概率与统计中的随机抽样与抽样分布

1 【知识梳理】

1．简单随机抽样的定义

设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．

2．抽签法

把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本．

3．随机数法

随机抽样中，另一个经常被采用的方法是随机数法，即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．

【常考题型】

题型一、简单随机抽样的概念

【例1】 下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；

(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；

(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．

[解] (1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．

(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．

(3)不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．

(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．

【类题通法】

简单随机抽样的判断策略

判断一个抽样能否用简单随机抽样，关键是看它是否满足四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体的个体性质相似，无明显的层次；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定的距离．

高中概率统计教学中关于随机性数学思维的培养

摘要：随机性的数学思维培养通常对概率统计的教学效果提高有着重要影响，在高中数学的概率统计教学中，通过随机性思维的应用，不仅能提高学生的学习效率，而且还能使学生解决现实问题的能力得到有效提高。

关键词：高中数学；概率统计；教学；随机性

高中数学教学中，概率统计学和其他学科知识最大的区别就是其涵盖了较多的无法确定的因素，通常需根据事件具体发生状况进行判定，因此，其内容通常有着较强的随机性，该部分内容的教学主要目的就是培养学生具备随机性的数学思维，从而使学生在具体学习中通过随机性思维对概率统计的相关问题进行解决。本文主要对概率统计具体教学中的随机性思维的培养策略进行探讨。

一、培养学生的随机性思维意识

所谓的随机性思维，其主要指通过随机性问题作为对象，也就是学生在学习概率统计的时候，自行发现与解决相关问题，并充分认识到数量之间的本质关系，该思维过程则是被称作为随机性思维。高中数学教学中，大部分知识都是确定性的，这就致使学生容易形成确定性的数学思维，为了有效转变这种思维方式，数学教师在对概率统计进行教学时，就需要将数学知识与现实生活相联系，引导学生积极主动思考，以此使学生深入理解随机性思维，并使学生的随机性思维意识得到有效增强[1]。例如，教师在教学中准备好骰子，让学生投掷前先说出投掷之后都有什么结果，经过多次投掷骰子，让学生探讨投掷结果与其预测结果是否一致，每次投掷的点数为多少等，通过师生之间的互动，就可以深化学生对“随机”概念的了解。同时，教师还可以指导学生对现实生活当中的随机问题进行解决，以此使学生充分意识到随机性思维在概率统计学习中的重要性，从而使学生具备的随机性数学思维意识得到有效增强。

二、基于信息技术与概率统计结合的随性思维培养

新课改下，信息技术运用于高中概率统计的教学中，其通常可以为实现自我发展提供良好的教学环境。对于概率统计而言，其通常包括随机事件的发生概率、几何概型、古典概型等，在实际教学中，运用信息技术在较短的时间内随机多次重复试验，并深化学生对试验结果的规律性与随机性的理解，从而使学生的随机性思维得到有效培养。数学思维蕴含在数学知识中，在高中数学教学中，通过调动学生的随机思维，可通过信息技术让学生更好的体会到概率模型的运用，并运用信息技术对随机模型进行解决与灵活应用[2]。同时，高中数学的教学中，教师需根据概率和统计之间的联系，使学生充分理解概率和统计之间的辩证关系，并通过随机性思维对现实问题进行解决，以强化对知识发生整个过程的教学，以此使学生深刻体会到数学思维的重要性。因此，数学教师在实际教学中，需摆脱传统化依赖于书本知识的教学模式，将信息技术运用于数学课堂的教学中，引导学生通过合作、探究、自主的“静态”数学知识内化为“动态”的思维进行思考，并通过计算机实施形象、直观的描述，使学生充分理解到随机事件和实际生活之间的密切联系，同时，数学教师还需要善于运用教材内容，为学生营造出思维高效运转的环境，从而使学生的随机性思维能力得到有效培养。

一、 非概率抽样的方法

1、偶遇抽样

2、判断抽样

3、定额抽样

4、雪球抽样

二、影响样本规模的4个因素

1、总体的规模

2、估计的把握性和精确性要求

3、总体的异质性程度

4、调查者所拥有的经费、人力和时间

三、测量的4个要素要素

1、测量的客体

2、测量的内容

3、测量的法则

4、数字和符号

四、史蒂文斯将测量层次分为4种

1、定类测量

2、定序测量

3、定距测量

4、定比测量

五、信度的指标3种类型：

1、再测信度 2、副本信度

3、折半信度

六、效度的标准的3种类型

1、表面效度

2、准则效度

3、构建效度

名词解释：

1、 抽样误差：样本的统计值和总体的参数值之间的误差。

2、 操作化：将抽象的概念转化为可观察的具体的指标的过程。

3、 信度：即可靠度，指的是采取同样的方法对同一对象重复进行测量时，其所得结果相一致的程度。

4、 效度：也称作测量的有效度或准确度。指测量工具或测量手段能够准确测出所要测量的变量的程度，或者说能够准确、真实地度量十五属性的程度。

概率与统计中的抽样方法

概率与统计是一门研究数据分析和推断的重要学科，而抽样方法则是概率与统计中的一个关键环节。抽样方法是指从总体中选取一部分样本来进行研究和分析的过程。本文将介绍概率与统计中常用的抽样方法，并探讨其在实际应用中的意义和局限性。

一、简单随机抽样

简单随机抽样是最基本的抽样方法之一。它的原理是从总体中随机选择若干个样本，确保每个样本被选择的概率相等。简单随机抽样的优点是简单易行，能够保证样本的代表性。然而，简单随机抽样也存在一些局限性，比如在总体较大时，抽样成本较高；在总体分层复杂时，样本的选择可能不够均衡。

二、系统抽样

系统抽样是一种有规律的抽样方法。它的原理是按照一定的规则从总体中选择样本，例如每隔一定间隔选择一个样本。系统抽样相对于简单随机抽样来说，具有更好的效率，能够减少抽样成本。但是，如果总体中存在某种规律性分布，系统抽样可能导致样本的偏倚。

三、整群抽样

整群抽样是将总体划分为若干个互不重叠的群体，然后从中随机选择若干个群体作为样本。整群抽样的优点是能够减少抽样误差，提高抽样效率。例如，在对某个地区的人口进行调查时，可以将地区划分为若干个街道，然后从每个街道中随机选择若干个家庭作为样本。然而，整群抽样也存在一些局限性，比如在群体内部存在较大的差异时，样本的代表性可能不够。

四、分层抽样 分层抽样是将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择若干个样本。分层抽样的优点是能够保证样本的多样性，提高抽样的精确性。例如，在对某个城市的居民进行调查时，可以将居民按照不同的年龄、性别、职业等因素进行分层，然后从每个层次中随机选择若干个样本。分层抽样的局限性在于需要事先了解总体的分层情况，并且在实际操作中可能会遇到一些困难。

五、整体抽样

整体抽样是指直接将总体作为样本进行研究和分析。整体抽样的优点是能够减少抽样误差，提高抽样效率。例如，在对某个产品的质量进行检验时，可以将每个生产批次的产品都作为样本进行检验。然而，整体抽样也存在一些风险，比如可能导致样本的偏倚，无法准确反映总体的情况。