随机现象及其统计规律性分解

再如:
测量一件物体的长度，由于仪器或观测 者受到环境的影响，每次测量的结果可能有 差异，但多次测量结果的平均值随着测量次 数的增加而逐渐稳定在常数，并且各测量值 大多落在此常数附近，离常数越远的测量值 出现的可能性越小。
概率论与数理统计的研究内容
随机现象具有偶然性一面，也有必然性一 面。偶然性一面表现在“对随机现象做一次观 测时，观测结果具有偶然性(不可预知)”；必 然性一面表现在“对随机现象进行大量重复观 测时，观测结果有一定的规律性，即统计规律 性”。
当试验次数 n充分大时，事件的频率总在 一个定值附近摆动，而且，试验次数越多， 一般说来摆动的幅度越小。这一性质称频率 的稳定性。
频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。尽管每进行一连 n次 试验，所得到的频率可能各不相同,但只要 n 足当大，频率就会非常接近一个固定值—— 概率。
特别地，称Ω-A为 A 的对 立事件(或 A的逆事件、补 事件)等，记成 A 。
A就是 A不发生。
例1(续)：A1={1}, B ={2,4,6},于是
A1 {2,3,4,5,6} B {1,3,5}
II. 事件的运算法则(与集合运算法则相同)
交换律: A∪B=B∪A，AB=BA； 结合律: A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，
随机现象的特点
• 对随机现象进行观察 、观测或测量，每次 出现的结果是多个可能结果中的一个， “每次结果都是 不可预知的”； 但“所有 可能的结果是已知的”。
• 在一定条件下对随机现象进行大量重复观 测后就会发现：随机现象的发生具有统计 规律性。
例如: 一门火炮在一定条件下进行射击，个别
炮弹的弹着点可能偏离目标(有随机误差)， 但多枚炮弹的弹着点就呈现出一定的规律。 如：命中率等。

事件的关系与运算
注：(1) 事件的关系与运算可用维恩图形象表之
(2) 事件的和与积的运算可推广到有限个事 件或可数无限个事件的情形.
A B A B, (3) 事件的和与积的另一记法：
A B AB.
事件的关系与运算
８. 完备事件组 设 A1 , A2 ,, An , 是有限或可数个事件，若其 满足：
完
随机事件
在随机试验中，人们除了关心试验的结果本身外，
往往还关心试验的结果 是否具备某一指定的可观
察的特征，概率论中将这一可观察的特征称为一 个事件 ， 它分三类：
随机事件
1. 随机事件：在试验中可能发生也可能不发生的 事件； 2. 必然事件：在每次试验中都必然发生的事件； 3. 不可能事件：在任何一次试验中都不可能发 生的事件. 例如，在抛掷一枚骰子的试验中，我们也许会关
A : “点数为奇数”，B : “点数小于5”.
则 A B {1，2，3，4，5}； A B {1，3}；
A - B {5}.
6. 若 A B , 则称事件 A 与 B 是互不相 容的(或互斥的).
7. 若 A B S 且 A B ,
事件的关系与运算
由于随机现象的结果事先不能预知， 初看似乎 毫无规律. 然而人们发现 同一随机现象大量重 其每种可能的结果 出现的频率具有 复出现时，
稳定性， 从而表明随机现象也有其固有的规律
性. 人们把随机现象在大量重复出现时 所表现 出的量的规律性 称为随机现象的统计规律性.
随机现象的统计规律性
概率论与数理统计是研究 随机现象统计规律性 的一门学科. 为了对随机现象的统计规律性进行研究，就需 对随机现象进行重复观察，我们把对随机现象

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概率的性质
1 P( ) 0
2

A, B互斥（即AB ）
P( A U B) P( A) P( B)
一般地，
Ai Aj (i, j 1, 2,L n, i j )
P UAi P( Ai ). i 1 i 1
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问题：如何对随机现象进行研究？
5
§1.1.1 随机试验
对随机现象进行的观察或试验称为随机试验，简称为 试验。 随机试验的三个特点:
1.可以在相同条件下重复进行； 2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围； 3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
6
§1.1.2
样本空间与随机事件
在下图中，用Ω表示一个试验的所有可能的
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Ω A
A
6. 对立（互逆）的事件：如果 AB＝ , ， 且AB＝,则称A与B为互逆事件，记作 B= A
如果A，B是任意两事件，则有
AA ,
A A ,
A B AB,
A A.
3) A B A ( B A)
注意对立事件与互斥的区别.
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7.完备事件组 若事件A1,A2,„An为两两互不相容的事件， 并且
P(C) [P( AC) P(BC) P( ABC)]
0.3 (0.08 0.05 0.03) 0.2
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1 例 设 A、B 为两个随机事件 ,且已知 P A , 4 1 P B , 就下列三种情况求概率 P BA . 2
1 A 与 B 互斥 ;
用不同的记号，可写为 (A+B)C=AC+BC (AB)+C=(A+C)(B+C)

◎从一个混装有黑白两种颜色球 随机现象及其统计规律性
随机试验结果外在表现为随机现象或偶然现象．
的盒子中随机摸球，可能摸出 任何随机试验至少有两个可能结果．
务系统(例如超市、火车站、
黑球，也可能摸出白球； 1随机现象及其统计规律性
1、确定性试验和随机试验 ◆随机现象是本门课程的研究对象． ◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动 的物体继续作等速直线运动； ◎新生婴儿的性别，可能是男孩，也可能是女孩； ◎将一笔资金用于 ，其收益分为好、
◆随机现象是本门课程的研究对象．
*
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二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无 法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂 乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这 个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例 逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解 的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不 担心将来某一天男女比例会严重失调．
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◎将一笔资金用于 ，其收益分为好、 一般、差，出现各种结果皆有可能；
◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2， …，还可能 掷出点6；
◎未来一段时间内来到一个服
务系统(例如超市、火车站、
取款机等)的顾客数，可能是0
个，也可能是1个，…，还可能是1000个， …；
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◎射击时弹着点与靶心的距离； ◎某种型号电视机的寿命．
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15
举例2 一个地区的年降雨量虽然是随机的， 有旱涝之分，但能够几乎肯定的是，如果连 续考察若干年，其年均降雨量只能在某一个 较小范围内变化．
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随机现象是不是没有规律可言? 否！
任何随机试验至少有两个可能结果．
在随机试验的所有可能结果中，单就一次随机 试验而言，可能出现这种结果，也可能出现那种结 果，但“大数次”地重复这个试验，其结果会遵循 某种规律性．也就是说，偶然中蕴藏着必然．