2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(三角函数 三角恒等变换)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（09解三角形）一、选择题：1.（2015广东文）设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(22222b b =+-⨯⨯2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．二、填空题：1.（2015安徽文）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .2、（2015北京文）在C ∆AB 中，3a =，b =23π∠A =，则∠B = ． 【答案】4π 【解析】试题分析：由正弦定理，得sin sin a b A B =sin 2B=，所以sin B =4B π∠=. 考点：正弦定理.3. （2015北京理）在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc +-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点：正弦定理、余弦定理4．（2015福建文）若ABC ∆中，AC =045A =，075C =，则BC =_______．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=，所以23223BC ⨯==．考点：正弦定理．5．（2015福建理）若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅=103=，所以3sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．6．（2015广东理）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =， 1sin 2B =，6C =π，则b = 【答案】1． 【考点定位】本题考查正弦定理解三角形，属于容易题． 7. (2015湖北文、理)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.【答案】1006.【考点定位】本题考查解三角形的实际应用举例，属中档题.【名师点睛】以实际问题为背景，将抽象的数学知识回归生活实际，凸显了数学的实用性和重要性，体现了“数学源自生活，生活中处处有数学”的数学学科特点，能较好的考查学生识记和理解数学基本概念的能力和基础知识在实际问题中的运用能力.考点：1.三角形三内角和定理，2.三角函数的定义，3.有关测量中的的几个术语，4.正弦定理.8.(2015全国新课标Ⅰ卷理)在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 【答案】（62-，6+2） 【解析】试题分析：如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE =，解得BE =6+2，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BC FCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得BF=62-，所以AB 的取值范围为（62-，6+2）.考点：正余弦定理；数形结合思想9.(2015天津理)在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【解析】试题分析：因为0A π<<，所以215sin 1cos A A =-=， 又115sin 315,2428ABC S bc A bc bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.10. (2015重庆文) 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且12,cos ,4a C ==-3sin 2sin A B =,则c=________. 【答案】4 【解析】试题分析：由3sin 2sin A B =及正弦定理知：3a=2b,又因为a=2,所以b=3； 由余弦定理得：22212cos 49223()164c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯-=，所以c=4; 故填：4.考点：正弦定理与余弦定理.11．(2015重庆理)在ABC 中，B =120o，AB =2，A 的角平分线AD =3,则AC =_______.【答案】6【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理）三、解答题：1.（2015安徽理）在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.2. (2015江苏)在ABC ∆中，已知60,3,2===A AC AB .（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.【答案】（17243【解析】考点：余弦定理，二倍角公式3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1（II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a cb +=.故222a c ac +=，得2c a =所以D ABC 的面积为1.【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.4.(2015全国新课标Ⅱ卷文)△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .（I ）求sin sin BC∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.【答案】（I ）12；30.考点：解三角形试题解析：（I ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠ 因为AD 平分∠BAC ,BD =2DC ,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin sin .2C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以tan 30.B B ∠=∠= 考点：解三角形 5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，DC =BD 和AC 的长． 【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1． (Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠． 222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6. (2015山东文)ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知cos ()B A B ac =+==。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2．（2015福建理）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题：1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】试题分析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-． 考点：等差数列和递推关系．11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．三、解答题：1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.（2015安徽理） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.7．（2015广东理）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用1. 若函数f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx [ω>0]的最小正周期为π，则ω＝________．答案：1解析：由于f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω＝＝1.2. 在△ABC 中，若∠B ＝π4，b ＝2a ，则∠C ＝________.答案：7π12解析：根据正弦定理可得a sinA ＝b sinB ，即a sinA ＝2a sin π4，解得sinA ＝12.因为b ＝2a>a ，所以A<B ，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝7π12.3. 已知tanx －1tanx ＝32，则tan2x ＝________．答案：－43解析：由tanx －1tanx ＝32，可得tanx 1－tan 2x ＝－23，所以tan2x ＝2tanx 1－tan 2x＝－43. 4. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝[4，4cos α－3]，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝________．答案：－14解析：a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14.5. 设函数f[x]＝cos[ωx ＋φ]－3sin[ωx ＋φ]⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝________．答案：－π3解析：由已知条件，得f[x]＝2cos[ωx ＋φ＋π3]，由题意得T 2＝π2，∴ T ＝π.∴ T ＝2πω，∴ ω＝2.∵ f[0]＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f[x]的对称轴，∴ f[0]＝2或－2.∵ |φ|<π2，∴ φ＝－π3.6. 已知函数f[x]＝2sinx ，g[x]＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f[x]，g[x]的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________．答案：2 2解析：构造函数F[x]＝2sinx －2cosx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2.7. 已知f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3[ω>0]，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f[x]在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．答案：143解析：由题意知直线x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω×π4＋π3＝2k π－π2[k ∈Z ]，∴ ω＝8k －103[k ∈Z ]． ①又π3－π6≤2πω[ω>0]，∴ 0<ω≤12. ② 由①②得k ＝1，∴ ω＝143.8. 已知函数f[x]＝sin[2x ＋φ]，其中φ为实数．f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，则f[x]的单调递增区间是________． 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3[k ∈Z ]解析：由x ∈R ，有f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f[x]取最值，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，∴ π3＋φ＝±π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π[k ∈Z ]．∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，∴ sin[π＋φ]>sin[2π＋φ]，∴ －sin φ>sin φ，∴ sin φ<0.∴ φ取－5π6＋2kπ[k ∈Z ]．不妨取φ＝－5π6，则f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π[k ∈Z ]，∴ π6＋k π≤x ≤2π3＋k π[k ∈Z ]．∴ f[x]的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π[k ∈Z ]．9. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c.[1] 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；[2] 若sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：[1] ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4. ∵ △ABC 的面积为3， ∴ 12absinC ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.[2] 由sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，得sin[A ＋B]＋sin[B －A]＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·[sinA －sinB]＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0， 当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．10. 已知函数f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32[ω∈R ，x ∈R ]的最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称．[1] 求f[x]的解析式；[2] 若函数y ＝1－f[x]的图象与直线y ＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上只有一个交点，求实数a 的取值范围．解：[1] f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32＝32sin2ωx －12[1＋cos2ωx]＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋1.∵ 函数f[x]的最小正周期为π，∴ 2π|2ω|＝π，即ω＝±1，∴ f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫±2x －π6＋1.① 当ω＝1时，f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x ＝π6对称，舍去．② 当ω＝－1时，f[x]＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π2＋1＝0是最小值，∴ 其图象关于x ＝π6对称．故f[x]的解析式为f[x]＝1－sin ⎝⎛⎫2x ＋π6.[2] y ＝1－f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，在同一坐标系中作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝a 的图象：由图可知，直线y ＝a 在a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1.11. [2013·江苏]如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.[1] 求索道AB 的长；[2] 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[3] 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：[1] 在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－[A ＋C]]＝sin[A ＋C]＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sinC ＝ACsinB ，得AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040[m]．所以索道AB 的长为1 040 m.[2] 假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了[100＋50t]m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝[100＋50t]2＋[130t]2－2×130t ×[100＋50t]×1213＝200[37t 2－70t ＋50]，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537[min]时，甲、乙两游客距离最短．[3] 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB ×sinA ＝1 2606365×513＝500[m]．乙从B 出发时，甲已走了50×[2＋8＋1]＝550[m]，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514[单位：m/min]范围内．。

一、选择题：1.（福建6）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-2.（重庆6）若1tan 3a =，1tan()2ab +=，则tan =b （ ）A ．17B ．16C ．57D ．563.（山东4）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位4.（上海17）已知点A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C. 211 D. 2135.（新课标1，8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．（14k π-，34k π+），k Z ∈ B ．（124k π-，324k π+），k Z ∈ C ．（14k -，34k +），k Z ∈D ．（124k -，324k +），k Z ∈6.（浙江8）设实数a ，b ，t 满足1sin a b t +==（ ）A ．若t 确定，则2b 唯一确定B ．若t 确定，则22a a +唯一确定C ．若t 确定，则sin2b唯一确定 D ．若t 确定，则2a a +唯一确定 7.（新课标2，11）如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记x BOP =∠.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为（ ）二、填空题：1.（江苏8）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 2.（上海1）函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为____________.3.（湖南15）已知0ω>，在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω=_____.4.（陕西14）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为_______.5.（浙江11）函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ．6.（天津14）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0ω>），x R ∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为 ．7.（上海14）已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),12(*∈≥N m m ，则m 的最小值为三、解答题：1.（广东）已知tan 2α=． （1）求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．2.（安徽）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.3.（北京）已知函数()2sin 2x f x x =-． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．4.（重庆）已知函数21()sin 22f x x x =-. （1）求()f x 的最小周期和最小值；（2）将函数()f x 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，当2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求()g x 的值域.5.（湖北）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解析式； （2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.6.（福建）已知函数()2cos 10cos 222x x x f x =+． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． ①求函数()g x 的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．答案：D A B D D ；B B 3，π，2πω=，8，π，81.（广东）（1）3-；（2）12.（安徽）（1）π ；（2）最大值为10 3.（北京）（1）2π；（2）4.（重庆）（1）p，-（2）5.（湖北）（1）π()5sin(2)6f x x =-；（2）π(,0)12-6.（福建）（1）2π；（2）①()10sin 8g x x =-；②详见解析。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（导数及其应用）一、选择题：1.（2015安徽文）函数32f x ax bx cx d的图像如图所示，则下列结论成立的是（）（A）a>0，b<0，c>0，d>0 （B）a>0，b<0，c<0，d>0（C）a<0，b<0，c<0，d>0 （D）a>0，b>0，c>0，d<02．（2015福建理）若定义在R上的函数f x满足01f，其导函数f x满足1f x k，则下列结论中一定错误的是（）A．11fk kB．111fk kC．1111fk kD．111kfk k【答案】C考点：函数与导数．3．（2015福建文）“对任意(0,)2x，sin cos k x x x ”是“1k ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】 B考点：导数的应用．4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设函数()f x =(21)x e x ax a ,其中a 1，若存在唯一的整数x 0，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）A.[-，1） B. [-，） C. [，）D. [，1）【答案】D 【解析】试题分析：设()g x =(21)x e x ，yax a ，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线yaxa 的下方.因为()(21)xg x e x ，所以当12x时，()g x ＜0，当12x 时，()g x ＞0，所以当12x时，max [()]g x =12-2e ，当0x时，(0)g =-1，(1)30g e，直线y axa 恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1ag ，且1(1)3g ea a ，解得32e≤a ＜1，故选D.考点：导数的综合应用5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设函数'()f x 是奇函数()()f x xR 的导函数，(1)0f ，当0x 时，'()()0xf x f x ，则使得()0f x 成立的x 的取值范围是（）A ．(,1)(0,1)B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)D ．(0,1)(1,)【答案】A 【解析】试题分析：记函数()()f xg x x，则''2()()()xf x f x g x x，因为当0x 时，'()()0xf x f x ，故当0x时，'()0g x ，所以()g x 在(0,)单调递减；又因为函数()()f x x R 是奇函数，故函数()g x 是偶函数，所以()g x 在(,0)单调递减，且(1)(1)0g g ．当01x 时，()0g x ，则()0f x ；当1x 时，()0g x ，则()0f x ，综上所述，使得()0f x 成立的x 的取值范围是(,1)(0,1)，故选A ．考点：导数的应用、函数的图象与性质．6.(2015陕西理)对二次函数2()f x axbx c （a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A ．-1是()f x 的零点 B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值 D. 点(2,8)在曲线()yf x 上【答案】A考点：1、函数的零点； 2、利用导数研究函数的极值．二、填空题：1.（2015安徽理）设30x ax b，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）①3,3a b ；②3,2ab；③3,2ab；④0,2ab；⑤1,2ab.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.2. (2015湖南理)20(1)x dx.【答案】0.【考点定位】定积分的计算.【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知函数31f x axx 的图像在点1,1f 的处的切线过点2,7，则a .4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知曲线ln y xx 在点1,1处的切线与曲线221y axa x 相切,则a= ．【答案】8 【解析】试题分析：由11y x可得曲线ln y xx 在点1,1处的切线斜率为2,故切线方程为21y x ,与221y axa x 联立得220axax ,显然0a ,所以由2808aa a .考点：导数的几何意义.5、(2015陕西文)函数xy xe 在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1ye考点：导数的几何意义.6.(2015陕西理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是11010222162，设抛物线的方程为22xpy （0p ），因为该抛物线过点5,2，所以2225p ，解得254p ，所以2252x y ，即2225y x ，所以当前最大流量是5323535522224022255255257575753xdxxx，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403，所以答案应填： 1.2．考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．7.(2015陕西理)设曲线xy e 在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yx x上点p 处的切线垂直，则p的坐标为．【答案】1,1【解析】试题分析：因为xy e ，所以xye ，所以曲线xye 在点0,1处的切线的斜率011x k ye，设的坐标为00,x y （00x ），则01y x ，因为1yx，所以21yx，所以曲线1yx在点处的切线的斜率0221x x k yx，因为121k k ，所以2011x，即201x ，解得01x ，因为00x ，所以01x ，所以01y ，即的坐标是1,1，所以答案应填：1,1．考点：1、导数的几何意义；2、两条直线的位置关系．8、(2015四川文)已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R ).对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝1212()()f x f x x x ，n ＝1212()()g x g x x x ，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为 f '(x)＝2x ln 2＞0恒成立，故①正确对于②，取a ＝－8，即g'(x)＝2x －8，当x 1，x 2＜4时n ＜0，②错误对于③，令 f '(x)＝g'(x)，即2x ln2＝2x ＋a 记h(x)＝2x ln2－2x ，则h'(x)＝2x (ln2)2－2【考点定位】本题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等基础知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】本题首先要正确认识m ，n 的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是本题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x 1，x 2”与切线斜率的关系与差别，以及“都有”与“存在”的区别，避免过失性失误.属于较难题. 9. (2015天津文)已知函数ln ,0,f x ax x x,其中a 为实数,f x 为f x 的导函数,若13f ,则a 的值为．【答案】3 【解析】试题分析：因为1ln f xa x ,所以13f a .考点：导数的运算法则.10.(2015天津理)曲线2y x与直线y x 所围成的封闭图形的面积为.【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积11223111236Sx xdxxx.考点：定积分几何意义.三、解答题：1.（2015安徽文）已知函数)0,0()()(2ra r xax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若400ra ，求)(x f 在),0(内的极值.2.（2015安徽理）设函数2()f x xax b .（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x xa xb ，求函数0(sin )(sin )f x f x 在[]22,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取0a b ，求24azb满足D 1时的最大值.3.（2015北京文）设函数2ln 2xf xk x ，0k ．（Ⅰ）求f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若f x 存在零点，则f x 在区间1,e 上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；极小值(1ln )()2k k f k ；（2）证明详见解析.所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k ；()f x 在x k 处取得极小值(1ln )()2k k f k .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)上的最小值为(1ln )()2k k f k .因为()f x 存在零点，所以(1ln )02k k ，从而ke .当k e 时，()f x 在区间(1,)e 上单调递减，且()0f e ，所以x e 是()f x 在区间(1,]e 上的唯一零点.当ke 时，()f x 在区间(0,)e 上单调递减，且1(1)02f ，()02e kf e ，所以()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点. 综上可知，若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,]e 上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.4.（2015北京理）已知函数1ln1xf x x．（Ⅰ）求曲线y f x 在点00f ，处的切线方程；（Ⅱ）求证：当01x，时，323xf xx；（Ⅲ）设实数k 使得33xf x k x对01x，恒成立，求k 的最大值．【答案】（Ⅰ）20x y ，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k 的最大值为 2. 试题解析：（Ⅰ）212()ln,(1,1),(),(0)2,(0)011xf x x f x f f xx，曲线yf x 在点00f ，处的切线方程为20xy；（Ⅱ）当01x ，时，323xf xx，即不等式3()2()03x f x x，对(0,1)x 成立，设331()ln2()ln(1)ln(1)2()133xxxF x xx x xx，则422()1xF x x，当01x ，时，()0F x ，故()F x 在（0，1）上为增函数，则()(0)0F x F ，因此对(0,1)x ，3()2()3xf x x成立；（Ⅲ）使33xf x k x成立，01x ，，等价于31()ln()013xx F x k xx，01x，；422222()(1)11kxkF x k x xx ，当[0,2]k 时，()0F x ，函数在（0，1）上位增函数，()(0)0F x F ，符合题意；当2k时，令42()0,(0,1)k F x x k，x 0(0,)x 0x 0(,1)x ()F x -+()F x 极小值()(0)F x F ，显然不成立，综上所述可知：k 的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.5．（2015福建文）已知函数2(1)()ln 2x f x x．(Ⅰ)求函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x 时，1f xx ；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在1x ，当0(1,)xx 时，恒有1f xk x ．【答案】(Ⅰ)150,2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．【解析】(Ⅰ)求导函数21xx f xx，解不等式'()0f x 并与定义域求交集，得函数f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数F 1x f x x ，1,x ．欲证明1f x x ，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k 时，不存在01x 满足题意；当1k时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意；当1k 时，构造函数G1x f x k x ，0,x，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在1x ，当0(1,)xx 时()0G x 即可．试题解析：（I ）2111xx f xx xx ，0,x．由0f x 得2010x xx 解得1502x．故f x的单调递增区间是150,2．（II ）令F 1x f xx ，0,x ．则有21F x xx．当1,x 时，F 0x，所以F x 在1,上单调递减，故当1x 时，F F 10x，即当1x 时，1f x x ．（III ）由（II ）知，当1k时，不存在01x 满足题意．当1k 时，对于1x ，有11f x x k x ，则1f xk x ，从而不存在01x 满足题意．当1k时，令G 1xf x k x ，0,x，则有2111G 1xk x xx kxx．由G0x 得，2110xk x ．解得2111402kk x ，2211412k k x ．当21,xx 时，G 0x ，故G x 在21,x 内单调递增．从而当21,xx 时，G G 10x，即1f xk x ，综上，k 的取值范围是,1．考点：导数的综合应用．6.（2015福建理）已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R(Ⅰ)证明：当0x x x 时，f()；(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),xx 任意，恒有f()()x g x ；(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的(0),x，t 恒有2|f()()|x g x x ．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详见解析；(Ⅲ)=1k ．【解析】试题分析：(Ⅰ)构造函数()f()ln(1),(0,),F x x x x x x只需求值域的右端点并和0比较即可；(Ⅱ)构造函数G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x即()0G x ，求导得1()1+G x kx(1k)1+kx x，利用导数研究函数()G x 的形状和最值，证明当1k时，存在00x ，使得()0G x 即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，当1k 时，对于(0,),x+()f()g x x x ，故()f()g x x ，则不等式2|f()()|x g x x 变形为2k ln(1)x x x ，构造函数2M()k ln(1),[0)x xx x x ，+，只需说明()0M x ，易发现函数()M x 在22(k 2)8(k 1)0)4k x （，递增，而(0)0M ，故不存在；当1k 时，由(Ⅱ)知，存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ，此时不等式变形为2ln(1)k x xx ，构造2N()ln(1)k ,[0)x x x x x，+，易发现函数()N x 在2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，递增，而(0)0N ，不满足题意；当=1k 时，代入证明即可．试题解析：解法一：(1)令()f()ln(1),(0,),F x x xx x x则有1()11+1+x F x xx当(0,),x ()0F x ,所以()F x 在(0,)上单调递减；故当0x 时，()(0)0,F x F 即当0x时，x x f()．(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x则有1(1k)()1+1+kx G x kx x当0kG ()0x ,所以G()x 在[0,)上单调递增, G()(0)0x G 故对任意正实数0x 均满足题意.当01k 时，令()0,x G 得11=10k x kk．取01=1x k，对任意0(0,),x x 恒有G ()0x ,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G ,即f()()x g x .综上，当1k 时，总存在00x ,使得对任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．(3)当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，故()f()g x x ，|f()()|()()k ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()k ln(1),[0)x xx x x，+，则有21-2+(k-2)1M ()k2=,11x x k x x xx故当22(k 2)8(k 1)0)4k x （，时，M ()0x ,M()x 在22(k 2)8(k 1)[0)4k，上单调递增，故M()M(0)0x ,即2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k 时，由（2）知存在00x ,使得对任意的任意的0(0),xx ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,令2N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+，则有2'1-2-(k+2)1()2=,11x x k N x k x xx故当2(+2(k +2)8(1k)0)4k x ）（，时，N ()0x ,M()x 在2(2)(k 2)8(1k)[0)4k ，上单调递增，故N()(0)0x N ,即2f()()x g x x ,记0x 与2(2)(k 2)8(1k)4k 中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|xx x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2H()ln(1),[0)x x x x x，+，则有21-2H ()12=,11xxx x xx当0x 时，H ()0x ,所以H()x 在[0+，）上单调递减，故H()(0)0x H ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .解法二：（1）（2）同解法一.（3）当1k 时，由（1）知，对于(0,),x +()f()g x x x ，，故|f()()|()()k ln(1)k (k 1)x g x g x f x x x xxx ，令2(k 1),01x x xk 解得，从而得到当1k 时，(0,1)xk 对于恒有2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k时，取11k+1=12k kk ，从而由（2）知存在00x ,使得0(0),xx 任意，恒有1f()()x k xkx g x .此时11|f()()|f()()(k)2k x g x x g x k xx ,令21k 1k ,022x x x解得，此时2f()()x g x x ,记0x 与1-k2中较小的为1x ，则当21(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()ln(1),[0)x x x x x ，+，则有212M ()12,11xxx xxx当0x 时，M ()0x ,所以M()x 在[0+，）上单调递减，故M()M(0)0x ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意综上，=1k .考点：导数的综合应用．7．（2015广东理）设1a ，函数a ex x f x)1()(2。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB = ，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A）1b = （B）a b⊥ （C）1a b ⋅= （D）()4Ca b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b是非零向量，“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b ∙=∙<> ，由已知得cos ,1a b <>= ，即,0a b <>= ，//a b .而当//a b时，,a b <> 还可能是π，此时||||a b a b ∙=- ，故“a b a b ⋅= ”是“//a b”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a = ，(1,1)b = ，c a kb =+ ．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A．32-B．53-C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A = （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++的最大值为（）A、6B、7C、8D、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB+取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7.(2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC = ()（A）(7,4)--（B）(7,4)（C）(1,4)-（D）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+(B)1433AD AB AC=-（C ）4133AD AB AC=+ (D)4133AD AB AC =-【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-= =1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10.(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A）232a -（B）234a -（C）234a （D）232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是（）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD = .若点M，N 满足3BM MC =，2DN NC = ，则AM NM ⋅= （）（A）20（B）15（C）9（D）6【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB = ，4AD = 故可选,AB AD作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝()(A )2(B )3(C )4(D )6【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=3|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A、4πB、2πC、34πD、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16.(2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π(B)2π(C)32π(D)65π【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是.（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

2015 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（立体几何 ）一、选择题：1.（2015安徽文、理）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）222.（2015安徽理）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面3、（2015北京文）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，SC⊥平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，222223SA SC AC SC AB BC=+=++=考点：三视图.4. （2015北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）11俯视图侧(左)视图21A．25+ B．45 C．225+．5 【答案】C【解析】试题分析：根据三视图恢复成三棱锥P-ABC ，其中PC ⊥平面ABC ，取AB 棱的中点D ，连接CD 、PD ，有,PD AB CD AB ⊥⊥，底面ABC 为等腰三角形底边AB 上的高CD 为2，AD=BD=1,PC=1,5,ABC PD S ∆=1222,2=⨯⨯=,12552PAB S ∆=⨯⨯=AC BC =5=1512PAC PBC S S ∆∆==⨯⨯52=,三棱锥表面积表252S =+.考点：1.三视图；2.三棱锥的表面积.5．（2015福建文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A ．822+B ．1122+．1422+．151112【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为12．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为2+2+4+22=8+221122+B ．考点：三视图和表面积．6. （2015广东文） 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7.（2015广东理）若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值（）A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3【答案】C．【考点定位】本题考查空间想象能力、推理能力，属于中高档题．8. (2015湖南理)某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积原工件的体积）（）A.89πB.169πC.34(21)π-D.312(21)π-【答案】A.【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.【名师点睛】本题主要考查立体几何中的最值问题，与实际应用相结合，立意新颖，属于较难题，需要考生从实际应用问题中提取出相应的几何元素，再利用基本不等式求解，解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量，或利用导数或利用基本不等式，求其最值.9、(2015湖南文)某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=新工件的体积/原工件的体积）A、89πB、827πC、224(21)π-D、28(21)π-【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体10、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛11、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，+，则r=( ) 该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6D.15【答案】D【解析】试题分析：由三视图得，在正方体1111ABCD A B C D -中，截去四面体111A A B D -，如图所示，，设正方体棱长为a ，则11133111326A A B D V a a -=⨯=，故剩余几何体体积为3331566a a a -=，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为51，故选D ．考点：三视图．CBADD 1C 1B 1A 114. (2015全国新课标Ⅱ卷文、理)已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．BOAC16. (2015山东文) 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) （A ）（B ）（）22π（）42π【答案】B考点：1.旋转体的几何特征；2.几何体的体积.17.(2015山东理)在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B ）43π （C ）53π （D ）2π 【答案】C【考点定位】1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.【名师点睛】本题考查了空间几何体的结构特征及空间几何体的体积的计算，重点考查了圆柱、圆锥的结构特征和体积的计算，体现了对学生空间想象能力以及基本运算能力的考查，此题属中档题.18. (2015陕西文、理)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+【答案】D 【解析】试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半， 所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D 考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积.20、(2015浙江文、理)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）A ．83cmB ．123cmC ．3233cmD ．4033cm 【答案】C考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.21、(2015浙江文)设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（ ） A ．若l β⊥，则αβ⊥ B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m 【答案】A 【解析】试题分析：采用排除法，选项A 中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B 中，当αβ⊥时，,l m 可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C 中，//l β时，,αβ可以相交；选项D 中，//αβ时，,l m 也可以异面.故选A.考点：直线、平面的位置关系.23. (2015浙江理)如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤24.(2015重庆文)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）(A)123π+(B)136π(C)73π(D)52π【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为1，高也为1；构成的一个组合体，故其体积为61311612122πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯；故选B.考点：三视图.25．(2015重庆理)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、13π+ B、23π+C、123π+ D、223π+【答案】A【考点定位】组合体的体积.【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力.二、填空题：1. (2015江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 9 课时 三角函数的综合应用π1. 若函数 f(x) ＝cos ω xcos 2 －ωx (ω>0)的最小正周期为 π ，则 ω＝ ________．答案： 1分析： 因为 f(x) ＝ cos ωxcos π ＝12π ＝ 1. ＝2 － ωx 2sin2ωx ，因此 T ＝ 2ωπ2. 在△ ABC 中，若∠ B ＝ 4 ， b ＝2a ，则∠ C ＝ ________.7π答案：12分析： 依据正弦定理可得a ＝b ，即 a＝ 2a，解得 sinA ＝ 1sinA sinB sinAπ 2.因为 b ＝ 2a>a ，所sin 4π7π以 A<B ，因此 A ＝ 6 ，因此 C ＝π－A － B ＝ 12 .3. 已知 tanx － 1 ＝ 3，则 tan2x ＝________． tanx 2答案：－43分析： 由 tanx －1＝ 3，可得 tanx ＝－ 2，因此 tan2x ＝2tanx ＝－ 4tanx 21－ tan 2x31－ tan 2x3.4. 已知向量 a ＝ sin α ＋π， 1 ， b ＝ (4， 4cos α － 3)，若 a ⊥b ，则 sin α＋ 4π ＝63 ________．1答案：－4π＋ 4cos α－ 3＝ 2 3sin α＋6cos α－ 3＝ 4 3sin α＋π分析： a ·b ＝ 4sin α＋－ 3＝0，63π14ππ1因此 sinα＋ 3＝4.因此 sin α＋ 3 ＝－ sinα＋ 3＝－4.π5. 设函数 f(x) ＝ cos(ωx＋ φ)－ 3sin( ωx＋ φ) ω >1， |φ |< 2 ，且其图象相邻的两条对称轴为 x 1＝ 0， x 2 ＝π，则 φ＝ ________．2π答案：－3分析：由已知条件， 得 f(x) ＝ 2cos(ωx＋ φ＋ π T π 2π3)，由题意得 2＝ 2 ，∴ T ＝π.∴ T ＝ ω ，∴ ω ＝2.∵ f(0) ＝ 2cos φ＋ π f(0) ＝ 2 或－ 2.， x ＝ 0 为 f(x) 的对称轴，∴3π π∵ |φ|<2 ，∴ φ＝－3 .π－ x ，直线 x ＝ m 与 f(x) ， g(x) 的图象分别交于6. 已知函数 f(x) ＝ 2sinx ， g(x)＝ 2sin 2M 、N 两点，则 |MN| 的最大值为 ________．答案：2 2分析： 结构函数 F(x) ＝ 2sinx － 2cosx ＝ 2 2sinπ，故最大值为 2 2.x － 4ππ πππ7. 已知 f(x) ＝ sin ωx＋ 3 ( ω >0)， f 6 ＝ f 3 ，且 f(x) 在区间6 ， 3 有最小值，无最大值，则 ω＝ ________．答案：143π π＋ ππ π πx ＝ 62分析： 由题意知直线 3＝ 4为函数的一条对称轴，且ω× 4 ＋ 3 ＝ 2k π－2 (k ∈ Z )，10 ∴ ω＝8k － 3 (k ∈ Z )． ①π π 2π又 3－ 6 ≤ ω(ω >0)，∴ 0<ω≤ 12. ②14由 ①② 得 k ＝ 1，∴ ω＝ 3 .π对 x ∈ R 恒建立，且8. 已知函数 f(x) ＝ sin(2x ＋ φ)，此中 φ 为实数． f(x) ≤ f 6πf 2 >f( π )，则 f(x) 的单一递加区间是 ________．答案： π 2π(k ∈ Z )k π＋6 ， k π＋ 3x ∈R ，有 f(x) ≤ f ππ＝ sin＝ ±1，分析： 由 π知，当 x ＝ 时 f(x) 取最值，∴ fπ66 63 ＋ φ∴ π π π 5ππ 3 ＋ φ＝ ± ＋ 2k π(k ∈ Z )，∴ φ＝ ＋ 2k π或 φ＝－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z ) ．∵ f >f( π)，∴ sin( π2 6 25π5π ＋φ)>sin(2 π＋φ)，∴ － sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴ φ取－ 6 ＋ 2k π(k ∈ Z )．不如取 φ＝－ 6 ，则5π π 5π πf(x) ＝ sin 2x － 6 .令－ 2 ＋ 2k π≤ 2x － ≤2 ＋ 2k π(k ∈ Z )，∴ 6 (k ∈ Z )，∴ π 2π 6 ＋ k π≤x ≤ 3＋ k π(k ∈ Z )．∴ f(x) 的单一递加区间为9. 在△ ABC 中，内角 A 、 B 、 C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c.π，且△ ABC 的面积为 3，求 a ， b 的值；(1) 若 c ＝ 2，C ＝ 3π 4π3＋ 2k π≤ 2x ≤ 3 ＋ 2k π π2π ＋ k π， ＋ k π (k ∈ Z )．6 3(2) 若 sinC ＋ sin(B －A) ＝ sin2A ，试判断△ ABC 的形状．π 解： (1) ∵ c ＝ 2， C ＝ 3 ，∴ 由余弦定理 c 2＝ a 2＋ b 2－2abcosC ，得 a 2＋ b 2－ ab ＝ 4. ∵ △ABC 的面积为 3，1 ∴ 2absinC ＝ 3， ab ＝ 4.。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全 （三角函数 三角恒等变换）一、选择题：1.（2015安徽理）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-2．（2015福建文）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα=512=-，故选D．考点：同角三角函数基本关系式．3. (2015湖南理)将函数()sin2f x x=的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x的图像，若对满足12()()2f xg x-=的1x，2x，有12min3x xπ-=，则ϕ=（）A.512πB.3πC.4πD.6π【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=xAxf为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.4、(2015全国新课标Ⅰ卷文、理)函数()cos()f x xωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x的单调递减区间为（）（A）13(,),44k k k Zππ-+∈（B）13(2,2),44k k k Zππ-+∈（C）13(,),44k k k Z-+∈（D）13(2,2),44k k k Z-+∈【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x xππ=+，令22,4k x k k Zπππππ<+<+∈，解得124k-＜x＜324k+，k Z∈，故单调减区间为（124k-，324k+），k Z∈，故选D.考点：三角函数图像与性质5.(2015全国新课标Ⅰ卷理)sin20°cos10°-con160°sin10°=（ ）（A ）32- （B ）32 （C ）12- （D ）12【答案】D 【解析】试题分析：原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=12，故选D.考点：诱导公式；两角和与差的正余弦公式18．(2015全国新课标Ⅱ卷文、理)如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像7. (2015重庆文)若11tan,tan()32,则tan =（ ） (A) 17 (B) 16 (C) 57 (D) 56【答案】A 【解析】试题分析：71312113121tan)tan(1tan)tan(])tan[(tan=⨯+-=++-+=-+=abaabaabab；故选A.考点：正切差角公式.8．(2015重庆理)若tan2tan5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.9.(2015山东文、理)要得到函数sin43y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin4y x=的图象（）（A）向左平移12π个单位（B）向右平移12π个单位（C）向左平移3π个单位（D）向右平移3π个单位【答案】B【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.10. (2015陕西理)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】试题分析：由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 考点：三角函数的图象与性质．11. (2015上海文)已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235C. 211D. 213【答案】D因为491)34(2222=+=+n m ，所以491692722=+n n ，所以213=n 或213-=n （舍去），所以点B 的纵坐标为213. 【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.12、(2015四川文)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )(A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx【答案】B【考点定位】本题考查三角函数的基本概念和性质，考查函数的周期性和奇偶性，考查简单的三角函数恒等变形能力.【名师点睛】讨论函数性质时，应该先注意定义域，在不改变定义域的前提下，将函数化简整理为标准形式，然后结合图象进行判断.本题中，C 、D 两个选项需要先利用辅助角公式整理，再结合三角函数的周期性和奇偶性(对称性)进行判断即可.属于中档题.13.(2015四川理)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+()sin cos D y x x =+【答案】A【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.二、填空题：1. （2015湖北文）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.【答案】2.【考点定位】本题考查函数与方程，涉及常见函数图像绘画问题，属中档题.【名师点睛】将函数的零点问题和方程根的问题、函数的交点问题联系在一起，凸显了数学学科内知识间的内在联系，充分体现了转化化归的数学思想在实际问题中的应用，能较好的考查学生准确绘制函数图像的能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.2．（2015湖北理）函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为．【答案】2考点：1.二倍角的正弦、余弦公式，2.诱导公式，3.函数的零点.3、(2015湖南文)已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω =_____. 【答案】2πω=考点：三角函数图像与性质4. (2015江苏)已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3【解析】试题分析：12tan()tan 7tan tan() 3.21tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++- 考点：两角差正切公式5、(2015陕西文)如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.【答案】8 【解析】试题分析：由图像得，当sin()16x π+Φ=-时min 2y =，求得5k =，当sin()16x π+Φ=时，max 3158y =⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.6. (2015上海文)函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为 . 【答案】π7. (2015上海文)已知函数x x f sin )(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),2(*∈≥N m m ，则m 的最小值为 .【答案】88.(2015上海理)已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值为 ．【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m =【考点定位】三角函数性质9. (2015四川理)=+75sin 15sin . 6【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.10、(2015四川文)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是______________.【答案】－1【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin 2α＋cos 2α＝1，解出sin α与cos α的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan α的值，对所求式除以sin 2α＋cos 2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan α的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题.11. (2015天津文) 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．【答案】π2【解析】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos 2sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2πππ422ωω+=⇒=考点：三角函数的性质.12、(2015浙江文)函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，最小值是 ． 【答案】32,2π【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+ 23sin(2)242x π=-+，所以22T ππ==；min 32()22f x =-. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.13. (2015浙江理) 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．三、解答题：1. （2015安徽文）已知函数2()(sin cos )cos 2f x x x x =++（Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.2、（2015北京文）已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 【答案】（1）2π；（2）3-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.3．（2015北京理）已知函数2()2sin cos 2sin 222x x xf x =-．(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期； (Ⅱ) 求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．【答案】（1）2π，（2）212--【解析】试题分析：先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形，把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，再利用周期公式2T πω=求出周期，第二步由于0,x π-≤≤则可求出3444x πππ-≤+≤，借助正弦函数图象 找出在这个范围内当42x ππ+=-，即34x π=-时，()f x 取得最小值为：21--.试题解析：(Ⅰ)211cos ()2sincos2sin 2sin 222222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=222sin cos x x =+-2sin()4x π=+- (1)()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)30,444x x ππππ-≤≤∴-≤+≤，当3,424x x πππ+=-=-时，()f x 取得最小值为：212-- 考点： 1.三角函数式的恒等变形；2.三角函数图像与性质.4．（2015福建文）已知函数()2103sin cos 10cos 222x x x f x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2103cos 10cos 222x x x f x =+ 535cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =．（II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >．由45<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >．考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 5．（2015福建理）已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x 的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2个单位长度.(Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；(Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,．（1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos )1.5m ( 【答案】(Ⅰ) f()2sin x x ，(k Z).2x k；(Ⅱ)（1）(5,5)；（2）详见解析．【解析】试题分析：(Ⅰ)纵向伸缩或平移： ()()g x kg x →或()()g x g x k →+；横向伸缩或平移：()()g x g x ω→（纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍），()()g x g x a →+(0a >时，向左平移a 个单位；0a <时，向右平移a 个单位)；(Ⅱ) （1)由(Ⅰ)得f()2sin x x ，则f()g()2sin cos x x x x ，利用辅助角公式变形为f()g()x x 5sin()x （其中sin ,cos 55），方程f()g()x x m 在[0,2)内有两个不同的解,，等价于直线y m =和函数5sin()yx 有两个不同交点，数形结合求实数m 的取值范围；（2)结合图像可得+=2()2和3+=2()2，进而利用诱导公式结合已知条件求解．试题解析：解法一：(1)将()cos g x x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y2cos x 的图像，再将y 2cos x 的图像向右平移2个单位长度后得到y 2cos()2x的图像，故f()2sin x x ，从而函数f()2sin x x 图像的对称轴方程为(k Z).2x k(2)1) f()g()2sin cos 5(sin cos )55x x x xx x 5sin()x（其中sin ,cos55） 依题意，sin()=5x 在区间[0,2)内有两个不同的解,当且仅当1，故m 的取值范围是(5,5).2)因为,)=m x在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=5，sin()=5.当1m<5时，+=2(),2();2 当5<m<1时, 3+=2(),32();2所以2222cos )cos 2()2sin ()12()1 1.55m (解法二：(1)同解法一.(2)1) 同解法一.2) 因为,)=m x在区间[0,2)内有两个不同的解，所以sin()=5，sin()=5.当1m<5时，+=2(),+();2即 当5<m<1时, 3+=2(),+3();2即 所以cos +)cos()( 于是cos )cos[()()]cos()cos()sin()sin()(22222cos ()sin()sin()[1()]() 1.555m 考点：1、三角函数图像变换和性质；2、辅助角公式和诱导公式．6、（2015广东文）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值； ()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.7．（2015广东理）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量22,m ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，()sin ,cos n x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。

2015 年高考理科数学试题汇编(含答案 )：三角函数大题(江苏 )15.( 本小题满分14 分),在中，已知. ,ABCAB,2,AC,3,A,60(1) 求的长 ; BC(2) 求的值 .sin2C 43【答案】(1)(2) 77 【分析】考点 :余弦定理，二倍角公式fxx,, ，sin,,,(10)( 安徽 )已知函数(，，均为正的常数)的最小正,,，，，，2,fx,, 周期为，当x 时，函数( ) ，，3 fff220,,,fff022,,,获得最小值，则以下结论正确的选项是(A) (B)，，，，，，，，，，，，fff,,,202fff202,,, (C)(D) ，，，，，，，，，，，，【答案】 A of the audit. Fire is acombination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement,in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive toself-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current firelaw enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reportsof complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruptioncases, with a high incidence of leading cadres, a small numberof leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-moneytransaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than 95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption. Inpractical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviatefrom system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 1/6 页考点:1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较. (福建)19(已知函数的图像是由函数的图像经以下变换获得:先将f()xgxx()cos= 图像上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐标不变 )，再将所获得的图像向右平gx() p 移个单位长度. 2 (?)求函数的分析式，并求其图像的对称轴方程; f()x (?)已知对于的方程在内( xf()g()xxm+=[0,2)pab, (1) 务实数m 的有两个不一样的解取值范围; 22mcos)1.(ab-=- (2) 证明 : 5 pxk=+ p(kZ). 【答案】(?) ， ;(?)(1);(2) 详看法f()2sinxx=(5,5)-2 析( 【分析】试题剖析:(?)纵向伸缩或平移: gxkgx()(), 或gxgxk()(), ，;横向伸缩或平移: 1a,0gxgx()(),,( 纵坐标不变，横坐标变成本来的倍)，gxgxa()(), ，(时，向 ,a,0aa 左平移 f()2sinxx= 个单位 ;时，向右平移个单位);(?) (1) 由(?)得，则 of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bearan administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than 95% of the amount, some firestaff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their qualityis not high, extremely easy to induce discipline and corruption.In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviatefrom system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 2/6页，利用协助角公式变形为(此中f()g()2sincosxxxx+=+f()g()xx+=+5sin()xj12)，方程在内有两个不一样的解，等价 f()g()xxm+=[0,2)pab,sin,cosjj== 55 于直线和函数有两个不一样交点，数形联合务实数m 的取值范围;ym,yx=+5sin()j p3p(2) 联合图像可得和，从而利用引诱公式联合已知条件abj+=2()-abj+=2()-22 求解( 试题分析: 解法一:(1) 将的图像上全部点的纵坐标伸长到本来的 2 倍(横坐gxx()cos= p 标不变)获得的图像，再将的图像向右平移个单位长度后获得y2cos=xy2cos=x2 py2cos()=-x 的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为f()2sinxx=f()2sinxx=2pxk=+ p(kZ). 2 21(2)1)f()g()2sincos5(sincos)xxxxxx+=+=+5512 (此中 )sin,cosjj===+5sin()xj 55mm 依题意，在区间内有两msin()=x+j||1[0,2)pab, 55的个不一样的解当且仅当，故取值范围是. (5,5)- 2) 因为是方程在区间内有两个不一样的解，ab,[0,2)p5sin()=mx+j mm 所以，. sin()=aj+sin()=bj+55p1m?abjabpbj+=2(),2();--=-+ 3p-5abjabpbj+=2(),32();--=-+ 当时 , 当时，222mm222 所以cos)cos2()2sin()12()11.(abbjbj-=-+=+-=-=-55解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一 . of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspectionsand more than 95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption.In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviatefrom system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 3/6页2)因为是方程在区间内有两个不一样的解，ab,[0,2)p5sin()=mx+j mm 所以，. sin()=aj+sin()=bj+ 55p 当时，1m?abjajpbj+=2(),+();-=-+ 即 23p 当时 , -5abjajpbj+=2(),+3();-=-+ 即 2所以cos+)cos()(ajbj=-+于是考点:1、三角函数图像变换和性质;2、协助角公式和引诱公式( (湖南 )17.设的内角 A ，B，C 的对边分别为a，b，c，，且 B 为钝 ,ABCabA,tan 角》,(1) 证明 : ,,BA2 sinsinAC ，(2) 求的取值范围29【答案】 (1)详看法析 ;(2)( ，]. 28 【解析】,试题剖析 :(1) 利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为 inB=sin(+A) ，从而得证 ;2 sinA ，sinC(2) 利用 (1) 中的结论，以及三角恒等变形，将转变成只与相关的表达 A式，再利用三角函数的性质即可求解.sinsinAbB 试题解析:(1) 由 a=btanA 及正弦定理，得 ,,,所以 sinB=cosA ，即coscosAaB ,sinB=sin(+A). 2 ,,,,,又B 为钝角，所以+A( ， A) ，故B=+A ，即 B-A=;(2) 由(I) 知，C=-,2222 ,,,,,,,(A+B)=-(2A+)=-2A>0 ，所以 A ，于是sinA+sinC=sinA+sin(-2A)= 0,,,,2224,, 19,222sinsinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2(sinA-)+ ，因为 0,所以0,所以 4428 of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure toforce honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than 95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easyto induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and 'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 4/6 页22199,, sinA, ，,,,2488,,29 由此可知 sinA+sinC 的取值范围是 (，]. 28 考点:1.正弦定理;2.三角恒等变形;3.三角函数的性质. (四川 )19.如图，A,B,C,D 为平面四边形ABCD 的四个内角. AA1cos,(1) 证明 :tan;, 2sinA oACABBCCDAD，,,,,,180,6,3,4,5,(2)若求ABCDtantantantan ，，，的值. 2222 410【答案】(1)详见分析 ;(2). 3 【分析】AsinA2tan, 试题剖析:(1) 第一切化弦得，为了将半角变成单角，可在分子分母同时A2cos2 A2sin 乘以，而后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.(2)由题设知，该四边形的两对角 2 22ABCDtantantantan ，，， ,，互补 .再联合(1)的结果，有，所以只要2222sinsinABcoscosCA,,coscosDB,,sin,sinAB 求出即可 .因为已知四边，且，，故考虑用余cos,cosABsin,sinAB 弦定理列方程组求，从而求出 .AA2sin2sinAA1cos,22tan,,, 试题分析 :(1). AAA2sinAcos2sincos222 ,,,AC ，,180(2) 由CADB,,,,180,180 ，得 . of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easyto induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and 'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 5/6 页。

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。

2015-2017三角函数高考真题1、（2015全国1卷2题）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A）（B（C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 2、（2015全国1卷8题）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质3、（2015全国1卷12题）在平面四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB 的取值范围是 .【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE，平移AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC =75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得-AB 的取值范围为）.考点：正余弦定理；数形结合思想4、（2015全国2卷10题）如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442x x πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．考点：函数的图象和性质．5、（2015全国2卷17题）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．（Ⅰ） 求sin sin BC∠∠； （Ⅱ）若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【解析】（Ⅰ）1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠．（Ⅱ）因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得DPCB OAx2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由（Ⅰ）知2AB AC =，所以1AC =．考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．6、（2016全国1卷12题）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5 【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是半个周期;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x = 对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.7、（2016全国1卷17题）ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ； （II ）若c ABC =∆求ABC V 的周长． 试题分析：（I ）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cos C 2=,故C 3π=；（II ）根据1sin C 2ab =．及C 3π=得6ab =．再利用余弦定理得 ()225a b +=．再根据c =可得C ∆AB 的周长为5+．考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式 【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,()()sin sin ,cos cos ,A B C A B C +=+=-()tan tan A B C+=-,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”8、（2016全国2卷7题）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为（A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈ 解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：， 故选B ．9、（2016全国2卷9题）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（A ）725 （B ）15（C ）15- （D ）725-【解析】D ∵，，10、（2016全国2卷13题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ．【解析】 ∵，， ，， ，由正弦定理得：解得．11、（2016全国3卷5题）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【答案】A【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．12、（2016全国3卷8题）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =（ ）（A （B （C ）- （D ）- 【答案】C 【解析】试题分析：设BC 边上的高线为AD ，则3BC AD =，所以AC ==，AB =．由余弦定理，知222222cos2AB AC BC A AB AC +-===⋅，故选C ． 考点：余弦定理．13、（2016全国3卷14题）函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】32π 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．14、（2017年全国1卷9题）9、已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（）A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12． 15、（2017年全国1卷17题）17、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A = ∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C = ∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，sin A =1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin ac C A=⋅ ∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为316、（2017年全国2卷14题）函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【命题意图】本题考查三角函数同角基本关系及函数性质—最值，意在考查考生转化与化归思 想和运算求解能力【解析】∵ ()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，22sin cos 1x x +=∴ ()21cos 4f x x x =-+设cos t x =，[]0,1t ∈，∴ ()214f x t =-+函数对称轴为[]0,1t =，∴ ()max 1f x = 17、（2017年全国2卷17题）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin 2BA C +=． (1)求cos B(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b 【命题意图】本题考查三角恒等变形，解三角形．【试题分析】在第（Ⅰ）中，利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，将2sin 8)sin(2B C A =+转化为角B 的方程，思维方向有两个：①利用降幂公式化简2sin 2B ，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；②利用二倍角公式，化简2sin 8sin 2BB =，两边约去2sin B ，求得2tan B，进而求得B cos .在第（Ⅱ）中，利用（Ⅰ）中结论，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ． （Ⅰ） 【基本解法1】由题设及2sin 8sin ,2BB C B A ==++π，故 sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= 【基本解法2】由题设及2sin 8sin ,2B BC B A ==++π，所以2sin 82cos 2sin 22B B B =，又02sin ≠B，所以412tan =B ，17152tan 12tan 1cos 22=+-=B BB（Ⅱ）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆== 又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．18、（2017全国3卷6题）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.19、（2017全国3卷17题）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABD S AD AB =⋅⋅=△。

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时 两角和与差的正弦、余弦 和正切公式(对应学生用书(文)、(理)47～48页)1. (必修4P 98第1题改编)sin75°cos30°－sin15°sin150°＝__________． 答案：22解析：sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°·sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝22. 2. (必修4P 104习题5改编)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＝37，tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝25，则tan (α＋β)＝________．答案：1解析：tan (α＋β)＝tan [(α－π6)＋(π6＋β)]＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π6＋tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β1－tan ⎝⎛⎭⎫α－π6·tan ⎝⎛⎭⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1.3. (必修4P 94习题2(1)改编)若sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝__________．答案：－210解析：由α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝35，得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π4＝cos αcos 5π4－sin αsin 5π4＝－22(cos α－sin α)＝－210.4. (必修4P 99第10题改编)计算： 2cos10°－sin20°cos20°＝________．答案：3解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin20°cos20°＝2（cos30°cos20°＋sin30°sin20°）－sin20°cos20°＝2⎝⎛⎭⎫32cos20°＋12sin20°－sin20°cos20°＝ 3.5. (必修4P 115第6题改编)计算： sin7°＋cos15°·sin8°cos7°－sin15°·sin8°＝________．答案：2－3 解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，∴ 原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°1＋tan30°＝2－3.1. 两角差的余弦公式推导过程2. 公式之间的关系及导出过程3. 公式cos (α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ cos (α＋β)＝cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ sin (α－β)＝sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ sin (α＋β)＝sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ tan (α－β)＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβtan (α＋β)＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tan αtanβ4. asin α＋bcos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，tan φ＝ba.φ的终边所在象限由a 、b 的符号来确定.题型1 化简求值例1 化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________． 答案：1解析：∵ tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝tan （18°－x ）＋tan （12°＋x ）1－tan （18°－x ）tan （12°＋x ）＝tan30°＝33， ∴ tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]，于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3×33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1. 变式训练求值：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.解：∵ tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°＝3，∴ tan20°＋tan40°＝3－3tan20°tan40°， ∴ tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 题型2 给值求角 例2 若sin α＝55，sin β＝1010，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________． 答案：π4解析：(解法1)依题意有cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，∴ cos (α＋β)＝255×31010－55×1010＝22＞0.∵ α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴ α＋β＝π4. (解法2)∵ α、β都是锐角，且sin α＝55＜22，sin β＝1010＜22，∴ 0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2，∴ cos α＝1－⎝⎛⎭⎫552＝255，cos β＝1－⎝⎛⎭⎫10102＝31010，sin (α＋β)＝55×31010＋1010×255＝22.∴ α＋β＝π4. 备选变式（教师专享）已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.解：∵ 0＜β＜α＜π2，∴ 0＜α－β＜π2.又cos (α－β)＝1314，∴ sin (α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314，∴ cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.又0＜β＜π2，∴ β＝π3.题型3 给值求值例3 已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin (α＋β)的值．解：∵π4＜α＜3π4，∴ －3π4＜－α＜－π4， ∴ －π2＜π4－α＜0.又cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－45.∵ 0＜β＜π4，∴ 3π4＜3π4＋β＜π.又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝513，∴ cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋β＝－1213.∴ sin (α＋β)＝－cos ⎣⎡⎦⎤π2＋（α＋β）＝－cos[(3π4＋β)－(π4－α)]＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋βcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin(3π4＋β)·sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－⎝⎛⎭⎫－1213×35－513×⎝⎛⎭⎫－45＝3665＋2065＝5665. 备选变式（教师专享）已知α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝45，tan (α－β)＝－13，求cos β的值．解：∵ α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ －π2＜α－β＜π2.又tan (α－β)＝－13＜0，∴ －π2＜α－β＜0.∴1cos 2（α－β）＝1＋tan 2(α－β)＝109.∴ cos (α－β)＝31010，sin (α－β)＝－1010.又sin α＝45，∴ cos α＝35.∴ cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝35×31010＋45×⎝⎛⎭⎫－1010＝1010. 例4 (2013·常州期末)已知α、β均为锐角，且sin α＝35，tan (α－β)＝－13.(1) 求sin (α－β)的值；(2) 求cos β的值．解：(1) ∵ α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ －π2＜α－β＜π2.又tan (α－β)＝－13＜0，∴ －π2＜α－β＜0.∴ sin (α－β)＝－1010. (2) 由(1)可得，cos (α－β)＝31010. ∵ α为锐角，sin α＝35，∴ cos α＝45.∴ cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 备选变式（教师专享）已知cos α＝13，cos (α＋β)＝－13，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos (α－β)的值．解：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ 2α∈(0，π)．∵ cos α＝13，∴ cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴ sin 2α＝1－cos 22α＝429，而α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ α＋β∈(0，π)，∴ sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝223，∴ cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327.1. 已知角φ的终边经过点P(1，－2)，函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π3，则f ⎝⎛⎭⎫π12＝__________．答案：－1010解析：由题意知cos φ＝55，sin φ＝－255.由相邻两条对称轴间距离为π3，得T 2＝π3，即T ＝2π3，∴ 2πω＝2π3，ω＝3.∴ f(x)＝sin(3x ＋φ)．f ⎝⎛⎭⎫π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝sin π4cos φ＋cos π4sin φ＝22×55＋22×⎝⎛⎭⎫－255＝－1010.2. 函数f(x)＝sin2x ·sin π6－cos2x ·cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为_________．答案：⎣⎡⎦⎤－5π12，π12解析：f(x)＝sin2xsin π6－cos2x ·cos 5π6＝sin2xsin π6＋cos2xcos π6＝cos(2x －π6)．当2kπ－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f(x)单调递增．取k ＝0得－5π12≤x ≤π12，∴ 函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12.3. 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos α＝__________．答案：33－410解析：由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，得sin α·cos π3＋cos α·sin π3＋sin α＝－435，∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.∵ －π2＜α＜0，∴ －π3＜α＋π6＜π6，∴ cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35.∴ cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝⎛⎭⎫－45×12＝33－410.4. (2013·贵州)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________．答案：－105解析：由tan ⎝⎛⎫θ＋π4＝1＋tan θ1－tan θ＝12，得tan θ＝－13.因为θ为第二象限角，利用tan θ＝sin θcos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1可求得sin θ＝1010，cos θ＝－31010，所以sin θ＋cos θ＝－105.1. 已知α、β均为锐角，且tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，则tan(α＋β)＝________．答案：1解析：∵tanβ＝cosα－sinαcosα＋sinα，∴tan β＝1－tanα1＋tanα＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α.又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.2. 已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sinα＝453，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值为________． 答案：－45解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sinα＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝－⎝⎛⎭⎫32sinα＋12cosα＝－45.3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.求： (1) tan(α＋β)的值；(2) α＋2β的值．解：(1) 由已知条件及三角函数的定义可知cosα＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sinα＞0，从而sinα＝1－cos 2α＝7210，同理可得sinβ＝55.因此tanα＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2) tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3） ×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2.从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.4. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋74π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －34π，x ∈R .(1) 求f(x)的最小正周期和最小值；(2) 已知cos (β－α)＝45，cos (β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f(β)]2－2＝0.(1) 解：f(x)＝sinxcos7π4＋cosxsin 7π4＋cosxcos 3π4 ＋sinxsin 3π4＝2sinx －2cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以T ＝2π，f(x)min ＝－2.(2) 证明：cos (β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45，①cos (β＋α)＝cos αcos β－sin αsin β＝－45.②①＋②，得cos αcos β＝0， 于是由0＜α＜β≤π2cos β＝0＝π2. 故f(β)＝2[f(β)]2－2＝0.1. (1) 三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2) 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： ① 化为特殊角的三角函数值；② 化为正、负相消的项，消去求值；③ 化分子、分母出现公约数进行约分求值．2. 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示 (1) 已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差；(2) 已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系． 3. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：① 已知正切函数值，选正切函数；② 已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好．请使用课时训练（A ）第4课时（见活页）.[备课札记]。

A.考点8 三角恒等变换【1】(A ，新课标I,理2）sin 20cos10-cos160sin10=A. B。

C 。

12- D 。

12【2】（A ，重庆，文6）若11tan ,tan()32,则tan = A.17 B.16 C.57 D.56【3】（C ，重庆，理9）若5tan 2tan πα= 则=--)5sin()103cos(παπα A.1 B.2 C 。

3 D.4【4】（A ，四川，理12) 75sin 15sin +的值是___。

【5】（B ，四川，文13）已知0cos 2sin =+αα，则ααα2cos cos sin 2-的值是 。

【6】（B ，江苏，文理8)已知2tan -=α，71tan =+）（βα，则βtan 的值为 . 【7】(A ，广东，文16）已知tan 2α=．(1)求tan()4πα+的值; (2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 考点1 集合【1】（A ，新课标I ，文1）、D详细分析:由题,得{8,14}A B =。

【2】（A ，新课标Ⅱ，文1）、A详细分析：{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13AB x x =-<<.【3】（A ，新课标Ⅱ，理1）、A详细分析：{}|21B x x =-<<，故{}1,0AB =-. 【4】(A ，北京,文1）、A 详细分析：由交集定义可得,B A 为图中阴影部分，即{}23<<-x x ．第4题图【5】(A ，天津，文1）、B详细分析：{2,3,5}{2,5}{2,5}U AB == 【6】（A ，天津，理1)、A 详细分析：{2,3,5,6}{2,5}{2,5}.U A B ==【7】（A ，重庆，文1)、C详细分析:利用交集的定义即得。

【8】（A ，重庆，理1)、D详细分析:根据集合间的包含关系易得.【9】(A ，四川，文1）、A详细分析：由并集定义可知，选A【10】（A,四川，理1）、A详细分析:由}21|{<<-=x x A ，易知=B A }31|{<<-x x ,选A.【11】（A,广东，文1)、B详细分析：由题知{}1=N M . 【12】（A ，广东，理1）、D 详细分析：}1,4{}0)1)(4({--==++=x x x M ,{14}N =，,M N =∅，故选D.【13】（A ，山东，文1）、C 详细分析：}31<<=x x B ｛,故），（32=B A【14】（A ，山东，理1)、C详细分析：由A 得13x <<,结合{}24B x x =<<。