【数学】2017年河南省南阳市高三上学期期末数学试卷(文科)带解析答案

2016-2017学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U M）∪N=（）A．{1}B．[1，5}C．{4，5}D．{1，4，5} 2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（）A．B．C．或D．以上都不对5．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7B．0.75C．0.8D．0.96．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．36B．24C．12D．68．（5分）设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6B．7C．36D．329．（5分）函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C．D．11．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tanx的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1二、填空题13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）已知cos（﹣α）=，则sin2α=．15．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为．16．（5分）若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=．三、解答题17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．18．（12分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和为S n，且a3=5，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}（n∈N*），{b n}的前n项和为T n，若q＞0且b3=a5，T3=13，求T n；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD 折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．20．（12分）某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e．（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（1）若直线l的倾斜角为，求e的大小；（2）是否存在这样的e，使得原点O关于直线l对称的点恰好在椭圆C上，若存在，请求出e的大小；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=x2+nx+mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=f（x）在区间（，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围．2016-2017学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U M）∪N=（）A．{1}B．[1，5}C．{4，5}D．{1，4，5}【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，M={2，3，4}，∴∁U M={1，5}；又N={4，5}，∴（∁U M）∪N={1，4，5}．故选：D．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．3．（5分）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．4．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=3，b=，A=，则角B等于（）A．B．C．或D．以上都不对【解答】解：由正弦定理可得：=，解得sinB=．∵a＞b，∴A＞B，因此B为锐角．∴B=．故选：A．5．（5分）如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（）A．0.7B．0.75C．0.8D．0.9【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数n，求+的值S，并输出S，由于S=+=1+…+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．6．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤）图象的一部分．为了得到这个函数的图象，只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图象可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin（2x+φ）．代入（﹣，0）可得φ的一个值为，故图象中函数的一个表达式是y=sin（2x+），即y=sin2（x+），所以只需将y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变．故选：A．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A．36B．24C．12D．6【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以侧视图为底面的四棱锥，其中底面边长为3的正方形，棱锥的高为4，∴四棱锥的体积．故选：C．8．（5分）设S n是数列{a n}（n∈N+）的前n项和，n≥2时点（a n﹣1，2a n）在直线y=2x+1上，且{a n}的首项a1是二次函数y=x2﹣2x+3的最小值，则S9的值为（）A．6B．7C．36D．32【解答】解∵点（a n，2a n）在直线y=2x+1上，﹣1∴2a n=2a n﹣1+1，∴a n﹣a n=，﹣1∵二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴a1=2，∴{a n}是以为2首项，以为公差的等差数列，∴a n=2+（n﹣1）=n+当n=1时，a1=n+=2成立，∴a n=n+∴S9=9a1+=9×2+=36故选：C．9．（5分）函数y=xsinx+cosx的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（0）=1，排除A，C；f'（x）=xcosx，显然在（0，）上，f'（x）＞0，∴函数为递增，故选：D．10．（5分）已知直线l的斜率为k，它与抛物线y2=4x相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则|k|=（）A．B．C．D．【解答】解：设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），与抛物线y2=4x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0．所以△=（2km﹣4）2﹣4k2m2=16﹣16km＞0，即km＜1．，．由y2=4x得其焦点F（1，0）．由，得（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2）．所以，由①得，x1+2x2=3 ③由②得，．所以m=﹣k．再由，得，所以x1+1=2（x2+1），即x1﹣2x2=1④联立③④得．所以=．把m=﹣k代入得，解得，满足mk=﹣8＜1．所以．故选：A．11．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tanx的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值e C．有最大值e D．有最大值e+1【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，g'（x）=e x﹣2x，g''（x）=e x﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．二、填空题13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）已知cos（﹣α）=，则sin2α=．【解答】解：∵cos（﹣α）=∴cosα+sinα=两边平方得：（1+2sinαcosα）=∴sin2α=故答案为：．15．（5分）已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为．【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，则MF1=，MF2=，∴sin∠MF2F1=，∴=，可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，可得e2﹣e﹣，e＞1，解得e=．故答案为：．16．（5分）若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m=2．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．三、解答题17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵4sin2+4sinAsinB=2+，∴4×+4sinAsinB=2+，∴﹣2cosAcosB+2sinAsinB=，即cos（A+B）=﹣，∴cosC=，∴C=．（Ⅱ）已知b=4，△ABC的面积为6=ab•sinC=a×4×，∴a=3，∴c===．18．（12分）已知等差数列{a n}（n∈N*）的前n项和为S n，且a3=5，S3=9．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设等比数列{b n}（n∈N*），{b n}的前n项和为T n，若q＞0且b3=a5，T3=13，求T n；（3）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．（2）由上可得，b3=a5=9，T3=13，所以公比q=3，从而，b1=1，所以=．（3）由（1）知，a n=2n﹣1．∴=，∴==．19．（12分）如图，直角三角形ABC中，A=60°，沿斜边AC上的高BD，将△ABD 折起到△PBD的位置，点E在线段CD上．（1）求证：PE⊥BD；（2）过点D作DM⊥BC交BC于点M，点N为PB中点，若PE∥平面DMN，求．【解答】解：（1）∵BD是AC边上的高，∴BD⊥CD，BD⊥PD，又PD∩CD=D，∴BD⊥平面PCD，又PE⊂平面PCD中，∴BD⊥PE，即PE⊥BD；（2）如图所示，连接BE，交DM与点F，∵PE∥平面DMN，∴PE∥NF，又点N为PB中点，∴点F为BE的中点；∴DF=BE=EF；又∠BCD=90°﹣60°=30°，∴△DEF是等边三角形，设DE=a，则BD=a，DC=BD=3a；∴==．20．（12分）某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），直线l为圆O：x2+y2=b2的一条切线并且过椭圆的右焦点，记椭圆的离心率为e．（1）求椭圆的离心率e的取值范围；（1）若直线l的倾斜角为，求e的大小；（2）是否存在这样的e，使得原点O关于直线l对称的点恰好在椭圆C上，若存在，请求出e的大小；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知，右焦点在圆上或在圆的外部，因此c≥b．∴c2≥b2=a2﹣c2，也即，解之可得．∴椭圆的离心率e的取值范围是．（2）依题意，设直线l：，由l与圆x2+y2=b2相切得，即c2=4b2，∴c2=4（a2﹣c2），解得．（3）设原点关于直线l对称的点为M（x，y），则M到原点的距离为2b，M到焦点F（c，0）的距离为c．由，解得，代入椭圆方程可得4b2=3a2，易得这与矛盾，故离心率不存在．22．（12分）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=x2+nx+mf′（x）（m，n∈R）当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m的取值范围；（3）若函数y=f（x ）在区间（，3）内的图象上存在两点，使得在该两点处的切线相互垂直，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（x＞0），当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，故函数f（x）的单调增区间为（0，1）单调减区间为（1，+∞）；（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45，则f′（2）=1，即a=﹣2；∴g（x）=x2+nx+m（2﹣），∴g（x）=x+n +=∵g（x）在x=1处有极值，故g′（1）=0，从而可得n=﹣1﹣2m，则g′（x）==又∵g（x）仅在x=1处有极值，∴x2﹣2mx﹣2m≥0在（0，+∞）上恒成立，第21页（共23页）当m＞0时，由﹣2m＜0，即∃x0∈（0，+∞），使得﹣2mx0﹣2m＜0，∴m＞0不成立，故m≤0，又m≤0且x∈（0，+∞）时，x2﹣2mx﹣2m≥0恒成立，∴m≤0；（3）由f′（x）=（x＞0）得（0，1）与（1，+∞）分别为f（x）的两个不同的单调区间，∵f（x）在两点处的切线相互垂直，∴这两个切点一定分别在两个不同单调区间内．故可设存在的两点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），其中＜x1＜1＜x2＜3，由该两点处的切线相互垂直，得﹣=﹣1，即：=﹣﹣，而∈（0，2），故﹣﹣∈（0，2），可得（2a2﹣1）x2＞2a2，由x2＞0得2a2﹣1＞0，则x2＞，又1＜x2＜3，则＜3，即a2＞，∴a 的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）． badiubaidubaidubaidu第22页（共23页）badiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu baidubadiubaidubaidubaidu第23页（共23页）。