浙江省杭州市2011届高三第一次高考科目教学质量检测(数学理)
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杭州市
2011年高三第一次高考科目教学质量检测
数学试题（理科）
考生须知:
1．本卷满分150分, 考试时间120分钟．
2．答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名．
3．所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效．
4．考试结束, 只需上交答题卷．
参考公式
如果事件A，B互斥，那么)()()(BPAPBAP；
如果事件A，B相互独立，那么 )()()(BPAPBAP；
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(（k = 0,1,…,n）．
一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．已知R，则cos()2 （ ）
A．sin B．cos C．sin D．cos
2．已知aR，则“1a”是“1a”的 （ ）
A．既不充分也不必要条件 B． 充要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．设z=1+i（i是虚数单位），则22zz （ ）
A．1i B．1i
C．1i D．1i
4．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为 （ ）
A． 3与3 B．23与3
C．3与23 D．23与23
5．等差数列na的前n项和为nS，已知4na，39nS，
则55 Sa （ ） （第4题） 第6题 A．14 B． 19 C． 28 D．60
6．已知函数()fx的图像如图所示，则()fx的解析式
可能是 （ ）
A．2()2lnfxxx
B． 2()lnfxxx
C． ()||2lnfxxx
D．()||lnfxxx
7．某程序框图如同所示，则该程序框图运行后输出的n的值为 （ ）
A．2 B． 3
C．4 D．10
8．由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都
不与c相邻的排法个数为 （ ）
A．36 B．32
C．28 D．24
9．已知函数7(13)10()xaxfxa 66xx
若数列na满足*()()nafnnN，
且na是递减数列，则实数a的取值
范围是 （ ）
A．1(,1)3 B． 11(,)32 C．15(,)38 D． 5(,1)8
10．已知集合{(,),}UxyxRyR，{(,)}Mxyxya，{(,)()}Pxyyfx，现给出下列函数：①xya②logayx③sin()yxa④cosyax，若01a时，恒有UPCMP，则()fx所有可取的函数的编号是 （ ）
A． ①②③④ B．①②④ C．①② D．④
二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分,共28分）
11．等比数列12，14，18，…的第8项是 ．
12．已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数的取值范围是 ．
13．设n为正整数，111()123fnn，计算得3(2)2f，(4)2f，5(8)2f，(16)3f，观察上述结果，可推测一般的结论为 ．
14．已知多项式4234(1)(1)25xxxaxbxx，则a-b= ．
15．某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在120,130，130,140，140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在130,140内的学生中选取的人数为 ．
16．已知函数3`22()()3fxxfxx，则函数()fx的图像在22(,())33f处的切线方程是 ．
17．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，已知():():()4:5:6bccaab，给出下列结论
①ABC的边长可以组成等差数列 0ACAB②
753ABC③④若b+c=8，则ABC的面积是1534其中正确的结论序号是 ．
三、解答题: （本大题有5小题, 共72分）
18．（本题满分14分）已知函数2()23sincos12sin,fxxxxxR．
（1）求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数()yfx的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图像再向左平移6单位，得到的函数()ygx的图像，求函数()ygx在区间0,8上的最小值．
19．（本题满分14分）设数列na的前n项和为nS，且4nnSap，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列na是等比数列；
（2）当p=3时，若数列nb满足*1()nnnbbanN，12b，求数列nb的通项100 110 120 130 140 150 身高 频率|组距
0.005 0.010 0.020 a 0.035 公式．
20．（本题满分14分）已知向量a=(1,2)，b=(cos,)sin，设m=a+tb（t为实数）．
（1）若4，求当|m|取最小值时实数t的值；
（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为4，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分15分）一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为12，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为14，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分．
（1）当n=6时，
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；
②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．
22．（本题满分15分）已知函数2()ln()fxaxxaR．
（1）当12a时，求()fx在区间1,e上的最大值和最小值；
（2）如果函数()gx，1()fx，2()fx，在公共定义域D上，满足12()()()fxgxfx，那么就称为()gx为12(),()fxfx的“活动函数”．
已知函数2211()()2(1)ln2fxaxaxax，221()22fxxax．
①若在区间1,上，函数()fx是1()fx，2()fx的“活动函数”，求a的取值范围；
②当23a时，求证：在区间1,上，函数1()fx，2()fx的“活动函数”有无穷多个．
参考答案
一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
答案 C B D D A B C A C B
二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）
11．2561 12．（– 1，1）
13．22)2(nfn（nN*） 14．2
15．10 16．27x + 27y +4 = 0 17．①②④
三、解答题:
（本大题有5小题, 共72分）
18．（本题满分14分）
解：（1）因为2()23sincos12sin3sin2cos2fxxxxxx=+-=+
=)62sin(2x,
4分
函数f（x）的最小正周期为T=．
由6222xk22k，Zk，
得f（x）的单调递增区间为]6,3[kk ， Zk． 9分
（2）根据条件得)(xg=)654sin(2x，当x]80[，时，654x]34,65[，
所以当x = 8时，min()3gx=-．
14分
19．（本题满分14分）
（1）证：因为Sn=4an– p（nN*）,则Sn – 1 = 4an – 1 – p（nN*， n2）,
所以当n2时，1144nnnnnaSSaa，整理得143nnaa．
5分
由Sn=4an– p，令1n，得114aaa，解得31pa．
所以na是首项为3p，公比为43的等比数列． 7分
（2）解：因为a1=1，则14()3nna，
由1(1,2,)nnnbabn，得114()3nnnbb ， 9分
当n2时，由累加得
)()()(1231`21nnnbbbbbbbb＝1)34(3341)34(1211nn，
当n = 1时，上式也成立． 14分
20．（本题满分14分）
解：（1）因为=4，b =（2222，），223ba， 则||m=2)(bta=batt252=5232tt=21)223(2t
所以当322t=-时，||m取到最小值，最小值为22． 7分
（2）由条件得cos45=||||))((btababtaba，又因为
||ba=2)(ba=6,||bta=2)(bta=25t,tbtaba5)()(，
则有2565tt=22，且5t<，
整理得2550tt+-=，所以存在t=2535满足条件． 14分
21．（本题满分15分）
解：（1） ①当n = 6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，
10道题题全答对的概率为64141412121． 2分
答对8道题的概率为43432121+41412121+ 4·43412121=6422＝3211． 5分
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
