高考数学一轮复习第5节 直线、平面垂直的判定与性质

第5节 直线、平面垂直的判定与性质

考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

知 识 梳 理

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

l⊥al⊥ba∩b＝Oa⊂αb⊂α⇒l⊥α

性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：0，π2.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

文字语言 图形表示 符号表示

判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 l⊥αl⊂β⇒α⊥β

性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βα∩β＝al⊥al⊂β⇒l⊥α

[常用结论与微点提醒]

1.两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.

3.三种垂直关系的转化

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( )

(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.( )

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

解析 (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.

(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.

(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.

(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.

答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.(新教材必修第二册P162T3改编)设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 依题意，由l⊥β，l⊂α，可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β，因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，故选A.

答案 A

3.(老教材必修2P67练习T2改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心.

解析 (1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心. 4 / 27

图1

(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.因为PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，所以PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，所以PC⊥AB，因为PO⊥AB，PO∩PC＝P，所以AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，所以AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.

图2

答案 (1)外 (2)垂

4.(2019·安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是( )

A.α⊥β且m⊂α B.m⊥n且n∥β

C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β

解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.

答案 C

5.(2020·湖南湘东南五校联考)已知两个平面垂直，有下列命题：

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.

其中正确命题的个数是( )

A.3 B.2 C.1 D.0

解析 如图，①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；

②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内任意一条直线，l与平面ABCD内和AB平行的所有直线垂直，故②正确；

③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；

④在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的任一点作交线的垂线l，则l可能与平面ABCD垂直，也可能与平面ABCD不垂直，故④错.故选C.

答案 C

6.(多选题)(2020·济南调研)已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中正确的有( )

A.PB⊥AD

B.平面PAB⊥平面PAE

C.BC∥平面PAE

D.直线PD与平面ABC所成的角为45°

解析 由于六边形ABCDEF是正六边形，于是∠DAB＝60°，因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，若PB⊥AD，又因为PA∩PB＝P，则AD⊥平面PAB，故AD垂直于平面PAB内的任意一条直线，因此AD⊥AB，这与∠DAB＝60°矛盾，故假设不成立，故A不正确.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，在正六边形ABCDEF中，AB⊥AE，PA∩AE＝A，∴AB⊥平面PAE.又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAE.故B正确.∵BC∥AD，AD∩平面PAE＝A，∴BC与平面PAE不平行.故C不正确.在Rt△PAD中，PA＝AD＝2AB，∴∠PDA＝45°，故D正确，故选BD.

答案 BD

考点一 线面垂直的判定与性质

【例1】 (2019·广州一模)在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC＝25，∠EAD＝30°.

(1)求证：AB⊥平面ADE.

(2)求该五面体的体积.

(1)证明 因为在五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，

所以EF∥CD，CD⊥DE.

因为EF⊄平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以EF∥平面ABCD.

因为EF⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，所以EF∥AB.

又EF∥CD，所以CD∥AB.

因为CD＝4，AD＝2，AC＝25，

∴AD2＋CD2＝AC2，所以CD⊥AD.

又因为CD⊥DE，AD∩DE＝D，AD，DE⊂平面ADE，

所以CD⊥平面ADE.

又CD∥AB，所以AB⊥平面ADE.

(2)解 因为∠EAD＝30°，AD＝DE＝2，所以∠ADE＝120°，则S△ADE＝12×2×2×32＝3.如图，延长AB到G，使得AB＝BG，连接GF，GC，则S△GCF＝S△ADE＝3，所以VGCF－ADE＝3×4＝43，VB－GCF＝13×3×2＝233，所以VABCDEF＝VGCF－ADE－VB－GCF＝43－233＝1033. 规律方法 1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α).

2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

【训练1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

证明 (1)在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，

又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，

∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

考点二 面面垂直的判定与性质

【例2】 (2020·江西百所名校模拟)如图，几何体是由半个圆柱及14个圆柱拼接而成，其