2012年杭州市第二次高考科目教学质量检测评分标准(理科数学)答案

2012年高三教学测试（二）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13VSh = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V ++=24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高334RV π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}21{<≤-=x x M ，}0log |{2>=x x N ，则=N MA ．),1[+∞-B ．),1(+∞C ．)2,1(-D ． )2,0(【解析】由题：(1N =，)+∞，∴=N M ),1[+∞-． 【答案】A2．若复数i2i-+a （i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为A ．-2B ．2C ．21-D ．21 【解析】∵()()()()()()22122225a i i a a ia i i i i ++-+++==--+，∴12102a a -==⇒．【答案】D3．已知非零向量a 、b ，则b a =是0)()(=-⋅+b a b a的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】b a = ⇒ 0)()(=-⋅+b a b a ，但0)()(=-⋅+b a b a⇒b a =，∵当a b =- 时，也有0)()(=-⋅+b a b a成立．【答案】A4．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是A ．x y 2cos =B ．x y 2sin =C ．x y 2tan =D ．)2π2sin(-=x y【解析】首先奇函数的是B 、C 两项，又∵C 中2T π=，故选B ．【答案】B注：要想解决本类题型，必须要有扎实的基础知识，如：周期公式2T πω=，基本三角函数的周期，sin y x =的周期是2π，cos y x =的周期是2π，tan y x =的周期是π，基本的几个三角恒等变化、倍角公式等等．望同学们加以注意，切勿好高骛远．5．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是A ．－8B ．－2C ．－1D ．0【解析】1i =，0x =，1y =；2i =，1x =-，0y =； 3i =，1x =-，1y =-； 4i =跳出程序．∴2x y +=-．【答案】B6．已知直线m 和平面α、β，则下列结论一定成立的是A ．若α//m ，βα//，则β//mB ．若α⊥m ，βα⊥，则β//mC ．若α//m ，βα⊥，则β⊥mD ．若α⊥m ，βα//，则β⊥m 【解析】A ：//m or m ββ⊆；B ：//m orm orm P βββ⊆= ；C ：//m or m ββ⊆．【答案】D7．有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为 A ．240B ．384C ．480D ．768【解析】以甲为特殊元素分类考虑：甲在1位置时，乙可在3、5、6位置，则有44372A =种；甲在2位置时，乙可在4、6位置，则有44248A =种；1 2 3 456开始1,1,0===y x i 1+=i i yx y += yx x -=yx +输出结束是否（第5题）?3≤i甲在3位置时，乙可在1、4、5位置，则有44372A =种；甲在4、5、6位置时，与以上三种相似，则有444444323192A A A ++=种； 故共有()4444442323384A A A ⨯++=．【答案】B注：高考中关于计数原理的考察基本上都以特殊元素的分类为主，望同学们加强针对性练习，同时也要掌握好几种基本方法．8．设实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥++0201053x y x y x ，则yx z 42+=的最小值是A ．41 B ． 21C ．1D ．8【解析】作出可行域．∵22422422x y x y x y z +=+≥+=， 设2u x y =+，易得当2u x y =+过35020x y x ++=⎧⎨+=⎩的交点P （—2，—1）时有最小值—4，故4min 1222z -==． 【答案】B9．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A 、B 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，设O 为坐标原点，若)R ,(∈+=n m O B n O A m O P ，且92=m n ，则该双曲线的离心率为 A ．223 B ．553 C ．423 D ．89【解析】),(),,(a bcc B a bc c A -，代入OB n OA m OP +=，得))(,)((abc n m c n m P -+，代入双曲线方程，得142=m n e ，即可得423=e ．【答案】C10．已知函数t t x x f t --=2)()(（R ∈t ），设b a <，⎩⎨⎧≥<=)()(),()()(),()(x f x f x f x f x f x f x f b a b b a a，若函数b a x x f -++)(有四个零点，则a b -的取值范围是A ．)52,0(+B ．)32,0(+C ．),52(+∞+D ．),32(+∞+ 【解析】作函数)(x f 的图象，且解方程)()(x f x f b a =得21-+=b a x ， 即交点))21(,21(2a ab b a P ----+，又函数b a x x f -++)(有四个零点，即函数 )(x f 的图象与直线a b x y l -+-=:有四个不同的交点，由图象知，点P 在l 的上方，所以+-+21b a 0)()21(2>-----a b a a b ，解得52+>-a b ． 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．不等式0||22≤-x x 的解集是 ▲ ．【解析】当0x ≤时，22002x x x -≤⇒≤≤； 当0x >时，22020x x x +≤⇒-≤≤；故不等式0||22≤-x x 的解集是22x -≤≤．【答案】]2,2[-12．若二项式6)1(xax -展开式中的常数项为60，则实数a 的值为 ▲ ．【解析】∵()()()36662216611r r rrrr rr r T Cax xa C x----+=-=-，当4r =时，为常数项，即：()464426115602a C a a --==⇒=±．【答案】2±11321（第15题）13．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3513a a a =+，1410=a ，则=12S ▲ ． 【解析】∵数列}{n a 为等差数列，∴1532a a a +=，故333230a a a =⇒=，又1410=a ，∴1037142a a d d -==⇒=．∴通项公式为()3326n a a n d n =+-=-，14a =-． ∴=12S 84．【答案】8414．在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若C a c b cos 21=-，则=A ▲ ．【解析】由正弦定理知：1sin sin sin cos 2B C A C -=， ① 又：A B C π++=，∴()sin sin sin cos sin cos B A C A C C A =+=+． ② 将②带入①得：1cos 2A =．（∵sin 0C ≠） ∴3A π=．【答案】3π15．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积 是 ▲ ．【解析】=23V 下， 1=33V 上． 【答案】33716．已知抛物线y x 42=的焦点为F ，经过F 的直线与抛物线相交于A 、B 两点，则以AB为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是 ▲ ．【解析】设过焦点F 的直线为1x my +=，用含m 的代数式表示出A 、B 、中点M 、半径R ， 利用函数单调性即可求出．【答案】3217．甲、乙两人进行“石头、剪子、布”游戏．开始时每人拥有3张卡片，每一次“出手”（双方同时）：若分出胜负，则负者给对方一张卡片；若不分胜负，则不动卡片．规定：当一人拥有6张卡片或“出手”次数达到6次时游戏结束．设游戏结束时“出手”次数为ξ，则=ξE ▲ ．【解析】272)31(2)3(3=⋅==ξP ，272)31(2)4(413=⋅⋅==C P ξ， 272])31()31([2)5(513524=⋅+⋅⋅==C C P ξ，2721)5(1)6(=≤-==ξξP P ， =ξE 22221345627272727⨯+⨯+⨯+⨯509=．【答案】950三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．【解析】：（Ⅰ）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s 23)32cos(++=πx ． …4分由πππππ22322+≤+≤+k x k ，得653ππππ+≤≤+k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]65,3[ππππ++k k （Z k ∈）．…6分 （Ⅱ）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．…8分∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． …11分∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=． …14分19．（本题满分14分）在等差数列}{n a 和等比数列}{n b 中，11=a ，21=b ，0>n b (∈n *N )，且221,,b a b 成等差数列，2,,322+a b a 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n b n a c =，数列}{n c 的前n 和为n S ，若t a nS nS n n n +>++242恒成立，求常数t 的．【解析】：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列}{n b 的公比为)0(>q q ． 由题意，得⎩⎨⎧++=+=+)23)(1()2(22)1(22d d q qd ，解得3==q d ． …3分∴23-=n a n ，132-⋅=n n b ． …7分 （Ⅱ）23223-⋅=-⋅=n n n b c ．…9分 ∴n n c c c S +++= 21n n 2)333(221-+++= 3231--=+n n ．…11分∴133333241122+=--=++++n n n n n n S n S ． …12分∴t n n +->+2313恒成立，即min )333(+-<n t n ．令333)(+-=n n f n ，则0332)()1(>-⋅=-+n n f n f ，所以)(n f 单调递增． 故3)1(=<f t ，即常数t 的取值范围是)3,(-∞． …14分20．（本题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧面11B BCC ⊥底面ABC ，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为︒60．（Ⅰ）求直线C A 1与底面ABC 所成的角；（Ⅱ）在线段11C A 上是否存在点P ，使得平面⊥CP B 1平面11A ACC ？若存在，求出P C 1的长；若不存在，请说明理由．【解析】：（Ⅰ）过1B 作BC O B ⊥1于O ， ∵侧面11B BCC ⊥平面ABC ， ∴⊥O B 1平面ABC ， ∴=∠BC B 1︒60．又∵11B BCC 是菱形，∴O 为BC 的中点． …2分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则)0,0,3(-A ,)0,1,0(-B ,)0,1,0(C ,)3,1,3(1-A ,)3,0,0(1B ,)3,2,0(1C ∴)3,0,3(1-=CA ,又底面ABC 的法向量)1,0,0(=n…4分设直线C A 1与底面ABC 所成的角为θ，则22sin 11=⋅⋅=nCA n CA θ,∴︒=45θ 所以，直线C A 1与底面ABC 所成的角为︒45． …7分（Ⅱ）假设在线段11C A 上存在点P ，设P C 1=11A C λ，则)0,1,3(1--=λP C ，)3,1,3(11λλ--=+=P C CC CP ，)3,1,0(1-=C B ．…8分设平面CP B 1的法向量),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=⋅=-=⋅03)1(3031z y x CP m z y C B m λλ．令1=z ，则3=y ，λλ-=2x ， )1,3,2(λλ-=∴m ． …10分ABC1A 1B 1C P第20题zyxO设平面11A ACC 的法向量),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅03031z y C C n y x AC n令1=z ，则3-=y ，1=x ，)1,3,1(-=∴n ．…12分要使平面⊥CP B 1平面11A ACC ，则=⋅n m )1,3,2(λλ-)1,3,1(-⋅=022=--λλ． 32=∴λ． 341=∴P C ． …14分21．（本题满分15分）已知点P 是圆122=+y x 上任意一点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点R 满足PQ RQ 3=，记点R 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设A )1,0(，点M 、N 在曲线C 上，且直线AM 与直线AN 的斜率之积为32，求AMN ∆的面积的最大值．【解析】：（I ）设),(y x R ，),(00y x P ，则),0(0y Q ． PQ RQ 3=，⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y x x 0033，1220=+y x ，故点R 的轨迹方程：1322=+y x . …6分（Ⅱ）（1）当直线MN 的斜率不存在时，设:MN )33(<<-=t t x ． 则)31,(2t t M -，)31,(2t t N --，31=⋅∴AN AM K k ，不合题意．…7分（2）当直线MN 的斜率存在时，设b kx y l M N +=:，),(11y x M ,),(22y x N 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x bkx y ，得0336)31(222=-+++b kbx x k ． 0)13(1222>+-=∆∴b k ，221316k kbx x +-=+，22213133k b x x +-=． …9分又32)1())(1(11212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k ANAM ，即0)1(3))(1(3)23(221212=-++-+-b x x b k x x k ．将221316k kbx x +-=+，22213133k b x x +-=⋅代入上式，得3-=b ．∴直线MN 过定点)3,0(-T ． …11分 ∴21221214)(2||||21x x x x x x AT S AM N-+=-⋅=∆22318334kk +-⋅= ． …13分令)0(832>=-t t k ，即8322+=t k ，∴619193183222≤+=+=+-tt t t k k ． 当且仅当3=t 时，332)(max =∆ABC S ．…15分22．（本题满分15分）已知a 为常数，R ∈a ，函数x ax x x f ln )(2-+=，x x g e )(=．（其中e 是自然对数的底数）（Ⅰ）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，设切点为),(00y x P ，求证：10=x ； （Ⅱ）令)()()(x g x f x F =，若函数)(x F 在区间]1,0(上是单调函数，求a 的取值范围． 【解析】：（I ）xa x x f 12)(-+='（0>x ）． …2分所以切线的斜率0002000ln 12x x ax x x a x k -+=-+=， 整理得01ln 020=-+x x .…4分显然，10=x 是这个方程的解，又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数， 所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解．故10=x ．…6分（Ⅱ）xe xax x x g x f x F ln )()()(2-+==，xe x x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-='． …8分设x x a x a x x h ln 1)2()(2+-+-+-=，则a x xx x h -+++-='2112)(2． 易知)(x h '在]1,0(上是减函数，从而a h x h -='≥'2)1()(．…10分（1）当02≥-a ，即2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在区间)1,0(上是增函数． 0)1(=h ，0)(≤∴x h 在]1,0(上恒成立，即0)(≤'x F 在]1,0(上恒成立． )(x F ∴在区间]1,0(上是减函数．所以，2≤a 满足题意． …12分（2）当02<-a ，即2>a 时，设函数)(x h '的唯一零点为0x ， 则)(x h 在),0(0x 上递增，在)1,(0x 上递减. 又∵0)1(=h ，∴0)(0>x h ． 又∵0ln )2()(2<+-+-+-=----a a a a a e e a e a e e h ， ∴)(x h 在)1,0(内有唯一一个零点x '，当),0(x x '∈时，0)(<x h ，当)1,(x x '∈时，0)(>x h .从而)(x F 在),0(x '递减，在)1,(x '递增，与在区间]1,0(上是单调函数矛盾． ∴2>a 不合题意．综合（1）（2）得，2≤a ．…15分2012年高三教学测试（二）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．A ； 2．D ； 3．A ； 4．B ； 5．C ； 6．D ；7．B ；8．B ；9．C ；10．C ．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．]2,2[-；12．2±；13．84；14．3π；15．337；16．32；17．950．三、解答题（本大题共5小题，第18－20题各14分，第21、22题各15分，共72分） 18．（本题满分14分）解：（Ⅰ）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s 23)32cos(++=πx ． …4分由πππππ22322+≤+≤+k x k ，得653ππππ+≤≤+k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]65,3[ππππ++k k （Z k ∈）．…6分 （Ⅱ）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．…8分∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． …11分∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=． …14分19．（本题满分14分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ，等比数列}{n b 的公比为)0(>q q ． 由题意，得⎩⎨⎧++=+=+)23)(1()2(22)1(22d d q qd ，解得3==q d ． …3分∴23-=n a n ，132-⋅=n n b ．…7分（Ⅱ）23223-⋅=-⋅=n n n b c ．…9分 ∴n n c c c S +++= 21n n 2)333(221-+++= 3231--=+n n ．…11分∴133333241122+=--=++++n n n n n n S n S ． …12分∴t n n +->+2313恒成立，即min )333(+-<n t n ．令333)(+-=n n f n ，则0332)()1(>-⋅=-+n n f n f ，所以)(n f 单调递增． 故3)1(=<f t ，即常数t 的取值范围是)3,(-∞． …14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ）过1B 作BC O B ⊥1于O ， ∵侧面11B BCC ⊥平面ABC ， ∴⊥O B 1平面ABC ， ∴=∠BC B 1︒60．又∵11B BCC 是菱形，∴O 为BC 的中点．…2分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则)0,0,3(-A ,)0,1,0(-B ,)0,1,0(C ,)3,1,3(1-A ,)3,0,0(1B ,)3,2,0(1C ∴)3,0,3(1-=CA ,又底面ABC 的法向量)1,0,0(=n…4分设直线C A 1与底面ABC 所成的角为θ，则22sin 11=⋅⋅=nCA n CA θ,∴︒=45θ 所以，直线C A 1与底面ABC 所成的角为︒45． …7分（Ⅱ）假设在线段11C A 上存在点P ，设P C 1=11A C λ，则)0,1,3(1--=λP C ，)3,1,3(11λλ--=+=P C CC CP ，)3,1,0(1-=C B ．…8分设平面CP B 1的法向量),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=⋅=-=⋅03)1(3031z y x CP m z y C B m λλ．ABC1A 1B 1C P第20题z yxO令1=z ，则3=y ，λλ-=2x ， )1,3,2(λλ-=∴m ． …10分设平面11A ACC 的法向量),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅03031z y C C n y x AC n令1=z ，则3-=y ，1=x ，)1,3,1(-=∴n ．…12分要使平面⊥CP B 1平面11A ACC ，则=⋅n m )1,3,2(λλ-)1,3,1(-⋅=022=--λλ． 32=∴λ． 341=∴P C ． …14分21．（本题满分15分）解：（I ）设),(y x R ，),(00y x P ，则),0(0y Q ． PQ RQ 3=，⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y x x 0033，1220=+y x ，故点R 的轨迹方程：1322=+y x . …6分（Ⅱ）（1）当直线MN 的斜率不存在时，设:MN )33(<<-=t t x ． 则)31,(2t t M -，)31,(2t t N --，31=⋅∴AN AM K k ，不合题意．…7分（2）当直线MN 的斜率存在时，设b kx y l M N +=:，),(11y x M ,),(22y x N 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x bkx y ，得0336)31(222=-+++b kbx x k ． 0)13(1222>+-=∆∴b k ，221316k kbx x +-=+，22213133k b x x +-=． …9分又32)1())(1(11212212122211=-++-+=-⋅-=⋅x x b x x b k x x k x y x y k k ANAM ，即0)1(3))(1(3)23(221212=-++-+-b x x b k x x k ．将221316kkbx x +-=+，22213133k b x x +-=⋅代入上式，得3-=b ． ∴直线MN 过定点)3,0(-T ． …11分 ∴21221214)(2||||21x x x x x x AT S AM N-+=-⋅=∆22318334k k +-⋅= ． …13分令)0(832>=-t t k ，即8322+=t k ，∴619193183222≤+=+=+-tt t t k k ． 当且仅当3=t 时，332)(max =∆ABC S ．…15分22．（本题满分15分） 解：（I ）xa x x f 12)(-+='（0>x ）． …2分所以切线的斜率0002000ln 12x x ax x x a x k -+=-+=，整理得01ln 020=-+x x .…4分 显然，10=x 是这个方程的解，又因为1ln 2-+=x x y 在),0(+∞上是增函数， 所以方程01ln 2=-+x x 有唯一实数解．故10=x ．…6分（Ⅱ）xe xax x x g x f x F ln )()()(2-+==，xe x x a x a x x F ln 1)2()(2+-+-+-='． …8分设x x a x a x x h ln 1)2()(2+-+-+-=，则a x xx x h -+++-='2112)(2． 易知)(x h '在]1,0(上是减函数，从而a h x h -='≥'2)1()(．…10分（1）当02≥-a ，即2≤a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在区间)1,0(上是增函数． 0)1(=h ，0)(≤∴x h 在]1,0(上恒成立，即0)(≤'x F 在]1,0(上恒成立． )(x F ∴在区间]1,0(上是减函数．所以，2≤a 满足题意． …12分（2）当02<-a ，即2>a 时，设函数)(x h '的唯一零点为0x ， 则)(x h 在),0(0x 上递增，在)1,(0x 上递减. 又∵0)1(=h ，∴0)(0>x h ． 又∵0ln )2()(2<+-+-+-=----a a a a a e e a e a e e h ， ∴)(x h 在)1,0(内有唯一一个零点x '，当),0(x x '∈时，0)(<x h ，当)1,(x x '∈时，0)(>x h .从而)(x F 在),0(x '递减，在)1,(x '递增，与在区间]1,0(上是单调函数矛盾． ∴2>a 不合题意．综合（1）（2）得，2≤a ．…15分。

绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V S h= 如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V S h=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kkkn n P k C pp k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S =+球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)． 【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i 1i-＝A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i 【解析】3+i 1i-＝()()3+i 1+i 2＝2+4i 2＝1＋2i ．【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件．【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x —1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a ⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有S n＞0D．若对任意的n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y ab-=(a ，b ＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 A．3B．2CD【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c，k MN ＝﹣bc．直线PQ 为：y ＝bc(x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y xc cb y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a-，bc c a-)；由()b y x c c b y xa ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a+)．∴直线MN 为：y －bc c a+＝﹣b c(x －ac c a-+)，令y ＝0得：x M ＝322cc a-．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322cc a-，解之得：2232ac ea==，即e＝2．【答案】B9．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a ba b +=+，则a ＞b B ．若2223a b a b +=+，则a ＜b C ．若2223a b a b -=-，则a ＞b D ．若2223ab a b-=-，则a ＜b【解析】若2223aba b+=+，必有2222aba b+>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220xf x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11⨯⨯⨯⨯=．312123【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．【解析】T，i关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子． 即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)．【答案】3214．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111fx a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：5455433155443110a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩．法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++ 两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x=-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC的中点，AM ＝3，BC＝10，则AB AC⋅＝______________．【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC cos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅ ＝cos 29AB AC BAC ⋅∠=【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2＝2到直线l ：y ＝x 的距离， 则实数a ＝______________． 【解析】C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==，故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-=-另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x=，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '===⇒=．【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解．因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1；考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。

适用精选文件资料分享2012 届高考理科数学第二轮综合查收评估复习题（有参照答案）一、选择题 1 ．f(x) ＝x(2 011 ＋ln x)，若f′(x0)＝ 2 012，则x0等于 A ．e2 B ．1 C．ln 2 D．e 分析 f ′(x)＝2 011 ＋ln x ＋x×1x＝ 2 012 ＋ln x ，故由 f ′(x0) ＝ 2 012，得 2 012＋ln x0＝2 012，因此 ln x0＝0，解得 x0＝1，应选 B. 答案B 2．(2011?湖南 ) 曲线 y＝sin xsin x＋cos x－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为 A ．－ 12 B.12 C ．－ 22 D.22 分析y′＝x＋－－＋＝＋，∴曲线在点 Mπ4， 0 处的切线的斜率为 12. 答案 B 3．设函数 f(x)＝xm＋ax 的导函数 f ′(x) ＝ 2x＋1，则 12f( －x)dx的值等于 A.56 B.12 C.23 D.16 分析 f ′(x) ＝ mxm－1＋a＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴ f(x) ＝x2＋x， f(－x) ＝x2－x，∴ 12f( －x)dx ＝12(x2 －x)dx ＝13x3－12x221＝56，应选 A. 答案 A 4．(2011?海淀模拟 ) 已知点 P2 012π3，－ 1 在函数 f(x) ＝acos x 的图象上，则该函数图象在 x＝3π4 处的切线方程是 A ．2x＋2y＋4－3π2＝0 B．2x－2y＋4－3π2＝0 C．2x－2y－4－3π2＝0 D．2x＋2y－4－3π2＝0分析由点 P 在函数 f(x) 的图象上，可得 f2 012π3＝－ 1，即 acos2 012 π3＝acos 670 π＋2π3＝－ a2＝－ 1，解得 a＝2. 故 f(x) ＝2cos x.因此f3π4＝2cos 3π4＝－2，f′(x)＝－2sin x.由导数的几何意义，可知该函数图象在 x＝3π4 处的切线斜率 k＝f ′3π4 ＝－ 2sin 3 π4＝－ 2. 因此切线方程为 y－( －2) ＝－ 2x－3π4，即2x＋y＋2－32π4＝0，也就是 2x＋2y＋4－3π2＝0，应选 A. 答案 A 5．(2011?浙江模拟 ) 设函数 f(x) ＝ax2＋bx＋c(a ，b，c∈R)，若 x ＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，则以下图象不行能为 y＝f(x)图象的是分析设 h(x) ＝f(x)ex ，则 h′(x) ＝ (2ax ＋b)ex ＋(ax2 ＋bx＋c)ex＝(ax2 ＋2ax＋bx＋b＋c)ex. 由 x＝－ 1 为函数 f(x)ex 的一个极值点，适合 x＝－ 1 时， ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴ c＝a. ∴f(x) ＝ax2＋bx＋a. 若方程 ax2＋bx＋a＝ 0 有两根 x1，x2，则 x1x2＝aa＝1，D中图象必定不满足该条件．答案 D 6．(2011?湖南 ) 设直线 x＝t与函数 f(x) ＝x2，g(x) ＝ln x 的图象分别交于点 M，N，则当 |MN|达适用精选文件资料分享到最小时 t 的值为 A ．1 B.12 C.52 D.22 分析由题意画出函数图象以以下图，由图可以看出 |MN|＝y＝t2 －ln t(t ＞0) ． y′＝ 2t－1t ＝2t2 －1t ＝2t ＋22t －22t. 当 0＜t ＜22 时，y′＜ 0，可知 y 在此区间内单调递减；当 t ＞22 时， y′＞ 0，可知 y 在此区间内单调递加．故当 t ＝22 时，|MN|有最小值．答案 D 二、填空题 7 ．如图，直线 y＝1 与曲线 y＝－ x2＋2 所围图形的面积是 ________．解析令－ x2＋2＝1，得 x＝± 1，答案 43 8．已知函数 f(x) ＝12mx2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数 m的取值范围为________．分析当x＞0时，f′(x)＝mx＋1x－2≥0恒成立，即m≥－ 1x2＋2x 恒成立，又∵－ 1x2＋2x＝－ 1x－12＋1≤1，∴ m≥1.答案 m≥1 9 ．函数 f(x) ＝excos x 的图象在点 (0 ，f(0)) 处的切线的倾斜角为 ________．分析 f ′(x) ＝ excos x ＋ex( －sin x)，设切线的倾斜角为α，则 k＝ tan α＝f ′(0) ＝ 1，又α∈(0 ，π) ，∴α＝π4. 答案π4 三、解答题 10 ．(2011?江苏 ) 请你设计一个包装盒，以以下图， ABCD是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒， E，F 在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE＝FB＝x(cm) ． (1) 某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2) 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．分析设包装盒的高为 h cm，底面边长为 a cm. 由已知得 a＝2x，h＝60－2x2＝2(30－x) ，0＜x＜30. (1)S ＝4ah＝8x(30 －x) ＝－ 8(x －15)2＋1 800 ，因此当 x＝15 时， S获得最大值． (2)V ＝a2h＝22( －x3＋30x2) ，V′＝ 62x(20 －x) ．由 V′＝ 0，得 x＝0( 舍) 或 x＝20. 当x∈(0,20) 时， V′＞ 0；当 x∈(20,30) 时， V′＜ 0. 因此当 x＝20时，V获得极大值，也是最大值．此时 ha＝12. 即包装盒的高与底面边长的比值为 12. 11 ．已知函数 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x. (1) 求函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值和最小值； (2) 求证：在区间 [1 ，＋∞) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方．分析 (1) 由 f(x) ＝12x2－3x＋2ln x ，知 f ′(x) ＝ x＋2x－3＝x2－3x＋2x＝－－当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，∴ f(x)在[1,2]上是减函数；当x∈(2，e)时，f′(x)＞0，∴ f(x)在[2，e]上是增函数．∴当 x＝2 时，f(x)min ＝f(2) ＝2ln 2－4. 又 f(1) ＝－ 52，f(e)＝12e2－3e＋2， f(e) －f(1) ＝12e2－3e＋2－－ 52 ＝12(e2 －6e＋9) ＝12(e －3)2 ＞0，∴f(e) ＞f(1) ，∴ f(x)max ＝ f(e) ＝12e2－3e＋2. 综上，函数 f(x) 在[1 ，e] 上的最大值为 12e2－3e＋2，最小值为2ln 2 －4.(2) 证明设F(x)＝12x2－3x＋2ln x－x3＋3x，则F′(x)＝－3x2＋x＋2x＝－ 3x3＋x2＋2x＝－－＋2x＋当x∈(1，＋∞ ) 时， F′(x) ＜ 0，∴ F(x) 在[1 ，＋∞ ) 上是减函数，且F(1)＝－12＜0，故当 x∈[1 ，＋∞ ) 时， F(x) ＜0，∴12x2－3x＋2ln x ＜x3－3x. ∴在区间 [1 ，＋∞ ) 上，函数 f(x) 的图象在函数 g(x) ＝x3－3x 图象的下方． 12 ．设 f(x) ＝ex－1. (1) 当 x＞－ 1 时，证明： f(x)＞2x2＋x－1x＋1； (2) 当 a＞ln 2 －1 且 x＞0 时，证明： f(x)＞x2－2ax. 证明 (1) 当 x＞－1 时，f(x) ＞2x2＋x－1x＋1，即 ex－1＞2x2＋x－1x＋1＝2x－1，故结论成立当且仅当 ex＞2x，即 ex－2x＞0. 令 g(x) ＝ex－2x，则 g′(x) ＝ex－2. 令 g′(x) ＝ 0，即ex－2＝0，解得 x＝ln 2. 当 x∈( － 1，ln 2) 时，g′(x) ＝ ex－2＜0，故函数 g(x) 在( －1，ln 2] 上单调递减；当 x∈(ln 2，＋∞ ) 时，g′(x)＝ex－2＞0，故函数 g(x) 在[ln 2 ，＋∞ ) 上单调递加．因此 g(x)在( －1，＋∞ ) 上的最小值为 g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，因此在 ( －1，＋∞ ) 上有 g(x) ≥g(ln 2) ＞ 0，即 ex＞2x. 故当x∈( － 1，＋∞ ) 时，有 f(x) ＞2x2＋x－1x＋1. (2)f(x)＞x2－2ax，即 ex－1＞x2－2ax，也就是 ex－x2＋2ax－1＞0. 令 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1，则 g′(x) ＝ ex－2x＋2a. 令 h(x) ＝ex－2x＋2a，则 h′(x)＝e x－2. 由(1) ，可知当 x∈( －∞， ln 2) 时，h′(x) ＜ 0，函数 h(x)单调递减；当 x∈(ln2，＋∞ ) 时，h′(x) ＞ 0，函数 h(x) 单调递加．所以 h(x) 的最小值为 h(ln 2) ＝eln 2 －2ln 2 ＋ 2a＝2－2ln 2 ＋2a. 因为 a＞ln 2 －1，因此 h(ln 2) ＞2－2ln 2 ＋2(ln 2 －1) ＝0，即 h(x)≥h(ln 2) ＞ 0. 因此 g′(x) ＝ h(x) ＞0，即 g(x) 在 R 上为增函数．故g(x) 在(0 ，＋∞ ) 上为增函数，因此 g(x) ＞g(0) ．而 g(0)＝0，因此 g(x) ＝ex－x2＋2ax－1＞0，即当 a＞ln 2－1 且 x＞0 时，f(x) ＞x2－2ax.。

绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式台体的体积公式 24πS R =()1213V h S S = 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积， 34π3V R =h 表示台体的高 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(C R B )＝A ．(1，4)B ．(3，4)C ．(1，3)D ．(1，2) 【解析】A ＝(1，4)，B ＝(－3，1)，则A ∩(C R B )＝(1，4)． 【答案】A2．已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝ A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 【解析】3+i 1i -＝()()3+i 1+i 2＝2+4i2＝1＋2i ． 【答案】D3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0显然平行；若直线l 1与直线l 2平行，则有：211a a =+，解之得：a ＝1 or a ＝﹣2．所以为充分不必要条件． 【答案】A4．把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【解析】把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：y 1＝cos x ＋1，向左平移1个单位长度得：y 2＝cos(x —1)＋1，再向下平移1个单位长度得：y 3＝cos(x—1)．令x ＝0，得：y 3＞0；x ＝12π+，得：y 3＝0；观察即得答案．【答案】B5．设a ，b 是两个非零向量．A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|【解析】利用排除法可得选项C是正确的，∵|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb．如选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．【答案】C6．若从1，2，2，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种【解析】1，2，2，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数：1种；2个偶数，2个奇数：225460C C=种；4个都是奇数：455C=种．∴不同的取法共有66种．【答案】D7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误．．的是A．若d＜0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d＜0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有S n＞0D．若对任意的n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n＞0不成立．【答案】C8．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：22221x y a b-=(a ，b ＞0)的左右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是 ABCD【解析】如图：|OB |＝b ，|O F 1|＝c ．∴k PQ ＝b c ，k MN ＝﹣bc．直线PQ 为：y ＝b c (x ＋c )，两条渐近线为：y ＝b a x ．由()b y x c cb y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝，得：Q (ac c a -，bc c a -)；由()b y x c cb y x a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋＝-，得：P (ac c a -+，bc c a +)．∴直线MN 为：y －bc c a +＝﹣b c (x －ac c a -+)， 令y ＝0得：x M ＝322c c a -．又∵|MF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴3c ＝x M ＝322c c a -，解之得：2232a c e a==，即e． 【答案】B9．设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b【解析】若2223a b a b +=+，必有2222a b a b +>+．构造函数：()22x f x x =+，则()2l n 220x f x '=⋅+>恒成立，故有函数()22x f x x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余选项用同样方法排除． 【答案】A10．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC∆ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着，在翻着过程中，A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着，观察在翻着过程，即可知选项C是正确的．【答案】C绝密★考试结束前2012年普通高等学校招生全国同一考试（浙江卷）数学（理科）非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于___________cm3．【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于11⨯⨯⨯⨯=．312123【答案】112．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是______________．【解析】T，i关系如下图：【答案】112013．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．【解析】将2232S a =+，4432S a =+两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子． 即111233111113232a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：2321113(1)a q a q a q q +=-，即：2230q q --=，解之得：312q or q ==-(舍去)． 【答案】3214．若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a ＝______________． 【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．【答案】1015．在∆ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅＝______________． 【解析】此题最适合的方法是特例法．假设∆ABC 是以AB ＝AC 的等腰三角形，如图， AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC cos ∠BAC ＝3434102923434+-=⨯．AB AC ⋅＝cos 29AB AC BAC ⋅∠=【答案】2916．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【解析】C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l ：y ＝x的距离为：d ==故曲线C 2到直线l ：y ＝x的距离为d d r d '=-= 另一方面：曲线C 1：y ＝x 2＋a ，令20y x '==，得：12x =，曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离的点为(12，14a +)，74d a '===⇒=． 【答案】7417．设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 【解析】本题按照一般思路，则可分为一下两种情况： (A )2(1)1010a x x ax ≤⎧⎨≤⎩－－－－， 无解； (B )2(1)1010a x x ax ≥⎧⎨≥⎩－－－－， 无解． 因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题．其实在x ＞0的整个区间上，我们可以将其分成两个区间(为什么是两个？)，在各自的区间内恒正或恒负．(如下答图) 我们知道：函数y 1＝(a －1)x －1，y 2＝x 2－ax －1都过定点P (0，1)． 考查函数y 1＝(a －1)x －1：令y ＝0，得M (11a -，0)，还可分析得：a ＞1； 考查函数y 2＝x 2－ax －1：显然过点M (11a -，0)，代入得：211011a a a ⎛⎫--= ⎪--⎝⎭，解之得：a =，舍去a =，得答案：a =【答案】a =三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23，sin B C ． (Ⅰ)求tan C 的值；(Ⅱ)若a ∆ABC 的面积．【解析】本题主要考察三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点。