高三一轮复习第六章 第四节直线、平面垂直的判定及性质

典型例题一

例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．

A．过直线外一点作与该直线垂直的直线

B．过直线外一点与该直线平行的平面

C．过平面外一点与平面平行的直线

D．过一点作已知平面的垂线

分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．

解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．

B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．

C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．

D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点A、平面，过点A有两条直线AB、AC都垂直于，由于AB、AC为相交直线，不妨设AB、AC所确定的平面为，与的交线为l，则必有lAB，lAC，又由于AB、AC、l都在平面内，这样在内经过A点就有两条直线和直线l垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．

故选D．

说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．

典型例题二

例2 已知下列命题：

（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；

（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；

（3）若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；

（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．

上述命题正确的是（ ）．

考点规范练34　直线、平面垂直的判定与性质

一、基础巩固

1.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )

A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l∥α,l⊥β,则α⊥β

C.若α⊥β,l⊥α,则l∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

2.设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( )

A.若a∥α,b∥α,则a∥bB.若a⊥α,a∥b,则b⊥α

C.若a⊥α,a⊥b,则b∥αD.若a∥α,a⊥b,则b⊥α

3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( )

A.平面ABC⊥平面ABD

B.平面ABD⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE

D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

4.已知直线m,l,平面α,β,且m⊥α,l⊂β,给出下列命题:

①若α∥β,则m⊥l;②若α⊥β,则m∥l;③若m⊥l,则α⊥β;④若m∥l,则α⊥β.

其中正确命题的个数是( )

A.1B.2C.3D.4

5.已知在空间四边形ABCD中,AD⊥BC,AD⊥BD,且△BCD是锐角三角形,则必有( )

A.平面ABD⊥平面ADCB.平面ABD⊥平面ABC

C.平面ADC⊥平面BDCD.平面ABC⊥平面BDC

6.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在的平面,那么( )

2A.PA=PB>PC

B.PA=PB

C.PA=PB=PC

D.PA≠PB≠PC

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一个动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).

8.如图,∠BAC=90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有 ;与AP垂直的直线有 .

9.设α,β是空间两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示).

高三文科数学一轮复习 线面垂直 面面垂直判定和性质 (必修2)

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线面垂直 面面垂直判定和性质

【知识要点】

1．线面垂直判定

(1)定义：如果一条直线l和平面α内的任意一条直线都垂直.

(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，

那么这条直线垂直于这个平面。（a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α）

(3)如果两条直线平行中的一条垂直于一个平面,

那么另一条也垂直于这个平面。（a⊥α，b∥a，那么b⊥α）

2．直线和平面垂直的性质

（1）一直线垂直于这个平面，那么它垂直于这个平面内的任何直线。

（2）性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

3．面面垂直判定

（1）定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，

那么这两个平面互相垂直。（如果a⊥α，aβ，那么β⊥α）

4．两平面垂直的性质：

（1）若两个平面互相垂直，那么这两个平面为直二面角。

（2）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

（如果α⊥β，α∩β=b，aα,a⊥b，那么a⊥β）

5．线线垂直判定

（1）所成的角是直角，在则两直线垂直；

（2）垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。（如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c）

（3）一直线垂直于这个平面，那么它垂直于这个平面内的任何直线。

（如果a⊥α，bα，那么a⊥b）

【典例解析】

例1 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：（1）BC⊥平面ACD.（2）BD⊥AF.（3）平面CBD⊥平面AEF.

立体几何知识点总结

1. 平面的基本性质

2. 空间中两直线的位置关系

(1)空间两直线的位置关系

图形语言 符号语言 公共点

平行直线 a∥b 个

相交直线 a∩b=A 个

异面直线

a,b是异面直线 个 (2)平行公理和等角定理

①平行公理

平行于 的两条直线平行.用符号表示:设a,b,c为三条直线,若a∥b,b∥c,则a∥c.

②等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 . (3)异面直线所成的角

①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b',把a'与b'所成的 叫做异面直线所成的角(或夹角). ②范围: .

3. 空间直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言 符号语言 公共点

相交

a∩α=A 个

平行 a∥α 个

在平

面内 a⊂α 个

平行 α∥β 个

相交 α∩β=l 个

4．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α

性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) 因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b

温馨提示：在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内．

5．平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) 因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b