三种函数增长比较

函数增长速度比较总结函数是数学中的一种重要概念，它描述了数值之间的关系和规律。

而函数的增长速度则是衡量函数增长的快慢以及趋势的指标。

在数学和计算机科学领域，我们常常需要比较不同函数的增长速度，以便更好地理解和分析它们的特性。

本文将总结几种常见的函数增长速度，并进行比较和讨论。

一、常数函数常数函数是指函数的输出在任何输入下都保持不变。

它的增长速度非常稳定，不论输入的大小如何，输出都保持不变。

因此，常数函数的增长速度是最慢的，即O(1)。

二、线性函数线性函数是指函数的输出与输入之间存在着一种简单的一比一的关系。

线性函数的增长速度随着输入的增加而线性增长，所以它的增长速度为O(n)，其中n表示输入的大小。

三、对数函数对数函数是指函数的输入与输出之间存在着一种指数关系，即x = log(base, y)。

对数函数的增长速度比线性函数慢，但比常数函数快。

通常来说，对数函数的增长速度被称为次线性增长，记作O(log n)。

四、指数函数指数函数是指函数的输出与输入之间存在着一种指数级别的关系，即y = base^x，其中base是底数。

指数函数的增长速度非常快，随着输入值的增加，输出呈指数级别的增长。

因此，指数函数的增长速度被称为指数增长，记作O(base^n)。

五、多项式函数多项式函数是指由多个项构成的函数，每个项包含一个系数和一个指数幂。

多项式函数的增长速度是根据指数幂的大小来确定的。

在多项式函数中，我们通常关注最高次项，因为它决定了函数的增长趋势。

多项式函数的增长速度随着最高次项的指数增加而增加，因此它的增长速度被称为多项式增长，记作O(n^k)，其中n表示输入的大小，k表示最高次项的指数。

尽管上述函数增长速度有明显的差异，但在实际应用中，它们往往都被用来分析算法的复杂度或者描述问题的规模。

常数函数和线性函数的增长速度相对较慢，适用于处理规模较小的问题。

对数函数的增长速度次于线性函数，适用于处理规模稍大的问题。

指数函数幂函数对数函数增长的比较教案
指数函数、幂函数和对数函数增长的比较教案
教学目标
通过本教案的学习，学生将能够：
理解指数函数、幂函数和对数函数的定义；
理解指数函数、幂函数和对数函数的增长特点；
比较指数函数、幂函数和对数函数在不同增长情况下的差异。

教学步骤
1.引入
引导学生回顾函数的基本概念，并复习函数的图像、定义域和值域的表示方法。

2.指数函数
定义：指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。

指数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的指数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的指数增长趋势。

3.幂函数
定义：幂函数是形如y=x^a的函数，其中a是常数，x是自变量。

幂函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的幂函数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的幂函数增长趋势。

4.对数函数
定义：对数函数是形如y=log_a(x)的函数，其中a是常数且大于0，x是自变量。

对数函数的图像特点：
当a>1时，函数呈现上升的对数增长趋势；
当0<a<1时，函数呈现下降的对数增长趋势。

1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。

4．4.3不同函数增长的差异学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型．知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝a x的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝log a x的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x思考在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a x成立？答案不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．(√) 2．函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(√)3．不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>2x(a>1)．(×)一、几个函数模型增长差异的比较例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x答案 A解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：则关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案y2解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．反思感悟常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x答案 B解析D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．二、函数模型的选择问题例2某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为待定系数，x ∈N *)或函数y ＝g (x )＝pq x ＋r (p ，q ，r 均为待定系数，x ∈N *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解 根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝100，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝120，f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝130.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝35，c ＝70.所以y ＝f (x )＝－5x 2＋35x ＋70.① 同理y ＝g (x )＝－80×0.5x ＋140.② 再将x ＝4分别代入①式与②式得 f (4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g (4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f (4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y ＝g (x )＝pq x ＋r 作为模拟函数较好． 反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．跟踪训练2 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系式大致可以是( ) A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x答案 C解析对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，更符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例3函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 020>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)．又因为g(2 020)>g(6)，所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)．反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练3甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．答案③④⑤解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案 D2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x －2.0－1.00 1.00 2.00 3.00y 0.240.511 2.02 3.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx答案 B解析 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．甲从A 地到B 地，途中前一半路程的行驶速度是v 1，后一半路程的行驶速度是v 2(v 1<v 2)，则下图中能正确反映甲从A 地到B 地走过的路程s 与时间t 的关系的是( )答案 B4．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 把x ＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为________元．(精确到个位) (附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59) 答案 4 500解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3 000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3 000×1.067≈4 500.1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有()A．指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值增长越快B．指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值增长越快C．对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值增长越快D．对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值增长越快答案AD解析结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y1525456585105y2529245 2 18919 685177 149y35 6.10 6.61 6.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案 C解析通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律．3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 4.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是( )答案 B解析 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B 图象相吻合．5．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t (分)满足的函数关系式为h (t )＝m ·a t .若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)( ) A ．33分钟 B ．40分钟 C ．43分钟 D ．50分钟答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h (10)＝ma 10＝0.1，h (20)＝ma 20＝0.2，解得a ＝1102，m ＝0.05，故h (t )＝0.05×1102t⎛⎫⎪⎝⎭，令h (t )＝0.05×1102t⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，得1102t⎛⎫⎪⎝⎭＝20，故t＝110lg 20lg 2＝1＋lg 2110lg 2≈10(1＋0.3)0.3≈43(分钟)．6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案y＝x 2解析 当x 增加时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快．7．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 答案 f (x )>g (x )解析 在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝x 的图象，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图象在函数g (x )＝x 图象的上方，则f (x )>g (x )．8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．答案 (4) (1) (3) (2)解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应． 9．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5(x ≥0)和y ＝2x (x ≥0)的图象，并比较当x ≥0时，x ＋5与2x 的大小．解 函数图象如图所示，根据函数y ＝x ＋5与y ＝2x 的图象增长差异得： 当0≤x <3时，x ＋5>2x ， 当x ＝3时，x ＋5＝2x ， 当x >3时，x ＋5<2x .10．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解 A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B 种债券．11．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 分别画出y ＝2x ，y ＝x 2的图象， 由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y ＝2x －x 2的图象与x 轴有3个交点，故排除B ，C ； 当x <－1时，y <0，故排除D.12．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是______________．答案 y ＝180(1＋x )10解析 1年后的价格为180＋180·x ＝180(1＋x )(万元)，2年后的价格为180(1＋x )＋180(1＋x )·x ＝180(1＋x )·(1＋x )＝180(1＋x )2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1＋x )10万元．13．若已知16<x <20，利用图象可判断出12x 和log 2x 的大小关系为________．答案 12x >log 2x解析 作出f (x )＝12x 和g (x )＝log 2x 的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，12x >log 2x ；x ＝4或x ＝16时，12x ＝log 2x ；在(4,16)内，12x <log 2x ；在(16,20)内，12x >log 2x .14．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n ＝________；若再过m 秒甲桶中的水量只有a 4升，则m ＝________.答案 －15ln 2 5 解析 ∵5秒后两桶的水量相等，则a e 5n ＝a 2⇒e 5n ＝12⇒n ＝15ln 12＝－15ln 2， 若k 秒后甲桶水量为a 4， 则a e nk ＝a 4，e nk ＝14⇒nk ＝ln 14⇒－15ln 2·k ＝－2ln 2， ∴k ＝10，∴m ＝10－5＝5.15．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．16．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式成立的自变量x的取值范围：①log2x<2x<x2；②log2x<x2<2x.解(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f(x)＝2x.(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4,24＝42＝16，下面借助图象解决问题．①∵log2x<2x<x2，∴2<x<4，即x的取值范围为(2,4)；②∵log2x<x2<2x，∴0<x<2或x>4，即x的取值范围为(0,2)∪(4，＋∞)．。