离散数学作业11_谓词逻辑答案

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。

（1）小王学过英语和法语。

（2）2大于3仅当2大于4。

（3）3不是偶数。

（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。

（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。

谓词逻辑复习题答案一、选择题1. 在谓词逻辑中，以下哪个符号表示“或”？A. ∧B. ∨C. →D. ¬答案：B2. 谓词逻辑中的量词“∀”代表什么含义？A. 存在B. 全部C. 任意D. 否定答案：B3. 下列哪个表达式表示“所有的x都满足P(x)”？A. ∃x P(x)B. ∀x P(x)C. ¬∃x ¬P(x)D. ¬∀x ¬P(x)答案：B4. 谓词逻辑中的否定连接词是哪一个？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C5. 如果P(x)表示“x是学生”，Q(x)表示“x是老师”，以下哪个表达式表示“x既是学生又是老师”？A. P(x) ∧ Q(x)B. P(x) ∨ Q(x)C. P(x) → Q(x)D. ¬P(x) ∧ ¬Q(x)答案：A二、填空题6. 谓词逻辑中，表达式“∀x (P(x) ∨ Q(x))”可以解释为“对于任意的x，x满足P或Q”。

请将该表达式转换为自然语言：______________________。

答案：对于任意的x，x是P或者x是Q。

7. 如果P(x)表示“x是大的”，Q(x)表示“x是圆的”，那么表达式“∃x (P(x) ∧ Q(x))”可以解释为“存在某个x，x既大又圆”。

请将该表达式转换为自然语言：______________________。

答案：存在某个x，x既大又圆。

8. 表达式“¬∀x P(x)”可以解释为“不是所有的x都满足P(x)”。

请将该表达式转换为自然语言：______________________。

答案：不是所有的x都满足P。

三、简答题9. 解释谓词逻辑中量词“∃”和“∀”的区别。

答案：量词“∃”表示存在，即至少有一个元素满足某个性质或条件；而量词“∀”表示全部，即所有元素都满足某个性质或条件。

10. 给出一个例子，说明谓词逻辑中的“蕴含”如何使用。

求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
7
练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
19
练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段

离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。

（1）3是正数吗？（2）x＋1=0。

（3）请穿上外衣。

（4）2＋1＝0。

（5）任一个实数的平方都是正实数。

（6）不存在最大素数。

（7）明天我去看电影。

（8）9＋5≤12。

（9）实践出真知。

（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。

解：（1）、（2）、（3）不是命题。

（4）、（8）是假命题。

（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。

（7）是命题，只是现在无法确定真值。

2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。

（1）如果天不下雪并且我有时间，那么我将去书店。

（2）我将去书店，仅当我有时间。

（3）天不下雪。

（4）天下雪，我将不去书店。

解：（1）（┐P∧R）→Q。

（2）Q→R。

（3）┐P。

（4）P→┐Q。

3. 将下列命题符号化。

（1）王皓球打得好，歌也唱得好。

（2）我一边看书，一边听音乐。

（3）老张和老李都是球迷。

（4）只要努力学习，成绩会好的。

（5）只有休息好，才能工作好。

（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。

（7）我们不能既游泳又跑步。

（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。

（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。

反之亦然。

（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。

（11）四边形ABCD是平行四边形，当且仅当ABCD的对边平行。

（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。

解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。

原命题可符号化：P∧Q。

（2）P：我看书，Q：我听音乐。

原命题可符号化：P∧Q。

（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。

原命题可符号化：P∧Q。

（4）P：努力学习，Q：成绩会好。

原命题可符号化：P→Q。

（5）P：休息好，Q：工作好。

原命题可符号化：Q→P。

（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。

习题11.11． 若n 个顶点的简单无向图G 中至少有2个孤立点，则结论自然成立；若G 中只有一个孤立点，而2n ≥，则G 中至少有3个顶点，其中至少有2个非孤立点，可不考虑孤立点；若G 中无孤立点，则G 中n 个顶点度数均不小于1.现设G 中n 个顶点的度数均不小于1，又G 为简单图，故所有顶点的度数均不大于n-1，即n 个顶点的度数的取值只能是1，2，…，n-1,由鸽舍原理知，结论成立。

2． 设G 有x 个顶点，则92)6(36)deg(122>⇒⨯-+⨯≤=⨯∑∈x x v Vv3． m n k n k n n k n v m k k k Vv 2)1()1()()deg(2-+=⇒+⨯-+⨯==∑∈4． ∑∈∈⨯≤=≤∈⨯Vv V v v n v m V v v n })max{deg()deg(2})deg(min{故所证不等式成立。

5.（1）非同构的4个顶点的自补图只有一个；非同构的5个顶点的自补图有2个（2）G 为自补图⇒G 与G 的边数相同，设均为m ，又G 与G 的边数之和为n K 的边数2)1(-n n ，即2)1(-n n =2m ，亦即)1(-n n =4m ，故n 为4的倍数，即n=4k ，或n-1为4的倍数，即n=4k+1，+∈I k6.（1）<0,1,1,2,3,3>,<3,3,3,3>均为可图解的，其对应图为<1,3,3,3>非可图解，否则，设3)deg()deg()deg(,1)deg(4321====v v v v ，由于要构成无向简单图，故，1v ，2v ，3v ，4v 之间必定有边关联，这与1)deg(1=v 矛盾，< 2，3，4，4，5>,<2,2,4>非可图解，以为简单图中所有顶点的度数多为n-1。

<1,2,2,3,4,5>z 中有奇数个，故非可图解。

（2）充分性：<1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1-+,2d 1d +,…,n d >可图解⇒添加度数为1d 的顶度，与度数为1d 2-,1d 3-,…, 1d 1d -,1d 1d 1-+的顶点相邻⇒<1d ,2d ,…, n d >可图解。

页眉内容《离散数学》试题及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q→P (2)⌝Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P∧Q)→(Q→⌝R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q(4)P∧(P→Q)=>Q (5) ⌝(P→Q)=>P (6) ⌝P∧(P∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y，x))∧∃z C(y，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1)北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）PP⌝P→⌝↔（4）QQ→⌝（2）QP⌝→（3）Q8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x∃y(x+y=0) (2) ∃y∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

《失散数学》题库与答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、以下哪些公式为永真包括式？( A )(1) Q=>Q→P (2) Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4) P (P Q)=>P答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（ 4）能够由第二章的包括等值式求出（注意与吸取律差异）2、以下公式中哪些是永真式？()(1)( ┐P Q)→(Q→R) (2)P →(Q→Q) (3)(P Q)→P (4)P→(P Q)答：（ 2），（3），（4）可用包括等值式证明3、设有以下公式，请问哪几个是永真蕴涵式?()(1)P=>P Q (2) P Q=>P (3) P Q=>P Q(4)P (P →Q)=>Q (5)(P→Q)=>P (6)P (P Q)=>P答：（2）是第三章的化简律，（3）近似附加律，（4）是假言推理，（ 3），（5），（6）都可以用包括等值式来证明出是永真包括式4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y ，z)) D(x) 中，自由变元是 ( )，拘束变元是 ( )。

答： x,y, x,z（察看定义在公式x A 和 x A 中，称x为指导变元，A为量词的辖域。

在x A 和 x A 的辖域中， x 的所有出现都称为拘束出现，即称x 为拘束变元， A 中不是拘束出现的其他变项则称为自由变元。

于是A(x)、B(y，x)和 z C(y ，z) 中 y 为自由变元， x 和 z 为拘束变元，在 D(x) 中 x 为自由变元）5、判断以下语句可否是命题。

若是，给出命题的真值。

()(1)北京是中华人民共和国的国都。

(2)陕西师大是一座工厂。

(3)你喜欢唱歌吗？(4)若 7+8＞18，则三角形有 4 条边。

(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是（命题必定满足是陈述句，不能够是疑问句也许祈使句。

谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。

（1）小王学过英语和法语。

（2）2大于3仅当2大于4。

（3）3不是偶数。

（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。

解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。

（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。

（4）条件联结词
定义1-2.4 复合命题“如果P，则Q” 称为P与Q的
蕴涵式，记作P Q，即“如果P，则Q”，“若 P则Q”。并称P为前件，Q为后件，符号称为蕴 涵联结词。
运算规则：属于双目运算符
P
Q P→Q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
只有当P的 真值为T， Q的真值为 F时， P Q 的真值为F， 否则均为T。
作业：
P8 （3）（5） P12 （5）
1-1 命题及其表示方法
内容：命题 重点：掌握命题概念
一.基本概念
命题：具有确定真值的陈述句。
or 真值客观存在且唯一 or 能区分真假 可以看出： （1）一个命题，总是具有一个“值”，称为真 值。命真真命题：真值为真(T，1)的命题。 假命题：真值为假(F，0)的命题。
复合命题的真值，取决于原子命题的真值，与原子命题 之间是否有关系无关，与复合命题本身内容、含义无关；
∧、∨、 具有对称性， ┐、 没有； 联结词具有运算和操作性，从已知命题得到新命题。
1-3 命题公式与翻译
内 容：
合式公式
命题翻译
重点难点：命题翻译
合式公式wff
命题公式：将命题变元用联结词和圆括号按一定 的逻辑关系联结起来的有意义的符号串。
为什么研究数理逻辑 程序=算法+数据 算法=逻辑+控制
数理逻辑是用数学方法即通过引入表意符号研究 推理的学问。因此，数理逻辑又名为符号逻辑。
第一章 命题逻辑
命题的引入：
数理逻辑研究推理，而推理必须包含前提和结 论，它们又都是由什么样的句子组成？
陈述句，所以陈述句就成了推理的基本要素。 所有的陈述句都是推理的要素？ 数理逻辑中所要求的是能判断真假(对错)的陈

证明：⑴
⑵
⑴（）
⑶
⑷
⑵，⑶（拒取式）
⑸
⑹
⑸（）
⑺
⑻
⑹，⑺（假言推理）
⑼
⑷，⑻（合取式）．
4、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑷（逆反律）
⑹ ⑵，⑸（假言三段论）
⑺ ⑹（）．
5、用逻辑推理规则证明：．
证明：⑴
⑵ ⑴（）
⑶
⑷ ⑶（）
⑸ ⑵，⑷（拒取式）
⑹
⑺ ⑹（）
⑻ ⑸，⑺（析取三段论）
8、用逻辑推理规则证明：． 证明：⑴
⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑴，⑶（假言推理） ⑸ ⑷（） ⑹ ⑵（加法式） ⑺ ⑸，⑹（假言推理） ⑻ ⑺（）． 9、用逻辑推理规则证明： . 证明：⑴ （附加前提） ⑵ ⑴（） ⑶ ⑷ ⑶（） ⑸ ⑵，⑷（假言推理）
⑹ ⑸（）
⑺．
10、用逻辑推理规则证明：
.
证明：⑴ （附加前提）
. 4、若个体域，：，：,：，:， 则谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真；
. 5、谓词公式为真吗？为什么？ 答：不为真；设个体域：实数域，：， 则. 6、谓词公式为真吗？为什么？ 答：为真； . .
四、证明题（每题10分）
1、求证：．
证明：左
右．
2、设个体域，求证：．
证明：左
右．
3、用逻辑推理规则证明：
⑼ ⑻（）．
6、用逻辑推理规则证明：
．
证明：⑴
⑵ ⑴(德.摩根律) ⑶ ⑵(蕴含表达式) ⑷ ⑶(量词否定) ⑸ ⑹ ⑷，⑸（拒取式） ⑺ ⑹(量词否定) ⑻ ⑺(德.摩根律) ⑼ ⑻(蕴含表达式) ． 7、用逻辑推理规则证明： ． 证明：⑴ ⑵ ⑶ ⑴，⑵（假言推理） ⑷ ⑴（） ⑸ ⑹ ⑸（） ⑺ ⑶（） ⑻ ⑹（加法式） ⑼ ⑺，⑻（假言推理） ⑽ ⑷，⑼（合取式） ⑾ ⑽（） ⑿ ⑾（）．

第三章 谓词逻辑习题3.11．解 ⑪个体：离散数学；谓词：…是一门计算机基础课程。

⑫个体：田亮；谓词：…是一名优秀的跳水运动员。

⑬个体：大学生；谓词：…要好好学习计算机课程；量词：所有。

⑭个体：推理；谓词：…是能够由计算机来完成的；量词：一切。

2． 解 ⑪设)(x F ：x 是舞蹈演员；a ：小芳。

命题符号化：)(a F 。

⑫设)(x F ：x 是一位有名的哲学家；a ：苏格拉底。

命题符号化：)(a F 。

⑬设)(x F ：x 作完了他的作业家；a ：张三。

命题符号化：)(a F 。

⑭设)(x F ：x 身体很好；a ：我。

命题符号化：)(a F 。

3．解 ⑪选取个体域为整数集合。

设)(x F ：x 的平方是奇数；)(x G ：x 是奇数。

命题符号化：)()(x G x F →。

⑫选取个体域为所有国家的集合。

设)(x F ：x 在南半球；)(x G ：x 在北半球。

命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。

⑬选取个体域为所有人的集合。

设)(x F ：x 在中国居住；)(x G ：x 是中国人。

命题符号化：))()((x G x F x ⌝→⌝⌝∀⑭选取个体域为所有人的集合。

设)(x M ：x 是艺术家；)(x F ：x 是导演；)(x G ：x 是演员。

命题符号化：∃x (M (x )∧F (x )∧G (x ))。

⑮选取个体域为所有猫的集合。

设M (x )：x 是好猫；F (x )：x 捉耗子。

命题符号化：∃x ⌝M (x )∧∀x (F (x )→M (x ))。

4．解 ⑪①设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车。

命题符号化：)()(x xG x xF ∃∧∃。

②设)(x F ：x 喜欢开汽车；)(x G ：x 喜欢骑自行车；)(x M ：x 是人。

命题符号化：))()(())()((x G x M x x F x M x ∧∃∧∧∃。

⑫①设)(x F ：x 必须学好数学。

S
W
U
S T
1. 对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词 作为蕴涵的前件加入。 2. 对于存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词
作为合取式之合取项加入。
XDC
温 故 而 知 新 ! 38-4
C
S
|
原子公式和谓词演算的合式公式
定 义 6.7 ： 设 P(x1,x2,x3,...xn) 是 n 元 谓 词 ， t1,t2,t3,...tn是项,则P(t1,t2,t3,...tn)是原子 谓词公式，简称原子公式。
XDC
温 故 而 知 新 ! 38-14
C
S
|
二、有关存在指定规则ES的正确使用 (x)G(x)G(c)
③成立的条件是：
1. x是G(x)中自由出现的个体变量。在G(x)中，变元x的 每一次自由出现都用相同的个体常量c代入。 2. c是使G(x)为真的特定的个体常量。 3. G(x)中除x以外，若还有其它自由出现的个体变量时， 则不能使用此规则。
（1）施行的对象不同：改名规则是对约束变元施行， 代入规则是对自由变元施行； （2）施行的范围不同：改名规只可以只对公式中的一 个量词及其辖域内施行，即只对公式的一个子公式施行； 而代入规则必须对整个公式同一个自由变元的所有自由 出现同时施行，即必须对整个公式施行； （3）施行后的结果不同：改名后，公式含义不变，因 为约束变元只改名为另一个个体变元，约束关系不改变， 约束变元不能改名为个体常量；代入后，不仅可用另一 个个体变元进行代入，并且也可用个体常量去代入，从 而使公式由具有普遍意义变为仅对该个体常量有意义， 即公式的含义改变了。 XDC 温 故 而 知 新 ! 38-11
XDC
温 故 而 知 新 ! 38-5

S(x): x 是理科生； T(x): x 是优等生。 要引入的个体常项是：c : 小张。 前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、x(P(x)T(x))、 Q(c)T(c)
结论：P(c)S(c)，
推理举例(续)
西 华 大 学
前提：x(P(x)(Q(x)S(x)))、 x(P(x)T(x))、Q(c)T(c) 结论：P(c)S(c)， 证明: (1). x(P(x)(Q(x)S(x))) P规则 (2). P(c)(Q(c)S(c)) 全称量词消除规则 (3). P(c) CP规则 (4). Q(c)S(c) (2)(3)I (5). Q(c)T(c) P规则 (6). Q(c) (5)I (7). S(c) (4)和(6) I
在证明的任何步骤上一阶公式中的任何子公式都可用与之等值的公式置换得到证明的公式序列的另一公式证明的公式序列的另公式
第二章 谓词逻辑
西 华 大 学
第3节 一阶逻辑推理理论
推理的定义
西 华 大 学
称蕴涵式(A1A2…Ak)B为推理的形式结构， A1, A2, …, Ak为推理的前提，B为推理的结论。 若(A1A2…Ak)B为永真式，则称从前提A1,
// 前提
(2). P(a)Q(a) // 全称量词消除规则
举例：全称量词消除规则
西 华 B 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). x P(x)Q(x) // 前提 (2). P(y)Q(y) // 全称量词消除规则
量词 x 的辖域为 P(x) ，而非 P(x)Q(x) ，所以不 能直接使用全称量词消除规则。
举例：全称量词消除规则
西 华 A 大 学
指出下列推导中的错误，并加以改正： (1). (x)(P(x)Q(x))// 前提 (2). P(a)Q(b) // 全称量词消除规则

谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。

2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。

答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。

3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。

4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。

答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。

5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。

6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。

答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。

7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。

答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。

8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。

答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。

9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。

答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。

10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。

谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。

以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。

2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。

答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。

2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。

题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。

2. 每个学生都是老师的学生。

答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。

2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。

题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。

2. 没有学生是他自己的学生。

答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。

2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。

题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。

2. 写出“存在”的逻辑表达式。

答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。

2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。

题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。

2. 写出“或者”的逻辑表达式。

3. 写出“非”的逻辑表达式。

答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。

2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。

3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。

题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。

第二章谓词逻辑2—1基本概念例题１. 所有的自然数都是整数。

设N(x)：x是自然数。

I(x)：x是整数。

此命题可以写成∀x(N(x)→I(x))例题２. 有些自然数是偶数。

设E(x)：x是偶数。

此命题可以写成∃x(N(x)∧E(x))例题3. 每个人都有一个生母。

设P(x):x是个人。

M(x,y):y是x的生母。

此命题可以写成：∀x(P(x)→∃y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化例题1. 如果x是奇数，则2x是偶数。

其中客体x与客体2x之间就有函数关系，可以设客体函数g(x)=2x，谓词O(x)：x是奇数，E(x)：x是偶数，则此命题可以表示为：∀x(O(x)→E(g(x)))例题2 小王的父亲是个医生。

设函数f(x)=x的父亲，谓词D(x):x是个医生，a:小王，此命题可以表示为D(f(a))。

例题3 如果x和y都是奇数，则x+y是偶数。

设h(x,y)=x+y ，此命题可以表示为:∀x∀y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y))命题的符号表达式与论域有关系两个公式：一般地，设论域为{a1,a2,....,an}，则有(1). ∀xA(x)⇔A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an)(2). ∃xB(x)⇔B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an)1.每个自然数都是整数。

该命题的真值是真的。

表达式∀x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的,因∀x(N(x)→I(x))⇔(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an))式中的x不论用自然数客体代入，还是用非自然数客体代入均为真。

例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。

而∀x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。

∀x(N(x)∧I(x))⇔(N(a1)∧I(a1))∧(N(a2)∧I(a2)) ∧…∧(N(an)∧I(an))比如x用0.2代入(N(0.2)∧I(0.2))就为假。

数理逻辑习题解二1.设个体域是整数集合，请利用给出的谓词将下列命题符号化。

N(e):e是自然数（不包括0）.P（e):e是素数。

Q（e):e是偶数.E(e1,e2）:e1=e2。

L（e1,e2）：e1e2。

D(e1，e2)：e1｜e2。

(即e1整除e2）a)凡素数均为自然数.b)没有最大的素数。

c)有些自然数不是素数.d)并非所有的素数都不是偶数.e)偶素数只有2.f)一个自然数是素数的充要条件是除1之外，该数不能被其它任何小于它的自然数整除。

[解]a)"x(P（x)→N（x））。

b）x（P(x）Ù"y（P（y)→L(y,x）））。

c)＄x（N(x）ÙØP(x)）。

d）Ø”x(P(x)→ØQ（x））。

e)"x（P（x)ÙQ(x)→E（x,2）).f)”x(N(x)→(P（x)Ø$y(N(y)ÙØE（y，1)ÙØE（y，x)ÙL（y,x)ÙD（y，x））））。

2.利用上题给出的各谓词，用自然语言表达下述命题.a)"x(Q(x)→D(2，x))b)$x(N（x）ÙD(x,9））c)"x"y（N(x）ÙN（y)ÙD（x,y）ÙD（y,x）→E（x,y)）d)Ø$x(N（x）Ù”y(N（y)→L(y，x））e)”x(P（x）→"y(N（y)ÙD（y，x)→E（y,x)ÚE(y,1）))f)"x（N（x)ÙØP（x）→＄y(ØE(y，x）ÙØE(y,1)ÙD(y，x)）)［解］a)凡偶数都能被2整除.b)存在着能整除9的自然数.c）两个能互相整除的自然数相等。

d）没有最大的自然数。