方差分析。
请同学们思考，如何输入数据：
（1）输入数据与选择数据： （2）菜单： （3）结果分析：
• 初始体重x与最终体重y之间的回归显著性分析 • 不同日投饵量的差异显著性分析 • 平均值校正 • 平均值多重比较
回归协方差分析
（1）三个回归系数b差异显著性检验：p=0.5870，没有显著差 异，可以用共同的回归系数0.0127 （2）三个回归截距差异显著性检验：p=0.0000，差异非常显 著，需要用三个不同的截距：
y1=0.3446+0.0127x y2=1.4413+0.0127x y3=1.1707+0.0127x
平均值校正后，消除初始体长x的影响，三种投 饵水平下，投饵量1的最终体长为6.9371，投饵量2 为7.9377，投饵量3为7.3451。投饵量2最好。
多重比较结果为：三种投饵水平导致最终体长的 差异都是非常显著的（p<0.01).
回归协方差分析
（1）三个投饵水平下，建立三条直线回归方程，对三个回归 系数b差异显著性进行检验：p=0.1885>0.05，没有显著差异， 可以用共同一个回归系数（b=0.9227） （2）三个回归截距a的也有非常显著的差异：p=0.000<0.01， 需要用三个不同的a。
协变量x：1个，草鱼初始重
DPS法 （1）输入数据与选择数据：
DPS法 （2）菜单：
DPS法 （3）对话框：
配方有3个：因此处理A个数为3； 协变量x为初始重，1个。
DPS法
（4）结果：
• 初始重X与草鱼日增重Y的 存在回归关系，可以用方程 y=0.2222+0.0199x表示， R=0.55886，效果不好，这 是因为把所有数据当作一个 样本来处理，由于忽略了三 种饲料的差异。
生物统计学-方差分析

生物统计学-方差分析


x2n x3n
xin xi·
xan xa·
x1 · x2 · x3 ·
每一个观察值可以通过如下常用的所谓线性统 计模型(linear statistical model)描述：
i 1,2,, a xij i ij j 1,2, n
(2 1)
其中：xij 是在第 i 水平（处理）下的第 j 次观 察值。μ是对所有观察值的一个参量，称为总 平均数(overall mean)。αi是仅限于对第 i 次 处理的一个参量，称为第i次处理效应 (treatment effect)。方差分析的目的，就是要 检验处理效应的大小或有无。ij是随机误差成 份。
有时固定因素和随机因素很难区分，除 上述所讲的原则外，还可以从另一角度鉴别。 固定因素是指因素水平，可以严格地人为控 制。在水平固定之后，它的效应值也是固定 的。例如，研究三种温度对胰蛋白酶水解产 物的影响。因为温度水平是可以严格控制的， 即每一温度水平，在各个重复之间都可以准 确地控制在一个固定值上，所以在重复该实 验时，水解产物的产量也是固定的。简单地 说，在水平（不同温度）固定以后，其效应 值（产量）也是固定的。因此，温度是固定 因素。
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
随机因素的水平是不能严格地人为控制 的，在水平确定之后，它的效应值并不固定。 例如，在研究不同农家肥施用量对作物产量 的影响试验中，农家肥是因素，不同施用量 是该因素的不同水平，作物的产量是它的效 应值。由于农家肥的有效成份很复杂，不能 像控制温度那样，将农家肥的有效成份严格 地控制在某一个固定值上。在重复试验时即 使施以相同数量的肥料，也得不到一个固定 的效应值。即在因素的水平（施肥量）固定 之后，它的效应值（产量）并不固定，因而 农家肥是一随机因素。
生物统计学 第三讲 方差分析-2014

生物统计学 第三讲 方差分析-2014


3. 2 随机区组设计方差分析 randomized block design
例3. 2 8个小麦品种对比试验，在3个地块上进行，记录规定面
积产量（kg）数据如下表，试检验8个品种产量间有无差异。
品种
区组
B1 B2
B3
A1 10. 9 11. 3 12. 2 A2 10. 8 12. 3 14. 0 A3 11. 1 12. 5 10. 5 A4 9. 1 10. 7 11. 1 A5 11. 8 13. 9 14. 8 A6 10. 1 10. 6 11. 8 A7 10. 0 11. 5 14. 1 A8 9. 3 10. 4 12. 4
2、试验因素(experimental factor)
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。 如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配方、猪的品 种、饲养方式、环境温湿度等都对日增重有影响，均 可作为试验因素来考虑。
当试验中考察的因素只有一个时，称为单因素试 验；
若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的 影响时，则称为两因素或多因素试验。试验因素常用
x x 实验 对照 及其标准误差 S试验、对照 = MS误差 (１/n试验+１/n对照) x x 可证明，当 实验, 对照 来自同一总体（即μ试验=μ对照）
x x q′=（ 实验 对照）/ S试验、对照 ~ q′（df误差,a）分布
其中，a 的意义同 SNK 法。 在例3. 1中，不妨设A1饲料为对照组，经 Dunnett 法检验，由
• 方差分析： 如果处理因素没有作用，组间均方和组内均方应该 相等。即使由于抽样误差的存在，两者也不应相差 太大。建立统计量F
F MS组间 MS组 内
F服 从F (v组间, v组内么p ，差别有显著性，处理 因素有作用； 如果F F (v1, v2)，那么p ，差别无显著性，处理 因素无作用。
生物统计学 方差分析

生物统计学 方差分析


缺点：加大犯I型错误的概率
Duncan多范围检验
P341
§8.5 方差分析应具备的条件
多个方差齐性检验
了解
Bartlett 检验（Bartlett test）
Levene 检验（ Levene test）
作业
P157
8.2（用C=80来编码） 8.8 （用C=4来编码）
请翻译以下术语/Try
§8.4 多重比较（multiple comparison）
目的：
哪些处理之间存在显著差异，平均数之 间进行一对一比较。
LSD法
Duncan法（SSR）
S-N-K法
/s/blog_54b63 97501014fz3.html
最小显著差数检验（LSD）检验
附：生物统计学
第九章 两因素及多因素 方差分析
2012.5
§9.2 固定效应模型
线性统计模型（linear
statistical model）
同一处理的处理效应是相同的
简易计算方法
statistical model）
如何做到？
§8.2 固定效应模型
线性统计模型
平方和与自由度的分解
艾塔
重要
组间 组内
简易计算方法
学习小组任务
自学并讲解表8-3及其计算式。
自学并讲解公式8.1的组成及含义
（p144-148）。 自学并讲解p149例题 。 课后阅读p152-154内容，或自行上网查 资料，说明多重比较是做什么的？常用 多重比较有哪些？
to translate these terms
please： One-factor ANOVA，固定因素，significant， 多重比较
卫生统计学：第十五章 协方差分析

卫生统计学：第十五章 协方差分析


SS修正＋SS组内残差 ＝SS总残差
F
SS修正／修正 SS组内残差／组内残差
MS修正 MS组内残差
第三节 随机区组设计资料的协方差分析
【例13-2】为研究三种饲料对增加大白鼠体重的影 响，有人按随机区组设计将初始体重相近的36只大 白鼠分成12个区组，再将每个区组的3只大白鼠随机 分入A、B、C三种饲料组，但在实验设计时未对大 白鼠的进食量加以限制。三组大白鼠的进食量（X） 和体重增量（Y）的原始数据见表13-6。 问题：现欲推断三组大白鼠体重增量的总体均数是 否有差别，同时要扣除进食量因素的影响。
饲料分组
因变量: 体重增重（kg)
95% 置信区间
饲料分组 A饲料
均值
标准误
94.959a
1.840
下限 91.120
上限 98.798
B饲料
99.501a
1.203
96.991 102.011
C饲料
82.165a
1.964
78.068
86.263
a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 初始重量 (kg) = 19.25.
• 修正均数(adjusted mean) ：假定协变量取值固定 在其总均数时的观察变量Y的均数。
协方差分析的基本思想
Y
协方差分析的基本思想
三、应用协方差分析的条件
• 理论上要求各样本均来自总体方差相等 的正态总体， 各观察值相互独立。
• 各总体因变量与协变量间存在回归关系（ i ≠0），且
各总体回归直线的回归系数
COV (x, y) n11(x x)(y y)
1）样本协方差是总体协方差的估计值。 2）当X和Y相互独立时，COV(X,Y)=0。
生物统计学第六章方差的全面分析

生物统计学第六章方差的全面分析


t检 验 的 统 计 量 是
x1x2
(n11)s1 2(n21)s2 2 n1n22
n 11n 12
这部分是对差 原 2的 始估 数计 据， 方它样 只本 用的 了数 两
但我们 a个有 样本，没有 时被 的全 利部 用同 来 2。估 所以，我们 2的 认估 为计 对有待改善。
因此，两两t检验生的物统精计学确第六性章方有差的待全面提。 分析高
a5时1作 次 0 检 H 0被 验接 ，受1 的 ） 1概 ＝ 00.9率 15 ＝ 00.5 为 98 （
I型错 1－ 0 误 .59＝ 80.4 7013
通过以上分 a的析 增， 大随 ， I型 着 检错 验误 的的 大大增大，是 这不 样可 的靠 检的 验。
生物统计学第六章方差的全面分析
原因（3）检验统计量的精确性低
生物统计学第六章方差的全面分析
5、试验处理（treatment）：在试验对象上实施的事先设计 好的具体项目，简称处理。在进行单因素试验时，试验因 素的一个水平就是一个处理；对于双因素试验，处理的个 数等于两个因素水平个数的乘积。每个处理可以看做是一 个总体，每个处理得到的一组数据可以看做是从这个处理 总体中抽取的一个样本的数据。
2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏 或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。
3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试 验指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。
4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
（二）两类方差
1、处理内方差：在因素的同一水平（同一个总体）下，样本 数据的方差
2、处理间方差：因素的不同水平（不同总体）下，各样本之 间的方差。
协方差分析

协方差分析


例题：A-B比较
Sd
2.442 (1 1 50.875 59.52 ) 0.958
88
589.75
t yi (x x) y j (x x) 62.06 64.29 6.837
SD
0.958
查t表 t0.05(20)=2.086 t0.01(20)=2.845
A-C比较：
S d
k：处理数 n：每组成对资料数 k=3 n=8
② 计算回归系数b
b SPe 679.125 1.1515 SSex 589.75
③ 对回归关系进行检验
S b
Sy/x SSe x
S y / x ：回归标准误
Sy/x
Qe ve
48.83 1.56 20
Sb
1.56 0.0653 589.75
SPe SPxy SPk 679.125
◆ 测验x与y间是否存在直线回归关系
对处理内（误差项）作回归分析
① 计算离回归平方和Qe和自由度Ve：
Qe
SSe y
(SPe )2 SSe x
830.875
679.1252 589.75
48.83
Ve k (n 1) 1 3 (8 1) 1 20
本例x-y变量间回归系数检验，回归关系 极显著，必须对反应量（y）进行矫正。
◆ 测定矫正后 yi (x x) 的差异性
① 计算总变异离回归平方和 （即对总变异
进行离回归分析）
QT
SST y
(SPT )2 SST x
765.752 891.625
945.833
271.67
VT n k 2 8 3 2 22
52 58 54 61 70 64 69 66 495

《生物统计》教学课件：010 协方差分析


试分析第二年分别施用三种肥料的产量 Y是否
有显著的差异?
方差分析表（y）
方差来源 平方和
组间 组内 总和
60.750 830.875 891.625
自由度
2 21 23
均方和 F值 显著性
30.375 0.77 N
39.565
方差分析表（x）
方差来源 平方和
组间 组内 总和
356.083 589.75 945.833
13.75 0.82 18.63 0.98 25.38 0.97
饲料
xi j
j
x i
x
2 i
j
yi j y i
j
j
y
2 i
j
xij yij
j
j
A 110 13. 75 1544 6. 54 0. 8175 5. 3952 91. 03 B 149 18. 63 2803 7. 84 0. 98 7. 7016 146. 67 C 203 25. 375 5267 7. 75 0. 9688 7. 5645 199. 11 和 462 19. 25 9614 22. 13 0. 9221 20.6613 436. 81
自由度
2 21 23
均方和 F值 显著性
178.042 6.34 **
28.083
y 差异不显著， x 差异极显著，不能说明三种肥料的 增产效果没有差异，差异与基础生产力（x）有关。
方差分析表（y校矫正前）
方差来源 平方和
组间 组内 总和
60.750 830.875 891.625
自由度
2 21 23
j
yi
j
1 rs
(

生物统计学：第7章 方差分析II


H02 : 1 2 b 0
H03 :
ij
0
i j
1,2,,a 1,2,,b
7.2.3 平方和与自由度的分解
与单因素方差分析的基本思想一样，把总平方和分解为
构成总平方和各个分量平方和之和，将总自由度做相应的 分解，由此得到各分量的均方。根据均方的数学期望，得 出各个分量的检验统计量，从而确定各因素的显著性。
, ,
a b
k 1,2,, n
处理效应是各处理平均数距总平均数的离差，因此
a
b
i 0 ,
j 0
i 1
j 1
所以，交互作用的效应也是固定的
a
ij 0 ,
b
ij 0
i 1
j 1
其中，εijk是相互独立且服从N(0 , σ2)的随机变量。
固定模型方差分析的零假设为：
H01 : 1 2 a 0
第7章 方差分析II ——双向交叉分组资料
两因素试验资料的方差分析是指对试验 指标同时受到两个试验因素作用的试验资料 的方差分析。
两因素试验按水平组合的方式不同，分 为交叉分组和系统分组两类。
原理
• 因变量的值随着自变量的不同取值而变化。我们把 这些变化（变差，即离均差平方和）按照自变量进 行分解，使得每一个自变量都有一份贡献，最后剩 下无法用已知的因素解释的则看成随机误差的贡献。
• 误差自由度dfe= dfT - dfA – dfB=(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SSB / dfB , MS e SSe / dfe
检验A因素所使用的统计量为：
F MS A ，具有(a 1), (a 1)(b 1)自由度 MS e
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相应的总体相关系数 ρ 可用பைடு நூலகம்x 与 y 的总体方差与总体协方差表示 COVxy COVxy ρ= √ = σx σy 2 σ2 σx y
相关系数可以表示两个相关变量线性相关的性质与程度 ∑ (x − ¯ x)(y − ¯ y) r = √∑ ∑ (x − ¯ x)2 (y − ¯ y)2 将该式的分子分母同时除以 (n − 1)，可得
∑ (x−¯ x)(y−¯ y) n−1 ∑ (x−¯ x)2 (y−¯ y)2 n−1 n−1
r = √∑ 其中
统计控制是试验控制的一种辅助手段，是用统计方法来矫正 因自变量的不同而对依变量所产生的影响。经过矫正，使试 验误差减少，对试验处理效应的估计更为准确
本章摘要 第一节：协方差分析的作用 第二节：单因素试验资料的协方差分析 第三节：二因素试验资料的协方差分析 第四节：协方
(2) 分析不同变异来源的相关关系
在动物饲喂试验中，为比较不同饲料对动物增重的影响，应 选用初始体重相同（或相近）的动物来试验 初始体重影响可能会增大处理间（组间）差异，是不同饲料 的差异不能被真正体现，也可能会增大处理内（组内）的差 异，从而降低检验功效。 客观条件的限制，使得无法找到足够数量的初始体重相近的 动物进行试验，这是可用统计学的方法将这种由初始体重差 异造成的影响降到最低 如果初始体重对增重的影响可以通过回归分析来度量，可以 用回归分析先对初始体重的影响进行矫正，然后再方差分析。
如研究植物生长调节剂对减少棉铃脱落的效应，要求各处理 的单株有相同的蕾铃数，这是很难达到的 如果单株蕾铃数（x）与脱落率（y）之间存在直线回归关系， 则可以利用这种直线关系将各处理 y 的观测值都矫正到 x 相 同时的结果，使得各处理 y 的比较能够在相同的 x 基础上进 行，从而得到正确的结论，实现统计控制 (statistical control)
本章摘要 第一节：协方差分析的作用 第二节：单因素试验资料的协方差分析 第三节：二因素试验资料的协方差分析 第四节：协方
把回归分析与方差分析结合起来的分析方法，就称为协方差 分析 (analysis of covariance)。
协方差分析用于比较一个变量 y 在一个或几个因素不同水平 上的差异。 与方差分析不同的是，y 在受这些因素影响的同时，还收到 另一个变量 x 的影响，而且 x 变量的取值难以人为控制，不 能作为方差分析中的一个因素处理 如果 x 与 y 之间可以建立回归关系，则可用回归分析的方法 排除 x 对 y 的影响，然后利用方差分析的方法对各因素水平 的影响作出统计推断。 通常称 y 为依变量，x 为协变量（covariate） ，方差分析也可 用于分析多组均数间的差异有无显著性意义，只是多考虑一 个协变量的因素。
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第六章介绍的方差分析方法，是对某一种性状的变量进行分 析，根据变异来源将总变异的自由度和平方和分解为相应部 分的自由度和平方和； 但在方差分析中，常会遇到所分析的变量本身就是一个受到 另一个或多个自变量影响的依变量。 有时对这些自变量难以进行有效控制，但又要消除其对依变 量的影响，以提高试验结果的可靠程度。
∑ (x−¯ x)2 n−1
为 x 的均方（mean square）, 记作 MSx ，它是
∑
2
y−¯ y) 2 变量 x 的总体方差 σx 的无偏估计量； ( 为 y 的均方， n −1 2 记作 MS ，它是变量 y 的总体方差 σ 的无偏估计量； y y ∑
为 x 与 y 的平均的离均差的乘积和，简称为均 积（mean product） ，记作 MPxy ∑ ∑ ∑ ∑ xy − xn y (x − ¯ x)(y − ¯ y) = MPxy = n−1 n−1
协方差分析可用于单因素试验资料，也可以用于二因素或多 因素试验资料。
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协方差分析作用主要有以下 3 个方面 (1) 降低试验误差，实现统计控制
提高试验的精确度与灵敏度，必须严格控制试验条件的均匀 性，使各处理处于尽可能一致的条件下——试验控制 （experimental control） 但在某些情况下，即使做出很大努力也难达到试验控制预期 要求
(x−¯ x)(y−¯ y) n −1
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与均积相应的总体参数称为协方差 (covariance） ，记作 COVxy 或 2 σxy ： ∑ (x − µx )(y − µy ) COVxy = N 统计学上已经证明均积 MPxy 是总体协方差 COVxy 的无偏估计量 因此样本相关系数 r 可用均方 MSx , MSy 和均积 MPxy 来表示 r= √ MPxy MSx · MSy
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生物统计学（XI） 第十章：协方差分析
西安交通大学数学与统计学院
May, 2018
本章摘要 第一节：协方差分析的作用 第二节：单因素试验资料的协方差分析 第三节：二因素试验资料的协方差分析 第四节：协方
协方差分析是将方程分析与回归分析结合应用的一种综合统 计分析方法，它将乘积和与平方和同时按照变异来源进行分 析，利用协变量来降低试验误差，矫正处理平均数，实现统 计控制 协方差分析还可分析不同变异来源的相关关系，并对缺失数 据进行估计 在满足协变量 x 为固定变量，离回归方差同质，各个处理 (x,y) 的总体为线性且具有共同的回归系数 3 个基本假定的 基础上，可对单因素、二因素及多因素分组资料进行协方差 分析，计算变量各变异来源的平方和，乘积和与自由度，检 验 x 与 y 之间是否存在直线回归关系，并对矫正后的 y 值 进行差异显著性检验和多重比较