数形结合在二次函数中的应用教案

课题：数形结合在二次函数中的应用

一、教学目标：

（1）理解二次函数解析式与二次函数图象间的关系，通过解析式本身蕴含的信息以及函数图象的直观表示解决有关问题，体会数与形的密切联系。

（2）感悟数形结合在解题中的应用，增强数形结合的意识。

（3）通过应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力，增强学好数学的自信心。

二、教学重点、难点：

教学重点：感悟数形结合在解题中的应用，掌握数形结合的数学思想，增强数形结合的意识。

教学难点：应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力，

三、教学方法：

探究法 引导法

四、 教学过程：

（一）情景引入

“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”

——华罗庚

寥寥数语，就将数与形之间的内在联系表达的淋漓尽致。

数形结合思想就是将数量关系与空间形式有机地结合，用数的观

念来解决形的问题，或者用形的方法来解决数的问题，它是中考数学的一个重要思想方法。

今天，我们就通过研究二次函数中的数形结合来体会“数形结合百般好”的奥妙！

设计思路：从学生熟悉的小诗入手，激发学生探究学习的积极性。

（二）亲身经历、感悟数形

1、 想一想 二次函数y= -x2 + 2x+3的图象的形状。

画一画 画一画它的大致图象。

说一说 你是如何确定的 ？

2、感悟数形

数 量 关 系 图 形 特 征

a=-1<0 开口向下

－b/2a=1 对称轴：直线x=1

（b2-4ac）/4a=4 顶点坐标（1，4）

c=3 与y轴交点坐标（0，3）

-x2 + 2x+3=0 与x轴交点坐标（-1，0）（0，3）

设计思路：借助复习二次函数的基础知识，体会把数量关系的问题转化为图形特征的问题，发展数形结合的意识。

3、复习二次函数解析式中的字母系数的符号与其图像之间的联系

方法归纳：在抛物线 中：

①、a的符号决定抛物线的开口方向；

②、a、b联合决定抛物线对称轴的位置:

当a、b异号时，-b/2a＞0，对称轴位于y轴的右侧，

当a、b同号时，-b/2a＜0，对称轴位于y轴的左侧，

当b=0时，-b/2a=0，对称轴就是y轴；

为方便记忆，这一结论可简称为“左同右异”.

③、c的符号决定抛物线与y轴交点位置；

④、 的符号决定抛物线与x轴交点个数；

⑤、 与a-b+c.分别是x=1、-1时的函数值，观察x=1、-1时图像上点的位置即可得 与a-b+c.的符号.

⑥、代数式 、( )符号判断，可先观察对称轴x=-b/2a与1、-1的大小关系，再对不等式进行变形就可得出。（去分母时要注意a的符号，看不等式是否改变方向）

设计思路：借助复习二次函数的基础知识，体会把图象特征的问题转化为数量关系的问题，发展数形结合的意识，

（三）应用数形结合解决问题

1、典例分析

例一．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个

C．3个 D．4个

【分析】我们观察图象即运用对称轴坐标很容易确定a、b、c三个字母系数的正负；4a+2b+c的符号要看x＝2时y值的正负.而比较（a+c）2与b2的大小有多种方法：①作差法.计算（a＋c）2－b2＝（a+c-b）（a+c+b），只需确定a+c-b与a+c+b的符号即可.②比

较a＋c与b.先去绝对值，需判定a+c的符号与b的符号，再比较去掉绝对值符号后的两式的大小.

解：∵ 抛物线开口向下 ，

∴ a<0，又对称轴为x=1，即=1.

∴ b=-2a<0，即②正确.

∵ 抛物线与y轴负半轴相交，

∵ c<0，即①正确.

当x=2时，y=4a+2b+c，由抛物线对称性可知，此时对应点在x轴下方，

∴ 4a+2b+c<0，∴ ③不正确.

∵ （a+c）2-b2=（a+c-b）（a+c+b）=（a-b+c）（a+b+c），

由图象可知，当x=1时y=a+b+c>0；当x=-1，y=a-b+c<0 ，

∴ （a+b+c）（a-b+c）<0，即（a+c）2-b2，故④正确.

在说明4a+2b+c>0不正确时，也可用这种方法：

∵ b=-2a，c<0 ，∴ 4a+2b+c=4a+2（-2a）+c=c<0. 解：C.

【小结】解题关键是根据抛物线位置与a、b、c的关系，联系实数运算符号法则及函数解析式，将要判断的式子化为当x取某一值时的函数值，从图象上对应点纵坐标的正负得出结论.

【跟踪训练】．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2＋bx＋c的图象，则下列式子能成立的是（ ）

A．abc＞0 B．a＋b＋c＜0 C．b＜a＋c D．2c＜3b

设计思路：通过应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能

力，强化数形结合的意识，增强学好数学的自信心。

例二6．已知点（－1，y1）、（－321，y2）、（21，y3）在函数y=3x2＋6x＋12的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）

A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2

跟踪训练． 已知二次函数mxy212的图象上有三个点,坐标分别为1,2yA、2,3yB、3,4yC,则321,,yyy的大小关系是( ) A.321yyy B.312yyy C.213yyy D.123yyy

【延伸扩展】方程 的正根的个数为（ ）.

Ａ. 3 Ｂ. 2 Ｃ. 1 Ｄ. 0

【分析】直接化分式方程为整式方程，确定方程根的个数，是十分困难的事，结合问题特征，要将“数”转达化成“形”去研究.

解：把方程化为抛物线 与双曲线 ，分别画出草图，在x>0的范围内，两函数图象有两个交点.

内容摘要：数形结合是数学中的重要思想方法之一。在初中数学学习中，二次函数是中考的必考内容，但由于其综合性较强，使得学生难以理解和掌握。本文就近年来中考中有关二次函数试题如何运用数形结合的方法予以解决作以简单分类、归纳。

五.小结

1、学生：畅所欲言谈谈学后的收获与困惑。

2、教师与学生一起感悟数形结合方法。

解决数形结合问题的关键是由形思数，由数想形。由形思数就是抓住图形特征及关键点，用数量刻画。由数想形就是提炼数量关

系，用点的坐标刻画图形。

六.布置作业

教学设计思路：

中考复习备考分三个阶段进行，第一阶段复习注重基础知识，第二阶段复习注重解题的方法及技巧，第三阶段模拟训练。数学思想是将知识转化为能力的桥梁，本课从学生熟悉的二次函数入手，经历把数量关系的问题转化为图形特征的问题及把图形特征的问题转化为数量关系的问题的探索过程，体会数与形的密切联系。提炼出解题方法，感悟在解题中的重要作用，强化数与形密切联系的意识，以提高解题能力。

二次函数是初中数学内容的重中之重.灵活运用数形结合解决二次函数问题，能达到出奇制胜的功效.

关键词：数形结合 二次函数

数学家华罗庚说的好：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”可见数形结合是数学中的重要思想方法之一。

数量关系和空间图形是数学研究的两个主要方面，它们之间有密切的关系，在一定条件下，它们之间可以相互转化，相互渗透。

在初中数学学习中，函数是一个难点，尤其是二次函数的问题中，由于其综合性较强，更使部分同学觉得难以理解和掌握。其实，只要掌握了正确的方法，解决问题便会事半功倍。而解决二次函数问题时，数形结合便是一种重要方法。在这里，我们需要理解函数问题中x、y的双重含义：

数形结合方法是解决数学问题尤其是函数问题的一种重要方法。用图形可以使抽象的数量关系变得直观形象；而一些图形的性质，又可以赋予其数量意义，通过数量的运算使问题得到解决。希望大家在学习的过程中体会这一方法的应用，以提高自己分析问题、解决问题的能力。