数形结合思想在二次函数中的应用 学案

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

【摘要】

二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。

【关键词】

二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。

1. 引言

1.1 二次函数教学的重要性

二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。 二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

二次函数教学的重要性不言而喻。只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。

1.2 数形结合思想的意义

数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。通过观察二次函数的图像，学生可以直观地感受到函数的开口方向、抛物线的开口方向、最值点的位置等特性，从而对函数的特点有更深入的认识。

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浅谈二次函数教学中运用和培养“数形结合”思想

作者：阮建英

来源：《读与写·中旬刊》2016年第06期

摘要：二次函数是初中数学的重要内容，也是学习的难点。要解决学生学习中的难点，行之有效的方法就是在教学中从分运用数形结合的思想方法，借助数形结合的思想方法，加深学生对函数概念的理解；让学生直观地理解二次函数性质；加强知识间的横向联系。运用数形结合的思想方法可以使复杂问题直观化。使学生的抽象思维能力得到发展。也为学生提供了一种简单解决问题的方法，培养学生自觉运用"数形结合"的数学思想和意识。

关键词：二次函数教学；运用；培养；数形结合思想

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2016）06-0202-01

下面就二次函数谈谈函数教学中如何渗透和应用数形结合思想。

1.数形结合思想的概论

数形结合是初中数学的重要思想之一，包含"以形助数，以数辅形"两个方面。著名数学家华罗庚教授曾精辟的概述："数以形而直观，形以数而入微"，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的。借助数的规范严密和精确来阐明形的属性。通过"数"与"形"的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。

2.借助数形结合加深学生对函数概念的理解

初中数学课程标准中对函数概念的要求是"了解常量、变量、函数的意义，会举出函数的实例以及分辨出常量与变量以及两者之间的关系。"课本通过大量实例，如一天的气温随时间的变化而变化，邮资随邮件重量的变化而变化，园的面积随半径的变化而变化，路程、速度和时间的关系等，得出"一个量随另一个量的变化而变化"的结论，使学生感知函数问题在客观世界中是大量存在的，充分认识到建立函数概念的必要性。学生对于概念的理解比较抽象而机械的，比如学生认识一次函数和反比例函数的概念后，学生从函数表达式（关系式）可以判断两个变量间属于哪一种函数关系，但并不能透过表达式看到其中隐含的两数量间的变化关系的区别，面对新的问题是不会建立相应的函数模型解决问题，缺乏函数思想和观点，也就是对函数概念理解不全面。对函数概念理解模糊和机械的背诵函数的定义，学生不可能从本质上体会和理解数学的另一种重要思想——函数的思想。而借助数形结合加深学生对函数概念的理解。 龙源期刊网

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用

数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。

在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。

数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。

数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。

数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。

浅析数形结合在初中数学二次函数教学中的应用

对于九年级的孩子来说，数学学习的难度加大，二次函数作为一个需要动用学生综合思考能力的难题，一直是数学教学的重点。实际上，进行函数学习，不仅是日后更深层次的数学学习基础，也对于学生数学思维的培养，具有程度的影响。数与形是数学中的两个基本概念，不同的图形蕴含着不同的数值，而不同的数量关系，又能够通过数学图形展现出来，通过数形结合图像与竖直进行对照，能够更加简单的进行数学问题的解决，这也是二次函数教学过程当中的主要思想。本文也是基于数形结合的思想，对初中数学二次函数教学的具体应用进行举例说明，希望能够提高函数教学的质量和学生学习的效率。

关键词：数形结合 二次函数 初中数学

在数学学习的过程当中，数形结合的思想是教师教学的重点，它直接影响着学生思维能力的养成，也影响着学生的数学实际能力。数形结合的题目大多是以二次函数相关知识来呈现的。因此，在进行二次函数教学的过程当中，我们应该以数形结合思想为核心，将图像与数据有机结合起来，化抽象为具象，化繁为简，提高学生的解题能力。数形结合的具体体现就是，在教学过程当中，由数据绘制图形，完成对数据的解题，由图形推断，数据完成对数据的具体计算，而在中考时，我们也要通过数形结合的思想，用数形相互对照完成高难度的函数题目解答。

1.

由数定形，确定坐标

由数定形的教学思想是通过数据的明确来对二次函数图像进行推断性落实，用代数的方法来解决关于二次函数图形的问题。它是通过对未知二次函数的推断性数据代入，来完成对二次函数图像性质的描述。在进行教学时，我们需要让学生意识到由数定形的思想可以运用在哪些方面。在解决二次函数相关习题时，碰到系数未定的二次函数，我们首先需要抓住题目中给出的数据，将其对应图像在坐标系中进行展示，之后完成对整个函数图像的大致推断。对于这类问题，我们首先需要确定的是题目中所给出的具体条件，并与坐标系上展示出来，观察分析他是否与已经学过的一些二次函数图像相似，作出二次函数系数正负值的推断，再去完成题目的解答。