关于动量的微元法

“微元思想”在动量定理解题中的应用作者：马秀江来源：《中学生理科应试》2017年第01期在2014年新课标卷物理考纲中增加的内容：选修模块3-5，在主题“碰撞与动量守恒”下增加“动量定理”并作Ⅱ级要求.这就要求教师在备考过程中体现出考纲的变化.尤其是“微元思想”在动量定理解题中的应用，要想解好此类题从以下三个方面作起.一、建立一种模型——柱体模型对于流体问题，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面S 的流体长度为Δl，如图1所示，若流体的密度为ρ，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm=ρSΔl=ρSvΔt.图1二、掌握一种方法——微元法当所取时间为Δt足够短时，图1流体柱长度Δl甚短，相应的质量Δm也很小.显然，选取流体柱的这一微小元段作为研究对象就称微元法.三、运用一个规律——动量定理求解这类问题一般运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即F合Δt=Δp.四、举例1.液体流问题例1高压采煤水枪出口的截面积为S，水的射速为v，水的密度为ρ，水平射到煤层上后，①若水的速度变为零，求水对煤层的平均冲力大小为多少？②求水对煤层可能受到的最大平均冲力的大小为多少？解析①取时间t内的水研究对象m=ρSvt，以初速度方向为正方向，根据动量定理，有：-Ft=0-（ρSvt）v计算得出：F=ρSv2因此，本题正确答案是ρSv2.②取时间t内的水研究对象m=ρSvt，以初速度方向为正方向，根据动量定理，有：-Ft=-ρSvtv—（—ρSvtv）计算得出：F=2ρSv2因此，本题正确答案是2ρSv2点评所取的的时间为Δt足够短，趋近于零时，液体柱长度Δl很短，相应得质量Δm也很小，这种取微元作为研究对象的方法，称为微元法.在水流中截取很小的一段为研究对象，等效成两种模型，一种是水流的速度减速到零，另一种是水流的速度等大反向，相当于弹性碰撞，两种情况下作用时间都为t，此类问题迎刃而解.例2为估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得1小时内杯中水上升了45 mm.查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12 m/s.据此估算该压强约为（设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为1×103 kg/m3）（）.A. 0.15PaB. 0.54PaC. 1.5PaD. 5.4Pa解析设雨滴受到支持面的平均作用力为F.设在Δt时间内有质量为Δm的雨水的速度由v=12 m/s减为零.以向上为正方向，对这部分雨水应用动量定理：FΔt=0-（-Δmv）得到F=ΔmΔtv.设水杯横截面积为S，对水杯里的雨水，在Δt时间内水面上升Δh，则有研究对象Δm=ρ SΔh，F=ρSvΔhΔt，压强P=FS=ρVΔhΔt=103×12×45×10-33600=0.15（Pa）点评此题关键是选取极小时间的水柱为研究对像，因为时间非常的短，还是估算题，所以重力可以忽略，与2016高考题35处理思想一致，竖直方向应用动量守恒，忽略了重力.例3一水龙头以v1=20 m/s的速率喷出截面积为2×10- 4m2的水柱，水柱垂直冲击竖直墙壁后，变成无数小水滴，被墙面反弹后向四周均匀飞溅，形成一个顶角为120度的圆锥，如图2所示，若飞溅水滴的速率为2.0 m/s则，则水柱对墙壁的冲击力为多大？水的密度ρ=1×103kg/m3.图2解析在该问题中，重力对水柱的影响可以忽略不计，设水龙头喷水的方向为正方向.设在Δt时间内与墙壁发生碰撞的水柱质量为Δm=ρSv1Δt，设水柱受到墙壁冲击力为F.由动量定理得-FΔt=-Δmv2cosα-Δmv1，F=ρSv1（v2cosα-v1）带入数据得F=-84 N水柱对墙壁的冲击力F′是F的反作用力，大小也为84N.点评动量定理公式是矢量式，建立方程时要注意各矢量的方向，本题中根据对称性，把冲量分解到水平方向和竖直方向，竖直方向分冲量矢量和为零，重力比墙壁反冲击力小得多，可以忽略不计.2.微粒流问题例4太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用.设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m，垃圾的运行速度可以忽略.飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住.试求飞船引擎所应提供的平均推力F.解析取一段时间Δt，在这段时间内，飞船要穿过体积ΔV=S·vΔt的空间，遭遇nΔV颗太空垃圾，使它们获得动量ΔP，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力.F=ΔPΔt=ΔM·vΔt=m·nSvΔt·vΔt=nmSv2点评太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提.建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程、时间”的差异.物理过程需要人为截取，对象是太空垃圾.3.气体流问题例5在水平地面上放置一个氧气瓶，设瓶内高压氧气的密度为ρ，瓶口甚小，其横截面积为S.若打开阀门，当喷出氧气的速率为v时，求地面对氧气瓶的静摩擦力大小（在此过程中，瓶内氧气密度的变化忽略不计，且设氧气瓶保持静止状态）.解析选取极短时间Δt内喷出的相应速率为v的一小段氧气柱为研究对象，其微元的质量Δm，受到的冲力为F，由动量定理有：FΔt=Δmv，而Δm=ρSvΔt代入得F=ρSv2根据牛顿第三定律，氧气瓶所受气体的反作用力与气体的冲力大小相等，又因氧气瓶保持静止，由平衡条件得静摩擦力大小为f=F=ρSv2.点评处理有关流体（如空气、高压燃气等）撞击物体表面产生冲力（或压强）的问题，可以说非动量定理莫属.解决这类问题的关键是选好研究对象，一般情况下选在极短时间Δt内射到物体表面上的流体为研究对象例6某种气体分束由质量m0=5.4×10-26kg，速度v=460 m/s的分子组成，各分子都向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有n0=1.5×1020个分子，求被分子束撞击的平面所受到的压强？解析时间t内碰撞面积S上的分子数：N=（vt·S）n0容器有6个面，所以每个器壁碰撞的分子数为16N，对于这部分分子，根据动量定理，有：-Ft=-16Nm0v-16Nm0v计算得出：p=FS=13n0m0v2答：被分子束撞击的平面所受到的压强是13n0m0v2.点评由于冲击作用过程时间极短，产生变化很大，研究对象还是微观粒子，牛顿运动定律不适用，用动量定理可以不考虑中间细节，只分析整个过程中冲量的总体效果，是解决这类问题的重要方法.4.电子流问题例7在彩色电视机的显像管中，从电子枪射出的电子在加速电压U作用下被加速，且形成电流为I的平均电流，若打在荧光屏上的高速电子全部被荧光屏吸收.设电子质量为m，电量为e，进入加速电场之前的初速不计，求：①t秒内打在荧光屏上的电子数？②显像管受到电子流的平均冲力多大？解析①电子流单位时间流过某一截面的电量是一定的，故Q=It，n=Qe=Ite.对一个电子而言，有12mv2=eU，所以加速后电子的速率为v=2eUm.②以体积元ΔV 中的 n 个电子为研究对象，电子与荧光屏作用前的速度为 v，作用后电子被吸收表明其动量为零，由动量定理得F·Δt=n·Δp=n（p-0）=nmv=Ite·m2eUm.故显像管受到的平均冲力为F=I2eUme.例8已知火箭发动机产生的推力F等于火箭在单位时间内喷出的推进剂的质量J与推进剂速度v的乘积.即F=Jv.质子火箭发动机喷出的推进剂是质子，这种发动机通常用于外层空间中产生小的推力来纠正卫星的轨道或姿态.设质子发动机喷出质子流的电流I=1 A，用于加速质子的电压U=5×104V.试求该发动机的推力F.（已知质子的质量是1.6×10-27kg，电量为1.6×10-19C）解设单位体积内的质子（电荷）数为n质子流的横截面为S每个质子的质量为m0则质子电流强度I=nevS0单位时间内喷出的质子总质量J=nvSm0电场对质子做的功为：W=eU且由题意可知W=12m0v2-0 v=2eUm0故F=nvSm0v=nSm0v2=nS×2eUIJ=em0， J=Im0e即：F=Jv=Im0e2eUm0=Ie2eUm01=I2Um0e点评无论是电子流、质子流还是光子流，都可以把这些等效成常见的水流模型，使形异质同的问题归为一类应用动量定理去处理.例9[2016年全国（新课标卷Ⅰ）]理科综合题35：某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中.为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开.忽略空气阻力.已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g，求：（ⅰ）喷泉单位时间内喷出的水的质量；（ⅱ）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度.解析（ⅰ）在一段很短的Δt时间内，可以认为喷泉喷出的水柱保持速度v0不变.该时间内，喷出水柱高度：Δl=v0·Δt①喷出水柱质量：Δm=ρ·ΔV②其中ΔV为水柱体积，满足：ΔV=Δl·S③由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为ΔmΔt=ρ·v0·S（ⅱ）设玩具底面相对于喷口的高度为h如图3所示，由玩具受力平衡得：图3F冲=Mg④其中，F冲为玩具底部水体对其的作用力.由牛顿第三定律：F压=F冲⑤其中，F压为玩具对其底部下面水体的作用力v′为水体到达玩具底部时的速度由运动学公式：v′2-v20=-2gh⑥在很短Δt时间内，冲击玩具水柱的质量为Δm Δm=ρ·v0·S·Δt⑦由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有动量定理（F压+Δmg）·Δt=Δm·v′⑧由于Δt很小，Δmg也很小，可以忽略⑧式变为F压·Δt=Δm·v′⑨由④⑤⑥⑦⑨可得h=v202g-M2g2ρ2v20S2。

1 高考物理解题方法：微元法微元法是从事物的极小部分(微元)分析，通过对微元的细节的物理分析和描述，最终解决整体问题的方法。

在高考题中，但凡出现考查微元法的试题，其难度系数不超过0.3。

因此，学会微元法的应用，对高三学子来说就会使自己的高考成绩迈上一个新的台阶。

根据研究对象的不同，微元可分为“线元”、“面元”、“体元”、“元过程”等。

例如：例题：一个半径为R 的均匀金属圆环，带电量为q ，试求垂直通过其圆心的轴线上距离圆心为x 处的电场强度。

解析：由题意可设如图，在圆环上取一段极小的圆弧Δl （Δl →0）——“线元”，圆弧带电量Δq =Δlq /2πR ，由于Δl 极小，圆弧可视为点电荷，其在轴上距离圆心为x 处产生的场强为：由圆的对称性可知，每个微元在x 处产生的电场在平行于环面的方向上场强相互抵消，圆环在x 处产生的电场沿x 方向，大小为所有微元在x 处产生的沿x 方向的场强矢量合，即：显然，ΣΔl=2πR ，所以金属圆环在x 处产生的电场场强为：“线元”分析适用于线状物体，用“整体·隔离体”法解决不了的问题，用“微元法”即可解决。

我们来看看下面这道高考题：（2012全国）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。

一矿井深度为d 。

已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为参考答案：A ；难度系数：0.11虽然题干给出了“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”这个条件，但在高考的考场上，若是学生第一次知道这个结论，要想立即能熟练应用，显然是不现实的，这也是本题难度系数是0.11的原因。

下面，我们应用“微元法”证明“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零”。

例题：证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。

解析：如图所示，在质量分布均匀的球壳内任取一点O /，连接O /与球心O 并交于球面上O i 、O i /（图中未标出）；以O i 为圆心做半径为r i （r i →0）的圆，这个圆与O /可以形成一个微小的圆锥体，延长圆锥体xα △l O R E l x R R kq r q k E i ∆⋅+=∆=）（2222π∑∑∑∆+=+⋅+∆==l x R R kqx x R x x R R l kq E E i x 2322222222cos ）（）（ππα2322）（x R kqx E x +=2的母线，在对侧可以形成一个类似的圆锥体（R i /、r i /）。

高考物理微元法在动量定理解题中的应用力学是高中物理的基础。

解决力学问题有三把钥匙:动力学观点、能量观点和动量观点，一般优先考虑用能量或动量观点，因为其求解过程往往比用动力学观点更简捷。

动能定理和机械能守恒定律是高中物理能量观点的两大支柱。

动量定理和动量守恒定律是高中物理动量观点的两大支柱。

功是能量转化的量度，冲量是动量变化的量度。

功着眼于力对空间的积累效果，而冲量则着眼于力对时间的积累效果[1]。

牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中已明确提出动量的定义：“运动量是用它的速度和质量一起来量度的”，并把动量的变化率称之为力，又用动量来表述运动第二定律[2]。

因此，动量定理与牛顿第二定律在本质上是一致的，但前者的适用范围更广。

并且，对动量守恒条件不满足的问题，动量守恒定律不能解决，但还可以用动量定理来求解。

在高中阶段，对于连续体作用力或变力作用问题，一般要用动量定理来求解。

微元法是分析、解决物理问题的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。

该方法能够让一些复杂的物理问题可以用我们熟悉的物理规律迅速加以解决，使问题简单化。

在用动量定理解决连续体作用力或变力作用问题中，微元法起着桥梁、纽带的作用。

微元法在物理解题中的应用，包括两个方面：一是对研究对象进行微元选择；二是对物理过程进行微元求和[3]。

1、求解连续体持续作用力问题所谓连续体，通常指液体、气体或轻绳、链条等，它在空间是连续而无空隙地分布的，一般不能当作质点来进行研究。

对于连续体产生的持续作用力问题，如用牛顿运动定律求解一般很麻烦，甚至难以求解，但采用"微元法"处理,问题则迎刃而解。

对连续体持续作用力问题，通常运用动量定理取微元作为研究对象求解。

例1.（2017·南京试题）如图1所示，水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层。

设水柱直径为d=30cm，水速v=50m/s，假设水柱射在煤层的表面上，冲击煤层后水的速度变为零，求水柱对煤层的平均冲击力。

专题八 动量概述：略一．动量定理及其应用 1．恒力的冲量例1．一枚质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的速度为v ，那么火箭发动机的功率是多少？2．变力冲量问题——微元法应用之动量定理微观表达式例2.从地面以速度v 1竖直向上抛一皮球，返回原地速率为v 2。

若皮球运动时受空气阻力大小与速率成正比，求皮球运动的时间。

3．动量定理在二维空间的应用例3．在光滑水平面上有质量均为m =150g 的四个球A 、B 、C 、D ，其间以质量不计、不可伸长的1、2、3三条细线相连。

最初，细线刚好张直，如图所示，其中∠ABC =∠BCD =1200。

今对A 球施以一个沿BA 方向的瞬时冲量I =4.2Ns 后，四球同时开始运动，试求开始运动时球C 的速度。

例4．三质点A 、B 、C 质量分别为m 1、m 2、m 3，位于光滑水平面上，用已拉直的不可伸长的轻绳AB 和BC 连接，απ-AB C =∠，α为锐角，如图所示。

今有一冲量为J 的冲击力沿BC 方向作用于C 点，求A 的速度。

点评：动量定理在二维空间的应用例5．(2014模拟)如图所示，光滑的水平面上有两个质量均为m=1.0kg 的小球A 、B，二者相距10cm，两小球之间有一长度为20cm的轻质绳与两小球相连，初始时两小球处于静止状态。

某时刻小球B以v0=10m/s的速度沿垂直于两球初始位置的连线做匀速直线运动，求绳拉直后瞬间，两小球的速率。

二．板块模型如图所示，一木板（M）静止放在光滑的水平面上，一木块（m）以一定的初速度（v0）从左端滑上木板，木块最终未脱离木板。

1．力和运动的方法例1.如图所示，已知木板的质量为M，木块的质量为m，初速度大小为v0, 二者之间的动摩擦因素为μ，木块最终未脱离木板，请用力和运动的方法讨论下列问题：（1）两物体的共同速度；（2）从开始运动到两物体具有共同速度所用的时间；（3）这一过程中木块对地位移的大小；（4）这一过程中木板对地位移的大小；（5）证明：两物体间的相对位移大于木板对地的位移。