固体物理 晶格非简谐效应

2、晶体热传导系数
把声子系统看成声子气体
1 k Cv v 3
(1)
如果采用德拜模型，声子的平均速度是一常数，热导系数与温度的关
系完全取决于比热和平均自由程与温度的依赖关系。
由关系式
v z
1 z
平均自由程反比于单位时间内的平均碰撞次数z 而z与声子的浓度n成正比，因此 因此
z n
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§3.7 晶格振动的非简谐效应
Hale Waihona Puke Page 16在T→ 0时，晶体中主要激发波长很长的声子
U过程出现的几率很小 边界散射成为主要因素，因而热导系数变成晶体线度L的函数：
k
1 Cv v 3
k
1 Cv vL 3
由于低温下，
Cv T 3
所以边界散射热导系数与温度的关系为
k T3
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§3.7 晶格振动的非简谐效应
2、考虑非简谐效应下的计算
考虑势能展式中三次方项的非简谐项的贡献，则U（r）可写为
U (r )
1 1 2 3 ( 6 ) 2 6
作代换
d 3U ( r ) ( 7 ) 3 dr r0 1 2 b ( 8 ) 1 c 6
§3.7 晶格振动的非简谐效应 一．非简谐效应
讨论晶格振动
取简谐近似
等效成相互独立的3N（N是原子数目）个简正振动 一旦一种模式（声子）被激发，它将保持不变 不把能量传递给其他模式的简正振动。 问题： 简谐近似下，把温度不相同的两晶体接触后，它们的温度不会
达到同一个温度，各自保持温度不变。这与事实不符。 温度最终达到平衡必须由晶格振动的非简谐效应解释。 固体的热传导：电子导热和声子（晶格）导热

两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个 声子，这可以看成是两个声子相互碰，最后变 成第三个声子。声子的这种相互作用可用下面 的物理图象来理解:一个声子的存在将在晶体 中引起周期性的弹性应变，由于非简谐项的影 响，晶体的弹性模量不是常数，而受到弹性应 变的调制，由于弹性模量的变化，将使第二个 声子受到散射而产生第三个声子.声子间的相 互作用，还必须遵守能量守恒定律和动量守恒 定律。
v 代表声子的平均速率，把(3-99)式与（3-93）
相比较，热导系数x可写成:
x 1 Cvl 3
(3-100)
上式和气体的热导系数形式上是一样的。
• (3-100)式中，声子的平均自由程L，在高温 下l T 1 ，主要由它们的碰撞过程决定。
• 计入原子间相互作用的非简谐项，可以从理论上 导出，在高温下l eB/T ，而在低温下。
把(3-94)式代入(3-95)式，则：
Q
Cvxl
dT dx
（3-96）
而自由路程l可表成: l vx
其中τ代表声子两次碰撞间相隔的时间，把上式代 入(3-96)式得：
Q
Cvx2
dT dx
（3-97）
这里应是对所有声子的平均值，由
能量均分定理可知:
2
vx
1
2
x
3
（3-98）
因此(3-97)式可表成： Q 1 Cvl dT （3-99） 3 dx
决定，在这种情形下，(3-100)式变成：
x 1 CvD 3
(3-101)
此处D是晶体的线度尺寸，是一个常数，因此这时x与温度的 关系主要决定于热容量C对温度的关系，在3.4节中已经知道 在低温下，C T 3 ，所以在低温下，品体的热传导将按T3变化。

第四章晶格振动4.1 晶格振动的经典理论4.2 晶格振动的量子化－声子4.3 固体热容的量子理论4.4 非简谐效应：晶体的热膨胀和热传导4.5晶格振动的实验研究原子或离子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。

只有深入地了解了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。

如：固体热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象，某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波的相互作用等等。

•19 世纪初人们就通过Dulong-Petit 定律：认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现；1907年，Einstein 利用Plank量子假说解释了固体热容为什么会随温度降低而下降的现象；1912年玻恩(Born，1954年Nobel物理学奖获得者)和冯卡门（Von-Karman)发表了论晶体点阵振动的论文，首次使用了周期性边界条件；Debye热容理论1935年Blakman才重新利用Born和Von-Karman近似讨论晶格振动，发展成现在的晶格动力学理论；1954年黄昆和Born共同写作的《晶格动力学》一书已成为该领域公认的权威著作4.1 晶格振动的经典理论一. 一维单原子链的振动运动方程：考虑N个质量为m 的同种原子组成的一维单原子链的。

设平衡时相邻原子间距为a（即原胞大小），在t 时刻第n 个原子偏离其平衡位置的位移为µn设在平衡时，两原子的相互作用势为V(a)，产生相对位移（例如）后势能发生变化是V(a+δ) ，将它在平衡位置附近做泰勒展开：首项是常数，可取为能量零点，由于平衡时势能取极小值，第二项为零，简谐近似下，我们只取到第三项，即势能展开式中的二阶项（δ2项），而忽略三阶及三阶以上的项，显然，这只适用于微振动，即δ值很小的情况。

此时，恢复力：如只考虑最近邻原子间的相互作用，第n 个原子受到的力：于是第n个原子的运动方程可写为：一维原子链上的每个原子，忽略边界原子的区别，应有同样的方程，所以它是和原子数目相同的N个联立的线性齐次方程。

本讲要解决的问题及所涉概念•简谐近似*相互作用势能只保留到二次项，晶格振动为一系列线性独立的谐振子，不发生相互作用，也不交换能量*这样，声子不能把能量传递给其他频率的声子*与此有关的物理现象，比如热膨胀、热传导，就不能用简谐近似来描述•非简谐效应*热膨胀*热传导声子气体http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应2第28讲、非简谐效应1.简谐近似的局限2.热膨胀3.Grueneisen状态方程4.热膨胀与Grueneisen常数5.热传导6.晶格振动的相互作用（声子语言）7.晶体热传导系数http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应31、简谐近似的局限•修正绝热近似时，曾作两个假定以简化问题1.微小振动：原子虽然不是固定在它们的平衡位置，但是偏离平衡位置的距离很小2.简谐近似：离子之间的相互作用势能展开式只保留到二次项，即力常数与位移的一次项成正比•但是，固体中的很多重要的物理性质不能用简谐近似解释，如*热膨胀*热传导http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应42、热膨胀•严格的简谐振动为什么不会产生热膨胀？•热胀冷缩*温度升高，晶体体积膨胀*？•温度升高？——晶格振动能量增大•晶体体积膨胀？*→原子平均间距或晶格常数增加*→但是严格的简谐近似为什么不能产生热膨胀？http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应65、热传导•固体导热*电子贡献+？•晶体中原子的热运动•晶格振动！*但是，原子仅仅是在平衡位置附近振动，*而且晶格振动是一种集体的振动！•热传导就是振动的传播•格波的传播？*但是，简谐近似 格波独立，因此格波之间不能交换能量http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应20简谐振动 热传导?•与温度有关的声子分布的均匀过程如何建立？•靠相互作用，靠碰撞？•简谐近似：格波独立，声子间没有相互作用！•必须考虑非简谐效应——声子与声子之间的碰撞，各个格波之间有相互作用http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应236、晶格振动相互作用（声子语言）•一个声子的存在会引起周期性弹性应变•这种弹性应变如果较大，则不能再用简谐近似来描写•这样，非简谐弹性应变对晶体的弹性常数产生空间和时间上的调制•第二个声子感受到这种弹性常数的调制，受到散射而产生第三个声子http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应24声子气•将有限温度下的晶体想象成包含声子气的容器•不同模式的声子具有不同的动量，能量•速度，按Debye近似，声速•声子间的相互作用就象气体间分子的碰撞一样，交换动量、能量 简谐近似下不可能•虽然当作气体分子处理，但注意：声子是晶格振动的能量量子，是一种元激发，不具有质量，声子数也不守恒，可以产生和湮灭•声子描写的是整个晶格的振动！现局域！远大于晶格常数，仍可看成这个区域整体的振动http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应25http://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应27平均自由程取决于声子碰撞•理论分析非常复杂：取决于声子与声子之间的碰撞，还有声子与杂质的碰撞，声子与样品边界的碰撞•声子与声子之间碰撞：三声子碰撞过程的动量、能量守恒关系（K 是倒格矢）Kq q q +=+=+321321ωωωhttp://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应29正常过程：K 等于零•常称N 过程(Normal process)，对应q 1和q 2较小•声子的动量没有发生变化，因此，N 过程只改变声子的动量分布•如果声子的总动量为零，就没有热流•在热平衡下，由于()()q q -=ωω•因此，N 过程由于只改变声子的动量分布，而基本上不影响热流的方向==∑ii q Qhttp://10.107.0.68/~jgche/非简谐效应31翻转过程：K 不等于零•对应q 1和q 2较大，与B 区的尺度可比才能发生，能量大的格波参与才能发生•这种格波数随温度下降很快，因此，U 过程可改变声子数的分布•这种过程对热导率的下降十分有效•常称U 过程(Umklapp Process)•声子总的动量改变了一个非零的倒格矢的动量≠=∑ii q Q关键是改变声子分布！•看上去是平均自由程，关键是改变声子数分布•晶体中存在这样的机制，使声子分布可以局域地趋于平衡。